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专题 6.7 几何图形初步（3 大知识点 7 大考点 25 类题型）（全章知
识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】几何图形
1．几何图形的分类
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆
等.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的
立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
（2）从不同方向看：
主（正）视图----------从正面看
几何体的三视图 左视图----------------从左边看
俯视图----------------从上面看
（3）几何体的构成元素及关系
几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成
体，体是由面组成.
【知识点2】直线、射线、线段
1. 直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
a A a B b C
b
A D B
（3）线段的中点：
1
AM MB AB
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2
A M B
【知识点3】角
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角
的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大
写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
（4）角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，
1
因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=2∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3．余角和补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
4．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
考点与题型目录
【考点一】立体图形与平面图形
【题型1】常见的几何体与几何体构成...........................................4
【题型2】从不同方向看几何体.................................................6
【题型3】几何体展开图的认识.................................................7
【题型4】正方体的展开图.....................................................9
【考点二】点、线、面、体【题型5】点、线、面、体四者关系............................................10
【题型6】平面图形旋转后得到的立体图形......................................12
【题型7】截一个几何体......................................................14
【考点三】直线、射线、线段
【题型8】直线、射线、线段的辨析............................................16
【题型9】直线、射线、线段的数量与直线相交的交点个数........................17
【题型10】尺规作图——画线段、射线、直线...................................19
【题型11】直线、线段的基本性质.............................................20
【考点四】与线段有关的计算
【题型12】线段和与差与线段中点的辨析.......................................22
【题型13】线段和与差与线段中点的运算.......................................26
【题型14】探究线段间的数量关系.............................................28
【题型15】与线段有关的动点问题.............................................31
【题型16】两点之间的距离...................................................34
【考点五】角的概念
【题型17】角的概念理解与表示方法...........................................37
【题型18】钟面角...........................................................39
【题型19】方向角...........................................................41
【考点六】角的比较与运算
【题型20】角的比较.........................................................43
【题型21】与角平分线有关计算...............................................44
【题型22】三角板中角的计算.................................................46
【考点七】余角与补角
【题型23】与余角、补角有关计算.............................................49
【题型24】利用余角、补角的性质求角.........................................51
【题型25】旋转图形中角的计算...............................................55
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】常见的几何体与几何体构成
【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的
顺序依次是（ ）A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体
C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体
【答案】B
【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识．
根据常见实物与几何体的关系解答即可．
解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体．
故选：B
【变式1】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都
是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（ ）．
A． B C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察
长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个
选项中根据图形作出判断．
解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知，
第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）下面六个几何体中，属于棱柱的有 个．【答案】
【分析】本题考查了认识立体图形，根据棱柱的定义即可得解，熟练掌握棱柱的定义是解此题的关键．
解：从左到右依次是三棱柱、球、圆锥、正方体、圆柱、六棱柱，
故属于棱柱的有三棱柱、正方体、六棱柱，共 个，
故答案为： ．
【题型2】从不同方向看几何体
【例2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下面四个几何体中，同一几何体从上往下看和从左往右看，
看到的图形形状相同的几何体共有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据正方体从上往下看和从左往右看都是正方形，球从上往
