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8.1 基本立体图形
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：空间几何体的相关概念.................................................... 2
考点二：棱柱............................................................................2
考点三：棱锥............................................................................2
考点四：棱台............................................................................3
考点五：圆柱............................................................................3
考点六：圆锥............................................................................3
考点七：圆台............................................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：简单几何体的识别.......................................................... 4
题型二：棱柱的几何特征............................................................. 8
题型二：棱锥和棱台的几何特征.................................................... 9
题型三：旋转体的几何特征........................................................ 13
题型四：简单的组合体问题........................................................ 16
题型五：展开图及最短路径问题...................................................19
题型六：几何体的截面问题........................................................ 27
模块三：综合巩固....................................................................... 31
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8.1 基本立体图形
模块一：基础知识
考点一：空间几何体的相关概念
1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物
体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体
如长方体、正方体等。
2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；
（2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；
（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，
封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
考点二：棱柱
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面围成的多面体叫棱柱。
（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
【注意】
（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组
对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。
（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止
位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面
2、棱柱的分类：
（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；
（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；
其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
考点三：棱锥
1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面
体叫做棱锥。
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
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2、棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。
【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥……
考点四：棱台
1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四
棱台、五棱台……
考点五：圆柱
1.定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
2.圆柱的简单性质：
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形．
(4)过任意两条母线的截面是矩形．
考点六：圆锥
1.定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
2.圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆．
(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形．
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形．
考点七：圆台
1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的
面所围成的旋转体。
3.圆台的简单性质：
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(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．
(2)平行于底面的截面是圆．
(3)过轴的截面是全等的等腰梯形．
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形．
考点八：球体
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，
简称球。
（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
考点九：组合体的定义
现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有
大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。
组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。
模块二：题型分类
题型一：简单几何体的识别
1.下列几何体不属于棱柱的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据棱柱的结构特征及定义逐一判断即可得解.
【详解】解：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，有
这些面所围成的多面体叫做棱柱，
所以不属于棱柱的图形为D 选项.
故选：D.
2.若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（
）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
【解析】解：因为正六边形的顶点到中心的距离等于边长，
所以正六棱锥的棱长必定大于底面边长，
故若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是六棱锥．
故选：D．
3.下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
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②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】①②③④均可举出反例.
【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，
显然不是棱柱，故①错误；
②如图2，满足两侧面
1
1
ABB A 与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；
③如图3，四边形
1
1
ACC A 为矩形，
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即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．
故选：A
4.关于如下图所示的4 个几何体，说法正确的是（
）
A．只有②是棱柱
B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱
D．只有①②④是棱柱
【答案】D
【分析】直接利用棱柱的定义判断选项即可．
【详解】棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边
形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；
图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；
图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：D
5．观察四个选项中的几何体，其中判断正确的是（
）
A．
几何体是棱台
B．
几何体是圆台
C．
几何体是棱锥
D．
几何体不是棱柱
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【答案】C
【解析】依次判断每个选项：选项A，不是由棱锥截得的，所以不是棱台；选项B，上、下两个面不平行，
所以不是圆台；选项D，是棱柱；得到答案.
【详解】对于选项A，不是由棱锥截得的，所以不是棱台；
对于选项B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；
对于选项C，是棱锥；
对于选项D，前、后两个面平行，其他而是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱.
故选：C
【点睛】本题考查了几何体的判断，意在考查学生对于几何体的概念的理解.
6．下列说法正确的是
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面均为平行四边形
【答案】D
【分析】根据棱柱的定义及结构特点,分别判断四个选项即可.
【详解】有两个面平行，其余各面有相邻的公共边且都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱,如图所示A、
B 都不正确．
各侧面都是正方形的四棱柱,上下底面可能是菱形,所以C 不正确．
根据棱柱的定义可知九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面均为平行四边形.故D 正确．
故选:D
【点睛】本题考查了棱柱的定义及结构特点, 要有一定的空间想象能力,属于基础题.
