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猜想 04 几何图形初步（易错必刷 40 题 17 种题型专项训练）
一．认识立体图形（共2小题）
1．（2023春•顺义区期末）下列几何体中，圆柱体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆柱的特征：上下两个底面是完全相等的圆，侧面是一个曲面即可得出答案．
【解答】解：A、是正方体，故该选项不符合题意；
B、是圆锥，故该选项不符合题意；
C、是三棱锥，故该选项不符合题意；
D、是圆柱体，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱，掌握圆柱的特征：上下两个底面是完全相等的圆，侧面是一个曲面是解题的
关键．
2．（2023春•铜仁市期末）用6个棱长为1的小正方体可以粘合形成不同形状的积木，将如图所示的两块
积木摆放在桌面上，再从下列四块积木中选择一块，能搭成一个长、宽、高分别为3、2、3的长方体的
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目的已知并结合图形分析即可解答．
【解答】解：由题意可知：要搭成一个长、宽、高分别为3、2、3的长方体，
结合图形可得：侧面缺少一个由4个小正方体，它是2×2铺成的四方体，由此排除A，C，
再从正面可知，还缺少一条边由3个小正方体组成的直条，由此排除B，
故选：D．
【点评】本题考查了认识立体图形，根据题目的已知并结合图形去分析是解题的关键．
二．点、线、面、体（共2小题）3．（2022秋•榕城区期末）下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】此题是一个平面图形绕直线旋转一周的得到的立体图形，根据面动成体的原理即可解．
【解答】解：由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周可得到圆柱体，如图立体图形是两个圆柱的组合
体，
则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在直线旋转一周即可得到．
故选：A．
【点评】本题考查点、线、面、体．解题的关键是明确点动成线，线动成面，面动成体．要注意可把较
复杂的体分解来进行分析．
4．（2022秋•鄄城县期末）如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一
个立体图形，求得到立体图形的体积．（V圆柱 ＝ r2h，V圆锥 ＝ r2h，r2＝r×r，结果保留 ）．
π π π
【分析】根据面动成体的原理可知，图中阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的
组合体．
【解答】解：图中阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的组合体，
圆柱的体积等于 ×32×4＝36 ，
π π
圆锥的体积等于 × ×32×2＝6 ，
π π所以立体图形的体积等于36 +6 ＝42 ．
【点评】本题考查了面动成体π的π相关知π识，解题关键是在于掌握圆柱和圆锥的体积公式．
三．几何体的展开图（共2小题）
5．（2022秋•姑苏区校级期末）如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．五棱柱 D．五棱锥
【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为五棱锥，所以它的底面是五边形．
【解答】解：由题意可知，该几何体为五棱锥，所以它的底面是五边形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．
6．（2022秋•邳州市期末）正方体的表面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D选项不可以拼成一个正方体，选
项C可以拼成一个正方体．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1
﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一
行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一
种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个
正方形．
四．展开图折叠成几何体（共2小题）
7．（2022秋•鄄城县期末）如图图形沿虚线经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：第一个图形缺少一个面，不能围成棱柱；
第三个图形折叠后底面重合，不能折成棱柱；
第四个图形多了一个面，不能围成棱柱，
第二个图形能围成四棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
8．（2022秋•邗江区期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，
那么应剪去 E 或 F 或 G ．（填一个字母即可）
【分析】根据正方体的展开图中每一个面都有唯一的一个对面，可得答案．
【解答】解：F的对面可能是A，G的对面可能是A，E的对面可能是C，G的对面可能是C，
将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去E或F或G．
故答案为：E或F或G．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何题，利用正方体的展开图中每一个面都有唯一的一个对面是解题
的关键．
五．直线、射线、线段（共2小题）
9．（2022秋•恩施市期末）下列说法错误的是（ ）
A．直线AB和直线BA是同一条直线
B．若线段AB＝5，AC＝3，则BC不可能是1
C．画一条5厘米长的线段
D．若线段AM＝2，BM＝2，则M为线段AB的中点
【分析】依据直线、线段的和差关系以及中点的概念进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．直线AB和直线BA是同一条直线，说法正确，不合题意；
B．若线段AB＝5，AC＝3，则BC最短为2，不可能是1，说法正确，不合题意；
C．画一条5厘米长的线段，说法正确，不合题意；