下看和从左往右看都是圆形，圆锥从上往下看是圆形加中心一个点，从左往右看是三角形，圆柱从上往
下看是圆形，从左往右看是长方形，即可得解．
解：①正方体从上往下看和从左往右看都是正方形，故符合题意；
②球从上往下看和从左往右看都是圆形，故符合题意；
③圆锥从上往下看是圆形加中心一个点，从左往右看是三角形，故不符合题意；
④圆柱从上往下看是圆形，从左往右看是长方形，故不符合题意；
综上所述，共有2个，
故选：B．
【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、
左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查从不同方向看几何体， 能够根据不同方向看到的图形还原几何体是解题的关键．
根据从正面看到的图形可以判断上下层数，根据从上面看到的图形可以判断底层有多少小正方体，根据
从左面看到的图形可以判断前后层数，综合以上信息即可得到答案．
解：根据从三个方向看到的形状图可得，
从前面看可以看出左面有两层，右面有一层，则选项D不合题意；
从左面看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从上面看，底面有3个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故只有选项B符合题意；
故选：B．
【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从正面和上面
看到的形状图，搭这个几何体需要小正方体的最少个数是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握根据从上面看的图形确定位置，从正面看的图确定
个数是解题关键．根据从正面看和从上面看得到的图形在从上面看的图形上标上所有位置小正方体的个
数，进行计算即可得答案．
解：当小正方体最少时，从上面看摆放如下：
其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数（图不唯一，第二列一个位置有2个即可，第三列
有一个位置有3个即可）
，
即搭这个几何体需要小正方体的最少个数是10，
故答案为：10．
【题型3】几何体展开图的认识
【例3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及几何体的展开图逐一判断即可，熟练掌
握几何体的展开图是解决此题的关键．
解：A、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意；
B、能折叠成原几何体的形式，符合题意；
C、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意；
D、不是这个几何体的表面展开图，不符合题意；
故选：B．
【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是 ．
【答案】三棱柱
【分析】此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何的侧面、底面图形特征即可求解．
根据几何体特征，侧面为矩形，上下底面为三角形，则图中纸片折叠起来可以得到三棱柱．
解：根据几何体特征，图中纸片折叠起来可以得到三棱柱．
故答案为：三棱柱．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）图中的长方体展开图来自于下列中（ ）长方体．A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据展开图可知，有大阴影三角形的长方体为所求．本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌
握长方体的展开图是解题关键．
解：由展开图的知识可知，A项中有阴影的面上为1个大三角形，B、C、D有阴影的面上为2小三角形，
图中的长方体展开图来自于选项A的长方体．
故选：A．
【题型4】正方体的展开图
【例4】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的
两个数互为相反数．
(1) ____________， ____________， ____________；
(2)求 的值．
【答案】(1)8，2，3 (2)
【分析】本题考查正方体的展开图，代数式求值．
（1）根据正方体的表面展开图相对的面在一行时间隔一个进行判断即可；
（2）求出x、y、z的值，再代入计算即可．
解：（1）由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“ ”与“x”是对面，
“y”与“ ”是对面，
“ ”与“z”是对面，
由于正方体相对面上所标的两个数互为相反数，
所以 ， ， ，故答案为：8，2，3；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
答： 的值为 ．
【变式1】（24-25七年级上·河北衡水·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，
有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么
的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查正方体的特征，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；根据题意易得6的对面数
字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解．
解：由图可知： 与 相邻， 与 相邻，
∴1的对面数字是5，3的对面数字是6，2的对面的数字是4，即 ，
∴ ；
故答案为7．
【变式2】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，把正方体沿某些棱剪开，得到的展开图可能是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案正方形所在的位置正好与图中的位置相反，所以能得到的图形是C．
故选：C．
【题型5】点、线、面、体四者关系
【例5】（24-25七年级上·全国·期末）如图，观察下列几何体并回答问题：
(1) 棱柱有 个面、 条棱、 个顶点， 棱锥有 个面、 条棱、 个顶点．
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面
体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数 、顶点个数 以及棱的条数 存在着一定的数量关系，
请直接写出这个关系式．
【答案】(1) ， ， ， ， ， ； (2)
【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足
的关系式是解题的关键．
（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从
而得到三者的关系为 ．
解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出 棱柱有 个面， 条棱， 个顶点，
棱锥有 个面， 条棱， 个顶点；
故答案为： ， ， ， ， ， ；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如
图：根据上表总结出这个关系为 ．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有多少个小正方体（ ）
A．6个 B．7个 C．13个 D．10个
【答案】D
【分析】根据图示：从正面看，最左侧第1列有 个小正方体，第2列有 个小正方体，
第3列有1个小正方体，求和计算即可．
本题考查了几何体中的图形规律，熟练掌握规律是解题的关键．
解：从正面看，最左侧第1列有 个小正方体，第2列有 个小正方体，第3列有1个小
正方体，
故图形中共有 个小正方体．
故选：D．
【变式2】（22-23七年级上·广东河源·期中）用数学原理分析下列生活实例：
（1）钢笔写字 ；
（2）自行车的辐条运动形成几何图形 ；
（3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ．
【答案】 点动成线 圆形 面动成体
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体进行判断即可．
解：（1）钢笔的笔尖可以近似看作是一个点，写字的笔画可以看作线，
因此钢笔写字可以解释为：点动成线，
故答案为：点动成线；
（2）行车的辐条看成线段，线动成面，可得辐条运动形成几何图形是圆形，
