文档内容
第 05 讲 数列求和
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：通项分析法............................................................................................................................2
题型二：公式法....................................................................................................................................3
题型三：错位相减法............................................................................................................................5
题型四：分组求和法............................................................................................................................7
题型五：裂项相消法............................................................................................................................9
题型六：倒序相加法..........................................................................................................................13
题型七：分段数列求和......................................................................................................................15
题型八：并项求和法..........................................................................................................................18
题型九：先放缩后裂项求和..............................................................................................................20
02 重难创新练....................................................................................................................................22
03 真题实战练....................................................................................................................................34题型一：通项分析法
1．数列 的前n项和为 .
【答案】
【解析】观察数列得到 ，
所以前n项和
.
故答案为： .
2．数列 的前n项和 .
【答案】
【解析】由题意， ，
所以
故答案为：
3． 年意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，
即 该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用
若此数列各项被 除后的余数构成一新数列 ，则数列 的前 项的和为 .
【答案】【解析】由数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 各项除以 的余数，
可得数列 为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1， ，
所以数列 是周期为 的数列，
一个周期中八项和为 ，
又因为 ，
所以数列 的前 项的和 .
故答案为： .
4．（2024·湖南株洲·一模）数列 的首项为1，其余各项为1或2，且在第 个1和第 个1之间有
个2，即数列 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列 的前 项和为 ，
则 ．（用数字作答）
【答案】3993
【解析】第 个1为数列 第 项，
当 时 ；当 时 ；
所以前2019项有45个1和 个2，
因此
题型二：公式法
5．（2024·高三·河南郑州·期中）数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，前 项的
和是 .
【答案】
【解析】由题意可知，该数列中， 有 项，且这 项的和为 ，
令 ， ，则 的最大值为 ，
所以，该数列第 项为 ，且 的项数为 ，
因此，该数列的前 项的和是 .
故答案为 .6．已知等差数列 的首项 ，公差 ，在 中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列
的数一起构成一个新的等差数列 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)插入的数构成一个新数列，求该数列前 项的和 ．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，由题意知： ，
，
所以 ，所以 的通项公式是 .
（2）数列 的通项公式为 ，
记数列 与 前 项的和分别为 ，
则
.
7．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 是高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，如
， .若数列 满足 ，且 ，记 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，将两式相减，得： ，
所以数列 的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.
当 为奇数时， ， ，……，且 ，
则 ，
当 为偶数时，则 ，
所以 .
（2）设 的前 项和为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 .
题型三：错位相减法
8．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求实数 的值和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时， ，
，
，
当 时， ，
整理得 ，
数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2）法一：
，
①，
②，
① ②得
；
法二：
，
设 ，且 ，解得 ，
，
即 ，其中 ，
，
.
9．（2024·江西宜春·模拟预测）数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【解析】（1）数列 满足 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，所以 ，
当 时， 也满足上式，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 ，
两式相减的， ，所以 ．
10．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1） ，即 ，
即 ，则 ，即 ，
即 ，又 ，
故数列 是以 为首项、以 为公比的等比数列.
（2）由（1）易得 ，即 ，则 ，
则 ，
有 ，
则
，
故 .
题型四：分组求和法
11．（2024·广东·二模）在等差数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设 的公差为 ，则
解得
所以 .（2）（方法一）
.
（方法二）当 为偶数时，
当 为奇数时，
.
综上，
12．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1） ，
两式相减得 ，
又当 时， ，满足上式，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
.
13．已知等差数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设 公差为 ，由 得， ，解得 ，
∴ ；（2）由 得 ，
.
∴
14．已知数列 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且满足
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 求数列 的前n项和 ；
【解析】（1）设 的公差为 ,
由已知,有 解得 ，
所以 的通项公式为 , 的通项公式为 .
（2） ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：
.
15．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等差数列 公差为d，首项为a，
1
由题意，有 ，解得 ，
所以 ；
（2） ，所以 ．
题型五：裂项相消法
16．（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，证明： .
【解析】（1）由 ， ，得 ，又 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， .
（2）证明：因为
，
所以
.
17．（2024·广东茂名·一模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1） 数列 是等差数列，记其公差为 ，
由题意知
所以 .
（2） ， .
， .
18．（2024·四川·模拟预测）已知各项均为正数的数列 为等差数列，各项均为正数的数列 为等比
数列， 成等比数列. 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）由题意知， 为等差数列，设 的公差为 为等比数列，设 的公比为 ，由成等比数列，
所以 ，化简得 ，解得 （舍），
所以 .
又因为 成等差数列，所以 ，即 ，
解得 （舍），所以 .
