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第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
一、基础巩固
1．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
2．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为 ，母线长为 ，
则已知圆锥的母线长为（） .
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设圆锥的母线长为 ，
因为圆台的上、下底面半径之比为 ，
所以 ，
解得 .
3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A．左边是三棱台，右边是圆柱 B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体 D．左边是三棱柱，右边是长方体
【答案】D
【详解】
根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体.
4．下列说法正确的是（ ）
A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中各条棱长都相等
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
【答案】A
【详解】
A显然正确；
棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，
例如正六棱柱的相对侧面，故B错误；
棱柱的每条侧棱长相等，而不是各条棱长都相等，故C错误；
棱柱的底面可以是平行四边形，如长方体，故D错误.
5．如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，过直线
的平面 平面 ，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取 的中点为 .
易知 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 .
又 和 为平面 的两条相交直线，所以平面 平面 ，即 的面积即为所求.
由 ， ，所以四边形 为梯形，高为 .
所以面积为： .
6．一个圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设半径为 ，
由母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，得： ，
则底面圆的周长为： ，
所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为： .
7．已知过球面上三点 的截面到球心距离等于球半径的一半，且 是边长为6的等边三角形，
则球面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
取AB的中点D，连接CD，由题意可得△ABC的外心 在线段CD上，
由 是边长为6的等边三角形可得 ， ，
设球的球心为 ，半径为 ，连接 、 ，如图：
由球的性质可得 ， 平面 ，即 ，
所以 ，在 中， 即 ，
解得 或 （舍去），
所以该球的表面积 .
8．半径为 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设底面半径为r，则 ，所以 .
所以圆锥的高 .
所以体积 .
9．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设棱台的高为 与截得它的棱锥的高 ，作出草图，如下图所示：由相似关系可得， ，所以 ，则
即 ， 可得 .
10．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【详解】
设长方体的三条棱的长分别为： ，
则 ，
可得对角线的长为 ．
11．下列说法中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等
B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
【答案】C
【详解】
对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A正确；
对于B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确；
对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误；对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.
综上可知,错误的为C
12．正三棱锥底面边长为 ，高为 ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为底面正三角形中高为 ，其重心到顶点距离为 ，且棱锥高 ，所以利用直角
三角形勾股定理可得侧棱长为 ，斜高为 ，所以侧面
积为 .选A.
二、拓展提升
17
13. 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为 ，求
四棱台的高．
【答案】3.
A AE AC
由题意可知该四棱台为正四棱台，过 1作 1 于E点，
8 24 2
AE 2 2
在△AEA中，AA 17 ， 2 ，
1 1
AE 178 3
∴ 1故答案为3
14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径的比是1﹕4.母线长为10，求圆锥的母线长.
【答案】 .
【详解】
设圆锥的母线长为 ，圆台的上、下底面半径分别为 ，
即圆锥的母线长为：
15.一个圆台的母线长为 ，两底面面积分别为 和 ．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．
【答案】(1) . (2) .
【详解】
（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形 ， ， 分别为 ， 的中点，作
于点 ，连接 .
由已知可得上底半径 ，下底半径 ，且腰长 ，
∴ ，即圆台的高为 .
（2）如图，延长 ， 交于点 ，设截得此圆台的圆锥的母线长为 ，则由 ，
得 ，即 ，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
