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微专题：数学求和—错位相减法求和
【考点梳理】
错位相减法适用于通项为等差等比数列乘积的数列(常称“差比数列”)求和，是等比数列前n项和公式推导所
使用的方法. 错位相减法的思维难度并不高，关键是要细心，要能找好两个式子之间的对应项.
【典例剖析】
典例1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在①bn＝ ，②bn＝an•2n，③bn＝（﹣1）n•Sn这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并
求解该问题．
若_____，求数列{bn}的前n项和Tn．
典例2．在等差数列 中，已知 公差 ，其前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的表达式.
典例3．设 是公比大于1的等比数列， 为数列 的前 项和．已知 ，且 ， ， 构成等
差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
4．在数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
5．已知等差数列{an}中，a+a＝16，a＝17．
1 5 6
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为正项数列，若{bn}的前n项和为Sn，且S＝2，bn ＝Sn+2，
1 +1
求数列{an bn}的前n项和Tn．
6．已知数列 是递增的等差数列，数列 的前 项和
（1）求 的通项公式；
（2）若等比数列 的各项均为正数，且 ，求数列 的前 项和
7．已知数列 满足 ，且 .
（1）若数列 满足 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
8．已知等差数列{an}的公差不为零，a=1，且a，a，a 成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn=2bn﹣
4 4 5 7
4(n∈N*).
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足 ，cn =cn﹣ (n∈N*)，求使得 成立的所有n值.
+1
9．已知等差数列 的公差为正数， ，其前 项和为 ，数列 为等比数列， ，且 ，
.
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求数列 与 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
（3）设 ， ，求数列 的前 项和.
10．已知数列 是正项等比数列，满足 是 、 的等差中项， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
11．已知等比数列 的公比 ，且 ， 的等差中项为10， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
12．已知数列 的前 项和为 ，且 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
13．设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
14．已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根.
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．在数列 中， ， ．
（1）求证： 等比数列；
（2）已知数列 ，满足 ．
①若数列 的前 项和 ，可以表示成 ，求♠处的代数式；
②若不等式 对一切正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
【高分突破】
16．已知 数列满足 ， .
（1）证明：数列 为等差数列.
（2）求数列 的前 项和.
17．设Sn为数列{an}的前n项和，且a＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn ＋n(n－1)，n∈N*.
1 －1
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记Tn＝S＋S＋…＋Sn，求Tn.
1 2
18．设数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式;
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
19．设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
20．在①已知数列 满足： ， ②等比数列 中，公比 ，前5项和为62，这两个条件中
任选一个，并解答下列问题.
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求数列 的通项公式；
（2）设 数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求正整数 的最大值.
21．已知数列 中， ， .若数列 的前 项的和为 ，令 .
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和 .
22．已知数列 的前n项和 满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ．求数列 的前n项和Tn．
23．已知数列 的前 项和 满足 .
（1）求 ；
（2）已知__________，求数列 的前 项和 .
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：①
②
③
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
24．在数列 中， ，
(1)设 ，求证： ；
(2)求数列 的通项公式；
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)求数列 的前 项和 .
25．设等差数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
26．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如
下：甲同学记得缺少的条件是首项 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答
案是 ， ， 成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题
等比数列 的前n项和为 ，已知______．
(1)判断 ， ， 的关系；
(2)若 ，设 ，记 的前项和为 ，证明： ．
27．已知数列 ， ， ，是数列 的前 项和，已知对于任意 ，都有 ，数列 是等
差数列， ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式.
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
（3） .
