文档内容
专题 08 数列中含绝对值与奇偶项的问题
目录（Ctrl 并单击鼠标可跟踪链接）
题型 01 含绝对值求和问题 ............................................................................................................................................................. 1
题型 02 等差、等比数列奇偶项和的性质 ................................................................................................................................. 4
题型 03 含奇偶项的数列求和问题 ............................................................................................................................................... 7
题型 01 含绝对值求和问题
【解题规律·提分快招】
1、对于首项小于 0 而公差大于 0 的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和为
的前 项和为 ,数列 的第 项小于 0 而从第 项开始大于或等于 0,于是有
2、对于首项大于 0 而公差小于 0 的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和为
的前 项和为 ,数列 的第 项大于 0 而从第 项开始小于或等于 0,于是有
。
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·四川成都·二模）已知数列 的前 n 项和 ，且 的最大值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前 15 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，求得 ，结合 ，即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）求得 ，结合 ，即可求解.
【详解】（1）解：由数列 的前 n 项和 ，
根据二次函数的性质，可得当 时， 取得最大值，
即 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， （符合上式），
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
且当 且 时，可得 ；当 且 时，可得 ，
所以数列 的前 15 项和： ．
2．（24-25 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前 n 项和公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）根据 的符号，讨论 、 ，结合等差数列前 n 项和公式求 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，又 ， ，
所以 ，解得 ， ，
所以 .
（2）由（1）知 ，2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
当 时， ，
当 时， .
综上， .
3．（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2) ， .
【分析】（1）利用 得出数列 是等比数列，从而可得通项公式；
（2）由已知求得 ，得出 是等差数列，求出其前 项和，然后根据绝对值的性质得出数列 与
的前 项和的关系，从而求得结论．
【详解】（1）由 ，则当 时
两式相减得 ，所以 .
将 代入 得， ，
所以对于 ，故 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 .
（2） .
，
因为当 时 ，当 时 ，
所以当 时， ，
当 时， .
故 .3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司题型 02 等差、等比数列奇偶项和的性质
【解题规律·提分快招】
1、等差数列中
①若项数为偶数 ，则 ； ； ．
②若项数为奇数 ，则 ； ； ．
2、等比数列 中，若项数为 ，则 ；若项数为 ，则 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·河北沧州·阶段练习）设 为等差数列 的前 项和.若公差 ，且 ，则
的值为（ ）
A．60 B．70 C．75 D．85
【答案】A
【分析】设等差数列的奇数项的和为 P，偶数项之和为 Q，由等差数列的性质列方程组，可求出 P、Q 的值，
从而可得出结果.
【详解】设 ，
因为数列 是等差数列，且公差 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列 所有项之和为所有奇数项之和的 3
倍，前 2 项之积为 8，则 （ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2 或-2
【答案】D
【分析】设数列共有 项，设所有奇数项之和为 ，由题意表求出 和 ，利用 求出公比 ，再结
合 求出 即可.
【详解】设首项为 ，公比为 ，数列共有 项，则 满足首项为 ，公比为 ，项数为 项，设所4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司有奇数项之和为 ，
因为所有项之和是奇数项之和的 3 倍，所以 ，
所以 ， ，
故满足 ，解得 ，
又 ，
所以 .
故选：D
3．（23-24 高三上·重庆·期中）已知等比数列 有 项， ，所有奇数项的和为 85，所有偶数项的
和为 42，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为 ，偶数项为
，得到等比数列的公比 q 的值，然后用等比数列的前 n 项和的公式求出 n 即可．
【详解】因为等比数列有 项，则奇数项有 项，偶数项有 项，设公比为 ，
得到奇数项为 ，
偶数项为 ，整体代入得 ，
所以前 项的和为 ，解得 .
故选：B
4．（2024·重庆·二模）已知等差数列 的前 30 项中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为 ，首项为 ，
则 ，所以 ，
因为 ，即 ，则 ，
等差数列的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列，等差数列 的前 30 项中奇数项有 15 项，所以5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司，得 ，
所以 .
故选：B
5．（23-24 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 的项数为 其中奇数项之和为
偶数项之和为 则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直
接代入等差数列的前 项和公式，结合等差中项的性质化简即可.
【详解】项数为 的 中奇数项共有 项,
其和为
项数为 的 中偶数项共有 项, 其和为
所以 解得
故选: A.
6．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正项等差数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．1012 C．2024 D．4048
【答案】B
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到 ，从而得到 ，即可得解.
