微专题14导数解答题之函数型数列不等式问题（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年新高考数学二轮复习微专题

微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题 【秒杀总结】 1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为 了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路 可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的， 因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边 ， 这样一来，相当于已知一个数列的前 项之和，求 ，利用数列的知识可知 .所以，接下来只需要证明 即可. 2、几种常见的数列放缩方法： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10）； （11） ； （12） ； （13） . 3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再 用数列求和法而得解. 【典型例题】 例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数 . (1)若 恒成立，求 的取值范围； (2)证明：对任意 ； (3)讨论函数 零点的个数. 【解析】（1）求导可得： ， 若 ，对任意的 ， ， 为减函数， 所以 ， 若 ，考查函数 ， 当 ，即 时， ， 此时 在 上为减函数， 有 ， 当 ，即 时，令 可得： ， ， 所以当 时， ， 为增函数， 所以 ，不符题意， 综上可得： 的取值范围为 ；（2）由（1）知当 时， 成立， 即 时，恒有 ， 即当 时 成立， 取 （ ）， 有 ， 即 ， ， 将上述几个不等式相加可得： ， 整理可得 ， 即 成立； （3）由 （ ）， 当 时， ， 为减函数， 又 ， ， 此时 在 上有一个零点， 当 时，令 ，可得 或 （舍）， 此时 有一个零点， 当 时，考查函数 ， 若 ，即 时， ， 所以 为减函数，由 ， ， 此时 有一个零点， 若 ， 时， 有两解，， ， 此时 在 上为减函数，在 上为增函数， 由 ， 令 ， ， 所以 在 上为增函数，又 ， 所以 ， 所以极小值 极大值 ， 由 取 ， ， 令 ， ，令 ，则 ， 由 所以 ，所以 为减函数， 所以 ，所以 为减函数， 所以 ， 所以 ， 可得 ， 此时 有三个零点， 综上可得： 时 有一个零点， 时 有三个零点. 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．(1)证明：对 恒成立； (2)是否存在 ，使得 成立？请说明理由． 【解析】（1）证明：由 ，得 ， 令 ，得 ， 令 ，得 ， ，且当且仅当 ， 所以 在 上单调递增，故 ，且当且仅当 ， 所以 在 上也单调递增，故 ，且当且仅当 ， 所以 在 上仍单调递增，故 ； （2）对于右侧：由（1）可知，当 时， ，即 ， 故 ， 所以 ， 所以该侧不等号始终成立； 对于左侧：由（1）可知当 时， ． 设 ， ，则 ． 在 上有 ，所以 在 上单调递增，故当 时， ． 此时 ， 令 ， 可知 ， 所以当 时，， 令 ，注意到 ，所以可得到 一个充分条件， 即 ， 所以任取 ，则该侧不等式成立，（ 表示 整数 部分）， 因此，对于任意 ，原不等式都成立．即所求的n是存在的． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)当 时，求证： ； (2)求证： ． 【解析】（1）证明：要证 ， 即证 ， 即证 ，令 ，即证 ， 令 ， 当 时，即 时， 由 ，可得 ，因为 ， ， 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减，则当 时， ， 所以 ； （2）证明：由（1）知，当 时， ，令 ，则 ， 即 ， 所以 ， ……． ， 以上各式相加，得 ， 则 ，而 ， 即 . 例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数 ． (1)当 时， ，求 的取值范围； (2)是否存在 ，使得 ？说明理由． 【解析】（1）由 ，得 ． 令 ，得 ． 令 ，得 ． （ⅰ）当 时， ，且 当且仅当 ， 所以 在 单调递增，故 ，且 当且仅当 ． 所以 在 也单调递增，故 ，且 当且仅当 ． 所以 在 仍单调递增，故 ； （ⅱ）当 时，注意到 在 单调递增，且 ， ， 所以存在唯一 ，使得 ，且在 有 ． 所以 在 单调递减，故在 有 ．所以 在 也单调递减，故在 有 所以 在 仍单调递减，故 ， 不恒成立； （ⅲ）当 时，由（ⅰ）可知当 就有 ， 不恒成立； （ⅳ）当 时，由（ⅰ）可知 ． 综合上述讨论， 的取值范围为 ； （2）对于右侧：由（1）可知 ，由 所以右侧不等号始终成立； 对于左侧：由（1）可知当 时， ． 