（2）由于 ，
所以
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的各项均不小于1，前 项和为 是公差为1的
等差数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由 ，得 ．
因为 是公差为1的等差数列，所以 ．
当 时， ．两式相减，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ．
（2）由（1）可知， ，则 ，
所以数列 的前 项和
．
20．（2024·四川成都·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)若 ，证明： 是等比数列；(2)若 是 和 的等差中项，设 ，求数列 的前n项和为 ．
【解析】（1）对 ①，当 时，有 ②，
： ，即 ，
经整理，可得 ，
，故 是以 为首项、 为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，有 ， ，
题设知 ，即 ，则 ，故 ．
而 ，
故 .
21．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前10项和.
【解析】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，
则 ，
化简整理，得 ，
解得 ，
.
（2）由（1）可得， ，
则 ，数列 的前10项和为：
.
题型六：倒序相加法
22．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是函
数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.某同学经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
给定函数 ，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数 的对称中心坐标为 ；
②计算 .
【答案】 2023
【解析】①因为 ，
所以 ，所以 ，
由 得 ，此时 ，
由题意可得， 即为函数 的对称中心；
②由①知，函数 关于 中心对称，
所以 ，即 ，
因此 ；记 ，
则
，
所以 .
故答案为： ； .
23．（2024·上海宝山·一模）已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则
【答案】
【解析】函数 ，可看成 向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,
因为 的对称中心为 ，所以 的对称中心为 ，
所以 ，
因为正项等比数列 满足 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
①，
②，
则①②相加得：
即
，
所以 .
故答案为： .
24．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前n项和的方法探求：
若 ，则 .
【答案】4038【解析】正数数列 是公比不等于1的等比数列， ，则 ，
由 ，当 时， ，
于是 ，令 ，
则
因此 ，
所以 .
故答案为：4038
25．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，
并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个 阶代数方程必有 个复数
解等.若函数 ，设 ，则
.
【答案】46
【解析】因为函数 的定义域为 ，
设 是函数 图象上的两点，其中 ，且 ，则有
，
从而当 时，有： ，当 时， ，
，
相加得
所以 ，又 ，
所以对一切正整数 ，有 ；
故有 .
故答案为：46.题型七：分段数列求和
26．已知数列 的前 项和为 ， ，等比数列 的公比为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前10项和．
【解析】（1）当 时， ， ， ，
等比数列 的公比为 ，则有 ，
由 ，可得 ．
当 时， ．
经检验，当 时， 满足上式，
所以 ．
（2） ，
设 的前10项和为 ，
．
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 满足 当 时，
(1)求 和 ，并证明当 为偶数时 是等比数列；
(2)求
【解析】（1）因为 当 时， ，
所以 ， .
， ，又 ，
当 为偶数时， 是以 为首项，以 为公比的等比数列；
（2）由（1）知， ，设 ，则 为偶数时，
当 为奇数时，
；
设 ， 为奇数时， ，
.
28．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列 中， 为 的前n项和，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前n项和 ，求 .
【解析】（1）设 的公比为 ，
由 且 可得：当 时， ，
当 时， ，
解得 或 （舍去），故 ，
故
（2） ，
由于 ，
则数列 的前 项和29．（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列 ，则数列 的前 项和 .
【答案】
【解析】设数列 的前 项和为 ，
当 ， ，解得： ，
当 时， ，当 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故答案为：
题型八：并项求和法
30．已知数列 满足 ，则 前48项之和为 .
【答案】1176
【解析】由 ，则
， ，
， ，
， ，
，…
可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即
可得到所求值.
因 ，
，
而 ，
，所以数列 前48项之和为 .
故答案为：1176.
31．（2024·高三·广东深圳·期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ， 是数列 的前 项和.求
【解析】（1） 为等差数列，设公差为 ， ， ，
， ， 成等比数列， ，
即 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
数列 的通项公式为 或 ；
（2） ，由（1）知， ， ，
，
.
故 .
32．数列 的通项 ，则前10项的和
【答案】5
【解析】 的周期 ，当 时 的值为1,0，-1,0,
则前10项的和 ，
故答案为：5
33．若数列 的通项为 ，前n项和为 ，则 .
【答案】400【解析】当 为偶数时， ；
当 为奇数时，且
；
当 为奇数时，且
；
不妨以四项为一个整体，则：
故
故答案为：400
34．数列{ }的前 项和为 ，若 ，则{ }的前2019项和 .
【答案】1009
【解析】根据题意， 的值以 为循环周期，
=1009
故答案为1009.
