专题31
概率和统计【文】
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011[来源:Z#xx#k.Com][来源:学+科
+网Z+X+X+K]
文6[来源:Z§xx§k.Com]
概率
古典概型概率的计算[来源:学*科*网]
文19
频数分布表
频数分布表，频率与概率
2012
文3
变量间的相关关系
变量间的相关系数的计算
文18
频数分布表
给出样本频数表求样本均值，频率与概率，互斥事件的概率
2013
卷1
文3
概率
古典概型概率的计算
2013
文18
统计
茎叶图，利用样本估计总体
2013
卷2
文13
概率
古典概型概率的计算
文19
统计
频率分布直方图及其应用
2014
卷1
文13
概率
古典概型概率的计算
文18
频率分布直方图
频率分布直方图，用样本估计总体，平均数与方差的计算
卷2
文13
概率
古典概型概率的计算
文19
茎叶图，频率与概率
茎叶图及其应用，利用频率估计概率
2015
卷1
文4
概率
古典概型概率的计算
文19
变量间的相关关系
非线性拟合；线性回归方程
卷2
文3
统计
统计知识，柱形图
文18
频率分布直方图
频率分布直方图，用样本估计总体，利用频率估计概率
2016
卷1
文3
概率
古典概型概率的计算
文19
统计
条形统计图及其应用
卷2
文8
概率
几何概型概率的计算
文18
频数分布表
频数分布表，利用频率估计概率，平均数的计算
卷3
文4
统计
平均数的计算，统计图及其应用
文5
概率
几何概型概率的计算
文18
变量间的相关关系
线性相关与线性回归方程的求法与应用
2017
卷1
文2
统计
样本特征数
文4
概率
古典概型的概率计算
文19
变量间的相关关系
相关系数的计算，方差均值计算
卷2
文11
概率
古典概型的概率计算
文19
频率分布直方图，统计
案例
频率分布直方图及其应用，统计案例及其应用
卷3
文3
统计
折线图统计图的应用
文18
频数分布表，概率
频数分布表，利用频率估计概率
2018
卷1
文3
统计
扇形统计图及其应用
文19
频率分布直方图
频率分布直方图及其应用，用样本估计总体
卷2
文18
变量间的相关关系
线性回归方程及其应用
卷3
文5
概率
事件的基本关系和概率的计算
文14
抽样方法
简单随机抽样的选择
文18
茎叶图和独立性检验
茎叶图的应用，统计案例及其应用
2019
卷1
文6
抽样方法
系统抽样的应用
文17
独立性检验
统计案例及其应用
卷2
文4
概率
古典概型的概率计算
文5
推理与证明
演绎推理
文14
概率
利用统计数据进行概率的估计
文19
统计与概率
频数分布表，平均数与标准差的估计
卷3
文3
概率
古典概型的概率计算
文4
统计
抽样数据的统计
文17
频率分布直方图
频率分布直方图，用样本平均数估计总体的平均数
2020
卷1
文4
概率
古典概型的概率计算
文5
变量间的相关关系
由散点图选择回归模型
文17
频数分布表，概率
频数分布表，利用频率估计概率，根据平均值作出决策
卷2
理3 文4
概率
概率的应用
文18
变量间的相关关系
平均数的估计，相关系数的计算，抽样方法的选取
卷3
文18
独立性检验
统计案例及其应用
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点103
随机抽样
23 次考3 次
2021 年在选择题和填空题中仍会重
点考查各种统计图表、古典概型或几
何概型及其概率计算，在解答题中重
点考查频率分布直方图及其应用(与
概率相结合)，或与统计案例相结合．
考点104
用样本估计总体
23 次考11 次
考点105
变量间的相关关系
23 次考12 次
考点106
随机事件的概率、古典概型、几何概型
23 次考5 次
考点107
独立性检验
23 次考1 次
十年试题分类*探求规律
考点103
随机抽样
1．(2019 全国1 文6)某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些
新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验．若46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽到
的是
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
【解析】因为从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，所以系统抽样的分段间隔为1000
10
100
，
因为46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，
以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，
设其数列为{
}
na
，则
6
10
1
10
4
na
n
n
（
）
，
当
62
n
时，
62
616
a
，即在第62组抽到616．故选C．
2．(2015 湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验
得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷为28
1534
169
254
(石)．
3．(2015 北京)某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽
取的样本中，青年教师有320 人，则该样本的老年教师人数为
A．90
B．100
C．180
D．300
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
【答案】C【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600
16
900
9
；设样本中老年教师的人数为x ，
由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320
16
9
x
，解得
180
x
．
4．(2015 四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟
从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
A．抽签法
B．系统抽样法
C．分层抽样法
D．随机数法
【答案】C【解析】因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合
理．
5．(2015 陕西)某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教
师的人数是
A．93
B．123
C．137
D．167
【答案】C【解析】因为该校女教师的人数为110 70%
150 (1 60%)
77
60
137
．
6．(2014 广东)为了解1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40 的样本，则分段
的间隔为
A．50
B．40
C．25
D．20
【答案】C【解析】由1000
25
40
，可得分段的间隔为25．故选C．
7．(2014 广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1 和图2 所示，为了解该地区中小学生的近视
形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
A．200，20
B．100，20
C．200，10
D．100，10
【答案】A【解析】所抽人数为(3500
2000
4500) 2%
200
，近视人数分别为小学生3500 10%
350
，
初中生4500 30%
1350
，高中生2000 50%
1000
，∴抽取的高中生近视人数为1000 2%
20
，
故选A．
8．(2014 湖南)对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三
种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为
1
2
3
,
,
p p
p ，则(
)
A．
1
2
3
p
p
p
B．
2
3
1
p
p
p
C．
1
3
2
p
p
p
D．
1
2
3
p
p
p
【答案】D【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个
体被抽到的概率都是n
N
，故
1
2
3
p
p
p
，故选D．
9．(2013 新课标1)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，
事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，
在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A、简单随机抽样
