专题12
三角函数图象与性质
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考查内容
2011[来源:
学科网]
课标
理11
三角函数性质[来源:学科网]
三角函数的周期性、奇偶性、单调性[来源:学科网]
课标
文11
三角函数性质
三角公式、诱导公式、三角函数的性质及分析处理问题
能力．
2012
课标
理9
三角函数性质
三角函数的单调性
课标
文9
三角函数性质
三角函数的对称轴等性质
2013
卷2
文16
三角函数图像变换
三角函数图像平移变换
2014
卷1
文7
三角函数图像
本三角函数的周期性．
2015
卷1
理8
文8
三角函数图像
已知三角函数图像求解析式及三角函数的单调性．
2016
卷3
理14
三角函数图像变换
两角和与差的三角公式及图像平移变换．
卷1
文6
三角函数图像变换
三角函数周期、三角函数的平移变换．
卷2
文3
三角函数图像
已知三角函数图像求解析式
卷3
文14
三角函数图像
辅助角公式及三角函数平移变换．
2017
卷1
理9
三角函数图像变换
诱导公式、三角函数图像变换，化归与转化思想
卷3
理6
三角函数性质
三角函数周期、对称性、零点与单调性．
卷2
文3
三角函数性质
三角函数周期性
2018
卷2
理10
三角函数性质
辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归
与转化思想．
卷3
理15
三角函数性质
三角函数的零点、转化与化归思想与运算求解能力
卷2
文10
三角函数性质
辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归
与转化思想．
卷3
文6
同角三角函数基本关系
三角函数性质
同角三角函数基本关系与三角函数的周期，运算求解能
力与化归与转化思想．
2019
卷2
理9
三角函数性质
含绝对值的三角函数的周期性与单调性，转化与化归思
想．
卷3
理12
三角函数性质
含绝对值的三角函数的周期性、单调性、极值与零点，
转化与化归思想．
卷1
文15
三角函数性质
诱导公式、三角函数的最值，转化与化归思想．
卷2
文8
三角函数性质
三角函数的极值、周期等性质．
2020
卷1
理7
三角函数图象及其性质
三角函数的图象，三角函数的周期性
文7
三角函数图象及其性质
三角函数的图象，三角函数的周期性
卷3
理16
三角函数图象及其性质
三角函数最值，三角函数图象的对称性
文12
三角函数图象及其性质
三角函数最值，三角函数图象的对称性
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
三角函数性质
14/21
2021 年高考仍将重点考查三角函数的图像与性质及三
角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的
热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题
或中档题，也可以是压轴题．
三角函数图像
7/21
三角函数图像变换
4/21
十年试题分类*探求规律
考点39 三角函数性质
1．(2020 全国Ⅲ文12 理16)已知函数
1
sin
sin
f x
x
x
，则(
)
A．
f
x 的最小值为2
B．
f
x 的图像关于y 轴对称
C．
f
x 的图像关于直线x 对称
D．
f
x 的图像关于直线
2
x
对称
【答案】D
【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A；根据奇偶性可判断B；根据对称性判断C，D．
【解析】sin x
可以为负，所以A 错；
1
sin
0 ,
,
sin
sin
x
x
k
k
f
x
x
f
x
x
Z
Q
Q
，
f x
关于原点对称；
1
1
(2
)
sin
( ),
(
)
sin
( ),
sin
sin
f
x
x
f x
f
x
x
f x
x
x
Q
故B 错；
( )
f x
关于直线
2
x
对称，故C 错，D 对，故选D．
2．(2019•新课标Ⅱ，理9)下列函数中，以2
为周期且在区间( 4
，
)
2
单调递增的是(
)
A．
( ) | cos2 |
f x
x
B．
( ) | sin 2 |
f x
x
C．
( )
cos |
|
f x
x
D．
( )
sin |
|
f x
x
【答案】A
【解析】
( )
sin |
|
f x
x
不是周期函数，可排除D 选项；
( )
cos |
|
f x
x
的周期为2，可排除C 选项；
( ) | sin 2 |
f x
x
在4
处取得最大值，不可能在区间( 4
，
)
2
单调递增，可排除B ．
故选A ．
3．(2019•新课标Ⅲ，理12)设函数
( )
sin(
)(
0)
5
f x
x
，已知
( )
f x 在[0 ，2 ]
有且仅有5 个零点．下
述四个结论：
①
( )
f x 在(0,2 )
有且仅有3 个极大值点
②
( )
f x 在(0,2 )
有且仅有2 个极小值点
③
( )
f x 在(0,
)
10
单调递增
④的取值范围是12
[ 5 ，29)
10
