10.3 古典概型
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：古典概型......................................................................2
考点二：古典概型的概率计算公式..................................................2
考点三：求样本空间中样本点个数的方法.........................................2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：古典概型的特征与判断.................................................... 2
题型二：列举法求样本空间的样本点...............................................4
题型三：列举法求古典概型概率.................................................... 5
题型四：古典概型概率求解.......................................................... 9
题型五：有放回与无放回的概率...................................................12
题型六：互斥事件的概率求法......................................................17
题型七：对立事件的概率求法......................................................19
题型八：根据古典概型的概率求参数.............................................23
模块三：综合巩固....................................................................... 26
10.3 古典概型
模块一：基础知识
考点一：古典概型
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A 的概率用P(A)表示.
2.古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
考点二：古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E 是古典概型，样本空间A 包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义
事件A 的概率P(A)=
=
，其中，n(A)和n(
)分别表示事件A 和样本空间
包含的样本点个数.
考点三：求样本空间中样本点个数的方法
1.枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
2.树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
模块二：题型分类
题型一：古典概型的特征与判断
1.下列有关古典概型的说法中，正确的是（
）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n ，若随机事件A 包含k 个样本点，则事件A 发生的概率
k
P A
n
【答案】ACD
【解析】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；
每个样本点出现的可能性相等.故AC 正确；
每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B 不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D 正确．故选：ACD
2.下列概率模型中，是古典概型的个数为（
）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1 的概率；
（2）从1～10 中任意取一个整数，求取到1 的概率；
（3）在一个正方形ABCD 内画一点P，求P 刚好与点A 重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】第1 个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以
不满足“有限性”．
第2 个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10 个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性
和等可能性；
第3 个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD 内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；
第4 个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
故选：A.
3.下列不是古典概型的是（
）
A．在6 个完全相同的小球中任取1 个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1 个，从中任意取出1 个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n 条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【答案】B
【解析】选项A 中，在6 个完全相同的小球中任取1 个，
每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6 个，故A 符合古典概型；
选项B 中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B 不是古典概型；
选项C 中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是古典概型；
选项D 中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D 是古典概型．故选：B
4.下列试验是古典概型的是（
）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0 环，1 环，2 环，…，10 环
C．某小组有男生5 人，女生3 人，从中任选1 人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
【答案】C
【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；
对于B，命中0 环，1 环，2 环…，10 环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；
对于C，人数有限，且任选1 人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；
对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；
故选：C.
5.以下试验不是古典概型的有（
）
A．从6 名同学中，选出4 名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7 的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3 个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
【答案】C
【分析】A，B，D 适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C 选项不满足等可能性．
【详解】A 选项，从6 名同学中，选出4 名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性
和等可能性，是古典概型；
B 选项中，同时同时掷两枚骰子，点数和为7 的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型；
C 选项中，不满足等可能性，不是古典概型；
D 选项中，3 个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型．
故选：C．
题型二：列举法求样本空间的样本点
1.写出下列随机试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币5 次，记录正面出现的次数；
(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，记录它的花色．
【答案】(1){0,1,2,3,4,5}；
(2){ 黑桃，红心，方块，梅花}
【详解】（1）连续抛掷一枚硬币5 次，记录正面出现的次数为0，1，2，3，4，5，样本空间是{0,1,2,3,4,5}；
（2）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，记录它的花色只能是黑桃、红心、方块、
梅花中的一个，样本空间是{ 黑桃，红心，方块，梅花}．
2.在试验
5
E “连续抛掷一枚骰子2 次，观察每次掷出的点数”中，设事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数
为1”，事件B 表示随机事件“2 次掷出的点数之和为6”，试用样本点表示事件A 和事件B．
【答案】见解析
【详解】解：
{(1,1)
A
，(1,2) ，(1,3)，(1,4) ，(1,5) ，(1,6)}；
{(1,5)
B
，(2,4) ，(3,3) ，(4,2) ，(5,1)}．
3.A,B 两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A “ A 元件正常”，B “B 元件正常”，
用
1
2
,
x x 分别表示A,B 两个元件的状态，用
1
2
,
x x
表示这个串联电路的状态.以1 表示元件正常，0 表示元件
失效.下列说法正确的个数是（
）
①样本空间
1,1 , 1,0 , 0,1 , 0,0
；
②事件
0,1 , 1,1
B
；
③事件“电路是断路”可以用A
B
（或AB ）表示；
④事件“电路是通路”可以用A
B
（或A
B
）表示，共包含3 样本点.
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】因为
1
2
,
x x 分别取值0 和1，因此
1
2
( ,
)
x x
的取值为(1,1),(1,0),(0,1),(0,0) ，①正确；
事件B 中
2
1
x ，而
1
x 任取，因此②正确；
事件“电路是断路”中，
1
2
,
x x 至少有一个取0，因此事件“电路是断路”
{(0,1),(1,0),(0,0)}
，
{(1,1),(1,0)}
A
，
{(0,1),(0,0)}
A
，
{(1,0),(0,0)}
B
，从而“电路是断路”可表示为A
B
，③错；
事件“电路是通路”中，
1
2
,
x x 两个都取1，因此事件“电路是通路”
{(1,1)}
，
{(1,1),(1,0)}
A
，从而“电路是通路”可表示为A
B
，其中只有一个样本点，④错．
正确的个数是2，
故选：B．
4.在试验
6
E “袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相
同，从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为
1
w ，
2
w ，
3
w ，摸到黑球的结果分别记为
1b ，
2b ．设事件A 表示随机事件“第一次摸出的是黑球”，事件B 表示随机事
件“至少有一次摸出的是黑球”，试用样本点表示事件A 和事件B．
【答案】答案见解析
【详解】
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
1
2
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A
b w
b w
b w
b w
b w
b w
b b
b b
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
B
b w
b w
b w
b w
b w
b w
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
2
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
w b
w b
w b
w b
w b
w b
b b
b b
.
5.拋掷一枚骰子，用1，2，3，4，5，6 表示掷出的点数，写出试验的样本点和样本空间．
【答案】答案见解析
【详解】解：试验一共有6 个样本点，它们是1，2，3，4，5，6．
所以该试验的样本空间Ω
{1,2,3,4,5,6}
．
题型三：列举法求古典概型概率
1.从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛．
（1）将6 名学生做适当编号，把选中3 人的所有可能情况列举出来；
（2）求所选3 人中恰有一名女生的概率；
（3）求所选3 人中至少有一名女生的概率
【答案】（1）答案见解析；（2）3
5 ；（3）4
5
【解析】（1）设4 名男生分别为
, , ,
A B C D ，两名女生分别为
,
m n ，
则从6 名学生中任3 人的所有情况有：
,
,
,
ABC ABD ABm ABn ，
,
,
ACD ACm ACn，
,
,
ADm ADn Amn ，
,
,
BCD BCm BCn ，
,
,
BDm BDn Bmn，
,
,
,
CDm CDn Cmn Dmn ，共20 种，
（2）由（1）可知共有20 种情况，
其中所选3 人中恰有一名女生的有
,
ABm ABn ,
,
ACm ACn ,
,
,
ADm ADn
,
BCm BCn ,
,
,
BDm BDn
,
,
CDm CDn 共有12 种，
所以所求概率为12
3
20
5
，
（3）由（1）可知共有20 种情况，
所选3 人中至少有一名女生的有
,
ABm ABn
,
ACm ACn ,
,
,
ADm ADn Amn ,
,
BCm BCn ,
,
,
BDm BDn Bmn,
,
,
,
CDm CDn Cmn Dmn ，共有16 种，所以所求概率为16
4
20
5
=
2.某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、
武汉热干面这5 个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【答案】D
【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为, , , ,
a b c d e ，
两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间
{
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
aa ab ac ad ae ba bb bc bd be
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
}
ca cb cc cd ce da db dc dd de ea eb ec ed ee ，共25 个样本点，
两位参赛博主抽到不同主题的事件
{
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A
ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce
,
,
,
,
,
,
,
}
da db dc de ea eb ec ed ，共20 个样本点，
所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为
20
4
( )
25
5
P A
.