【详解】因为 为等差数列，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故选：B
题型 03 含奇偶项的数列求和问题
【解题规律·提分快招】
1、项数问题
①数列项数是 2n 项，那么奇数和偶数分别是 n 项；
②数列项数是 2n+1 项，那么奇数为 n+1 项，偶数为 n 项；
③当项数是 n 项时，要分 n 为奇数和 n 为偶数；
2、常见类型
① ，求 的值；则
② ，求 的值
（1）n 为奇数时，有 个奇数项，有 个偶数项，则
（2）n 为偶数时，有 个奇数项，有 个偶数项，则
3、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题： 或
②含有 类型
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·山东·阶段练习）已知数列 为正项数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：构造数列 是恒为 的常数列，结合 可得出数列 的通项公式；
解法二：利用累加法结合 可求得数列 的通项公式；
（2）利用并项求和法结合分组求和法可求得 .
【详解】（1）解法一（构造常数列）：由 ，且 ，7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
故数列 是恒为 的常数列，所以 ，
又因为数列 为正项数列，所以 .
解法二（累加法）：由题意得： 且 ，
有 ， ， ， ，
将以上各式相加，得 ，
将 代入上式即得 ，且当 时也成立，所以 ，
又因为数列 为正项数列，所以 .
（2）由（1）可得 ，令 ，其前 项和为 ，
对任意的 ， ，则 ，
又因为 ，
所以 .
2．（24-25 高三上·江苏常州·期末）已知数列 满足 ．
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）根据已知可得 ，验证 是否满足要求，即可得结果；
（2）根据已知可得 ，且 ，讨论 的奇偶性得 关系，应用分组求和及已知列方程求 .
【详解】（1）由 ①，
当 时， ②，
① ②则 ，又 满足上式，
所以 ．
（2）由（1），知 ，则 ，故 ，8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司所以 ，且 ，
若 为偶数， ，则 ；
若 为奇数， ，则 ；
故 ，
解得 或 ．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 中， ，求数列 的前 n 和．
【答案】
【分析】根据题意，由递推关系可得 ，再由累加法以及等比数列的求和公式可得
，再由分组求和法，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，则 ，
两式相减作差可得 ，
所以 ，
即 ，
累加可得 ，
又 ，当 时， ，所以 ，
即 ，设数列 的前 n 和为 ，
则
.
4．（2024 高三上·山东济南·专题练习）已知数列 的前 n 项和为 ， ，
(1)证明：数列 为等比数列；9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得到当 ， 时， ，且有 ，由等比数列的
定义即可证明结果；
（2）由（1）及条件可得 ， ，再利用等比等差数列前 项和公式分
组求和，即可求解 ．
【详解】（1）证明：因为 ，
所以当 ， 时， ，
即
又 时， ，
所以数列 为首项为 1，公比为 3 的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
所以
5．（23-24 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)设 ，写出 ；
(2)证明数列 为等比数列；
(3)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知的数列递推关系，分别代入计算 的前三项.
（2）通过分析 的递推关系，利用等比数列的定义来证明 为等比数列.10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（3）先求出 的通项公式，再根据 与 的关系求出 .
【详解】（1）已知 ，因为 ，所以 .
当 时， ，即 .
当 时， .
先求 ，因为 为偶数， .
再求 ，因为 为奇数， ，即 .
当 时， .
先求 ，因为 为偶数， .
再求 ，因为 为奇数， ，即 .
（2）由 可得 .
所以 .
则 . 又 .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（3）由（2）可知 ，则 .
.
因为 ， .
所以 .
即 .
由等比数列求和公式可得 .
所以 .
6．（24-25 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)11
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据 与 之间的关系可知 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，结合等比数列
通项公式可得 ，利用等差数列通项公式分析求解；
（2）根据题意可知： 的奇数项为以 为首项，4 为公比的等比数列；偶数项是以 为首项，2
为公差的等差数列，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）当 时， ，且 ，所以 ；
当 时，由 ，得 ，则
，可得 ，
即 ，且 ，可得 ，
可知数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
则 ，可得 ，
且 ，可知 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 .
（2）由（1）可知 ，
可知 的奇数项为以 为首项，4 为公比的等比数列；偶数项是以 为首项，2 为公差的等差数列.
当 时， ；
当 时， ；
综上所述： .
7．（24-25 高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知在数列 中， ，且满足 .
(1)求证：数列 是等比数列.12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(2)设数列 满足 ，求最小实数 ，使得 对一切正整数 均
成立.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定的递推公式，取倒数变形，结合等比数列定义推理得证.
（2）由（1）求出通项公式，再利用分组求和及裂项相消法求和，并借助单调性求出 范围即可得解.
