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专题 09 数列不等式的证明与求解参数
◆题型一:数列不等式的证明
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相
消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看
下数列不等式证明的例题.
【经典例题1】已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【经典例题2】已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， ，数列 满
足 ．
(1)求出 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【经典例题3】已知数列 前 项和为 ，若 ，且 成等差数列．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求证： ．总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消
的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的
取值范围的相关题型.
【经典例题4】等差数列 前n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值．
【练习1】等差数列 中，前三项分别为 ，前 项和为 ，且 .
(1)求 和 的值；
(2)求 =
(3)证明:
【练习2】已知数列{ }的前 项和为 ， ，
(1)求数列{ }的通项公式；(2)设 ， 为数列 的前 项和.证明：
【练习3】已知数列 的前n项和为 ，且 ，数列 为等差数列， ，且
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)对任意的正整数n，有 ，求证： ．
【练习4】已知数列 的前n项和为 ， ， ， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
◆题型二:数列不等式求解参数
方法解密:
对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即 对 恒
成立,数列单调递增. 对 恒成立,数列单调递减.
含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.
(1) 恒成立，则
(2) 恒成立，则
下面看一下有关恒成立问题的例题:
【经典例题1】已知 ，若 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是_______．
【经典例题2】已知数列 满足 ， 且 ．若对任意
， ，不等式 恒成立，则正整数 的最小值为______．
分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法
对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:
【经典例题3】数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若 使得
成立，则实数k的取值范围是______．
【经典例题4】已知数列 前 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．【练习1】设 为等比数列 的前n项和，已知 ， ，若存在 ，使得
成立，则m的最小值为___．
【练习2】已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
(1)求 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围.
【练习3】已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【练习4】设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．【过关检测】
1.已知数列 的前 项和为 ， ；等差数列 中， ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值，若不存在，
说明理由.
2.已知等比数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求数列 的公比q和通项 ；
(2)设 ，求满足 的n的最大值．
3.记 是等差数列 的前 项和，若 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求使 成立的 的最小值.4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S＝21，S＝55．
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(1)求an、Sn；
(2)若数列 的前n项和Tn，求满足 的最小正整数n．
5.已知数列 的前n项和为 ， ， ，其中 .
(1)记 ，求证： 是等比数列；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
6.已知数列 的前 项和为 .
从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列 是等比数列， ，且 ， ， 成等差数列；
②数列 是递增的等比数列， ， ；
③ .(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 的前 项的和为 ，且 .证明： .
7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S ，S ，S 成等差数列，且 .
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（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得 ？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.
8.已知正项等比数列 的前n项和为 ，满足 ， ．记 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 前n项和 ，求使得不等式 成立的n的最小值.
9.已知数列 的前 项和为 ， ；等差数列 中， ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）设数列 前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值，若不存在，
说明理由.
10.已知等差数列 公差不为零， ， ，数列 各项均为正数， ，
.
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数 的最小值．
11.已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和.若 对任意的 恒成立，求 的最小值.12.已知二次函数 的图象经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 项和为 ，点
均在函数 的图象上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 ．