设 ，则 ． 在 有 ，所以 在 单调递增，故当 时， ．此时 ． 令 ，可知 ． 所以当 ， 时， 令 ，注意到 ，所以可得到一个充分条 件 ．所以任取 ， ，则该侧不等式成立． 因此，对于任意 ， ，原不等式都成立．即所求的 是存在的. 例5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 . (1)当 时， ，求 的最大值； (2)设 ，证明： . 【解析】（1） 的定义域为 ， ， 因为 在 上单调递增， ， ①当 时，对于任意的 ，有 ，所以 在 上单调递 增， 则对于任意的 ， ，所以 符合题意； ②当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上单调递减， 在 上单调递增， 则 ，这与当 时， 矛盾，所以 舍去； 综上， ，所以 的最大值为1. （2）由（1）可知，当 时，有 ，即 ， 令 ， ，则 ， 所以 ， ，…， ， 将以上不等式左右两边分别相加，得 ， 所以 . 例6．用导数证明不等式，本题方法是利用已有结论构造出形式相关的不等式 ，即可利用累加法结合适当变形可得结论例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)若 在区间 上单调递增，求a的取值范围； (2)证明： ， 【解析】（1） ，当 时， ， ，∴当 时， ， 在区间 上单调递增， 当 时， ， ，∴当 时， ，∴ 在区间 上单调递减，不合题意， ∴若 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围为 ． （2）欲证 ，只需证 ， 只需证 ，即证 ， 只需证 ，由（1）可知当 时， 在区间 上单调递增， ∴ ，∴当 时，不等式 恒成立，即 恒 成立，∴ ， 即 ，同理 ，…， ， 将上述不等式累加得：又 ， ∴不等式 得证，∴不等式 得证． 例8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 . （1）证明： 时， ； （2）证明： . 【解析】（1） 时， ， 故 为增函数， ； （2）由（1）知： ， 令 时，有 ， 故 ， ，…， ， 将 式相加得： ， ∴ . 【过关测试】 1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知 为正实数，函数 . (1)若 恒成立，求 的取值范围；(2)求证： （ ）. 【解析】（1） ， ①若 ，即 ， ，函数 在区间 单调递增，故 ，满足条件； ②若 ，即 ，当 时， ，函数 单调递减，则 ，矛盾，不符合题意. 综上所述： . （2）先证右侧不等式，如下： 由（1）可得：当 时，有 ，则 ， 即 ，即 ， 则有 ， 即 ，右侧不等式得证. 下证左侧不等式，如下： 构建 ，则 在 上恒成立， 故 在 上单调递减，则 ， 即 ，可得 ，即 ， 则有 ， 即 ， ∵ ，则， 故 ，左侧得证. 综上所述：不等式 成立. 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 . (1)若 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若 ， 均为正数， .证明： . 【解析】（1）（1） ，∴ ，∴ ， ∴ 设 ， ， 当 时， ，当 时， ， ，∴ ； （2）由（1），知 ，则 ， ， ， ， 累加可得 ， 又 所以 ，即 . 3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 . (1)若 ，求 的极值； (2)若 在 上恒成立，求 的取值范围； (3)证明： . 【解析】（1）当 时， ，该函数的定义域为 ， . 当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减， 此时，函数 在 处取得极大值，且极大值为 . （2）当 时， ，此时函数 在 上为增函数， 因为 ，不合乎题意； 当 时， ，当 时， ，不合乎题意； 当 时，由 可得 . 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以， ， 令 ，其中 ，则 ， 所以，函数 在 上单调递减，由 可得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . （3）证明：当 时， 对任意的 恒成立，所以， ， 所以， ， 所以， ， 因此， . 4．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数 . (1)当 时，讨论函数 的单调性；(2)曲线 与直线 交于 ， 两点，求证： ； (3)证明： . 【解析】（1）当 时， ， ， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增. （2） ，则 ， 由题意，知 有两解 ， ，不妨设 ， 要证 ，即证 ， ①若 ，则 ； ②若 ，由 知， 在 上单调递减，在 上单调递增，也有 ， 综合①②知， ，所以只需证 （*）. 