【详解】（1）依题意， ，由 ，得 ，则 ，
由 ，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，数列 ，
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
因此
，
而数列 是递减数列，则数列 是递增数列，
因此 恒成立，又 恒成立，则 ，
所以 m 的最小值为 .
8．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知等差数列 满足： 公差 且 恰为等比数列
的前三项．
(1)求数列 与 的通项公式：
(2)若数列 满足： 求数列 前 n 项和 ;13
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(3)求 的前 n 项和
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得 ，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列
的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；
（2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果；
（3）根据题意，分 为奇数与 为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由 为等比数列可得 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍），
所以 ，
又 的前三项为 ，即 ，即 ，
公比 ，所以 .
（2）因为 ，
则
.
（3）因为 ，即 ，
设数列 的前 项和为 ，
当 为奇数时，
；
当 为偶数时，14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司；
综上所述， .
9．（24-25 高三上·天津南开·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ，
， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)对任意的正整数 ，设 ，求 ；
(3)若对于数列 ，在 和 之间插入 个 ，组成一个新的数列 ，记数列 的前 项和为
，求 .
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)2170.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前 项和公式求出公比，进而
求出通项公式.
（2）由（1）的结论，分奇偶求出 的通项，并结合裂项相消法及错位相减求出对应前 项和，再利用分
组求和法求解.
（3）根据给定条件，求出数列 的前 2025 项中数列 的项及 1 的个数，再分组求和即得.
【详解】（1）在等差数列 中， ，而 ，解得 ，
公差 ，则 ；
设等比数列 的公比为 ， ，由 ，得 ，
即 ，解得 ， ，
所以数列 和 的通项公式分别为 ， .
（2）由（1）得，当 为奇数时， ，
则 ；15
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司当 为偶数时， ， ，
，
则 ，
两式相减得
，因此 ，
所以 .
（3）依题意，数列 ：
项为 前的总项数为 ，
数列 是递增的，当 时， ，
当 时， ，
因此数列 的前 项中，有数列 的前 项，有 个 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
②对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
③对于 结构，利用分组求和法；
④对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相消法求
和.
一、填空题
1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知等差数列 共有 项，奇数项之和为 60，偶数项之和为 54，
则 ．
【答案】10
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】奇数项有 项，偶数项有 项，所以奇数项和为 ，偶数项和为
，
故 ，解得 .
故答案为：10
2．（2024 高三·全国·专题练习）等比数列 共有 2n 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，
则公比 .
【答案】 /
【分析】结合题意列方程组分别求出 ， ，再由等比数列的性质求出结果即可.
【详解】设等比数列 的奇数项的和、偶数项的和分别为 ， .
由题意可得
解得
所以 ．
故答案为： .
3．（24-25 高三上·全国·课堂例题）若等比数列 共有奇数项，其首项为 1，其偶数项和为 170，奇数项和
为 341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
【答案】 2 9
【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前 n 项和公式列式计算即可得解.
【详解】在等比数列 中，由 ，得 ，解得 ，
设这个数列共有 项，则 ，解得 ，所以这个等比数列的项数为 9.
故答案为：2；9
4．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知等比数列 共有 2n 项，其和为 ，且
，则公比 ．
【答案】2
【分析】根据题意可得 ，结合等比数列的性质运算求解.17
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ，
由题意可知： ，解得 ，
所以 ．
故答案为：2.
5．（2024 高三上·全国·专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，且奇数项和为 ，偶数项和为 ，则
数列的中间项为 ；项数为 ．
【答案】
【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到 ，由此可得项数和中间项.
【详解】设等差数列 的项数为 ，
则 ，
，
，解得： ，即等差数列 的项数为 ；
项的数列的中间项为第 项，即 ，
由 得： ，解得： ，即中间项为 .
故答案为： ； .
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的前 40 项和
为 .
【答案】
【分析】根据题中递推式可求得 ， ，即 的奇数项为首项为 1 公差为 5 的等
差数列，偶数项是首项为 3 公差为 5 的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为 ， ，又 ，所以 ，
即 ，所以数列 的奇数项是以 1 为首项，5 为公差的等差数列；
同理，由 知，数列 的偶数项是以 3 为首项，5 为公差的等差数列．
所以 前 40 项和为
．
故答案为： .18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司二、解答题
7．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③中再选取一
个作为条件，解决下面问题．① ；② ；③ ．
(1)求 的最小值；
(2)设 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，分别选择①②③，求得公差 的值，结合等差数列的通项公式
和前 项和公式，即可求解；
（2）由（1）中的通项公式，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，且 ．
选择①：（1）因为 ，所以 ，解得 ．
所以 ，则 ，
利用二次函数对称性和开口方向知， 关于 对称，
因为 ，所以当 或 6 时， .
