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第 28 讲 平面向量的概念与线性运算
【基础知识网络图】
平面向量
平 平 平
平 面 面 面
面 向 向 向
向 量 量 量
量 的 的 的
的 线 基 坐
概 性 本 标
念 运 定 表
算 理 示
【基础知识全通关】
一、向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段 表示，其中A为起点，B为终点.
向量 的长度 又称为向量的模；
长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.
平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.
3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.
4. 与 长度相等，方向相反的向量叫做 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.
【微点拨】 ①有向线段的起、终点决定向量的方向， 与 表示不同方向的向量；
②有向线段的长度决定向量的大小，用 表示， .
③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关.
二、向量的加法、减法
1．向量加法的平行四边形法则
平行四边形ABCD中（如图），
向量 与 的和为 ,记作: .（起点相同）
2．向量加法的三角形法则
根据向量相等的定义有: ，即在Δ 中， .
首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
规定:零向量与向量 的和等于 .
3. 向量的减法
向量 与向量 叫做相反向量.记作: .
则 .
【微点拨】
①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首
尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.
②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法
则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”.
三、实数与向量的积
1．定义：
λ
一般地，实数 与向量 的积是一个向量,记作 ，它的长与方向规定如下：
（1） ；
λ λ
（2）当 >0时， 的方向与 的方向相同；当 <0时， 的方向与 的方向相反；
λ
当 =0时， ；2．运算律
设 λ ，μ为实数，则
（1） ；
（2） ；
（3）
3．向量共线的充要条件
已知向量 、 是两个非零共线向量，即 ，则 与 的方向相同或相反.
向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 .
【微点拨】
①向量数乘的特殊情况：当 时， ；当 时，也有 ；实数和向量
可以求积，但是不能求和、求差.
②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用
时，构成两个基地的向量是不共线的向量.
四、平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标表示
选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，该平面内
任一向量 表示成 的形式，由于 与数对（x,y）是一一对应的，因此把
（x,y）叫做向量 的坐标表示.
2．平面向量的坐标运算
已知 ， ，则
（1）
（2）3．平行向量的坐标表示
已知 ， ，则 （ ）
【微点拨】
①若 ， ，则 的充要条件不能表示成 ，因为
有可能等于 0，所以应表示为 ；同时 的充要条件也不能错记为
， 等.
②若 ， ，则 的充要条件是 ，这与
在本质上是没有差异的，只是形式上不同.
【考点研习一点通】
考点一 平面向量的有关概念
例1、给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充
要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A. ②③ B.①② C.③④ D.②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形
ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB|＝|DC|，
AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝
b的充要条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
【变式1-1】给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ
为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错
误的命题有3个，故选D.
【变式1-2】如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
A F
（1）与 相等的向量有 ； a
B E
O
（2）与 相等的向量有
；
b
C D
与 共线的向量有
（3） ．
【答案】：（1） ， ， ；（2） ；
（3） ．
方法总结：向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考点二 向量的线性运算
例2、(1)在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD＝( )A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)(一题多解)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA－12OB－3OC＝0，则( )
A.OA＝12AB＋3AC B．OA＝12AB－3AC
C.OA＝－12AB＋3AC D.OA＝－12AB－3AC
【答案】(1)A (2)A
【解析】 (1)∵AB＝a，AC＝b，BD＝BC，
∴AD－AB＝(AC－AB)，
∴AD＝AB＋AC＝a＋b.故选A.
(2)法一：对于A.OA＝12AB＋3AC＝12(OB－OA)＋3(OC－OA)＝12OB＋3OC－15OA，整理，
可得16OA－12OB－3OC＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
法二：已知A，B，C三点不共线，且点 O满足16OA－12OB－3OC＝0，所以16OA－
12OB＝0，所以OA＝12AB＋3AC，故选A.