故答案为：圆形；（3）直角三角形看成面，根据面动成体，可得转动一周所得到的几何体为圆锥，
故答案为：面动成体．
【点拨】本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体是正确判断的前提．
【题型6】平面图形旋转后得到的立体图形
【例6】（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，有一个长 ，宽 的长方形纸板，现要求以其一
组对边中点所在直线为轴旋转 ，可按两种方案进行操作．
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）．
(1)上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________；
(2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．
【答案】(1)圆柱体，面动成体 (2)方案一得到的圆柱的体积大
【分析】本题考查点，线，面，体，圆柱体积计算，解题的关键是掌握长方形旋转可得圆柱体．
（1）根据面动成体解答即可；
（2）先分别求出所得几何体的体积再比较大小即可．
解：（1） 长方形旋转可以得到圆柱，
上述操作能形成的几何体是圆柱，说明的事实是：面动成体．
故答案为：圆柱体，面动成体
（2）方案一： ，
方案二： ，
，
方案一构造的圆柱体的体积大．
【变式1】（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不
正确的是（ ）
A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体
C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥
D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱
【答案】C
【分析】本题主要考查了面与体的关系，正确理解面与体的关系是解题的关键．根据面动成体的原理以
及空间想象力可直接选出答案．
解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意；
B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，本选项正确，不符合题意；
C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故本选项不正确，符合题意；
D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，已知正方形 的边长为3，将这个正方形绕它的
边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ．
【答案】18
【分析】本题考查的是平面图形的旋转，从不同方向看立体图形，首先根据题意可得将正方形旋转一周
可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，再找出从从左面看到的图形的形状可得答案．
解：直线 为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，
从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形，
因此面积为： ，
故答案为：18．
【题型7】截一个几何体
【例7】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）如图，在长方形 中， ， ，现将
这个长方形绕 所在的直线旋转一周．(1)旋转后形成的几何体是 ；
(2)用一个平面去截（1）中的几何体，截面形状可能是 ；(填一种即可)
(3)求旋转后的几何体其中一个底面面积．（结果保留π）
【答案】(1)圆柱 (2)圆（答案不唯一） (3)其中一个底面面积为
【分析】本题考查点、线、面、体和截几何体，解题的关键是掌握圆柱的特征．
（1）旋转得到的几何体为圆柱；
（2）截面有圆，矩形，椭圆等形状；
（3）以长方形的长 所在的直线旋转一周得到圆柱，然后根据圆柱的底面积公式进行计算即可解答．
解：（1）长方形绕一边旋转后形成的几何体为圆柱；
故答案为：圆柱；
（2）用一个平面去截圆柱，那么截面有圆、长方形、椭圆等形状；
故答案为：圆或长方形或椭圆（任意填一个即可）．
（3）圆柱的底面积为 ．
答：其中一个底面面积为 ．
【变式1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小明用四种不同的方法截同一个几何体，分别得到了下列
的图形，这个几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．球体
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，
根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面
的形状，逐一比照后，即可得到答案．
解：A、用不同的方法截圆柱，不能得到三角形，故该选项不符合题意；
B、用不同的方法截圆锥，能得到以上各种图形，故该选项符合题意；
C、用不同的方法截三棱柱，不能得到圆形，故该选项不符合题意；
D、用不同的方法截球体，不能得到三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）用平面截一个n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为 ，则这个n棱柱的棱长之和为 ．
【答案】27
【分析】本题考查截一个几何体，求棱长，根据截面最多是8边形，得到几何体为6棱柱，根据每个侧面
都是正方形，求出一条棱长，进而求出棱长和即可．
解：由题意，可知： ，
∵每个侧面都是正方形，正方形的面积为 ，
∴每条棱长为 ，
∴棱长之和为： ；
故答案为：27．
【题型8】直线、射线、线段的辨析
【例8】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列说法正确的是（ ）
A．点 在射线AB上
B．点 是直线AB的一个端点
C．点 在线段 上
D．射线 和射线AB是同一条射线
【答案】C
解：本题考查了直线，射线，线段的有关概念；由直线，射线，线段的有关概念，即可判断．
解：A、点 在射线AB的反向延长线上，故此选项不符合题意；
B、直线没有端点，故此选项不符合题意；
C、点 在线段 上，原说法正确，故此选项符合题意；
D、射线 和射线AB的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）关于线段的描述正确的有（ ）．
①线段 与线段 是同一条线段
②线段有两个端点
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线
④画一条线段 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C
【分析】本题考查线段和射线的相关定义以及表示方法，根据线段的定义确定①②，根据线段的延长线
确定③正确，根据线段的表示方法确定④．
解：①线段 与线段 是同一条线段，正确；
②线段有两个端点，正确；
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线，正确；
④画一条线段 ，原表述错误．
所以描述正确的有①②③，共3个．
故选：C．
【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个．
直线 和直线AB是同一条直线；
线段BD和线段DB是两条不同的线段；
射线 和射线AD是同一条射线．
【答案】
【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断．
解： 直线是向两个方向无限延伸的， 直线 和直线AB是同一条直线，故 正确；
线段有两个端点，不延伸， 线段BD和线段DB是同一条线段，故 不正确；
射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线 和射线AD的端点相同，延伸的方向相同，
是同一条射线，故 正确；
说法正确的有 个．
故答案为： ．
【题型9】直线、射线、线段的数量与直线相交的交点个数【例9】（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最
多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示．
(1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点；
