4.7 数列求和
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：倒序相加法................................................................... 2
考点二：分组求和法................................................................... 2
考点三：裂项相消法................................................................... 2
考点四：错位相减法................................................................... 3
考点五：奇偶项讨论求和............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：倒序相加法................................................................... 3
题型二：分组求和法................................................................... 5
题型三：等差型裂项相消法.......................................................... 7
题型四：无理型裂项相消法.......................................................... 9
题型五：指数型裂项相消法........................................................ 11
题型六：“+”型裂项相消法........................................................ 14
题型七：错位相减法................................................................. 17
题型八：奇偶项讨论求和........................................................... 19
题型九：通项含绝对值数列求和...................................................26
模块三：综合巩固....................................................................... 29
4.7 数列求和
模块一：基础知识
考点一：倒序相加法
即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前
n 项和.
考点二：分组求和法
1 如果一个数列可写成
n
n
n
c
a
b
的形式，而数列
na
，
nb
是等差数列或等比数列或可转化为能够求
和的数列，那么可用分组求和法.
2 如果一个数列可写成
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
的形式，在求和时可以使用分组求和法.
考点三：裂项相消法
1、等差型
①
)
1
1
(
1
)
(
1
k
n
n
k
k
n
n
特别注意
n
n
n
n
k
n
n
n
n
k
1
1
1
)1
(
1
,1
;
1
1
1
)1
(
1
,1
②
1
1
1
1
(
)
(
1)(
1)
2
1
1
kn
kn
kn
kn
如：
)
1
2
1
1
2
1
(
2
1
1
4
1
2
n
n
n
（尤其要注意不能丢前边的2
1 ）
2、无理型
①
)
(
1
1
n
k
n
k
n
k
n
如：
1
1
1
n
n
n
n
3、指数型
①
1
1
(
1)
1
1
(
)(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
k a
k
a
k
a
k
如：
1
1
2
1
1
(2
)(2
)
2
2
n
n
n
n
n
k
k
k
k
4、通项裂项为“ ”型
如：①
2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
②
1
3
1
2
2
2
( 1)
( 1
1
)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
本类模型典型标志在通项中含有( 1)n
乘以一个分式.
考点四：错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列
nc
的通项公式
n
n
n
c
a
b
，其中
n
a
、
nb
中
一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的
公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法．
考点五：奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
角度1：求
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
的前2n 项和
2n
T
角度2：求
n
n
n
a
n
c
b
n
为奇数
为偶数
的前n 项和
nT
2、通项含有( 1)n
的类型；例如：
( 1)n
n
n
c
a
模块二：题型分类
题型一：倒序相加法
1.设函数
1
1 ln
x
f x
x
，设
1
1
a ，
1
2
3
1
,
2
n
n
a
f
f
f
f
n
n
n
n
n
n
N
L
．
(1)计算
1
f x
f
x
的值．
(2)求数列
na
的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
1,
1
1,
2
n
n
a
n
n
【详解】（1）
1
( )
(1
)
1
ln
1
ln
2
1
x
x
f x
f
x
x
x
；
（2）由题知，当
2
n
时，
1
2
3
1
n
n
a
f
f
f
f
n
n
n
n
L
，
又
1
2
1
n
n
n
a
f
f
f
n
n
n
，两式相加得
1
1
2
2
1
1
2
n
n
n
n
a
f
f
f
f
f
f
n
n
n
n
n
n
2
1
n
，
所以
1
na
n
，
又
1
1
a 不符合
1
na
n
，
所以
1,
1
1,
2
n
n
a
n
n
.
2.已知函数
3
( )
(
1)
2
f x
x
，数列{
}
na
为等比数列，
0
na
，且
1009
e
a
，利用课本中推导等差数列前n 项和
的公式的方法，则
1
2
2017
(ln )
(ln
)
(ln
)
f
a
f
a
f
a
（
）
A．2017
2
B．2017
C．4034
D．8068
【答案】C
【详解】用倒序相加法：令
1
2
2017
(ln )
(ln
)
(ln
)
f
a
f
a
f
a
S
①
则也有
2017
2016
2
1
(ln
)
(ln
)
(ln
)
(ln )
f
a
f
a
f
a
f
a
S
②
由
3
3
( )
(2
)
(
1)
2
(1
)
2
4
f x
f
x
x
x
，
2
2
1
2017
2
2016
1009
e
a a
a a
a
，即有
2
1
2017
2
2016
ln
ln
ln
ln
lne
2
a
a
a
a
，
可得：
2017
1
2016
2
(ln
)
(ln )
(ln
)
(ln
)
4
f
a
f
a
f
a
f
a
，
于是由①②两式相加得2
2017
4
S
，所以
4034
S
．
故选：C
3.已知函数
y
f x
满足
1
1
f
x
f
x
，若数列
na
满足
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
，
则数列
na
的前20 项的和为（
）
A．230
B．115
C．110
D．100
【答案】B
【详解】
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
，①
1
2
1
(1)
(0)
n
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
，②
两式相加，又因为
1
1
f
x
f
x
故2
1
na
n
，所以
1
2
n
n
a
所以
na
的前20 项的和为
1
2
20
2
3
21
= 2
2
2
n
S
a
a
a
20 19
1
20 1
=115
2
2
n
S
故选：B
4.设
4
( )
4
2
x
x
f x
，若0
1
a
，试求：
（1）
( )
(1
)
f a
f
a
；
（2）
1
2
3
1000
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
．
【答案】
1
500
【详解】（1）因为
4
( )
4
2
a
a
f a
，
1
1
4
(1
)
4
2
a
a
f
a
，
所以，
( )
(1
)
f a
f
a
1
1
1
1
1
4
4
2
4
4
2
4
4
4
2
4
2
4
2
4
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
8
2 4
4
1
8
2 4
4
a
a
a
a
.
（2）由（1）可得，
1
1000
2
999
1000
1
1
1001
1001
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
f
f
.
所以，
1
2
3
999
1000
1001
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
f
1000
999
2
1
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
1
1000
2
999
1000
1
1000
1001
1001
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
f
f
，
所以
1
2
3
1000
500
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
.
故答案为：1；500.
5.已知函数
4
( )
4
2
x
x
f x
，则
( )
(1
)
f x
f
x
；数列
na
满足
2016
n
n
a
f
，则这个数列的前
2015 项的和等于
.
【答案】
1
2015
2
/1007.5
【详解】由
4
( )
4
2
x
x
f x
，
得
1
1
4
2
1
4
2
4
2
x
x
x
f
x
，所以
1
1
f
x
f
x
，
设数列
na
前n 项之和为
n
S ，
则
2015
1
2
3
2014
2015
2016
2016
2016
2016
2016
S
f
f
f
f
f
，
2015
2015
2014
2013
2
1
2016
2016
2016
2016
2016
S
f
f
f
f
f
，
两式相加得
2015
2
2015
S
，所以
2015
2015
2
S
，
即这个数列的前2015 项的和等于2015
2
.
故答案为：1；2015
2
.
题型二：分组求和法
1.已知数列
na
的前n项和
n
S ，且
2
n
S
n
n
；
(1)求它的通项
na
(2)若
1
2n
nb
，求数
n
n
a
b
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
*
2
N
na
n n
(2)
nT
2
2
1
n
n
n
*
N
n
【详解】（1）
2
n
S
n
n
，当
1
n 时，
1
1
2
a
S
，
当
2
n
时，
1
2
n
n
n
a
S
S
n
，经验证，
1
2
a
满足
2
na
n
，
*
2
N
na
n n
；
（2）
1
2n
nb
，
1
1
1
2
1,
2
2
n
n
n
n
b
b
b
，
数列
nb
是以首项为1，2 为公比的等比数列，
1
2
1
2
n
n
n
T
a
a
a
b
b
b
2
1
1
2
1
2
n
n
n
2
2
1
n
n
n
；
综上，
*
2
N
na
n n
，
2
*
2
1,
N
n
nT
n
n
n
.
2.已知等差数列
na
的前三项分别为2 ,3,
3
a
a
(1)求
na
的通项公式
(2)若
3 n
a
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
1
na
n
(2)
2
2
3
3
9
2
n
n
n
n
S
【详解】（1）设等差数列
na
公差为d ，由已知
1
2
3
2 ,
3,
3
a
a a
a
a
，
所以2
3
6
a
a
，解得
1
a ，则
1
2
3
2,
3,
4
a
a
a
，
所以公差
2
1
3
2
1
d
a
a
，所以
1
1
1
na
a
n
d
n
.
（2）由题意可得
1
3
1
3
n
a
n
n
n
b
a
n
，
所以
2
3
1
(2
3
4
1)
3
3
..
3n
n
S
n
2
2
2
2
3 1 3
9 3
1
(
3)
3
3
3
9
2
1 3
2
2
2
n
n
n
n n
n
n
n
n
.
3.已知数列
na
满足:
*
1
1
3,
3
4
2,
N
n
n
a
a
a
n
n
.
