6.7 平面向量在几何与物理中的应用
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量在平面几何中的应用..................................................2
考点二：用向量解决平面几何问题的步骤.........................................2
考点三：用向量证明平面几何问题的两种基本思路............................. 2
考点四：向量在物理中的应用举例..................................................2
考点五：利用向量法解决物理问题的步骤.........................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：用向量解决平面几何中的平行问题......................................3
题型二：用向量解决平面几何中的垂直问题......................................4
题型三：用向量解决线段的长度问题...............................................8
题型四：用向量解决夹角问题....................................................... 9
题型五：判断几何图形的形状......................................................11
题型六：向量与几何最值........................................................... 12
题型七：力的合成.................................................................... 13
题型八：速度、位移的合成........................................................ 16
题型九：功、动量的计算........................................................... 19
模块三：综合巩固....................................................................... 19
6.7 平面向量在几何与物理中的应用
模块一：基础知识
考点一：向量在平面几何中的应用
（1）平面两个向量的数量积：
| ||
| cos
a b
a b
；
1
2
1
2.
a b
x x
y y
（2）向量平行的判定:
/ / (
0)
a
b b
a
b
；
1
2
2
1
/ /
0.
a
b
x y
x y
（3）向量平行与垂直的判定:
0
a
b
a b
；
1
2
1
2
0.
a
b
x x
y y
（4）平面内两点间的距离公式：
2
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
（其中
)
,
(
1
1 y
x
A
，
)
,
(
2
2 y
x
B
）
（5）求模：
a
a a
；
2
2
a
x
y
；
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
a
x
x
y
y
（6）对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平
面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
考点二：用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
考点三：用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
考点四：向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就
是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,
再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既
有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标
来求解.
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力F
与位移s
的数量积,
即
|
|| | cos
W
F s
F
s
(为F
与s
的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量mv
实际上是数乘向
量.
在解决问题时要注意数形结合
考点五：利用向量法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
模块二：题型分类
题型一：用向量解决平面几何中的平行问题
1.在四边形����中，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，�，�是��，��上的点，且��＝��.
求证：��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ.
2.已知在四边形ABCD中，
/ /
AB
CD
，求AD
与BC
分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形.
3.求证：顺次连接任意凸四边形各边中点，构成一个平行四边形．
4.证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.
5.在ABC
中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，
2
AM
MB
，
2
AN
NC
.求证：
//
MN BC .
题型二：用向量解决平面几何中的垂直问题
1.在平面四边形ABCD 中，
2,3
AC
，
6,4
BD
，则该四边形的面积为（
）
A．52
B．2 52
C．13
D．26
2.用向量的方法证明在等腰三角形ABC 中，AB
AC
，点M 为边BC 的中点，求证：AM
BC
．
3.如图，正方形ABCD 的边长为a，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，求证：DE⊥AF.
4.(多选)已知点
2,1
A
，
3, 2
B
，
18
5, 5
C
，
1,6
D
，则以下四个结论正确的是（
）
A．
/ /
AB
CD
B．AB
AD
C．AC
BD
D．AC
BD
5.用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．
6.在平面直角坐标系中，ABC
的三个顶点坐标分别为
0,
A
b ，
,0
B
a
，
,0
C a
(且
0
ab
)，D 为AB 的
中点，E 为ACD
的重心，F 为ABC
的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：EF
CD
．
7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F，G 分别是AD，BC 的三等分点
1
1
,
3
3
AF
AD BG
BC
.设AB a
= ，AD
b
.
(1)用a
，b
表示EF
，EG
.
(2)如果
3
|
|
|
|
2
b
a
，EF，EG 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
8.已知平面四边形ABCD中，|
| |
| 2|
| 2,|
|
3
AB
AD
DC
BC
，向量
,
AB AD
的夹角为3
.
(1)求证：AB
BC
；
(2)点E 是线段BC 中点，求EA ED
的值.
9.已知在ABC
中，点M 是BC 边上靠近点B 的四等分点，点N 为AB 中点，设AM 与CN 相交于点P .
(1)请用AB
、AC
表示向量AM
；
(2)设AB
和AC
的夹角为，若
1
cos
4
，且
2
AC
AB
，求证：CN
AB
.
10.如图所示，以△���两边��，��为边向外作正方形����和����，�为��的中点.求证：��⊥��.
11.如图，正方形ABCD 的边BC 在正方形BEFG 的边BG 上，联结AG、CE，AG 交DC 于H．
（1）证明：��⊥��；
（2）当点C 在BG 的什么位置时，��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬ最小？
12.在平面直角坐标系中，△���的三个顶点坐标分别为�0, �，�−�, 0 ，��, 0 (且��≠0)，D 为AB 的
中点，E 为△���的重心，F 为△���的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：��⊥��．
题型三：用向量解决线段的长度问题
1.已知ABC
，
1
AB ，
2
AC
，
60
BAC
，点D 在BC 边上且
1
3
BD
BC
，则AD 长度为（
）
A．
3
B．
3
2
C．
3
3
D．2 3
3
2.已知
,
2 ,|
| 2 |
| 2, ,
AB
a
b AC
a
b a
b
a b
的夹角为π
3 ，则三角形ABC 的BC 边上中线的长
为
.
