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专题05 事件与概率及随机变量分布小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江·校联考三模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数
之和为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所有实验结果有 种，列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6
的基本事件之和为 ，即可求出概率.
【详解】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有
种不同的结果，
其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有
种，
数字1、1、4组成的结果有 种，数字2、2、2组成的结果有 种.
故所求概率为 .
故选：B.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，
在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据古典概型的概率分别计算 ，结合条件概率的计算公式即可求
解.
【详解】设事件 表示“抽到的两张都是假钞”，事件 表示“抽到的两张至少有一
张假钞”，则所求的概率即 .又 ，
，
故选：A
3．（2023·浙江·高三专题练习）甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每
人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是
8的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出总的基本事件个数和甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的基本事
件个数，再用古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】记事件“A=甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”
由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，
则事件包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，
共有 种不同下法，
所以事件 的概率为： ，
故选：C.
4．（2023·浙江·高三专题练习）袋子中有大小相同的 个白球和 个红球，从中任取
个球，已知 个球中有白球，则恰好拿到 个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求总的取球方法，再求恰好取到两个红球的方法，利用古典概率可得答案.
【详解】因为取到的3个球中有白球，所以共有 种方法，
3个球中恰好有两个红球的取法共有 种，
设事件 “取到的3个球中有白球，且恰好有2个红球”，则 .
故选：A.
5．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）甲乙丙丁戊5个人站成一排，则甲乙均不站两端
的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出5人作全排、甲乙不在两端的排法数，再由古典概型概率的求法求概率.
【详解】5人作全排有 种排法，
甲乙不在两端，中间3个位置选2个安排甲乙，余下3人全排有 种，
所以甲乙均不站两端的概率 .
故选：A
6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）标有数字
1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次
抽取一张， 表示事件“第一次取出的数字是3”， 表示事件“第二次取出的数字是
2”， 表示事件“两次取出的数字之和是6”， 表示事件“两次取出的数字之和是
7”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，分别求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，相互独立
事件的概率公式判断即可.
【详解】由题意，
，
，
对于 事件的可能组合有：，共 种，
，故A错误；
对于 事件的可能组合有：
，共 种，
，
对于 事件的组合只有 一种，
对于 事件的组合只有 一种，
对于 事件的组合只有 一种，
则 ，B正确；
，C错；
又 ， ，
则 ，D错.
故选：B
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的
5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有
同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.
【详解】恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有 种，恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有 种，
恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有 种，
恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种，
因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为 个，
至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有 个基本事件，
所以至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率 .
故选：C.
8．（2023·浙江·统考二模）在某次考试中，多项选择题的给分标准如下：在每题给出
的四个选项中，正确选项为其中的两项或三项，全部选对的得5分，部分选对的得2
分，有错选的得0分．甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下，分别
选了 ， ， ，则三人该题得分的数学期望分别为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先考虑正确答案所有可能的情况，从而再分别考虑甲乙丙三人的可能得分情
况，计算出相应得分的概率，根据期望公式计算出三人得分的期望，即可得答案.
【详解】由题意正确选项若为2项，则有 种可能情况，
正确选项若为3项，则有 种可能情况，共正确选项的可能情况共有10种，
甲选A，则他可能得分的情况即正确答案中含有A，有 种，
故甲得2分的概率为 ,
甲可能的得分分数 为0，2，故他得分的数学期望为
；
乙选AB，他可能的得分 为 ，
若正确答案为AB，即他可能得5分的情况有1种，此时 ,若正确答案为ABC或ABD，他可能得2分的情况有2种，此时 ,
则 ，故 ；
丙选ABC，他可能的得分 为 ，
若正确答案为ABC，则 ，则 ，
故 ，
即三人该题得分的数学期望分别为 ，
故选；D
9．（2023·浙江金华·统考模拟预测）某市举行一环保知识竞赛活动.竞赛共有“生态环
境”和“自然环境”两类题，每类各5题.其中每答对1题“生态环境”题得10分，答
错得0分；每答对1题“自然环境”题得20分，答错扣5分.已知小明同学“生态环
境”题中有3题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均为 .若小明同学在“生
态环境”题中抽1题，在“自然环境”题中抽3题作答，每个题抽后不放回.则他在这
次竞赛中得分在10分以下（含10分）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把得分在10分以下（含10分）的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合独
立重复试验的概率公式求出每个事件的概率作答.