(2)若有 条直线相交，求最多交点的个数．（用含 的代数式表示）
【答案】(1)10；15 (2)有 条直线相交，最多交点的个数为 ．
【分析】此题考查图形规律的探究．
（1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；
（2）根据（1）得到的规律，即可得解．
解：（1）三条直线交点最多为 个，
四条直线交点最多为 个，
五条直线交点最多为 个，
六条直线交点最多为 个；
故答案为：10；15；
（2）n条直线交点最多为 ．
答：有 条直线相交，最多交点的个数为 ．
【变式1】（11-12七年级上·湖北宜昌·期末）在同一平面内，三条直线两两相交，如果最多有a个交点，
最少有b个交点，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了直线相交的交点个数问题，代数式求值等知识点，熟练掌握直线的几何特性是
解题的关键．
分析可得：平面内三条直线两两相交，最多有 个交点，最少有 个交点，于是可求得 的值．
解： 平面内三条直线两两相交，最多有 个交点，最少有 个交点，
， ，
，
故答案为： ．【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论：
①以点 为端点的射线共有5条； ②以点 为端点的线段共有4条；
③射线 和射线 是同一条射线； ④直线 和直线 是同一条直线．
以上结论正确的是 ．（填序号）
【答案】 /
【分析】①本题④考④查①了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解．
解：①以点A为端点的射线有射线 ，共有5条，故该结论正确，符合题意；
②以点D为端点的线段有线段 ，共有5条，故该结论错误，不符合题意；
③射线 和射线 不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意；
④直线 和直线 是同一条直线，故该结论正确，符合题意．
综上所述，其中正确的结论是：①④．
故答案为：①④．
【题型10】尺规作图——画线段、射线、直线
【例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于
．（保留作图痕迹，不写作法〉
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规画线段以及线段的和差，利用尺规画线段的方法去作图．
解：①如答图，画射线 ．②在射线 上顺次作 ；再反向作 ．
③线段 ．线段 即为所要求作的线段．
【变式1】（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（ ）
A．画线段 厘米 B．画射线 厘米
C．在射线 上截取 厘米 D．延长线段 到C，使得
【答案】B
【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案．
解：A、线段可以度量，因此可以画线段 厘米，原说法正确，不符合题意；
B、射线无法度量，因此不可以画射线 厘米，原说法错误，符合题意；
C、在射线 上可以截取 厘米，原说法正确，不符合题意；
D、延长线段 到C，使得 ，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
【变式2】（22-23七年级上·辽宁锦州·期末）如图，已知线段 ， ，射线 ．如果按如下步骤进行
尺规作图：①在射线 上顺次截取 ；②在射线 上截取 ，那么 的长为
．
【答案】 或
【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到 ．
解：如图，当点 在点 的左侧，
；当点 在点 的右侧，
；
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意
画出图形是解题的关键．
【题型11】直线、线段的基本性质
【例11】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面内有 ， ， ， 四点．
(1)利用直尺，按照下面的要求作图：
①作射线 ；
②作线段 ；
③作直线 ．
(2)若 ， ， ， 四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站 ，要使供水站到
， ， ， 四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站 的位置．
【分析】本题考查作图 应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练
掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键；
（1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可；③根据直线的定义画图即可；
（2）线段 与直线 的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案．
解：（1）①如图所示，射线 即为所求；
②如图所示，线段 即为所求；
③如图所示，直线 即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求．【变式1】（24-25七年级上·河北承德·期中）下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了直线和线段的性质．根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项．
解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，符合题意；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来
解释，符合题意；
③从 地到 地架设电线，尽可能沿线段 架设，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合
题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合题意；
综上分析可知，正确的有2个．
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）下列三个日常现象：
其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）．
【答案】
【分析】本题主要考查了直线的性质，观察图示，根据“两点确定一条直线”可得答案．解：图 利用垂线段最短；
图 利用两点之间线段最短；
图 利用两点确定一条直线．
故答案为： ．
【题型12】线段和与差与线段中点的辨析
【例12】．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段 上任意一点，点 分别是
的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．当点C为 的中点时，
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出 ，
，当 时， ，即可推出 ，进而即可得解，解题
的关键是能正确表示线段的和差倍分．
解：A：∵M、N分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵C为 上任意一点，
∴ 不一定等于 ，
∴ 不一定等于 ，
∴A错误，不符合题意；
B：当C为 中点时， ，
∴ ，
∴ ，
∴B错误，不符合题意；
C：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴C正确，符合题意；D：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段 ， 为线段 的中点，下列式子不正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点的含义；由 为线段 的中点，得 ，再
由 ，即可得 ，从而判定A；由 ，结合 可判定B；由图形易判定
C；现有条件无法判断D正确．
解：因为 为线段 的中点，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
故A正确；
因为 ， ，
所以 ，
故B正确；
由图形知， ，
故C正确；
现有条件无法判断 ，故D不正确．
故选：D．
【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图， 在线段 上，且 ， 是线段AB
的中点， 是 的三等分点（ ），则下列结论：① ；② ；③
；④ ，其中正确的结论有 ．
【答案】 /
