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第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广东深圳·统考二模）若过点 的直线 与圆 交于 两点，则弦 最短时
直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
当 最短时，直线 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 的方程为 ，即 .
故选：D
2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆 ： ，直线 ： 被圆 截得的
弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 ： 被圆 截得的弦长为 ，
故选：C.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆 的直径 ，若平面内一个动点 与点 的距离是它与点
距离的 倍，则 的面积的最大值为（ ）A．64 B．12 C． D．
【答案】D
【解析】以 为原点， 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系，
则 ， ，设 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，
所以点 在以 为圆心，以 为半径的圆上， 到直线 的距离的最大值为 ，
因此 的面积的最大值为 .
故选：D
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若点 是圆 ： 上的任一点，直线 ：
与 轴、 轴分别交于 两点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【解析】 令 则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
圆 ： ，则设点 ，
当 时取得最小值 .
故选：C.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知过抛物线 焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且 ，圆 ，若抛物线C与圆 交于P，Q两点，且 ，则线段 的中点
D的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】圆 过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点 ，设 ，
依题意， ，又 ，解得 ，即 ，
则 ，解得 ，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
设 ，于是 ，而 ，
因此 ，所以线段 的中点D的横坐标 .
故选：B
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆 ： 与直线 ： 交于
、 ，当 最小时， 的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】直线 ： ，即 ，令 ，解得 ，
即直线 恒过定点 ，又 ，所以点 在圆内，所以当 时弦 最小，因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故选：B
7．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知直线 与圆 交于A，B两点，O是原点，
C是圆上一点，若 ，则a的值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由条件可知， ，
所以 ，则 ，
则 ，解得 ，
,
所以 ,
所以圆心 到直线 的距离 ，得 .
故选：C
8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知 ， ，点 为圆 上任意一
点，则 面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，直线 的方程为： ，
于是点 到直线 ： 的距离 ，而点 在圆 上，
因此点 到直线 距离的最大值为 ，又 ，所以 面积的最大值为 .
故选：D
9．（2023·福建三明·统考三模）角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，
终边所在的直线与圆 相交于 、 两点，当 面积最大时 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
故当 时， 的面积取最大值，则 ，
所以，圆心到直线 的距离为 ，
由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，即 ，其中 ，
圆 的圆心为 ，则 ，解得 ，即 ，显然 ，
因此， .
故选：D.
10．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知函数 在
上的最大值与最小值分别为 和 ，则经过函数 的图象的对称中心的直线被圆 截得的最短弦长为（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
设 ， ，
因为函数 的定义域关于原点对称，
且 ，
所以函数 为奇函数，由已知可得函数 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
因为 是奇函数，关于原点对称，
所以 关于 中心对称，
因为
则点 在圆 的内部，
因为点 到坐标原点的距离为 ，
所以所求最短弦长为 .
故选：D.
11．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图所示，该曲线W是由4个圆：
， ， ， 的一部分所构成，则下列叙述正确的是
（ ）A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆 与曲线W有8个交点，则
C． 与 的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线 的距离的最小值为4
【答案】ACD
【解析】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
所以其面积为 ，故A选项正确.
当 时，交点为B，D，F，H；当 时，交点为A，C，E，G；
当 或 时，没有交点；当 时，交点个数为8，故B选项错误.
设 与 的公切线方程为 ，
由直线和圆相切的条件可得 ，
解得 ， （ 舍去），
则其公切线方程为 ，即 ，故C选项正确.