又 ， ， ∴两式相减，整理得 ，代入（*）式， 得 ，即 . 令 ，即证 . 令 ，则 ， ∴ 在其定义域上为增函数，∴ ，∴ 成立. （3）由（2）知， ，故 ， ，取 ， ，所以， ， 累加，得 . 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数）， ． (1)讨论函数 的单调性； (2)若对任意的 都有不等式 成立，求实数a的值． (3)设 ，证明： ． 【解析】（1）函数 定义域为R， ． ①当 时， 恒成立，函数 在区间 上单调递增； ②当 时，解 可得 . 解 ，得 ，所以函数 在 上单调递增； 解 ，得 ，所以函数 在 上单调递减. 综上所述，当 时，函数 在区间 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）令 ， 定义域为 ， . ①当 时， 单调递增， 的值域为R，不符合题意； ②当 时， ，也不符合题意； ③当 时，令 ，则 恒成立， 所以 在 上单调递增. 当 时， ，又 ，根据零点存 在定理以及函数的单调性可知 ，有 ，即 有唯一解 ，有，此时 ； 当 时， ，又 ，根据零点存在 定理以及函数的单调性可知 ，有 ，即 有唯一解 ，有 ，此时 . 综上所述，对 ， 都有唯一解 ，有 ，此时 . 又当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增. 所以 ， 故只需 . 令 ，上式即转化为 ，设 ，则 . 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减. 所以，当 时， 有最大值 ，所以 ， 所以 . 又 ，所以 ，所以 . 由 ，解得 ． 综上所述，满足条件的实数a的值为1. （3）证明：由（1）知，当 时，对任意实数x，都有 ， 即 ，当且仅当 时，等号成立. 令 ， ，2，3，…， ， ， 则 ，即 ， 所以． 6．（2023·广东·高三统考期末）已知函数 ，其中 为自然 对数的底数， . (1)当 时，函数 有极小值 ，求 ； (2)证明： 恒成立； (3)证明： . 【解析】（1） ，令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 有极小值 ， 所以 ，即 . （2）证明：不等式 恒成立，即 恒成立， 设 ，则 ， 易知 是定义域上的增函数，又 ， 则 在 上有一个根 ，即 当 时， ，当 时， 此时 在 单调递减，在 单调递增， 的最小值为 ， ， ， ， 恒成立，故结论成立.（3）证明：由（2）知， ，令 ， 则 . 由此可知，当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， ， 当 时， ， 累加得： ， 又 ， 所以 . 7．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 . (1)求函数 的最小值； (2)证明： . 【解析】（1） ， ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 （2）由（1）知 ， 即 （当且仅当 时等成立）， 令 ，则 ，所以 ，而 ，故 ， 从而 ， ，…， ， 累加可得 ，命题得证. 8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 (1)证明:当 时 ； (2)设 ，证明 【解析】（1）∵ ， ∴ ． 令 ，则 ． 当 时， ． ∴ 在 上单调递减，故 ． ∵ ，∴ ． ∴ 在 上单调递减，故 ． ∴当 时， ． （2）由（1）可知，当 时， ． 令 ，则上式化为 ． ∴ ， ． 令 ， *得 ． ∴ ， ． ∵ ．∴ ，得证． 9．（2023春·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数 . (1)求 的单调区间； (2)若 ，证明： . 【解析】（1）因为 ， ①当 时， 在 上递增； ②当 时，由 得， ， i）当 时， ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增. ii）当 时， ， 当 时， ； 当 时， ， 所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增. 综上，当 时，单调减区间为 ，单调增区间为 ； 当 时，单调减区间为 ，单调增区间为 和 ；当 时，单调增区间为 ，无减区间. （2）要证 ， ， 先证 ，令 ， ， 对 恒成立， ， ，证毕! 10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）. (1) ，求证： ； (2)证明： .( ) 【解析】（1）先证 ，令 ，此时 ，故 ， 所以 在 上单调递增， 所以 ，即 . 