【分析】②本题④考④查②了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及 可得 ，进
而可得 ，得到 ，即可判断①；进而可得 ，得到 ，再根据中点的定
义得到 ，即得 ，即可判断②；由
可得 ，据此可判断③；由
，进而可判断④，正确识图是解题的关键．
解：∵ 是 的三等分点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是线段AB的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
综上，正确的有②④，
故答案为：②④．
【题型13】线段和与差与线段中点的运算
【例13】（2024七年级上·全国·专题练习）如图：A、M、N、B四点在同一直线上．
(1)若 ．
①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）；
②若 且 ，则 的长为 ；
(2)若线段 被点M、N分成了 三部分，且 的中点P和 的中点Q之间的距离是 ，求的长．
【答案】(1)①=；②21 (2)
【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键．
（1）①根据等式的性质，得出答案；②求出 的值，在求出 的长，进而求出 的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
解：（1）①∵ ，
∴ ，
即： ，
故答案为：=；
②∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：21；
（2）如图1所示，
设每份为x，则 ， ， ，
∵P是 的中点，点Q是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ．
【变式1】（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，点 在线段 的延长线上，且线段 ，第
一次操作：分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；……连续这样操作 次，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查中点公式和数轴上两点之间距离，掌握以上知识是解决此题的关键．
本题首先通过两次迭代找到规律，得到 ，然后当 代入所求规律，即可解得第 次操作
的结果．
解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
根据规律得到 ，
∴ ．
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点 ， 是线段AB上的两点，点 、 分别是
线段 ，BD的中点，若 ， ，则线段 的长度是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了线段的和差关系，分两种情况讨论，点 在 的左侧和右侧，分别画出图形，根据
中点的性质求得 ，结合图形求得 ，即可求解．
解：如图所示，
∵ ， ，
∴ cm
∵ 、 分别是线段 ，BD的中点，∴ cm
∴
如图所示，
∵ ， ，
∴
∵ 、 分别是线段 ，BD的中点，
∴
∴
故答案为： 或 ．
【题型14】探究线段间的数量关系
【例14】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知点C为线段 上的一点，点D、E分别为线段
中点．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ，且点E在点C的右侧，试探究线段 与 之间的数量关系．
【答案】(1)4 (2)
【分析】（1）根据D为线段 中点，可得 ，从而得到 ，再由E为线段
中点，可得 ，即可求解；
（2）设 ， ， ，可得 ， ，进而得到 ，
即可．
解：（1）∵D为线段 中点，
，
又 ，
，
∵E为线段 中点，，
；
（2）如图，
∵D为线段 中点，
∴设 ，
，
∴设 ， ，
∵E为线段 中点，
，
，
即 ，
， ，
．
【点拨】本题主要考查了有关线段中点的计算，线段的和与差，明确题意，准确得到线段与线段间的数
量关系是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若A，B，C三点在同一直线上，且线段
，则线段 为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况：当点 在线段 上时；当点 在 的延长线上时；
然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键．
解：分两种情况：
当点 在线段 上时，如图：
， ，
；
当点 在 的延长线上时，如图：， ，
；
综上所述：线段 的长度为 或 ，
故选： ．
【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知B、C两点把线段 分成 三部分（B
在C点左侧），M是线段 的中点，N为 中点， ．则求 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了求线段的长度，解决本题的关键是根据比例求出相关线段长．设 ，
， ， ，根据 ，得到 ，求得 ，
，根据线段中点的定义即可得到结论．
解：如下图：
、C两点把线段 分成 三部分，
设 ， ， ， ，
是线段 的中点，N为 中点，
， ，
，
，
，
， ，
，
故答案为：10．
【题型15】与线段有关的动点问题
【例15】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，线段 ，动点 从点 出发，以每秒2个
单位长度的速度沿射线 运动，点 为 的中点，设点 运动的时间为 秒．
(1)用含 的代数式表示 的长(2)当点 在射线 上运动时，出发多少秒后 ？
(3)当点 在线段 的延长线上运动时，点 为 的中点，有下列结论：① 的长度不变；②
的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值．
【答案】(1) 或 ；(2)当点 在射线 上运动时，出发 秒后 ；(3)①，12．
【分析】本题考查了线段中点以及线段的和差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是
关键．
（1）先表示出 ，再根据点 的位置分别表示出 的长即可；
（2）根据题意得 ，根据点 的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可；
（3）当点 在线段 的延长线上运动时，根据线段中点，得到 ， ，
再计算线段的和差即可．
解：（1）设点 运动的时间为 秒，则 ，
当点 在线段 上时， ，
当点 在 的延长线上时， ，
综上可知， 的长为 或 ；
（2） ，点 为 的中点，
，
①当点 在线段 上时，此时 ， ，
，
，
；
②当点 在 的延长线上时，此时 ， ，
，此方程无解；
即当点 在射线 上运动时，出发 秒后 ；
（3）当点 在线段 的延长线上运动时，
， ，
点 为 的中点，点 为 的中点，
， ，
，，
的长度不变，①结论正确；
， ，
，
的值是变的，②结论错误．
【变式1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段 ，动点P从A出发，以 的速
度沿 运动，M为 的中点，N为 的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动 后， ；
② 的值随着运动时间的改变而改变；
③ 的值不变；
④当 时，运动时间为 ．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出
的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．
解：运动 后， ， ，
M为 的中点，
，
，故①错误；
设运动t秒，则 ， ，
M为 的中点，N为 的中点，
，
，
的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
， ，
，的值不变，故③正确；
， ，
，
解得： ，故④正确；
故选：D
【变式2】（21-22七年级上·福建福州·期末）如图直线l上有AB两点， ，点O是线段AB上
的一点， ，若点C是射线AB上一点，且满足 ，则OC＝ cm．
【答案】 或
【分析】根据题意可求出 ， ．设 ，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点
C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据 ，即得
