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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 8 讲 平面向量
平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示
的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解
决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．
平面向量的数量积也一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积
的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.
题型一、线性运算、平面向量基本定理
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 → （ ）
EB=
3 → 1 → 1 → 3 → 3 → 1 → 1 → 3 →
A． AB− AC B． AB− AC C． AB+ AC D． AB+ AC
4 4 4 4 4 4 4 4
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且 → → ，F为
BC=3EC
AE的中点，则（ ）
→ 1 → → → 1 → 1 →
A．BC=− AB+AD B．AF= AB+ AD
2 3 3
→ 2 → 1 → → 1 → 2 →
C．BF=− AB+ AD D．CF= AB− AD
3 3 6 3
π
3．如图，△ABC中，∠ABC= ，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，分别交AD，AC于E，F，若AF＝
26，BC＝8，则 → （ ）
AE=
1 → 3 → 1 → 1 → 2 → 3 → 2 → 1 →
A． AB+ AC B． AB+ AC C． AB+ AC D． AB+ AC
2 10 2 3 5 10 5 3
4．如图所示，AD是△ABC的中线.O是AD上的一点，且⃑AO=2⃑OD，若⃑CO=λ⃑AB+μ⃑AC，其中
λ,μ∈ R，则λ+μ的值为（ ）
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
2 2 3 3
题型二、向量共线定理
考点1.三点共线定理
→ → → 1 → →
1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD=2
DB
，CD= CA+λCB，则 ＝（ ）
3
λ
2 1 1 2
A． B． C．− D．−
3 3 3 3
→ 1 → → → 2 →
2．如图，在△ABC 中，AN= NC，P 是 BN 上的一点，若AP=mAB+ AC，则实数 m 的值为
3 11
（ ）
9 5 2 3
A． B． C． D．
11 11 11 11
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若→ →， → →，则 → （ ）
AC=a BD=b AF=
1→ 1→ 2→ 1→ 1→ 1→ 1→ 2→
A． a+ b B． a+ b C． a+ b D． a+ b
4 2 3 3 2 4 3 3
4．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G，若
λ
⃑CG=λ⃑CD+μ⃑CB（λ，μ∈R），则 = ．
μ
考点2.等和线
1．在△ABC 中，点 P 满足 → → ，过点 P 的直线与 AB，AC 所在的直线分别交于点 M，N，若
BP=3PC
→ → ， → → （ ＞0， ＞0），则 + 的最小值为（ ）
AM=λAB AN=μAC
λ μ λ μ
√2 √3 3 5
A． +1 B． +1 C． D．
2 2 2 2
2．给定两个长度为1的平面向量 → 和 → ，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半
OA OB
径的圆弧AB上变动．若 → x → y → ，其中x，y R，则x+y的最大值是 ．
OC= OA+ OB
∈
3．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 → → → ，则
AP= AB+ AD
λ μ
+ 的最大值为（ ）
λ μA．3 B．2√2 C．√5 D．2
4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，
1 1
且满足⃗AP=m⃗AB+n⃗AD（m，n均为正数），则 + 的最小值为（ ）
m n
3 3 7+4√3
A．1 B． C．− D．
4 4 4
题型三、数量积
考点1.利用数量积求角
1．已知向量 ⃗a，⃗b满足|⃗a|=5， |⃗b|=6，⃗a⋅⃗b=−6，则cos<⃗a,⃗a+⃗b>=（ ）
31 19 17 19
A．− B．− C． D．
35 35 35 35
2．下列说法中错误的为（ ）
( 5 )
A．已知⃑a=(1,2)，⃑b=(1,1)且⃑a与⃗a+λ⃑b夹角为锐角，则λ的取值范围是 − ,+∞
3
(1 3)
B．已知⃑a=(2,−3)，⃑b= ,− 不能作为平面内所有向量的一组基底
2 4
C．若⃑a与⃑b平行，则⃑a在⃑b方向上的投影数量为|⃑a|
D．若非零 ， 满足 ，则 与 的夹角是60°
⃑a ⃑b |⃑a|=|⃑b|=|⃑a−⃑b| ⃑a ⃑a+⃑b
考点2.平方处理绝对值问题
→ → π → → → →
1．已知平面向量
a
，
b
的夹角为 ，a=(√3，1)，且
|a−b|=√3
则
|b|=
3
2．已知 → → ，点C在线段AB上，且 → 的最小值为1，则 → → （t R）的最小
|OA|=|OB|=2 |OC| |tOA−OB|