故选：D
3.随机安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学中的2 位同学负责扫地和拖地两项工作，每人负责一项工作，则
甲负责扫地工作的概率是（
）
A．1
5
B．2
5
C．1
2
D．1
4
【答案】A
【解析】由题意得其样本空间为：{ （甲扫地，乙拖地），（甲扫地，丙拖地），
（甲扫地，丁拖地），（甲扫地，戊拖地），（乙扫地，甲拖地），
（乙扫地，丙拖地），（乙扫地，丁拖地），（乙扫地，戊拖地），
（丙扫地，甲拖地），（丙扫地，乙拖地），（丙扫地，丁拖地），
（丙扫地，戊拖地），（丁扫地，甲拖地），（丁扫地，乙拖地），
（丁扫地，丙拖地），（丁扫地，戊拖地），（戊扫地，甲拖地），
（戊扫地，乙拖地），（戊扫地，丙拖地），（戊扫地，丁拖地）}，共20 个样本点；
“甲负责扫地工作”对应的事件为{ （甲扫地，乙拖地），（甲扫地，丙拖地），
（甲扫地，丁拖地），（甲扫地，戊拖地）}，含有4 个样本点，
甲负责扫地工作的概率为4
1
20
5
．故选：A.
4.从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽到的第一张卡片
上的数不小于第二张卡片上的数的概率为
.
【答案】3
5
【详解】由从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，
基本事件的总数为
5 5
25
N
个，
则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：
(1,1),(2,2),(2,1),(3,3),(3,2),(3,1),(4,4),(4,3),(3,2),(4,1),(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1)，
共有15 个，
所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为
15
3
25
5
P
.
故答案为：3
5 .
5.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（
）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
【答案】D
【解析】有三件正品（用1，2 ，3 表示）和一件次品（用0 表示）的产品中任取两件的
样本空间
0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3
，恰有一件次品
0,1 , 0,2 , 0,3
A
，
由古典概型得
3
1
6
2
m
P A
n
，故选：D.
6.从含有两件正品a1，a2 和一件次品b1 的3 件产品中每次任取1 件，
每次取出后不放回，连续取两次．
（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概
率是多少？
【答案】（1）
；（2）
．
【详解】试题分析：取出两件产品，按照第一次取出在前，第二次取出在后，构成一个事件，这样可列出
每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．
试题解析：
（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，
a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，其中小括号内左边的字母表示第1 次取出的
产品，右边的字母表示第2 次取出的产品．Ω由6 个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是
等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），
（b1，a2）}．
事件A 由4 个基本事件组成，所以P（A）＝＝．
（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，
b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，由9 个基本事件组成．由于每一
件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一
事件，则B＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．
事件B 由4 个基本事件组成，所以P（A）＝．
7.从集合
2,4,6,8 中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2 的概率为（
）
A．1
3
B．1
2
C．1
4
D．2
3
【答案】B
【解析】从集合
2,4,6,8 中任取两个元素的取法有
2,4 , 2,6 , 2,8 , 4,6 , 4,8 , 6,8 ，共6 种，
其中满足两个元素的差的绝对值为2 的取法有
2,4 , 4,6 , 6,8 ，共3 种.
故这两个元素的差的绝对值为2 的概率为3
1
6
2
.
故选：B.
8.2023 年9 月28 日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江
高速铁路共设8 座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲
随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.
已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（
）
A．3
20
B．1
4
C．1
20
D．3
8
【答案】D
【详解】设金坛站､武进站､江阴站､张家港占、常熟站用
,
,
,
,
A B C D E ，
甲、乙两人用字符对表示下车的站，
于是有以下情形：
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
AB AC AD AE BA BC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DE共有16 种情形，
其中甲比乙晚下车的情况是
,
,
,
,
BA
CA CB DA DB DC
，
，共有6 种情形，
所以甲比乙晚下车的概率为6
3
16
8
，
故选：D
题型四：古典概型概率求解
1.如图所示的《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，该图中小孩有扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，
现有
,
A B 两个孩童分别随机选择其中的一个动作进行模仿，则
,
A B 两个孩童选择模仿的动作相同的概率为
（
）
A．1
8
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
【答案】B
【解析】
,
A B 两个孩童分别随机选择其中的一个动作进行模仿，一共有4 4
16
种情况，
其中
,
A B 两个孩童选择模仿的动作相同的情况有4 种，
所以
,
A B 两个孩童选择模仿的动作相同的概率为4
1
16
4
．故选：B
2.从2 至6 的5 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为
.
【答案】3
5 /0.6
【详解】从2 至6 的5 个整数中随机取2 个不同数的试验的样本空间为：
{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}
（交换数字位置算一种情况），共10 个样本
点，
所取2 个数互质的事件
{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)}
A
，共6 个样本点，
所以这2 个数互质的概率为
6
3
( )
10
5
P A
.
故答案为：3
5
3.一个箱子中装有6 个红球和4 个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率
（
）
A．
29
30
B．
13
15
C．
1
6
D．
3
5
【解题思路】首先判断这是古典概型，因所求事件正面情况多，故考虑先求其对立事件概率，再运用对立
事件概率公式即可求得.
【解答过程】因是随机取球，每个球被取到的可能性相同，故这是古典概型. 从中随机取出三个球的方法
总数为��× �× �= ���种，
而“取出的三个球中至少有一个红球”的对立事件是“取出的三个球中全是白球”，其取法有�× �× �= ��
种，
故“取出的三个球中至少有一个红球”的概率为�−
��
���=
��
��.
故选：A.
4.第31 届世界大学生夏季运动会于2023 年7 月28 日至8 月8 日在中国四川省成都市举行，是中国西部第
一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18 个大项，269 个小项．甲同学
准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前
去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（
）
A．
1
6
B．
2
3
C．
3
5
D．
1
3
【解题思路】利用古典概型可以得到所求概率.
【解答过程】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为�, �, �，
则两人选择比赛项目的情况有�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �，共6 种，
其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有�, �, �, �，共2 种，
故所求概率�=
�
�=
�
�．
故选：D．
5.随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服
活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6 类，某自媒体博主准备从这6 类场景中选
2 类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2 类场景至少有1 类场景被选中的概率为（
）
A．
2
5
B．
2
3
C．
3
5
D．
4
5
【解题思路】列举出从6 类场景中选2 类场景进行拍摄的所有基本事件，再列举出汉服活动、旅游观光这
2 类场景至少有1 类场景被选中的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【解答过程】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6 类场景分别为A，
B，C，D，E，F，
从6 类场景中选2 类场景进行拍摄的基本事件有
�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，
�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，共15 种，
设事件M 为“汉服活动、旅游观光这2 类场景至少有1 类场景被选中”，
则事件M 包含的基本事件有�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，
�, �，�, �，�, �，�, �，共9 种，
故所求概率��=
�
��=
�
�，
故选：C．
6.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857 与1 至6 中任意一个数字
相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7 这6 个数字轮流出现．若从1，4，2，8，5，7 这6 个数字中任选
2 个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1 个，这个两位数大于72 的概率为（
）
A．
3
10
B．
3
5
C．
4
15
D．
1
3
【解题思路】用列举法即可求解古典概型概率问题.
【解答过程】从1，4，2，8，5，7 这6 个数字中任选2 个，
所有不同的情况为：�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，
�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，�, �，共15 种，
则组成无重复数字的两位数的个数为��× �= ��．
若选取的两位数大于72，
则十位数字只能是7 或8，
符合要求的所有的两位数为74，75，78，81，82，84，85，87，共8 个，
故所求概率�=
�
��=
�
��．
故选：C.