出关于x的等式，解出x即可．
解：∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴ ， ．
设 ，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故此时 ；
②当点C在OB之间时，如图，由图可知， ， ．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故此时 ；
综上可知OC的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论
的思想是解题的关键．
【题型16】两点之间距离
【例16】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）阅读感悟：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段 ，点C为线段 的中点，线段 ，请
你补全图形，并求 的长度．
以下是小华的解答过程：
解：如图2，因为线段 ，点C为线段 的中点，
所以 ______ ______ ．
因为 ，
所以 ______ ．
小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段 上，事实上，点D还可以在线段的延长线上．
完成以下问题：
(1)请填空：将小华的解答过程补充完整；
(2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时 的长度．
【答案】(1) ； ； (2)
【分析】本题考查了线段的性质、线段的和差等知识，解题的关键是读懂题意，分情况讨论．
（1）根据点C为 的中点，即可得到 与 的数量关系，若 在线段 上时，根据 和 的长
即可求得 的长；
（2）根据点C为 的中点，即可得到 与 的数量关系，若 在射线 上时，根据 和 的长
即可求得 的长．
解：（1） 线段 ，点 为线段 的中点，
，
，
当 在线段 上时，
，
故答案为： ； ；
（2）如图，当点 在射线 上时，
线段 ，点 为线段 的中点，
，
，
【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知线段 ，点 为 的中点， 是直线 上的
一点，且 ， ，则 （ ）
A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2
【答案】A【分析】此题主要考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是掌握线段的中点平分线段，正
确画出图形．首先根据题意画出图形，分两种情况：① 在 上，② 在 的延长线上，然后利用方
程思想设出未知数，表示出 、 、 和 的长即可解决问题．
解：如图1，
设 ，则 ， ，
点 为 的中点，
，
，
，
，
解得： ，
；
如图2，设 ，则 ， ，
点 为 的中点，
，
，
，
，
解得： ，
．
综上所述，线段 的长为 或 ．
故选：A．
【变式2】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段，点 分别是线段 和线段 的中点，则线段 的
长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
设 ， ，可得 ， ，然后根据 ，
求得 ，故求出 ， ，再根据中点的定义计算即可．
解：设 ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵点 分别是线段 和线段 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为 ．
【题型17】角的概念理解与表示方法
【例17】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于角的说法中，正确的个数为（ ）
①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射
线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D【分析】本题主要考查角的知识，首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，
注意不要忽略“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定
义的理解，对选项进行一一分析，排除错误答案即可．
解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①②③正确；
角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误．
故选D．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列选项中，能用 ， ， 三种方法表示同一个
角的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查角的表示方法，解决这类问题的关键是要熟练掌握角的几种表示方法．根据角的
表示方法对各选项逐一分析即可作出判断．
解：A． 顶点O处有四个角，
这四个角均不能用 表示，故本选项错误；
B． 顶点O处只有一个角，
这个角能用 ， ， 表示，故本选项正确；
C． 顶点O处有三个角，
这三个角均不能用 表示，故本选项错误；
D． 顶点O处有3个角，
这3个角均不能用 表示，故本选项错误；
故选：B．
【变式2】（2024七年级上·河南·专题练习）（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ；
（2）以A为顶点的角有 ；
（3）图中一共 个角（不包括平角）．【答案】 7
【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题：
（1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可；
（2）以 为顶点的角有三个，逐一写出即可；
（3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可．
解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有
故答案为： ．
（2）以A为顶点的角有 ；
故答案为： ．
（3）图中的角为： ， ， 共7个．
故答案为： ．
【题型18】钟面角
【例18】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是 时 分，此时，时针
和分针的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．
时针在钟面上每分钟转 ，分针每分钟转 ，由此即可算出 时 分钟时，时针、分针与12时的夹角，
即得答案．
解：∵时针在钟面上每分钟转 ，分针每分钟转 ，
∴钟表上 时 分钟时，时针从 时转过 分钟转了 ，此时时针与垂直线的夹角为
，分针从 的位置顺时针转了 ，
∴ 时 分钟时分针与时针的夹角 ．故选C．
【变式1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针
与分针的夹角是 ，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是 ，小李钻研了
分钟．
【答案】 /
【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数
关系：分针每分钟走 ，时针每分钟走 ，并且利用起点时间时针和分针的
位置关系建立方程求解．
解：分针每分钟走 ，时针每分钟走 ，
四点整时，时针和分针之间的夹角是 ，
设小李开始钻研时是4点 分，则由题意可得： ，解得 ，
即：下午4点10分时，小李开始钻研，
设结束时是4点 分，则由题意可得： ，解得 ，
即：下午4点 分时，小李结束钻研，
∴小李钻研了 分，
故答案为： ．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）1点到3点之间（包括1点和3点）钟表的时针和分针成 的时
刻有（ ）次．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】时针走一圈(360度)要12小时，即速度为 ，分针走一圈(360度)要1小时，
即速度为 ，钟面(360度)被平均分成了12等份，所以每份(相邻两个数字之间)是 ，所以
分钟后，时针走过的角度为 ，分针走过的角度为 ，列方程可得. 这道题考查的是钟面角，理解
分针每分钟转的度数，时针每分钟转的度数，根据分针与时针转的度数之间的关系，得到一元一次方程，求出答案即可.
