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2025新教材数学高考第一轮复习
9.4 抛物线
五年高考
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离
为12,到y轴的距离为9,则p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线 y=x+1的距离为√2,则p=
( )
A.1 B.2 C.2√2 D.4
3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|
BF|,则|AB|= ( )
A.2 B.2√2C.3D.3√2
4.(2017课标Ⅱ文,12,5分,中)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为√3的直线交C于点M(M
在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ( )
A.√5B.2√2C.2√3D.3√3
5.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两
点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( )
(1 ) (1 )
A. ,0 B. ,0 C.(1,0) D.(2,0)
4 2
x2 y2
2.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦
3p p
点,则p= ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
2
3.(2018课标Ⅰ理,8,5分,中)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与C
3
交于M,N两点,则⃗FM·⃗FN= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.(多选)(2023 新课标Ⅱ,10,5 分,中)设 O 为坐标原点,直线 y=-√3(x-1)过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=2
8
B.|MN|=
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的
直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为2√6
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
6.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,
过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|27.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离
为 .
8.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两
点,则|AB|= .
9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C
上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
10.(2022全国甲,文21,理20,12分,难)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的
直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程;
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-
β取得最大值时,求直线AB的方程.
11.(2023全国甲理,20,12分,难)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|
AB|=4√15.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且⃗FM·⃗FN=0,求△MFN面积的最小值.
三年模拟综合基础练
1.(2024届海南海口中学检测,5)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x=4与C交
于A,B两点,且|AB|=8,则|AF|=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,7)已知抛物线y2=18x的焦点为F,准线为l,点P为C
上一点,过P作l的垂线,垂足为A,若AF的倾斜角为150°,则|PF|= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(2023四川成都二模,4)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点P(2,3),且点M为
抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.(2024届重庆巴蜀中学适应性月考(二),7)已知点F为抛物线y2=2√3x的焦点,过点F的直
线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,若⃗AF=3⃗FB,则△AOB的面积为 ( )
√3
A.3 B.2√3C.√3D.
2
5.(2023湖北武汉四调,6)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限
内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|= ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
6.(多选)(2024届广东普宁二中第一次月考,10)设F(0,√2p)为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,
O为坐标原点,A为C上一点,且|AF|=9,则 ( )
A.p=8
B.F(0,4)
√5
C.直线AF的斜率为
20
D.△AOF的面积为8√5
7.(多选)(2024 届云南昆明第一中学月考,9)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,点
A∈l,线段AF交抛物线C于点B,过点B作l的垂线,垂足为H,若⃗FA=3⃗FB,则 ( )
5
A.|⃗BH|= B.|⃗AF|=4
3
C.|⃗AF|=3|⃗BH|D.|⃗AF|=4|⃗BH|
8.(2023山东潍坊一模)已知抛物线C经过第二象限,且其焦点到准线的距离大于4,请写出
一个满足条件的C的标准方程: .
9.(2023湖南益阳三模,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)的直线l与C交于不
同的两点M,N.若|NF|=2|PF|,则|MF|= .10.(2023甘肃陇南一模,14)设F为抛物线y2=8x的焦点,A,B,C为该抛物线上不同的三点,若
⃗FA+⃗FB+⃗FC=⃗OF,O为坐标原点,则|⃗FA|+|⃗FB|+|⃗FC|= .
综合拔高练
1.(多选)(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,12)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为
F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为 ( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=2x
2.(2024届广东南粤名校素养评价,4)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|
MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p= ( )
A.2 B.2√2
C.4 D.6
3.(2023福建厦门双十中学模拟,6)已知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,动点M在C上,圆M的
半径为1,过点F的直线与圆M相切于点N,则⃗FM·⃗FN的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2023山东青岛二模,7)已知O为坐标原点,直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F,与D
及其准线依次交于 A,B,C三点(其中点B在A,C之间),若|AF|=4,|BC|=2|BF|,则△OAB的面
积是 ( )
4√3 8√3
A.√3B. C.2√3D.