其中所有正确结论的编号是(
)
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
【答案】D
【解析】当
[0
x
，2 ]
时，
[
5
5
x
，2
]
5
，
( )
f x
在[0 ，2 ]
有且仅有5 个零点，
5
2
6
5
-
，12
29
5
10
-
，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面
判断③是否正确，当
(0,
)
10
x
时，
[
5
5
x
，(
2) ]
10
，若
( )
f x 在(0,
)
10
单调递增，则(
2)
10
2
，
即
3
，12
29
5
10
-
，故③正确，故选D ．
4．(2019•新课标Ⅱ，文8)若
1
4
x
，
2
3
4
x
是函数
( )
sin
(
0)
f x
x
两个相邻的极值点，则
(
)
A．2
B．3
2
C．1
D．1
2
【答案】A
【解析】
1
4
x
，2
3
4
x
是函数
( )
sin
(
0)
f x
x
两个相邻的极值点，
3
2
2(
)
4
4
T
，
2
，
故选A ．
5．(2018•新课标Ⅱ，理10)若
( )
cos
sin
f x
x
x
在[ a
，]
a 是减函数，则a 的最大值是(
)
A．4
B．2
C．3
4
D．
【答案】A
【解析】
( )
cos
sin
(sin
cos )
2 sin(
)
4
f x
x
x
x
x
x
，由
k
2
2
≤
k
x
2
2
4
，k
Z
，
得
k
x
k
2
4
3
2
4
，k
Z
，取
0
k
，得
( )
f x 的一个减区间为[
4
，3
]
4，由
( )
f x 在[ a
，]
a
是减函数，得
4
3
4
a
a
，∴
4
a
，则a 的最大值是4
，故选A ．
6．(2018•新课标Ⅱ，文10)若
( )
cos
sin
f x
x
x
在[0 ，]
a 是减函数，则a 的最大值是(
)
A．4
B．2
C．3
4
D．
【答案】C
【解析】
( )
cos
sin
(sin
cos )
2 sin(
)
4
f x
x
x
x
x
x
，由
2
2
4
2
2
k
x
k
，k
Z
，
得
4
3
2
2
4
k
x
k
，k
Z
，取
0
k
，得
( )
f x 的一个减区间为[
4
，3 ]
4
，由
( )
f x 在[0 ，]
a 是
减函数，得
4
3
a
，则a 的最大值是3
4
，故选C ．
7．(2018•新课标Ⅲ，文6)函数
2
tan
( )
1
x
f x
tan x
的最小正周期为(
)
A．4
B．2
C．
D．2
【答案】C
【解析】函数
2
2
2
tan
sin cos
1
( )
sin 2
1
cos
sin
2
x
x
x
f x
x
tan x
x
x
的最小正周期为2
2
，
故选C ．
8．(2017新课标卷3，理6)设函数
π
( )
cos(
)
3
f x
x
，则下列结论错误的是()
A．
( )
f x 的一个周期为2π
B．
( )
y
f x
的图像关于直线
8π
3
x
对称
C．
(
)
f x
的一个零点为
π
6
x
D．
( )
f x 在π
(
, π)
2
单调递减
【答案】D
【解析】函数
π
cos
3
f x
x
的图象可由
cos
y
x
向左平移π
3 个单位得到，如图可知，
f x 在π ,π
2
上
先递减后递增，D 选项错误，故选D．
9．(2017 新课标卷2，文3)函数
f
x
=
sin（2x+
）
3
的最小正周期为
A．4
B．2
C．
D．2
【答案】C
【解析】由题意
2
2
T
，故选C．
10．(2014 新课标I，文7)在函数①
|
2
|
cos
x
y
，②
|
cos
|
x
y
，③
)
6
2
cos(
x
y
，④
)
4
2
tan(
x
y
中，最小正周期为的所有函数为
A．②④
B．①③④
C．①②③
D．①③
【答案】C
【解析】∵
|
2
|
cos
x
y
= cos2x ，∴T = 2
2
=；由
|
cos
|
x
y
图像知其周期为，由周期公式知，
)
6
2
cos(
x
y
为，
)
4
2
tan(
x
y
为2
，故选C．
11．(2012 全国新课标，理9)已知＞0，函数
( )
f x =sin(
)
4
x
在( 2
，)单调递减，则的取值范围
是(
)
A ．[ 1
2
，5
4
]
B ．[ 1
2
，3
4
]
C ．(0，1
2
]
D ．(0，2]
【答案】A
【解析】∵＞0，x ∈( 2
，)，∴
4
x
∈( 2
4
，
4
)，∵
( )
f x =sin(
)
4
x
在( 2
，)
单调递减，∴( 2
4
，
4
)( 2
，3
2
)，∴2
≤2
4
且
4
≤3
2
，解得1
2
≤≤5
4
，
故选A．
12．(2012 全国新课标，文9)已知>0，0
，直线x = 4
和x = 5
4
是函数
( )
sin(
)
f x
x
图像
的两条相邻的对称轴，则=( )
(A)π
4
(B)π
3
(C)π
2
(D)3π
4
【答案】A
【解析】由题设知，
= 5
4
4
，∴=1，∴4
=
2
k
(k
Z
)，∴=