解：由题意可知，1点整的时刻，时针与分针正好成 角；
(1)设1点 分的时刻，时针与分针成 角，则应该是分针在前，得
，
解得 ，
故1点 分的时刻，时针与分针成 角；
(2) 设1点 分的时刻，时针与分针成 角，则应该是分针在前，得
，
解得 ，
故1点 分的时刻，时针与分针成 角；
当恰好是2点时，时针与分针正好成 角；
(3) 设2点 分的时刻，时针与分针成 角，则应该是分针在前，得
，
解得 ，
故2点 分的时刻，时针与分针成 角；
(4) 设2点 分的时刻，时针与分针成 角，则应该是分针在前，得
，
解得 ，
故2点 分即3点正时，时针与分针成 角；
故选：B.
【题型19】方向角
【例19】（23-24七年级上·江苏南京·期末） ， 两个海上观测站的位置如图所示， 在灯塔 北偏东
方向上， ，则 在灯塔 的 方向．【答案】南偏东
【分析】本题考查了方位角有关的计算，由根据 即可求解，理解“从正北
方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角”是解题的关键．
解：如图，
∵ 观测站在灯塔 北偏东 方向上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 观测站在灯塔 的是南偏东 ，
故答案为：南偏东 ．
【变式1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（ ）
A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度
【答案】A
【分析】本题主要考查了方向角，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物．
点A看点B的方向是北偏东 ，是以A为标准，反之B看A的方向是A相对于B的方向与位置．
解：从点B看点A的方向为北偏西 ，那么从点A看点B的方向为南偏东 ．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图， 是北偏东 方向的一条射线，若射线 与射
线 成 角，则 的方位角是（ ）A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东
【答案】D
【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，正确求出 是解题的关键．
先根据题意得到 ，再由方位角的定义求出 ，即可得到答案．
解：如图所示：
∵射线 与射线 成 角，
∴ ，
∵ 是北偏东 方向的一条射线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的方位角是南偏东 方向，
故选：D．
【题型20】角的比较
【例20】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）比较大小：
【答案】
【分析】本题主要考查角度大小的比较，熟练掌握度分秒之间的换算即可得到答案．
解： ，
．故答案为： ．
【变式1】（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是
网格线交点，那么 与 的大小关系是 ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】＞
【分析】如图：连接 ，则 ，又 ，即 ．
解：如图：连接 ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：＞．
【点拨】本题主要考查了角的大小比较，根据方格作出 是解答本题的关键．
【变式2】（2018七年级上·全国·专题练习）已知 ， ，则 ．（填“大
于、小于或等于”）
【答案】小于
【分析】本题主要考查了角的大小比较，解答本题的关键在于熟练掌握角度的单位度、分之间的转换进
率，将角度不同单位转化成相同单位，即可求解．
解：根据 ，可得：
；
又∵ ，
∴ ．
故答案为：小于．
【题型21】与角平分线有关计算【例21】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知过 的内部任意一点C画射线 ，使
， ，若 ， 分别平分 和 ．求：
(1) 的度数；
(2)求 的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算角平分线的有关计算．
（1）直接根据 计算即可；
（2）根据题意，由角平分线定义得出 ， ，
由 计算即可得出答案．
解：（1） ， ，
∵
∴
；
（2） 平分 ， 平分 ， ， ，
∵
，
∴
∴
．
【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，点 在直线 上，射线 平分 ，射
线 平分 ，射线 在 内，下列说法中不正确的是（ ）A． 是钝角 B． 是锐角 C． 是直角 D． 是平角
【答案】D
【分析】本题主要考查角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义正确找到角的和差倍分
关系，再根据直角和平角的定义进行判断即可得到结论．
解： 在直线 上，
，
射线 平分 ，
，故C正确；
射线 平分 ，
，
是钝角，故A正确；
射线 在 内，
是锐角，故B正确；
，
不是平角，故D错误，
故选：D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从 顶点 任意作一条射线 ，若 是
的平分线， 是 的平分线， ，则 的度数为
【答案】
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握各角之间的和、差及倍数关系是解答本题的关键．
根据角平分线的定义可求得 ，即可解得 ．
解： 是 的平分线， 是 的平分线，，
，
，
故答案为： ．
【题型22】三角板中角的计算
【例22】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，若 ，求 的度数
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握
三角形板中角的度数．
（1）根据 ， ，求出 ．根据 ，得出
．
（2）根据 ， ，求出 ，根据
，求出 ，最后求出结果即可．
解：（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）由题图可知 ， ，所以 ．
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
【变式1】（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若
， 为 的角平分线，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设
，则 ，得到 ，则 ，解得 ，则
，即可求出 的度数．
解：设 ，则 ，
由题意可知， ，
，
∴
解得， ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∴
故选：D．
【变式2】（22-23七年级下·福建三明·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 在 边上，
，则 的度数是 ．【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，根据两直线平行，得同位角相等，
根据三角形外角性质求得 ，利用平角为 即可求解，解题的关键是掌握知识点的应用．
解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【题型23】与余角、补角有关计算
【例23】（21-22七年级上·山东济宁·期末）已知点O为直线 上一点， ，在 内部
作射线 ，且 恰好平分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) (2)【分析】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得
出正确结论的关键．
（1）先根据余角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据
计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解．
解：（1）如图：
，
，
平分 ，
，
；
（2） ， 平分 ，
，
，
，
，
，
．
【变式1】已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 与 互补，得到 ，结合 与 互余，得 ，则
，解答即可．
本题考查了互余，互补，熟练掌握互余，互补的意义，学会用 表示其余的两个角是解题的关键．
解：根据 与 互补，得到 ，
又 与 互余，得 ，则 ．
故选C．
【变式2】（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线AB上一点， 平分 ，
， 平分 ， 与 互余，则 °．
【答案】45
【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得 ，从而可求得