再证 ， 令 ， ， ， 在 上单调递增， 故 ，即 ， 综合以上可得 时， ； （2）由（1）可知 ， ， 要证 ，只需证 ， 即证 ，即证 ； ，要证 ，即证 令 ，则 ， 在 上单调递增， ， ， 所以 在区间 上存在零点 ，则 时， ， 时， ， 故 在 上单调递减， 上单调递增， 而 ， ， 由于 ， ,故 ， 故 ， 所以 时， ， 故当 时， 成立，当 时， 也成立， 所以， 得证，则 成立. 11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 . (1)试比较 与1的大小； (2)求证： . 【解析】（1） 的定义域为 ， 令 ， 则 ， 所以 在 为增函数， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， （2）由（1）可得：当 时， ，即： ， 将 代入可得： ，整理可得： ， 则有：， ， …， ， 将以上 个式子两边分别相加，可得： ， 即证： ，故不等式得证. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 . (1)试判断函数 在 上单调性并证明你的结论； (2)若 对于 恒成立，求正整数 的最大值； (3)求证： ． 【解析】（1）函数 在 上为减函数，证明如下： 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， ，所以 ， 即函数 在 上为减函数. （2）由 恒成立，即 恒成立， 即 ， 设 ，其中 ，所以 ， 令 ，则 ，即 在 为增函数， 又 ， ， 即存在唯一的实数 ，满足 ， 当 时， ， ，当 时， ， ，即函数 在 为减函数，在 为增函数， 则 ， 故整数 的最大值为 . （3）证明：由（2）知， ，则 ，其中 ， 令 ，则 ， 则 ， 故 . 13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， . (1)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围； (2)求证： . 【解析】（1） 等价于 ，即 ， 记 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 由 ， ， 所以 ，即 不恒成立； 当 时，则 ，当 时， ， 所以 在 上单调递增， 则 ， 所以 不恒成立； 当 时， ， ， 在 上单调递减，所以 ， 所以 ，即 恒成立， 所以 在 上恒成立，实数 的取值范围是 ； （2）证明：当 时， 在 上成立，即 ， 令 ，则 ， 所以 ， 所以 . 14．（2023·全国·高三专题练习）已知 . (1)求函数 的单调区间； (2)设函数 ，若关于 的方程 有解，求实数 的最小值； (3)证明不等式： . 【解析】（1） ， ， 由 得 ， 当 时， . 函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 . （2）函数 ， ， ，令 ，得 . 时， ， 时， ， 在 递减，在 递增， ， 关于 的方程 有解，则实数 的最小值为0. （3）证明：由（2）得 在 上恒成立，令 ，则有 ， ， ， ， ， ， ， . 15．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 图象经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上； 又 ， ，且 ，对任意 都成立. (1)求数列 ， 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ； (3)求证： ① ； ② . 【解析】（1）设二次函数 ， ， ，则 ， 在 上， 当 时 ， 又 时 符合， ， 则 ， 由 得， ①， 令 代入上式得， ②， ① ②得， ，即 ， 又 不满足上式，； （2）由（1）得， ， ③， ④， ③ ④得， ， 则 ， （3）①设 ，则 ， 在 上是增函数， ，即 ， 故 ； ② ， 当 ， 时，令 代入上式得： ，即 ， 令 代入上式得， ， ， 则 ， 故结论成立. 16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .（1）若 恰为 的极小值点. ①证明： ； ②求 在区间 上的零点个数； （2）若 ， ，又由 泰勒级数知： ，证明： 【解析】（1）①由题意得： ， 因为 为函数 的极值点，所以， ， 令 ，则 ， 在 上单调递增. 因为 ， ， 所以 在 上有唯一的零点 ，所以 ； ②由①知： ， ， ， （i）当 时，由 ， ， ， ，得 ， 所以 在 上单调递减， ， 所以 在区间 上不存在零点； （ii）当 时，设 ，则 . （a）若 ，令 ，则 ， 所以 在 上单调递减， 因为 ， ， 所以存在 ，满足 ， 当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减； （b）若 ，令 ， ， 则 ，所以 在区间 上单调递减， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 在 上单调递减； （c）若 ，则 ， 在 上单调递减. 