4
k
(k
Z
)，∵0
，
∴= 4
，故选A．
13．(2011 全国课标，理11)设函数
( )
f x =sin(
)
cos(
)
x
x
(＞0，|
|
＜2
)的最小正周期为，
且
(
)
f
x
=
( )
f x ，则
( )
f x
(A)在(0，2
)单调递减
(B)在( 4
，3
4
)单调递减
(C) 在(0，2
)单调递增
(D)在( 4
，3
4
)单调递增
【答案】A
【解析】∵
( )
f x =
2 sin(
+
)
4
x
，由题意知2
=且+ 4
=
2
k
，解得=2，=
4
k
，又
∵|
|
＜2
，∴= 4
，∴
( )
f x =
2 sin(2 +
)
2
x
=
2 cos2x ，当x ∈(0，2
)时，2x ∈(0，)，故
( )
f x
在(0，2
)单调递减，故选A．
14．设函数
( )
f x =sin(2
)
cos(2
)
4
4
x
x
，则y =
( )
f x
(A)在(0，2
)单调递增，其图像关于直线x = 4
对称
(B) 在(0，2
)单调递增，其图像关于直线x = 2
对称
(C) 在(0，2
)单调递减，其图像关于直线x = 4
对称
(D) 在(0，2
)单调递减，其图像关于直线x = 2
对称
【答案】D
【解析】
( )
f x =sin(2
)
cos(2
)
4
4
x
x
=
2 sin(2
)
2
x
=
2 cos2x ，
∵
2
u
x
在(0，2
)上是增函数，值域为(0, )
，
2 cos
y
u
在(0, )
是减函数，
∴
( )
f x 在(0，2
)是减函数，
又∵
(
)
4
f
=
2 cos(2
)
4
=0，不是最值，
(
)
2
f
=
2 cos(2
2
）=
2
是最小值，
∴
( )
f x 图像关于直线x = 2
对称，故选D．
15．(2017 天津)设函数
( )
2sin(
)
f x
x
，xR ，其中
0
，|
|
．若
5
(
)
2
8
f
，(
)
0
8
f
，且
( )
f x
的最小正周期大于2，则
A．
2
3
，
12
B．
2
3
，
12
C．
1
3
，
24
D．
1
3
，
24
【答案】A
【解析】由题意
5π
8
x
取最大值，
11π
8
x
与x 相交，设
( )
f x 周期为T ，所以11
5
3
8
8
4
4
T
或3
4
T ，
所以
3
T
或T
，又
( )
f x 的最小正周期大于2π ，所以
3
T
，所以
2
2
3
T
，排除C、D；由
5π
(
)
2
8
f
，即
2
5
2sin(
)
2
3
8
，10
2
24
2
k
，即
2
12
k
，令
0
k
，
12
．选A．
16．(2015 四川)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是
A．
cos(2
)
2
y
x
B．
sin(2
)
2
y
x
C．
sin 2
cos2
y
x
x
D．
sin
cos
y
x
x
【答案】A
【解析】由
cos(2
)
sin 2
2
y
x
x
=
+
= -
，可知该函数的最小正周期为
且为奇函数，故选A．
17．(2015 安徽)已知函数
sin
f x
Α
x
( Α ，，均为正的常数)的最小正周期为，当
2
3
x
时，函数
f x 取得最小值，则下列结论正确的是
A．
2
2
0
f
f
f
B．
0
2
2
f
f
f
C．
2
0
2
f
f
f
D．
2
0
2
f
f
f
【答案】A
【解析】∵
( )
sin(
)
f x
A
x
的最小正周期为，且
2
3
x
是经过函数
( )
f x 最小值点的一条对称轴，
∴
2
3
2
6
x
是经过函数
( )
f x 最大值的一条对称轴．∵
12
| 2
|
6
6
，
5
12
| (
2)
|
6
6
，
| 0
|
6
6
，∴| 2
| | (
2)
| | 0
|
6
6
6
，且
2
2
3
3
，
2
2
3
3
，
2
0
3
3
，
∴
(2)
(
2)
(0)
f
f
f
，即
(2)
( 2)
(0)
f
f
f
，故选A．
18．(2011 山东)若函数
( )
sin
f x
x
(>0)在区间0, 3
上单调递增，在区间
,
3 2
上单调递减，则=
A．2
3
B．3
2
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由于
( )
sin
f x
x
的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3
为函数
( )
f x 的四分
之一周期，故2
4
3
，解得
3
2
．
19．(2011 安徽)已知函数
( )
sin(2
)
f x
x
，其中为实数，若
( )
(
)
6
f x
f
对x
R
恒成立，且
(
)
( )
2
f
f
，则
( )
f x 的单调递增区间是
A．
,
(
)
3
6
k
k
k
Z
B．
,
(
)
2
k
k
k
Z
C．
2
,
(
)
6
3
k
k
k
Z
D．
,
(
)
2
k
k
k
Z
【答案】C
【解析】因为当x
R
时，
( )
|
(
) |
6
f x