(1)证明:
2
n
a
n 是等比数列;
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
3
1
2
n
n
n
【详解】（1）由
1
3
4
2
n
n
a
a
n
得,
1
2
1
3
6
3
2
n
n
n
a
n
a
n
a
n
,
又
1
2
1
a
,
故
2
n
a
n 是以1为首项,3为公比的等比数列.
（2）由（1）知,
1
2
3n
n
a
n
,
则
1
3
2
n
n
a
n
,
故
0
1
1
3
2 1
3
2
2
3
2
n
n
S
n
0
1
1
2
3
1
3
3
3
2 1 2
2
n
n
n
n
n
.
4.已知等比数列{
}
na
的各项满足
1
n
n
a
a
，若
2
3
a
，且
2
3a ，
3
2a ，
4a 成等差数列．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)求数列{
}
na
n
的前n 项和．
【答案】(1)
1
3n
na
(2)
2
3
1
2
n
n
n
【详解】（1）设{
}
na
的首项为
1a ，
由于
2
3a ，
3
2a ，
4a 成等差数列，则
2
4
3
3
4
a
a
a
，即
2
2
2
2
3
4
a
a q
a q
，
化简可得
2
4
3
0
q
q
，
又
1
n
n
a
a
，解得
3
q
或
1
q （舍去），
2
1
2
3
n
n
na
a q
；
（2）设数列{
}
na
n
的前n 项和为
n
S ，
则
0
1
2
1
3
1
3
2
3
3
3n
n
S
n
0
1
2
1
3
3
3
3
1
2
3
n
n
1 (1
3 )
(1
)
1
3
2
n
n
n
2
3
1
2
2
n
n
n
2
3
1
2
n
n
n
．
题型三：等差型裂项相消法
1.已知等差数列
na
满足
6
3
6
a
a
，且
1a 与
3
a 的等差中项为5.
(1)求数列{
}
na
的通项公式；
(2)设
1
1
(
N )
n
n
n
b
n
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
3 2
3
n
n
T
n
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d，
∵
6
3
3
6
a
a
d
，即
2
d
，
又∵
1a 与
3
a 的等差中项为5，
∴
2
1
5
a
a
d
，解得
1
3
a
，
∴数列
na
的通项公式为
2
1
N
na
n
n
；
（2）由（1）得
1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
2 2
1
2
3
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，
∴
1
2
1
2
n
n
T
b
b
b
1
1
1
1
1
1
3
5
5
7
2
1
2
3
n
n
1 1
1
2 3
2
3
3 2
3
n
n
n
.
2.已知
na
是等差数列且
5
1
1,
25,
n
a
S
S
为数列
na
的前n 项和，
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
n
n
n
c
a a
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
2
1
n
n
T
n
【详解】（1）设公差为d ，则
5
1
5
10
25
2
S
a
d
d
，
所以
1
1
2
1
na
a
n
d
n
，
（2）
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
c
a a
n
n
n
n
，
所以
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
nT
n
n
n
n
n
3.已知各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
a
a
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足，
*
1
1
1
1
0,
2,
N
n
n
n
b
b
n
n
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
na
n
(2)
3
1 1
1
4
2
1
nT
n
n
【详解】（1）由
2
2
n
n
n
a
a
S
得
2
1
1
1
2
n
n
n
a
a
S
，故两式相减可得：
2
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
S
S
，化简
得
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
由于{
}
na
各项均为正数，所以
1
0
n
n
a
a
，故
1
1
n
n
a
a
（常数），
又当
1
n 时，
2
1
1
1
1
2
2
a
a
S
a
，由于
1
0
a
，故
1
1
a ，
所以数列{
}
na
是以1 为首项，1 为公差的等差数列；
故
na
n
．
（2）由（1）得：
2
n
时，
1
1
1
1
1
1
1
[
]
(
1)(
1)
2
1
1
n
n
n
b
a
a
n
n
n
n
；
所以当
2
n
时，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
[1
...
]
2
3
2
4
3
5
3
1
2
1
1
nT
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
3
1 1
1
1
2
2
1
4
2
1
n
n
n
n
；
当
1
1,
0
n
T
也符合上式，
故
3
1 1
1
4
2
1
nT
n
n
4.设
na
是公差不为0 的等差数列，
3
8
a
，
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式：
(2)设
1
3
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
3
1
na
n
(2)
3
6
4
n
n
S
n
【详解】（1）设
na
的公差为d ，
因为
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列，所以
2
3
1
11
a
a
a
又因为
3
8
a
，所以
28
8
2
8
8
d
d
，所以
2
3
0
d
d
．
因为
0
d
，所以
3
d ，所以
1
1
2
6
8
a
d
a
，得
1
2
a
，
故
2
3
1
3
1
na
n
n
．
（2）因为
1
3
3
1
1
3
1 3
2
3
1
3
2
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
2
5
5
7
3
1
3
2
n
S
n
n
1
1
3
2
3
2
6
4
n
n
n
．
题型四：无理型裂项相消法
1.已知数列
na
满足
1
1
na
n
n
，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
【答案】
n
S
1
1
n
．
【详解】因为
1
1
na
n
n
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
，
所以
2
1
3
2
n
S
1
1 1
n
n
n
．
2.数列
1
1
n
n
的前2022 项和为（
）
A．
2022
1
B．
2022
1
C．
2023
1
D．
2023
1
【答案】D
【详解】因为
1
1
1
n
n
n
n
，
所以数列
1
1
n
n
的前2022 项的和为：
( 2
1)
( 3
2)
( 4
3)
(
)
(
3
2 22
S
2023 1
.
故选：D
3.已知数列
na
的前n 项和
1
*
3
3
N
2
n
n
S
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
3
1
3
1
log
log
n
n
a
a
的前n 项和为
nT ，若
9
n
T
，求n 的值．
【答案】(1)
3n
na
(2)99
【详解】（1）当
2
n
时，
1
1
3
3
3
3
3
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
，
由
1
n 时，
2
1
1
3
3
3
2
a
S
符合上式，
数列
na
的通项公式为
3n
na
；
（2）由（1）得
1
3
1
3
3
3
1
1
1
1
log
log
1
log 3
log 3
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
，
1
1
1
1
2
3
2
n
n
T
n
n
，
则
1
1
9
nT
n
，解得
99
n
.
4.已知等差数列
na
的前n项和为
n
S ，公差为d ，若
2
d
，
9
99
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
n
n
n
b
a
a
（
*
N
n
），求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
2
3
3
2
n
【详解】（1）因为等差数列{an}中，
2
d
，
9
99
S
，
所以
9
1
9 8
9
2
99
2
S
a
，解得
1
3
a
，
所以数列
na
的通项公式为
3
2(
1)
2
1
na
n
n
.
（2）因为
1
1
1
2
3
2
1
n
n
n
b
a
a
n
n
=
1
2
3
2
1
2
n
n
，
则
1
1
1
1
( 5
3)
( 7
5)
( 2
1
2
1)
( 2
3
2
1)
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
=
2
3
3
2
n
.
题型五：指数型裂项相消法
1.已知递增等比数列
na
的前n项和为
n
S ，
6
3
9
S
S
，
1
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a
，且
1
2
3
b
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2n
na
(2)
1
1
1
2
1
n
n
T
【详解】（1）设
na
的公比为q，显然
1
q ，由
6
3
9
S
S
，则
6
6
3
3
3
1
8
S
S
S
S
S
，
即
3
4
5
6
1
2
3
8
a
a
a
q
a
a
a
，解得
2
q =
，
又
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1 2
1
3
a
a
b
a
a q
a
a
，
整理得
2
1
1
4
9
2
0
a
a
，解得
1
2
a
或
1
1
4
a
，
由
1
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a
得
1
na ，当
1
1
4
a
时，由
2
q =
，得
3
1
a ，不合题意，舍去，
故
1
2
a
，所以
1
2
2
2
n
n
na
，所以
na
的通项公式为
2n
na
．
（2）由（1）可得
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
7
7
15
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
T
所以
1
1
1
2
1
n
n
T
．
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
3
1
n
n
S
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
1
3n
na
(2)
3
3
4
2(3
1)
n
n
T
【详解】（1）由已知2
3
1
n
n
S
a
①，
当
1
n 时，
1
1
2
3
1
S
a
，即
1
1
2
3
1
a
a
，解得
1
1
a ，
当
2
n
时，
1
1
2
3
1
n
n
S
a
②，
①②得
1
2
3
3
n
n
n
a
a
a
，即
1
3
n
n
a
a
，
所以数列
na
是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以
1
3n
na
；
（2）因为
1
1
1
3
3
3
1
1
(
)
1
1
(3
1)(3
1)
2
3
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
，
所以
2
1
3
1
1
1
1
1
1
(
)
2
1 1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
n
n
n
T
3
1
1
3
3
(
)
2
2
3
1
4
2(3
1)
n
n
.
