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专题 02 数学物理方法
1.三角形相似法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。
具体方法应用：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四
边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变
化。
2．正弦定理法（或拉密定理法）
（1）正弦定理：在如图所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即：＝＝。
（2）拉密定理：
在三力平衡问题中，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
拉密定理：3．三角函数辅助角公式法
三角函数：y＝acos θ＋bsin θ，y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中tan α＝.
当θ＋α＝90°时，有极大值y ＝.
max
4.均值不等式法
由均值不等式a＋b≥2(a>0，b>0)可知：
(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，和最小；
(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，积最大．
5.二次函数法
二次函数：y＝ax2＋bx＋c
(1)当x＝－时，有极值y ＝(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)。
m
(2)利用一元二次方程判别式求极值，用判别式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的极值。
6.数学归纳法和数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是与原来完全相同的
重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问
题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差数列：S＝＝na＋d(d为公差)．
n 1
等比数列：S＝(q为公比)．
n
方法一：三角形相似法【方法演练1】如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆
的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机
上。开始时，杆BC与AC的夹角 ，现使 缓缓变小，直到 。在此过程中，
（不计一切阻力）（ ）
A．绳上的拉力逐渐增大
B．杆BC对B点的作用力大小不变
C．杆BC对B点的作用力先减小后增大
D．绳子对滑轮A的作用力变小
【答案】BD
【详解】BC．对结点B受力分析，由平衡条件可画出力的示意图
由相似三角形可得 可得杆 对B点的作用力大小为 在 变小的过程中，
由于AC、BC长度不变，故N不变，故B正确，C错误；
A．同理可得绳上的拉力大小为 在 变小的过程中，由于AC不变，AB缩短，故T减小，
故A错误；
D．设滑轮两边绳子的夹角为 ，根据几何关系可知 变大，绳子对滑轮A的作用力为
变小， 变小，则 变小，故D正确。故选BD。方法二：正弦定理法（或拉密定理法）
【方法演练2】如图a所示，工人用推车运送石球，到达目的地后，缓慢抬起把手将石球倒出（图b）。若
石球与板OB、OA之间的摩擦不计，∠AOB＝60°，图a中BO与水平面的夹角为30°，则在抬起把手使OA
变为水平的过程中，石球对OB板的压力N 、对OA板的压力N 的大小变化情况是（ ）
1 2
A．N 变小、N 先变大后变小 B．N 变小、N 变大
1 2 1 2
C．N 变大、N 变小 D．N 变大、N 先变小后变大
1 2 1 2
【答案】A
【详解】以石球为对象，受力如图所示
缓慢抬起过程中，石球受力平衡，结合数学知识可得 其中 和 不变，在转动过程中