f
≤
恒成立，所以
(
)
sin(
)
1
6
3
f
，可得
2
6
k
或
5
2
6
k
，k
Z
，因为
(
)
sin(
)
sin
( )
sin(2
)
sin
2
f
f
，故sin
0
，
所以
5
2
6
k
，所以
5
( )
sin(2
)
6
f x
x
，由
5
2
2
2
2
6
2
k
x
k
≤
≤
( k
Z
) ，得
2
6
3
k
x
k
≤
≤
(k
Z
)，故选C．
20．(2019•新课标Ⅰ，文15)函数
3
( )
sin(2
)
3cos
2
f x
x
x
的最小值为
．
【答案】4
【解析】
3
( )
sin(2
)
3cos
2
f x
x
x
2
cos2
3cos
2cos
3cos
1
x
x
x
x
，令
cos
t
x
，则
1
1
t
，
2
( )
2
3
1
f t
t
t
的开口向上，对称轴
3
4
t
，在[ 1
，1]上先增后减，
故当
1
t 即cos
1
x 时，函数有最小值4
．
21．(2018•新课标Ⅲ，理15)函数
( )
cos(3
)
6
f x
x
在[0 ，
]
的零点个数为
．
【答案】3
【解析】
( )
cos(3
)
0
6
f x
x
，
3
6
2
x
k
，k
Z
，
1
9
3
x
k
，k
Z
，
当
0
k
时，
9
x
，当
1
k 时，
4
9
x
，当
2
k
时，
7
9
x
，当
3
k
时，
10
9
x
，
[0
x
，
]
，
9
x
，或
4
9
x
，或
7
9
x
，故零点的个数为3．
22．(2018 北京)设函数
π
( )
cos(
)(
0)
6
f x
x
，若
π
( )
( )
4
f x
f
≤
对任意的实数x 都成立，则的最小
值为___．
【答案】2
3
【解析】由于对任意的实数都有
π
( )
( )
4
f x
f
≤
成立，故当
4
x
时，函数
( )
f x 有最大值，故
(
)
1
4
f
，
2
4
6
k
(k Z )，∴
2
8
3
k
(k Z )，又
0
，∴
min
2
3
．
23．(2018 江苏)已知函数
sin(2
)(
)
2
2
y
x
的图象关于直线
3
x
对称，则的值是
．
【答案】
π
6
【解析】由函数
sin(2
)(
)
2
2
y
x
的图象关于直线
3
x
对称，得
2
sin(
)
1
3
，因为
2
2
，所以
2
7
6
3
6
，则2
3
2
，
6
．
24．(2011 安徽)设
( )
f x = sin 2
cos2
a
x
b
x
，其中,a bR ，
0
ab
，若
( )
(
)
6
f x
f
≤
对一切则xR 恒成立，则
①
11
(
)
0
12
f
②
7
(
)
10
f
＜
(
)
5
f
③
( )
f x 既不是奇函数也不是偶函数
④
( )
f x 的单调递增区间是
2
,
(
)
6
3
k
k
k
Z
⑤存在经过点( , )
a b 的直线与函数
( )
f x 的图像不相交
以上结论正确的是
(写出所有正确结论的编号)．
【答案】①③
【解析】
2
2
( )
sin 2
cos2
sin(2
)
f x
a
x
b
x
a
b
x
( 其中tan
b
a
) ，因此对一切x
R
，
( )
|
(
) |
6
f x
f
≤
恒成立，所以sin(
)
1
3
，
可得
(
)
6
k
k
Z
，故
2
2
( )
sin(2
)
6
f x
a
b
x
．
而
2
2
11
11
(
)
sin(2
)
0
12
12
6
f
a
b
，所以①正确；
2
2
2
2
7
47
17
|
(
) | |
sin
| |
sin
|
12
30
30
f
a
b
a
b
，
2
2
17
|
(
) | |
sin
|
5
30
f
a
b
，
所以
7
|
(
) | |
(
) |
10
5
f
f
，故②错；③明显正确；④错误：
由函数
2
2
( )
sin(2
)
6
f x
a
b
x
和
2
2
( )
sin(2
)
6
f x
a
b
x
的图象(图略)可知，不存在经过点
( , )
a b 的直线与函数
( )
f x 的图象不相交，故⑤错误．
25．(2017 浙江)已知函数
2
2
( )
sin
cos
2 3sin
cos
f x
x
x
x
x
(
)
xR ．
(Ⅰ)求
2
(
)
3
f
的值；
(Ⅱ)求
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
【解析】(Ⅰ)由
2
3
sin 3
2
，
2
1
cos 3
2
，
2
(
)
3
f
2
2
3
1
3
1
(
)
(
)
2 3
(
)
2
2
2
2
得
2
(
)
2
3
f
．
(Ⅱ)由
2
2
cos2
cos
sin
x
x
x
与sin 2
2sin cos
x
x
x
得
( )
cos2
3sin 2
2sin(2
)
6
f x
x
x
x
所以
( )
f x 的最小正周期是
由正弦函数的性质得
3
2
2
2
2
6
2
k
x
k
≤
≤
，k Z
解得
2
6
3
k
x
k
≤
≤
，k Z
所以
( )
f x 的单调递增区间是
2
[
,
]
6
3
k
k