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
8
4
n
n
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
1
1
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，若不等式
1
2
2 2
1
n
n
n
T
a
对任意
*
N
n
恒成立，
求实数的取值范围．
【答案】(1)
2 ,
N
n
na
n
(2)
8,
【详解】（1）解：由
2
1
1
2
8
4
n
n
S
，可得
1
2
2
n
n
S
，
当
2
n
时，
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
；
当
1
n 时，
2
1
2
2
2
a
，满足上式，
所以数列
na
为等比数列，其通项公式为
2 ,
N
n
na
n
．
（2）解：由数列
na
的通项公式为
2 ,
N
n
na
n
，
可得
1
1
1
1
1
1
1
2 2
1
2 2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1 2
1
2
1 2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
，
所以
1
2
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
T
b
b
b
1
2
2
2
1
n
，
又由
1
2
2 2
1
n
n
n
T
a
，可得8 2
8
4
n
n
，即
2
4
8 2
8
2
4
8
n
n
n
，
当
2
n
时，
2
2
4
8
n
取得最大值8 ，
故的取值范围为
8,．
4.将正奇数数列1，3，5，7，9，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表.
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列
na
，求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
1
n
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
n
a
n
n
，
N
n
(2)
1
2
2
1
n
n
n
T
【详解】（1）由数表知，
na 为第
1
1
2
1
2
n n
n
n
个奇数，又
第n 个奇数为2
1
n ，则
2
1
2
1
1
2
n
n n
a
n
n
，
N
n
；
（2）由（1）可得
2
1
1
n
n
n
n
b
a
1
2
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
.
则
2
2
3
12
2
2
2
1
2
2
3
nT
1
1
2
2
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
.
5.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1
a ，且数列
2
3
n
n
S
a
是公比为1
3 的等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
1
4
nT
．
【答案】(1)
1
3n
na
(2)证明见解析
【详解】（1）
1
1
1
S
a
，
1
1
2
3
1
S
a
，所以数列
2
3
n
n
S
a
是首项为1，公比为1
3 的等比数列，
所以
1
2
1
3
3
n
n
n
S
a
，
即
1
1
2
3
3
n
n
n
S
a
，从而
1
1
1
2
3
3
n
n
n
S
a
，两式作差得：
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
，
化简得：
1
1 3
3 1 3
0
n
n
n
n
a
a
，即
1
3
1
3
0
n
n
n
a
a
，
所以
1
3
n
n
a
a
，所以数列
na
是以
1
1
a 为首项，以3 为公比的等比数列，
故数列
na
的通项公式为
1
3n
na
；
（2）
1
1
1
2
3
3
1
1
1
1
1
2 3
1
3
1
3
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
，
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 3
1
3
1
2 3
1
3
1
2 3
1
3
1
n
n
n
T
．
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
4
2 3
1
n
n
，
因为
1
1
0
2 3
1
n
，所以
1
4
nT
.
题型六：“+”型裂项相消法
1.已知数列
na
满足：
1
1
1 ,
4
2
n
n
n
a
a
a
n
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
( 1) (2
1)
n
n
n
b
n
a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
2
1
na
n n
(2)
1
1
2
2
1
2
n
n
S
n
【详解】（1）由题意：
3
5
1
2
4
1
2
3
4
1
2
3
4
,
,
,
,
,
3
4
5
6
2
n
n
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
n
，
3
5
1
2
4
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
5
6
2
n
n
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
n
2
1
2
n
n
，
1
1
1
1
2
2
1
,
1
2
1
2
2
1
2
n
n
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
，
1
2
1
na
n n
，将
1
n 代入上式也成立，
1
2
1
na
n n
；
（2）
2
1
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
b
n
a
n n
1
1
1
1
1
2
n
n
n
，
1
2
3
4
5
n
n
S
b
b
b
b
b
b
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
1
1
3
1
1
3
1
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
.
2.设
n
S 为数列
na
的前n 项和，满足
1
1
S ，
1
2
n
n
S
na
其中
*
N
n
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，满足
2
1
4
4
1
n
n
n
n
a
b
a
，则
2023
T
．
【答案】
4048
4047
【详解】当
1
n 时，
1
1
1
a
S
，
1
2
n
n
S
na
①，当
2
n
时，
1
2
1
n
n
S
n
a
②，
两式相减得
1
2
1
n
n
n
a
na
n
a
，即
1
1
n
n
n
a
a
n
，
所以
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
n
n
n
a
n
，
且
na
n
对
1
1
a 也适合，综上，
na
n
，
故
2
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
a
n
b
n
n
n
a
n
n
n
，
2023
1
2
2023
1
1
1
1
1
1
1
1
4048
1
1
3
3
5
5
7
4045
4047
4047
4047
T
b
b
b
.
故答案为：
4048
4047
3.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，满足
1
1
a ，
1
1
1
n
n
nS
n
S
n n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
1
1
n
n
n
n
a
b
S
n
，求数列
nb
的前20 项和
20
T .
【答案】(1)
2
1
na
n
(2) 20
21
【详解】（1）由
1
1
1
n
n
nS
n
S
n n
，得
1
1
1
n
n
S
S
n
n
，
而
1
1
1
1
S
a
，因此数列
n
S
n
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
1
1
1
n
S
n
n
n
，即
2
n
S
n
，
当
2
n
时，
2
2
1
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
，显然
1
1
a 也满足上式，
所以
2
1
na
n
.
（2）由（1）知，
2
n
S
n
，
1
2
1
na
n
，
因此
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
b
n
n
n
n
，
所以
20
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
20
1
1
2
2
3
3
4
4
5
19
20
20
21
21
21
T
.
4.设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
3
5
a ，且
2
1
4
4
1
n
n
a
S
n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
( 1)
2
n
n
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
；
(2)
,
,
2
1
1 ,
.
2
1
n
n
n
n
T
n
n
n
为偶数
为奇数
【详解】（1）因为
2
1
4
4
1
n
n
a
S
n
，所以
2
1
4
4
1
n
n
S
a
n
①，
所以
2
n
时，
2
1
4
4
1
1
n
n
S
a
n
②．
由
①
②，得
2
2
n
n 1
n
4a
a
a
4
，即
2
2
1
2
n
n
a
a
．
因为
na
各项均为正数，所以
1
2
n
n
a
a
，即
1
2
n
n
a
a
，
因为
3
5
a ，所以
2
3
1
2
4
9
a
a
a
，
2
2
1
4
5
a
a
，解得
2
3
a
，
1
1
a ，
2
1
2
a
a
，
所以数列
na
是公差为2 的等差数列，
所以
1
1
2
2
1
na
n
n
．
（2）由（1）得
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
n
n
n
n
b
n
n
n
n
．
当n 为偶数时，
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
2
1
1
1
3
3
5
5
7
7
9
2
1
2
1
2
2
2
2
nT
n
n
1
1
1
2
1
2
1
2
n
n
n
；
当n 为奇数时，
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
2
1
1
1
3
3
5
5
7
7
9
2
1
2
1
2
2
2
2
nT
n
n
1
1
1
1
2
1
2
2
1
n
n
n
．
所以
,
,
2
1
1 ,
.
2
1
n
n
n
n
T
n
n
n
为偶数
为奇数
题型七：错位相减法
1.已知数列
na
的首项
1
3
a
，其前n 项和为
n
S ，且
1
3
2
3
n
n
S
S
n
，
*
N
n
.
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)设
1
n
n
b
n a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
4 3
1
n
na
(2)
1
2
1
3
n
nT
n
【详解】（1）已知
1
3
2
3
n
n
S
S
n
，
当
1
n 时，
2
1
3
5
S
S
，即
1
2
1
3
5
a
a
a
，由
1
3
a
，解得
2
11
a
.
当
2
n
时，
1
3
2
1
3
n
n
S
S
n
，
则
1
1
3
2
3
3
2
1
3
n
n
n
n
S
S
n
S
S
n
相减得
1
3
2
n
n
a
a
.
当
1
n 时，
1
3
2
n
n
a
a
也成立.
所以对于
*
N
n
都有
1
3
2
n
n
a
a
成立.
上式化为
1
1
3
1
n
n
a
a
，所以
1
na
是等比数列，首项为4，公比为3，
则
1
4 3
1
n
na
，即
1
4 3
1
n
na
.
（2）因为
1
1
4
3
n
n
n
b
n a
n
，
则
0
1
2
1
1
2
1
4 3
8 3
12 3
4
3
3
4 3
8 3
4
1
3
4
3
n
n
n
n
n
T
n
T
n
n
，
两式相减得，
0
1
2
1
2
4 3
4 3
4 3
4 3
4
3
n
n
nT
n
4
1 3
4
3
1 3
n
n
n
2
2
4
3
n
n
，
所以
1
2
1
3
n
nT
n
.