3 3
5.(2024届浙江名校协作体返校联考,5)抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(√6,0)的直线与抛
|BC|
物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C.若|BF|=3,则 =( )
|AC|
3 4 5 6
A. B. C. D.
4 5 6 7
6.(多选)(2023辽宁鞍山统考,12)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l,过F的直线与
抛物线C交于A、B两点,则下列说法正确的是( )
1
A.若F(1,0),则l:x=-
2
B.若F(1,0),则弦AB最短长度为4
C.存在以AB为直径的圆与l相交
( p)
D.若直线AB:y=√3 x− ,且A点在x轴的上方,则⃗AF=3⃗FB
2
7.(2024届广东深圳开学模考,15)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且⃗AF=3⃗FB,若M为AB的中点,则M到y轴的距离为 .
8. (2024届广东仲元中学月考,15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,C
的准线l与x轴相交于点B,A为C上一点,直线AO与直线l相交于点E,若∠BOE=
∠BEF,|AF|=6,则C的标准方程为 .
9.(2023江西九江一模,14)已知点A,B分别是抛物线C:y2=-4x和圆E:x2+y2-2x+4y+4=0上的
动点,点A到直线l:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为 .
10.(2024届广东四校第一次联考,16)过P(m,-2)向抛物线x2=4y引两条切线PQ,PR,切点分
别为R,Q,又点A(0,4)在直线QR上的射影为H,则焦点F与H连线的斜率的取值范围是
.
11.(2023河北唐山二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上
一点,⃗BF=2⃗FA,|AB|=9.
(1)求C的方程;
(2)M,N,E(x ,-2)是C上的三点,若k +k =1,求点E到直线MN距离的最大值.
0 EM EN
12.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为C的焦点,过点F
的直线l与C交于H,I两点,且在H,I两点处的切线交于点T,当l与y轴垂直时,|HI|=4.
(1)求C的方程;(2)证明:|FI|·|FH|=|FT|2.
13.(2024 届湖北部分名校新起点联考,22)直角坐标系 xOy 中,已知动点 P 到定点 F
( 1) 5
0, 的距离比动点P到定直线y=− 的距离小1,记动点P的轨迹为C.
4 4(1)求轨迹C的方程;
1
(2)点 S,T 是曲线 C 上位于直线 y= 的上方的点,过点 S,T 作曲线 C 的切线交于点 Q,若
4
FS⊥FT,证明:cos∠SQT为定值.
9.4 抛物线
五年高考考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离
为12,到y轴的距离为9,则p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线 y=x+1的距离为√2,则p=
( )
A.1 B.2 C.2√2 D.4
答案 B
3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|
BF|,则|AB|= ( )
A.2 B.2√2C.3D.3√2
答案 B
4.(2017课标Ⅱ文,12,5分,中)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为√3的直线交C于点M(M
在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ( )
A.√5B.2√2C.2√3D.3√3
答案 C
5.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.
解析 (1)∵抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 到准线的距离为 2,∴p=2.∴抛物线 C 的方程为
y2=4x.
(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.
设点P(4x2,4x ),Q(x ,y ),则⃗PQ=(x -4x2,y -4x ),
0 0 1 1 1 0 1 0
∵F(1,0),∴⃗QF=(1-x ,-y ),∵⃗PQ=9⃗QF,
1 1
1
{x = (9+4x2 ),
{x −4x2=9(1−x ), 1 10 0
∴ 1 0 1 整理得
y −4x =9(−y ), 4
1 0 1 y = x ,
1 10 0
第二步:用参数x 表示k ,利用基本不等式求其最值.
0 OQy 4x
∴k =
1= 0
,
OQ x 9+4x2
1 0
当k 最大时,x >0,
OQ 0
4 4 1
≤ =
∴k = 9 2√36 3,
OQ +4x
x 0
0
9 3 1
当且仅当4x = 时取“=”,此时x = ,点P的坐标为(9,6),因此k 的最大值为 .
0 x 0 2 OQ 3
0
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两
点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( )
(1 ) (1 )
A. ,0 B. ,0 C.(1,0) D.(2,0)
4 2
答案 B
x2 y2
2.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦
3p p
点,则p= ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
2
3.(2018课标Ⅰ理,8,5分,中)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与C
3
交于M,N两点,则⃗FM·⃗FN= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
4.(多选)(2023 新课标Ⅱ,10,5 分,中)设 O 为坐标原点,直线 y=-√3(x-1)过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=28
B.|MN|=
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案 AC
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的
直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为2√6
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
答案 ACD
6.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,
过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
7.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离
为 .