28．设数列 的前 项和为 ，若 ．
（Ⅰ）证明 为等比数列并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
（Ⅲ）求证： ．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．（1）an＝2n﹣1，n∈N*；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据公式an＝ 进行计算，即可得到数列{an}的通项公式；
（2）①先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn；
②先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n项和Tn；
③先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后分n为偶数和奇数两种情况分别求和，最后综合即得
到前n项和Tn．
【详解】
解：（1）依题意，当n＝1时，a＝S＝1，
1 1
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn ＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，
﹣1
∵当n＝1时，a＝1也满足上式，
1
∴an＝2n﹣1，n∈N*，
（2）方案一：选条件①：
由（1），可得：
＝ ，
∴Tn＝b+b+…+bn＝
1 2
＝ ．
方案二：选条件②：
由（1），可得 ，
则 ，
，
两式相减，可得：
＝
＝﹣6﹣（2n﹣3）⋅2n+1，
∴ ．
方案三：选条件③：
由（1），可得 ，
（i）当n为偶数时，n﹣1为奇数
Tn＝b+b+…+bn＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣（n﹣1）2+n2
1 2
＝（22﹣12）+（42﹣32）+…+[n2﹣（n﹣1）2]
第 7 页＝3+7+…+2n﹣1
＝
＝ ，
（ii）当n为奇数时，n﹣1为偶数
＝ ＝ ，
综上所述，可得 ．
2．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）通过等差数列的前n项和公式和等差数列的通项公式，代入计算即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】
（1）由题意可知
则 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，解得
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
所以 ，
则 ，
两式相减，得 ，整理得 .
3．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）设等比数列 的公比为 ，且 ，由已知可得 解方程组可求出 ，从而可求出
第 8 页通项公式，
（2）由（1）可得 ，然后利用错位相减法可求得结果
【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，且 ．
∵ ，且 ， ， 构成等差数列，
∴
解得 ，或 （舍去）．
∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
两式相减得 ．
∴ ．
4．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求得
，即可得答案.
（2）由（1）可得 ，利用错位相减求和法，即可求得答案.
【详解】
解：（1）因为 ，且 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，
所以 .
（2）因为 ，
第 9 页所以 ，
则 ，
上下相减得 ，
故 .
5．(1)an＝3n﹣1；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列的性质可得d＝3，从而写出通项公式；
（2）由bn ＝Sn+2及S＝2可推导出数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而利用错位相减法求数列
+1 1
{an bn}的前n项和Tn．
(1)
设等差数列{an}的公差为d，
∵a+a＝2a＝16，∴a＝8，
1 5 3 3
∴d 3，
故an＝8+（n﹣3） 3＝3n﹣1；
(2)
当n≥2时，
∵bn ＝Sn+2，bn＝Sn +2，
+1 ﹣1
∴bn ﹣bn＝bn，即bn ＝2bn，
+1 +1
当n＝1时，b＝S+2＝4，也满足bn ＝2bn，
2 1 +1
故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即bn＝2n，
故an bn＝（3n﹣1） 2n，
Tn＝（3﹣1） 2+（6﹣1） 22+……+（3n﹣1） 2n，①
2Tn＝（3﹣1） 22+（6﹣1） 23+……+（3n﹣1） 2n+1，②
①﹣②得，
﹣Tn＝（3﹣1） 2+3 22+3 23+……+3 2n﹣（3n﹣1） 2n+1，
故Tn＝﹣4 （3n﹣1） 2n+1
＝ ．
6．（1） ；（2） .
【解析】
（1）设 的公差为 ，利用裂项求出可得 ，从而可得 ，再利用等差数列的
第 10 页通项公式即可求解.
（2）利用等比数列的通项公式可得 ，再利用错位相减法即可求解.
【详解】
（1）设 的公差为 ，
则 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
（2）设 的公比为 ，
由（1）知
解得
所以
因此
所以 ，
所以
7．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 是公差为1的等差数列，即可求出 的通项公式，再用累加法求出数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，再利用错位相减法计算可得；
第 11 页【详解】
（1）由 知数列 是公差为1的等差数列
故 ，所以 ，
所以
所以
所以
所以
又 满足上式，所以 ；
（2）由（1）可得
所以 ①；
②；
① ②得 ，
所以
所以
8．（1）an=n﹣3，bn=2n+1；（2）n的值为3.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得 ，由此求得 ；先求得 ，然后利用 求得 .
（2）利用累加法，结合错位相减求和法求得 ，由此解不等式 ，求得 的所有可能取值.
【详解】
（1）设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得 =aa，
4 7
即(1+d)2=1+3d，整理得d2=d，解得d=1，
所以an=a+(n﹣4)d=n﹣3，
4
因为b=S=2b﹣4，所以b=4，
1 1 1 1
当n≥2时，由bn=Sn﹣Sn ，得bn=2bn﹣2bn ，即bn=2bn ，
﹣1 ﹣1 ﹣1
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn=2n+1.