2.已知等差数列
na
满足
2
4
a
，
4
5
2
7
a
a
，公比不为1
的等比数列
nb
满足
3
4
b
，
4
5
1
2
8
b
b
b
b
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a b
，求
nc
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
*
3
2,
2
,
N
n
n
n
a
n
b
n
(2)
*
5
3
5 2 ,
N
n
n
S
n
n
【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为,
d q ，
所以有
1
1
1
4
2
3
4
7
a
d
a
d
a
d
和
2
1
3
1
1
4
1
8
1
b q
b q
q
b
q
，
注意到
1
0,
1
b
q
，所以分别解得
1
1
3
a
d
和
1
1
2
b
q
，
因此由定义可知
na
与
nb
的通项公式分别为
1
1
*
1
3
1
3
2,
1 2
2
,
N
n
n
n
n
a
n
n
b
n
.
（2）由（1）可知
1
*
3
2,
2
,
N
n
n
n
a
n
b
n
，
所以由题意有
1
*
3
2
2
,
N
n
n
n
n
c
n
a b
n
，
当
*
2,
N
n
n
时，有
0
1
2
1
1 2
4
2
3
5
2
3
2
2
n
n
n
S
n
n
，
所以有
1
2
1
3
2
1 2
4
2
5
2
3
2
2
n
n
n
n
n
S
，
以上两式作差得
1
2
1
1 3
2
2
2
3
2 2
n
n
n
S
n
1
1
2
1 2
1 3
3
2 2
1 2
n
n
n
1
6
3 2
3
2 2
n
n
n
5
3
5 2n
n
，
当
1
n 时，有
1
1 1
1
5
2
2
1
1 1
S
a b
c
，
综上所述：
nc
的前n 项和为
*
5
3
5 2 ,
N
n
n
S
n
n
.
3.已知数列
na
的前n 项和为
*
1
1
,
1,
1
1
N ,
2
n
n
n
S
a
a
S
n
且
1
2
3
3 ,4
,
13
a
a a
成等差数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
4
1
log
n n
n
a b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
4n
na
；
(2)
8
12
8
9
9 4
n
n
n
T
.
【详解】（1）由
1
1
1
n
n
a
S
，
1
1
a ，则
2
1
1
1
2
a
S
，
2
n
有
1
1
1
n
n
a
S
，则
1
1
1 (
)
1
n
n
n
n
n
a
a
S
S
a
，
所以
1
2
n
n
a
a
，又
2
，显然
2
1
2
a
a
也满足，
故
na
是首项为1，公比为
2
的等比数列，则
1
(
2)n
na
所以
2
3
(
2)
a
，则
2
2
1
3
8
3
13
8(
2)
16
(
2)
a
a
a
，
所以
2
4
4
0
2
，故
1
4n
na
.
（2）由
4
1
log
n n
n
a b
a
，则
1
2
4
n
n
n
b
，
所以
0
1
2
2
1
1
0
1
3
2
...
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
T
，则
1
2
3
1
1
1
0
1
3
2
...
4
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
T
，
所以
1
2
3
1
3
1
1
1
1
2
2
4
2
2
1
...
4
4
4
4
4
4
3
3 4
4
n
n
n
n
n
n
n
T
，则
8
12
8
9
9 4
n
n
n
T
.
4.在等差数列
na
中，
4
7
a
，
3
8
2
35
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)若
n
n
n
a
c
b
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
，
1
3n
nb
(2)
1
1
3
3
n
n
n
T
【详解】（1）解：设等差数列
na
的公差为d ，
则
3
8
4
4
4
2
2
4
3
7
21 7
35
a
a
a
d
a
d
a
d
d
，解得
2
d
，
所以，
4
4
7
2
4
2
1
na
a
n
d
n
n
，
数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S
，
当
1
n 时，则有
1
1
1
3
2
1
b
S
b
，
当
2
n
时，由3
2
1
n
n
b
S
可得
1
1
3
2
1
n
n
b
S
，
上述两个等式作差可得
1
3
3
2
0
n
n
n
b
b
b
，即
1
3
n
n
b
b
，
所以，数列
nb
是首项为1，公比为3的等比数列，则
1
1
1 3
3
n
n
nb
.
（2）解：因为
1
2
1
3
n
n
n
n
a
n
c
b
，则
0
1
2
1
1
3
5
2
1
3
3
3
3
n
n
n
T
，①
可得
2
1
1
1
3
2
3
2
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
，②
①②得
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
T
2
1
2
3n
n
，
故
1
1
3
3
n
n
n
T
.
题型八：奇偶项讨论求和
1.设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
1
3
14,
14
a
a
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
,
log
,
n
n
n
a n
b
a n
为偶数
为奇数，数列
nb
的前2n 项和为
2n
T ，求
2n
T .
【答案】(1)
2n
na
(2)
1
2
2
1
4
4
3
3
n
n
T
n
【详解】（1）由题知
4
1
3
14,
14
a
a
S
，设等比数列
na
的公比为q，显然
1
q ，
则有
3
1
1
3
1
14,
1
14,
1
a q
a
a
q
q
①
②
由①÷②得
1
1
q ，所以
2
q =
，代入①得
1
2
a
，
所以
2n
na
；
（2）由（1）可得
2 ,
,
n
n
n
b
n n
为偶数
为奇数，
所以
2
1
2
2
1
3
2
1
2
4
2
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2
4
2
1
3
5
(2
1)
2
2
2 n
n
4 1 4
1
2
1
2
1 4
n
n
n
1
2
1
4
4
3
3
n
n
.
2.已知数列
na
为正项等差数列，数列
nb
为递增的正项等比数列，
1
1
a ，
1
1
2
2
4
3
0
a
b
a
b
a
b
.
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)数列
nc
满足
,
,
n
n
n
a n
c
b n
为奇数
为偶数，求数列
nc
的前2n 项的和.
【答案】(1)
na
n
，
1
2n
nb
(2)
2
2
1
3
2
2
3
n
n
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d，等比数列
nb
的公比为q，
因为
1
1
a ，
1
1
2
2
4
3
0
a
b
a
b
a
b
，
所以得
2
1
1 3
d
q
d
q
，解得
1
0
q
d
或
2
1
q
d
，
因为数列
na
为正项数列，
nb
为正项递增数列，
所以解得
2
q =
，
1
d ，
所以
1
1
1
na
n
n
，
1
1
1 2
2
n
n
nb
（2）由（1）得
1
,
2
,
n
n
n n
c
n
为奇数
为偶数，
所以数列
nc
的前2 项和为
2
1
3
2
1
2
4
2
n
n
n
T
a
a
a
b
b
b
1
3
2
1
(1 3
2
1)
2
2
2 n
n
12
1 4
(1
2
1)
2
1 4
n
n
n
2
2
1
3
2
2
3
n
n
.
3.已知等差数列
na
的前n项和为
n
S ，且满足
5
2
2
15
a
a
，
9
81
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
,
3 ,
n
n
n
a n
b
n
为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T ．
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
1
2
9
9
2
8
n
n
n
【详解】（1）（1）设数列等差数列
na
的公差为d，
因为
9
81
S
，所以
5
9
1
9
9
81
2
a
a
a
，则
5
9
a
，
因为
5
2
2
15
a
a
，即
2
18
15
a
，所以
2
3
a
，
所以
5
2
9
3
2
5
2
3
a
a
d
，
1
2
1
a
a
d
，
所以
1
1
2
na
n
，即
2
1
na
n
.
（2）因为
,
3 ,
n
n
n
a n
b
n
为奇数
为偶数，所以
2
1,
3 ,
n
n
n
n
b
n
为奇数
为偶数
，
所以
2
4
2
2
1
3
5
3
4
3
3 n
n
T
n
2
4
2
1
5
4
3
3
3
3 n
n
23
1 9
1
4
3
2
1 9
n
n
n
1
2
9
9
2
8
n
n
n
．
4.数列
na
满足
1
16n
n
n
a a
，
1
2
N
a
n
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
,
,
n
n
n
a n
b
b
n n
为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n项和
2n
S
．
【答案】(1)
2
1
2 n
na
(2)
4 16
1
1
15
n
n n
【详解】（1）∵
1
16n
n
n
a a
，
1
2
a
，则
2
8
a
，
∴
1
1
2
16n
n
n
a
a
，两式相除得：
2
16
n
n
a
a
，
当
2
1
n
k
时，
1
3
5
7
2
1
1
3
5
2
3
16k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
，
∴
3
2
4
1
1
2 16
2 k
k
k
a
，即
2
1
2 n
na
，
当
2
n
k
时，
1
6
8
2
4
2
4
6
2
2
16k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
，
∴
1
2
4
1
2
8 16k
k
k
a
，即
2
1
2 n
na
，
综上所述，
na
的通项公式为：
2
1
2 n
na
；
（2）由题设及（1）可知：
2
1
1
2
,
,
n
n
n
n
b
b
n n
为奇数
为偶数，
2
1
2
3
4
2
1
2
1
3
5
2
1
2
4
2
n
n
n
n
n
S
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
L
L
L
1
3
5
2
1
1
3
5
2
1
2
4
6
2
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
n
1
3
5
2
1
2
2
4
6
2
n
b
b
b
b
n
1
5
9
4
3
2 2
2
2
2
2
4
6
2
n
n
2 1 16
4 16
1
2
2
2
1
1 16
2
15
n
n
n
n
n n
5.已知数列
,
n
n
a
b
满足
1
1
1
1
1,
2,
2
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a
.