(k Z )．
26．(2013 北京)已知函数
2
1
( )
(2cos
1)sin 2
cos4
2
f x
x
x
x
(1)求
( )
f x 的最小正周期及最大值；
(2)若
(
, )
2
，且
2
( )
2
f
，求的值．
【解析】：(1)
2
1
( )
(2cos
1)sin 2
cos4
2
f x
x
x
x
1
cos2 sin 2
cos4
2
x
x
x
1
1
sin 4
cos4
2
2
x
x
2 sin(4
)
2
4
x
所以，最小正周期
2
4
2
T
当4
2
4
2
x
k
(k
Z
)，即
2
16
k
x
( k
Z
)时，
max
2
( )
2
f x
．
(2)因为
2
2
( )
sin(4
)
2
4
2
f
，所以sin(4
)
1
4
，
因为2
，所以9
17
4
4
4
4
，
所以
5
4
4
2
，即
9
16
．
27．(2012 广东)已知函数
( )
2cos(
)
6
f x
x
，(其中
0
，x
R
)的最小正周期为10．
(1)求的值；
(2)设
,
[0,
]
2
，
5
6
(5
)
3
5
f
，
5
16
(5
)
6
17
f
，求cos(
)
的值．
【解析】(1)
2
1
10
5
T
．
(2)
5
6
3
3
4
(5
)
cos(
)
sin
,cos
3
5
2
5
5
5
f
5
16
8
15
(5
)
cos
,sin
6
17
17
17
f
．
4
8
3
15
13
cos(
)
cos
cos
sin
sin
5
17
5
17
85
．
28．(2018 上海)设常数a
R
，函数
2
( )
sin2
2cos
f x
a
x
x
．
(1)若
( )
f x 为偶函数，求a 的值；
(2)若
(
)
3
1
4
f
，求方程
( )
1
2
f x
在区间
［
，］上的解．
【解析】(1)若
( )
f x 为偶函数，则对任意R
x
，均有
( )
(
)
f x
f
x ；
即
2
2
sin 2
2cos
sin 2(
)
2cos (
)
a
x
x
a
x
x ，
化简得方程sin 2
0
a
x
对任意R
x
成立，故
0
a
；
(2)
2
(
)
sin(2
)
2cos (
)
1
3
1
4
4
4
f
a
a
，所以
3
a
，
故
2
( )
3sin 2
2cos
f x
x
x ．
则方程
( )
1
2
f x
，即
2
3sin 2
2cos
1
2
x
x
，
所以
2
3sin2
2cos
1
2
x
x
，化简即为2sin(2
)
2
6
x
，
即
2
sin(2
)
6
2
x
，解得
11
24
x
k
或
5
24
x
k
，, Z
k k
若求该方程在[
, ]
上有解，则
13 35
[
,
]
24 24
k
，
19 29
[
,
]
24 24
k
，
即
0
k
或1；
0
k
或1，
对应的x 的值分别为：
11
24
、13
24、
5
24
、19
24．
考点40 三角函数图像
1．(2020 全国Ⅰ文理7)设函数
cos
π
6
f
x
x
在
,
的图像大致如下图，则
f x 的最小正周期
为
(
)
A．10π
9
B．7π
6
C．4π
3
D．3π
2
【答案】C
【思路导引】由图可得：函数图像过点
4 ,0
9
，即可得到
4
cos
0
9
6
，结合
4 ,0
9
是
函数
f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点即可得到
4
9
6
2
，即可求得
3
2
，再利用三角函
数周期公式即可得解．
【解析】由图可得：函数图像过点
4 ,0
9
，将它代入函数
f x 可得：
4
cos
0
9
6
，
又
4 ,0
9
是函数
f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点，∴
4
9
6
2
，解得：
3
2
，∴函
数
f x 的最小正周期为
2
2
4
3
3
2
T
，故选C．
2．(2020 浙江4)函数
cos
sin
y
x
x
x
在区间
,
的图像大致为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x
处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．
【解析】
cos
sin
cos
sin
f
x
x
x
x
x
x
x
f x
，
,
x
，
∴函数是奇函数，故排除C，D，当
0, 2
x
时，cos
sin
0
x
x
x
，∴排除B，故选A．
3．(2020 山东10)右图是函数
sin(
)
y
x
的部分图像，则sin(
)=
x
(
)
A．
π
sin(
)
3
x
B．
π
sin(
2 )
3
x
C．
π
cos(2
)
6
x
D．
5π
cos(
2 )
6
x
【答案】BC
【思路导引】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得
正确结果．
【解析】由函数图像可知：
2
2
3
6
2
T
，则
2
2
2
T
，所以不选A，
当
2
5
3