（2）由cn =cn﹣ ，得cn ﹣cn=﹣ ，
+1 +1
所以cn=(cn﹣cn )+(cn ﹣cn )+…+(c﹣c)+c=﹣ ﹣( +……+ )，
﹣1 ﹣1 ﹣2 2 1 1
设Tn= +……+ ，则 Tn= +……+ ，
第 12 页两式相减得
Tn= + +……+ ﹣ =﹣ ﹣ =﹣ ﹣ ，
所以Tn=﹣ ﹣ ，所以cn=﹣ ﹣Tn= ，
因为 ，所以(n﹣2)(24﹣n﹣1) 0，
当n=1时，不满足题意；
当n=2时，不满足题意；
当n≥3时，24﹣n﹣1>0，解得3≤n<4，
所以满足题意的所有n的值为3.
【点睛】
当 不是常数时，可利用累加法来求数列的通项公式.
9．（1） ； ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）假设公差 和公比 ，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得 ，由等差和等比通项公式可求
得结果；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法可求得结果；
（3）由（1）可得 ，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 公比为 ，
，解得： ，
； ；
（2）由（1）得： ，
，
，
两式作差得： ，
.
（3）由（1）得： ，
第 13 页则
.
【点睛】
方法点睛：当数列通项公式满足等差 等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前 项和，具体步骤如下：
①列出 的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比 ，得到 ；
③上下两式作差得到 ，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得 .
10．（1） ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）设等比数列 的公比为 ，根据已知条件求出 的值，结合 求出 的值，进而可求得等比数列
的通项公式；
（2）解法一：求得 ，分 为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法可求得 ；
解法二：利用错位相减法可求得 .
【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 是 、 的等差中项，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
因为数列 是正项等比数列，所以 ．
因为 ，即 ，解得 ，所以 ；
（2）解法一：（分奇偶、并项求和）
由（1）可知， ，
所以， ，
①若 为偶数，
；
②若 为奇数，当 时， ，
当 时， 适合上式，
综上得 （或 ， ）；
第 14 页解法二：（错位相减法）
由（1）可知， ，
所以， ，
，
所以
所以
，
所以 ， ．
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相消法求和.
11．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列 的通项公式；
（2）化简 ，利用错位相减法求数列 的前 项和 ．
【详解】
（1）由题意可得： ，
，
， ， 数列 的通项公式为 ．
（2） ， ，
，
第 15 页上述两式相减 可得
．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
12．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 化简已知条件，证得数列 是等比数列，进而求得数列 的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得 .
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
又 ，
所以 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
（2）据（1）可得 ，
所以
，
，
两式相减得
，
化简得 .
13．（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】
（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
第 16 页所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
第 17 页所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即 ，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道
中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简
的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，这是错
位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
14．（1） ；（2） ．
第 18 页【解析】
【分析】
（1）根据方程 的两根可求出得 ，从而可求公差，再利用等差数列的通项公式即可得出
的通项公式；
（2）根据错位相减法及等比数列的前 项和公式即可求出．
【详解】
（1）方程 的两根为2，3，由题意得 ．
设数列{an}的公差为d，则a－a＝2d，故d＝ ，从而得a＝ ．
4 2 1
所以{an}的通项公式为an＝ n＋1．
（2）设 的前n项和为Sn，由（1）知 ＝ ，
则Sn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，
Sn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，
两式相减得，
Sn＝ ＋ － ＝ ＋ － ，
所以Sn＝2－ ．
15．（1）证明见解析；（2）① ；② ．
【解析】
【分析】
(1)把给定递推公式取倒数，再利用等比数列定义判断即得；
(2)①求出 ，再借助错位相减法求出 即可得解；
②由①可得 对一切正整数 恒成立，再分奇偶讨论并利用数列单调性即可计算作答.
【详解】
（1）在数列 中， ，因 时， ，于是得 ，即 ，而
，
所以，数列 是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知： ，即 ，于是得 ，
第 19 页① ，
则 ，
两式相减得 ，则 ，因 ，
所以♠处的代数式为 ；
②由①知 ，于是得不等式 对一切正整数 恒成立，显然数列 是递增数列，
当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，即 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
16．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 两边同时除以 ，即可证数列 为等差数列；
（2）利用（1）的结论可以求出数列 的通项公式，再利用乘公比错位相减求和.