D．若线段AM＝2，BM＝2，则M不一定是线段AB的中点，故原说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线、线段的和差关系以及中点的概念，直线可用一个小写字母表示，或用两
个大写字母表示．
10．（2022秋•济南期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图．
（1）画直线AC；
（2）线段AD与线段BC相交于点O；
（3）射线AB与射线CD相交于点P．
【分析】根据直线，射线，线段的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）直线AC如图所示．
（2）线段AD与线段BC相交于点O，如图所示．
（3）射线AB与射线CD相交于点P，如图所示．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．六．直线的性质：两点确定一条直线（共2小题）
11．（2022秋•桥西区期末）经过两点可以画（ ）直线．
A．一条 B．两条 C．三条 D．无数条
【分析】根据直线的性质，即可解答．
【解答】解：经过两点可以画一条直线，
故选：A．
【点评】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
12．（2022秋•开福区期末）平面上有4个点，若过两点画直线，则可以画出直线的条数为 1 或 4 或 6
条．
【分析】分3种情况分别画出图形，进行解答即可．
【解答】解：如图1，当这4个点在一条直线上时，过这4个点可以画1条直线；
如图2，当4个点中的3个点在1条直线上时，可以画4条直线；
如图3，当这4个点两两在一条直线上时，可以画6条直线，
故答案为：1或4或6．
【点评】本题考查直线的性质，理解两点确定一条直线是正确解答的前提．
七．线段的性质：两点之间线段最短（共2小题）
13．（2022秋•达川区校级期末）如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是（ ）
A．因为③是直的 B．两点确定一条直线
C．两点间距离的定义 D．两点之间线段最短
【分析】两点之间，线段最短．根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是两点之间，线段最短．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
14．（2022秋•沈河区期末）如图，在利用量角器画一个 40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线
OB这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为
甲 同学的说法是正确的．
【分析】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，据此可得答案．
【解答】解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画
图依据，应该是两点确定一条直线，而不是两点之间线段最短．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了直线的性质，利用直线的性质是解题关键．经过一点的直线有无数条，过两点就唯
一确定．
八．两点间的距离（共6小题）
15．（2022秋•吴忠期末）已知点A、B、C在同一条直线上，若AB＝10cm，AC＝20cm，则BC的长是（
）
A．10cm B．30cm
C．20cm D．10cm或30cm
【分析】分两种情况：当点C在点A的右侧时；当点C在点A的左侧时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点C在点A的右侧时，如图：
∵AB＝10cm，AC＝20cm，
∴BC＝AC﹣AB＝20﹣10＝10（cm）；
当点C在点A的左侧时，如图：
∵AB＝10cm，AC＝20cm，
∴BC＝AC+AB＝20+10＝30（cm）；
综上所述：BC的长是10cm或30cm，故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．
16．（2022秋•和平区校级期末）两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直
线上，此时两根木条的中点之间的距离为 2 或 2 2 cm．
【分析】根据两点间的距离分两种情况计算即可．
【解答】解：当两条线段一端重合，另一端在同一方向时，
此时两根木条的中点之间的距离为12﹣10＝2（cm）；
当两条线段一端重合，另一端方向相反时，
此时两根木条的中点之间的距离为10+12＝22（cm）；
故答案为2或22．
【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是分两种情况讨论．
17．（2022秋•黄陂区期末）如图，已知AB：BC：CD＝2：3：4，M，N分别为AB，CD的中点且MN＝
18．求线段CM的长．
【分析】根据题意可设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，然后根据图形列出方程即可求出x的值，可得线段
CM的长度．
【解答】解：设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，
∵M，N分别是AB和CD的中点，
∴BM＝ AB＝x，CN＝ CD＝2x，
∵MN＝18，
∴BM+BC+CN＝18，
∴x+3x+2x＝18，
解得：x＝3，
∴CM＝BM+BC＝x+3x＝4x＝12．
【点评】本题考查线段相加减问题，涉及一元一次方程的解法．
18．（2022秋•丰泽区校级期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝ AB＝ CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC＝ AC＝ ×10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝xcm
∵BD＝ AB＝ CD
∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BE＝ AB＝ ×4x＝2xcm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4xcm
又∵EC＝12cm∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
【点评】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离