同理可得 ， 的公切线方程为 ，
则两平行线的距离 ，故D选项正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2023·湖南·校联考二模）已知点 在圆 上，点 在圆
上，则（ ）
A．两圆外离 B． 的最大值为9
C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【解析】圆 的圆心坐标 ，半径 ，圆 ，即 的圆心坐标 ，半径 ，
所以圆心距 ，
因为 ，所以两圆外离．故A正确；
因为 在圆 上， 在圆 上，所以 ，故B、C正确；
因为圆心 到直线 的距离 ，所以 不是两圆
公切线，故D错误；
故选：ABC．
13．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．直线 能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数 ，直线 都与圆 相交
D．直线 被圆 截得的弦长的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A：直线 的方程可化为 ，
联立 ，解得
所以直线恒过定点 ，∴A正确；
对于B：由A可知，直线 不能表示直线 ，也不能表示不过点 的直线，∴B错误；
对于C，因为 ，故直线 恒过圆 内一点 ，所以直线 与圆相交，∴C正确；
对于D，当直线 时，直线被圆截得的弦长最短，因为 ，
所以最短弦长为 ，∴D正确．
故选：ACD．
14．（多选题）（2023·江苏·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ，
的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 中，
， ，点 满足 ．设点 的轨迹为 ，则（ ）．
A．轨迹 的方程为B．在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得
C．当 ， ， 三点不共线时，射线 是 的角平分线
D．在 上存在点 ，使得
【答案】BC
【解析】对于A，在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，
设 ，则 ，化简得 ，
即 ，所以A错误；
对于B，假设在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得 ，
设 ， ，则 ，
化简得 ，
由轨迹 的方程为 ，可得 ， ，
解得 ， 或 ， （舍去），所以B正确；
对于C，当 ， ， 三点不共线时， ，
可得射线 是 的角平分线，所以C正确；
对于D，若在 上存在点 ，使得 ，可设 ，
则 ，化简得 ，
与 联立，方程组无解，故不存在点 ，所以D错误．
故选：BC．
15．（多选题）（2023·全国·模拟预测）过圆 上一点P作圆 的两条切线，切点分别为
A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB与圆 相切【答案】BCD
【解析】由题意，作图如下：
设圆 与圆 的圆心为 ，则 ， ，
因为 与圆 相切，所以 ，
在 中， ，易知 ，所以 .
又 ，所以 ，故A错误，B、C正确.
故 与 交于点 ，由 与圆 相切，则 ，
由 ，则 ，易知 ，
在 中， ，
又圆 的半径为 ，所以直线 与圆 相切，故D正确.
故选：BCD.
16．（多选题）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知圆 的方程为 ，点 ，点 是
轴上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则（ ）
A．存在切点 使得 为直角 B．直线 过定点
C． 的取值范围是 D． 面积的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于A，圆的上顶点为 ，即 点，若 为直角，则 为直径，
显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以 不可能为直角，故A错误；
同理C选项的数量积也取不到 ，所以C错误；
对于B,设 ，因为 ， ， ，
则 的方程为： ，因为
化简可得： ，
同理 的方程为： ，
而 在切线 ， 上，所以
， ，
因为 在直线
故直线 的方程为 ，令 ， ，
即 过定点 ，故B正确；
对于D，圆心 到直线 的距离平方为 ，
线段 一半的平方为： ，
点 到直线 的距离的平方为： ，
所以 面积的平方为：
①，因为 ，
所以由对勾函数的性质可知当 时，①的分母取得最小值 ，所以 面积平方的最大值 ，
故 面积的最大值为 ，故 面积的取值范围是 ，故D正确.
故选：BD.
17．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知圆 与圆 ： 相内切，则实数
m的值为 ．
【答案】0或2
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以两圆的圆心距 ，
又因为两圆内切，有 或 ．
故答案为：0或2.
18．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆 ，若点 在圆 上，并且点 到直线
的距离为 ，则满足条件的点 的个数为 .
【答案】3
【解析】设 ，由点P到直线 的距离为 ，得
两边平方整理得到 ①
因为 在圆 上，所以 ，即 ②
联立①②得 ，
解得 或 ，
当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或
当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或
综上，满足条件的点P的个数为 .
故答案为：3.