7．下列关于棱柱的说法正确的是(
)
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．棱柱至少有五个面
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D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
【答案】ABC
【分析】根据棱柱的定义即可逐项判断求解．
【详解】根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，故A 正确；
根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，侧棱均平行，故B 正确；
棱柱底面至少为三角形，故棱柱至少有2 个底面+3 个侧面=5 个面，故C 正确；
如图所示，
该几何体满足有两个面互相平行且其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故D 错误．
故选：ABC．
8．关于平行六面体，下列结论正确的是（
）
A．平行六面体有12 个顶点
B．正方体不是平行六面体
C．平行六面体有12 条棱
D．平行六面体的每个面都是矩形
【答案】C
【分析】根据平行六面体的结构特征即可求解.
【详解】平行六面体有8 个顶点，12 条棱，平行六面体的每个面都是平行四边形，正方体是平行六面体．故
C 正确，ABD 错误
故选：C
题型二：棱柱的几何特征
1.以下各几何体中，是棱柱的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A 不是；
对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B 不是；
对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C 不是；
对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D 是，故选：D
2.满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（
）
A．底面是矩形
B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形
D．相邻两个侧面是矩形
【答案】D
【解析】如图所示是一个斜四棱柱：
因为底面ABCD是矩形，故A 错误；
因为侧面
1
1
ABB A 与底面ABCD垂直，故B 错误；
侧面
1
1
ADD A 是矩形，故C 错误；
当相邻两个侧面是矩形时，则这两个侧面的交线与底面垂直，即得到侧棱与底面垂直，
则该棱柱一定是直棱柱，故D 正确.故选：A.
3.下列命题正确的是（
）
A．棱柱的每个面都是平行四边形
B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行
D．长方体是正四棱柱
【答案】B
【解析】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A 不正确；
对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B 正确；
对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C 不正确；
对于D，正四棱柱是特殊的长方体，D 错误.故选：B
题型二：棱锥和棱台的几何特征
1.下列几何体中是棱锥的有（
）
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A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【解析】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C.
2.下列说法中，正确的个数为（
）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0
【答案】C
【解析】（1）如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误
（2）正确，符合多面体的定义
（3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，
构成了6 个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故(3)错误.
（4）错误.不一定是正三棱锥,如图所示:
三棱锥中有AB
AD
BD
BC
CD
. 满足底面
BCD
△
为等边三角形.
三个侧面
ABD
△
，ABC
，ACD
都是等腰三角形，
但AC 长度不一定等于AD ，即三条侧棱不一定全部相等．故选：C
3.下面四个几何体中，是棱台的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A 是圆台，D 是棱锥，C 侧棱延长没有交于一点，
故不是四棱台，B 是三棱台．故选：B
4.下列关于棱台的说法中错误的是（
）
A．所有的侧棱所在直线交于一点
B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等
D．所有的侧面不存在两个面互相平行
【答案】C
【解析】由棱台的定义可知：
A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确；
B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；
C.棱台的上下两个底面不全等，故C 不正确；
D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.故选：C.
5.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（
）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【答案】C
【解析】A 选项，
1
1
1
1
A B
B C
AB
BC
，所以几何体不是三棱台，A 选项错误.
B 选项，
1
1
1
1
B C
AC
BC
AC
，所以几何体不是三棱台，B 选项错误.
C 选项，
1
1
1
1
1
1
A B
B C
AC
AB
BC
AC
，所以几何体是三棱台，C 选项正确.
D 选项，该几何体可能是三棱柱，D 选项错误.故选：C
6.下面图形中，为棱锥的是（
）
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A．①③
B．①③④
C．①②④
D．①②
【答案】C
【解析】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的多面体叫做棱锥，
显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，
所以①②④是棱锥，③不是棱锥.故选：C
7.给出下列关于棱锥的说法：①四棱锥共有四条棱；②五棱锥共有五个面；③六棱锥的顶点有六个；④任
何棱锥都只有一个底面．其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】四棱锥共有八条棱，故①错误；五棱锥共有六个面，故②错误；
六棱锥的顶点有七个，故③错误；由棱锥的定义知④正确．
所以正确的有1个.故选：B
8.下列说法中正确的个数为（
）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，
但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，
但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，
则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确.故选：D.
9.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（
）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
【答案】D
【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6 个等边三角形构成，
设每个等边三角形的边长为
r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为
l ，
由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，
2
2
2
h
r
l
，
故侧棱长
l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选：D.
10.下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（
）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
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D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【解析】对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，
因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A 错；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，
底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B 错误；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C 错误；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，
故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D 正确，故选:D.