7.甲乙两人在一座7 层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则
甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8 的概率是（
）
A．1
6
B．1
9
C．5
36
D．7
36
【答案】C
【解析】记事件“A=甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”
由题意总的基本事件为：两个人各有6 种不同的下法，故共有36 种结果，
则事件包含两人分别从2 楼和6 楼下，3 楼和5 楼下，均从4 楼下，
共有2+2+1=5 种不同下法，
所以事件A 的概率为：
5
= 36
P A
，故选：C.
8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40% ，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命
中的概率：先由计算机产生0 到9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；
再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12 组随机数：
137 960 197
925 271 815 952 683
829
436
730
257 ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命
中的概率为（
）
A．1
4
B．3
8
C．5
12
D．5
8
【答案】A
【分析】明确随机数代表的含义，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由题意可知经随机模拟产生的12 组随机数中，137 271,436
，
这三组表示三次投篮恰有两次命中，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
3
1
12
4
P
，
故选：A
9.一种电路控制器在出厂时，每4 件一等品装成一箱．工人装箱时，不小心将2 件二等品和2 件一等品装
入了一箱，为了找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐件进行测试．假设检测员不知道该箱产品中
二等品的具体数量，则测试的第2 件产品是二等品的概率为（
）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【答案】D
【分析】根据题意，由条件进行分析，结合古典概型计算公式，即可得到结果.
【详解】只考虑测试的第2 件产品，它可以是箱中的4 件产品中的任何一件，因此有四种结果，并且这4
中结果的出现是等可能的，
测试的第2 件产品是二等品的结果有2 种，因此，测试的第2 件产品是二等品的概率为2
1
4
2
故选:D.
10.若
2
2
2
2( , , ,
N)
A
a
b
c
d
a b c d
，则称{ , , , }
a b c d 为A 的一组四平方和分解（该分解与a，b，c，d 的
顺序无关），
A
S
a
b
c
d
为该分解因素和，例如
2
2
2
2
2
1
1
0
0
，或
2
2
2
2
2
1
0
1
0
，称{1,1,0,0}
和{1,0,1,0}是2 的同一组四平方和分解，
2
2
S
，则从36 的四平方和分解中任取一组分解，则因素和为10
的概率是（
）
A．1
5
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【答案】D
【分析】列举出36 的所有四平方和分解，然后利用古典概型的概率计算公式计算即可.
【详解】
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
6
0
0
0
5
3
1
1
4
4
2
0
3
3
3
3
，
四种情形下，因素和分别为6,10,10,12 ，
所以因素和为10 的概率是2
1
4
2
，
故选：D
题型五：有放回与无放回的概率
1.已知不透明的袋中装有三个黑球（记为
1
B ，
2
B 和
3
B ）、两个红球（记为
1R 和
2
R ），从中不放回地依次
随机抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．
【答案】(1)答案见详解
(2) 3
10
【详解】（1）试验的样本空间
1
2
1
3
1
1
1
2
2
1
2
3
2
1
2
2
={(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),
B B
B B
B R
B R
B B
B B
B R
B R
3
1
3
2
3
1
3
2
1
1
1
2
1
3
1
2
(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
B B
B B
B R
B R
R B
R B
R B
R R
2
1
2
2
2
3
2
1
(
,
),(
,
),(
,
),(
,
)
R B
R B
R B
R R
；
（2）设事件
=
A “抽到两个黑球”，则对于不放回简单随机抽样，
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
{(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
)}
A
B B
B B
B B
B B
B B
B B
．
因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此
6
3
20
10
n A
P A
n
．
所以抽到的两个球都是黑球的概率为3
10
2.已知袋中装有5 个大小形状相同的小球，其中黑球2 个、红球3 个，现从中不放回地抽取2 次，每次取
出1 个球，则第二次取出的球是红球的概率为（
）
A．2
5
B．3
5
C．12
25
D．13
25
【答案】B
【分析】由题可知第二次取出的球是红球有两种情况，第一次抽到黑球，第二次抽到红球或第一次抽到红
球，第二次抽到红球，进而即得.
【详解】由题可知第二次取出的球是红球有两种情况，
一种是第一次抽到黑球，第二次抽到红球，概率为
1
2
3
3
5
4
10
P
，
一种是第一次抽到红球，第二次抽到红球，概率为
2
3
2
3
5
4
10
P
，
所以第二次取出的球是红球的概率为
1
2
3
3
3
10
10
5
P
P
P
.
故选：B.
3.从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片
上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．1
10
B．1
5
C．3
10
D．2
5
【答案】D
【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，
则事件A 共包含以下10 种情况：
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1 ),(5,2),(5,3),(5,4) ，
而有放回的连续抽取2 张卡片共有5 5
25
（种）不同情况，
则
10
2
( )
25
5
P A
故选：D
4.从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样､不放回简单随机抽样，抽到的两
球都是白球的概率分别是（
）
A．9
16 ，
1
2
B．
1
2 ，9
16
C．5
8 ，2
3
D．2
3 ，5
8
【答案】A
【分析】分别利用独立事件概率的乘法公式求解即可.
【详解】从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用有放回简单随机抽样抽到的两球都是白球的概率是
3
3
4
4
9
16 ；
从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率是
3
2
1
4
3
2
.
故选：A.
5.从分别写有1,2,3,4 的4 张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于
第二张卡片上的数的概率为（
）
A．1
8
B．3
8
C．5
8
D．7
8
【答案】B
【详解】从分别写有1,2,3,4 的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数4 4
16
种情况，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
2,1 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 , 4,3 共6 种情况，
故所求概率为：
6
3
16
8
P
，
故选：B.
6.从分别写有1，2，3，4，5，6，7 的7 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一
张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为
．
【答案】3
7
【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件A ，
事件A 包括以下21种情况：(7,1) ，(7,2) ，(7,3) ，(7,4) ，(7,5) ，(7,6) ，(6,1) ，(6,2) ，(6,3)，(6,4) ，(6,5) ，
(5,1)，(5,2) ，(5,3) ，(5,4) ，(4,1) ，(4,2) ，(4,3) ，(3,1) ，(3,2) ，(2,1) ，
而有放回地连续抽取2 张卡片共有7
7
49
（种）不同情况，
则
21
3
49
7
P A
．
故答案为：3
7 .
7.从含有两件正品
1a ，
2a 和一件次品b 的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，
则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是（
）
A．3
4
B．2
3
C．1
2
D．1
4
【答案】B
【分析】取出两件产品，按照第一次取出在前，第二次取出在后，构成一个基本事件，由此可列出所有的
基本事件，然后找出满足条件的基本事件进行计算即可.
【详解】每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有：
1
2
1
2
1
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a a
a b
a a
a b
b a
b a （括号左边表示第一次取出的产品，括号右边表示第二次取出的
产品），共6种；
满足要求的的基本事件有：
1
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
a b
a b
b a
b a
，共4 种，
所以目标事件的概率为：
4
2
6
3
P
.
故选：B.
8.从三名男生（记为
1A ，
2
A ，
3
A ）、两名女生（记为
1
B ，
2
B ）中任意选取两人.
(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；
(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.
【答案】(1)样本空间见解析，9
25
(2)样本空间见解析，7
10 .
【详解】（1）样本空间
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
Ω
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A A
A A
A A
A B
A B
A A
A A
A A
A B
A B
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
2
1
2
2
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A A
A A
A A
A B
A B
B A
B A
B A
B B
B B
B A
B A
B A
，
2
1
2
2
,
B B
B B
，
记抽到两人都是男生的事件为A，事件A 包含的基本事件有:
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
,
,
,
,
,
A A
A A
A A
A A
A A
A A
3
1
3
2
3
3
,
,
A A
A A
A A ，共9 个，
则
9
( )
25
P A
.