∈
值为（ ）
A．√2 B．√3 C．2 D．√53．已知平面向量→、→、→满足|→|＝2，|→ →|＝1，→ →，→ → ，则|→|的最大值为 ．
a b c a b−a c∥b a⋅c=6 c
考点3.几何意义——投影
1．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 → → ．
AP⋅AC=
2．已知两个不相等的非零向量→ →，满足 → ，且→与→ →的夹角为45°，则 → 的取值范围是（
a，b |b|=2 b b−a |a|
）
A．(0，√2] B．[√2，2) C．（0，2] D．[√2，+∞)
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量 → 在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动
AB
点，且点P与点A不重合，则 → • → 的取值范围是 ．
AP AB
考点4.转换基底
1．在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB= 1 ，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则 → → （ ）
2
AC⋅BE=
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．（2013•山东）已知向量 → 与 → 的夹角为120°，且| → |＝3，| → |＝2．若 → → → ，且 →
AB AC AB AC AP= AB+AC AP
λ
⊥ → ，则实数 的值为 ．
BC
λ
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量 → →， → →，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量
OA=a OB=b→ →．若|→|＝3，|→|＝2，则 → → 的值为 ．
OP=c a b c⋅(a−b)
考点5.建系解决数量积问题
1．在△ABC中BC＝6，BC边上的高AD＝2，点D在线段BC上，则 → → 的取值范围是（ ）
AB⋅AC
A．[﹣5，4） B．[﹣5，4] C．[﹣4，5] D．[﹣4，5）
2．在直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P 在△ABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则
→ → → 的最大值为（ ）
AP⋅(PB+PC)
25 25 25 25
A． B． C． D．
16 8 4 2
3．已知单位向量→ →的夹角为60°，若向量→满足 → → → ，则 → 的最大值为（ ）
a，b c |a−2b+3c|≤3 |c|
√3 √3
A．1+ B． C．1+√3 D．√3
3 3
题型四、极化恒等式
1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，⃑BA·⃑CA=4，⃑BF·⃑CF=−1，
则⃑BE·⃑CE的值是（ ）
7 3
A．4 B．8 C． D．
8 4
2．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则⃗OC⋅⃗OB的
最大值是 ．3．已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(
⃗PA＋⃗PB)⋅⃗PC的最小值为（ ）
1 1 1
A．− B．− C．− D．−1
4 3 2
3
4．如图，在四边形ABCD中， ∠B=60°, AB=3，BC=6，且⃑AD=λ⃑BC,⃑AD⋅⃑AB=− ，则实数λ的
2
值为 ，若M,N是线段BC上的动点，且|⃑MN|=1，则⃑DM⋅⃑DN的最小值为 ．
题型五、奔驰定理
1
1．已知点O为△ABC内一点，满足 → → → ，若S = S ，则 ＝（ ）
OA+3OB=λOC △AOB 3 △ABC
λ
1 1
A．﹣2 B．− C． D．2
2 2
→ 2 → 1 → → 1 → 2 →
2．设 P、Q为△ABC内的两点，且AP= AB+ AC，AQ= AB+ AC，则△ABP的面积与△ABQ的
5 5 4 3
面积之比为（ ）
4 8 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 10
3．点O为△ABC内一点，若S :S :S =4:3:2，设⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC，则实数λ和μ的值分
△AOB △BOC △AOC
别为（ ）2 4 4 2 1 2 2 1
A． ， B． ， C． ， D． ，
9 9 9 9 9 9 9 9
1
→
4．在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的3倍．若存在正实数x，y使得 （ −
AC=
x
2
→ →
2） （1− ） 成立，则x+y的最小值为 ．
AB+ AD
y
题型六、三角形四心
考点1.重心
1．已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 → → （
OP=OA+
λ
→ →
AB AC
+ ） [0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
→ →
|AB|sinB |AC|sinC
λ∈
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．已知在△ABC和点M满足 → → → →，若存在实数m使得 → → → 成立，则m＝
MA+MB+MC=0 AB+AC=mAM
．
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G为△ABC的重心且满足向量 → ⊥ → ，若atanA