题型三：旋转体的几何特征
1.将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（
）
A．圆柱
B．圆台
C．圆锥
D．棱柱
【答案】A
【解析】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱.故选：A.
2.有下列四个说法，其中正确的是（
）
A．圆柱的母线与轴垂直
B．圆锥的母线长等于底面圆直径
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
【答案】D
【解析】对于A 中，根据圆柱的几何结构特征，圆柱的母线与轴平行，所以A 错误；
对于B 中，由圆锥的几何结构特征，圆锥的母线长与底面圆直径不一定相等，
所以B 错误；
对于C 中，根据圆台的几何结构特征，圆台的母线与轴不平行，所以C 错误；
对于D 中，根据球的几何结构特征，球的直径必过球心，所以D 正确.故选：D.
3.如图所示的图形中有
A．圆柱、圆锥、圆台和球
B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
【答案】B
【解析】根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故选：B.
4.（多选）下列说法中，正确的是（
）
A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
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D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
【答案】BD
【解析】若在圆柱上下底面各取的点的连线能平行于轴，
则是母线，反之则不是，故选项A 错误；
由圆锥母线的定义可知选项B 正确；
圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，
根据圆锥母线的定义可知选项C 错误；
因为圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，故选项D 正确.故选：BD.
5.下列命题中正确的是（
）
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．
A．①②③
B．②③④
C．②③⑤
D．①④⑤
【答案】C
【解析】任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，
由球的定义知②正确，由球的截面圆性质知③正确；
球面上任意三点一定不共线，故④错误；
根据球的半径的定义可知⑤正确．故选：C.
6.下列关于圆柱的说法中，不正确的是（
）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180而形成的曲面所围成的几何体是
圆柱
【答案】C
【解析】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，
如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，
故C 选项错误，其他选项均正确，故选：C
7.有下列命题，其中错误命题个数是（
）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转
轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】①圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
③以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
④平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
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其中错误命题个数为3．故选：C．
8.有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥
顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其
中正确的命题是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】B
【解析】对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，
故错误；
对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确；
对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，
故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确.
所以，正确的命题是②③故选：B
9.下列说法中正确的是（
）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
【答案】A
【解析】根据球的定义知A 正确；
因为球的直径必过球心，所以B 错误；
因为球的任何截面都是圆面，所以C 错误；
球常用表示球心的字母表示，故D 错误.故选：A.
10.下列叙述中，正确的个数是（
）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；
③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，
用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球，故④正确．故选：B.
11．一个长方形的两边长分别为2 和3，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据圆柱的特征直接得到结果.
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【详解】将长方形分别绕着长或宽进行旋转，可得两种不同的圆柱.
故选：B.
12．如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底
面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线l ）旋转而成，这个图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据旋转体的形成过程即可得出选项.
【详解】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，
而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，
分析四个选项，A 项，旋转后圆台；
C 项，旋转后圆台；D 项，球体中挖去一个小球；
故选：B
【点睛】本题考查了旋转体的形成过程，掌握旋转体的结构特征是解题的关键，属于基础题.
题型四：简单的组合体问题
1.指出下列空间图形分别由哪些简单空间图形构成.
【答案】圆锥，圆柱，圆台；棱柱，圆柱.
【解析】第一个几何体的上半部分是圆锥，中间为圆柱，下面为圆台；
第二个几何体上方为六棱柱，下方为圆柱.
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2.指出图中三个空间图形的构成.
【答案】答案见解析.
【解析】图①中的空间图形是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，
其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的空间图形是由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥.
3.如图的组合体是由（
）组合而成.
A．两个棱柱
B．棱柱和圆柱
C．圆柱和棱台
D．圆锥和棱柱
【答案】B
【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B
4.描述下列几何体的结构特征．
【答案】解析见答案
【解析】图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；
图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；
图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
5.如图是由哪个平面图形旋转得到的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】A 中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；
B 中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；
C 中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；
D 中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：D.
6.如图所示的简单组合体的组成是（
）
A．棱柱、棱台
B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台
D．棱柱、棱柱
【答案】B
【解析】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.