B、按性别分层抽样
C、按学段分层抽样
D、系统抽样
【答案】C【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法
是按学段分层抽样，故选C．
10．(2018 全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，
该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样
方法是________．
【答案】分层抽样【解析】因为不同年龄的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽
样，才能了解到不同年龄段客户对公司服务的客观评价．
11．(2017 江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件，为
检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中
抽取
件．
【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取
300
60
18
1000
件．
12．(2016 年北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19 种商品，第二天售出13 种商
品，第三天售出18 种商品；前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种．
【答案】①16；②29 【解析】①由于前二天都售出的商品有3 种，因此第一天售出的有19-3=16 种商品第
二天未售出；答案为16．
②同①第三售出的商品中有14 种第二天未售出，有1 种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第
三天中14 种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用, ,
A B C 表示第一、二、
三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．
13．(2014 天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校
四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的
本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
【答案】60【解析】应从一年级抽取
4
60
4
5
5
6
300´
=
+ + +
名．
14．(2012 江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3
3
4
:
:
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年
级的学生中抽取容量为50 的样本，则应从高二年级抽取
名学生．
【答案】15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的10
3 ，利用分层抽样的有关知识得应
从高二年级抽取50×10
3 =15 名学生．
15．(2012 浙江)某个年级有男生560 人，女生420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量
为2 80 的样本，则此样本中男生人数为____________．
【答案】160【解析】总体中男生与女生的比例为4:3 ，样本中男生人数为
4
280
160
7
．
考点104
用样本估计总体
16．(2020 全国Ⅲ文3)设一组样本数据
1
2
,
,
,
n
x
x
x
的方差为0.01，则数据
1
2
10
,10
,
,10
n
x
x
x
的方差为
(
)
A．0.01
B．0.1
C．1
D．10
【答案】C
【思路导引】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果．
【解析】因为数据
(
1,2,
, )
i
ax
b i
n
L
，
的方差是数据
(
1,2,
, )
ix i
n
L
，
的方差的
2
a 倍，
所以所求数据方差为
2
10
0.01=1
，故选：C．
17．(2020 全国Ⅲ理3)在一组样本数据中，1, 2 , 3 , 4 出现的频率分别为
1
2
3
4
,
,
,
p
p
p
p ，且
4
1
1
i
ip
，则
下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
(
)
A．
1
4
2
3
0.1,
0.4
p
p
p
p
B．
1
4
2
3
0.4 ,
0.1
p
p
p
p
C．
1
4
2
3
0.2 ,
0.3
p
p
p
p
D．
1
4
2
3
0.3,
0.2
p
p
p
p
【答案】B
【思路导引】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组．
【解析】对于A 选项，该组数据的平均数为
1
4
0.1
2
3
0.4
2.5
A
x
，方差为
2
2
2
2
2
1 2.5
0.1
2
2.5
0.4
3
2.5
0.4
4
2.5
0.1
0.65
As
；对于B 选项，该组数据的
平均数为
1
4
0.4
2
3
0.1
2.5
B
x
，方差为
2
2
2
2
2
1 2.5
0.4
2
2.5
0.1
3
2.5
0.1
4
2.5
0.4
1.85
Bs
；对于C 选项，该组数据的
平均数为
1
4
0.2
2
3
0.3
2.5
C
x
，方差为
2
2
2
2
2
1 2.5
0.2
2
2.5
0.3
3
2.5
0.3
4
2.5
0.2
1.05
Cs
；对于D 选项，该组数据
的平均数为
1
4
0.3
2
3
0.2
2.5
D
x
，方差为
2
2
2
2
2
1 2.5
0.3
2
2.5
0.2
3
2.5
0.2
4
2.5
0.3
1.45
D
s
，因此B 选项这一组的标
准差最大，故选B．
18．(2020 天津4)从一批零件中抽取80 个，测量其直径(单位：mm )，将所得数据分为9 组：
[5.31,5.33),[5.33,5.35),
,[5.45,5.47],[5.47,5.49]
，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零
件中，直径落在区间[5.43,5.47) 内的个数为(
)
A．10
B．18
C．20
D．36
【答案】B
【思路导引】由题意首先确定直径落在区间
5.43,5.47 之间的零件频率，然后计算其个数即可．
【解析】由题意可得，直径落在区间
5.43,5.47 之间的零件频率为：
6.25
5.00
0.02
0.225
，
则区间
5.43,5.47 内零件的个数为：80
0.225
18
，故选B．
19．(2020 新高考山东海南9)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11
天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
(
)
A．这11 天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C．第3 天至第11 天复工复产指数均超过80%
D．第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量
【答案】CD
【解析】
【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1 天和第11 天的复工复产指数的差的大
小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确．
【详解】由图可知，第1 天到第2 天复工指数减少，第7 天到第8 天复工指数减少，第10 天到第11 复工
指数减少，第8 天到第9 天复产指数减少，故A 错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11 天的复产指标与复工指标的差，所以这11 天期间，
复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误；
由图可知，第3 天至第11 天复工复产指数均超过80%，故C 正确；
由图可知，第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确．
20．(2018 全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解
该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A【解析】通解设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入