9
答案
4
8.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两
点,则|AB|= .
16
答案
3
9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C
上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
3
答案 x=-
2
10.(2022全国甲,文21,理20,12分,难)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的
直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程;(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-
β取得最大值时,求直线AB的方程.
p
解析 (1)当直线MD垂直于x轴时,|MF|=p+ =3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x.
2
(2)解法一:设M(x ,y ),N(x ,y ),A(x ,y ),B(x ,y ),直线MN的方程为x=my+1,
1 1 2 2 3 3 4 4
{x=my+1,
由 得y2-4my-4=0,
y2=4x
Δ =16m2+16>0恒成立,且y y =-4.
1 1 2
y −y y −y 4
1 2= 1 2 =
由斜率公式可得k =x −x y2 y2 y + y ,
MN 1 2 1− 2 1 2
4 4
4
同理k = .
AB y + y
3 4
x −2 4(x −2)
直线MD的方程为x= 1 y+2,代入y2=4x中可得y2- 1 y-8=0.
y y
1 1
Δ >0且y y =-8,所以y =2y ,同理y =2y ,
2 1 3 3 2 4 1
4 2 k
所以k = = = MN ,
AB y + y y + y 2
3 4 1 2
又因为直线MN,AB的倾斜角分别为α,β,
k tanα
所以k =tan β= MN = ,
AB 2 2
( π)
若要使α-β最大,则β∈ 0, .
2
tanα−tanβ k 1 1 √2
= = ≤ = 1
设 k
MN
=2k
AB
=2k,k>0,则 tan(α-β)=1+tanαtanβ 1+2k2 1
+2k 2
√1
·2k
4 ,当且仅当
k
k k
√2
=2k,即k= 时,等号成立,
2
所以当α-β最大时,设直线AB的方程为x=√2y+n,
{x=√2y+n,
由 得y2−4√2y-4n=0,
y2=4x则y y =-4n=4y y =-16.
3 4 1 2
所以n=4,所以直线AB的方程为x-√2y-4=0.
解法二:由题可知,直线MN的斜率存在.
{y=k(x−1),
设M(x ,y ),N(x ,y ),A(x ,y ),B(x ,y ),直线MN:y=k(x-1),由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
1 1 2 2 3 3 4 4 y2=4x
所以x x =1,则y y =-4.
1 2 1 2
y
直线MD:y= 1 (x-2),代入抛物线方程可得x x =4,同理,x x =4.
x −2 1 3 2 4
1
结合抛物线方程可得y y =-8,所以y =2y ,同理可得y =2y ,
1 3 3 2 4 1
y −y 2(y −y ) y −y 1
4 3= 1 2 = 2 1 =
所以k AB =x 4 −x 3 4 ( 1 − 1 ) 2(x 2 −x 1 ) 2k MN .
x x
2 1
下同解法一.
11.(2023全国甲理,20,12分,难)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|
AB|=4√15.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且⃗FM·⃗FN=0,求△MFN面积的最小值.
解析 (1)设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
{x−2y+1=0,
由 消去x得y2-4py+2p=0,
y2=2px
∵直线与抛物线有两个交点A,B,∴Δ=16p2-8p>0,
1
解得p> 或p<0(舍).
2
由根与系数的关系可知,
y +y =4p,y y =2p,∴|AB|=
1 2 1 2
√ 1
1+ |y1−y2|=√1+4·√(y + y ) 2−4 y y =√5·√16p2−8p=4√15.
k2 1 2 1 2
3
解得p=2或p=- (舍).
2
∴p=2.