【详解】他在这次竞赛中得分在10分以下（含10分）的事件为 ，“生态环境”题
答对且“自然环境”题全错的事件为 ，
“生态环境”题答错且“自然环境”题最多答对1题的事件为 ，显然 与 互斥，
，
， ，
所以 .
故选：B10．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）6名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至
少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数相等的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型即可求得两项竞赛参加人数相等的概率.
【详解】记 “两项竞赛参加人数相等”为事件A，
则
故选：B
11．（2023·浙江·校联考模拟预测）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机地取3个不
同的数，3个数中最大值与最小值之差不小于4的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据组合数求解总的情况数，再根据古典概型的方法，列举所有可能的情
况求解即可.
【详解】从 ， ， ， ， ， 中任取三个不同的数，共有不同的取法有 种，
其中这3个数最大值与最小值之差不小于4是：
共10种，
则3个数中最大值与最小值之差不小于4的概率为 .
故选：D.
二、多选题
12．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设随机变量 ，随机变量
，则（ ）
A． B． ，C． D．
【答案】AC
【分析】根据正态分布的性质以及参数函数即可结合选项逐一求解.
【详解】由随机变量 ，随机变量 知，
，故A正确，B错误，
由于随机变量 服从正态分布，对称轴为 ,所以
，故C正确，
由于随机变量 ， 均服从正态分布，且对称轴均为 轴,但是 ，
在正态密度曲线中， 的峰值较高，正态曲线越瘦高，随机变量分布比较集中，
所以 ，故D错误，
故选：AC
13．（2023·浙江·校联考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．样本数据 的上四分位数为9.5
B．若随机变量 服从两点分布，若 ，则
C．若随机变量 服从正态分布 ，且 是偶函数，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数 的值越接近于1
【答案】AC
【分析】求出上四分位数判断A；求出两点分布的方差判断B；利用正态分布的对称
性求出u判断C；利用相关系数与相关性强弱的关系判断D作答.
【详解】对于A，样本数据 ，由 ，得上四分位数为
，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C，由 是偶函数，得 ，又 ，因此 ，C正确；
对于D，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数 的绝对值越接
近于1，D错误.
故选：AC
14．（2023·浙江温州·统考三模）近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场
景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为 万人，
从该县随机选取 人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下 组： 、
、 、 ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分
（单位：分）近似地服从正态分布 ，且 ，
， ，其中 近似为样
本平均数， 近似为样本的标准差 ，并已求得 .则（ ）
A．由直方图可估计样本的平均数约为
B．由直方图可估计样本的中位数约为
C．由正态分布可估计全县 的人数约为 万人
D．由正态分布可估计全县 的人数约为 万人
【答案】ABD
【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，可判断AB选项；利用
正态分布 原则可判断CD选项.
【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为，A对；
对于B选项，前两个矩形的面积为 ，
前三个矩形的面积之和为 ，
设样本的中位数为 ，则 ，
由中位数的定义可得 ，解得 ，B对；
对于C选项，因为 ， ， ，
所以， ，
所以，由正态分布可估计全县 的人数约为 万人，C错；
对于D选项，因为 ， ，
所以，
，
所以，由正态分布可估计全县 的人数约为 万人，D对.
故选：ABD.
15．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．决定系数 越小，模型的拟合效果越差
B．数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5
C．若 ，则
D．有一组不全相等的样本数据 ， ， ， ，它的平均数和中位数都是5，若去
掉其中的一个数据5，则方差变大
【答案】ACD
【分析】A由决定系数 实际意义；B百分位数定义求60百分位数；C二项分布方差
公式求方差，再由方差性质求新方差；D应用方差公式写出原方差、新方差，结合题
意判断大小.【详解】A：决定系数 越小，模型的拟合效果越差，越大拟合效果越好，对；
B： ，故60百分位数为6，错；
C：由 ，则 ，故 ，对；
D：由 ，原方差 ，去掉一个数据5，均值不变，新方差
，
数据 是数据 去掉一个数据5所得新数据，显然 ，对.
故选：ACD
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车
优惠政策，包括：国家财政补贴､地方财政补贴､免征车辆购置税､充电设施奖补､车船
税减免､放宽汽车消费信贷等.记事件 表示“政府推出购买电动汽车优惠补贴政策”；
事件 表示“电动汽车销量增加”， ， .一般来说，推出购车优惠
补贴政策的情况下，电动汽车销量增加的概率会比不推出优惠补贴政策时增加的概率
要大.基于以上情况，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D． .
【答案】ACD
【分析】对于选项A，直接根据题意即可判断出正误；对于选项B，利用条件和对立
事件的概率公式即可判断出正误；对于选项C和D，根据条件和条件概率公式，再进
行变形化简即可判断出正误.