公式计算方法．
19．（2022秋•宁德期末）如图，已知点O在线段AB上，点C、D分别是AO、BO的中点
（1）AO＝ 2 CO；BO＝ 2 DO；
（2）若CO＝3cm，DO＝2cm，求线段AB的长度；
（3）若线段AB＝10，小明很轻松地求得CD＝5．他在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长
线上，原有的结论“CD＝5”是否仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得AO，BO的长，根据线段的和差，可得答案；
（3）O是AB延长线上的一点，由C、D分别是线段AO，BO的中点可得出CO，DO分别是AO，BO
的一半，因此，CO，DO的差的一半就等于AO，BO差的一半，因为，CD＝CO﹣DO，AB＝AO﹣
BO，根据上面的分析可得出CD＝ AB．因此结论是成立的．
【解答】解：（1）∵点C、D分别是AO、BO的中点
∴AO＝2CO；BO＝2DO；
故答案为：2；2．
（2）∵点C、D分别是AO、BO的中点，CO＝3cm，DO＝2cm，
∴AO＝2CO＝6cm；BO＝2DO＝4cm，
∴AB＝AO+BO＝6+4＝10cm．
（3）仍然成立，
如图：
理由：∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO＝ AO；DO＝ BO，
∴CD＝CO﹣DO＝ AO﹣ BO＝ （AO﹣BO）＝ ＝ ＝5cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段的和差得出答案．20．（2022秋•利州区校级期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同
时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ 1 2 cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ 1 ： 2 ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD．
②利用中点的性质求解．
（2）将AP用其它线段表示即可．
【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．
∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．
故答案为：12．
②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，
∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．
故答案为：1：2．
（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC．
∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．
∴AP＝ AB＝ （cm）．
【点评】本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
九．比较线段的长短（共2小题）
21．（2022秋•武安市期末）已知直线 AB上有两点M，N，且MN＝8cm，再找一点P，使MP+PN＝
10cm，则P点的位置（ ）
A．只在直线AB上
B．只在直线AB外
C．在直线AB上或在直线AB外
D．不存在【分析】分情况讨论后直接选取答案．
【解答】
解：MP+PN＝10cm＞MN＝8cm，∴分两种情况：在直线AB上或在直线AB外；故选C．
【点评】本题考查了点与点之间的距离的概念．
22．（2022秋•岳麓区校级期末）点A，B，C在直线l上．若AB＝4，AB＝2AC，则BC的长度为 2 或 6
．
【分析】分两种情况讨论：点C在AB之间，点C在BA的延长线上，依据线段的和差关系计算即可．
【解答】解：如图，若点C在AB之间，则BC＝AB﹣AC＝4﹣2＝2；
如图，若点C在BA的延长线上，则BC＝AB+AC＝4+2＝6；
故答案为：2或6．
【点评】本题主要考查了比较线段的长短，画出图形并分类讨论是解决问题的关键．
一十．角的概念（共2小题）
23．（2022秋•夏邑县期末）如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母
要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个
字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠ ，∠ ，∠ 、…）表示，或用阿拉伯数字
（∠1，∠2…）表示进行分析即可． α β γ
【解答】解：A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了角的表示方法，关键是注意用三个大写字母表示，顶点字母要写在中间；唯有
在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
24．（2022秋•南开区校级期末）下列说法正确的有（ ）
①角的大小与所画边的长短无关；
②如图，∠ABD也可用∠B表示；
③如果∠AOC＝ ∠AOB，那么OC是∠AOB的平分线；
④连接两点的线段叫做这两点之间的距离；
⑤两点之间线段最短；
⑥点E在线段CD上，若DE＝ CD，则点E是线段CD的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据角的概念、线段的性质、中点的定义以及角平分线的定义进行判断即可．
【解答】解：①角的大小与所画边的长短无关，说法正确；
②如图，∠ABD不可用∠B表示，故说法错误；
③如果∠AOC＝ ∠AOB，那么OC不一定是∠AOB的平分线，故说法错误；
④连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故说法错误；
⑤两点之间线段最短，说法正确；
⑥点E在线段CD上，若DE＝ CD，则点E是线段CD的中点，说法正确．
故选：C．【点评】本题主要考查了角的概念、线段的性质、中点的定义以及角平分线的定义，平面上任意两点间
都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”．
一十一．钟面角（共2小题）
25．（2022秋•青田县期末）钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1.5×30°+10×0.5°