BG CG
＝ csinB，则实数 ＝ ．
λ λ
考点2.内心
1 ． O 是 平 面 上 一 定 点 ， A ， B ， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
→ →
→ → AB AC
OP=OA+λ( + )，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 心．
→ →
|AB| |AC|
2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若 → → → →，
aOA+bOB+cOC=0
则O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心m
3．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，I 是△ABC 的内心，若 → m → → （m，n R），则 =
BI= BA+nBC
n
∈
（ ）
4 6 1
A． B． C．2 D．
3 5 2
考点3.外心
1．已知O是△ABC所在平面上一点，若（ → → ）• → （ → → ）• → （ → → ）• → 0，
OA+OB AB= OB+OC BC= OC+OA CA=
则O点是三角形的 心．
π cosB → cosC → →
2．已知 O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A= ，若 AB+ AC=2mAO，则 m＝
4 sinC sinB
．
3．在△ABC中，CA＝2CB＝2， → • → 1，O是△ABC的外心，若 → x → y → ，则x+y＝ ．
CA CB=− CO= CA+ CB
考点4.垂心
1．已知 O 为△ABC 所在平面上一点，且 → 2 → 2 → 2 → 2 → 2 → 2，则 O 一定为△ABC 的
OA +BC =OB +CA =OC +AB
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2 ． O 是 平 面 上 一 定 点 ， A ， B ， C 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
→ →
→ → AB AC
OP=OA+λ( + )， R，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的
→ →
|AB|cos∠ABC |AC|cos∠BCA
λ∈
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．点O在△ABC所在平面上，若 → → → → → → ，则点O是△ABC的（ ）
OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA
A．三条中线交点 B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点 D．三条角分线交点一、单选题
1．如图所示的△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AB的中点，则⃗DE=（ ）
1 1 1 1
A．− ⃗AB− ⃗AC B．− ⃗AB− ⃗AC
3 6 6 3
5 1 5 1
C．− ⃗AB− ⃗AC D．− ⃗AB+ ⃗AC
6 3 6 3
2．已知两个单位向量 满足 ，则向量 的夹角为（ ）
⃗a,⃗b |⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b| ⃗a−√3⃗b,⃗b
A．150° B．120° C．60° D．30°
3．在平行四边形ABCD中，G为△ABC的重心，满足⃗AG=x⃗AB+ y⃗AD(x,y∈R)，则x+2y=（ ）
4 5
A． B． C．0 D．−1
3 3
4．在矩形ABCD中，⃗ED=2⃗AE，AB=1，BC=3，则向量⃗EB在向量⃗AC方向上的投影数量为（ ）
√10 √10
A．−2 B． C．− D．2
5 5
5．正方形ABCD边长为2,⃗BE=2⃗EC,⃗CF=2⃗FD，则⃗EF⋅⃗BD=（ ）
5
A．2 B．4 C．5 D．
2
6．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，F为CD边上一点，若⃗AF⋅⃗AE=|⃗AE|2，则
|AF|=（ ）A．√17 B．2√5 C．2√6 D．5
7．已知圆C的半径为1，过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点A，|PA|=2，Q为圆C上一个动点，
则⃗PA⋅⃗PQ的取值范围为（ ）
A．[2,4] B．[2,6] C．[0,4] D．[4,6]
|⃗PA+⃗PB+⃗PC|
8．已知点A，B，C在圆
x2+ y2=4
上运动，且
AB⊥BC
，若点P的坐标为
P(3,0)
，则 的
¿
¿
最大值为（ ）
A．7 B．12 C．14 D．11
9．美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有
积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中A，
B是正方形的两个顶点，P是三段圆弧上的动点，若AB=4，则⃗AB⋅⃗AP的取值范围是（ ）
A．[−24,24] B．[−8,24]
C．[−16√2,16√2] D．[−8,16√2]
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD=1，BC=DC=√3，AC=2，点P在边CD上，则
⃗AP⋅⃗BP的最小值为（ ）
21 21 21 7
A． B． C． D．
16 8 32 4
11．设向量 、 、 满足 ， ， ， ，则 的最大值等于（ ）
