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专题2 全等三角形的常见模型及其构造方法（原卷版）
类型一 一线三等角模型
（一）捕捉一线三等角模型
1．（2023•南谯区校级一模）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，DC 上一点，AE＝EF，
AE⊥EF，若BE＝3，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为 ．
2．（2022秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝
∠BAC＝∠AEC＝ ，若DE＝8，BD＝2，求CE的长．
α
3．（2023春•榆林期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂 A和B，AD、BC
的长表示两个工厂到河岸的距离，其中 E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝
90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间
的水平距离DC．
（二）构造一线三等角模型
4．（2022秋•武汉期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（ ）A．8 B．12 C．14 D．16
5．（2023春•和平区期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，
3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）
6．（2023•雁塔区校级开学）如图，直线l ∥l ∥l ，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在直线l 、
1 2 3 1
l 、l 上，点A到直线l 的距离是3，点C到直线l 的距离是6，则正方形ABCD的面积为 ．
2 3 2 2
7．（2021秋•恩施市校级月考）如图 1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰
Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等
腰Rt△APD（D点在第四象限），过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．类型二 手拉手模型
（1）捕捉手拉手模型
8．（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：AC＝BD；
结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
9．（2021秋•十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1．若∠AOB＝∠COD＝40°．则AC与BD的数量关系为 ；∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
10．已知：在△ABD和△ACE中，AD＝AB，AC＝AE．
（1）如图1，若∠DAB＝∠CAE＝60°，求证：BE＝DC；
（2）如图2，若∠DAB＝∠CAE＝n°，求∠DOB的度数．（2）构建手拉手模型
11．（2021秋•恩施市校级期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）如图1，若AB＝4，则四边形AEDF的面积为 （直接写出结果）；
（3）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，则△DEF是否仍
为等腰直角三角形？证明你的结论．
类型三 半角模型
12．已知：边长为1的正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点．
（1）若MN＝BM+ND，求证：∠MAN＝45°；
（2）若△MNC得周长为2，求∠MAN的度数．
13．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的 一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋
转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，请猜想PM与PN的数量关系并说明理由．14．（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是
1
边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证
2
明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量
2
关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，
1
且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数
2
量关系，并证明．
类型四 倍长中线模型
15．（2020•黄陂区期末）如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是
（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
16．（2020秋•通河县期末）如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，
EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为 ．类型五 截长补短构造全等三角形
17．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，
再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝
AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．
类型六 平行线+线段中点构造全等三角形
18．如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE
（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；
（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．
19．（2023春•博山区期末）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝
13
10，BE= ，求AB的长．
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