从90°增大到180°，则 不断变小， 将不断变小； 从150°减小到60°，其中跨过了90°，因此
先变大后变小，则 将先变大后变小。故选A。
方法三：三角函数辅助角公式法
【方法演练3】2022年10月网上一保安用绳子轻松溜石头的视频火了如图所示，石头在保安的拉动下做滚
动，石头的运动过程可以简化成匀速运动。设石头的质量为m，拉动时石头与地面的动摩擦系数为μ，绳
子（质量不计）对石头的拉力大小为F、与水平方向的夹角为θ。下列有关说法正确的是（ ）A．石头受重力、地面的支持力、绳子的拉力
B．石头受到沿水平方向的摩擦力大小为Fcosθ
C．石头对地面的压力为
D．当tanθ=μ时，绳子的拉力最小
【答案】BCD
【详解】A．石头受重力、地面的支持力、绳子的拉力、地面给的摩擦力，A错误；
BCD．根据正交分解得 解得 对上式做数学变换得
上式中 ，则当 （ ）时
F取得最小值 ，BCD正确。故选BCD。
方法四：均值不等式法
【方法演练4】如图所示，OA是竖直线，OB是水平线，点A距离点O的高度为h（h可调节），点B与点
O间的距离为x（x已知）。将一小球从A点以合适的速度水平抛出，每次都能击中水平面上的B点。不计
空气阻力，则（ ）
A．h越大，小球到达B点时的动能越大B．小球到达B点时的动能为
C．小球到达B点时的动能最小值为mgx
D．h越大，小球到达B点时重力的瞬时功率越大
【答案】CD
【详解】ABC．设小球运动时间为t，水平初速度为v，小球竖直方向做自由落体运动 水平方向做
0
匀速直线运动 从A到B由动能定理有 联立解得 当 ，
即 时， 有最小值为 故AB错误，C正确；
D．小球到达B点时重力的瞬时功率为 当h越大，t越大，P也越大，故D正确；故选CD。
方法五：二次函数法
【方法演练5】一不可伸长的轻绳上端悬挂于横梁 点，另一端系有质量为 的小球，保持绳绷直将小球
拉到绳与竖直方向夹角为 的 点由静止释放，运动到 点的正下方时绳被烧断，小球做平抛运动，已知
点离地高度为 ，绳长为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力影响，下列说法正确的是（ ）
A．小球刚摆到最低点时所受绳子的拉力大小为
B．小球刚摆到最低点时处于失重状态
C．若夹角 不变，当 时，落点距 点的水平距离最远
D．若夹角 不变，当 时，落点距 点的水平距离最远
【答案】AC
【详解】A．小球刚摆到最低点时，由绳子拉力和重力的合力提供向心力，小球从出发到刚摆到最低点用机械能守恒定律得 ； 解得 故A正确；
B．小球刚摆到最低点时，由上面得分析可得绳子拉力大于重力，所以小球处于超重状态。故B错误；
CD．烧断绳子后，小球做平抛运动，设落点距 点的水平距离为x则有 ；
解得 根号内表达式对应图像为开口向下的抛物线，则当L取到图像对称轴时，
即当 时，落点距 点的水平距离x最远。故C正确。D错误。故选AC。
方法六：数学归纳法和数列法
【方法演练6】如图所示，在光滑绝缘地面上存在垂直于地面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。有一质
量为m的不带电小球P以 的速度向右运动，与另一电荷量为+q的静止小球Q发生正碰。两球碰撞后合为
一体垂直撞向平行于 方向的足够长的墙，已知小球与墙每次碰撞后的速率变为碰撞前的 ，速度方向反
向，则最终两小球与小球Q的初始位置的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设小球Q的质量为M，两球碰撞合为一体后的速度为v，根据动量守恒，有
根据洛伦兹力提供向心力有 解得两球碰撞合为一体后运动半径 由题意可知小球与
墙每次碰撞后的运动半径变为碰撞前的 ，所以在水平方向的距离为 利用等比
数列求和公式可得x=3r最后利用勾股定理可得最终两小球与小球Q的初始位置的距离
故选B。1．如图所示，水平面上放置一个绝缘支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细
线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球