为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a ．建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为
0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．
优解
因为0.6
0.37 2
，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．故选A．
21．(2017 新课标Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分
别为
1x ，
2x ，…，
nx ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A．
1x ，
2x ，…，
nx 的平均数
B．
1x ，
2x ，…，
nx 的标准差
C．
1x ，
2x ，…，
nx 的最大值
D．
1x ，
2x ，…，
nx 的中位数
【答案】B【解析】由统计知识可知，评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，选B．
22．(2017 新课标Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至
2016 年12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A【解析】由折线图，7 月份后月接待游客量减少，A 错误，故选A．
23．(2017 山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据
的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为
A．3，5
B．5，5
C．3，7
D．5，7
【答案】A【解析】甲组：56，62，65，70
x
，74，乙组：59，61，67，60
y
，78．要使两组数据的中
位数相等，则65
60
y
，所以
5
y
，
又56
62
65
(70
)
74
59
61
67
65
78
5
5
x
，解得
3
x
，选A．
24．(2016 年全国III 卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均
最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下
面叙述不正确的是
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
【答案】D【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知
七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本
相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5 个，D 不正确，故选D．
25．(2016 年北京)某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10
名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1．9
6
1．9
2
1．8
2
1．8
0
1．7
8
1．7
6
1．7
4
1．7
2
1．6
8
1．6
0
30 秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a−1
b
65
在这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，则
A．2 号学生进入30 秒跳绳决赛
B．5 号学生进入30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入30 秒跳绳决赛
D．9 号学生进入30 秒跳绳决赛
【答案】B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8 人为1~8 号，所以进入30 秒跳绳决赛的6 人从1~8
号里产生．数据排序后可知3 号，6 号，7 号必定进入30 秒跳绳决赛，则得分为63，a ，60，63，a l 的
5 人中有3 人进入30 秒跳绳决赛．若1 号，5 号学生未进入30 秒跳绳决赛，则4 号学生就会进入决赛，与
事实矛盾，所以l 号，5 号学生必进入30 秒跳绳决赛，故选B．
26．(2016 年山东)某高校调查了200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方
图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20)，[20，22．5)，[22．5，25)，[25，
27．5)，[27．5，30)．根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22．5 小时的人数是
A．56
B．60
C．120
D．140
【答案】D【解析】自习时间不少于22．5 小时的有200
(0.16
0.08
0.04)
2.5
140
，故选D．
27．(2015 新课标2)根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结
论不正确的是
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D【解析】结合图形可知，2007 年与2008 年二氧化硫的排放量差距明显，显然2008 年减少二氧
化硫排放量的效果最显著；2006 年二氧化硫的排放量最高，从2006 年开始二氧化硫的排放量开始整体呈下
降趋势，显然A、B、C 正确，不正确的时D，不是正相关．
28．(2015 湖南)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1~35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139，151]
上的运动员人数为
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B【解析】第一组(130,130,133,134,135) ，第二组(136,136,138,138,138) ，第三组
(139,141,141,141,142) ，第四组(142,142,143,143,144) ，第五组(144,145,145,145,146) ，第六组
(146,147,148,150,151) ，第七组(152,152,153,153,153) ，故成绩在[139,151]上恰好有4 组，故有4 人，
故选B．
29．(2013 福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6 组：[40，50)，[50，
60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一
年级共有学生600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为
A．588
B．480
C．450
D．120
【答案】B【解析】由图知道60 分以上人员的频率为后4 项频率的和，由图知道
(0.03
0.025
0.015
0.01)*10
0.8
P
，故分数在60 以上的人数
为600×0．8=480 人．
30．(2013 山东)将某选手的9 个得分去掉1 个最高分，去掉1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为91，现场
做的9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
则7 个剩余分数的方差为
A．116
9
B．36
7
C．36
D．6 7
7
【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是87，99，所以87
90 2
91 2
94
90
91 7
x
，
4
x
．
2
2
2
2
2
1
36
[(87
91)
(90
91)
2
(91 91)
2
(94
91)
2]
7
7
s
．
31．(2012 陕西)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的
中位数、众数、极差分别是
A．46，45，56
B．46，45，53
C．47，45，56
D．45，47，53
【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47 =46
2
，众数是45，极差为68-12=56．所
以选A．
32．(2020 上海8)已知有四个数1,2, ,a b ，这四个数的中位数为3，平均数为4，则ab