＝45°+5°
＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°是解题的关键．
26．（2022秋•阿荣旗校级期末）从2点30分到2点35分，分针转过 3 0 度．
【分析】先求出2点30分到2点35分的时间，再根据分针每分钟转动6度，列出算式求出时钟的分针
转过的角度．
【解答】解：∵从2点3（0分）到2点35有5分钟时间，
∴分针旋转了6°×5＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题考查了钟面角，解题的关键是根据时针每分钟转动 0.5度，分针每分钟转动6度，列出算
式解答．
一十二．方向角（共2小题）
27．（2022秋•辛集市期末）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南
偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．
故选：D．
【点评】本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义．
28．（2022秋•高碑店市期末）如图，点A在点O的 北偏东 28 ° 方向，点B在点O的东偏南45°方向，
∠AOB＝ 10 7 °．
【分析】根据方向角的定义，并结合图形进行计算即可解答．
【解答】解：如图：点A在点O的北偏东28°方向，点B在点O的东偏南45°方向，∠AOB＝90°﹣28°+45°＝107°，
故答案为：北偏东28°；107．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
一十三．度分秒的换算（共2小题）
29．（2022秋•韩城市期末）把40°12′36″化为用度表示，下列正确的是（ ）
A．40.11° B．40.21° C．40.16° D．40.26°
【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答．
【解答】解：∵1′＝60″，
∴36″＝0.6′，
∵1°＝60′，
∴12.6′＝0.21°，
∴40°12′36″＝40.21°，
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
30．（2022秋•赵县期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝
27°40′，则∠2的度数是（ ）
A．27°40′ B．62°20′ C．57°40′ D．58°20
【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出
∠2的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；
故选：C．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出∠EAC的度数．
一十四．角平分线的定义（共3小题）
31．（2022秋•双阳区期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC
C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC
【分析】先求出2∠BON＝180°﹣2∠AOM，利用角平分线的定义再求解，∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝
180°﹣2∠BON﹣2∠CON，从而可得答案．
【解答】解：∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠BON，
∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM，
∵OC是∠MOB的平分线，
∴∠MOC＝∠BOC＝ ∠MOB，
∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，
∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON，
∴∠AOM＝2∠NOC，
故选：B．
【点评】本题考查了角的和差运算，角的平分线定义，熟练运用角的和差关系探究角与角之间的关系是
解题的关键．
32．（2022秋•河西区期末）如图，点O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，若∠AOD＝20°，则∠COB
的度数为 14 0 度．
【分析】根据角平分线的定义得到∠AOC＝2∠AOD＝40°，根据平角的定义计算即可．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOD＝40°，
∴∠COB＝180°﹣∠COA＝140°，
故答案为：140．【点评】本题考查的是角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线
叫做这个角的平分线是解题的关键．
33．（2022秋•海门市期末）点 O 是直线 AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC 的度数；
②如图2，若∠DOE＝ ，直接写出∠AOC的度数（用含 的式子表示）；
（2）将图 1中的∠COαD 绕点O按顺时针方向旋转至图 2α 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC 的度数之
间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【分析】（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据
∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解；
②解法与①相同，把①中的25°改成 即可；
（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得α ∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，
再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决．
【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；