的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止。在此过程中以下说法正确的
是（ ）
A．细线上的拉力一直增大 B．B球受到的库仑力先减小后增大
C．B球的运动轨迹是一段圆弧 D．支杆受到地面向左的摩擦力逐渐减小
【答案】C
【详解】ABC．如图所示，设A、B间的距离为r，O、A间的距离为h，O、B间距离为l，B球重力为mg。
A、B之间的库仑力大小为 根据力的矢量三角形与距离的几何三角形相似可得
解得 ； 现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止，且两球的电荷量均
不变，则l减小，h不变，所以F减小，即细线上的拉力一直减小；r不变，即B球的运动轨迹是一段圆弧，
并且B球受到的库仑力大小不变。故AB错误，C正确；D．根据平衡条件可知，直杆受到的地面的摩擦力与B对A的库仑力的水平分量大小相等、方向相反，而B
对A的库仑力大小不变，方向由水平向左变为斜向左下，所以水平分量变小，即支杆受到地面向右的摩擦
力逐渐减小，故D错误。
故选C。
2．竖直平面内有长度不变的轻绳1、2、3按如图所示连接．绳1水平，绳2与水平方向成 角，绳3的
下端连接一质量为 的导体棒1，在结点 正下方 距离处固定一导体棒2，两导体棒均垂直于纸面放置。
导体棒1中通有向里的电流 ，往导体棒2中通入向外且缓慢增大的电流 。当电流 增大到某个值时，
给导体棒1以向右的轻微扰动，可观察到它绕 点缓慢上升到绳1所处的水平线上，3根轻绳始终绷紧．
绳3的长度为d，两导体棒长度均为L，重力加速度为 。若已知通电导体棒在垂直距离为 处的磁感应强
度大小为 （其中 为导体棒的电流），则在导体棒1缓慢上升的过程中（ ）
A．绳1中拉力先减小后增大
B．绳2中拉力一直增大C．导体棒2中电流的最小值为
D．导体棒2中电流的最大值为
【答案】D
【详解】对导体棒1进行受力分析如图所示
此三个力组成的封闭三角形与 相似，所以 可知恒有
A．对结点进行分析，绳1和绳2中的拉力 和 的合力大小恒为 ，导体棒运动过程中 和 的合力
将从竖直方向逆时针转到水平方向，由图示可知 先增大后减小，当F 与绳2垂直时 最大，最大值为
3
F =
max
B．由图可知 一直减小，直至导体棒1运动至绳1所在的水平线上时最小且最小值为零，故B错误；
C．初始时，根据平衡条件，有 其中 联立解得电流最小值 故C错误；
D．导体棒1运动至绳1所在的水平线上时，电流最大，根据比例关系 可得由几何关系，导体棒1运动至绳1所在的水平线上时PM有最大值为 联立可得 又
此时 所以电流最大值 故D正确。故选D。
3．内燃机研发小组通过汽缸传感器，调节汽缸内一定质量的封闭气体的压强与体积，其关系如图所示，
在p—V图像中AB是一条直线，已知A状态时汽缸内气体温度为27℃，标准大气压强p=1×105Pa，气体由
0
状态A到状态B的过程中，汽缸内气体的最高温度设为T，外界向汽缸传递的热量为Q，下列说法正确的
是（ ）
A．T=468.75K，
B．T=375K，
C．T=468.75K，
D．T=375K，
【答案】C
【详解】气体由状态A到状态B的过程中，汽缸内气体的最高温度设为T，此时压强为 ，气体的体积为
，根据理想气体气态方程有 解得 可知，当 取值最大时， 有最大值，由图可
知， 和 关系为 则 可知，当 时， 有最大值，此时 最大，联立解得 气体由状态A到状态B的过程中，根据理想气体气态方程有 代入图中数
据可知 可知，汽缸内气体的内能不变，根据图可知，图线与坐标轴围成的面积表示气体做功，则气
体由状态A到状态B的过程中，气体体积变大，气体对外做功 又根据 可知，汽缸从外
界吸收热量，则 故选C。
4．如图所示，顶角为 的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为
m，带电量为 的小球，沿圆锥面在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．从上往下看，小球做顺时针运动
B．洛仑兹力提供小球做匀速圆周运动时的向心力
C．小球有最小运动半径
D．小球以最小半径运动时其速度
【答案】D