19．（2023·河南开封·统考三模）已知点M在圆 上，直线 与x轴、y轴的交点分别
A、B，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 中，令 得 ，令 得 ，故 ， ．
其中 ，
设 ，点M在圆上运动时，始终有 ，
设 ，则有 ，
又有 ，可得 ，
即 ，所以 ，故 ，
∴ ．
故答案为：
20．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模）已知 的圆心在曲线 上，且 与
直线 相切，则 的面积的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 的圆心在曲线 上，故设 ,
因为 与直线 相切,
所以 到直线 的距离即为半径，
即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的面积的最小值为 .
故答案为: .21．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆 （ 为坐标原点）与直线 相切，与直线 垂直的直线
与圆 交于不同的两点 ，若 ，则直线 的纵截距的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得：圆心 到直线 的距离为圆的半径，
，所以圆 的标准方程为： ，
设直线 的方程为： ，与 联立，消去 得： ，
设直线 与圆的交点 ， ， ， ，
由△ ，得 ， ， ①，
因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ②，
由①②得 ，满足 ，即 ，
故直线 纵截距的取值范围是 ，
故答案为： .
22．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测） 中， 是边 上的点， ，
且 ．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 内是否存在点 ，使得 ？若存在，求 ；若不存
在，说明理由．
【解析】（1）由面积公式可得：
，
，
因为 ，故 ，
由 可得 即 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，设 ，
则 ，整理得到： ，
即点A的轨迹是以 圆心， 为半径的圆，
故 的 边上的高的最大值为 ，故其面积的最大值为 .
（2）因为 ，故 ，又 ，故 ，
故 为直角三角形，且 ，
假设 内存在点 ，使得 ，
法一：如图，设 ，
则 ，故 ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
故 ，故 ，
因为 为锐角，故 ，
故 存在且 ．
法二：如图，设 ，则 ，故 ，
同理 ，故 ，而 ，故 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
整理得到： ，
所以 ，
整理得到： ，解得 或 ，
但 为锐角，故 ，故 ，
故 存在且 ．
1．（2022•上海）设集合 ， ，
①存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧；
②存在直线 ，使得集合 中存在无数点在 上；
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【答案】
【解析】当 时，集合 ， ， ，
当 时，集合 ， ， ，
表示圆心为 ，半径为 的圆，
圆的圆心在直线 上，半径 单调递增，
相邻两个圆的圆心距 ，相邻两个圆的半径之和为
，
因为 有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当 时，同 的情况，故存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧，故①正确，
若直线 斜率不存在，显然不成立，
设直线 ，若考虑直线 与圆 的焦点个数，
， ，给定 ， ，当 足够大时，均有 ，
故直线 只与有限个圆相交，②错误．
故选： ．
2．（2021•北京）已知直线 为常数）与圆 交于 ， ，当 变化时，若 的最
小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】圆 ，直线 ，
直线被圆 所截的弦长的最小值为2，设弦长为 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
当弦长取得最小值2时，则 有最大值 ，
又 ，因为 ，则 ，
故 的最大值为 ，解得 ．
故选： ．
3．（2021•全国）已知点 在圆 上，则 到直线 距离的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 的圆心 到直线 的距离等于 ，
故圆 上的动点 到直线 的距离的最小值为 ．
故选： ．
4．（2020•新课标Ⅲ）若直线 与曲线 和圆 都相切，则 的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设直线 与曲线 相切于 ， ，
则由 可知，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
该方程即为直线 的方程，直线 与圆相切，
，解得 ，
故直线 的方程为 ．
故选： ．
5．（2020•新课标Ⅰ）已知圆 ，过点 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】由圆的方程可得圆心坐标 ，半径 ；
设圆心到直线的距离为 ，则过 的直线与圆的相交弦长 ，
当 最 大 时 弦 长 最 小 ， 当 直 线 与 所 在 的 直 线 垂 直 时 最 大 ， 这 时
，
所以最小的弦长 ，
故选： ．
6．（2020•新课标Ⅰ）已知 ，直线 ， 为 上的动点．过点