②∵∠COD＝90°，∠DOE＝ ，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝α90°﹣ ，
又∵OE平分∠BOC， α
∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2 ，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝18α0°﹣（180°﹣2 ）＝2 ；
α α
（2）∠DOE＝ ∠AOC，理由如下：
如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，又∵OE平分∠BOC
∴∠COE＝ ∠BOC＝ （180°﹣∠AOC）＝90°﹣ ∠AOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣ ∠AOC）＝ ∠AOC．
【点评】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
一十五．角的计算（共4小题）
34．（2022秋•太仓市期末）如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．
∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（ ）
A．50° B．75° C．60° D．55°
【分析】由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合
∠MON＝∠BOM+∠BON可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+60°＝170°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠MOA＝ AOC＝85°，
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝110°﹣85°＝25°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝30°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝25°+30°＝55°．
故选：D．【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠BOM和∠BON的大
小．
35．（2022秋•南平期末）计算：8°39'+7°21'＝ 16 ° ．
【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答．
【解答】解：8°39'+7°21'
＝15°60′
＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题考查了角的计算，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
36．（2022秋•山西期末）综合与探究
特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．
①若AC＝4cm，则线段DE的长为 8 cm．
②设AC＝a cm，则线段DE的长为 8 cm．
知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一
条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝ ，∠COD＝30°，且∠DOM＝
2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含 的代数式表示α）
α
【分析】（1）①由AC＝4cm，AB＝16cm，即可推出BC＝12cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的
中点，即可推出AD＝DC＝2cm，BE＝EC＝6cm，即可推出DE的长度；
②由AC＝a cm，AB＝16cm，即可推出BC＝（16﹣a）cm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，
即可推出DE＝ （AC+BC）＝ ×（a+16﹣a）＝ ×16＝8cm；
（2）由射线 OM 平分∠AOC，射线 ON 平分∠BOC，∠AOB＝120°，即可推出∠MON＝∠MOC+∠CON＝ （∠AOC+∠COB）＝ ∠AOB＝60°；
（3）由∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，可以得到∠MOD＝ ∠AOD，∠CON＝ ∠BOC，根
据∠AOB＝ ，∠COD＝30°，∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD＝ ∠AOD+ ∠BOC+ ∠COD+
α
∠COD＝ ∠AOB+ ∠COD＝ +10°．
【解答】解：（1）①∵AC＝4cmα，AB＝16cm，
∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm），
又∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴CD＝2cm，CE＝6cm，
∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）；
故答案为：8cm；
②∵AC＝acm，AB＝16cm，
∴BC＝AB﹣AC＝（16﹣a）cm，
又∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴CD＝ acm，CE＝ （14﹣a）cm，
∴DE＝CD+CE＝ a+ （16﹣a）＝8（cm）；
故答案为：8cm；
（2）∵由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠COB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝ （∠AOC+∠COB）＝ ∠AOB＝60°，
即∠MON的度数为60°；
（3）∵∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，
∴∠MOD＝ ∠AOD，∠CON＝ ∠BOC，
∵∠AOB＝ ，∠COD＝30°，
α∴∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD
＝ ∠AOD+ ∠BOC+ ∠COD+ ∠COD
＝ （∠AOD+∠BOC+∠COD）+ ∠COD