【变式2-1】
1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE等于(
)
A.AB－AC B.AB＋AC
C.AB－AC D.AB＋AC
【答案】1．A 2．A
【解析】 1．作出示意图如图所示．
EB＝ED＋DB＝AD＋CB
＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)
＝AB－AC.故选A.
2．因为DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，
所以E是AC的中点，
可得DE＝DA＋DC＝(DC＋CA)＋DC
＝DC－AC＝AB－AC，故选A.
【变式2-2】如图所示，四边形 为梯形，其中 ， ， ， 分别
为 ， 的中点，则下列结论正确的是A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为四边形 为梯形，其中 ， ， ， 分别为 ，
的中点，
； 对
为 的中线；
； 对
；的、 对
；
错；
方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点
的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考点三 共线定理的应用
例3、如图，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝
b.试用a和b表示OM.
【解析】 设OM＝ma＋nb，则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD＝OD－OA＝
OB－OA＝－a＋b.又∵A、M、D三点共线，
∴AM与AD共线．∴存在实数t，使得AM＝tAD，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋b)．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵CM＝OM－OC＝
ma＋nb－a＝(m－)a＋nb，CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴CM
与CB共线．
∴存在实数t ，使得CM＝tCB，∴(m－)a＋nb＝t(－a＋b)，∴消去t 得，4m＋n＝1②.由
1 1 1 1
①②得m＝，n＝，∴OM＝a＋b.
【变式3-1】设两个非零向量a与b不共线．
(1)AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，
∴AB，BD共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
方法总结：利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，
⇔
当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【考点易错】
1.已知向量 ， 满足 ， 在 上投影为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在 上投影为 ，即 .
， ，
又 ， ，，
.
本题选B．
2.在平行四边形 中， ， ， ， 交 于F且
，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
对于选项A： ，故
选项A不正确；
对于选项B：易证 ，所以 ，所以 ，故
选项B正确；
对于选项C： ，即 ，所以
，所以 ，解得： ，，因为 ，所以 ，
故选项C正确；
对于选项D：
，故选项D正确.
故选：BCD
3.已知两个非零向量a与b不共线.
（1）若 =a+b, =2a+8b, =3(a−b),求证:A,B,D三点共线;
（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
【解析】（1）∵ =a+b, =2a+8b, =3(a−b),
∴ + =2a+8b+3(a−b)=5(a+b)=5 ,
∴ , 共线,
又∵它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
（2）∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使得ka+b=λ(a+kb),
∴(k−λ)a=(λk−1)b.
∵a,b是两个不共线的非零向量,
∴k−λ=λk−1=0,
∴k2−1=0,
∴k=1或−1.
【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段
所在的向量共线.对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一条件,列出方程组,解出参数.
【巩固提升】
1、在△ABC中，点G满足GA＋GB＋GC＝0.若存在点O，使得OG＝BC，且OA＝mOB＋nOC，则m
－n等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】 D
【解析】 ∵ GA＋GB＋GC＝0，
∴OA－OG＋OB－OG＋OC－OG＝0，
∴OG＝(OA＋OB＋OC)＝BC＝(OC－OB)，
可得OA＝－OC－OB，
∴m＝－，n＝－，m－n＝－1，故选D.
AD
2.在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，
可得
，所以 .
故选A.3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且
，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵ ，∴ ，
∴ ，
又F为AE的中点，∴ ，B对；∴ ，C对；
∴ ，D
错；
故选：ABC．
4.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在平行四边形ABCD中， ，故A错误；
由向量减法法则得 ，故B错误；
由向量加法的平行四边形法则知 ，即C正确；
由于 ，故D错误；
故选：C.
5．下列说法正确的是
A．向量 与向量 是共线向量，则点 必在同一条直线上
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】D
【解析】对于A，若向量 与向量 是共线向量，则 或点 在同一条直线上，故A错误；
对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不
相同又不相反，故B错误；
对于C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；
对于D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其
终点必相同，故D正确.
故选D．
【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义．解题时，根据
题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．
6．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量 平行的向量为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图， .
故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法运
算法则，结合向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果.