【详解】根据题意知 ，故选项 正确；
由 ，得到 ，即 ，故
选项B错误；又由 知， ，化简得到
，所以选项C正确；
又由 ，得
，所以
，
即 ，即 ，
即 ，故D正确；
故选：ACD.
17．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）某地区高三男生的身高X服从正态分布
，则（ ）
A． B．若 越大，则 越大
C． D．
【答案】AC
【分析】根据随机变量服从正态分布 ，求得对称轴 ，再根据
曲线的对称性，即可求解答案．
【详解】由题意，随机变量服从正态分布 ，所以 ，即正态分
布曲线的对称轴为 ，
,A选项正确; ,C选项正确;
又由 ，则 ，D选项错误;
若 越大，则数据越分散，越不集中在平均数附近， 越小，B选项错误.
故选：AC．
18．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）随机变量 的分布列如表：其中 ，
下列说法正确的是（ ）
0 1 2
P
A． B．
C． 有最大值 D． 随y的增大而减小
【答案】ABC
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质
判断选项的正误即可．
【详解】由题意可知 ，即 ，故A正确；
，故B正确；
，
因为 ， ，易得 ，
而 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得最大值，
所以 随着y的增大先增大后减小，当 时取得最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.19．（2023·浙江·二模）已知 为实验 的样本空间，随机事件 ，则（ ）
A． 为必然事件，且 B． 为不可能事件，且
C．若 ，则 为必然事件 D．若 ，则 不一定为不可能
事件
【答案】ABD
【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，
判断选项.
【详解】A.当 为必然事件，且 ，故A正确；
B. 为不可能事件，且 ，故B正确；
C. 若 ，则 不一定为必然事件，若样本空间是区间 ，但质点落在区间
的概率也是1，此时 不是必然事件，故C错误；
D. 若 ，则 不一定为不可能事件，若样本空间是区间 ，但质点落在
处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确.
故选：ABD
20．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）一个袋子中有编号分别为 的4个球，除
编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一
次摸到的球的编号为2”为事件 ，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件 ，“两
次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件 与事件 相互独立
C． D．事件 与事件 互为对立事件
【答案】AC
【分析】对于选项A，由古典概型的概率公式得 ，所以该选项正确；对于选
项B，由题得 ，事件 与事件 不相互独立，所以该选项错误；对于选项C, ，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件 与事件 不是
对立事件，所以该选项错误.
【详解】对于选项A，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有
，共5个，由古典概型的概率公式得 ，
所以该选项正确；
对于选项B，由题得 , ,所以 ，
事件 与事件 不相互独立，所以该选项错误；
对于选项C, ，所以该选项正确；
对于选项D, 如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B
都没有发生，所以事件 与事件 不是对立事件，所以该选项错误.
故选：AC
三、填空题
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机变量 服从 ，若 ，
则 __________.
【答案】 /
【分析】利用正态曲线的对称性可求得 的值.
【详解】因为 ，则 .
故答案为： .
22．（2023·浙江·高三专题练习）已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球
1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的
个数为随机变量X，则X的期望为______．
【答案】 /
【分析】讨论从甲盒中随机取到球的颜色，进而确定对应 的可能取值，分别求出对
应概率，再应用独立事件乘法公式、互斥概率求法求 各可能情况的概率，最后求期望即可.
【详解】若从甲盒中随机取到的为红球且概率为 ，则 的可能取值为 ，
则 ， ，
若从甲盒中随机取到的为白球且概率为 ，则 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
综上， ， ，
，
故 .
故答案为：
23．（2023·浙江·校联考二模）袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2
个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随
机变量 为此时已摸球的次数，则 __________.
【答案】
【分析】由题意得出随机变量的分布列，计算其期望即可.
【详解】由题意可得
若两次摸到两种颜色的球，则 ；
若三次摸到两种颜色的球，则 ；
若四次摸到两种颜色的球，则 ；
故 .故答案为：
24．（2023·浙江温州·统考三模）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件
“第 次命中目标” ， ， ，
，则 ___________.
【答案】
【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案.
【详解】由题意， ， ，
则 ；
， ，
则 ；
故答案为： .
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机变量 ，且
，若 的展开式中各项系数之和________．
【答案】8
【分析】由正态分布均值为2，可确定 ，后令 ，可得各项系数之和.
【详解】因 ， ，则 ，令
则 的展开式中各项系数之和为 .
故答案为： .