(2)由(1)知,抛物线的焦点为F(1,0).由题意知直线MN的斜率不可能为0,
∴设MN的方程为x=my+t,M(x ,y ),N(x ,y ),
3 3 4 4
{x=my+t,
联立 消去x得y2-4my-4t=0,
y2=4x,
∴Δ=16m2+16t>0,即m2+t>0,
由根与系数的关系得y +y =4m,y y =-4t,
3 4 3 4
∵⃗FM·⃗FN=0,∴(x -1,y )·(x -1,y )=0,即(x -1)(x -1)+y y =(my +t-1)(my +t-1)+y y
3 3 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4
=(m2+1)y y +m(t-1)(y +y )+(t-1)2
3 4 3 4
=(m2+1)(-4t)+m(t-1)·4m+(t-1)2=0,
即-4m2t-4t+4m2t-4m2+t2-2t+1=0,即4m2=t2-6t+1.
|t−1|
设F到MN的距离为d,则d= ,
√1+m2
又 |MN|=
√1+m2|y3−y4|=√1+m2·√(y + y ) 2−4 y y =√1+m2·√16m2+16t=4√1+m2·√m2+t,
3 4 3 4
1 1 |t−1|
∴S = |MN|·d= ×4√1+m2·√m2+t· =2√m2+t·|t−1|=√4m2+4t·|t-1|
△MFN 2 2 √1+m2
=√t2−2t+1|t-1|=(t-1)2.
∵4m2=t2-6t+1≥0,解得t≤3-2√2或t≥3+2√2,
∴当且仅当t=3-2√2时,S 取得最小值12-8√2.
△MFN
即△MFN面积的最小值为12-8√2.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届海南海口中学检测,5)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x=4与C交
于A,B两点,且|AB|=8,则|AF|=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B2.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,7)已知抛物线y2=18x的焦点为F,准线为l,点P为C
上一点,过P作l的垂线,垂足为A,若AF的倾斜角为150°,则|PF|= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A
3.(2023四川成都二模,4)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点P(2,3),且点M为
抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 C
4.(2024届重庆巴蜀中学适应性月考(二),7)已知点F为抛物线y2=2√3x的焦点,过点F的直
线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,若⃗AF=3⃗FB,则△AOB的面积为 ( )
√3
A.3 B.2√3C.√3D.
2
答案 C
5.(2023湖北武汉四调,6)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限
内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|= ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B
6.(多选)(2024届广东普宁二中第一次月考,10)设F(0,√2p)为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,
O为坐标原点,A为C上一点,且|AF|=9,则 ( )
A.p=8
B.F(0,4)
√5
C.直线AF的斜率为
20
D.△AOF的面积为8√5
答案 ABD
7.(多选)(2024 届云南昆明第一中学月考,9)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,点
A∈l,线段AF交抛物线C于点B,过点B作l的垂线,垂足为H,若⃗FA=3⃗FB,则 ( )
5
A.|⃗BH|= B.|⃗AF|=4
3
C.|⃗AF|=3|⃗BH|D.|⃗AF|=4|⃗BH|
答案 BC
8.(2023山东潍坊一模)已知抛物线C经过第二象限,且其焦点到准线的距离大于4,请写出
一个满足条件的C的标准方程: .答案 x2=16y(答案不唯一)
9.(2023湖南益阳三模,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)的直线l与C交于不
同的两点M,N.若|NF|=2|PF|,则|MF|= .
4
答案
3
10.(2023甘肃陇南一模,14)设F为抛物线y2=8x的焦点,A,B,C为该抛物线上不同的三点,若
⃗FA+⃗FB+⃗FC=⃗OF,O为坐标原点,则|⃗FA|+|⃗FB|+|⃗FC|= .
答案 14
综合拔高练
1.(多选)(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,12)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为
F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为 ( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=2x
答案 AC
2.(2024届广东南粤名校素养评价,4)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|
MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p= ( )
A.2 B.2√2
C.4 D.6
答案 C
3.(2023福建厦门双十中学模拟,6)已知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,动点M在C上,圆M的
半径为1,过点F的直线与圆M相切于点N,则⃗FM·⃗FN的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
4.(2023山东青岛二模,7)已知O为坐标原点,直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F,与D
及其准线依次交于 A,B,C三点(其中点B在A,C之间),若|AF|=4,|BC|=2|BF|,则△OAB的面
积是 ( )
4√3 8√3
A.√3B. C.2√3D.
