文档文本内容
1 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题07 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求线段最值的问题
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
题型五、利用二次函数求面积最值的问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：在抛物线背景下，求动点构成的线段长、图形周长或面积的最大/最小值，常涉及水平宽×铅
垂高、将军饮马等模型。
- 解题方法：设动点坐标，用两点距离或铅垂高公式表示目标量，转化为二次函数；周长最值常用对称变
换化折为直；面积最值可用割补法或水平宽×铅垂高。
- 易错提醒：忽略自变量取值范围致顶点处取不到；水平宽×铅垂高公式中铅垂高符号处理错误；将军饮
马对称点选错；未区分线段与水平/竖直距离的代数表达。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求线段最值的问题
典例1（25-26 九年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
的图象
经过
，
两点．
目 录
2 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P 是直线
上方抛物线上的一个动点，过点P 向x 轴作垂线，交线段
于点Q，求线段
的最大
值；
(3)连接
，将线段
沿x 轴向右平移
个单位长度，若线段
与抛物线无交点，请直接写出m
的取值范围．
题型模版
1.特征：在坐标系中，动点在函数图象上，求线段长度（如两点间距离）的最大值或最小值。
2.方法：设动点坐标，用两点距离公式表示线段长度的平方，转化为二次函数，配方求顶点得最值。
变式1-1（2026·湖北荆州·二模）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴
交于点
．点
是抛物线上的动点，过点
作
轴交直线
于点
，点
的横坐标为
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点
是直线
上方抛物线上一点．
①求线段
长度的最大值；
②若
，直接写出
取何值时线段
的长度最大（可用含的代数式表示
）；
(3)点
是
轴右侧抛物线上一点（不与点
重合），当点
关于直线
的对称点
落在
轴上时，求点
的坐标．
3 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式1-2（2026·河北邯郸·二模）二次函数如图，二次函数
图象的顶点为Q，恒过点
，
二次函数
图象的顶点为P．
(1)
________，Q 点的坐标________；
(2)若直线
与y 轴的交点到x 轴的距离为10，求b 的值；
(3)当
轴时，设两条抛物线交于点B，C（点B 在点C 左侧），求四边形
的面积；
(4)线段
是否存在最小值，若存在，直接写出最小值，若不存在，请说明理由．
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
典例2（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线
过点
和点
．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)已知点
是
上方的抛物线上一点，作
轴于点
，求
的最大值；
(3)当
，函数
有最小值为0，求
的值．
题型模版
1.特征：求两条或多条线段和的最小值，常含动点，需化曲为直或构造函数。
2.方法：将军饮马作对称化折线为直线；或用二次函数表示线段和，配方求顶点，注意取值范围。
变式2-1（25-26 九年级下·河南南阳·期中）如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y
4 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
轴交于点
，P 是抛物线上的任意一点，设点P 的坐标为
，过点P 作
轴于点M，作
轴于点N．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当
时，是否存在一点P，使得
的长度最大？若存在，求出m 的值及
的最大值；
若不存在，请说明理由．
(3)若在矩形
内部的抛物线上的点的纵坐标y 随x 的增大而增大，请直接写出m 的取值范围．
变式2-2（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数
的图象与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，顶点为
，点
是抛物线上
，
两点之间的一动点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)如图2，过点
作
于点
．
①求线段
的最大值；
②如图3，过点
作
轴于点
，设
，求
的最大值．
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题
典例3（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
(
)
1,0
A −
和
(
)
4,0
B
两点，其顶点为D．
5 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图，当
8
c = 时，求抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的解析式．
(2)点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD
ED
−
最大时，求点D 的坐标．
题型模版
1.特征：求两条线段差的最大值，动点在函数图象上，常利用三角形三边关系或函数建模。
2.方法：作对称点转化为共线问题（差最大用三角形三边关系），或用坐标表示差为二次函数求最值。
变式3-1（2026·江苏宿迁·二模）抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点A、B 、C ，已知(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当AD
CD
−
取最大值时，点D 的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O重合，直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
与抛物线相交于点P 、Q（点P
在左边），过点P 作x 轴平行线交抛物线于点R ，当k 发生改变时，请说明直线QR 过定点，并求定点坐标．
变式3-2（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象经过
(
)
(
)
0,3 ,
6,3
A
B
两
点，点P 为第一象限抛物线上不与点B 重合的一动点，作PD
x
⊥
轴于点D，交直线OB 于点C，设点P 的
横坐标为m．
6 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点C 为PD中点时，求m 的值；
(3)令d
PC
CD
=
−
．
①求d 关于m 的函数解析式；