＝ ∠AOB+ ∠COD
＝ +10°，
α
即∠MON的度数为 +10°．
【点评】本题主要考查α角的计算、角平分线和线段的中点的定义，解题的关键在于认真的进行计算，熟
练运用相关的定义和角之间的和差关系．
37．（2022秋•河北期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2两个部分的射线，叫做这个角
的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB＝2∠BOC，则OB是∠AOC的一条三分线．
（1）如图1，若∠AOC＝57°，则∠BOC＝ 19 ° ；
（2）如图2，若∠AOB＝120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC＜∠AOC．①则∠COD＝
40° ；②若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转 n°（0＜n＜90）得到∠C′OD'，当OA恰好是
∠C'OD'的三分线时，n的值为 或 ．
【分析】（1）根据∠AOB＝2∠BOC，则∠AOC＝3∠BOC，由此可得出结论；
（2）①根据OC，OD是∠AOB的三分线，且∠BOC＜∠AOC，可得∠BOC＝ ∠AOB，∠AOD＝
∠AOB，据此可得∠COD的度数；
②分两种情况：当 OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD'＞∠AOC'时，∠AOC'＝ °；当OA是
∠C′OD′的三分线，且∠AOD'＜∠AOC'时，∠AOD'＝ °，分别求得n的值．【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOC＝3∠BOC＝57°，
∴∠BOC＝19°，
故答案为：19°；
（2）①如图2，∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＜∠AOC，
∴∠BOC＝ ∠AOB＝40°，∠AOD＝ ∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB﹣∠BOC﹣∠AOD＝40°；
故答案为：40°；
②分两种情况：
当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD'＞∠AOC'时，则∠AOD′＝2∠AOC′，
∴∠AOC'＝ °，
∴∠DOC'＝40°﹣ °＝ °，
∴∠DOD'＝ °+40°＝ °；
当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD'＜∠AOC'时，∠AOC′＝2∠AOD′，
∴∠AOD'＝ ∠C′OD′＝ °，
∴∠DOD'＝40°+ °＝ °；
综上所述，n＝ 或 ．【点评】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，
解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
一十六．余角和补角（共2小题）
38．（2022秋•天河区校级期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，∠ 与∠ 互
余的是（ ） α β
A． B．
C． D．
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．余角：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个
角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
【解答】解：A、∠ 与∠ 互余，故本选项符合题意；
B、∠ ＝∠ ，但∠α 与∠β 不一定互余，故本选项不合题意；
C、∠α＝∠β，但∠α与∠β不互余，故本选项不合题意；
D、∠α与∠β 不互余α，∠ β和∠ 互补，故本选项不合题意；
故选：αA． β α β
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
39．（2022秋•襄州区校级期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：
①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是
（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【分析】根据题意得：①（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，（2）﹣（1）得出结果进行判断；
②（1）+（2）得出结果进行判断；
③（2）﹣（1）×2得出结果进行判断；
④先把（1）等式两边乘2得2（∠1+∠2）＝180°，把（2）变形后代入2（∠1+∠2）＝180°，得出结
果进行判断．
【解答】解：根据题意得：（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，
∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，
∴①正确；
（1）+（2）得，∠1+∠2+∠1+∠3＝270°，
∴∠3+∠2＝270°﹣2∠1，
∴②正确；
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，
∴③正确；
∵（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，
∴2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1
＝2（∠1+∠2）﹣∠1
＝∠1+2∠2，
∴∠3＞∠1+∠2，
∴④错误；
故选：C．
【点评】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题目的要求对两个等式进行不同的计算是
解题关键．
一十七．角的大小比较（共1小题）
40．（2022秋•安乡县期末）已知∠1＝4°18′，∠2＝4.4°，则∠1 小于 ∠2．（填“大于、小于或等
于”）
【分析】依据度分秒的换算，即可得到∠2＝4.4°＝4°24′，进而得出∠1与∠2的大小关系．
【解答】解：∵∠1＝4°18′，∠2＝4.4°＝4°24′，
∴∠1＜∠2，
故答案为：小于．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，注意角的度数越大，角越大．