（2）样本空间
1
2
1
3
1
1
1
2
2
3
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A A
A A
A B
A B
A A
A B
A B
A B
A B
B B
，
记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B 包含的基本事件有：
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
,
,
,
,
,
,
A B
A B
A B
A B
A B
A B
B B
，共7 个，则
7
( )
10
P B
.
9.袋中装有4 个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2 个红球，2 个绿球，甲摸一个后不放
回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（
）
A．8
B．9
C．12
D．16
【答案】C
【详解】设4 个小球分别为
1A ，
2
A ，
1
B ，
2
B ，则试验结果为4 3
12
．
故选：C
10.甲、乙二人用7 张不同的扑克牌（其中红桃4 张，方片3 张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上
放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为
．
【答案】3
7
【详解】因为一共有7 张不同的扑克牌（其中红桃4 张，方片3 张），甲先抽，乙后抽，
所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有：
①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，
所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为4
3
3
2
3
7
6
7
6
7
.
故答案为：3
7 .
11.从分别标有数字1,2,3,
9
,
的9张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1张，则抽到的两张卡片上数
字的奇偶性不同的概率是
.
【答案】5
9 .
【详解】若第一张卡片上的数字为奇数，第二张卡片上的数字为偶数，则
1
5
4
5
9
8
18
p
，
若第一张卡片上的数字为偶数，第二张卡片上的数字为奇数，则
2
4
5
5
9
8
18
p
，
故抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是
1
2
5
9
p
p
p
.
故答案为：5
9 .
题型六：互斥事件的概率求法
1.从一副混合后的扑克牌( 不含大小王) 中，随机抽取1 张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得黑
桃”，则
(
)
P A
B
（
）
A．7
26
B．11
26
C．15
26
D．19
26
【答案】A
【解析】一副混合后的扑克牌( 不含大小王) 共有52 张，则事件A 的概率为
1
( )
52
P A
，
一副扑克牌有13 张黑桃，则事件B 的概率为
13
1
( )
52
4
P B
，
而事件A 与B 互斥，则
1
1
7
(
)
( )
( )
52
4
26
P A
B
P A
P B
，
所以
7
(
)
26
P A
B
.故选：A
2.已知
0.4
P A
，
0.3
P B
，如果
0
P AB
，那么
P A
B
（
）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【答案】A
【分析】由
0
P AB
可知，A ，B 互斥，由概率的加法公式即可得出结果.
【详解】∵
0
P AB
，
∴A ，B 互斥，
∴
0.4
0.3
0.7
P A
B
P A
P B
.
故选：A.
3.人类通常有O，A，B，AB 四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则
可归结为4 条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3 条法则的任何关系式都是错误的(其中X 代表O，
A，B，AB 中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB 四种血型的人数所
占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A 型血，则一位供血者不能为这位
受血者正确输血的概率为（
）
A．0.27
B．0.31
C．0.42
D．0.69
【答案】B
【解析】当受血者为A 型血时，供血者可以为A 型或O 型，即B，AB 两种血型不能为供血者，
我国O，A，B，AB 四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，
所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：
P=24%+7%=31%=0.31.故选：B
4.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为2
5 ，且前两局
以2 : 0领先，则最后甲获胜的概率为（
）
A．16
25
B．81
125
C．72
125
D．98
125
【答案】D
【分析】由已知，根据题意，最后甲获胜分成3 种情况，分别为第三局甲胜；第三局乙胜，第四局甲胜；
第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，分别列式求解即可.
【详解】最后甲获胜含3 种情况：①第三局甲胜，概率为2
5 ；
②第三局乙胜，第四局甲胜，概率为3
2
6
5
5
25
；
③第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，概率为3
3
2
18
5
5
5
125
．
所以最后甲获胜的概率为2
6
18
98
5
25
125
125
．
故选：D
5.中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是3
7 ，乙夺得冠军的
概率是1
4 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
【答案】19
28
【解析】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则
3
( )
7
P A
，
1
( )
4
P B
.
∵A，B 是互斥事件，∴
3
1
19
(
)
( )
( )
7
4
28
P A
B
P A
P B
.
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3 局2 胜”，即先赢2 局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，
甲在每局比赛中获胜的概率为2
3 ，则本次比赛中甲获胜的概率为（
）
A．7
27
B．4
9
C．
16
27
D．20
27
【答案】D
【分析】根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第
一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解.
【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3 局2 胜”，即先赢2 局者为胜，甲在每局比赛中获胜
的概率为2
3 ，
则甲获胜有以下三种情况：
第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为2
2
4
3
3
9
；
第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为2
1
2
4
3
3
3
27
；
第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为1
2
2
4
3
3
3
27
；
综上可知甲获胜概率为4
4
4
20
9
27
27
27
，
故选：D.
【点睛】本题考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的应用，属于基础题.
7.在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12 个，其中5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中任取1
个球.记事件A 为“取出的球为红球”，事件B 为“取出的球为黑球”，事件C 为“取出的球为白球”，事件
D 为“取出的球为绿球”.求:
（1）“取出的球为红球或黑球”的概率;
（2）“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.
【答案】（1）3
4 ；（2）11
12 .
【解析】（1）由题意可知，
5
1
1
1
( )
, ( )
, ( )
, ( )
12
3
6
12
P A
P B
P C
P D
.
易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件，
故“取出的球为红球或黑球”的概率为
5
1
3
(
)
( )
( )
12
3
4
P A
B
P A
P B
.
（2）易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥，
故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为
5
1
1
11
(
)
( )
( )
( )
12
3
6
12
P A
B
C
P A
P B
P C
.
8.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12 个．从中任取一球，取到红球的概率是1
3 ，取到黑球或黄球的概
率是5
12 ，取到黄球或绿球的概率是5
12 ．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
【答案】取到黑球的概率是1
4 ，取到黄球的概率是1
6 ，取到绿球的概率是1
4 ．
【解析】从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”
分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D 显然是两两互斥的．
由题意，得
1
( )
,
3
5
(
)
12
5
(
)
12
(
)
1.
P A
P B
C
P C
D
P A
B
C
D
，即
5
( )
( )
,
12
5
( )
(
)
,
12
1
( )
( )
(
)
1,
3
P B
P C
P C
P D
P B
P C
P D
，解得
1
( )
,
4
1
( )
6
1
(
)
4
P B
P C
P D
故取到黑球的概率是1
4 ，取到黄球的概率是1
6 ，取到绿球的概率是1
4 ．
题型七：对立事件的概率求法
1.某射手在一次射击中，射中10 环，9 环，8 环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不
够8 环的概率为（
）
A．0
B．0.3
C．0.6
D．0.4
【答案】D
【解析】因为某射手的一次射击中，射中10 环，9 环，8 环的概率分别为0.2，0.3，0.1.
所以在一次射击中不够8 环的概率为1 0.2
0.3
0.1
0.4
，故选：D
2.若从1，2，3，4，5 五个数字中随机取出三个数字，则剩下两个数字不都是奇数的概率为（
）
A．0.8
B．0.75
C．0.7
D．0.6
【答案】C
【解析】从1,2,3,4,5中随机取3 个共有：
1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5 , 1,3,4 , 1,3,5 ，
1,4,5 , 2,3,4 , 2,3,5 , 2,4,5 , 3,4,5 共10 种，
其中剩下两个数字都是奇数，即选出2 偶数1 奇数的情况有：
1,2,4 ，
2,3,4 , 2,4,5 共3 种，
所以剩下两个数字都是奇数的概率是3
0.3
10
，
所以剩下两个数字不都是奇数的概率为1 0.3
0.7
，故选：C．
3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A {抽到一等品}，事件B {抽到二等品}，事件C {抽到三等
品}，且已知
0.7
P A
，
0.2
P B
，
0.1
P C
．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（
）
A．0.7
B．0.2
C．0.1
D．0.3
【答案】D
【解析】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A {抽到一等品}，
( )
0.7
P A
，
∴抽到不是一等品的概率是1 0.7
0.3
．故选:D．
4.口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个形状相同小球，从中取出2 球，事件A “取出的两球同色”，事件B “取
出的2 球中至少有一个黄球”，事件C “取出的2 球至少有一个白球”，事件D =“取出的2 球不同色”，
E “取出的2 球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（
）
A．
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
B．
( )
(
)
1
P C
P D
C．(
)
1
P C
E
D．
( )
( )
P B
P C
【答案】C
【分析】根据给定条件，计算
( ),
( ),
( ),
(
)
P A P B P C
P D 判断A，B，D；分析事件C 与E 所含事件判断C 作答.