【详解】小球在运动过程中受重力、支持力和指向圆心的洛伦兹力，才能够做匀速圆周运动，根据安培左
手定则可知从上往下看，小球做逆时针运动，洛伦兹力与支持力的合力提供向心力根据牛顿第二定律，水平方向 竖直方向 联立可得
因为速度为实数，所以 可得 解得
所以最小半径为 代入上面可得小球以最小半径运动时其速度
故选D。
5．如图所示，把倾角为 的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为 的物块A通过跨过光滑轻定
滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力
F作用下，使轻绳 段与水平拉力F的夹角为 ，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持
夹角 大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至 水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下
列关于该过程的说法正确的是（ ）
A．拉力F一直变大
B．拉力F最小为
C．物块C所受地面摩擦力一直变小
D．物块C所受地面摩擦力先变小后增大
【答案】AB
【详解】AB．对B球受力分析，如图所示
由动态平衡的特点，根据正弦定理得 改变拉力 ，保持夹角 大小不变，将小球向右上方缓慢拉起至 水平， 从钝角减小至 ， 从 大至 ， 一直增大，拉力 一直增
大； 最小就是初始状态， 为 ，拉力 最小为 ，AB正确；
CD．以ABC三个物体为整体进行受力分析，地面所受静摩擦力大小等于拉力F的水平分力，做辅助圆如图
所示
拉力F的水平分力先变大后变小，所以物块C所受地面摩擦力先变大后变小，故CD错误。故选AB。
6．宇航员王亚平在太空实验授课中，进行了水球光学实验（图甲）．某同学在观看太空水球光学实验后，
找到一块环形玻璃砖模拟光的传播．如图乙所示横截面为圆环的玻璃砖，其内径为R，外径为 ．一束单
色光在纸面内从A点以 的入射角射入玻璃砖，经一次折射后，恰好与玻璃砖内壁相切。求：
（1）玻璃砖对该单色光的折射率；
（2）为使光在玻璃砖内壁表面上发生全反射，入射角i的最小正弦值．
【答案】（1） ；（2）入射角的最小正弦值为
【详解】（1）由题意可知，光在A点入射角为 ，设折射角为 ，如图所示根据几何关系可知 则玻璃砖对该单色光的折射率为
（2）光在内球表面上恰好发生全反射，入射角最小，设为 ，光路图如图所示
根据 由几何知识可得 在 中，由正弦定理可得
根据折射定律可得 联立解得 即入射角的最小正弦值为 。
7．实验小组的同学研究发现了滑块以一定的初速度沿粗糙斜面向上滑行的距离L与斜面倾角 的关系，并
得到如图所示的 图像。已知重力加速度 ，求：
（1）该滑块与斜面间的动摩擦因数；
（2）该滑块滑行距离L的最小值和对应的斜面倾角 。
【答案】（1） ；（2） ，【详解】（1）当 时，滑块做竖直上抛运动， ，由运动学公式可得
当 时，滑块在水平面上做匀减速直线运动， ，有 由牛顿第二定律可知
联立解得
（2）当斜面倾角为 时，有 ； 整理可得
其中辅助角 满足 当 时，滑块滑行的距离
L有最小值为 对应的斜面倾角 满足 解得
8．如图所示，一根质量为m、长L，通有恒定电流I的金属条在水平导轨上向右运动。金属条一直处在斜
向左上、与水平导轨成 角的匀强磁场中，金属条与导轨同动摩擦因数为 。
（1）若金属条以速度v做匀速运动，求磁场的磁感应强度的大小；
（2）改变磁场的方向使金属条以最大的加速度沿水平导轨做加速运动，求：金属条的最大加速度；改变
磁场方向后，金属条运动位移x的过程中安培力对金属条所做的功。
【答案】（1） （2） ,
【详解】（1）若金属条做匀速运动，受力分析如图，由平衡条件 ；
解得（2）设磁场的方向与水平方向夹角为 时，金属条以最大的加速度沿水平导轨做加速运动，由牛顿第二
定律 整理并由辅助角公式得
其中
当 时加速度最大a 金属条运动位移x的过程中安培力对金属条所做的
m
功
9．如图所示，固定斜面AB的底面和高均为h，平台和斜面顶点B在同一条水平线上，平台右端点C在A
的正上方。物体P以不同初速度从C点水平抛出，已知重力加速度为g，求P落在斜面上时的最小速度大