(1)求
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设数列
nc
满足
,
,
,
.
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
c
b
a
b
求
nc
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
2
2
2
3 2
2,
2
1,
N
5 2
2,
2 ,
N
n
n
n
n
k
k
a
n
k k
,
1
2
2
5 2
4,
2
1,
N
3 2
4,
2 ,
N
n
n
n
n
k
k
b
n
k k
；
(2)
1
2
3
2
1,
1
3,
2
11 2
2
9,
3,
2
1,
N
2
2
9,
4,
2 ,
N
n
n
n
n
n
S
n
n
n
k
k
n
n
n
k k
.
【详解】（1）根据题意可知
2
1
2
1
2
3,
2
2
a
b
b
a
，
2
1
2
2
2
2,
2
2
2 .
n
n
n
n
n
a
b
a
a
a
所以
2
2
2.
2
n
n
a
a
当n 为奇数时，
1
2
1
2
2
2
n
na
a
，即
1
2
3 2
2
n
na
，
所以当n 为偶数时，
2
1
2
3 2
4
n
n
n
b
a
；
当n 为偶数时，
2
2
2
2
2
2
n
na
a
，即
2
2
5 2
2
n
na
，
所以当n 为奇数时，
1
2
1
2
5 2
4
n
n
n
b
a
.
综上，
1
2
2
2
3 2
2,
2
1,
N
5 2
2,
2 ,
N
n
n
n
n
k
k
a
n
k k
,
1
2
2
5 2
4,
2
1,
N
3 2
4,
2 ,
N
n
n
n
n
k
k
b
n
k k
.
（2）由（1）可知当n 为奇数时，若
n
n
a
b
，即
1
1
2
2
3 2
2
5 2
4
n
n
，解得
1
n ，
当n 为偶数时，若
n
n
a
b
，即
2
2
2
5 2
2
3 2
4
n
n
，解得
4
n
，
所以
1
1
1
2
2
,
c
a
b c
b
，当
3
n
时，
n
n
c
a
，
所以
1
1
1
2
1
2
1
2
1,
3
S
c
a
S
c
c
a
b
.
当
3
n
时，且n 为奇数时，
2
1
2
1
2
n
n
S
S
a
a
a
a
a
3
1
2
2
3
0
0
1
1
2
3
(3 2
2
5 2
2
3 2
2
5 2
2
3 2
2
5 2
2
3 2
2)
n
n
n
1
1
2
2
3
3
2
0
1
2
1
2
2
3 [8 (2
2
2
)
3 2
2 ]
4
8
3 2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
1
1
1
2
2
2
8 (2
1)
3 2
1 2
11 2
2
9
n
n
n
n
n
当
4
n
时，且n 为偶数时，
3
2
2
1
2
1
2
2
2
9
n
n
n
S
S
a
a
a
a
a
n
2
2
2
0
0
1
1
2
3
(3 2
2
5 2
2
3 2
2
5 2
2
3 2
2
5 2
2)
4
n
n
2
2
2
0
1
2
1 2
2
3 [8 (2
2
2
)
2 ]
4
8
2
1
1 2
n
n
n
n
3
2
2
=8(2
1)
2
1
2
2
9
n
n
n
n
.
综上，
1
2
3
2
1,
1
3,
2
11 2
2
9,
3,
2
1,
N
2
2
9,
4,
2 ,
N
n
n
n
n
n
S
n
n
n
k
k
n
n
n
k k
6.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数.
(1)记
2
n
n
b
a
，写出
1b 、
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
(2)求
na
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
2
b
，
2
5
b
，
3
1
nb
n
(2)
2
2
3
1,
4
3
,
4
n
n
n
T
n
n
为奇数
为偶数
【详解】（1）解：因为数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数，
所以，
1
2
1 1
2
b
a
a
，
2
4
3
2
1
2 1
5
b
a
a
a
，
1
2
2
2
1
2
2
1
2 1
3
3
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
b
，即
1
3
n
n
b
b
，
所以，数列
nb
是公差为3 ，首项为2 的等差数列，
因此，
2
3
1
3
1
nb
n
n
.
（2）当n 为偶数时，设
2
n
k k
N
，则
2
2
1
1
k
k
a
a
，
2
n
k
，
所以，
2
2
1
2
2
1
2
1
2 3
1
1
6
3
k
k
k
k
a
a
a
b
k
k
，
此时，
2
1
2
3
4
2
1
2
n
k
k
k
T
T
a
a
a
a
a
a
2
2
2
3
6
3
3
3
3
2
2
4
k
k
n
n
k
；
当n 为奇数时，设
2
1
n
k
k
N
，则
1
2
n
k
，
则
2
2
1
2
2
2
3
3
1
n
k
k
k
k
k
T
T
T
a
T
b
k
k
2
2
2
1
1
3
1
3
3
1
3
3
1
2
2
4
n
n
n
k
k
.
综上所述，
2
2
3
1,
4
3
,
4
n
n
n
T
n
n
为奇数
为偶数
.
7.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
3
n
n
S
a
，且
1
3
a
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)已知
1
3
log
,
,
n
n
n
a n
b
a n
为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
3n
na
(2)
2
1
2
1
1
9
3
,
8
8
4
9 3
1
,
8
4
n
n
n
n
n
T
n
n
为奇数
为偶数
【详解】（1）∵
1
2
3
n
n
S
a
，则有：
当
1
n 时，
1
2
2
3
6
S
a
，解得
2
9
a
；
当
2
n
时，则
1
2
3
n
n
S
a
，
两式相减得
1
2
n
n
n
a
a
a
，即
1
3
n
n
a
a
；
注意到
2
1
1
,
3
3
0
a
a
a
，故
*
1
3
n
n
a
a
n
N
，
∴{
}
na
是首项为3，公比为3 的等比数列，
故
1
3 3
3
n
n
na
.
（2）由（1）得
,
3 ,
n
n
n n
b
n
为奇数
为偶数，
当n 为偶数时，
1
2
1
3
1
2
4
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2
4
1 3
1
3
3
3 n
n
2
9 1 9
1
1
2
2
1 9
n
n
n
2
9 3
1
8
4
n
n
；
当n 为奇数时
2
1
1
1
1
1
9 3
1
3
8
4
n
n
n
n
n
n
T
T
b
2
1
1
1
9
3
8
8
4
n
n
；
综上所述：
2
1
2
1
1
9
3
,
8
8
4
9 3
1
,
8
4
n
n
n
n
n
T
n
n
为奇数
为偶数
.
8.已知正项数列
na
的前n 项和
n
S ，且
*
2
N
4
n
n
n
a
a
S
n
，数列
nb
为单调递增的等比数列，
1
2
3
1 2 3
13,
27
b
b
b
bb b
.
(1)求数列
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设
,
,
n
n
n
a n
c
b n
为奇数
为偶数，求
1
2
3
n
c
c
c
c
.
【答案】(1)
2
na
n
，
1
3n
nb
(2)
2
1
2
1
3 3
1 ,
2
8
3 3
1 ,
2
8
n
n
n
n
n
n
为奇数
为偶数
【详解】（1）由
2
4
n
n
n
a
a
S
可知，
1
1
1
2
2 ,
4
n
n
n
a
a
S
n
则
1
1
1
2
2 ,
4
4
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
S
S
化简可得：
1
1
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
1
0,
0
n
n
n
a
a
a
，即
1
2
0
n
n
a
a
，
1
2(
2)
n
n
a
a
n
数列
na
是以2 为公差的等差数列，
1
1
2
na
a
n
，
由
1
1
1
1
2
4
a a
S
a
可知
1
2
a
，
2
na
n
，
又由
nb
为递增的等比数列，且
1 2 3
1
2
3
27
13
bb b
b
b
b
，即
2
1
3
3
10
b
b
b
，
解得
1
1
3
b
q
，
1
3n
nb
.
（2）依题意可知
1
2 ,
3
,
n
n
n n
c
n
为奇数
为偶数，
因此
1
3
5
1
2
3
2
3
6
3
10
3
n
c
c
c
c
1
3
5
(2
6 10
)
3
3
3
,
当n 为偶数时，原式
2
2
1
3 1 3
3
2 2
2
4
3
1
2
2
1 3
2
8
n
n
n n
n
n
，
当n 为奇数时，原式
2
1
1
2
1
1 1
3 1 3
1
1
3
2
2
2
4
3
1
2
2
1 3
2
8
n
n
n
n
n
n
，
综上，
2
1
1
2
3
2
1
3 3
1 ,
2
8
3 3
1 ,
2
8
n
n
n
n
n
c
c
c
c
n
n
为奇数
为偶数
.
题型九：通项含绝对值数列求和
1.设单调递减的等差数列
na
的前n 项和为
2
8
3
7
,
4,
12
n
S
a
a
a
a
.
(1)求数列
na
的通项公式
na 及前n 项和
n
S ；
(2)设数列
na
的前n 项和为
nT ，求
nT .