6
2
12
x
时，
1
y
5
3
2
2
12
2
k
k
Z
，解得：
2
2
3
k
k
Z ，
即函数的解析式为：
2
sin 2
2
sin 2
cos 2
sin
2
3
6
2
6
3
y
x
k
x
x
x
，
而
5
cos 2
cos(
2 )
6
6
x
x
，故选BC．
4．(2016 全国新课标卷2，文3)函数= sin(
)
y A
x
的部分图像如图所示，则
(A)
2sin(2
)
6
y
x
(B)
2sin(2
)
3
y
x
(C)
2sin( +
)
6
y
x
(D)
2sin( +
)
3
y
x
【答案】A
5．(2015 新课标Ⅰ，理8)函数
( )
f x =cos(
)
x
的部分图像如图所示，则
( )
f x 的单调递减区间为(
)
(A)(kπ −
1
4 ，kπ +
3
4 ，)，k∈ܢ
(B)(2kπ −
1
4 ，2kπ +
3
4)，k∈ܢ
(C)(k −
1
4 ，k +
3
4)，k∈ܢ
( D)(2k −
1
4 ，2k +
3
4)，k∈ܢ
【答案】D
【解析】由五点作图知，
1
+
4
2
5
3
+
4
2
，解得
=
，
= 4
，所以
( )
cos(
)
4
f x
x
，令
2
2
,
4
k
x
k
k
Z
，解得
1
2
4
k
＜x ＜
3
2
4
k
，k
Z
，故单调减区间为(
1
2
4
k
，
3
2
4
k
)，
k
Z
，故选D．
6．(2011 辽宁)已知函数
)
(x
f
=Atan(x+)(
2
|
|,0
)，y=
)
(x
f
的部分图像如下图，则
)
24
(
f
A．2+ 3
B．
3
C．
3
3
D．2
3
【答案】B
【解析】半周期为3
8
8
4
，即最小正周期为2
，所以
2
．由题意可知，图象过定点3
(
,0)
8
，所
以
3
0
tan(2
)
8
A
，即3
4
k
(
)
k
Z
，所以
3
(
)
4
k
k
Z
，又|
|
2
，所以
4
，
又图象过定点(0,1) ，所以
1
A
．综上可知
( )
tan(2
)
4
f x
x
，故有
(
)
tan(2
)
tan
3
24
24
4
3
f
．
7．(2014 江苏)已知函数
x
y
cos
与
)
2
sin(
x
y
(0≤
)，它们的图象有一个横坐标为3
的交点，则
的值是
．
【答案】6
【解析】由题意交点为
1
(
, )
3 2
，所以
2
1
sin(
)
3
2
，又0
≤
，解得
6
．
8．(2011 江苏)函数
( )
sin(
),( , ,
f x
A
x
A w
是常数，
0,
0)
A
的部分图象如图所示，则
(0)
f
=
．
【答案】
6
2
【解析】由图可知：
2
A
，
7
4
12
3
4
T
，所以T
，
2
2
T
，又函数图象经过点(
,0)
3
，
所以2
3
，则
3
，故
( )
2 sin(2
)
3
f x
x
，所以
6
(0)
2 sin 3
2
f
．
9．(2012 湖南)函数
( )
sin(
)
f x
x
的导函数
( )
y
f
x
的部分图像如图4 所示，其中，P 为图像与y
轴的交点，A，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．
(1)若
6
，点P 的坐标为(0，3 3
2
)，则
；
(2)若在曲线段
ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为
．
【答案】(1)3；(2) 4
【解析】(1)
( )
y
f
x
cos(
)
x
，当
6
，点P 的坐标为(0，3 3
2
)时
3 3
cos
,
3
6
2
；
10．(2016 江苏省) 定义在区间
0,3π 上的函数
sin 2
y
x
的图象与
cos
y
x
的图象的交点
个数是
．
【答案】7
【解析】画出函数图象草图，共7 个交点．
11．(2012 湖南)已知函数
( )
sin(
)
f x
A
x
(
,
x
R
0
，0
)
2
的部分图像如图所示．
(Ⅰ)求函数
( )
f x 的解析式；
(Ⅱ)求函数( )
(
)
(
)
12
12
g x
f x
f x
的单调递增区间．
【解析】(Ⅰ)由题设图像知，周期
11
5
2
2(
)
,
2
12
12
T
T
．
因为点5
(
,0)
12
在函数图像上，所以
5
5
sin(2
)
0,
sin(
)
0
12
6
A
即
．
又
5
5
4
5
0
,
,
=
2
6
6
3
6
从而
，即= 6
．
又点0,1
（
）在函数图像上，所以
sin
1,
2
6
A
A
，
故函数
( )
f x 的解析式为
( )
2sin(2
).
6
f x
x
(Ⅱ) ( )
2sin[2(
)
]
2sin[2(
)
]
12
6
12
6
g x
x
x
2sin 2
2sin(2
)
3
x
x
1
3
2sin 2
2( sin 2
cos2 )
2
2
x
x
x
sin 2
3 cos2
x
x
2sin(2
),
3
x
由2
2
2
,
2
3
2
k
x
k
得
5
,
.
12
12
k
x
k
k
z
( )
g x
的单调递增区间是
5
,
,
.