【详解】依题意，
2
2
2
2
3
3
2
2
6
6
C
C
C
4
4
( )
, ( )
1
C
15
C
5
P A
P B
，
16
( )
( )
1
15
P A
P B
，而
(
)
1
P A
B
，A 不正确；
2
4
2
6
C
3
11
( )
1
, ( )
1
( )
C
5
15
P C
P D
P A
，
( )
(
)
1
P C
P D
，B 不正确；
事件C 是含有1 个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件E 是含有1 个白球与没有白球的两个互斥
事件和，
事件C
E
是必然事件，因此(
)
1
P C
E
，C 正确；
因
4
( )
5
P B
，
3
( )
5
P C
，则
( )
( )
P B
P C
，即D 不正确.
故选：C
5.下列叙述错误的是（
）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为1
2
，甲获胜的概率是1
3 ，则甲不输的概率为5
6
C．从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对
立的事件
D．在5件产品中，有3件一等品和2 件二等品，从中任取2 件，那么事件“至多一件一等品”的概率为7
10
【答案】C
【分析】对于A，由互斥事件与对立事件的意义及关系可作判断；对于B，由给定条件求出甲不输的概率
而作判断；对于C，两个事件有一红一黑的公共基本事件而作判断；对于D，计算给定事件概率而作判断.
【详解】对于A 选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个
发生的互斥事件，A 正确；
对于B 选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为1
1
5
2
3
6
＝
，
B 正确；
对于C 选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一
基本事件，即它们不互斥，C 错误；
对于D 选项：5 件产品中任取两件有10 个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰
两件一等品”，有3 个基本事件，从而所求概率为
3
7
1 10
10
，D 正确.
故选：C
6.某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0,3,2,5，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未
登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率
是（
）
A．1
24
B．23
24
C．1
16
D．15
16
【答案】B
【解析】用事件A 表示“输入由0,3,2,5组成的一个四位数字，但不是密码”，
则其对立事件A 为“输入由0,3,2,5组成的一个四位数字，恰是密码”，
四个数字0,3,2,5随机编排顺序，所有可能结果可用树形图表示，如图所示，
从树形图可以看出，将四个数字0,3,2,5随机编排顺序，共有24 种可能的结果，
即样本空间共含有24 个样本点，且24 个样本点出现的结果是等可能的，
1
24
P A
，则
23
1
24
P A
P A
，
即登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码，
该同学不能顺利登录的概率为23
24 .故选：B.
7.现有7 名世界杯志愿者，其中
1A ，
2A ，
3
A 通晓日语，
1
B ，
2
B 通晓韩语，
1
C ，
2
C 通晓葡萄牙语，从中选
出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则
1
B ，
1
C 不全被选中的概率为______．
【答案】3
4 /0.75
【解析】由题意，选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人，包含下列样本点
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B C
A B C
A B C
A B C
，
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B C
A B C
A B C
A B C
，
3
1
1
3
1
2
3
2
1
3
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B C
A B C
A B C
A B C
，共有12种不同的选法，
若N 表示事件“B1，C1不全被选中”这一事件，
则N 表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于N 由
1
1
1
2
1
1
3
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
A B C
A B C
A B C
，共有3 个样本点组成，
所以
3
1
(
)
12
4
P N
，所以
1
3
(
)
1
(
)
1
4
4
P N
P N
.
故答案为：
3
4 .
8.某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为
0
1
2
3
,
,
,
A A A A ，现有甲、乙两人同时从
0
A 站点上
车，且他们中的每个人在站点
0,1,2,3
iA i
下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（
）
A．2
3
B．3
4
C．3
5
D．
1
2
【答案】A
【分析】先求出甲、乙在同一站下车的概率，然后由对立事件概率公式计算．
【详解】设事件“ A 甲、乙两人不在同一站下车”，
因为甲、乙两人同在
1A 站下车的概率为1
1
3
3
；
甲、乙两人同在
2
A 站下车的概率为1
1
3
3
；
甲、乙两人同在
3
A 站下车的概率为1
1
3
3
；
所以甲、乙两人在同一站下车的概率为
1
1
1
3
3
3
3
，则
1
2
1
3
3
P A
.
故选A.
【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件及独立事件的概率及分段函数的解析式，利用互斥事件、独立
事件的概率公式求出甲、乙两人在同一站下车的概率,再利用对立事件的概率公式，即可得结果，属于基
础题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件
进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互
独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特
别重要.
题型八：根据古典概型的概率求参数
1.在一个不透明的袋中有4 个红球和n 个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2 个球，已知取出的球中至少
有一个红球的概率为8
9 ，则n （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为1
9 ，则
2
2
2
2
1
9
4
2
4
4
4
0
2
9
4
n
n
n
n
n
n
n
.
故选：B
2.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5 个，黑球m
个，从袋中随机摸出一个红球的概率是1
3 ，则m 的值为
．
【答案】10
【详解】根据题意，
从袋中随机摸出一个红球的概率是
5
1
5
3
P
m
，
所以
10
m
.
故答案为：10
3.有5 张未刮码的卡片，其中n 张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5 张卡片随机抽取2 张.你有
资金100 元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相
同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2 张卡片全部刮完后，要使资金增加的
概率大于资金减少的概率，则n 至少为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】由于总资金100 元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.
刮第1 张卡前，下注50 元：
若未中奖，还剩50 元；刮第2 张卡前，下注25 元，不管是否中奖，资金必减少；
若中奖，还剩150 元，刮第2 张卡前，下注75 元，未中奖资金减少；中奖资金增加；
所以，要使资金增加，则必须2 次刮出中奖，否则资金减少；
所以，5 张卡片中取到2 张“中奖”卡的概率大于1
2 即可，
由5 张卡片中任取2 张的方法数有10 种，n 张“中奖”卡中取到2 张的方法数有(
1)
2
n n
种，
所以(
1)
1
(
1)
10
20
2
n n
n n
且2
5
n
，故
4
n
或5，即n 至少为4.
故选：C
4.一个袋子中装有形状大小完全相同的6 个红球，n 个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2 个
球.若取出的2 个球都是红球的概率为1
3 ，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．12
D．15
【答案】A
【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6 个红球，n 个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2 个球，取出的2 个球都是红球的概率是1
3 ，
则
6 5
1
6
5
3
n
n
，
解得
4
n
（负值舍去）.
故选：A．
5.某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂生产了690 件，乙工厂生产了510件，
为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取80件样
品，已知该精密仪器按照质量可分为
,
,
,
A B C D 四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰
好抽到甲工厂生产的A 等级产品的概率为3
20 ，则抽取的
,
,
B C D 三个等级中甲工厂生产的产品共有
件．
【答案】34
【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了
690
80
46
1200
件样品，
设抽取甲工厂生产的A 等级产品有x 件，则
3
80
20
x
，解得：
12
x
，
抽取的
,
,
B C D 三个等级中，甲工厂生产的产品共有46 12
34
件.
故答案为：34.