．
【答案】36
【解析】设a
b
，则2
3
2
a
，解得：
4
a
，
1
2
4
4
a
b
，解得：
9
b
，所以
36
ab
．
故答案为：36
33．(2020 江苏3)已知一组数据4 , 2 , 3
2 , 5 , 6
a
a
的平均数为4 ，则a 的值是
．
【答案】2
【解析】由题意得
4
2
3
5
6
4
5
a
a
，解得
2
a
．
34．(2018 江苏)已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均
数为
．
【答案】90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为89
89
90
91 91
90
5
．
35．(2019 全国II 文19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到
这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．
y 的分组
[
0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确
到0．01)
附：
74
8.602
．
【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
14
7
0.21
100
，产值负增长的企业频率为2
0.02
100
，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增
长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．
(2)
1 ( 0.10 2
0.10 24
0.30 53
0.50 14
0.70 7)
0.30
100
y
，
5
2
2
1
1
100
i
i
i
s
n
y
y
2
2
2
2
2
1
( 0.40)
2
( 0.20)
24
0
53
0.20
14
0.40
7
100
=0.0296，
0.0296
0.02
74
0.17
s
，所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
36．(2015 广东)已知样本数据
1x ，
2x ，，
nx 的均值
5
x
，则样本数据
1
2
1
x ，
2
2
1
x ，，2
1
nx
的均值为
．
【答案】11【解析】由
5
x
得
1
2
(2
1)
(2
1)
(2
1)
n
x
x
x
n
1
2
2
1
2
1
11
n
x
x
x
x
n
．
37．(2015 湖北)某电子商务公司对10000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：
万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a =
．
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为
．
【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)6000【解析】(Ⅰ)0.1 1.5
0.1 2.5
0.1
0.1 2
a
0.1 0.8
0.1 0.2
1
，解得
3
a =
；(Ⅱ)区间[0.5,0.9]内的频率为
1 0.1 1.5
0.1 2.5
0.6
，则该区间内购物者的人数为10000 0.6
6000
．
38．(2014 江苏)为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长(单位：cm)，所得数
据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有
株树木的底部周长
小于100cm．
【答案】24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm 的频率是(0．025 +0．015)×10=0．4，
又样本容量是60，所以频数是0．4×60=24．
39．(2013 辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5 个班级，把每个班级参加该
小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最
大值为
．
【答案】10【解析】设五个班级的数据分别为a
b
c
d
e
．由平均数方差的公式得
7
5
a
b
c
d
e
，
2
2
2
2
2
(
7)
(
7)
(
7)
(
7)
(
7)
4
5
a
b
c
d
e
，显然各个括号为整数．设
7,
7,
7,
7,
7
a
b
c
d
e
分别为, , , ,
p q r s t ，( , , , ,
)
p q r s t
Z
，
则
2
2
2
2
2
0
(1)
20
(2)
p
q
r
s
t
p
q
r
s
t
．
设
2
2
2
2
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
f x
x
p
x
q
x
r
x
s
=
2
2
2
2
2
4
2(
)
(
)
x
p
q
r
s x
p
q
r
s
=
2
2
4
2
20
x
tx
t
，因为数据互不相同，分析
( )
f x 的构
成，得
( )
0
f x
恒成立，因此判别式
0
，得
4
t
，所以
3
t
，即
10
e
．
40．(2012 山东文)右图是根据部分城市某年6 月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，
其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为[20.5,21.5) ，[21.5,22.5) ，[22.5,23.5) ，[23.5,24.5) ，
[24.5,25.5) ，[25.5,26.5] ．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于
25．5℃的城市个数为＿＿＿＿．
【答案】9【解析】最左边两个矩形面积之和为0．10×1+0．12×1＝0．22，总城市数为11÷0．22＝50，最
右面矩形面积为0．18×1＝0．18，50×0．18＝9．
41．(2018 全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据(单位：
3
m )和使用了节水龙头50
天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．35
3
m 的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在
区间中点的值作代表．)
【解析】(1)
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50 天日用水量小于0．35
3
m 的频率为
0．2×0．1+1×0．1+2．6×0．1+2×0．05=0．48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0．35
3
m 的概率的估计值为0．48．
(3)该家庭未使用节水龙头50 天日用水量的平均数为
1
1 (0.05 1
0.15
3
0.25
2
0.35
4
0.45
9
0.55
26
0.65
5)
0.48
50
x
．
该家庭使用了节水龙头后50 天日用水量的平均数为
2
1 (0.05 1
0.15
5
0.25 13
0.35 10
0.45 16
0.55
5)
0.35
50
x
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水
3
(0.48
0.35) 365
47.45(m )
．
42．(2017 北京)某大学艺术专业400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从
中随机抽取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整
理得到如下频率分布直方图：
(Ⅰ)从总体的400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70 的概率；
(Ⅱ)已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总体中男
生和女生人数的比例．
【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70 的频率为
(0.02
0.04) 10
0.6
，
所以样本中分数小于70 的频率为1 0.6
0.4
．
所以从总体的400 名学生中随机抽取一人，其分数小于70 的概率估计为0．4．
(Ⅱ)根据题意，样本中分数不小于50 的频率为(0.01
0.02
0.04
0.02) 10
0.9
，分数在区间[40,50) 内