【答案】(1)
8
2
na
n
，
2
7
n
S
n
n
(2)
2
*
2
*
7 ,
4,
N
7
24,
5,
N
n
n
n n
n
T
n
n
n
n
【详解】（1）因为数列
na
为等差数列，所以
2
8
3
7
4
a
a
a
a
，
又
3
7
12
a
a
，解得
3
7
2
6
a
a
，或
3
7
6
2
a
a
，
又因为数列
na
单调递减，所以
0
d
，
所以
3
7
2
6
a
a
，所以
1
1
2
2
6
6
a
d
a
d
，解得
1
6
2
a
d
，
所以
1
2
1
1
8
2 ,
7
2
n
n
n
n a
a
a
a
n
d
n S
n
n
.
（2）由
2
8
0
na
n
，解得
4
n
，
2
8
0
na
n
，解得
4
n
，即
5
n
，
所以当
4
n
时，
2
1
2
1
7
n
n
n
n
T
a
a
a
a
a
S
n
n
，
当
5
n
时，
2
1
2
1
2
3
4
5
4
2
7
24
n
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
S
S
n
n
，
综上
2
*
2
*
7 ,
4,
N
7
24,
5,
N
n
n
n n
n
T
n
n
n
n
.
2.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，其中
2
10
a
，
6
42
S
．
(1)求数列
na
的通项；
(2)求数列
na
的前n 项和为
nT ．
【答案】(1)
2
14
na
n
(2)
2
2
13
,
7
13
84,
7
n
n
n n
T
n
n
n
【详解】（1）设{
}
na
的公差为d ，
则
2
1
6
1
10
6
15
42
a
a
d
S
a
d
，解得
1
12
2
a
d
，
所以
12
2(
1)
2
14
na
n
n
；
（2）因为
2
14
na
n
，所以
2
12
2
14
13
2
n
n
n
S
n
n
，
当
7
n
时，
2
14
0
na
n
，此时
n
n
a
a
，
2
1
2
1
2
13
n
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
S
n
n
，
当
7
n
时，
2
14
0
na
n
，此时
n
n
a
a
，
1
2
6
7
8
1
2
7
8
9
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
7
7
7
2
13
2 7
13 7
13
84
n
n
S
S
S
S
S
n
n
n
n
，
综上所述：
2
2
13
,
7
13
84,
7
n
n
n n
T
n
n
n
.
3.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，且
2
1
15
2
2
n
S
n
n
.
(1)求
na
的通项公式
(2)若
n
n
c
a
，求
nc
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
8
n
a
n
(2)
2
2
15
,
8,
N
2
2
1
15
56,
9,
N
2
2
n
n
n
n
n
T
n
n
n
n
【详解】（1）由
2
1
15
2
2
n
S
n
n
，
当
2
n
时，可得
2
2
1
1
15
1
15
(
1)
(
1)
8
2
2
2
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
当
1
n 时，
1
1
1
15
7
2
2
a
S
，适合上式，
所以数列
na
的通项公式为
8
n
a
n
.
（2）由
8
n
a
n
，可得
8
n
n
c
a
n
，则
1
2
n
n
T
a
a
a
，
令
0
na
，可得
8
n
，
当
8
n
时，可得
2
1
2
1
2
15
2
2
n
n
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
，
当
9
n
时，可得
1
2
1
2
8
9
10
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
8
9
10
8
8
8
(
)
(
)
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
S
S
S
S
S
，
因为
8
32
60
28
S
，所以
2
1
15
56
2
2
nT
n
n
，
所以
2
2
15
,
8,
N
2
2
1
15
56,
9,
N
2
2
n
n
n
n
n
T
n
n
n
n
.
4.在等比数列
na
中，
0
n
a
n
N
，公比
0,1
q
，且
3
5
4
6
3
9
2
100
a a
a a
a a
，4 是
4a 与
6a 的等比中项．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
log
n
n
b
a
，
1
2
n
n
S
b
b
b
，求
n
S ．
【答案】(1)
7
2
n
na
(2)
2
2
13
1
7,
2
13
84
8,
2
n
n
n
n
n
S
n
n
n
n
N
N
【详解】（1）解：在等比数列
na
中，
0
n
a
n
N
，且
3
5
4
6
3
9
2
100
a a
a a
a a
，
所以，
2
2
4
4
6
6
2
100
a
a a
a
，即
2
4
6
100
a
a
，则
4
6
10
a
a
，
因为4是
4a 与
6a 的等比中项，所以，
4
6
16
a a
，
而
0,1
q
，则
4
6
a
a
，所以，
4
8
a
，
6
2
a
，所以，
6
4
2
1
8
2
a
q
a
，
所以，
4
4
7
4
1
8
2
2
n
n
n
na
a q
.
（2）解：因为
2
log
7
n
n
b
a
n
，
当1
7
n
时，
0
nb
，
6
7
13
2
2
n
n
n
n
n
S
．
当
8
n
时，
0
nb
，
1
2
7
8
9
n
n
S
b
b
b
b
b
b
2
1
2
1
2
7
13
7 6
13
84
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
.
综上所述，
2
2
13
1
7,
2
13
84
8,
2
n
n
n
n
n
S
n
n
n
n
N
N
.
模块三：综合巩固
1．已知等比数列{an}的首项
1
3
a
，公比
2
q =
，则
5S 等于（
）
A．93
B．－93
C．45
D．－45
【答案】A
【分析】由等比数列前n 项和公式可得答案.
【详解】
5
5
5
1
1
1
2
3
93
1
1
2
q
S
a
q
故选：A
2．已知等差数列
na
中，
3
4
a
，
7
10
a
，求数列
na
的前9 项和
9
S （
）
A．64
B．63
2
C．63
D．28
【答案】C
【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列
na
中，
3
4
a
，
7
10
a
，
所以数列
na
的前9 项和
1
9
3
7
9
9(
)
9(
)
9 7
63
2
2
a
a
a
a
S
.
故选：C
3．已知
na
为等差数列，
n
S 为其前n 项和，
2
5
3
1,
8
a
S
S
，则
9S （
）
A．36
B．45
C．54
D．63
【答案】B
【分析】根据题意求出首项及公差，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】设公差为d ，
由
2
5
3
1,
8
a
S
S
，
得
1
5
4
1
1
2
7
8
a
d
a
a
a
d
，解得
1
3
2
a
d
，
所以
2
5
na
n
，
所以
1
9
9
5
9
9
9 5
45
2
a
a
S
a
.
故选：B.
4．已知
na
，
nb
都是等差数列，且
1
1
a ，1
2
b
，10
10
10
a
b
，则数列
n
n
a
b
的前10 项和
10
S 为（
）
A．60
B．65
C．70
D．75
【答案】B
【分析】根据条件可知，数列{
}
n
n
a
b
为等差数列，利用等差数列的前n项和公式，即可求解.
【详解】由{
}
na
，{ }
nb
均为等差数列，所以{
}
n
n
a
b
为等差数列，故而
1
1
10
10
10
10(
)
65
2
a
b
a
b
S
.
故选：B.
5．已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长
减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95 寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480
寸，则冬至的日影长为（
）
A．135 寸
B．130 寸
C．125 寸
D．120 寸
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式列式求解即可.
【详解】由题意得十二个节气的日影长成等差数列，设该等差数列
na
的公差为d ，
则
5
1
4
1
4
95
4 3
4
480
2
a
a
d
S
a
d
，解得
1
135
10
a
d
，
所以冬至的日影长为135 寸.
故选：A.
6．已知数列
3
1
n
与数列
4
1
n
，其中
*
N
n
.它们的公共项由小到大组成新的数列
na
，则
na
的前20
项的和为（
）
A．2380
B．2400
C．2420
D．2440
【答案】C
【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和.
【详解】明显数列
3
1
n
和数列
4
1
n
均为等差数列
令
1
2
3
1
4
1
n
n
，可得
2
1
4
2
3
n
n
，
则
2
2,5,8,
n
，
则数列
na
为等差数列，且
1
4 2 1
7
a
，公差为
4 5 1
4 2 1
12
，
所以
na
的前20 项的和为
20 19
20 7
12
2420
2
.
故选：C.
7．在等比数列
na
中，若
4
2022
506
a a
，
3
4
5
2021
2022
2023
2024
a
a
a
a
a
a
，则
3
4
5
2021
2022
2023
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】排除
1
q 的情况，根据等比数列通项公式和求和公式得到两个等式，相除化简即可.
【详解】等比数列
na
，若
1
q
，则
506
na
或
506
na
，验证不成立；
故
1
q ，
2
20 4
4
2022
2
1
506
a q
a a
，
3
4
5
2021
2022
20
2021
3
2
1
2
2024
1
1
a
a
a
a
a
a
q
a q
q
，
两式相除得到
2021
2
1
2
2024
1
1
1
4
q
a q
q
a q
，即
2021
2020
2021
2
2020
2
2
1
1
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
q
q
q
q
q
a q
q
a q
q
a q
q
，
2021
2
3
4
5
2021
2022
2023
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
q
a
a
a
a
a
a
a q
q
.