7.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（
）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱
B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱
D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【答案】C
【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，
则挖去的部分是圆柱，选项C 表述准确.故选：C
8.指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．
【答案】答案见解析．
【解析】第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，
四棱台上方挖去一个长方体的组合体；
第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，
在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），
四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面
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（可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱．
9.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（
）．
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
【答案】B
【解析】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，
中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱．故选：B．
10．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几
何体，则下列结论不正确的是（
）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12 个面
C．该几何体恰有24 条棱
D．该几何体恰有12 个顶点
【答案】B
【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可.
【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A 正确；该几何体恰有14 个面，B 不正确；该几
何体恰有24 条棱，C 正确；该几何体恰有12 个顶点，D 正确．
故选：B
题型五：展开图及最短路径问题
1.如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4 的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E，
则蚂蚁爬行的最短距离为（
）
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A．
2
2 4π
1
B．2 5
C．
2
2 π
1
D．
2
π
1
【答案】C
【解析】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为2π，
2
BE ，
2
2
4π
4
2 π
1
AE
.故选：C.
2.长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
，
4
BC
，
1
1
AA ，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到
1
C 点的
最短距离是___________．
【答案】5
【解析】长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的表面可如下图三种方法展开后，A 、
1
C 两点间的距离分别为：
2
2
1
2
(1
4)
29
AC
，
2
2
1
(2
1)
4
5
AC
，
2
2
1
(2
4)
1
37
AC
，
一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到
1
C 点的最短距离是5．
故答案为：5．
3.在正三棱锥S
ABC
中，
1
SA
SB
SC
，
30
ASB
ASC
BSC
，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱
锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
2
【解析】将正三棱锥S
ABC
沿棱SA展开，得到如下图形，
由展开图可得，沿
1
AA 爬行时，路程最短；
因为
1
SA ，
30
ASB
ASC
BSC
，所以
1
90
ASA
，
因此
2
2
1
1
1
2
AA
.
故答案为：
2 .
4.如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为8m 的正ABC
，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃
粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
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【答案】4 5
【解析】如图所示，根据题意可得ABC
为边长为8的正三角形，所以
8
BC ，
所以圆锥底面周长
2π
4
8π(m)
，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得π 8
8π
180
n
，
故
180
n =
°，则
90
B AC
，
所以
64
16
4 5(m)
B P
，
所以小猫所经过的最短路程是4 5m．
故答案为：4 5
5.如图所示，圆台母线AB 长为20cm ，上、下底面半径分别为5cm 和10cm ，从母线AB 的中点M 拉条绳子
绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．
【答案】50cm．
【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由轴截面中t
R
OPA
与
t
R
OQB
相似，得
5
10
OA
OA
AB
，可求得
20cm
OA
．
设
BOB
，由于
BB的长与底面圆Q 的周长相等，
而底面圆Q 的周长为2
10cm
，
扇形OBB的半径为
20
20
40cm
OA
AB
，
扇形OBB所在圆的周长为2
40
80 cm
．
所以
BB的长度20 cm
为所在圆周长的1
4 ，所以OB
OB
．
所以在Rt
B OM
△
中，
2
2
2
40
30
B M
，
所以
50cm
B M
，即所求绳长的最小值为50cm．
6.如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A 出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达
1A 的最短路线
长为（
）
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A．25
B．24
C．31
D．28
【答案】A
【解析】正三棱柱的侧面展开图是底边长为4 3
12
，高为7 的矩形，
所以绕行两周的最短路线长为
2
2
7
2
12
25
2
.故选：A
7.如图，在正三棱锥
P
ABC 中，
30
APB
BPC
CPA
，
2 2
PA
PB
PC
，一只虫子从A 点
出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是（
）
A．4
B．3 2
C．4 2
D．3 3
【答案】A
【解析】如图，连接
1
AA 与
,
PB PC 分别交于
,
E F 两点，
将三棱锥由PA 展开，则
1
90
APA
，
1
AA 为虫子爬行从点A 沿侧面到棱PB 上的点E 处，
再到棱PC 上的点F 处，然后回到点A 的最短距离，
∵
2 2
PA
，
∴由勾股定理可得
1
8
8
4
AA
，
所以虫子爬行的最短距离4，故选：A.