3 3
答案 B
5.(2024届浙江名校协作体返校联考,5)抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(√6,0)的直线与抛
|BC|
物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C.若|BF|=3,则 =( )
|AC|3 4 5 6
A. B. C. D.
4 5 6 7
答案 A
6.(多选)(2023辽宁鞍山统考,12)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l,过F的直线与
抛物线C交于A、B两点,则下列说法正确的是( )
1
A.若F(1,0),则l:x=-
2
B.若F(1,0),则弦AB最短长度为4
C.存在以AB为直径的圆与l相交
( p)
D.若直线AB:y=√3 x− ,且A点在x轴的上方,则⃗AF=3⃗FB
2
答案 BD
7.(2024届广东深圳开学模考,15)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,
且⃗AF=3⃗FB,若M为AB的中点,则M到y轴的距离为 .
5
答案
3
9. (2024届广东仲元中学月考,15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,C
的准线l与x轴相交于点B,A为C上一点,直线AO与直线l相交于点E,若∠BOE=
∠BEF,|AF|=6,则C的标准方程为 .
答案 y2=8x
9.(2023江西九江一模,14)已知点A,B分别是抛物线C:y2=-4x和圆E:x2+y2-2x+4y+4=0上的
动点,点A到直线l:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为 .
答案 2√2
10.(2024届广东四校第一次联考,16)过P(m,-2)向抛物线x2=4y引两条切线PQ,PR,切点分
别为R,Q,又点A(0,4)在直线QR上的射影为H,则焦点F与H连线的斜率的取值范围是
.
答案 (-∞,-√3]∪[√3,+∞)
11.(2023河北唐山二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上
一点,⃗BF=2⃗FA,|AB|=9.
(1)求C的方程;
(2)M,N,E(x ,-2)是C上的三点,若k +k =1,求点E到直线MN距离的最大值.
0 EM EN
1
解析 (1)因为⃗BF=2⃗FA,所以|AF|= |AB|=3,
3p p
由⃗BF=2⃗FA,x =- ,x = 可得x =p,
B 2 F 2 A
p
由抛物线的定义可知,|AF|=p+ =3,解得p=2.
2
则C的方程为y2=4x.
(2)因为E(x ,-2)在抛物线C上,所以x =1,
0 0
设直线MN的方程为x=ty+n,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
将x=ty+n代入y2=4x,得y2-4ty-4n=0,
则y +y =4t,y y =-4n,
1 2 1 2
y +2 y +2 4
1 = 1 = 4
k =x −1 y2 y −2,同理k = ,
EM 1 1−1 1 EN y −2
2
4
4 4 4(y + y )−16 16t−16
k +k = + = 1 2 = =1,
EM EN y −2 y −2 y y −2(y + y )+4 −4n−8t+4
1 2 1 2 1 2
整理得,n=-6t+5,则直线MN的方程为x=ty-6t+5,
所以直线MN过定点T(5,6).
当ET⊥MN时,点E到直线MN的距离最大,
且最大距离为|ET|=√(5−1) 2+(6+2) 2=4√5,
经检验符合题意.
12.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为C的焦点,过点F
的直线l与C交于H,I两点,且在H,I两点处的切线交于点T,当l与y轴垂直时,|HI|=4.
(1)求C的方程;
(2)证明:|FI|·|FH|=|FT|2.
( p) p
解析 (1)由题意知 F 0, ,将 y= 代入 x2=2py,解得 x=±p,所以当 l 与 y 轴垂直时,|HI|
2 2
=2p=4,所以p=2,
故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)证明:根据题意知直线l的斜率存在,由(1)知F(0,1),设直线l的方程为y=kx+1,H(x ,y ),I(x ,y ),
1 1 2 2
{ x2=4 y,
联立 消y得x2-4kx-4=0,
y=kx+1,
所以Δ=(-4k)2+16>0,x +x =4k,x x =-4.
1 2 1 2
1 1 1 1 1
对y= x2求导,得y'= x,所以k ·k = x1· x2= ×(-4)=-1,所以TH⊥TI.
4 2 TH TI 2 2 4
1
{y−y = x (x−x ),
1 2 1 1 {x=2k,
由 得 所以T(2k,-1).