选择②：因为 ，可得 ，
因为 ，所以 ，此时 ，所以 ，
因为 ，所以 单调递增，且当 时， ．
所以当 或 11 时， 最小，此时 .
选择③：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ，
利用二次函数对称性和开口方向知， 关于 对称，
因为 ，所以当 或 6 时， .
（2）解：若选择①或③：由（1）知 ，当 时， ，
所以
.19
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司若选择②：由（1）知 ，且当 时， ，且 ，
所以
.
8．（24-25 高三上·河北衡水·开学考试）已知 为数列 的前 n 项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 n 项和 ．
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由 解 的方式解出 ，进而解出 ；
（2）分类讨论去除绝对值解出 即可.
【详解】（1）因为 ，且 ，
当 时， ，
得 ，
整理得： ，
所以 为首项是 ，公差为 的等差数列，
所以 .
（2）由 ，所以当 时， ，当 时， ；
所以当 ， ，
当 时， ，
而 ，
所以 .
9．（24-25 高三上·全国·自主招生）若 表示正整数 n 的最大奇数因数 ，记
，求 .
【答案】
【分析】由 表示 的最大奇数因数，可归纳得 ， ， ，将 分组，分成奇数项
和偶数项的和，可得 ，累加法整理即可得到 .20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，
结合 的定义可以发现： ， ， ，
当 时，
，
于是 ， ， ．
，
．
所以 ．
10．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列 为等比数列，公比 ，前 项和为 ，数列 为
等差数列，且 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式：
(2)若 ， ，且数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式列方程组，解方程组即可；
（2）根据数列 的递推公式，利用累加法可得奇数项的通项公式，再结合并项求和的方法可得解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，
得 ，即 ，
解得 ，或 ，
又 ，
所以 ，
即 ， ；
（2）由（1）得 ，则 ，21
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司当 为奇数时， ，
则 ， ， ， ，
等式左右分别相加的 ，
则 ，
当 为偶数时， ，
则
.
11．（24-25 高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求证:数列 为等比数列;
(2)已知 ，求数列 的前 2n 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当 n=1 时代入求出 ，当 时仿写作差即可；
（2）将数列 的前 2n 项和转化为 ，利用等比数列的求和公式求出 ，利用错位相减法求出
即可；
【详解】（1）当 n=1 时， ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，
两式相减得 ，所以 ，
又因为 ，所以 是首项为 ，公比为 2 的等比数列.
（2）由（1）可知 ，
所以 ，
设数列 的前 项和为 ，
所以 ，
即 ，22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司令 ，知 ，
， ，
作差得 ，化简 ，
所以
12．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知 是正项递增的等比数列，且 ， ．数列
是等差数列，且 ．
(1)分别求数列 和数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前 n 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）应用等比数列通项公式建立方程组可解出 ，利用待定系数法可求出 ；
（2）应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出 .
【详解】（1）解：设等比数列 的公比为 q，且有 ，
由于 解得
所以数列 的通项公式为 ．
由于 是等差数列，设 ，
则有 ，
所以 ,解得
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由（1）知， ，
所以23
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司．
13．（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 ，求解 通项公式；
（2）利用分组求和，裂项相消，分类讨论求解前 项和.
【详解】（1）根据题意可得， 是正项数列， ，
当 时， ，解得 （舍去），
当 时，由 得 ，
两式相减得 ，
即 ，由于 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 .
（2）由（1）得
所以①当 为偶数时,24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司,
②当 n 为奇数时,
所以 .
14．（24-25 高三上·广东佛山·阶段练习）设各项非零的数列 的前 n 项和记为 ，记 ，
且满足 ，
(1)求 ， 的值，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）依据题意列出关于 的方程即可求得 的值，依据等差数列的定义去证明数列 为等差数
列，进而求得 的通项公式；
（2）先求得数列 的通项公式，再分类讨论去求数列 的前 项和 ．
【详解】（1）由题意可知， ，且 ，
解得： 或 （舍去）,
又当 时， ，所以有 ,25
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司化简得： ，则 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）及题设可知， .
当 时， ，
当 时， .
.
①当 是奇数时，
当 时，
当 时，
，
当 时，也适合上式，
即： ， 且 为奇数；
②当 是偶数时，
.
即： ， 且 为偶数；
综上所述； .26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司27
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