6.一个袋子中有3 个红球，4 个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求两次取到的球颜色相同的概率．
(2)如果是3 个红球，n 个白球，已知第二次取到红球的概率为3
8 ，求n 的值．
【答案】(1) 3
7
(2)5
【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：
1
3 2
1
7 6
7
P
，
若取出的两个球均为白球，则概率为：
2
4 3
2
7 6
7
P
，
所以两次取到的球颜色相同的概率为：
3
1
2
3
7
P
P
P
．
（2）第二次取出红球的概率为：
4
3
2
3
3
3
2
3
2
8
n
P
n
n
n
n
，即
6
3
3
(
3)(
2)
8
n
n
n
，
解得：
5
n
或
2
n （舍去），故n 的值为5．
7.一个袋子中有大小和质地相同的4 个红球和n 个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2 个球，若
取出的2 个球颜色不同的概率为4
9 ，则n 的所有可能取值为
．
【答案】2 或8
【详解】由题意知，取出的2 个球颜色不同的概率为
4
4
4
4
4
4
4
9
n
n
n
n
n
n
，
化简得
2
10
16
0
n
n
，解得
2
n
或8.
故答案为：2 或8.
8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1 个，黄色小球1 个，蓝色小球n个，从袋子
中随机抽取1 个小球，设取到蓝色小球为事件M ，且事件M 发生的概率是1
2 .
(1)求n 的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2 个小球，若每次取到红色小球得0 分，取到黄色小球得1 分，取到蓝色小
球得2 分，设第一次取出小球后得分为a ，第二次取出小球后得分为b ，记事件N 为“
2
a
b
”，求事件N
发生的概率.
【答案】(1)
2
n
(2) 1
3
【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1 个小球，共有
2
n
个结果，每个结果可能性相同，
其中事件M 发生有n 种结果，所以
1
2
2
n
P M
n
，解得
2
n
.
（2）把红色小球记为A ；黄色的小球记为B ；蓝色小球记为
1
C ，
2
C ；
则两次不放回地取出小球的组合情况可用表格表示为
A
B
1
C
2
C
A
×
,
A B
1
,
A C
2
,
A C
B
,
B A
×
1
,
B C
2
,
B C
1
C
1,
C A
1,
C B
×
1
2
,
C C
2
C
2,
C
A
2,
C B
2
1
,
C C
×
共12 个样本点，
其中事件N 包含的样本点有
1
,
A C
，
2
,
A C
，
1,
C A ，
2,
C
A ，共4 个，
所以
4
1
12
3
P N
.
模块三：综合巩固
1.下列试验是古典概型的是（
）
A．口袋中有2 个白球和3 个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x
2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【答案】C
【解析】根据古典概型的两个特征进行判断.
A 项中两个基本事件不是等可能的，
B 项中基本事件的个数是无限的，
D 项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，
C 项符合古典概型的两个特征.故选：C
2.下列试验是古典概型的是（
）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0 环，1 环，2 环，…，10 环
C．某小组有男生5 人，女生3 人，从中任选1 人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
【答案】C
【分析】根据古典概型的特征依次判断即可.
【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；
对于B，命中0 环，1 环，2 环…，10 环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；
对于C，人数有限，且任选1 人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；
对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；
故选：C.
3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6 次，得到的点数分别为1,2,4,5,6, x ，则这6 个点数的中位数为4 的概
率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
【答案】A
【分析】根据x 的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.
【详解】当
1,2,3
x
时，这6 个点数的中位数为3，当
4
x
时，这6 个点数的中位数为4，当
5,6
x
时，
这6 个点数的中位数为4.5，
故由古典概型概率公式可得：
1
6
P
.
故选：A.
4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数
可以表示为两个素数的和”，如30
7
23
．在不大于10 的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为
（
）
A．1
4
B．2
3
C．1
3
D．1
2
【答案】D
【分析】求出不大于10 的所有素数，再利用列举法求出古典概率即得.
【详解】不大于10 的素数有2，3，5，7，
从中任取两个数的试验的样本空间
Ω
2,3 , 2,5 , 2,7 , 3,5 , 3,7 , 5,7
，共6 个样本点，
其中和为偶数的样本点有
3,5 , 3,7 , 5,7 ，其3 个，
所以和为偶数的概率为3
1
6
2
.
故选：D
5.如图，一只转盘，均匀标有8 个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（
）
A．
1
2
B．2
5
C．3
5
D．2
3
【答案】A
【分析】利用概率公式计算即可得.
【详解】共有8 个数，其中偶数的个数为4 个，故
4
1
8
2
P
.
故选：A.
6.某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、
武汉热干面这5 个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式求解即得.
【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为, , , ,
a b c d e ，
两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间
{
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
aa ab ac ad ae ba bb bc bd be
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
}
ca cb cc cd ce da db dc dd de ea eb ec ed ee ，共25 个样本点，
两位参赛博主抽到不同主题的事件
{
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A
ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce
,
,
,
,
,
,
,
}
da db dc de ea eb ec ed ，共20 个样本点，
所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为
20
4
( )
25
5
P A
.
故选：D
7.在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称
2
1
log p 为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均
匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】依题意计算出事件“恰好出现一次正面”的概率为
1
2
p
，代入计算可得结果.
【详解】根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况，
则事件“恰好出现一次正面”的概率为
1
2
p
，
所以“恰好出现一次正面”的自信息为
2
2
1
log
log 2
1
p
.
故选：B
8.有2 个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，
6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了
使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（
）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线
4
y
x
上甲获胜，所确定的点在直线
8
y
x
上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15 甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积不小于20 时甲得5 分，否则乙得3 分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
【答案】A
【详解】画树状图如下：
对于A：由树状图可知，共有16 种等可能的结果，
其中所确定的点在直线
4
y
x
上的点有
1,5 , 2,6 , 3,7 , 4,8 共4 个，
所确定的点在直线
8
y
x
上的点有
1,7 , 2,6 , 3,5 共3个，
故两种情况下的基本事件个数不一样，即两种情况下概率不一样，选项A 符合题意；
对于B：由树状图可知，共有16 种等可能的结果，
其中两个数乘积大于15 的有
2,8 , 3,6 , 3,7 , 3,8 , 4,5 , 4,6 , 4,7 , 4,8 共8 种，
则两个数乘积不大于15 的也有8 种，
故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项B 不符合题意；
对于C：由树状图可知，共有16 种等可能的结果，
其中取出的两个数乘积不小于20 的有
3,7 , 3,8 , 4,5 , 4,6 , 4,7 , 4,8 共6 种，
则取出的两个数乘积小于20 的有10 种，
5 6
3 10
30
，选项C 不符合题意；
对于D：由树状图可知，共有16 种等可能的结果，
其中取出的两个数相加和为奇数的有
1,6 , 1,8 , 2,5 , 2,7 , 3,6 , 3,8 , 4,5 , 4,7 共8 种，
则取出的两个数相加和为偶数的有8 种，
故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项D 不符合题意；
故选：A.
9.抛掷一个骰子，将得到的点数记为a ，则a ，4，5 能够构成三角形的概率是（
）
A．5
6
B．2
3
C．
1
2
D．1
3
【答案】A
【分析】求出基本事件总数，然后根据三角形三边之间的关系求出a ，4，5 能够构成三角形的基本事件数，
然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】由题意可知，抛掷一个骰子，得到的点数可能为1，2，3，4，5，6，基本事件的总数为6，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知1
9
a
，
故a ，4，5 能够构成三角形a 的取值可以为2，3，4，5，6 共5 种可能，
根据古典概型概率公式，所以a ，4，5 能够构成三角形的概率是为5
6 .