的人数为100 100 0.9
5
5
．
所以总体中分数在区间[40,50) 内的人数估计为
5
400
20
100
．
(Ⅲ)由题意可知，样本中分数不小于70 的学生人数为(0.02
0.04) 10 100
60
，
所以样本中分数不小于70 的男生人数为
1
60
30
2
．
所以样本中的男生人数为30 2
60
，女生人数为100
60
40
，男生和女生人数的比例为60: 40
3: 2
．
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2 ．
43．(2016 年全国I 卷)某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购
进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每
个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使
用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x 表示1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单
位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．
(I)若n =19，求y 与x 的函数解析式；
(II)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0．5，求n 的最小值；
(III)假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分别计算这
100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买19 个还
是20 个易损零件？
【解析】(Ⅰ)当
19
x
时，
3800
y
；
当
19
x
时，
5700
500
)
19
(
500
3800
x
x
y
，所以y 与x 的函数解析式为
)
(,
19
,
5700
500
,
19
,
3800
N
x
x
x
x
y
．
(Ⅱ)由柱状图知，需更换的零件数不大于18 的概率为0．46，不大于19 的概率为0．7，故n 的最小值为19．
(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19 个易损零件，则这100 台机器中有70 台在购买易损零件上的费用为
3800，20 台的费用为4300，10 台的费用为4800，因此这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数
为
4050
)
10
4500
90
4000
(
100
1
．
比较两个平均数可知，购买1 台机器的同时应购买19 个易损零件．
44．(2016 年北京)某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过w 立方米的部分按4 元/立方米收费，
超出w 立方米的部分按10 元/立方米收费．从该市随机调查了10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，
整理得到如下频率分布直方图：
(Ⅰ)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w 至少定为
多少？
(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3 时，估计该市居民该月的人均水费．
【解析】(I)由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间
0.5,1 ，
1,1.5 ，
1.5,2 ，
2,2.5 ，
2.5,3 内的频
率依次为0.1，0.15，0.2 ，0.25，0.15．
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85 %，用水量不超过2 立方米的居民占45 %．
依题意，w 至少定为3．
(II)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
2,4
4,6
6,8
8,10
10,12
12,17
17,22
22,27
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05
22 0.05
27 0.05
10.5
(元)．
45．(2015 新课标2)某公司为了解用户对其产品的满意度，从
,
A B 两地区分别随机调查了40 个用户，根据
用户对产品的满意度评分，得分A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分
布表．
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评
分分组
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
频数
2
8
14
10
6
(Ⅰ)在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均
值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；
满意度评分
低于70 分
70 分到80 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
【解析】
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户
满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散．
(Ⅱ)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记
A
C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；
B
C 表示事件“B 地区用户的满意度等级为不满意”．
由直方图得
(
)
A
P C
的估计值为(0.01
0.02
0.03) 10
0.6
，
(
)
B
P C
的估计值为(0.005
0.02) 10
0.25
．
所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
46．(2015 广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以
160,180 ，
180,200 ，
200,220 ，
220,240 ，
240,260 ，
260,280 ，
280,300 分组的频率分布直方图如图2 ．
(Ⅰ)求直方图中x 的值；
(Ⅱ)求月平均用电量的众数和中位数；
(Ⅲ)在月平均用电量为
220,240 ，
240,260 ，
260,280 ，
280,300 的四组用户中，用分层抽样的方
法抽取11户居民，则月平均用电量在
220,240 的用户中应抽取多少户？
【解析】(Ⅰ)以题意20 (0.002
0.0095
0.011
0.0125
0.05
0.0025)
1
x
，解得
0.0075
x
(Ⅱ)由图可知，最高矩形的数据组为
220,240 ，∴众数是220
240
230
2
．
∵[160,220) 的频率之和为
0.002
0.0095
0.011
20
0.45
，
由题意设中位数为a ，
∴
0.002
0.0095
0.011
20
0.0125
220
0.5
a
，
得：
224
a
，所以月平均用电量的中位数是224 ．
(Ⅲ)月平均用电量为
220,240 的用户有0.0125 20 100
25
户，月平均用电量为
240,260 的用户有
0.0075 20 100
15
户，月平均用电量为
260,280 的用户有0.005 20 100
10
户，月平均用电量为
280,300 的用户有0.0025 20 100
5
户，抽取比例
11
1
25 15 10
5
5
，所以月平均用电量在
220,240 的用户中应抽取
1
25
5
5
户．
考点105
变量间的相关关系
47．(2020 全国Ⅰ文理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：C
)的关系，
在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
,
1, 2 ,
, 20
i
i
x
y
i
得到下面的散点图：
由此散点图，在10 C
至40 C
之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型
的是
(
)
A．y
a
bx
B．
2
y
a
bx
C．
ex
y
a
b
D．
ln
y
a
b
x
【答案】D
【思路导引】根据散点图的分布可选择合适的函数模型．