12
12
k
k
k
z
考点41 三角函数图像变换
1．(2020 天津8)已知函数
( )
sin
3
f x
x
．给出下列结论：
①
( )
f x 的最小正周期为2；
②
2
f
是
( )
f x 的最大值；
③把函数
sin
y
x
的图象上所有点向左平移3
个单位长度，可得到函数
( )
y
f x
的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．
【解析】因为
( )
sin(
)
3
f x
x
，所以周期
2
2
T
，故①正确；
5
1
(
)
sin(
)
sin
1
2
2
3
6
2
f
，故②不正确；
将函数
sin
y
x
的图象上所有点向左平移3
个单位长度，得到
sin(
)
3
y
x
的图象，故③正确．故选B．
2．(2017 课标卷1，理9)已知曲线
1 :
cos
C
y
x
，
2
2π
:
sin 2
3
C
y
x
，则下面结论正确的是()
A．把
1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长度，得到曲
线
2
C
B．把
1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长度，得到
曲线
2
C
C．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长度，得到
曲线
2
C
D．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长度，得到
曲线
2
C
【答案】D
【解析】
1 :
cos
C
y
x
，
2
2π
:
sin 2
3
C
y
x
，首先曲线
1
C 、
2
C 统一为一三角函数名，可将
1 :
cos
C
y
x
用
诱导公式处理，
π
π
π
cos
cos
sin
2
2
2
y
x
x
x
．横坐标变换需将
1
变成
2
，即
1
1
2
π
π
π
sin
sin 2
sin 2
2
2
4
C 上各
坐
短它原
y
x
y
x
x
点横
标缩
来
2π
π
sin 2
sin2
3
3
y
x
x
，注意的系数，在右平移需将
2
提到括号外面，这时
π
4
x
平移至
π
3
x
，根据“左加右减”原则，“
π
4
x
”到“
π
3
x
”需加上π
12 ，即再向左平移π
12 ．
3．(2016•新课标Ⅰ，文6)将函数
2sin(2
)
6
y
x
的图象向右平移1
4 个周期后，所得图象对应的函数为(
)
A．
2sin(2
)
4
y
x
B．
2sin(2
)
3
y
x
C．
2sin(2
)
4
y
x
D．
2sin(2
)
3
y
x
【答案】D
【解析】函数
2sin(2
)
6
y
x
的周期为
2
2
T
，由题意即为函数
2sin(2
)
6
y
x
的图象向右平移4
个
单位，可得图象对应的函数为
2sin[2(
)
]
4
6
y
x
，即有
2sin(2
)
3
y
x
，故选D ．
4．(2016 北京)将函数
sin(2
)
3
y
x
图像上的点
(
, )
4
P
t
向左平移s (
0
s
)个单位长度得到点P．若P位
于函数
sin 2
y
x
的图像上，则
A．
1
2
t
，s 的最小值为6
B．
3
2
t
，s 的最小值为6
C．
1
2
t
，s 的最小值为3
D．
3
2
t
，s 的最小值为3
【答案】A
【解析】因为点
(
, )
4
P
t
在函数
sin(2
)
3
y
x
的图象上，所以
sin(2
)
4
3
t
1
sin 6
2
，又
1
(
, )
4
2
P
s
在函数
sin 2
y
x
的图象上，所以1
sin 2(
)
2
4
s
，则
2(
)
2
4
6
s
k
或
5
2(
)
2
4
6
s
k
，k
Z
，得
6
s
k
或
6
s
k
，k
Z
．又
0
s
，故s 的最小值为6
，故选A．
5．(2019 天津理7)已知函数
( )
sin(
)(
0,
0,|
|
)
f x
A
x
A
是奇函数，将
y
f x
的图像上
所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为
g x ．若
g x 的最小正周期为2π，
且
π
2
4
g
，则
3π
8
f
A．2
B．
2
C．
2
D．2
【答案】C
【解析】因为
f x 是奇函数，所以
0
，
sin
f x
A
x
．将
y
f x
的图像上所有点的横坐标伸长
到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为
g x ，即
1
sin 2
g x
A
x
，因为
g x 的最小正
周期为2，所以2
2
1
2
，得
2
，所以
sin
g x
A
x
，
sin 2
f x
A
x
．若
2
4
g
，即
2
sin
2
4
4
2
g
A
A
，
即
2
A
，
所
以
2sin 2
f x
x
，
3
3
2
2sin 2
2sin
2
2
8
8
4
2
f
．故选C．
6．(2015 山东)要得到函数
4sin(4
)
3
y
x
的图像，只需要将函数
sin 4
y
x
的图像
A．向左平移12
个单位
B．向右平移12
个单位
C．向左平移3
个单位
D．向右平移3
个单位
【答案】B
【解析】
sin 4(
)
12
y
x
，只需将函数
sin 4
y
x
的图像向右平移12
个单位，故选B．
7．(2014 浙江)为了得到函数
x
x
y
3
cos
3
sin
的图象，可以将函数
2 cos3
y
x
的图像