小。
【答案】
【详解】设物体P从C点离开时的速度为v，P离开平台后做平抛运动，
0水平方向 竖直方向 又有几何关系知x＋y=h联立可得
P在竖直方向做自由落体运动，落在斜面上时的竖直分速度为 设落在斜面上时P的速度为v，则
根据数学知识可知
解得v的最小值为
10．如图，倾角为37°的斜面与水平面相连，有一质量 的物块，从斜面上A点由静止开始下滑后恰
好停在水平面上的C点，已知 长1m， 长0.4m。物块与各接触面之间的动摩擦因数相同，且不计物
块在B点的能量损失。g取10 ， ， 。求：
(1)物块与接触面之间的动摩擦因数；
(2)若从A点开始施加 竖直向下的恒力作用，到达斜面底端时立即撤去F，求物块运动的总时间；
(3)若改变(2)中竖直向下恒力F的大小，求物块运动的最短时间。
【答案】(1)0.5；(2)1.3s；(3)
【详解】(1)从A经B到C全过程中，由动能定理得 解得(2)当 时，在斜面上匀加速运动，由牛顿第二定律得 解得
由运动学公式有 解得下滑时间 到达B点速度 从B到C匀减速运
动，加速度大小为 从B到C时间 总时间
(3)设此时物块在斜面上的加速度为a，斜面上运动的时间为 ，B点速度为
从B到C的时间为 总时间 当 时，总时间有最小值，且最
小值为
11．真空压缩袋是抽走空气利用大气压压缩物体的一种袋子，主要用于装棉被和各种衣服类，具有防潮、
防霉、防蛀、防异味等特点。某同学设计了一个活塞式抽气机对压缩袋进行抽气，可将装置简化为如图所
示，假设放入衣物后通过手工挤压使袋中容纳空气的容积为 且保持不变，袋内气体压强为大气压强 ，
活塞式抽气机的容积为 ，活塞的横截面积为S，不计活塞的厚度和重力，连接管的体积可忽略，抽气
过程中气体温度不变。
(1)对于第一次抽气（不考虑活塞在底端时的情况），将活塞缓慢上提，求手对活塞的最大拉力；
(2)求抽气机抽气10次后，压缩袋中剩余气体的压强 。【答案】(1) ；(2)
【详解】(1)当活塞下压时，阀门 关闭， 打开，右侧抽气机中 ，体积的气体排出。对于第一次
抽气，活塞上提，压缩袋中气体均匀分布到抽气机和压缩袋中，活塞上升到最高处时，气体压强降为 ，
此时内外压强差最大，手对活塞的拉力最大，由于抽气过程中气体温度不变，根据玻意耳定律有
解得 根据平衡条件得
(2)对于第二次抽气，活塞上提，压缩袋中气体再次均匀分散到抽气机和压缩袋中，气体压强降为 ，根据
玻意耳定律有 解得 以此类推，第10次抽气后压缩袋中气体压强降为
12．如图所示，光滑水平轨道上放置质量为m的长板A，质量为3m的滑块B（视为质点）置于A的左端，
A与B之间的动摩擦因数为μ；在水平轨道上放着很多个滑块（视为质点），滑块的质量均为2m，编号依
次为1、2、3、4、…、n、…。开始时长板A和滑块B均静止。现使滑块B瞬间获得向右的初速度v，当
0
A、B刚达到共速时，长板A恰好与滑块1发生第1次弹性碰撞。经过一段时间，A，B再次刚达到共速时，
长板A恰好与滑块1发生第2次弹性碰撞，依次类推…；最终滑块B恰好没从长板A上滑落。重力加速度
为g，滑块间的碰撞均为弹性碰撞，且每次碰撞极短，求：
（1）开始时，长板A的右端与滑块1之间的距离d；
1
（2）滑块1与滑块2之间的距离d；
2
（3）长板A与滑块1第1次碰撞后，长板A的右端与滑块1的最大距离；
（4）长板A的长度。【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1）对A、B分析有 对A分析有 解得
（2）长板A与滑块1发生第1次弹性碰撞过程有 ；
结合上述解得 ； ，A、B第二次达到相同速度有
对A分析有 解得 滑块1与滑块2碰撞后速度发生交换，滑块1碰后静
止，滑块2活动速度为 。
（3）A、B发生相对运动过程中的加速度大小分别为 ； 从1第一次被碰
后，直到1碰2，历时为 。A的速度反向减速到0，历时为 可知
表明A的速度减小到0时，A距1最远，最远距离为 解得
（4）A与1第二次碰撞有 ； 结合上述解得 ；
；
依次类推有 ， （n=1，2，3…）
A\B的相对加速度为 第n次碰后相对速度为
第n次碰后，B在A上滑行的路程为 （n=1，2，3…）第无穷次碰后，B在A上滑行的路程为 所以，木板的长度为 解得