由（a）（b）（c）得， 在 上单调递增， 在 单调递减， 因为 ， ， 所以存在 使得 ， 所以，当 时， ， 在 上单调递增， ， 当 时， ， 在 上单调递减， 因为 ， ， 所以 在区间 上有且只有一个零点. 综上， 在区间 上的零点个数为 个； （2）因为 ，（*） 对 ， 两边求导得： ， ， 所以 ，（**）比较（*）（**）式中 的系数，得 所以 . 17．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知函数 . （1）讨论 的零点个数. （2）正项数列 满足 ， （ ），求证： . 【解析】（1） 的定义域为 ，令 ，则 . 当 时 ；当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增， 的最小值为 . 当 时， ，此时 无零点. 当 时， ，此时 只有一个零点 当 时， ， ，又 ， 在 上有且只有一个零点. ，令 ， ， ， ， ， ， ， 所以 在 上有且只有一个零点. 综上： 当 时，函数无零点； 当 时，函数有且只有一个零点； 当 时，函数有两个零点. （2）由（1）知：当 时， ， ， ， ， ，， . 18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知函数 在 处的切线方程为 . （1）求函数 的解析式； （2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围； （3）求证： . 【解析】（1） ，该函数的定义域为 ， ， 由题意可知，点 在直线 上， ， 由题意得 ，解得 ， ； （2）对任意的 ，由 ，得 ，即 ， 令 ，其中 ，则 ， ，令 ，可得 ，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值，即 . ，因此，实数 的取值范围是 ； （3）由（2）可知，当 时， ，则 ，当 时， ， ， ， ， ， 上述不等式全部相加得 . 因此，对任意的 ， . 19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 . （1）对定义域内的任意 ,都有 ，求 的取值范围； （2）若 在 处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数 ， 其中 为自然对数的底数． 【解析】（1）由函数 ， 则 ，其中 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 则 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ，所以 . （2）因为 在 处取得极值，可得 ，解得 ，所以 ， 由（1）可得，当 时，函数 取得最小值 ， 所以 ，即 ，即 ，当且仅当 时等号成立， 令 ，且 ，则有 ， 可得 ， 相加得 ， 又由 ， 因为 ， 可得 ，所以 .20．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数 ． (1)若 ，求 的值； (2)证明： ． 【解析】（1）设 ，则 ， ，令 ，可得 ， 令 ，其中 ，则 ， 令 ，其中 ，则 ， 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以， . ①当 时， ，则 且 不恒为零， 所以，函数 在 上单调递减， 所以，当 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减， 所以， ，即 ； ②当 时， ，则 ， 所以，函数 在 上单调递减， 因为 ， ， 此时，存在 ，使得 ，且当 ， ， 单调递减， 所以， ，不合乎题意； ③当 时， ， 因为 ， ， 由于函数 在 上单调递减，故存在 ，使得当 时， ，此时， ，则函数 在 上单调递增， 故当 时， ， 单调递增， 所以， ，不合乎题意. 综上所述，若 ， . （2）证明：设 ，则 ， ，令 ，可得 . 当 时，设 ， 则 ， 设 ，则 ， 当 时， ，此时函数 单调递增； 当 时， ，此时函数 单调递减. 所以，当 时， ， 因为当 时， 且 ，此时 ， 当 时， ，此时也有 ， 所以，当 时， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以，当 时， ，所以， ， 所以， ，故原不等式得证. 21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 . (1)若不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明： .【解析】（1） ， ， ， ， ， 时， ， ∴ ，函数 在 上单调递增， ∴ 恒成立，满足条件. 时，对于方程 ，其 ，方程有两个不相等的实数根 ， ， ， ， 当 时， ，此时函数 单调递减， ，则 ，不满足条件，舍去. 综上可得：实数a的取值范围是 . （2）证明：由（1）可知：取 时，函数 在 上单调递增， ∴ 在 上恒成立， 令 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ .