文档内容
专题 29 课题学习 制作立体模型（1 个知识点 2 种题型）
【目录】
倍速学习三种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点 1.制作视图的立体模型
【方法二】 实例探索法
题型 1.由展开图想象立体图
题型 2.求立体图形表面上的最短路线长
【方法三】 成果评定法
【学习目标】
1：通过实际动手操作，加深对投影和视图知识的认识;体会用三视图表示立体图
形的作用,感受立体图形与平面图形之间的联系
2.通过创设情境，白主探索立体图形的制作过程，合作研究讨论，体会由平面图
形转化为立体图形的过程和乐趣
3.通过参与数学实战,培养合作探索精神和尊重理解他人想法的品质;通过动手实
践活动,培养创新精神与创造发明的意识
【知识导图】【倍速学习三种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.制作视图的立体模型
根据几何体的三視图制作立休模型的方法：
(1)根据三视图想象出几何体的立体模型，画出立体模型的各个侧面,再将它们用硬纸板粘合起来.
(2)根据三视图想象出几何体的立体模型，然后 直接用马铃薯(或萝卜）刻制出来
【例1】如图是一立体图形的三视图，用橡皮泥或其他物品作出它的模拟图.
【答案】空心圆柱，图形见解析.
【分析】从三视图可以看主视图以及左视图为矩形，俯视图为圆环，可以得出该立体图形为圆柱，题目难
度不大.
【详解】解：∵正视图和左视图是矩形，俯视图为圆形，
∴可得这个立体图形是空心圆柱
故答案为空心圆柱【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题关键是根据三视图的特点描绘出图形，题目难度不大，解决
这个类问题有利于开发学生的想象力.
【变式】用马铃薯（萝卜）等作出三视图如图所示的几何体．
【答案】圆锥
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，由俯视图可得此几何体为圆锥；
【详解】解：根据几何体的三视图，得此几何体是圆锥体.
【点睛】本题考查空间几何体的三视图的应用问题，解题关键是根据三视图得出几何体是什么图形.
【方法二】 实例探索法
题型1.由展开图想象立体图
1．（2022·九年级课前预习）如图是几种几何体的表面展开图，请你分别这几种几何体的名称写出来．
【答案】圆锥；圆柱；四棱锥
【解析】略
2.（2021下·九年级课时练习）根据三视图，描述这个物体的形状．【答案】6个正方体分三层按照1个、2个和3个从左往右摆放．
【分析】根据三视图的定义，从主视图可知该物体从左往右依次有1，2，3个，根据左视图和俯视图可知
该物体只有一列，据此求解即可．
【详解】如图，6个正方体分三层按照1个、2个和3个从左往右摆放．
【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知三视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．长对正，高平
齐，宽相等．
题型2.求立体图形表面上的最短路线长
3．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一
圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
【答案】13cm
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段
最短解答．
【详解】长方体侧面展开图是长方形，长为2×(2＋4)＝12(cm)，宽为5 cm，
如图，
由勾股定理得蚂蚁爬行的最短路径PQ长为＝13(cm)．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形，难度一般．【方法三】 成果评定法
一、单选题
1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据三视图确定该几何体的形状，然后确定其展开图即可．
【详解】解：主视图和左视图均为等腰三角形，底面为圆，
所以该几何体为圆锥，
∵圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，
∴B符合，
故选B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，解题的关键是能够确定该几何体的形
状，难度不大．
2．已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆锥的面积公式S＝ 直接可以得到答案．
【详解】解：因为圆锥的侧面积S＝ ，又因为 ，所以圆锥的侧面积S＝ ．
故选A．
【点睛】本题考查的圆锥的侧面积计算，掌握圆锥的侧面积是圆锥的侧面展开图扇形的面积是关键．
3．下图是（ ）的展开图．
A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【答案】C
【分析】根据展开图中的上下底面是圆，侧面是长方形即可判断.
【详解】解：展开图中上下底面是圆，中间是长方形，符合圆柱的展开图.
故答案选：C
【点睛】本题考查学生的空间想象能力，圆柱的展开图中，上下底面是圆，侧面是长方形.
4．右图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【答案】A
【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
5．（2022·九年级课前预习）如图所示的平面图形，哪个不是立方体的展开图（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图的定义逐项分析即可.
【详解】A符合题意，故正确；
B的俯视图与题意不符，故不正确；
C的左视图与题意不符，故不正确；
D的主视图与左视图都不符合题意，故不正确.
故选A.
【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正
视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
7．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【答案】D
【分析】根据 结合已知条件可得答案．
【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为 圆锥的高为 ，则圆柱的高为 ，
故选D．
【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
8．如图是某几何体的俯视阁，那么这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别找到图形的三视图进行对比即可解题.
【详解】解：A的俯视图中间应该是正方形,
B的俯视图应该是不相切的圆,
C的俯视图正确,
D的俯视图中心不是圆,
故选C.
