文档文本内容
第07 讲 抛物线及其性质
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 抛物
的定
与
准方程
线
义
标
型
题
02 抛物
的焦点坐
及准
方程
线
标
线
型
题
03 抛物
的
迹方程
线
轨
型
题
04 抛物
上的点到定点和焦点距离的和、差最
线
值
型
题
05 焦半径问题
型
题
06 抛物
的几何性
线
质
型
题
07 抛物
中三角形
线
、四
形的面
边
积问题
型
题
08 抛物
的
用
线
实际应
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线
的焦点为
，准线为，点A，B 在上，直线AF 与抛物线
交于M，
N，
到准线的距离为3，M，O，B 三点共线，若
，则
（ ）
A．1
B．9
C．1 或9
D．9 或18
2．(多选)已知抛物线
，准线为，过焦点
的直线交抛物线
于
两点，过
分别
作的垂线，垂足分别为
，则（ ）
A．
B．若
，则直线
的斜率为
C．
三点共线（其中
为坐标原点）
D．
3．已知点
在抛物线
上，
的焦点为
，则
．
4．已知抛物线
的焦点为
，点
，
在抛物线
上，过线段
的中点
作抛物线
的准线的垂线，垂足为
，若
，则
的最小值为 ．
02 抛物线的焦点坐标及准线方程
5．已知抛物线
，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
上，则抛物线C 的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．(多选)已知曲线
上的动点
到点
的距离与其到直线
的距离相等，则（ ）
A．曲线
的轨迹方程为
B．圆
与曲线
交于A，B 两点，与
交于E，G 两点，则A，B，E，G 四点围成的四边
形的周长为14
C．若
为曲线
上的动点，则
的最小值为5
D．过点
恰有2 条直线与曲线
有且只有一个公共点
8．若抛物线
的焦点为点
，则
．
03 抛物线的轨迹方程
9．抛物线
的顶点为坐标原点，焦点在
轴上，直线
交
于
，
两点，
的准线交
轴于点
，
若
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大1 的动点
的轨迹方程是 ．
11．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小
，记动点
的轨迹为
.
(1)求轨迹
的方程.
(2)已知直线
与轨迹
交于
，
两点，以
，
为切点作两条切线，分别为，
，直线，
相交于点
.若
，求
.
12．已知动点
到点
的距离，与点
到直线：
的距离相等.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)若过点
的直线与动点
的轨迹交于
两点，且
，求直线的方程.
04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
13．已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线、直线
的距离之和的
最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
14．已知抛物线
的焦点为F，M 为C 上的动点，N 为直线
上的动点，设点M 到
y 轴的距离为d，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．(多选)设抛物线
的焦点为
为
上一动点，
为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程是
B．
的最小值为4
C．
的最大值为5
D．以线段
为直径的圆与
轴相切
05 焦半径问题
16．已知实数
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．(多选)设抛物线
（
）的焦点为
，点
在
轴上，若线段
的中点
在抛物线上，且
点
到抛物线的准线的距离为
，则（ ）
A．
B．
的坐标为
或
C．
D．直线
的方程为
18．设
为抛物线
：
的焦点，点
在
上，且在第一象限，若直线AF 的倾斜角为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
19．(多选)过抛物线
的焦点F 作直线与抛物线交于A，B 两点，O 为坐标原点，若直线
，
的
斜率分别为
，
，则（ ）
A．以
为直径的圆与x 轴相切
B．
C．
的最小值为
D．过A，B 两点分别作抛物线的切线，
，两切线，
相交于点P，则
的面积最小值为
20．已知点P 在抛物线C：
上，且点P 到C 的焦点F 的距离为
，则点P 到x 轴的距离为 .
21．已知抛物线
上的点
到焦点的距离为5，则
.