，进而得到 ，再由角平分线定义得 ，根据
计算即可．
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 与 互余，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：45．
【题型24】利用余角、补角的性质求角
【例24】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线 上一点， 是 内部一条射
线且满足 与 互补， ， 分别为 ， 的角平分线．(1) 与 相等吗？请说明理由；
(2)若 ，试求 与 的度数；
(3)若 ，试求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析 (2) ， (3)
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之
间的关系．
（1）由题意可得 ， ，可以根据同角的补角相等得到
；
（2）根据 与 互补，及 可求出 的度数，根据角平分线的定义求出
、 的度数，即可求出 的度数；
（3）根据角平分线的定义得出 ， ，再根据
得出 ，结合 与 互补即可求出 的度数．
解：（1） ；理由如下：
与 互补，
，
，
；
（2）∵ 与 互补， ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵ 为 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， 分别为 ， 的角平分线，∴ ， ，
∴ ，
∴ ①，
∵ ②，
得 ．
【变式1】（21-22六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内， ，
，点 为 反向延长线上一点（图中所有角均指小于 的角）．下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合 即可判断
①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合 即可判断②正确；由
∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共
线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．
解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，
即∠COE=∠BOE，所以①正确；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，
所以②正确；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而 ，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．
故选：C．
【点拨】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题
的关键．
【变式2】（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论：
① ；
②如果 ，则有 ；
③如果 ，则有 ；
④如果 ，必有 ．
其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号）
【答案】①②③④
【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明
可判断②；证明 可判断③；分别求出 ， 可判断④；正确识
图是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
如果 ，则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故②正确；
如果 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
如果 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∴其中正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【题型25】旋转图形中角的计算
【例25】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条
射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半
角”．如图①，若射线 ， 在 的内部，且 ，则称 是 的“内半
角”．请根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图①， ， ．若 是 的“内半角”，则 _______．
(2)如图②，已知 ，将 绕点O按顺时针方向旋转一个角度 至 ，即
，其中 ．若 是 的“内半角”，求 的度数．
(3)把一块含 的三角板 按如图③方式放置，使 边与 边重合， 边与 边重合．如图④，
将三角板 绕顶点O以每秒 的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线 ， ，
， 构成“内半角”时，请直接写出t的值．
【答案】(1) (2) (3)t的值为 或30
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算：
（1）根据题意算出 的度数，利用 即可算出 的度数；
（2）根据旋转性质可推出 和 ，然后可用含有α的式子表示
和 的度数，根据 是 的内半角，即可求出α的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可．
解：（1）∵ 是 的内半角， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，解得： ，
∴α的值为 ；
（3）①如图所示，此时 是 的内半角，
由旋转性质可知： ，
∴ ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，
解得： ；
②如图所示，此时 是 的半角，
由旋转性质可得： ，
∴ ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，
解得： ；
综上所述：当射线 构成内半角时，t的值为 或30．
【变式1】（22-23七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线 上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒 的速度旋转；同时射线 绕点O沿逆时针方向以每秒 的速度旋转．
如图2，设旋转时间为t秒（ ）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在 的情况
B．当 时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线 恰好平分
D．当 时，两射线的旋转时间t一定为40秒
【答案】C
【分析】由题意知 ， ；当 时， ；当 时，
；令 ，计算求解可判断选项A的正误；令
， ，计算求解可判断选项B、D的正误；将
代入，求出 的值，然后根据 求解 的值，根
据 与 的关系判断选项C的正误．
解：由题意知 ， ；当 时， ；当 时，
；
令 ，即 ，解得 秒，
∴存在 的情况；
故A错误，不符合题意；
令 ，即 ，解得 秒，
令 ，即 ，解得 秒，
∴当 时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；
故B、D错误，不符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴射线 恰好平分 ，故C正确，符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．
【变式2】（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图， 于点O， ，射
线 从 出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边 旋转，同时，射线 从 出发，绕点O
以每秒30°的速度顺时针向终边 旋转，当 、 中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停
止．在旋转过程中，设 ， ，则x与y之间的数量关系为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
解：设运动的时间为 秒，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
当 与 成一条直线时，则 ，
∴ .
(秒)， (秒)，
∴ 秒时停止运动.
当 时， ，∴ ，
∴ ；
当 时， ， ，
∴ .
综上所述， 与 之间的数量关系为 或 ，
故答案为： 或 ．