【点睛】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体
得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键.
9．如图是某几何题的三视图，下列判断正确的是（ ）A．几何体是圆柱体，高为2 B．几何体是圆锥体，高为2
C．几何体是圆柱体，半径为2 D．几何体是圆锥体，半径为2
【答案】A
【分析】利用该几何体的三视图确定其形状并确定其尺寸即可．
【详解】解：观察该几何体知道，该几何体的主视图与左视图均为边长为2的正方形，俯视图为圆，从而
确定该几何体是高为2，底面圆的直径为2的圆柱体.
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是正确的利用其三视图确定几何体的形状．
10．如图，由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数是
（ ）
A．5个或6个 B．6个或7个 C．7个或8个 D．8个或9个
【答案】B
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而算出总的个数．
【详解】解：从俯视图可得最底层有4个个小正方体，由主视图可得上面一层是2个或3小正方体，
则组成这个几何体的小正方体的个数是6个或7个；
故选：B．
【点睛】本题考查三视图的知识及从不同方向观察物体的能力，解题中用到了观察法．确定该几何体有几
列以及每列方块的个数是解题关键．二、填空题
11．如右图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形的体积为 ．
【答案】250π
【分析】根据三视图可得这个几何体是一个底面直径为10，高为10的圆柱，再根据圆柱的体积公式列式
计算即可．
【详解】解：根据这个立体图形的三视图可得：这个几何体是一个圆柱，底面直径为10，高为10，
则这个立体图形的体积为：π×52×10=250π，
故答案为250π．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对
空间想象能力方面的考查．
12．一个圆锥的侧面积是 ，圆锥的底面直径是6，则这个圆锥的高是 ．
【答案】4
【分析】根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长求得圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为x， 由题意得：15π=πx×3， 解得x=5，
所以圆锥的高为 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键熟练掌握是圆锥侧面积的计算公式．
13．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）一个圆柱形橡皮泥，底面积是 ．高是 ．如果用这个橡皮
泥的一半，把它捏成高为 的圆锥，则这个圆锥的底面积是
【答案】18
【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出
方程，即可求出圆锥的底面积．
【详解】Ｖ ＝ = ，
圆柱
这个橡皮泥的一半体积为： ，把它捏成高为 的圆锥，则圆锥的高为5cm，
故 ，
即 ，
解得 （cm2），
故填：18．
【点睛】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥
体积计算公式．
14．（2022·九年级课前预习）我们用三个互相垂直的平面（例如：墙角处的三面墙面）作为投影面，其中
正对着我们的叫 ，正面下方的叫 ，右边的叫做 ．
对于一个物体（例如一个正方体）在三个投影面内进行正投影，
在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫 ．
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做 ．
在水平面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做 ．
【答案】 正面 水平面 侧面 主视图 俯视图 左视图
【解析】略
15．如图是某些多面体的表面展开图，说出这些多面体的名称：(1) ；(2) ．
【答案】 六棱锥, 三棱柱
【分析】（1）展开的每一个侧面都是三角形，底面是六边形，说明是六棱锥；
（2）展开的侧面都是长方形，上下两个面是三角形，说明是三棱柱.
【详解】（1）展开的每一个侧面都是三角形，底面是六边形，说明是六棱锥；
（2）展开的侧面都是长方形，上下两个面是三角形，说明是三棱柱.
故答案为六棱锥；三棱柱
【点睛】此题考查立体图形的展开图，识记每一个图形的特点，是解决问题的关键．
16．已知几何体的三视图如图，则该物体的体积为 ．【答案】
【分析】由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱底是边长为3cm的正三角形，高为5cm，体积由底面三
角形的面积乘高即可得到结果．
【详解】由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱底是边长为3cm的正三角形，高为5cm，
∴三棱柱的体积是 ×3× ×3×5＝ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体各个部分的长
度，本题是一个基础题．
17．已知一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 ．
【答案】正三棱柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】由该几何体的三视图知，这个几何体是正三棱柱，
故答案为正三棱柱．
【点睛】考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几
边形就是几棱柱．
18．有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1:1．在高度不变的情况下，如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱和长方体的体积之比为 ．
【答案】
【分析】先计算方木中内切圆与正方形的面积之比；再计算圆木中圆内接正方形与圆本身的面积之比，由
于方木底面正方形与圆木底面圆面积相等，故两比值之比即为结果．
【详解】正方形内作最大的圆：
设圆的半径为r，圆的面积与正方形的面积比是：
圆内作最大的正方形：
设圆的半径为 ，正方形的面积与圆的面积比是：
，
因为,方木与圆木的体积和高度都相等,说明底面积也相等,即图(1)的大正方形面积等于图(２)的大圆的面积，
所以，现在的圆柱体积和长方体的体积的比值是：
；
答：圆柱体积和长方体的体积的比值为 .