故选：D.
8．已知等比数列
na
的前n 项和为
3
6
,
9,
243
n
S
a
a
，若关于n 的不等式
2
3
2
730
0
n
n
a
S
恒成立，则
实数的取值范围为（
）
A．
,27
B．
,54
C．
,27
D．
,54
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式求出
1
3n
na
，
3
1
2
n
n
S
，由题意可得
729
3
3
n
n
恒成立，
运用基本不等式求解即可.
【详解】设等比数列
na
的公比为q，则
3
6
3
a
a q
，即
3
243
9q
，解得
3
q
，
所以
3
1
2
2
9
1
3
a
a
q
，所以
1
1
1
3
1
3
,
1
2
n
n
n
n
n
a
q
a
S
q
，
因为
2
3
2
730
0
n
n
a
S
恒成立，即
2
3
3
1
730
n
n
恒成立，即
729
3
3
n
n
恒成立，
由基本不等式可得
729
729
3
2 3
54
3
3
n
n
n
n
，当且仅当
729
3
3
n
n
，即
3
n
时等号成立，
所以
54
，即实数的取值范围为
,54
．
故选：B .
9．(多选)已知数列
na
满足
1
2
3
2
1
2
n
a
a
n
a
n
，其中
2
1
n
n
a
b
n
，
n
S 为数列
nb
的前n 项和，
则下列四个结论中，正确的是（
）
A．
1
2
a
B．数列
na
的通项公式为：
2
2
1
na
n
C．数列
nb
的前n 项和为：
2
2
1
n
n
S
n
D．数列
na
为递减数列
【答案】ACD
【分析】令
1
n 可求
1a ；利用已知
n
S 求
na 的方法求数列
na
通项公式；利用裂项相消法求数列
nb
的前n
项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.
【详解】因为
1
2
3
2
1
2
n
a
a
n
a
n
，
所以当
2
n
时，
1
2
1
3
2
3
2
1
n
a
a
n
a
n
，
两式相减得
2
1
2
n
n
a
，所以
2
2
1
na
n
，
又因为当
1
n 时，
1
2
a
满足上式，
所以数列
na
的通项公式为：
2
2
1
na
n
，故A 正确，B 错误，
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
a
b
n
n
n
n
n
，
所以
1
2
n
n
S
b
b
b
1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
3
5
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
，
故C 正确；
因为
2
2
1
na
n
，随着n 的增大，
n
a 在减小，所以数列
na
为递减数列，
故D 正确.
故选:ACD.
10．(多选)数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
1
n
n
a
a
n
，下列说法正确的是（
）
A．若
na
为等差数列，则
na
的公差为1
B．若
na
为等差数列，则
na
的首项为1
C．
30
435
S
D．
2
4
3
n
S
n
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的通项公式求解选项A,B；根据数列的前n 项和公式求解选项C,D.
【详解】若
na
为等差数列，则可设
na
An
B
,
所以
1
(
1)
2
2
2
1
n
n
a
a
A n
B
An
B
An
A
B
n
，
所以
2
2
2
1
A
A
B
,解得
1,
1
A
B
,所以
1
na
n
，
所以
na
的首项为0，公差为1，A 正确，B 错误；
30
1
2
3
4
29
30
15 1 57
1 5
9
57
435
2
S
a
a
a
a
a
a
，C 正确；
2
1
2
3
4
2
1
2
1 5
9
4
3
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
n
2
(1
4
3)
2
2
n
n
n
n
，
因为
2
2
2
2
5
1
5
1
2
4
3
2
5
3
2
2 1
0
4
8
4
8
n
n
n
n
n
n
，
即
2
4
3
n
S
n
，D 正确；
故选:ACD.
11．(多选)已知正项等比数列
na
的公比为q，前n 项和为
4
6
,
2,
8
n
S
a
a
，则（
）
A．
2
q =
B．
10
256
a
C．数列
1
na
是递减数列
D．
1
1
2
4
n
n
S
【答案】AC
【分析】根据数列
na
是正项等比数列，
4
6
2,
8
a
a
可得出
1,
a q ，写出
na 及
n
S ，即可判断选项A、B、D；
根据数列单调性的判断方法即可判断选项C.
【详解】由正项等比数列
na
的公比为q可得：
1
1
n
na
a q
，
0
na
，
0
q
.
因为
4
6
2,
8
a
a
所以
3
1
5
1
2
8
a q
a q
，解得
1
1 ,
2
4
a
q
则
1
3
1
2
2
4
n
n
na
.
故选项A 正确；
对于选项B，
9
9
10
1
1
2
128
4
a
a q
，故选项B 错误；
对于选项C，因为
3
2n
na
，所以
2
3
2
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
n
n
n
n
n
a
a
，即
1
1
1
n
n
a
a
，
故数列
1
na
是递减数列，故选项C 正确；
对于选项D，
1
2
1 1 2
1
1
4
2
1
1 2
4
n
n
n
n
a
q
S
q
，故选项D 错误.
故选：AC
12．(多选)已知数列
na
的首项
1
1
1
1,
n
n
n
n
a
a
a
a a
，则（
）
A．
1
na
为等差数列
B．
10
10
a
C．
na
为递增数列
D．
1
n
n
a
的前20 项和为10
【答案】AD
【分析】A 选项，变形得到
1
1
1
1
n
n
a
a
+
-
= ，得到
1
na
为等差数列；B 选项，在A 选项基础上得到
1
na
n
，得
到
10
1
10
a
；C 选项，计算出
1
1
1
0
1
n
n
a
a
n
n
，C 错误；D 选项，分n为奇数和n 为偶数，得到通项公
式，得到前20 项和.
【详解】A 选项，因为
1
1
n
n
n
n
a
a
a a
，所以
1
1
1
1
n
n
a
a
+
-
= ，
所以
1
na
为公差为1 的等差数列，A 正确；
B 选项，因为
1
1
a ，所以
1
1
1
a = ，故
1
1
1
n
n
n
a
，故
1
na
n
，
则
10
1
10
a
，B 错误；
C 选项，
1
na
n
，
1
1
1
0
1
n
n
a
a
n
n
，
na
为递减数列，C 错误；
D 选项，当n 为奇数时，
1
n
n
n
a
，当n 为偶数时，
1
n
n
n
a
，
所以
1
n
n
a
的前20 项和为
1 2
3
4
19
20
1 2
3
4
19
20
10
，D 正确.
故选：AD．
13．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三
十日，问共织布
尺．
【答案】90
【分析】每日织布数看作等差数列，利用等差数列求和公式计算出答案.
【详解】每日织布数可看作等差数列，其中
1
30
5,
1
a
a
，
故30 天共织布
1
30
30
30
15 6
90
2
a
a
S
尺.
故答案为：90
14．如图，第一个正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 的面积是1，取正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 各边的中点
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
,
A B C D E F ，
作第二个正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F ，然后取正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F 各边的中点
3
3
3
3
3
3
,
,
,
,
,
A B C D E F ，作第三个
正六边形，依此方法一直继续下去，则前n个正六边形的面积之和为
．
【答案】
3
4 1
4
n
【分析】根据题设分析出前n个正六边形的面积是首项为1，公比为3
4 的等比数列，应用等比数列前n 项
和公式求面积和.
【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为
3
2
，故它们面积比为3
4 ，
所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为3
4 的等比数列，
所以前n 个正六边形的面积之和
3
1 ( )
3
4
4[1 ( ) ]
3
4
1
4
n
n
S
.
故答案为：
3
4[1 ( ) ]
4
n
15．已知等差数列
na
满足
1
2
8
a
a
，
3
4
24
a
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和为
n
S .
【答案】(1)
4
2
na
n
(2)
2
2
n
S
n
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前n 项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为d ，
由
1
2
8
a
a
，
3
4
24
a
a
，
得
1
1
2
8
2
5
24
a
d
a
d
，解得
1
2
4
a
d
，
所以
2
4
1
4
2
na
n
n
；
（2）
2
2
4
2
2
2
n
n
n
S
n
.
16．记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
5
85
S
，且
6
1
7
a
a
．
(1)求
na 和
n
S ；
(2)设
1
5
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
前n 项和
nT ．
【答案】(1)
6
1
na
n
；
2
3
2
n
S
n
n
；
(2)
6
5
nT
n
n
．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前n 项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设
na
的公差为d ，因为
1
5
5
3
5(
)
5
85
2
a
a
S
a
，所以
3
17
a
，
又
6
1
7
a
a
，所以
17
3
7 17
2
d
d
，解得
6
d
，
所以
3
3
17
3
6
6
1
na
a
n
d
n
n
，
1
2
5
6
1
3
2
2
2
n
n
n a
a
n
n
S
n
n
．
（2）
1
5
5
5
1
1
6
1 6
5
6 6
1
6
5
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，
所以
5 1
1
1
1
1
1
1
1
6 5
11
11
17
6
7
6
1
6
1
6
5
nT
n
n
n
n
5 1
1
6 5
6
5
6
5
n
n
n
．
17．已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
3
3
5
5,
a
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式;
(2)若数列
nb
满足
2 n
a
n
n
b
a
，求数列
na
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
2
2 4
1
3
n
nT
n
【分析】（1）设等差数列
na
的公差为d，由题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得答案；
（2）由（1）的结果可得
2 n
a
n
n
b
a
的表达式，利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n 项和
公式，即可求得答案.