【详解】
（1）依题，在 两边同时除以 ，
得： ， ，故数列 是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得： ，可得 ，
所以 ，
则数列 的前 项和 ①，
②，
①-②得： ，
所以 .
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
第 20 页17．(1)证明见解析
(2)Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－
【解析】
【分析】
（1）根据an＝Sn－Sn 得到 ，即 ，得到证明.
－1
（2）计算Sn＝n·2n－n，根据错位相加法结合分组求和法计算得到答案.
(1)
当n≥2时，an＝Sn－Sn ，所以(n－1)(Sn－Sn )＝(n＋1)Sn ＋n(n－1)，
－1 －1 －1
即(n－1)Sn＝2nSn ＋n(n－1)，则 ，所以 ，
－1
又 ＋1＝2，故数列 是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)
知 ，所以Sn＝n·2n－n，
故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).
设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，
所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－ .
18．（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）利用累加法求通项公式；
（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出 .
【详解】
（1）由已知，当 时，
，
当 时， 符合上式，
， .
第 21 页（2）由（1）知 ，
①
②
①-②得
所以， ， .
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
19．（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】
（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得 ， ，由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2
为公差的等差数列，即 ．
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
［方法二］：构造法
由题意可得 ， ．由 得 ． ，则
，两式相减得 ．令 ，且 ，所以 ，
两边同时减去2，得 ，且 ，所以 ，即 ，又 ，因此 是首
项为3，公差为2的等差数列，所以 ．
第 22 页［方法三］：累加法
由题意可得 ， ．
由 得 ，即 ， ，…… ．
以上各式等号两边相加得 ，所以 ．所以
．当 时也符合上式．综上所述， ．
［方法四］：构造法
，猜想 ．由于 ，所以可设 ，
其中 为常数．整理得 ．故 ，解得 ．所以
．又 ，所以 是各项均为0的常数列，故
，即 ．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以
．
［方法三］：构造法
当 时， ，设 ，即 ，则
，解得 ．
所以 ，即 为常数列，而 ，所以
．
故 ．
［方法四］：
因为 ，令 ，则
第 23 页，
，
所以 ．
故 ．
【整体点评】
（1）方法一：通过递推式求出数列 的部分项从而归纳得出数列 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，
是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式 ，代换得 ，两式相减得 ，设
，从而简化递推式，再根据构造法即可求出 ，从而得出数列 的通项公式；
方法三：由 化简得 ，根据累加法即可求出数列 的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列 的部分项，归纳得出数列 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成
，求出 ，从而可得构造数列为常数列，即得数列 的通项公式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由 时， ，构造得到数列 为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成 ，利用分组求和法分别求出数列
的前 项和即可，其中数列 的前 项和借助于函数
的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
20．选择条件①（1） ；（2）2022；选择条件②（1） ；（2）2022.
【解析】
【分析】
（1）选①根据等比数列的定义知 为等比数列，求出首项即可求出通项公式；选②根据公比及求和公式列出方
程求出首项即可；
（2）由（1）知 ，可知 ，由错位相减法求和 ，由不等式恒成立转化为求最值即可.
【详解】
（1）选择条件①，
设等数列 的首项为 .公比为 ，
依题意， ，得 为等比数列，所以， ， ，
第 24 页解之得 ；
∴
选择条件②，设等比数列 的首项为 ，
公比 .前5项和为62，
依题意， ， ，
解之得 ，
∴ .
（2）因为 ，
所以 ①
②
1－②得 ，
所以 .
因为 ，
所以数列 单调递增， 最小，最小值为 .
所以 .
所以 .
故正整数 的最大值为2022.
【点睛】
关键点点睛：利用错位相减法求出 后， 对 恒成立转化为求 的最小值，属于中档
题.
21．(1)
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）先分析数列 的规律，利用分组求和法求得 ，由此求得 .
第 25 页（2）利用错位相减求和法求得 .
(1)
由 得， .
将此式除以 得，
又因为
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列；
是以 为首项，公比为 的等比数列.
因此 .
.
(2)
由（1）知，
①，
②，
① ②得：
，
所以 ， .