1 y=−1,
y−y = x (x−x )
2 2 2 2
证法一:当k=0时,根据对称性得|FI|=|FH|=2,|FT|=2,所以|FI|·|FH|=|FT|2;
1
当k≠0时,k ·k =- ·k=-1,所以FT⊥HI,
FT HI k
|FT| |FI|
所以△FTI∽△FHT,所以 = ,
|FH| |FT|
即|FI|·|FH|=|FT|2.综上,|FI|·|FH|=|FT|2.
证法二:因为|FH|2=x2+(y -1)2=4y +(y -1)2=(y +1)2,
1 1 1 1 1
|FI|2=x2+(y -1)2=4y +(y -1)2=(y +1)2,
2 2 2 2 2
所以|FH|2·|FI|2=(y +1)2·(y +1)2
1 2
(x2 x2 x2 x2 ) 2 [(x x ) 2 (x +x ) 2−2x x ] 2
=(y y +y +y +1)2= 1· 2+ 1+ 2+1 = 1 2 + 1 2 1 2+1 =(4k2+4)2.
1 2 1 2
4 4 4 4 16 4
又|FT|2=4k2+4,所以|FI|·|FH|=|FT|2.
13.(2024 届湖北部分名校新起点联考,22)直角坐标系 xOy 中,已知动点 P 到定点 F
( 1) 5
0, 的距离比动点P到定直线y=− 的距离小1,记动点P的轨迹为C.
4 4
(1)求轨迹C的方程;
1
(2)点 S,T 是曲线 C 上位于直线 y= 的上方的点,过点 S,T 作曲线 C 的切线交于点 Q,若
4
FS⊥FT,证明:cos∠SQT为定值.( 1) 1
解析 (1)由题意,知动点P到定点F 0, 的距离与动点P到定直线y=− 的距离相等,
4 4
p 1 1
由抛物线的定义知 C为抛物线,且焦点在y轴上,设C:x2=2py,p>0,则 = ,得p= ,则C的
2 4 2
方程为x2=y.
(2)证明:设S(x ,x2),T(x ,x2),
1 1 2 2
则⃗FS= ( x ,x2− 1) ,⃗FT= ( x ,x2− 1) ,
1 1 4 2 2 4
∵FS⊥FT,
∴⃗FS·⃗FT=x1x2+ ( x2− 1)( x2− 1) =0,
1 4 2 4
1
x2+x2
即x2x2+ = 1 2-x x (*).
1 2 16 4 1 2
由y=x2,可得y'=2x,过点S(x ,x2)的切线的斜率为k =2x ,
1 1 1 1
则切线SQ的方程为y-x2=2x (x-x )①,
1 1 1
同理切线TQ的方程为y-x2=2x (x-x )②,
2 2 2
(x +x )
联立①②解得Q 1 2,x x ,
2 1 2
1 1 (x −x )
由点 S,T 是曲线 C 上位于直线 y= 的上方的点,可知 x x <- .⃗QS= 1 2,x2−x x ,
4 1 2 4 2 1 1 2
(x −x )
⃗QT= 2 1,x2−x x ,
2 2 1 2⃗QS·⃗QT
则cos∠SQT=
|⃗QS||⃗QT|
(x −x ) 2
1 2 +x x (x −x ) 2
2 1 2 1 2
=-
√ (x −x ) 2 √ (x −x ) 2
1 2 +x2 (x −x ) 2· 2 1 +x2 (x −x ) 2
2 1 1 2 2 2 2 1
1 √ (1 ) 2
+x x +x x
4 1 2 4 1 2
=- =
√1
+x2
√1
+x2
(1 +x2)(1 +x2)
4 1 4 2 4 1 4 2
√ 1 + 1 x x +x2x2
16 2 1 2 1 2
= ,
1 1
+ (x2+x2 )+x2x2
16 4 1 2 1 2
√ 1 (x2+x2 )−x x + 1 x x
4 1 2 1 2 2 1 2 √2
结合(*)化简,得cos∠SQT= = ,
1 1 2
(x2+x2 )−x x + (x2+x2 )
4 1 2 1 2 4 1 2
即cos∠SQT为定值.