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d，则
1
1
1
2
5
3
3
4
a
d
a
d
a
d
，
解得
1
1
2
a
d
，故
1 2(
1)
2
1
na
n
n
；
（2）由（1）可得
*
1
2
2
1
4
N
2
n
a
n
n
n
b
a
n
n
，
故
2
1
[1 3
5
(2
1)]
(4
4
4 )
2
n
n
T
n
2
4
1 4
(1
2
1)
1
2
4
1
2
2
1 4
3
n
n
n
n
n
.
18．已知数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，且满足
3n
n
n
b
a
，
1
1
a ，
1
2
n
n
S
a
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
102
nT
，求n 的取值范围．
【答案】(1)
na
n
(2)
4
n
【分析】（1）利用退一相减法结合累乘法可得数列
na
的通项公式；
（2）利用错位相减法可得
nT ，进而解不等式.
【详解】（1）由已知
1
2
n
n
S
a
n
，所以
1
2
n
n
n
a
S
，
当
2
n
时，
1
1
2
n
n
na
S
，
两个等式相减得
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
na
a
S
S
n
，
整理可得
1
2
1
n
n
a
a
n
n
n
，
即
1
1
n
n
a
n
a
n
，
1
2
1
2
n
n
a
n
a
n
，
2
3
3
2
n
n
a
n
a
n
，L，
3
2
3
2
a
a
，
2
1
2
1
a
a
，
等式左右分别相乘可得
1
1
na
n
a
，
因为
1
1
a ，所以
na
n
，
（2）由（1）得
3
3
n
n
n
n
b
a
n
，所以
1
2
3
1 3
2 3
3 3
3n
nT
n
①，
所以
2
3
4
1
3
1 3
2 3
3 3
3n
nT
n
②，
①②，得
2
3
1
2
3
3
3
3
3
n
n
nT
n
，
即
1
1
3 3
2
3
1 3
n
n
nT
n
，
所以
1
2
1 3
3
4
n
n
n
T
，
则
1
2
3 3
3
4
n
n
n
T
，
1
1
2
1 3
3
2
3 3
3
3
0
4
n
n
n
n
n
n
n
T
T
n
恒成立，
所以
1
2
1 3
3
4
n
n
n
T
是关于n 的增函数，且
3
102
T
，
所以
102
nT
，所以
3
n
，即
4
n
.
19．已知数列
na
的首项为2 ，且
2
2
1
1
1
2
4
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a a
a
，
0
na
，
*
nN .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
n
n
b
S
，求数列
nb
的前2023项和.
【答案】(1)
2
na
n
(2) 2023
2024
【分析】（1）由递推公式因式分解为
1
1
0
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
，即可得到
na
是以2 为首项，2 为公比
的等差数列，从而得到其通项公式；
（2）首先求出
n
S ，从而得到
1
1
1
1
n
n
S
n
b
n
，再利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为
2
2
1
1
1
2
4
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a a
a
，
所以
1
1
0
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
，又
0
na
，所以
1
0
2
n
n
a
a
，
所以
1
2
n
n
a
a
，
所以数列
na
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
2
na
n
.
（2）由（1）可得
2
2
1
2
n
n n
S
n n
，
所以
1
1
1
1
1
1
n
n
b
S
n n
n
n
，
设数列
nb
的前n 项和为
nT ，
则
2023
1
1
1
1
1
1
2023
1
1
2
2
3
2023
2024
2024
2024
T
.
20．已知两个等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT
. 若
5
5
2
a
b ，则
9
9
S
T
.
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式、等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，
5
5
2
a
b
，
所以
1
9
9
5
1
9
9
5
9(
)
9
2
2
9(
)
9
2
a
a
S
a
b
b
T
b
.
故答案为：2
21．设
n
S 是等差数列
na
的前n 项和
1,
n
n
N ，若
2
4
6
9
a
a
a
，则
7
S
.
【答案】21
【分析】由等差数列性质，得
2
4
6
4
3
9
a
a
a
a
，结合等差数列前n 项和公式即可得.
【详解】由
na
是等差数列，则
2
4
6
4
3
9
a
a
a
a
，即
4
3
a
，
则有
1
7
4
7
4
7
2
7
7
21
2
2
a
a
a
S
a
.
故答案为：21.
22．已知数列
na
的前n 顶和为
n
S .且
*
1
1
1
1,
3
n
n
a
S
a
n
N
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)在数列
nb
中，
4
log
n
n
n
b
a
S
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
1
3·4
2
n
n
n
a
n
(2)
2
1
4
2
n
n
n
n
T
，
*
N
n
【分析】（1）利用
1
1
1
2
n
n
n
a
n
a
S
S
n
求通项公式；
（2）转化为等差数列、等比数列，分组求和.
【详解】（1）当
1
n 时，可得：
2
1
1
3
3
3
a
S
a
；
当
2
n
时，
1
1
3
n
n
S
a
，
1
1
3
n
n
S
a
，两式相减，得：
1
1
3
n
n
n
a
a
a
，即
1
4
n
n
a
a
，
所以：
2
1
1
3·4
2
n
n
n
a
n
.
（2）当
1
n 时，
1
1
b ；
当
2
n
时，
1
1
1·3·4
4
3
n
n
n
S
，所以
2
3·4
1
n
nb
n
，
所以：
0
1
2
2
1
3 4
4
4
··· 4
1
2
3 ···
1
n
n
T
n
1
1
1
4
1
3· 1
4
2
n
n
n
2
1
4
2
n
n
n
，
1
n 时，
1 1
1 1
4
1
2
，上式也成立.
所以：
2
1
4
2
n
n
n
n
T
，
*
N
n
23．数列
na 的前n 项和
n
S ，已知
2
1
4
a
a
，
2
n
n
S
na
n
k n
N
，k 为常数.
(1)求常数k 和数列
na
的通项公式；
(2)数列
1
n
S
的前n 项和为
nT ，证明：4
1
3
3
2
1
2
nT
n
.
【答案】(1)
4
3
na
n
，
0
k
(2)证明见解析
【分析】（1）利用
1
n
n
n
S
S
a
，
2
n
和累加法求
na ，然后根据等差数列求和公式求k ；
（2）利用裂项相消和放缩的思路证明.
【详解】（1）由2
n
n
S
na
n
k
得
1
1
2
1
1
n
n
S
n
a
n
k
，
2
n
，
两式相减的
1
2
1
1
n
n
n
a
na
n
a
，整理得
1
1
2
1
n
n
n
a
n
a
，
当
2
n
时，得
1
1
a ，
2
1
4
5
a
a
，
当
3
n
时，
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
，
1
2
1
1
2
3
3
2
n
n
a
a
n
n
n
n
，L，
3
2
1
1
2
1
2
a
a
，
相加得
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
3
2
1
1
na
a
n
n
n
n
n
L
，
所以
4
3
na
n
，
3
n
，
当
1
n ，2 时符合
4
3
na
n
，
所以
4
3
na
n
，
则
1
2
2
2
n
n
n
a
a
S
n
n
，
2
2
4
3
2
2
2
2
n
n
na
n
k
n
n
n
k
k
S
n
n
，
则
0
2
k
，即
0
k
.
（2）由（1）得
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
n
S
n
n
n
n
n
n
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
3
5
5
7
2
1
2
1
3
2
1
nT
S
n
n
n
L
，
因为
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
n
S
n
n
n
n
，
2
n
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
2
4
4
6
2
2
2
2
2
2
nT
S
n
n
n
L
，
综上可得，4
1
3
3
2
1
2
nT
n
.
24．已知数列
na
满足
1
1
a ，且点
1
1
1
,
n
n
a
a
在直线
2
y
x
上
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)数列
1
{
}
n
n
a a
前n 项和为
nT ，求能使
3
12
nT
m
对
*
nN 恒成立的m （mZ ）的最小值．
【答案】(1)
1
2
1
na
n
(2)5
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据裂项相消求得
nT ，并结合不等式恒成立得出结果.
【详解】（1）由点
1
1
1
,
n
n
a
a
在直线
2
y
x
上得
1
1
1
2
n
n
a
a
，
所以数列
1
na
是以首项为
1
1
1
a = ，公差为2 的等差数列，
故
1
1
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
，即
1
2
1
na
n
．
（2）
1
1
1
1
1
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
n
n
a
a
n
n
n
n
，
所以
1
1
1 1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
5
2 2
1
2
1
nT
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
1
n
n
n
1
2
，
要使
3
12
nT
m
对
*
nN 恒成立，
1
3
12
2
m
，即
25
6
m
，
又mZ ，所以m 的最小值为5．