8.“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座
山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为40 15 km，B 是山坡SA 上一点，且
40
AB
km．为了发展旅游业，要建设一条从A 到B 的环山观光公路，这条公路从A 出发后先上坡，后下
坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（
）
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A．60km
B．12 6 km
C．72km
D．12 15 km
【答案】C
【解析】该圆锥的母线长为
2
2
40 15
40
160
，
所以2
π
40
π
160
2
，则圆锥的侧面展开图是圆心角为π
2 的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接A B
，过点S 作A B
的垂线，垂足为H，
由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A B
，
2
2
2
2
160
120
200
A B
SA
SB
，
记点P 为A B
上任一点，连接PS，上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，
下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大，则下坡段的公路，即图中的HB，
由Rt
SA B
Rt
HSB
:
△
△
，得
2
2
120
72
200
SB
HB
A B
（km）．故选：C
9.如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，
90
AOB
，则在此圆柱侧面上，从B 到C 的路径中，最短路
径的长度为_______.
【答案】4 2
【解析】圆柱的高为4，底面周长为16，
90
AOB
,则在底面圆中»
1
16
4
4
AB
如图将圆柱的侧面沿母线AC 展开, 其侧面展开图是矩形，且矩形的长为16，宽为4.
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在此圆柱侧面上，从B 到C 的路径中，
最短路径的长度为展开图中线段BC 的长度
2
2
4 +4
4 2
BC
故答案为：4 2
10.如图所示，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，M 是
1
CB 上的一个动点，则
1
BM
D M
的最小值是
________.
【答案】
2
6
将
1
1
CB D
沿直线
1
CB 折起，当B ，M ，
1
D 在同一直线上时，
1
BM
D M
最小，
如图所示：
此时
2
BM
，
1
1
CB D
是边长为2 2 的等边三角形，
所以
2
2
1
2 2
2
6
D M
，所以
1
BM
D M
的最小值为
2
6
.
故答案为：
2
6
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11.在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中,
4
AB
,
3
BC
,
1
5
BB
.
(1)一只蚂蚁从长方体表面上一点A 出发,沿表面爬行到另外一点
1
B ,求蚂蚁爬行的最短路程;
(2)一只蚂蚁从长方体表面上一点A 出发,沿表面经过线段
1
1
A B 上一点爬行到另外一点
1
C ,求蚂蚁爬行的最
短路程;
(3)一只蚂蚁从点A 出发,沿表面爬行到点
1
C ,求蚂蚁爬行的最短路程.
【答案】(1)
41 ;(2) 4 5 ;(3)
74 .
解：（1）A ，
1
B 在长方体的同一个面内，由平面几何知识，知蚂蚁爬行的最短路线为线段
1
AB ,其长度为
2
2
1
4
5
41
AB
.
（2）将
1
1
C D 剪开，使点A ，B ，
1A ，
1
B ，
1
C ，
1
D 在一个平面内，沿直线段
1
AC 爬行路程最短，可求
得直线段
1
AC 的长为
2
2
4
5
3
80
4 5
.
（3）将长方体沿一条棱剪开,使A 和
1
C 在同一平面上,求线段
1
AC 的长即可,有三种情况：①沿
1
1
C D 剪开，
见问题（2）
1
4 5
AC
；
②若沿AD 剪开,使点A ，D ，
1A ，
1
D ，
1
C ，
1
B 在一个平面内，可求得
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2
2
1
3
5
4
90
3 10
AC
；
③若沿
1
CC 剪开,使点A ，
1A ，B ，
1
B ，C ，
1
C 在一个平面内，
可求得
2
2
1
4
3
5
74
AC
，相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为
74 .
12.已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
AC
，
1
1
AB
AC
AA
，P 为线段
1A B 上的动点，则
1
AP
PC
的
最小值为（
）
A．
5
2
B．10
2
C．5
D．
2
2
【答案】D
【分析】利用空间几何体的特征，将
1A AB
△
沿
1A B 折起到
1A A B
的位置.使得平面
1A A B
与平面
1
1
A BC 共面,
然后两点之间线段最短，再利用余弦定理即可得到答案.
【详解】将
1A AB
△
沿
1A B 折起到
1A A B
的位置.使得平面
1A A B
与平面
1
1
A BC 共面,当P 为线段
1
AC
与
1A B 的
交点时,
1
A P
PC
最小,即
1
AP
PC
最小,则有
1
1
1
AC
A A
，
又
1
,
1
AB
AC
AB
AC
AA
，所以易得
1A AB
△
与
1A BA
均为等腰直角三角形,
1
1
90
45
135
A AC
,
利用余弦定理可知最小值为1 1 2 1 1cos135
2
2
.