题型九：先放缩后裂项求和
35．已知数列 是等差数列，且 ，数列 满足 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】（1）由题意可知 ，即 ，故 ，由 ，可得 ，
所以数列 的公差 ，所以 ，
由 ，
叠加可得 ，
整理可得 ，当 时，满足上式，
所以 ；
（2）不妨设 ，即 ，可得 ，
当 时， ，不合题意，
当 时， ，
所以 在数列 中均存在公共项，
又因为 ，所以 .
（3）当 时， ，结论成立，
当 时， ，
所以 ，
综上所述， .
36．已知数列 满足 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）由 ， 得，当 时，
，
当 时，满足条件，故 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，故．
37．已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ， ， 成等差数列， ， ， （ ）成等比
数列， ．
(1)求 的值及 的通项公式；
(2)令 ， ，求证： ．
【解析】（1）设 的公差为 ，
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
即 ，
考虑到 ，化简得 ，即
∴ ，∵ ， ， （ ）成等比数列，
∴ ，即 ，
即 ，解得 ．
∵ ，∴ ，解得 ．
∴ ，∵ ，解得 ， ．
∴ ．
（2）由（1）可知 ，
当 时，
所以
．1．（2024·福建泉州·一模）记数列 的前n项和分别为 ，若 是等差数列，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是等差数列，可设公差为 ，由 ，
可得 ，解得： ，
所以 ，
再由 得： ，
则数列 的前n项和分别为 ，
即 ，
所以 ，
故选：A.
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
即 ，所以数列 是等差数列，
又 ， ，所以 ，
所以数列 的公差为 ，首项为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：C.
3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知正项数列 的前 项和 满足 ，若
，记 表示不超过 的最大整数，则 （ ）
A．37 B．38 C．39 D．40
【答案】B
【解析】因为 ，
当 时， ， ， .
当 时，由 及 ，即 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项､1为公差的等差数列，因此 ，则 ，
，
又当 时， ，
，
对于 ，
，
即 ，
.
故选：B.4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列 满足 ，则数列 的
前5项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时，
，
，
两式相减可得： ，所以 ，
又 时， ，所以 不满足 ，
所以 ，设 ，数列 的前 项和 ，
所以 ，
设数列 的前5项和为：
.
故选：D.
5．（2024·河南·三模）已知等差数列 的公差大于0且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，,解得
.
故选：B．
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列 的各项均为正数， ，若 表示不超
过 的最大整数，则 （ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，可得 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，因为数列 的各项均为正数，
所以 ，因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，，
则 .
故选：C.
7．（2024·江西·模拟预测）在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差 等比数列”此
类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如 ，故数列 的
前n项和 ．
记数列 的前n项和为 ，利用上述方法求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则 解得 ，所以 ，
则数列 的前n项和为
．
故 ．
故选：B
8．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列 的前n项的积为 ， ，则使得 成立的
n的最大值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】令 ，则 得 ，
当 时，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，所以 ，故 ，所以 ，
当 时， ，
所以
，
所以 ，结合选项，将n的值代入检验，
则使得 成立的n的最大值为2022.
故选：B
9．（多选题）（2024·江西·三模）已知数列 满足 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等差数列
C．数列 的前 项和为 D． 能被3整除
【答案】BCD
【解析】由 可得： ，所以数列 是等比数列，即 ，
则 显然有 ，所以 不成等比数列，故选项A是错误的；
由数列 是等比数列可得： ，即 ，故选项B是正确的；
由 可得：前 项和 ，故选项C是正确
的；
由
，故选项D是正确的；
方法二：由 ，1024除以3余数是1，所以 除以3的余数还是1，从而可得 能补3整除，
故选项D是正确的；
故选：BCD．
10．（多选题）（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，且
，则（ ）
A． B．C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
【答案】ABD
【解析】对于A，设等差数列 的首项和公差为 ，
所以 ，化简可得： ，
又因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，
所以数列 的前n项和为 ，故C
错误；
对于D，令 ，
所以数列 的前n项和为：
，故D正确.
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·安徽淮北·二模）已知数列 的前 项和分别为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． 的前10项和为 D． 的前10项和为
【答案】ABD
【解析】 ，所以 是首项 ，公差 的等差数列，
，故选项A正确.
令 ，则 ，，
又 ， ，
，故选项C错误.
又 ， ，
又 ， ， ，
是首项为 ，公比 的等比数列，
，故选项B正确.
又 ，
是首项为 ，公比为 的等比数列，
，故选项D正确.
故选：ABD.
12．（2024·山西阳泉·三模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的
前100项和 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
故 时，两式相减得，
即 ，
因为 ，即 ，
所以数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，故答案为: .
