文档内容
押北京卷 14 题
数列的性质及应用
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
等差数列 2023·北京卷T14
可以预测 2024 年新 数列中填空题难度一般或较难，纵观近几年的新
高考命题方向将继 高考试题，分别考查等差、等比数列基本量运
等比数列 2022·北京卷T15
续以数列通项及求 算，同时备考也需强化对数列通项公式和求和公
和等知识点命题． 式的应用，也是高考冲刺复习的重点复习内容。
数学文化 2021·北京卷T6
1．（2023·北京卷T14）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来
测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数列
的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列 所有
项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，所以
.
2．（2022·北京卷T15）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下列
四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
3.（2021·北京卷T6）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有
金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对应
的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【解析】由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 .
故选：C.
a =a +(n−1)d (n∈N ) a =a +(n−m) d (n∈N )
1. 等差数列通项公式： n 1 + 或 n m +
A B C 2B=A+C B A C
2. 等差中项：若 ， ， 三个数成等差数列，则 ，其中 叫做 ， 的等差中项{a } {b } {a ±b } {ma±kb }
3. 若 n ， n 为等差数列，则 n n ， n n 仍为等差数列
n(a +a ) n(n−1)d
s = 1 n s =na+
4. 等差数列前n项和公式： n 2 或 n 1 2
S =na
5. 等差数列的前 项和中，
n n+1
，（ 为奇数）
n 2 n
a =a⋅qn−1 或a =a ⋅qn−m.(n∈N¿)
6. 等比数列通项公式： n 1 n m
A B C B2 =AC⇒B=±√AC B A C
7. 等比中项：若 ， ， 三个数成等比数列，则 ,其中 叫做 ， 的等比
中项
{a }
n
8. 若{a }，{b }为等比数列，则{a ⋅b }， b 仍为等比数列
n n n n n
{ na ,(q=1)
1
s = a (1−qn) a −a q (q≠1)
9. 等比数列前 项和公式： n 1 1 n
=
n
1−q 1−q
{a } {S }
10.已知 n 与 n 的关系
{ s ,n=1
a = 1
n
s −s (n≥2)
n n−1
11.等差数列基本运算的常见类型及解题策略
（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；
（2）求通项：a 和d是等差数列的两个基本元素；
1
（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；
（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
12.等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，一
1 n n
般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解；
（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a }的前n项和S ＝na ；当q≠1时，
n n 1
{a }的前n项和
n
1．已知等差数列 的公差为2，若 成等比数列，则 （ ）
A． B． C．4 D．【答案】C
【解析】 数列 是公差为2的等差数列，
， ，
成等比数列，
，即 ，解得 ，
故选：C.
2．二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第
一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二
手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是 万，则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】根据题意可知，列不等式 ，
即 ，
又 ，可得 .
故选：B
3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最
上层有 个球，第二层有 个球，第三层有 个球，第四层有 个球， ，设从上往下各层的球数构成数
列 ，则 （ ）
A．380 B．399 C．400 D．400
【答案】C
【解析】 ， ， ， ，所以 ，
则 .
故选：C
4．《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分
明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人
依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第2个孩子分得棉花的斤数为（ ）
A．48 B．65 C．82 D．99
【答案】C
【解析】由题意可知，每人分得的棉花数量构成公差为17的等差数列，
设等差数列为 ，公差为 ，前 项和为 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以第2个孩子分得棉花的斤数为82，
故选：C
5．已知 为等差数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
可得 ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
所以 .故选：C.
6．已知 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】根据题意，设等比数列 的公比为 ，
由于 ，则 ，
所以 ，所以 ，
则 ．
故选：D．
7．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．
某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为
90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
【答案】C
【解析】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为： ，
可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为： ，
且 .
由等差数列的求和公式得：
故选：C
8．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个
节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸
（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸
B．秋分的晷长为75寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸
【答案】C
【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列 ，其中 寸， 寸，公差为 寸，则
，解得 （寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列 ，首项 ，末项 ，公差 （单位都为
寸）.故选项A正确；
春分的晷长为 ,
秋分的晷长为 ，所以 正确；
立冬的晷长为 ，即立冬的晷长为一丈五寸， 正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为 ，
， ，故错 误.
故选：C.9．某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为 10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在
上一年的基础上增加 ，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时
间为（ ）（参考数据： ）
A．9年 B．10年 C．11年 D．12年
【答案】A
【解析】设该公司第 年用于该新项目的投入为 万元，则 是首项为10，公比为 的等比数列，
从而 ，即 ，即 ，即 ．
因为 ，所以 的最大值是9.
故选：A
10．设数列 满足 ，则 的前 项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ．
当 时， ，
可得 ，故当 时， ．
当 时， 不满足上式,故 ，
设 的前 项和为 ，当 ， ；
当 ， ，当 ， 满足.
故 的前 项和为 .故选：C.
11．已知 的通项公式为 恒成立，则实数 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故
，所以 ，即 的最小值为 .
故选：D
12．等比数列 中， 和 是关于 的方程 的两个根，则 .
【答案】
【解析】由题意可得： ，所以 ，
由等比数列的性质可知： ， 同号，
所以 .
13．已知数列 的首项 ，且数列 是以1为公差的等差数列，则 ．
【答案】
【解析】由数列 的首项 ，且数列 是以1为公差的等差数列，
可得 ，则 ，
所以 .14．已知各项均为正整数的递增数列 的前 项和为 ，若 ，当 取最大值时， 的
值为 .
【答案】74
【解析】因为数列 是各项均为正整数的递增数列， ，
所以 取最大值时，则 时， 均取到最小，即 ， ，
即 时， 是等差数列， ， ，
， ， ；
若 的最大值为61，则 ， 符合题意；
若 的最大值为62，则 ， 不符合题意；
综上当 取最大值时， 的值为74.
15．在等比数列 中， 是函数 的极值点，则
【答案】4
【解析】 ，
因为 是函数 的极值点，
所以 是方程 的两根，
由韦达定理可得 ，所以 都是正数，
在等比数列 中， 同号，且 ，
所以 .
16．已知等比数列 的前n项和为 ，且满足 ，则实数λ的值是 ．
【答案】-2【解析】等比数列 中，由 可得 ，
则 ，若公比 ，则 ，
则 ，故 ，
则等比数列的前n项和 ，（ ），
故令 ，即 ，
17．北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌 块
扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 块，向外每环
依次也增加 块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板
块．
【答案】
【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为 ，则 是等差数列，且公差 ， ，
设每层有 环，则 ， ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，
即上层有扇形石板 块.
18．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化
中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列
从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列 的通项公式为 ，若
，则数列 的前30项和为 .【答案】240
【解析】由题意知 ， ，
故数列 的前30项和为
，
19．数列 的通项 ，则数列 中的最大项的值为 .
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
则 ，
令 ，即 ，因为 ，
解得 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 ，
故数列 中的最大项为 ，其值为 .
20．已知数列 的通项公式为 ， 是数列 的前 项和，则 .【答案】
【解析】因为 ，
设
，
所以
.
