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跟踪训练 05 空间向量与立体几何
一．选择题（共15小题）
1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，若 ，则
A． B． C．2 D．
2．在三棱柱 中，可以作为空间向量一组基底的是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．如图，已知四面体 的所有棱长都等于 ， ， ， 分别是棱 ， ，
的中点．则 与 分别等于
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
4．已知 ， ， ，则 等于
A． B． C． D．
5．正四面体 的棱长为 ，若点 是该正四面体外接球球面上的一动点，则
的最大值为A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
7．空间一点 ，3， 出发的一束光线射到平面 上反射后，经点 ，2， 出去，
则该束光线从 到 所经历的路程是
A．2 B． C． D．
8．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A． B．
C． D．
9．已知 是坐标原点，空间向量 ， ， ，若线段
的中点为 ，则
A．9 B．8 C．3 D．
10．已知 ，2， ， ，1， ， ，0， 若 ，则 的值为
A． B．1 C．2 D．
11．如图，正五边形 放入某平面直角坐标系后，若顶点 ， ， ， 的坐标分
别是 ， ， ， ，则点 的坐标是A． B． C． D．
12．在空间直角坐标系中，以 ，1， ， ， ， ， ，4， 为顶点的三角
形是等腰三角形，其中 ，则 的值为
A． B．4 C． 或4 D．6或4
13．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边
形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图
立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体
的棱长都是2（如图）， ， 分别为棱 ， 的中点，则
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点， 为 的
中点，若 ， ， ，则A． B． C． D．
15．如图，在平行六面体 中 ， ， ， 为 的中
点，则用向量 ， ， 可表示向量 为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
16．已知空间内不同的四点 、 、 、 ，空间内不共线的三个向量 、 、 ， 、
，则下列命题正确的是
A．“ ”是“ 、 、 、 共面”的充分且必要条件
B．“ ”是“ 与 、 共面”的充分且必要条件
C．若 ，则
D．一定存在一组实数 、 ，使得 成立
17．下列说法，不正确的是A．在空间直角坐标系中， 是坐标平面 的一个法向量
B．若 是直线 的方向向量，则 也是直线 的方向向量
C．若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
D．对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ，
， ， 四点共面
18．已知三个非零向量 ， ， 共面，则
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ，则存在实数 ，使
19．如图， ， ， 两两垂直，且 ， ， ，以点 为坐标原点，
， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，则
A．点 关于直线 的对称点的坐标为 ，2，
B．点 关于点 的对称点的坐标为 ，2，
C． 夹角的余弦值为
D．平面 的一个法向量的坐标为 ，1，
20．下列关于空间向量的命题中，正确的有
A．已知向量 、则 、 与任意向量都不能构成空间的一个基底B．若 ， ， ， 四点共面，则
C．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
D．在四面体 ， ， ， 中，若 ，则
三．填空题（共5小题）
21．已知空间向量 ，2， ， ，3， ，且 与 相互垂直，则实数
的值为 ．
22．与 同向的单位向量 是 ．
23．在空间直角坐标系 上，有一个等边三角形 ，其中点 在 轴上．已知该
等边三角形的边长为2，重心为 ，点 ， 在平面 上，若 在 轴上的投影是
则 （用字母 表示）．
24．已知向量 ，则 ．
25．已知点 ，1， 、 ，0， ，若 ，且 ，求 的坐标 ，
．
四．解答题（共3小题）
26．如图，在三棱锥 中， ， ，点 ， 分
别是 ， 的中点．
（1）求 的值；
（2）求异面直线 ， 所成角的余弦值．27．如图所示，在平行六面体 中， 、 分别在 和 上，且
， ．
（1）证明 、 、 、 四点共面；
（2）若 ，求 的值．28．已知在正三棱锥 中，点 ， 分别是线段 ， 的中点，记 ，
， ．
（1）分别用 ， ， 来表示向量 ， ；
（2）若 ， ， 是两两垂直的单位向量，求向量 与 的数量积．