3.一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了6km到达B 地，由B 地向南东30方向骑行了6km到达C 地，从
C 地向北偏东60骑行了2 3km 到达D 地，则A，D 两地的距离是
km ．
4.在ABC
中，点D 是边BC 的中点，
120
BAC
，
3
AB ，
19
2
AD
，则AC 的值为（
）
A．5
B．6
C．
31
D．33
5.已知向量
6
AB AC
，线段BC 的中点为M ，且
6
AM
，则BC
（
）
A．2 30
B．3 30
C．2 26
D．3 26
6. ABC
中，
60
A
，∠A 的平分线AD 交边BC 于D，已知
3
AB ，且
1
2
3
3
AD
AC
AB
，则AD 的长
为（
）
A．
3
B．3
C．2 3
D．3 3
7.如图，在ABC
中，
1
1
1
4,
6,
,
,
,
4
2
2
2
AB
AC
BD
DC BE
EA AF
FC DE DF
.
(1)求BC 的长；
(2)求AD 的长.
8.在平面四边形ABCD中，
1
1
2
AB
BC
CD
DA DC
BA BC
，
，则AC
；
BD CD
.
9.在△ABC 中，
π
3
BAC
，
2
AB
，
3
AC
，
2
DC
BD
，AD
.
题型四：用向量解决夹角问题
1.若两个非零向量,a b
满足
2
a
b
a
b
a
，则向量a
b
与a b
的夹角是（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
2.已知向量
1
3
,
2
2
AB
，
3
1
,
2
2
BC
，则
ABC
（
）
A．30°
B．150°
C．60°
D．120°
3.如图所示，AC 为
O
的一条直径，
ABC
为圆周角.求证：
90
ABC
.
4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A 与坐标原点重合，B，D 分别在x，y 轴正半轴上，
4
AB
，
2
AD
，点
E 为AB 上一点
(1)若DE
AC
，求AE 的长；
(2)若E 为AB 的中点，AC 与DE 的交点为M，求cos
CME
．
5.如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于M，
则cos
EMF
.
6.在Rt
ABC
△
中，
90
A
，
2
AB
，
3
AC
，
2
AM
MC
，
1
2
AN
AB
，CN 与BM 交于点P，则cos
BPN
的值为（
）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
5
5
D．2 5
5
7.在ABC
中，已知
2
AB
，
3
AC
，
π
3
BAC
，AC 和BC 边上的两条中线BM ，AN 相交于点P ，则
MPN
的余弦值为
题型五：判断几何图形的形状
1.在ABC
中，若AB AC
BA BC
，则ABC
的形状为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
2.已知ABC
的三个顶点分别是
1,0
A
，
10
B
,
，
1
3
,
2
2
C
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．斜三角形
D．等腰直角三角形
3.在△ABC 中，若|
| |
|
AB
AC
AB
AC
，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
4.已知ABC
中，
0
BA
BC
AC
，
3
AB
AC
AB
AC
，则此三角形为（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
5.在四边形ABCD中，
0,
AB BC
BC
AD
uuur uuur
uuur
uuur
，则四边形ABCD的形状是
.
6.在四边形ABCD中，若
0,
0
AB
CD
AC BD
，则四边形为（
）
A．正方形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
7.若平面四边形ABCD 满足：
0
AB
CD
，(
)
0
AB
AD
AC
，则该四边形一定是（
）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
8.若平面四边形ABCD满足
0
AB
CD
，(
)
AB
AD
在AC
方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（
）
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
题型六：向量与几何最值
1.在梯形ABCD 中，
//
AD BC
，AB
BC
，|
| 2
AB
，|
| 2 |
|
BC
AD
.若点P 在线段BC 上，则|
3
|
PC
PD
的
最小值是（
）
A．7
2
B．4
C．9
2
D．6
2.已知ABC
为等边三角形，
2
AB
，ABC
所在平面内的点P 满足
1,
AP
AB
AC
AP
的最小值
为
．
3.在平行四边形ABCD中，
2
3 2
1
AB
AD
AM
MD MB MC
，
，
，
，则
BAD
；点P 是线段BC
上的一个动点，当PA PB
最小时，BP
．
4.已知平面向量a
与a
b
的夹角为60，若
0
a
t b
恒成立，则实数t 的取值范围为（
）
A．2 3,
3
B．
3 ,
2
C．
2,
D．1 ,
2
5.已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，
2
MN
，P 为正六
边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN
的最小值为
.