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图像附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x
的回归方程类型的是
ln
y
a
b
x
，故选D．
48．(2020 全国Ⅱ文理18)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查
该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取
20 个作为样区，调查得到样本数据
,
1, 2 ,
, 20
i
i
x
y
i
，其中
ix 和
iy 分别表示第i 个样区的植物覆盖
面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
20
1
60
i
ix
，
20
1
1200
i
iy
，
20
1
2
80
i
i
x
x
，
20
1
2
9000
i
i
y
y
，
0
80
20
1
i
i
i
y
y
x
x
．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均
数乘以地块数)；
（2）求样本
,
1, 2 ,
, 20
i
i
x
y
i
的相关系数(精确到0.01)；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
y
y
x
x
y
y
x
x
r
1
2
1
2
1
，
414
.1
2
．
【解析】(1)样区野生动物平均数为
20
1
1
1
1200
60
20
20
i
i
y
，
地块数为200 ，该地区这种野生动物的估计值为200
60
12000
．
(2)样本( ,
)
i
i
x y
的相关系数为
20
1
20
20
2
2
1
1
(
)(
)
800
2 2
0.94
3
80 9000
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
．
(3)由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样．先将植物覆盖面积
按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．
49．(2018 全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式．为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第
一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下
茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人
数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
，
2
(
) 0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
P K
k
k
≥
【解析】(1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第二
种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5 分钟，用第二种生产
方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式
的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎8 大致呈
对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎7 大致呈对称分
布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成
生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
(2)由茎叶图知
79
81
80
2
m
．
列联表如下：
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于
2
2
40(15 15
5 5)
10
6.635
20 20 20 20
K
，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
50．(2017 新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
2
(
)
P K
k
≥
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
【解析】(1)旧养殖箱的箱产量低于50kg 的频率为
(0.012
0.014
0.024
0.034
0.040) 5
0.62
．
因此，事件A 的概率估计值为0．62．
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
2
2
200 (62 66
34 38)
15.705
100 100 96 104
K
．
由于15.705
6.635
，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg 到55kg 之间，旧养殖法的箱
产量平均值(或中位数)在45kg 到50kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集
中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
51．(2014 新课标2)某地区2007 年至2013 年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2．9
3．3
3．6
4．4
4．8
5．2
5．9
(Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该
地区2015 年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
n
i
i
i
n
i
i
t
t
y
y
b
t
t
，
ˆ
ˆa
y
bt
【解析】(I) 由所给数据计算得
1
7
t
(1+2+3+4+5+6+7)=4
1
7
y
(2．9+3．3+3．6+4．4+4．8+5．2+5．9)=4．3
7
2
1
1
(
)
t
t
t
=9+4+1+0+1+4+9=28
7
1
1
1
(
)(
)
t
t
t
y
y
=( 3) ( 1.4)
( 2) ( 1)
( 1) ( 0.7)
0 0.1 1 0.5
2 0.9
3 1.6
14
7
1
1
1
7
2
1
1
(
)(
)
14
0.5
28
(
)
t
t
t
t
y
y
b
t
t
，
4.3 0.5 4
2.3
a
y
bt
．
所求回归方程为
0.5
2.3
y
t
．
52．(2014 新课标1) 从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表
得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(I)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(III)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全
部产品的80%”的规定？
【解析】(I)
(II)质量指标值的样本平均数为x 80×0．06+90×0．26+100×0．38+110×0．22+120×0．08 =100．
质量指标值的样本方差为
2
2
2
2
2
( 20)
0.06
0.26+0.38+10
0.22
20
0.08
s
（-10）
=104．
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
(III)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为
0．38+0．22+0．08=0．68．
由于该估计值小于0．8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全
部产品80%”的规定．
53．(2012 辽宁)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行
调查，其中女性有55 名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10 名女性．
(I)根据已知条件完成下面
2
2
列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(II)将日均收看该体育节目不低于50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2 名女性．若从