②当d 随m 的增大而减小时，请直接写出m 的取值范围．
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
典例4（25-26 九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线
交x 轴于点
，
，
交y 轴于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，当
的周长最小时，请直接写出此时点P 的坐标．
题型模版
1.特征：动点形成图形，求周长最大值或最小值，常需用函数表示各边之和。
2.方法：设动点坐标，用两点距离公式表示各边，建立周长的二次函数，配方求顶点最值，注意几何约束。
变式4-1（2026·黑龙江鸡西·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x 轴交于
，
两点，与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点．
7 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线的表达式；
(2)请在y 轴上找一点M，使
的周长最小，请直接写出点M 的坐标；
变式4-2（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线
与x 轴交于点
，
，与y 轴交于点C，且B，C 两点间的距离为
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E 是线段
上一点（不与点A，B 重合），过点E 作
轴，交抛物线于点F，过点F 作
轴，交y 轴于点G，求四边形
周长的最大值及此时点E 的坐标．
题型五、利用二次函数求面积最值的问题
典例5（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
（
、为常数，且
）
与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
．
8 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点
是
轴下方抛物线上一点，连接
、
、
，当
的面积最大时，求点
的坐
标；
(3)如图2，点
是抛物线对称轴上的动点，点
是
轴上的动点，在（2）的条件下，连接
、
、
，
当
的面积最大时，求
的最小值．
题型模版
1.特征：动点在函数图象上，求三角形或四边形面积的最大值或最小值，常选水平底或铅锤高。
2.方法：设动点坐标，用铅锤法或割补法表示面积，建立二次函数，配方求顶点最值并验证范围。
变式5-1（25-26 九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，对称轴为直线
．
(1)求
，，
的值；
(2)点
是直线
上一动点（不与点
重合），过点
作
轴，交抛物线
于点
，若点
是点
关
于直线
的对称点，且点
落在
轴上，求点
的横坐标；
(3)直线
（
为不等于0 的常数）与抛物线
交于点
，求
面积的最小值．
变式5-2（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
．
9 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点
是直线
下方抛物线上一个动点，求四边形
面积的最大值及此时点
的坐标；
(3)如图2，点
为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与
轴交于点
，直线
（
为常数）交
抛物线于
、
两点（点
、
分别在抛物线对称轴的两侧），直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
．试探究
是否为定值？若为定值，求出
的值；若不是定值，请说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、解答题
1．（25-26 九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象（记
为
）与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，二次函数
的图象（记为
）经过点A，C．直
线
与两个图象
，
分别交于点M，N，与x 轴交于点P．
(1)求b，c 的值；
(2)当点P 在线段
上时，求
的最大值．
2．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线
经过
和
两点，其顶点为D．
10 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图，当
时，求抛物线
的解析式．
(2)点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2，当
最大时，求点D 的坐标．
3．（25-26 九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线
与x 轴交于
，
两点，与
y 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D 是抛物线上一点，且
，求点D 的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得
的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说
明理由．
4．（25-26 九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数
的图象与x 轴交于A，B 两点，其中A
点坐标为
，与y 轴交于点C，点
在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点P，使
周长最小，求P 点坐标；
11 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)Q 为直线
下方抛物线上一点，求
面积的最大值；
5．（25-26 九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴
交于点C，已知点A 的坐标是
，抛物线的对称轴是直线
．
(1)直接写出点B 的坐标．
(2)在对称轴上找一点P，使
的值最小，求点P 的坐标和
的最小值．
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M 作
轴，垂足为N，连接
交
于点Q．依题意补
全图形，当
的最大值时，求点M 的坐标
6．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数
的图象与
轴交于
、
两点（
在
的
左侧），与
轴交于点
，点
在抛物线上，连接
、
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点
在第一象限，连接
交
于点
．记
的面积为
，
的面积为
．当
时，则点
的横坐标
的取值范围是______；
(3)如图2，直线
交抛物线于另一点
．
①若点
、点
的横坐标分别是
、
，则
______；
②连接
、
，记
的面积为，求的最小值．
12 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