A．向右平移12
个单位
B．向右平移4
个单位
C．向左平移12
个单位
D．向左平移4
个单位
【答案】A
【解析】因为
sin3
cos3
2 cos(3
)
2 cos3(
)
4
12
y
x
x
x
x
，所以将函数
2 cos3
y
x
的图象
向右平移12
个单位后，可得到
2 cos(3
)
4
y
x
的图象，故选A．
8．(2013 福建)将函数
)
2
2
)(
2
sin(
)
(
x
x
f
的图象向右平移
)
0
(
个单位长度后得到函数
)
(x
g
的图象，若
)
(
),
(
x
g
x
f
的图象都经过点
)
2
3
,0
(
P
，则的值可以是
A．3
5
B．6
5
C．2
D．6
【答案】B
【解析】把
)
2
3
,0
(
P
代入
)
2
2
)(
2
sin(
)
(
x
x
f
，解得
3
，所以
)
2
3
2
sin(
)
(
x
x
g
，
把
)
2
3
,0
(
P
代入得，
k
或
6
k
，故选B
9．(2012 安徽)要得到函数
)1
2
cos(
x
y
的图象，只要将函数
x
y
2
cos
的图象
A．向左平移1 个单位
B．向右平移1 个单位
C．向左平移1
2
个单位
D．向右平移1
2
个单位
【答案】C
【解析】
cos2
y
x
向左平移1
2
1
cos2(
)
cos(2
1)
2
y
x
x
，故选C．
10．(2012 浙江)把函数
cos2
1
y
x
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，然后向左平
移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到的图像是
【答案】A
【解析】
cos2
1
cos
1
cos(
1) 1
cos(
1)
y
x
y
x
y
x
y
x
，故选A．
11．(2012 天津)将函数
( )
sin
f x
x
(其中>0)的图像向右平移4
个单位长度，所得图像经过点3
(
,0)
4
，
则的最小值是
A．1
3
B．1
C．5
3
D．2
【答案】D
【解析】函数向右平移4
得到函数
)
4
sin(
)
4
(
sin
)
4
(
)
(
x
x
x
f
x
g
，因为此时函数过点
)
0,
4
3
(
，所以
0
)
4
4
3
(
sin
，即
,
2
)
4
4
3
(
k
所以
Z
k
k
,
2
，所以的最小值为2，
选D．
12．(2020 江苏10)将函数
3sin(2
)
4
y
x
的图象向右平移6
个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近
的对称轴的方程是
．
【答案】
5
24
x
【解析】∵
( )
3sin(2
)
4
f x
x
，将函数
( )
3sin(2
)
4
f x
x
的图象向右平移6
个单位长度得
( )
(
)
3sin(2
)
3sin(2
)
6
3
4
12
g x
f x
x
x
，则
( )
y
g x
的对称轴为2
12
2
x
k
，k
Z
，
即
7
24
2
k
x
，k
Z
，
0
k
时，
7
24
x
，
1
k 时，
5
24
x
，∴平移后的图象中与y 轴最近的对
称轴的方程是
5
24
x
．
13．(2016 新课标卷3，理14)函数
sin
3 cos
y
x
x
的图像可由函数
sin
3 cos
y
x
x
的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到．
【答案】3
【解析】因为
sin
3 cos
2sin(
)
3
y
x
x
x
，
sin
3 cos
2sin(
)
3
y
x
x
x
＝
2sin[(
)
]
3
3
x
，所以函数
sin
3 cos
y
x
x
的图像可由函数
sin
3 cos
y
x
x
的图像至少向右
平移3
个单位长度得到．
14．(2016 全国新课标卷3，文14)函数
sin
3 cos
y
x
x
的图像可由函数
2sin
y
x
的图像至少向右平
移_____________个单位长度得到．
【答案】3
【解析】因为
sin
3 cos
2sin(
)
3
y
x
x
x
，所以函数
sin
3 cos
y
x
x
的的图像可由函数
2sin
y
x
的图像至少向右平移3
个单位长度得到．
15．(2013 新课标Ⅱ，文16)函数
cos(2
)(
)
y
x
的图象向右平移2
个单位后，与函数
sin(2
)
3
y
x
的图象重合，则_________．
【答案】5
6
【解析】因为
cos(2
)
y
x
=cos( 2
)
x
=sin[
( 2
)]
2
x
=sin(2
)
2
x
，图像向右平移2
个
单位后为：y
sin(2
)
2
x
，与y
sin(2
)
3
x
重合，所以
2
3
，解得
5
6
．
16．(2014重庆)将函数
2
2
0
sin
，
x
x
f
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，再向右平移6
个单位长度得到
x
y
sin
的图像，则
6
f
______．
【答案】
2
2
【解析】把函数
sin
y
x
图象向左平移6
个单位长度得到
sin(
)
y
x
的图象，再把函数
sin(
)
6
y
x
图象上每一点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
1
( )
sin(
)
2
6
f x
x
的
图象，所以
6
f
1
2
sin(
)
sin
2
6
6
4
2
．