作 的切线 ， ，切点为 ， ，当 最小时，直线 的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】化圆 为 ，
圆心 ，半径 ．
．
要使 最小，则需 最小，此时 与直线 垂直．
直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ．
则以 为直径的圆的方程为 ．联立 ，相减可得直线 的方程为 ．
故选： ．
7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知点 在圆 上，点 ， ，则
A．点 到直线 的距离小于10 B．点 到直线 的距离大于2
C．当 最小时， D．当 最大时，
【答案】
【解析】 ， ，
过 、 的直线方程为 ，即 ，
圆 的圆心坐标为 ，
圆心到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离的范围为 ， ，
， ， ，
点 到直线 的距离小于10，但不一定大于2，故 正确， 错误；
如图，当过 的直线与圆相切时，满足 最小或最大 点位于 时 最小，位于 时 最
大），
此时 ，
，故 正确．
故选： ．
8．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法
正确的是A．若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B．若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
C．若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
D．若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
【答案】
【解析】 中，若 在圆上，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线与圆相切，
即 正确；
中，点 在圆 外，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线 与圆相交，所
以 不正确；
中，点 在直线 上，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线 与圆相切，
所以 正确；
中，点 在圆 内，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线 与圆相离，所
以 正确；
故选： ．
9．（2023•天津）过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，若
，则 的值为 ．
【答案】6．
【解析】如图，
由题意，不妨设直线方程为 ，即 ，
由圆 的圆心 到 的距离为 ，得 ，解得 ，
则直线方程为 ，
联立 ，得 或 ，即 ．
可得 ，解得 ．
故答案为：6．
10．（2023•新高考Ⅱ）已知直线 与 交于 ， 两点，写出满足“
面积为 ”的 的一个值 ．
【答案】2
【解析】由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ，
因为 的面积为 ，可得 ，
解得 ，设 所以 ，
可得 ， ， 或 ，
或 ，
圆心到直线 的距离 或 ，
或 ，
解得 或 ．
故答案为：2（或 或 或 ．
11．（2022•新高考Ⅱ）设点 ， ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】 ， ．
【解析】点 ， ， ，所以直线 关于 对称的直线的斜率为： ，所以对称直线方程为： ，即： ，
的圆心 ，半径为1，
所以 ，得 ，解得 ， ．
故答案为： ， ．
12．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 ．
【答案】 （填 ， 都正确）．
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
如图：
， 两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
， 的斜率为 ，设直线 ，即 ，
由 ，解得 （负值舍去），则 ；
由图可知， ； 与 关于直线 对称，
联立 ，解得 与 的一个交点为 ，在 上取一点 ，
该点关于 的对称点为 ， ，则 ，解得对称点为 ， ．，则 ，即 ．
与圆 和 都相切的一条直线的方程为：
（填 ， 都正确）．
故答案为： （填 ， 都正确）．
13．（2022•天津）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则
．
【答案】2．
【解析】 圆心 到直线 的距离 ，
又直线与圆相交所得的弦长为 ，
，
，
解得 ．
故答案为：2．
14．（2021•天津）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
【答案】
【解析】解假设 在 轴的上方，斜率为 的直线与 轴交于 ，
则可得 ，所以 ，如图所示，由圆 的方程可得，圆的半径为 ，
由于 为切点，所以 ，所以 ，
故答案为： ．
15．（2020•天津）已知直线 和圆 相交于 ， 两点．若 ，则 的值为 ．
【答案】5
【解析】根据题意，圆 的圆心为 ，半径为 ；
则圆心到直线 的距离 ，
若 ，则有 ，
故 ；
故答案为：5
16．（2020•浙江）已知直线 与圆 和圆 均相切，则
， ．
【答案】 ；
【解析】由条件得 ， ， ， ，
因为直线 与 ， 都相切，
故有 ， ，
则有 ，故可得 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
代入 ，解得 ，则 ，
故答案为： ； ．