⃗a ⃗b ⃗c |⃗a|=1 |⃗b|=2 ⃗a⋅⃗b=0 ⃗c⋅(⃗a+⃗b−⃗c)=0 |⃗c|√5
A．√5 B．1+ C．2 D．1
2
12．在
△ABC
中，( ⃗AB
+
⃗AC )
⋅⃗BC=0
，且 ⃗AB
⋅
⃗AC
=
√3，则
∠ABC=
（ ）
|⃗AB| |⃗AC| |⃗AB| |⃗AC| 2
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、多选题
13．已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
⃗a=(2,−4) ⃗b=(1,3)
3π
A．(⃗a+⃗b)⊥⃗b B．|⃗a+2⃗b|=√10 C．⃗a与⃗b的夹角为 D．⃗a在⃗b方向上的投影向量是√10⃗b
4
1
14．已知O是坐标原点，平面向量 ⃗a=⃗OA，⃗b=⃗OB， ⃗c=⃗OC，且⃗a是单位向量， ⃗a⋅⃗b=2，⃗a⋅⃗c= ，则下
2
列结论正确的是（ ）
A．|⃗c|=|⃗a−⃗c|
2 1
B．若A，B，C三点共线，则⃗a= ⃗b+ ⃗c
3 3
C．若向量 与 垂直，则 的最小值为1
⃗b−⃗a ⃗c−⃗a |⃗b+⃗c−2⃗a|
√2
D．向量⃗b−⃗a与⃗b的夹角正切值的最大值为
4
15．点O，H分别是△ABC的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若
⃗BD=λ
( ⃗BA
+
⃗BC )且
⃗BD=μ⃗BA+(1−μ)⃗BC
，则
⃗AD=⃗DC
|⃗BA| |⃗BC|
B．若2⃗BO=⃗BA+⃗BC，且AB=2，则⃗AC⋅⃗AB=4
π
C．若∠B= ，⃗OB=m⃗OA+n⃗OC，则m+n的取值范围为[−2,1)
3
√10
D．若2⃗HA+3⃗HB+4⃗HC=0⃗，则cos∠BHC=−
5
16．（多选）已知 ， 是两个单位向量，且 ，则下列说法正确的是（ ）
⃗a ⃗b |⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b|
A．⃗a⊥⃗b
B．对于平面内的任意向量⃗c，有且只有一对实数m，n，使⃗c=m(⃗a−2⃗b)+n (⃗b− 1 ⃗a )
2C．已知O(0,0)，A(1,1)，设⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，⃗AB+⃗AC=⃗AD，则⃗OB⋅⃗OC=⃗OA⋅⃗OD
D．若向量 满足 ，则
⃗c |⃗c−⃗a−⃗b|=2 2−√2<|⃗c|<2+√2
2
17．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，⃗AD= ⃗AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为
3
半径的半圆上，若⃗BP=x⃗BA+ y⃗BC，则（ ）
1 2 13
A．⃗BD= ⃗BA+ ⃗BC B．⃗BD⋅⃗BO=
3 3 2
√7
C．⃗BP⋅⃗BC存在最小值 D．x+ y的最大值为1+
7
18．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角
形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，
△BMC,△AMC,△AMB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，且 S ⋅M → A+S ⋅M → B+S ⋅M → C= → 0 .以下命题正确
A B C
的有（ ）
A．若S :S :S =1:1:1，则M为△AMC的重心
A B C
B．若M为△ABC的内心，则BC⋅⃗MA+AC⋅⃗MB+AB⋅⃗MC=0⃗
C．若 ， 为 的外心，则
∠BAC=45°,∠ABC=60° M △ABC S :S :S =√3:2:1
A B C
√6
D．若M为△ABC的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0⃗，则cos∠AMB=−
6
三、填空题
19．向量⃗AB=(2,1)在向量⃗AC= ( 0, 1) 上的投影向量为λ⃗AC，则|⃗AB+λ⃗AC|= .
21
20．如图，在△ABC中，⃗AD=2⃗DB，P为CD上一点，且满足⃗AP=m⃗AC+ ⃗AB (m∈R)，则m的
2
值为 ．
21．已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值是
⃗a ⃗b ⃗c ⃗a+⃗b+⃗c=0⃗ (⃗a−⃗b)⋅(⃗a−⃗c)=0 |⃗b−⃗c|=3 |⃗a|+|⃗b|+|⃗c|
.
22．在△ABC中，D是BC边上一点，且⃗BD=2⃗DC，E是AD的中点，过点E的直线与AB,AC两边分别
1 2
交于M,N两点（点M,N与点B,C不重合），设⃗AB=x⃗AM，⃗AC= y⃗AN，则 + 的最小值为
x y
.
23．已知点 在同一平面，且 三点不共线，且满足 ，其中 ，
O,A,B,C A,B,C ⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗ |⃗OA|=√6
， ，则 的值为 ，则 的面积为 .
|⃗OB|=2 |⃗OC|=√14 ⃗OA⋅⃗OB △AOB
24．在平行四边形 中， ，向量 在 方向上的投影为1，且 ，点 在线段
ABCD |⃗AD|=√2 ⃗AD ⃗AB ⃗BD⋅⃗DC=0 P
CD上，则⃗PA⋅⃗PB的取值范围为 ．
25．如图，在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，E、F分别为BC、CD上的点．⃗CE=2⃗EB，
1 5
⃗CF=2⃗FD，点M在线段EF上，且满足⃗AM= ⃗AB+ ⃗AD(x∈R)，|⃗AM|= ；若点N为线段BD
2 6
上一动点，则⃗AN⋅⃗MN的取值范围为 ．