22．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
由数列的递推关系可得 ，整理可知 为常数列，进而可得 ．
第 26 页由 可得 ，求出 、 ，运用错位相减法求和．
【详解】
解：（1）因为 ， ，所以 ， ，
两式相减得 ，整理得 ，即 ， ，
所以 为常数列，所以 ，所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
，
两式相减得： ，
，
化简得 ．
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
23．（1） ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据 求解即可；
(2)选①利用错位相减法求和即可；选②利用裂项相消法求和即可；选③对 分奇偶讨论，然后利用并项求和法求
和即可.
【详解】
（1）∵在数列 中， .
当 时， ，
当 时， ，
又 也满足 ，
∴
（2）选择条件① ，
∴ ①
第 27 页②
①-②得
故 .
选择条件②由（1）知： ，
∴
∴
选择条件③
，
∴当 为偶数时，
当 为奇数时，
综上所述： .
24．(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
第 28 页【解析】
【分析】
（1）依题意将 转化为 ，将 代入即可得到 ，结论成立；
（2）根据第（1）问 ，运用累加法得到 ，进
而求出 ；
（3）根据第（1）、（2）问知， ， ，则 ，运用分组转化求和以及错位相减求和，
得出数列 的前 项和 .
（1）由条件可知： ， ， ， ， ；
（2）由第（1）问可知， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，以上各式相加，得 ，
， ， ，即 ；
（3）由第（1）、（2）问知， ， ，则 ，设数列 的通项公式 ，前
项和为 ，则 ，
，两式相减，得
，
， 数列 的前 项和
.
25．(1) ；
第 29 页(2) .
【解析】
【分析】
（1）由已知条件列方程组求出 ，从而可求出通项公式；
（2）利用错位相减法求解 .
（1）设等差数列 的公差为d，由题意得 ,所以 ，故 ；
（2）因为， ，所以 ， ，两式
相减得 ，所以 .
26．(1) ， ， 成等差数列
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 ， ， 成等差数列，结合等比数列的基本量关系求解可得 ，再代入 ， ， 判断即可；
（2）由 可得 ，代入可得 ，再根据错位相减求和求得 即可证明.
（1）由 ， ， 成等差数列，得 ，即 ，由题意知 ，所以
．又 ，所以 ．综上可知缺少的条件是 ．因为 ，所以
， ，所以 ，即 ， ， 成等差数列．
（2）由 ，可得 ，解得 ，所以 ，则
， ，上面两式相减可得
，化简可得 ，由 ，可
得 ．
27．（1） ， ；（2） ；（3） .
第 30 页【解析】
【分析】
(1)由递推公式 探讨出数列 任意相邻两项的关系得 ，由等差数列 的已知求出其首项和公差得
；
(2)由(1)求出数列 的通项公式，再分组求和得解；
(3)对和式 从首项起依次每两项一组并项求和，再利用错位相减法求解即得.
【详解】
（1）因 ， 时， ，
则有 ，即 ，而 时， ，即 ，
∴ 是首项 ，公比为3的等比数列，从而 ；
设等差数列 的公差d，而 ，依题意 ，
， ， ，所以 ；
（2）由(1)知 ，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
∴
（3）
所以 是数列 的前n项和，
设 的前项和为 ，
，
，
第 31 页即 ，
∴ .
【点睛】
思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用 转化为an的递推关系，再求其
通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
28．（Ⅰ）证明见解析； ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）由已知利用 与 的关系得，当 时， ，即 ，即可证得结论，写出其通项公式，
即可求得结果；
（Ⅱ）知 ，利用错位相减法求数列 的前 项和；
（Ⅲ）知 ，则 ，利用放缩法知 ，再结合分组求和及等比数列的求和公式可
证得结论.
【详解】
（Ⅰ）由 得，当 时，
两式作差得： ，即 ，即 ，
令 得 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
所以 ，故 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
两式作差得：
第 32 页所以 ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 ，则 ，
恒成立， ，即
所以 ，
所以 ．
【点睛】
方法点睛：本题考查求一般数列的通项公式及一般数列的求和，求数列通项公式常用的方法：（1）由 与 的
关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
求数列和常用的方法：（1）等差 等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3） （数列 为等
差数列）：裂项相消法；（4）等差 等比数列：错位相减法.
第 33 页第 34 页