6.在等腰梯形ABCD 中，已知AB
DC
，
60
ABC
，
2
BC
，
4
AB
，动点E 和F 分别在线段BC 和
DC 上，且BE
BC
，
1
2
DF
DC
，则AE BF
的最小值为
.
7.如图，在ABC
中，D 为AB 的中点，
4
AB
，
3
CD
，EF 是圆心为C、半径为1 的圆的动直径，则
BE AF
的取值范围是（
）
A．
2,5
B．
1,7
C．
0,8
D．
1,9
8.已知点M 为Rt
ABC
△
外接圆O 上的任意一点，
90 ,
1,
3
ABC
AB
BC
，则
OA
OB
BM
的最大
值为（
）
A．1
B．3
2
C．
3
D．5
题型七：力的合成
1.一物体在力
1
2
3
(3, 4),
(2, 5),
(3,1)
F
F
F
作用下，求三个力的合力.
2.已知作用在原点上的三个力
1
1, 2
F
，
2
3,2
F
，
3
1,2
F
，求这些力的合力F
的坐标．
3．如图，两个力
1F
和
2
F
同时作用在一个物体上，其中
1F
的大小为40N ，方向向东，
2
F
的大小为30N ，
方向向北，求它们的合力．
4．已知质点O 受到三个力
1
OF
，
2
OF
，
3
OF
的作用，若它们的大小分别为20N ，30N ，40N，且三个力
之间的夹角都是120，求合力的大小和方向.
5．平面上三个力
1F
、2
F
、3
F
作用于一点且处于平衡状态，
1
|
| 1N
F
，
2
6
2
|
|
N
2
F
，1F
与
2
F
的夹角为45，
求：
(1)
3
F
的大小；
(2)
3
F
与
1F
夹角的大小．
6．解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3 根细绳均匀地固定在横梁上.在其中
一个秤盘中放入质量为1kg 的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg 的砝码，天平平衡.3 根细绳通过秤盘
分担对物品的拉力（拉力分别为
1F
，
2
F
，
3
F
），若3 根细绳两两之间的夹角均为3
，不考虑秤盘和细绳本
身的质量，则
1F
，
2
F
，
3
F
的大小分别是多少？
7．如图，用两根绳子把重10 kg 的物体W 吊在水平杆AB 上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A 和B 处所
受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度
2
10m / s
g
)
8.如图，在细绳l 上作用着一个大小为200N 的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细
绳的另一端与水平面平行，求物重G 的大小．
9.如图，重为4N 的匀质球，半径为
6cm
R
，放在墙与均匀的木板AB 之间，A 端固定在墙上，B 端用水
平绳索BC 拉住，板长
10cm
l
，木板AB 与墙夹角为，如果不计木板重，当为60时，求绳的拉力大
小.
10.如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每
条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F．
(1)如果
30
，求F 的大小；
(2)试研究：当0
90
时，随着的增大，F 的变化趋势．
题型八：速度、位移的合成
1.在平面内以点O 的正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做
直线运动，分别求下列位移向量的坐标：
(1)向量a
表示沿北偏东60移动了3 个单位长度；
(2)向量b
表示沿西北方向移动了4 个单位长度；
(3)向量c
表示沿南偏西30移动了3 个单位长度；
(4)向量d
表示沿东南方向移动了4 个单位长度.
2.飞机从A 地向西北飞行200km 到达B 地后，又从B 地向东飞行100 2 km 到达C 地，再从C 地向南偏东
60°飞行50 2 km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移．
3.如图，一艘船从长江南岸点A 出发，以2 3 km/h 的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东
2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
4.如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游
船在静水中的航行速度
1v
的大小为
1
10
v
km/h ，水流速度
2v
的大小为
2
4
v
km/h ，设
1v
和
2v
的夹角
为，北岸A在A 的正北方向．
(1)当
120
=
° 时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当cos多大时，游船能到达A处？需航行多长时间？
5.如图，一条河两岸平行，河的宽度
3km
AC
，一艘船从河边的A 点出发到达对岸的B 点，船只在河内
行驶的路程
2km
AB
，行驶时间为0.2h .已知船在静水中的速度
1v 的大小为
1v ，水流的速度
2v 的大小为
2
2km/h
v
.求：
(1)
1v ；
(2)船在静水中速度
1v 与水流速度
2v 夹角的余弦值.
6.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度
500m
d
，一艘船从A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大
小为
1
10km/ h
v
ur
，水流速度的大小为
2
4km/ h
v
ur
，设
1v
和
2v
的夹角为
0
180
．
(1)当cos多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
7.如图，设Ox、Oy 是平面内相交成60角的两条数轴，
1
2
e ,e
分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，
若向量
1
2
e
e
OP
x
y
，则把有序数对
,x y 叫做向量OP
在坐标系xOy 中的坐标，设
1
2
2e
e
OP
uuur
ur
ur
.