故选：A
10.某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1 枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲
发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2 个红球与2 个黑球的布袋中随机取出2 个球，如果同色，
甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3 个红球与1 个黑球的布袋中随机取出2 个球，如果同
色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（
）
A．规则一和规则二
B．规则二和规则三
C．规则一和规则三
D．只有规则一
【答案】C
【分析】分别计算每种规则下甲乙发球的概率，找到概率均为1
2 的规则即可得.
【详解】对于规则一，每人发球的概率都是
1
2 ，是公平的，
对于规则二，记2 个红球分别为红1，红2，2 个黑球分别为黑1，黑2，
则随机取出2 个球的所有可能的情况有：
（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），
（红2，黑2），（黑1，黑2），共6 种，
其中同色的情况有2 种，
∴甲发球的可能性为1
3 ，不公平；
对于规则三，记3 个红球分别为红1，红2，红3，
则随机取出2 个球所有可能情况有：
（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），
（红3，黑），共6 种，
其中同色的情况有3 种，
∴两人发球的可能性均为
1
2 ，是公平的，
∴对甲、乙公平的有规则一和规则三．
故选：C．
11.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6 ），先后抛掷两次，将得到的点数分别
记为m，n，记向量
2
3
1
a
m
n
,
，
1, 1
b
的夹角为，则为钝角的概率是（
）
A．5
18
B．1
3
C．13
36
D．11
36
【答案】D
【分析】先根据已知求出满足条件的
,
m n 满足的关系式，然后分别令
1,2,3,4,5,6
m
，求得满足条件的n.
然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.
【详解】由
/ /
a
b
可得，
2
3
1
1
1
0
m
n
，
所以
4
2
n
m
.
因为为钝角，所以
0
a b
，且,a b
不共线，
所以
2
3
1
1
1
0
4
2
m
n
n
m
，即
2
2
n
m
，且
4
2
n
m
.
当
1
m 时，有
0
n
且
2
n
，所以n 可取1，3，4，5，6；
当
2
m
时，有
2
n
，n 可取3，4，5，6；
当
3
m
时，有
4
n
，n 可取5，6；
当
4
m
，
5
m
，
6
m 时，
2
2
6
n
m
，此时无解.
综上所述，满足条件的
,
m n 有11 种可能.
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36 种，
所以为钝角的概率
11 .
36
p
故选：D.
12.（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，
3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1 个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件
B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（
）
A．事件A 与事件B 的样本点数分别为12，8
B．事件A，B 间的关系为A
B
C．事件A
B
发生的概率为11
20
D．事件A
B
发生的概率为2
5
【答案】CD
【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B 的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的
概率计算公式即可判断选项C、D.
【详解】解：由题用
,a b 表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况，
则所有的情况有：
1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,5 , 1,6 ，
2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,5 , 2,6 ，
3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,5 , 3,6 ，
4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,5 , 4,6 ，共20 种，
其中满足事件A 的结果有：
1,5 , 1,6 ，
2,5 , 2,6 ，
3,3 , 3,5 , 3,6 ，
4,2 , 4,3 , 4,5 , 4,6 ，共11 种，
其中满足事件B 的结果有：
2,5 , 2,6 ，
3,3 , 3,5 , 3,6 ，
4,3 , 4,5 , 4,6 ，共8 种，故选项A 错误；
因为事件B 的结果均在事件A 中包含，故B
A
，故选项B 错误；
因为A
B
A
，所以A
B
的结果数有11 种，
所以
11
20
A
B
P
，故选项C 正确；
因为A
B
B
，所以A
B
的结果数有8 种，
故
8
20
2
5
A
B
P
，故选项D 正确.
故选：CD
13.（多选）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种
方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：
直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别
为
1p ，
2p ，则下列判断不正确的是（
）
A．
1
2
1
2
p
p
B．
1
2
1
3
p
p
C．
1
1
2
p
，
2
1
3
p
D．
1
1
3
p
，
2
1
2
p
【答案】ABD
【分析】用列表法列举基本事件，分别求概率，即可判断.
【详解】记“车况好、中、差”分别为A ，B ，C ，方案一包含的基本事件数为
1n ，方案二包含的基本事件
数为
2n ，列表如下由表中所列事件数可知，
1
3
1
6
2
p
，
2
2
1
6
3
p
，所以选项C 正确．
1
2
3
1n
2n
A
B
C
√
A
C
B
√
B
A
C
√
B
C
A
√
C
A
B
√
C
B
A
故选：ABD.
14.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝
上的面的点数记为x ，计算
4
x
，则其结果恰为2 的概率是
．
【答案】1
3
【分析】根据古典概型概率公式计算求解.
【详解】由题意得，任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x ，共有6 种可能结果，
若
4
2
x
，则
6
x
或
2
x
，共有2 种可能结果，
所以所求概率为2
1
6
3
.
故答案为：1
3
15.某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5 个一样的盒子，其中4 个盒中各装有一个
变形金刚玩具，另外1 个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5 个盒中选出2 个盒子作为生日礼物，
则恰好取到1 个变形金刚玩具和1 套积木玩具的概率为
.
【答案】2
5 /0.4
【分析】先罗列出所有情况，再罗列出符合要求的情况，最后算概率即可.
【详解】设装变形金刚玩具的盒子分别为
, ,
,
A B C D ，
装积木玩具的盒子为E .则从这5 个盒子中选出2 个盒子的不同选法有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B
A C
A D
A E
B C
B D
B E
C D
C E
D E，
共10 种不同方法；
恰好选到1 个变形金刚玩具和1 套积木玩具的不同选法有
,
,
,
,
,
,
,
A E
B E
C E
D E ，共4 种不同方法，故所求概率
4
2
10
5
P
，
故答案为：2
5
16.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查. 已知在被调查的新生中有
5 名数学系的学生，其中2 名喜欢甜品.现在从这5 名学生中随机抽取3 人，求抽到的3 人中至多有1 人喜
欢甜品的概率．
【答案】0.7
【分析】根据古典概型公式计算可得答案.
【详解】记2 名喜欢甜品的学生分别为
1
2
,
a a ，3 名不喜欢甜品的学生分别为
1
2
3
,
,
b b b ，
从这5 名学生中任取3 人的样本点共有10 个，分别为
1
2
1
,
,
a a b ，
1
2
2
,
,
a a b
，
1
2
3
,
,
a a b
，
1
1
2
,
,
a b b
，
1
1
3
,
,
a b b
，
1
3
2
,
,
a b b
，
2
1
2
,
,
a b b
，
2
1
3
,
,
a b b
，
2
3
2
,
,
a b b
，
1
2
3
,
,
b b b
.
记事件A 表示“至多有1 人喜欢甜品”，则事件A 包含的样本点有7 个，
分别为
1
1
2
,
,
a b b
，
1
1
3
,
,
a b b
，
1
3
2
,
,
a b b
，
2
1
2
,
,
a b b
，
2
1
3
,
,
a b b
，
2
3
2
,
,
a b b
，
1
2
3
,
,
b b b
，
根据古典概型公式，得至多有1 人喜欢甜品的概率为
7
0.7
10
P A
.
17.长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023 年5 月该中学进行一次数
学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1 组
40,50 ，
第2 组
50,60 ，第3 组
60,70 ，第4 组
70,80 ，第5 组
80,90 ，第6 组
90,100 ，得到频率分布直方图
（如图），观察图中信息，回答下列问题：
(1)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71 百分位数（同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表）；
(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90 分时为优秀等级，若从成绩
在第5 组和第6 组的学生中，随机抽取2 人，求所抽取的2 人中至少有1 人成绩优秀的概率.
【答案】(1)平均分约为66.8；第71 百分位数为75；
(2) 5
7 .
【分析】（1）利用平均数定义计算出平均数，再判断出第71 百分位数位于
70,80 ，设出未知数，得到
方程，求出百分位数；
（2）求出第5 组和第6 组的人数，利用列举法求解概率.
