文档内容
第6讲 立体几何中的动态问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】动点轨迹问题................................................................................................................3
【考点二】折叠、展开问题............................................................................................................5
【考点三】最值、范围问题............................................................................................................6
【专题精练】.................................................................................................................................8
1 / 13
学科网（北京）股份有限公司考情分析：
“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给
静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，
将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它
们之间灵活转化．
真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点 分别
在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
2．（2022·全国·高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
2 / 13
学科网（北京）股份有限公司(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
3．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点
．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
4．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分
别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
3 / 13
学科网（北京）股份有限公司考点突破
【考点一】动点轨迹问题
一、单选题
1．（2024·四川成都·二模）在正方体 中，点 在四边形 内（含边界）运动.当
时，点 的轨迹长度为 ，则该正方体的表面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．54
2．（2024·湖南长沙·三模）已知正方体 的棱长为 是棱 的中点，空间中的动点
满足 ，且 ，则动点 的轨迹长度为（ ）
A． B．3 C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁大连·二模）在棱长为2的正方体 中，M为 中点，N为四边形
内一点（含边界），若 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．点N的轨迹长度为 D． 的取值范围为
4．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形 中，四边形 为正方形， ，
，F为AB中点，现将 沿 折起到面 位置，使得 ，则下列结论正确的
是（ ）
4 / 13
学科网（北京）股份有限公司A．平面 平面
B．若 为 的中点，则 平面
C．折起过程中， 点的轨迹长度为
D．三棱锥 的外接球的体积为
三、填空题
5．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体 中， 和 均是边长为6的等边三角形，
，则四面体 外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体 的外
接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
6．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，则
三棱锥 的外接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，动
点 的轨迹长度为 ．
规律方法：
解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
【考点二】折叠、展开问题
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图， 是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将 折
叠，形成三棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的体积为（ ）
5 / 13
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·四川泸州·三模）已知圆锥的体积为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形 中， ， ， ，
， ，将四边形 沿 进行折叠，使 到达 位置，且平面 平面 ，
连接 ， ，如图2，则（ ）
A． B．平面 平面
C．多面体 为三棱台 D．直线 与平面 所成的角为
4．（2024·福建厦门·三模）如图1，将三棱锥型礼盒 的打结点 解开，其平面展开图为矩形，如
图2，其中A，B，C，D分别为矩形各边的中点，则在图1中（ ）
A． B．
6 / 13
学科网（北京）股份有限公司C． 平面 D．三棱锥 外接球的表面积为
三、填空题
5．（2024·四川南充·二模）已知菱形 中，对角线 交于点 ， ，将 沿着 折
叠，使得 ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
6．（22-23高三上·广东·阶段练习）一个圆锥的表面积为 ，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆
柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为
.
规律方法：
画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系．
【考点三】最值、范围问题
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）如图，在棱长为2的正方体 中，内部有一个底面垂直于 的圆锥，
当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北沧州·三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体
（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体 的棱长
为 ， 为棱 上的动点，则当三棱锥 的外接球的体积最小时，三棱锥 的体积为
（ ）
7 / 13
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·湖南怀化·二模）在三棱锥 中， 平面 ，点
是三角形 内的动点（含边界）， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 与平面 所成角的大小为
B．三棱锥 的体积最大值是2
C． 点的轨迹长度是
D．异面直线 与 所成角的余弦值范围是
4．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为 的中
A B C D
1 1 1 1
点，点 为正方形 内 包含边界 的动点，则（ ）
A．满足 平面 的点 的轨迹为线段
B．若 ，则动点 的轨迹长度为
C．直线 与直线 所成角的范围为
D．满足 的点 的轨迹长度为
8 / 13
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
5．（2024·贵州·模拟预测）已知正方体 的顶点均在半径为1的球 表面上，点 在正方体
表面上运动， 为球 的一条直径，则正方体 的体积是 ，
的范围是 ．
6．（2024·浙江金华·三模）四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，且 ，
．四棱锥 的各个顶点均在球O的表面上， ， ，则直线l与平面 所成夹角
的范围为 ．
规律方法：
在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最
值．
专题精练
一、单选题
1．（2024·四川南充·二模）三棱锥 中， ， ， 为 内部
及边界上的动点， ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形 中， ．将菱形沿对角线 折叠成大小
为 的二面角 ．若点 为 的中点， 为三棱锥 表面上的动点，且总满足
，则点 轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
9 / 13
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图， 是边长为4的正三角形， 是 的中点，沿 将
折叠，形成三棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济南·三模）三棱锥 中， 平面 ， ．若该三棱锥的最长的棱长为
9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A． B． C．18 D．36
二、多选题
5．（2024·江西九江·三模）如图，正方体 的棱长为1，点 在截面 内，且 ，
则（ ）
A．三棱锥 的体积为 B．线段 的长为
C．点 的轨迹长为 D． 的最大值为
10 / 13
学科网（北京）股份有限公司6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥 的平面展开图中， ， 分别是 ， 的中点，正
方形 的边长为2，则在三棱锥 中（ ）
A． 的面积为 B．
C．平面 平面 D．三棱锥 的体积为
7．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知正四棱柱 的底面边长为1，侧棱长为2，点
为侧棱 （含端点）上的动点，直线 平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A．直线 与平面 不可能平行
B．直线 与平面 不可能垂直
C．若 且 ，则平面 截正四棱柱所得截面多边形的周长为
D．直线 与平面 所成角的正弦值的范围为
三、填空题
8．（2024·河南·模拟预测）在一个棱长为4的正方体内部有一个半径为 的小球，该小球可以在正方体内
部自由活动．当任意旋转、晃动正方体并保证小球至少与正方体的一个面相切时，小球球心的轨迹在正方
11 / 13
学科网（北京）股份有限公司体内部又会形成一个几何体，则小球球心轨迹形成的几何体的体积为 ．
9．（2024·四川南充·二模）已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角
为 ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中 ， ，且 .记直线 ， 与
平面 所成角分别为 ， ，已知 ，当三棱锥 的体积最小时，则三棱锥 外
接球的表面积为 .
四、解答题
11．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形， ， ，平面 平面
ABC，点F在AB上，且 ，M，N分别在直线CD，AB上．
(1)求证： 平面ACDE；
(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若 ，MN为直线
CD，AB的公垂线，求 的值；
(3)记直线BE与平面ABC所成角为 ，若 ，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．
12．（2024·四川南充·一模）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，点
M，N分别是线段SB，AC上的动点，且满足 .
12 / 13
学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面 ；
(2)当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值.
13 / 13
学科网（北京）股份有限公司