7．设 是平行四边形 的对角线的交点， 为任意一点（且不与 重合），
等于A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 为任意一点，不妨把A点看成O点，则
，
是平行四边形 的对角线的交点， .
故选D．
8．设D为 所在平面内一点， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 .故选B．
9．已知 为非零不共线向量，向量 与 共线，则
A． B．
C． D．8
【答案】C
【解析】 向量 与 共线，
存在实数 ，使得 ，即 ，
又 为非零不共线向量，，解得 .
故选C.
10．已知 为两非零向量，若 ，则 与 的夹角的大小是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四
边形为正方形或长方形，由此可得 的夹角为90°，故选A．
【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可.
11．已知非零向量 ，且 ，则一定共线的三
点是
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【解析】由向量的加法法则可得
，
所以 与 共线，又两线段过同一点 ，所以 三点一定共线.故选A．
【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线
来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量加法的
“三角形”法则，可得 ，从而可得结果.
12．如图， 在 的内部， 为 的中点，且 ，则的面积与 的面积的比值为
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵D为AB的中点，∴ ，∵ ，∴
，∴O是CD的中点，∴S =S = S = S .故选B．
△AOC △AOD △AOB △ABC
【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量小题的常用方法
有：数形结合，向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底
化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.解决本题时，根据平面向量的几何运
算可知O为CD的中点，从而得出答案．
13．已知 为 内一点，且 ， ，若 , , 三点共
线，则 的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设线段 的中点为 ，则 ，因为 ，所以
， 则 ， 由三点共线，得 ，解得 .故选B．
【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：
① 三点共线 ；
② 为平面上任一点， 三点共线 ，且 .
14．已知等边三角形 中， 是线段 的中点， ，垂足为 是线段
的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是线段 的中点，∴ = = .
∵ 是线段 的中点，∴ = .
又 = ，
令 ，
则 =（ ，
∴ ， ，解得 ， ，
∴ ，故选C．
15、在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，·BA＋·BC＝·BD，则四边形ABCD的面积为
________.
【答案】
【解析】 由|AB|＝|DC|，＋＝可知四边形ABCD为菱形，则有|AB|＝|DC|＝，
＝，即＝，两边平方，
得1＋2·＋1＝3，＝．
＝，所以cos〈BA，BC〉＝60°．
S＝|AB||BC|sin 60°＝××＝
16.设向量 ，若 ，则 .
【答案】5
【解析】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
为
故答案 ：5.
17.如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动
点，且 ，则 的最小值为_________．【答案】 ；
【解析】 ， ，
，
，
解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
18.已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 _________；
_________．
【答案】 ；
【解析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面
直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ； .
19. 已知平面单位向量 ， 满足 ．设 ，，向量 ， 的夹角为 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【解析】 ， ，
，
.
故答案为： .
20.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
，所以 ，
所以 ．
21.在四边形 中，
， 点 在 线 段 的 延 长 线 上 ， 且
，则 _____________．
【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°， 则
， .
因为 ∥ ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 .
由 得 ， ，
所以 .
所以 .
22、已知向量a＝2e－3e，b＝2e＋3e，其中e，e不共线，向量c＝2e－9e，问是否存
1 2 1 2 1 2 1 2
在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解析】 ∵d＝λ(2e－3e)＋μ(2e＋3e)
1 2 1 2
＝(2λ＋2μ)e＋(－3λ＋3μ)e，
1 2要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e＋(－3λ＋3μ)e＝2ke－9ke，
1 2 1 2
即得λ＝－2μ．
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
23．如图,M,N是平行四边形ABCD的边AD,CD的中点,E,F是对角线AC的三等分点,求
证:B,E,M三点共线,且B,F,N三点共线.
【解析】设 =a, =b,则 b, (a+b),
∴ (a+b)-a= (b-2a), b-a= (b-2a).
由 ,得B,E,M三点共线,
同理可得 ,所以B,F,N三点共线.