【详解】（1）
45 0.1 55 0.26
65 0.2
75 0.3 85 0.08
95 0.06
66.8
x
，
所以本次考试成绩的平均分约为66.8；
因为成绩在
40,70 的频率为
0.01
0.026
0.02
10
0.56
，
成绩在
40,80 的频率为0.56
0.03 10
0.86
，
所以第71 百分位数位于
70,80 ，
设其为x ，则
0.56
70
0.03
0.71
x
，
解得
75
x ，所以第71 百分位数为75；
（2）第5 组的人数为：50 0.008 10
4
人，可记为A ，B ，C ，D ；
第6 组的人数为：50 0.006 10
3
人，可记为a ，b ，c ；
则从中任取2 人，有
,
A B ，
,
A C ，
,
A D ，
,
A a ，
,
A b ，
,
A c ，
,
B C ，
,
B D ，
,
B a ，
,
B b ，
,
B c ，
,
C D ，
,
C a ，
,
C b ，
,
C c ，
,
D a ，
,
D b ，
,
D c ，
,a b ，
,a c ，
,b c ，共21 种情况，
其中至少有1 人成绩优秀的情况有
,
A a ，
,
A b ，
,
A c ，
,
B a ，
,
B b ，
,
B c ，
,
C a ，
,
C b ，
,
C c
,
D a ，
,
D b ，
,
D c ，
,a b ，
,a c ，
,b c ，共15 种情况.
所以至少有1 人成绩优秀的概率
15
5
21
7
P
.
18.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，
用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4 分别代表红、黄、黑、白四个小球，利
用电脑随机产生1 到4 之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模
拟产生了以下18 组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（
）
A．1
6
B．1
9
C．2
9
D．5
18
【答案】D
【详解】18 组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5 组数据满足条件，
所以估计恰好抽取三次就停止的概率
5
18
p
.
故选：D
19.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3
1
x 想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3 再
加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1 如给出正整数5，则进行这种反复运算的过
程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5 次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10 中任
取2 个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1 个数的运算次数为奇数的概率为（
）
A．1
10
B．3
5
C．7
10
D．5
6
【答案】C
【详解】按照题中运算规律，正整数6 的运算过程为6
3
10
5
16
8
4
2
1
，运算次数为
8；
正整数7 的部分运算过程为7
22
11
34
17
52
26
13
40
20
10
，
当运算到10 时，运算次数为10，由正整数6的运算过程可知，
正整数7 总的运算次数为10
6
16
；
正整数8 的运算次数为3；
正整数9 的部分运算过程为9
28
14
7
，当运算到7 时，运算次数为3，
由正整数7 的运算过程可知，正整数9 总的运算次数为3 16
19
．
正整数10 的运算次数为6；
故正整数6，7，8，9，10 的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，
从正整数6，7，8，9，10 中任取2 个数的方法总数为：
6,7 , 6,8 , 6,9 , 6,10 , 7,8 , 7,9 , 7,10 , 8,9 , 8,10 , 9,10 ，共10种，
其中的运算次数均为偶数的方法总数为：
6,7 , 6,10 , 7,10 ，共3种，
故运算次数均为偶数的的概率为3
10 ，
故所求概率
3
7
1 10
10
P
．
故选：C.
20.现有编号为1，2，3，…，
*
(
2
)
N
n n
n
，
的n 个相同的袋子，每个袋中均装有n 个形状和大小都相同的
小球，且编号为(
1,2,3,
, )
k k
n
的袋中有k 个红球，n
k
个白球. 当n=5 时，从编号为3 的袋中无放回依
次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为
；现随机从n 个袋子中任选一个，再从袋中无放回
依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为9
20 ，则n 的值为
.
【答案】
3
10 /0.3
10
【详解】当n=5 时编号为3 的袋中有3 个红球，2 个白球.则从编号为3 的袋中无放回依次摸出两个球，摸
到的两个球都是红球的概率为
3
2
3
= 5
4
10
P
.
现随机从n 个袋子中任选一个，所以有n 种选法；
假设袋子中有(
1,2,3,
, )
k k
n
个红球，n
k
个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有
1
2
n n
n
种
方法；
若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为
1
1
1
1
2
k k
n
k
k n
k
n
k
n
k k n
k
n
k
n
k
n
k
1
2
n
n
n
k
；
则若第三次取出的球为白球的概率为
2
2
1
2
1
2
k
n
n
n
k
n
k
P
n
n
n
n
，
因为
1,2,3,
,
k
n
，
所以第三次取出的球为白球的概率为
2
2
2
2
1
2
3
n
n
n
n
n
P
n
n
n
n
2
1
2
3
1
n
n
n
n
2
1
1 1
2
n
n
n
1
9
2
20
n
n
，
解得n =10.
故答案为：3 ;10
10
.
21.若a 、b 是从集合
1,2,3,4,5 中随机选取的两个不同的数，则使得函数
3
2
a
b
f
x
x
x
是偶函数的概率
为
.
【答案】2
5 /0.4
【详解】对于幂函数
m
y
x
而言，当m 为奇数时，函数
m
y
x
为奇函数，
当m 为偶数时，函数
m
y
x
为偶函数，
若a 、b 是从集合
1,2,3,4,5 中随机选取的两个不同的数，以
,a b 为一个基本事件，
则所有的基本事件有：
1,2 、
1,3 、
1,4 、
1,5 、
2,1 、
2,3 、
2,4 、
2,5 、
3,1 、
3,2 、
3,4 、
3,5 、
4,1 、
4,2 、
4,3 、
4,5 、
5,1 、
5,2 、
5,3 、
5,4 ，共20 种，
若函数
3
2
a
b
f
x
x
x
是偶函数，则3a 、2b 均为偶数，则a 必为偶数，
所以，事件“函数
3
2
a
b
f
x
x
x
是偶函数”所包含的基本事件有：
2,1 、
2,3 、
2,4 、
2,5 、
4,1 、
4,2 、
4,3 、
4,5 ，共8 种，
故事件函数
3
2
a
b
f
x
x
x
是偶函数”的概率为
8
2
20
5
P
.
故答案为：2
5 .
22.已知关于x 的二次函数
2
1
f x
mx
nx
，令集合
1,2,3,4
M
，
1,2,4,6,8
N
，若分别从集合M，
N 中随机抽取一个数m 和n，构成数对
,
m n
(1)列举数对
,
m n 的样本空间，样本点共有多少个？
(2)记事件A 为“二次函数
f
x 的单调递增区间为
1,”，求事件A 的概率
(3)记事件B 为“关于x 的一元二次方程
2
f
x
有4 个零点”，求事件B 的概率
【答案】(1)答案见解析
(2) 1
5
(3) 11
20
【详解】（1）由题意可得，
1,2,3,4
m
，
1,2,4,6,8
n
，数对
,
m n 的样本空间为
Ω
(1, 1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2, 1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3, 1),
(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,-1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8) ，样本点共20 个.
（2）若二次函数
f
x 的单调递增区间为
1,，
则二次函数
f
x 的对称轴
1
2
n
x
m
，即
2
n
m
，
由（1）可得，总的基本事件个数为20 个，
符合
2
n
m
的基本事件为
1,2 ，
2,4 ，
3,6 ，
4,8 共4 个，
所以
4
1
20
5
P A
；
（3）因为
0
m
，二次函数的图象开口向上，
方程
2
f
x
有4 个零点，即方程
2
f x
和
2
f
x 各有2 个零点，
等价于二次函数
2
1
f x
mx
n
的最小值小于2
，所以
2
4
2
4
m
n
m
，即
2
4
n
m
，
样本空间中符合
2
4
n
m
的基本事件有
1,4 ，
1,6 ，
1,8 ，
2,4 ，
2,6 ，
2,8 ，
3,4 ，
3,6 ，
3,8 ，
4,6 ，
4,8 ，共11 个，所以
11
20
P B
.