13．（2024·四川·三模）在数列 中，已知 ， ，则数列 的前2024项和
．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
因此 ，
故答案为： .
14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义： 表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整数，如
， .设函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为 ，
则 ，
【答案】 3
【解析】由函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为 ，
当 时， ，可得 ， ， ，即 ，
当 时， ，可得 或 ， 或 ， 或1或2，即 ，
当 时， ，可得 或1或2， 或 或 ， 或1或2或4或5或6，即
，
当 时，函数 在定义域 上的值域为 ，记 中
元素的个数为 ，
当 时，函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为 ，设 ，则 ， ，
所以 ，
则可得递推关系： ，
所以 ,
当 时， 成立，则 ，则 ，
所以 ，
故答案为：3；
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 也是等差数列．
(1)求数列 的公差；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）设数列 的公差为d，则 ．
因为 是等差数列，所以 为常数．
，
所以 ，解得
（2）因为 ，所以 ．
，
故 ．
16．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知 .
(1)求 ；
(2)证明： 是等差数列，并求出 ；
(3)设 ，求 的前 项和 .
【解析】（1） .（2） ，故 是以1为首项1为公差的等差数列.故
.
（3）因为 ，所以
17．（2024·山西·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，
当 时有 ，
两式相减得 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，此时 仍然成立，
所以 ，
当 时， ，
又 也满足 ，
所以 .
（2）由（1）知
，
所以 .
18．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列 的前 项和为 ，满足 ，数列
也为等比数列．
(1)求数列 的通项公式．(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
结合 ，得数列 的前三项分别为 ，
由题意，得 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为数列 是单调递增的，所以 ，
所以 ．
（2）由（1）知， ，
所以 ，
故
，
故数列 的前 项和 .
19．（2024·四川凉山·三模）如图，点 均在 轴的正半轴上， ， ，…，
分别是以 为边长的等边三角形，且顶点 均在函数 的图象上．
(1)求第 个等边三角形的边长 ；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）记数列 前 项和为 ，则顶点 坐标为 ， ，因为点 在函数 上，
所以 ， ，
则 ， ，
两式相减得， ，
因为 ，所以 ， ，
第一个等边三角形顶点 代入 得 ，
代入 得 ，所以 ，
故 是以 为首项 为公差的等差数列，
所以 ．
（2）由（1）得， ，
所以 ．
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，所以 即 ，而 ，故 ，故 ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ,
所以
故
所以
，
.
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，，即 ， ．
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
4．（2022年新高考天津数学高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【解析】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，所以 ，
所以 .
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）∵ ，∴ , ,
∴
又∵ 是公差为 的等差数列，
, ,
∴ ∴
∴当 时， ，
,
∴
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
6．（2021年天津高考数学试题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【解析】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，所以 ，
所以 .
7．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知
， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【解析】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧- 得 ．
⑨
所以 ．
因此 ．故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设 是等比数列，公比大于0，其前
n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， .
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前n项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得 ，则 .结合等差数列通项公式可
得
（II）（i）由（I），有 ，则 .
（ii）因为 ，裂项求和可得 .
（I）设等比数列 的公比为q.由
可得 .因为 ，可得 ，故 .设等差数列 的公差为d，由 ，可得
由 ，可得
从而 故
所以数列 的通项公式为 ，
数列 的通项公式为
（II）（i）由（I），有 ，
故 .
（ii）因为 ，
所以 .
9．（2020年天津市高考数学试卷）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
10．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得 ， ，由数列 的前三项可猜想数列 是以 为
首项，2为公差的等差数列，即 ．
证明如下：
当 时， 成立；假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
［方法二］：构造法
由题意可得 ， ．由 得 ． ，则
，两式相减得 ．令 ，且 ，所以
，两边同时减去2，得 ，且 ，所以 ，即 ，又
，因此 是首项为3，公差为2的等差数列，所以 ．
［方法三］：累加法
由题意可得 ， ．
由 得 ，即 ， ，……
．以上各式等号两边相加得 ，所
以 ．所以 ．当 时也符合上式．综上所述， ．
［方法四］：构造法
，猜想 ．由于 ，所以可设
，其中 为常数．整理得 ．故
，解得 ．所以 ．又
，所以 是各项均为0的常数列，故 ，即 ．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当 时， ，设 ，即
，则 ，解得 ．
所以 ，即 为常数列，而 ，所
以 ．
故 ．
［方法四］：
因为 ，令 ，则
，
，
所以 ．
故 ．
11．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【解析】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，，
.