22．已知抛物线
，
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上一点，
为坐标原点，
，若
的平分线过
的中点，则点
的坐标为 ．
06 抛物线的几何性质
23．(多选)设抛物线
的焦点为
，过
的直线
交
于
、
，过
且垂直于
的直线交
于
，过点
作的垂线，垂足为
，过点
作的垂线，垂足为
，则正确的结论是（ ）
A．
B．
C．存在直线
，使得
D．对任意直线
，
24．(多选)设
为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与
交于
两
点（
在第四象限），为
的准线，则（ ）
A．的方程为
B．
C．以
为直径的圆与相交
D．
为钝角三角形
25．(多选)已知抛物线
：
的焦点为
，过
向第一象限作射线
，过点
作
的切线，切点为
，且
，则（ ）
A．点
的轨迹是抛物线的一部分
B．点
的轨迹是直线的一部分
C．
外心的轨迹是直线的一部分
D．
外心的轨迹是抛物线的一部分
26．已知抛物线
，过其焦点
作直线抛物线交于
两点，下列说法正确的是 ．
①以
为直径的圆与直线
没有公共点；②以
为直径的圆与
轴只有一个公共点；③
的最小
值为4；④
的最小值为2．
07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
27．设
为坐标原点，直线
与抛物线
交于
两点，与
的准线交于点
．若
，点
为
的焦点，则
与
的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线
绕其顶点分别逆时针旋转
后所得的三条曲线及抛物线
围成的，则下列说法错误的是（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点
的距离的最大值为
C．四叶图的面积小于6
D．动直线
被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
29．设点
为抛物线
的焦点，过
的直线交抛物线于
两点，若
，则
的面积是
.
30．设
为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与
交于
两点．
(1)求抛物线
的方程；
(2)求
的面积；
(3)若为
的准线，证明：以
为直径的圆与相切．
08 抛物线的实际应用
31．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m 后，水面
宽度为（ ）
A．
B．
C．
D．8m
32．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物
线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P 到江面的距离为100m，且
，则顶端
到桥面的距离为（ ）
A．50m
B．
C．55m
D．
33．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证
发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm．为了使反射的光
更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的
深度为 cm．
34．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的
截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与
隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为
m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆
通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m）
35．苏州市东方之门是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，门的造型是东方之门的立意基础，门
“
”
“
”
“
”
的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m
处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端
到连桥AB 的距离.
36．
如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆
悬索桥．大桥主跨OA 长约500 米，主塔AB 高约100 米，缆悬索OB 是以
为顶点且开口向上的抛物线
的一部分，若
为抛物线
的焦点，则主塔两端点A，B 到抛物线
的焦点
的距离之和约为（参考数据：
）（ ）
A．725 米
B．1358 米
C．1525 米
D．1558 米
37．已知
是抛物线
的对称轴与准线的交点，
为抛物线
的焦点，点
在抛物线
上．
在
中，若
，则
的最大值为 ．
38．已知斜率为
的直线与抛物线
交于
两点，且当直线
过
的焦点时，
在点
处的切线的交点的横坐标为
．
(1)求
的准线方程；
(2)若
，直线
与
的另一个交点为
（异于点
），是否存在实数
，使得直线
恒过定点
，
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1 的点
到焦点
的距离为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)已知
是直线
上的动点，
为抛物线的两条切线，
为切点．
①求证：直线
过定点；
②抛物线上是否存在定点
使得以
为直径的圆恰过定点
？若存在，求出点
的坐标，若不存在，请
说明理由．
40．
如图，抛物线
上纵坐标为
的点到焦点的距离为，点
，
是
上的两点，且
.
(1)求
的方程；
(2)过线段
的中点
作
轴的垂线交
于点
，过线段
的中点
作
轴的垂线交
于点
，过线
段
的中点
作
轴的垂线交
于点
，
，依此操作
次，记
的面积为
.
①求
的面积；
②证明：
.
1．（全国乙卷·高考真题）设F 为抛物线
的焦点，点A 在C 上，点
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
2．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
3．（新高考全国
卷
Ⅰ
·高考真题）已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线
的顶点到焦点的距离为3，则
．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为 .
6．（全国甲卷·高考真题）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M，N
两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最
大值时，求直线AB 的方程．