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故选：D.
题型六：几何体的截面问题
1.如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截
面？
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，由于截面中间是矩形，如果可能的话，
一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体并且是从挖去四棱锥的那部分剖开，
但此时剖面中间应该是一个正方形，因此A 图形不可能是截面；
对于B，当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，
如图：
此时截面形状如B 图形，故B 可能是该几何体的截面；
对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，
如图中截面PDGH 位置：
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截面就会如C 图形，故C 可能是该几何体的截面；
对于D，如图示，按图中截面
1
1
1
A B C
的位置去剖开正方体，截面就会如D 图形，
故D 可能是该几何体的截面；
故答案为：A
2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(
)
A．一定通过正方体的中心
B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点
D．一定构成正多边形
【答案】A
【解析】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，
可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，
不管哪种截面都过正方体的中心．故选：A．
3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合
体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．①⑤
【答案】D
【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，
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圆柱的轮廓是矩形除去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；
故选:D
4.圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示，
则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图，
故选：D.
5.一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高
之比是_____.
【答案】1:
2
【解析】依题意，截面面积与底面面积的比为1:2，相似比为1:
2 ，
所以截得的小棱锥与原棱锥的高之比是1:
2 .
6.（多选）一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；
当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；
当过球心的截面过其中4 个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B 正确，D 错误.
故选：ABC
7.圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴
截面面积为______.
【答案】20
【解析】轴截面为矩形，两边长分别为5 和4，故轴截面的面积为5 4
20
.
故答案为：20
8.从一个底面半径和高均为R 的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一
个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d 的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.
【答案】
2
2
π R
d
【解析】如图所示作出轴截面，
圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径
1
O C
R
，
设圆锥的截面圆的半径
1
O D 为x ，
因为OA
AB
R
，所以OAB
是等腰直角三角形.
又
/ /
CD
OA ，所以CD
BC
，故x
d
，
所以截面积
2
2
2
2
π
π
π
S
R
d
R
d
.
故答案为：
2
2
π R
d
.
9.如图所示，正四棱锥S
ABCD
的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱
,
SA SC 作截面SAC ，求截面的面
积.
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【答案】
2
1
2 a
【解析】根据正棱锥的性质，知底面ABCD是正方形，故
2
AC
a
.
在等腰SAC
中，SA
SC
a
，又∵
2
AC
a
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
SA
SC
a
a
a
AC
，∴
90
ASC
，即
2
1
2
SAC
S
a
模块三：综合巩固
1.给出下列说法：
（1）圆柱的底面是圆面；
（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交；
（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．
其中说法正确的是
．
【解析】解：圆柱的底面是圆面，故（1）正确；
圆柱的母线都平行且相等，且都垂直于底面，则经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故（2）正
确；
圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，则圆台的任意两条母线所在的直线相交，故（3）错误；
当两个截面不平行或截面平行但不与底面平行时，两个截面间的几何体不是旋转体，故（4）错误．
故答案为：（1）（2）．
2.给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【答案】D
【分析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质即可判断.
【详解】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；
圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，
故②正确；
③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；
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④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确；
综上可知②④正确，①③错误.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征，属于基础题.
3．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH 为正三棱锥P-ABC 的一个截面，若截面
为平行四边形，则四边形EFGH 面积的最大值为（
）
A．
2
2
B．
3
2
C．3
2
D．
3
4
【答案】C
【分析】又正三棱锥的性质求得三棱锥的侧棱长，结合平行四边形的面积公式及基本不等式求最值即可得
解.
【详解】设侧棱长为a ，则由底面边长为3，高为1，由
2
2
( 3)
1
a
可求得
2
a
，
如图，设AE
AP
，则FG
BF
AE
EH
PC
BP
AP
PC
，且
1
EF
GH
AB
AB
，于是
2 ,
3 1
EH
EF
，
所以
2
1
3
2
3 1
6
1
6
2
2
EFGH
S
EH EF
，
当且仅当
1
即
1
2
时取等号.
故四边形EFGH 的面积最大值为3
2 ，
故选：C.