(1)计算OP
的大小；
(2)甲在Ox 上距O 点3 千米的点A 处，乙在Oy 上距O 点1 千米的点B 处，现在甲沿xO
的方向，乙沿Oy
的
方向同时以4 千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C 点，乙到达D 点，请用
1e
与
2e
来表示CD
；
②若t 时刻，甲到达G 点，乙到达H 点，求GH
的最小值.
题型九：功、动量的计算
1.质量
2.0
m
kg 的物体，在4.0N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，求水平力在3s
内对物体做的功．
2.质量
2.0kg
m
的木块，在平行于斜面向上的拉力|
| 10N
F
的作用下，沿倾斜角
30
的光滑斜面向上
滑行| | 2.0m
s
的距离.(
9.8N / kg)
g
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
3.如图，质量
2.0kg
m
的木块，在平行于斜面大小为10N 向上的拉力F 的作用下，沿倾角
30
的光滑
斜面向上滑行2.0m 的距离．
9.8N / kg
g
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
模块三：综合巩固
1.如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F 和点E ，使DF
BE
.
试用向量方法证明：四边形AECF 是平行四边形.
2.如图，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别为BD，AB，AC 和CD 的中点.求证：四边形EFGH 为
平行四边形.
3.如图，正方形ABCD的边长为6, E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M ．
(1)求
EMF
的余弦值．
(2)若点P 自A 点逆时针沿正方形的边运动到C 点，在这个过程中，是否存在这样的点P ，使得EF
MP
？
若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由．
4.如图，已知
,
,
AD BE CF 分别是ABC
的三条高，试用向量的方法求证：
,
,
AD BE CF 相交于同一点．
5.已知两点
,
E F 分别是四边形ABCD的边
,
AD BC 的中点，且
3
AB ，
2
CD
，
45
ABC
，
75
BCD
，
则线段EF 的长为是
6.用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半．
7.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
8.如图，在▱����中，点E，F 分别是AD，DC 边的中点，BE，BF 分别与AC 交于R，T 两点，你能发现
AR，RT，TC 之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
9.如图，在△���中，��= 3, ��= 2, ∠���=
π
3 , �是��边的中点，��⊥��, ��与��交于点�.
(1)求��和��的长度；
(2)求cos∠���.
10.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
5
AC
，
60
BAC
，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于
点P，
(1)求PN ；
(2)求
MPN
的正弦值.
11.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
3
AC
，
60
BAC
，M 是BC 的中点，
2
3
AN
AC
，设AM 与BN
相交于点P ，则cos
MPN
．
12.在ABC
中，若
2
0
BC CA
BC
，则ABC
的形状是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
13.在平行四边形ABCD 中，M、N 分别在BC、CD 上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，
则△AMN 的形状是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
14.如图，在四边形ABCD中，已知
1,
3,
2
AB
AD
CB
CD
AC
，点P 在边CD 上，则AP BP
的最小
值为
.
15.已知圆C 的半径为1，过圆C 外一点P 作一条切线与圆C 相切于点A ，|
| 2
PA
，Q 为圆C 上一个动点，
则PA PQ
的取值范围为（
）
A．
2,4
B．
2,6
C．
0,4
D．
4,6
16.如图所示，把一个物体放在倾角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G
，
沿着斜面向上的摩擦力
1F
，垂直斜面向上的弹力
2
F
．已知|
| 100
G
N，求
1F
，
2
F
的大小．
17.如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力f
ur
．
18.如图，在细绳O 处用水平力
2
F
缓慢拉起所受重力为G
的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的
拉力为
1F
.
(1)判断
1F
ur
，
2
F
uur
随θ的变化而变化的情况；
(2)当
1
2
F
G
时，求角θ的取值范围．
19.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s．现在有风，风使雨滴以3.0m/s
的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
20.已知某人在静水中游泳的速度为4 3 km/h ，河水的流速度为4 km/h ，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：
2
tan35.26
2
．
21.两个力
1F
i
j
，
2
4
5
F
i
j
作用于同一质点，使该质点从点
20,15
A
移动到点
7,0
B
（其中i、j
分
别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)
1F
，
2
F
分别对该质点做的功；
(2)
1F
，
2
F
的合力F
对该质点做的功.
22.如图，在倾角为37、高
2
h
m 的斜面上，质量为5kg 的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜
面压力的0.5倍，
10
g
N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参
考数据
4
cos37
5
，
3
sin 37
5
）．
23.如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若物体的质量为m ，斜面的
倾角为，位移大小为s，求物体与斜面之间的摩擦力所做的功．