故答案为： ．
【点睛】本题以方木圆木的体积为背景，考查了正方形的内切圆，圆的内接正方形的面积问题，熟练的掌握以上关系是解题的关键．
三、问答题
19．如图是三个几何体的三视图和展开图，请将同一个几何体的三视图和展开图连线．
【答案】见解析
【分析】根据三组三视图判断出对应几何体，再将几何体和展开图对应，即可连线.
【详解】解:A与c，B与a，C与b．
A所对应的几何体为三棱柱，展开图对应c；
B所对应的几何体为圆锥，展开图为a；
C所对应的几何体为正方体，展开图为b．【点睛】本题考查了三视图和几何体的展开图，考查学生的空间想象能力，熟知常规几何体的三视图及展
开图是关键．
20．一物体是由几块相同的长方体叠成的组合体，它的三视图如图所示，试用模型摆出实物原型．
【答案】图形见解析．
【分析】根据画三视图规则可得立体图形，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所
得到的图形，能看到的棱画实线，遮挡了的画虚线．
【详解】解：
【点睛】本题考查由物体的三视图恢复原图，解题关键是熟练掌握画三视图规则.
21．在上题中若正三角形的边长为6，求该几何体的表面积．
【答案】27π.
【分析】圆锥的表面积包含底面圆的面积和侧面展开图扇形的面积，等边三角形的边长是底面圆的半径，再根据圆和扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：3×6×π+32π=27π.
【点睛】本题考查圆锥的表面积的计算，解题关键是圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形弧长是底面圆的
周长．
22．仔细观察生产实际会发现，三视图及展开图不论在理论方面还是在生活中都有广泛的应用，你能否把
一些例子介绍给大家？
【答案】答案见解析．
【分析】在生活和生产实践中，我们经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小，视图可以看做作物体
在某一方向光线下的正投影，对于同一个物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同 ，三视图
是对实物图进行三次正投影得到的图形，
【详解】解：单一视图只能反映物体的一个方面的形状，而三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体
的形状，三者结合起来能够较全面的表示物体的形状．
比如①飞机的三视图：
基本能完整的表达飞机的外部结构．
②图纸中机器零件的三视图：
标上数据后就可以制作出来.
【点睛】本题考查三视图的定义和意义，解题关键是掌握个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状．三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，基本能完整的表达物体
的结构．
23．如图是某工件的二视图，按图中尺寸求工件的表面积．
【答案】5πcm2．
【分析】考查立体图形的二视图，该几何体是由圆锥，圆柱组成．求该几何体的表面积，就要知道这个图
形的表面积是由圆锥以及圆柱的表面积组成．根据图中所给出的数据以及圆柱以及圆锥侧面积的计算公式
可算出该几何体的表面积．
【详解】由二视图，得圆柱的底面半径为r＝1 cm，圆柱的高为h ＝1 cm，
1
圆锥的底面半径r＝1 cm，圆锥高h ＝ cm，则圆柱的侧面积S ＝2πrh ＝2π(cm2)，
2 圆柱侧 1
圆柱的底面积S＝πr2＝π(cm2)，
又圆锥的母线l＝ ＝ ＝2(cm)，
∴圆锥的侧面积S ＝πrl＝2π(cm2)．
圆锥侧
∴此工件的表面积为S ＝S ＋S ＋S＝5π(cm2)．
表 圆柱侧 圆锥侧
【点睛】注意如何看立体图形的二视图；如何运用圆柱和圆锥的计算公式来求表面积．
24．如图是一立体图形的三视图，用橡皮泥或其他物品作出它的模拟图.
【答案】三棱柱.
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，根据给出的三视图，
分析、判定即可．
【详解】解：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
【点睛】本题考查由三视图判定几何体，是锻炼学生的抽象思维能力和空间想象能力．
25．一立体图形的三视图如图，请你画出它的立体图形.
【答案】图形见解析.
【分析】由立体图形的三视图可得立体图形有两列，且第一列是前后两个正方体，第二列是后面一个正方
体．
【详解】解：作立体图如下：
【点睛】本题考查由三视图画立体图形，解题关键是确定立方体的个数和位置．
26.如图是一个纸杯的三视图，你能计算出这个纸杯能装多少水吗？(π取3.14，精确到1 cm3，不计纸的厚
度)
主视图 左视图 俯视图
【答案】159cm3
【分析】由三视图可知，这个纸杯的容积类似一个圆台，上面直径为6cm，下面直径为4cm，高为8cm，
根据圆台体积公式：V= π（R2+Rr+r2）h，列式计算即可求解．
【详解】由题意推知几何体类似一个圆台，上面直径为6cm，下面直径为4cm，高为8cm，
所以其体积为： ×3.14×[（6÷2）2+（6÷2）×（4÷2）+（4÷2）2]×8= ×3.14×（9+6+4）×8
= ×3.14×19×8
≈159（cm3）．
故这个纸杯大约能装159cm3水．
