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第 05 讲 数列求和
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：通项分析法............................................................................................................................2
题型二：公式法....................................................................................................................................2
题型三：错位相减法............................................................................................................................3
题型四：分组求和法............................................................................................................................4
题型五：裂项相消法............................................................................................................................5
题型六：倒序相加法............................................................................................................................6
题型七：分段数列求和........................................................................................................................7
题型八：并项求和法............................................................................................................................8
题型九：先放缩后裂项求和................................................................................................................8
02 重难创新练......................................................................................................................................9
03 真题实战练....................................................................................................................................13题型一：通项分析法
1．数列 的前n项和为 .
2．数列 的前n项和 .
3． 年意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，
即 该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用
若此数列各项被 除后的余数构成一新数列 ，则数列 的前 项的和为 .
4．（2024·湖南株洲·一模）数列 的首项为1，其余各项为1或2，且在第 个1和第 个1之间有
个2，即数列 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列 的前 项和为 ，
则 ．（用数字作答）
题型二：公式法
5．（2024·高三·河南郑州·期中）数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，前 项的
和是 .
6．已知等差数列 的首项 ，公差 ，在 中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列
的数一起构成一个新的等差数列 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)插入的数构成一个新数列，求该数列前 项的和 ．7．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 是高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，如
， .若数列 满足 ，且 ，记 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
题型三：错位相减法
8．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求实数 的值和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
9．（2024·江西宜春·模拟预测）数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
10．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．题型四：分组求和法
11．（2024·广东·二模）在等差数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
12．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
13．已知等差数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
14．已知数列 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且满足
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 求数列 的前n项和 ；15．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
题型五：裂项相消法
16．（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，证明： .
17．（2024·广东茂名·一模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18．（2024·四川·模拟预测）已知各项均为正数的数列 为等差数列，各项均为正数的数列 为等比
数列， 成等比数列. 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 的前 项和为 ，求证： .19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的各项均不小于1，前 项和为 是公差为1的
等差数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前 项和 ．
20．（2024·四川成都·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)若 ，证明： 是等比数列；
(2)若 是 和 的等差中项，设 ，求数列 的前n项和为 ．
21．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前10项和.
题型六：倒序相加法
22．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是函
数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.某同学经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
给定函数 ，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：①函数 的对称中心坐标为 ；
②计算 .
23．（2024·上海宝山·一模）已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则
24．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前n项和的方法探求：
若 ，则 .
25．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，
并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个 阶代数方程必有 个复数
解等.若函数 ，设 ，则
.
题型七：分段数列求和
26．已知数列 的前 项和为 ， ，等比数列 的公比为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前10项和．
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 满足 当 时，
(1)求 和 ，并证明当 为偶数时 是等比数列；
(2)求28．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列 中， 为 的前n项和，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前n项和 ，求 .
29．（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列 ，则数列 的前 项和 .
题型八：并项求和法
30．已知数列 满足 ，则 前48项之和为 .
31．（2024·高三·广东深圳·期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ， 是数列 的前 项和.求
32．数列 的通项 ，则前10项的和
33．若数列 的通项为 ，前n项和为 ，则 .
34．数列{ }的前 项和为 ，若 ，则{ }的前2019项和 .题型九：先放缩后裂项求和
35．已知数列 是等差数列，且 ，数列 满足 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，证明： .
36．已知数列 满足 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
37．已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ， ， 成等差数列， ， ， （ ）成等比
数列， ．
(1)求 的值及 的通项公式；
(2)令 ， ，求证： ．1．（2024·福建泉州·一模）记数列 的前n项和分别为 ，若 是等差数列，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知正项数列 的前 项和 满足 ，若
，记 表示不超过 的最大整数，则 （ ）
A．37 B．38 C．39 D．40
4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列 满足 ，则数列 的
前5项和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南·三模）已知等差数列 的公差大于0且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列 的各项均为正数， ，若 表示不超
过 的最大整数，则 （ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
7．（2024·江西·模拟预测）在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差 等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如 ，故数列 的
前n项和 ．
记数列 的前n项和为 ，利用上述方法求 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列 的前n项的积为 ， ，则使得 成立的
n的最大值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
9．（多选题）（2024·江西·三模）已知数列 满足 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等差数列
C．数列 的前 项和为 D． 能被3整除
10．（多选题）（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，且
，则（ ）
A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
11．（多选题）（2024·安徽淮北·二模）已知数列 的前 项和分别为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． 的前10项和为 D． 的前10项和为
12．（2024·山西阳泉·三模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的
前100项和 ．
13．（2024·四川·三模）在数列 中，已知 ， ，则数列 的前2024项和
．
14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义： 表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整数，如， .设函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为 ，
则 ，
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 也是等差数列．
(1)求数列 的公差；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
16．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知 .
(1)求 ；
(2)证明： 是等差数列，并求出 ；
(3)设 ，求 的前 项和 .
17．（2024·山西·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
18．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列 的前 项和为 ，满足 ，数列
也为等比数列．
(1)求数列 的通项公式．(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
19．（2024·四川凉山·三模）如图，点 均在 轴的正半轴上， ， ，…，
分别是以 为边长的等边三角形，且顶点 均在函数 的图象上．
(1)求第 个等边三角形的边长 ；
(2)求数列 的前 项和 ．
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
4．（2022年新高考天津数学高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；(2)证明： ．
6．（2021年天津高考数学试题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0
的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
7．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知
， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设 是等比数列，公比大于0，其前
n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， .
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前n项和为 ，（i）求 ；
（ii）证明 .
9．（2020年天津市高考数学试卷）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
10．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
11．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