“超级体育迷”中任意选取2
人，求至少有1 名女性观众的概率．
附：
2
1
2
1
2
21
12
22
11
2
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
【解析】(I)由频率颁布直方图可知，在抽取的100 人中，“体育迷”有25 人，从而2×2 列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
由2×2 列联表中数据代入公式计算，得：
2
2
2
11
22
12
21
1
2
1
2
(
)
100(30 10
45 15) 100
3.030
75 25 45 55
33
n n n
n n
x
n n n n
因为3．030<3．841，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(II)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5 人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间
1
2
1
3
2
3
1
1
{(
,
),(
,
),(
,
),(
,
)
a a
a a
a a
a b
1
2
2
1
2
2
3
1
,(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),
a b
a b
a b
a b
3
2
1
2
(
,
),( ,
)}
a b
b b
其中
ia 表示男性，
1,2,3
i
．
jb 表示女性，
1,2
j
．由10 个基本事件组成，而且这些
事件的出现时等可能的．用A 表示“任选2 人中至少有1 名是女性”这一事件，则
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
{(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),( ,
)}
A
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b b
∴
7
( )
10
P A
．
考点106
随机事件的概率、古典概型、几何概型
54．(2020 全国Ⅰ文4)设O 为正方形ABCD 的中心，在
,
,
,
,
O A B C D 中任取3点，则取到的3点共线的
概率为
(
)
)
(
2
k
P
0．05
0．01
k
3．841
6．635
A．1
5
B．2
5
C．1
2
D．4
5
【答案】A
【思路导引】列出从5个点中任取3个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式
运算即可．
【解析】如图，从
,
,
,
,
O A B C D 5个点中任取3个有
,
,
,
,
,
,
,
,
O A B
O A C
O A D ，
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
O B C
O B D
O C D
A B C
A B D
A C D
B C D ，共10种不同取
法，3点共线只有
,
,
O A C 与
,
,
O B D 共2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的
概率为2
1
10
5
，故选A．
55．(2020 全国Ⅱ文理4)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的
配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该
超市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600 份的概率为0.05 ，志愿者每人每天能完
成50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95 ，则至少需要志愿者
(
)
A．10 名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
【答案】B
【思路导引】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可．
【解析】由题意，第二天新增订单数为500
1600
1200
900
，故需要志愿者900
18
50
名，故选B．
56．(2020 新高考山东海南5)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96% 的学生喜欢足球或游泳，60% 的
学生喜欢足球，82% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例
是
(
)
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或
游泳”为事件A
B
，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B
，则
( )
0.6
P A
，
( )
0.82
P B
，
0.96
P A
B
，所以
(
)
P A B
( )
( )
(
)
P A
P B
P A
B
0.6
0.82
0.96
0.46
，所以该中学既喜
欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46% ，故选：C．
57．(2020 江苏4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷2 次，观向上的点数，则点数和为5的概率
是
．
【答案】1
9
【思路导引】先求事件的总数，再求点数和为5的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案．
【解析】总事件数为6 6
36
，点数和为5含
1, 4 , 2 , 3 , 3, 2 , 4 ,1 共4 个基本事件，故所求的概
率为4
1
36
9
．
58．(2019 全国II 文14)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的
正点率为0．97，有20 个车次的正点率为0．98，有10 个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所
有车次的平均正点率的估计值为___________．
【答案】0．98【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
10 0.97
20 0.98 10 0.99
0.98
10
20 10
x
．
59．(2019 全国III 文4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中
国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过《西
游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过
《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0．5
B．0．6
C．0．7
D．0．8
【解析】由题意可作出维恩图如图所示：
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70 人，
则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：70
0.7
100
．故选C．
60．(2019 江苏5)已知一组数据6，7，8，8 ，9，10，则该组数据的方差是
．
【解析】一组数据6，7，8，8，9，10 的平均数为
1 (6
7
8
8
9 10)
8
6
x
，
所以该组数据的方差为
2
2
2
2
2
2
2
1
5
[(6
8)
(7
8)
(8
8)
(8
8)
(9
8)
(10
8) ]
6
3
s
．
61．(2020 全国Ⅰ文17)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D 四
个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90 元，50 元，20 元；
对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50 元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本
费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工
了100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加
工业务?