4．若棱锥底面面积为150cm 2 ，平行于底面的截面面积是54 cm 2 ，底面和这个截面的距离是10cm，则棱
锥的高为（
）
A．15
B．20
C．25
D．30
【答案】C
【分析】根据棱锥的平行于底面的截面的性质求解．
【详解】设棱锥的高为h ，则
2
10
54
150
h
h
，解得
25
h
（因为
0
h
）．
故选：C．
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5.如图，正三棱锥A
BCD
中，
20
BAD
，侧棱长为2 ，过点C 的平面与侧棱
,
AB AD 相交于
1
1
,
B D ，则
△
1
1
CB D 的周长的最小值为（
）
A．2 2
B．2 3
C．4
D．2
【答案】D
【分析】将正三棱锥A
BCD
沿AC 剪开，要使△
1
1
CB D 的周长的最小则有
1
1
1
1
CD
D B
B C
CC
，结合
已知条件及正三棱锥的性质知△CAC是等边三角形，即可知周长的最小值.
【详解】将正三棱锥A
BCD
沿AC 剪开可得如下图形，
∵
20
BAD
，即
3
CAC
，又△
1
1
CB D 的周长为
1
1
1
1
CD
D B
B C
，
∴要使△
1
1
CB D 的周长的最小，则
1
1
,
,
,
C D B C共线，即
1
1
1
1
CD
D B
B C
CC
，
又正三棱锥A
BCD
侧棱长为2 ，△CAC'是等边三角形，
∴
1
1
1
1
min
(
)
2
CD
D B
B C
.
故选：D
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6.如图所示，在所有棱长均为1 的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A 出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点
A1，则爬行的最短路线长为
．
【解析】解：正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1 的长为最短路程．
因此蚂蚁爬行的最短路程为：��+ ��=
��．
故答案为：��．
7.如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
3
AB
，
1
4
AA
，M 为
1
AA 的中点，P 是BC 上的一点，
且由P 沿棱柱侧面经过棱
1
CC 到M 的最短路线为
29 .设这条最短路线与
1
CC 的交点为N ，求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）PC 和NC 的长.
【答案】（1）
97 ；（2）PC 的长为2，NC 的长为4
5
.
（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为3 3
9
的矩形，
所以对角线的长为
2
2
4
9
97
；
（2）将该三棱柱的侧面沿棱
1
BB 展开，如图所示.
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设PC 的长为x ，则
2
2
2
(
)
MP
MA
AC
x
.
因为
29
MP
，
2
MA
，
3
AC
，
所以
2
x
(负值舍去)，即PC 的长为2.
又因为
//
NC AM ，
所以PC
NC
PA
AM
，即2
5
2
NC
，
所以
4
5
NC
.
8．如图，在正四棱锥O
ABCD
中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30
E
F
，，
分别是线段
,
OB OC
上的一点，则AE
EF
FD
的最小值为_______．
【答案】4 2
【分析】将正四棱锥的侧面展开，则AE
EF
FD
的最小值为AD ，根据数据求解即可．
【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则AE
EF
FD
的最小值为AD ；
在
OAD
△
中，
4,
90
OA
OD
AOD
，则
2
4 2
AD
OA
．
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所以AE
EF
FD
的最小值为4 2 .
故答案为：4 2 .
9．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD 平面ABE，已知
4
AB
，
2 3
AE
BE
，
且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为2 2 .若M ，N 分别是线段DE ，CE 上
的动点，则AM
MN
NB
的最小值为______．
【答案】6
【分析】将平面ADE 、平面DCE 、平面BCE 展开至一个平面上，利用两点之间线段最短可求
AM
MN
NB
的最小值.
【详解】因为
2 3
AE
BE
，
4
AB
，故
24 16
1
cos
3
2 2 3
2 3
AEB
，
因为
AEB
为三角形内角，故
1
2 2
sin
1
9
3
AEB
，
设E 到AB 的距离为d ，则1
1
2 2
4
2 3
2 3
2
2
3
d
，故
2 2
d
.
因为该几何体的侧视图的面积为2 2 ，故1
2 2
2 2
2
AD
，所以
2
AD
.