【答案】(1)甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4 ，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；(2)选甲分
厂，理由见解析．
【思路导引】(1)根据两个频数分布表即可求出；
(2)根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【解析】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为40
0.4
100
，乙厂加工出来的一件产品
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
为A 级品的概率为28
0.28
100
．
(2)甲分厂加工100件产品的总利润为
40
90
25
20
50
25
20
20
25
20
50
25
1500
元，
∴甲分厂加工100件产品的平均利润为15 元每件．
乙分厂加工100件产品的总利润为
28
90
20
17
50
20
34
20
20
21
50
20
1000
元，∴乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件，故厂家选择甲分厂承接加工任务．
62．(2019全国III文17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分
成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液
体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试
验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．70．
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
【解析】(1)由已知得0.70
0.20
0.15
a
，故
0.35
a
，b=1–0．05–0．15–0．70=0．10．
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00．
63．(2019 北京文17)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付
方式之一．为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000 名学生中随机
抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的
支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
不大于2 000 元
大于2 000 元
仅使用A
27 人
3 人
仅使用B
24 人
1 人
(Ⅰ)估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数；
(Ⅱ)从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人，求该学生上个月支付金额大于2 000 元的概率；
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人，发现他本
月的支付金额大于2 000 元．结合(Ⅱ)的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000 元
的人数有变化？说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，
A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40
1000
400
100
．
(Ⅱ)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则
1
( )
0.04
25
P C
．
(Ⅲ)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(II)知，
( )
P E =0．04．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
( )
P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，
就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，( )
P E 比较小，一般不容易发生，但还是
有可能发生的．所以无法确定有没有变化．
64．(2019 天津文15)2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医
疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120
人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25 人调查专项附加扣除的享受情况．
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(Ⅱ)抽取的25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人，分别记为
, ,
,
,
,
A B C D E F ．享受情况如右
表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6 人中随机抽取2 人接受采访．
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ii)设M 为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．
【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取25 位员工，
因此应从老、中、青员中分别抽取6 人，9 人，10 人．
(Ⅱ)(i)从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
{
}
,
,
,
,
,
,
A B
A C
A D
A E
A
F
B C
B D
B E
B F
C D
C E
C F
D E
D F
E F
，，
，共
15 种．
(ii)由表格知，符合题意的所有可能结果为
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B
A D
A E
A F
B D
B E
B F
C E
C F
D F
E F
，共11 种．
所以，事件M 发生的概率
11
(
)
15
P M
．
考点107
独立性检验
65．(2020 全国Ⅲ文理18)某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻
炼的人次，整理
数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
空气质量等级
0 , 200
200 , 400
400 , 600
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，则称这天
“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面2 2
的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为
一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次
400
人次
400
空气质量好
空气质量不好
附：
2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d
2
P K
k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为1 的概率为2 16
25
43
100
100
；该市
一天的空气质量等级为2 的概率为5 10 12
27
100
100
；该市一天的空气质量等级为3 的概率为
6
7
8
21
100
100
；该市一天的空气质量等级为4 的概率为7
2
0
9
100
100
．
(2)由题意，计算得
100
0.20
300
0.35
500
0.45
350
x
．
(3)列联表如下：
人次≤400
人次＞400
总计
空气质量好
33
37
70
空气质量不好
22
8
30
总计
55
45
100
由表中数据可得：
2
2
100 (33 8
37
22)
5.820
3.841
70 30 55 45
K
，∴有95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的
人次与该市当天的空气质量有关．
66．(2020 新高考山东海南19)
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的
PM2.5 和
2
SO 浓度(单位：
3
/ m
g
)，得下表：
2
SO
PM2.5
0,50
50 ,150
150 , 475
0 , 35
32
18
4
35 , 75
6
8
12
75 ,115
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75 ，且
2
SO 浓度不超过150 ”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面
2
2
列联表：
2
SO
PM2.5
0 ,150
150 , 475
0 , 75
75 ,115
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中
2.5
PM
浓度与
2
SO 浓度有关？
附：
d
b
c
a
d
c
b
a
bc
ad
n
K
2
2
，
【解析】(1)由表格可知，该市100 天中，空气中
的
2.5
PM
浓度不超过75，且
2
SO 浓度不超过150 的天数有32
6
18
8
64
天，
所以该市一天中，空气中的
2.5
PM
浓度不超过75，且
2
SO 浓度不超过150 的概率为64
0.64
100
；
(2)由所给数据，可得2
2
列联表为：
2
SO
2.5
PM
0,150
150,475
合计
0,75
64
16
80
75,115
10
10
20
合计
74
26
100
(3)根据2
2
列联表中的数据可得
2
2
2
(
)
100 (64 10 16 10)
(
)(
)(
)(
)
80 20 74 26
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
3600
7.4844
6.635
481
，
)
(
2
k
K
P
050
.0
010
.0
001
.0
k
841
.3
635
.6
828
.
10
因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中
2.5
PM
浓度与
2
SO 浓度有关．