四边形ABCD是矩形，故AD
AB
，而平面ABCD 平面ABE ，
AD 平面ABCD，平面ABCD 平面ABE
AB
，
故AD 平面ABE ，而AE 平面ABE ，故AD
AE
.
所以
4 12
4
DE
，
30
DEA
，同理
4
CE
，
30
CEB
.
将平面ADE 、平面DCE 、平面BCE 展开至一个平面上，如图所示：
AM
MN
NB
AB
，当且仅当
,
,
,
A M N B 共线时等号成立，
又因为
4
DC
DE
EC
，所以
60
DEC
，
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所以
=120
AEB
，而
2 3
AE
BE
，故
1
12 12
2 2 3
2 3
6
2
AB
，
故AM
MN
NB
的最小值为6，
故答案为：6.
【点睛】本题考查空间几何表面路径最短，此类问题，一般通过侧面展开后转化为平面上距离和的最小值
来讨论，本题属于中档题.
10．如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，
2
AB
，
1
2 3
AA
，
D ，F 分别是棱AB ，
1
AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF
的周长的最小值为______.
【答案】
7
2
【解析】先计算DF 的长度，将底面ABC 展开与侧面
1
1
ACC A 在同一个平面，当三点D，E，F 在同一条
直线时DE+EF 取得最小值，利用余弦定理求解即可
【详解】由正三棱柱
1
1
1
A B C ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴
1
AA ⊥AB，
1
AA ⊥AC．
在Rt△ADF 中，DF=
2
2
( 3)
1
2
．
把底面ABC 展开与侧面
1
1
ACC A 在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F 在同一条直线时，DE+EF 取得最小值．
在△ADF 中，∠DAF=60°+90°=150°，由余弦定理可得：
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DF=
2
2
( 3)
1
2
3
cos150
7
．
∴△DEF 周长的最小值为
7
2
故答案为：
7
2
【点睛】本题考查棱柱的折叠与展开问题，考查余弦定理解三角形，空间问题平面化是解此类问题的关
键
11．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
3
AA
，
1
AB
BC
，
2
AC
，E 是棱
1
BB 上的一点，则
1ACE
△
的周
长的最小值为（
）
A．11
3
B．11
2 3
C．11
13
D．11
14
【答案】C
【分析】由侧面展开图求解，
【详解】由题意得
1
9
2
11
AC
，
将三棱柱的侧面展开如图所示，当
1, ,
A E C 三点共线时，
1ACE
△
的周长的最小，
此时
1
9
4
13
A E
CE
，
即
1ACE
△
的周长的最小值为11
13
，
故选：C
12．如图，棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，P 为正方体表面
1
1
BCC B 上的一个动点，,
E F 分别为
1
BD
的三等分点，则|
|
|
|
PE
PF
的最小值为（
）
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A．11
B．5 2
2
C．1
6
D．
11
3
【答案】A
【分析】利用对称关系转化为两点之间线段最短即可.
【详解】
过点F 作关于
1
1
BCC B 对称的点F，连接EF交平面
1
1
BCC B 于点
0P ,
所以
0
0
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
PE
PF
PE
PF
P E
P F
EF
,
因为棱长为3，
所以
1
1
1
1
3 3,
3,
2
2
3
3
BD
EF
BD
FF
AB
,
因为
1
1
1
1
π
BD C
D FF
,且在直角三角形
1
1
BC D 中，
1
1
1
1
1
3
cos
3
C D
BD C
BD
,
所以
1
1
3
cos
3
D FF
,
在
EFF
△
中，由余弦定理
2
2
1
1
2
cos
11
EF
EF
FF
EF FF
D FF
，
所以|
|
|
|
PE
PF
的最小值为11 .
故选:A.
13．在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，棱长为4，E 为BC 的中点，点P 在平面
1
1
BDD B 内运动，则
1
PE
PC
的
最小值为（
）
A．6
B．4 3
C．6 2
D．10
【答案】A
【分析】作点E 关于平面
1
1
BDD B 的对称点，将点P 与同侧点距离之和问题转化为相对点距离问题即可.
【详解】如图作点E 关于
1
1
BDD B 的对称点
'
E ，
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1
1
=
'
PE
PC
PE
PC
，则
1
PE
PC
的最小值为
1
'
E C ，根据题中数据可知
2
2
2
1
'
= 2 +4 +4 =6
E C
故选:A
