文档文本内容
1 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题05 全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二
类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
题型二、全等三角形之倍长中线模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
【截长补短模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等。
【倍长中线模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。 结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
目 录
2 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
典例1（25-26 八年级上·上海·阶段检测）已知在
中，
，射线
、
在
内部，
分别交线段
于点
、
．
(1)如图1，若
，
，作
于点
，分别交
、
于点
、
．
①求证：
；
②若
，连接
，求
的度数；
(2)如图2，点
为
上一点，
交
于点
，连接
．若
，求
的值．
【答案】(1)①证明：
，
，
为等边三角形，
则
，
，
，
，
，
，
，
3 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
在
与
中，
，
，
；
②
(2)
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的
面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）①由
，
得到
为等边三角形，根据等边三角形的性质得到
，
，求得
，推出
证得
，根
据全等三角形的性质即可得到结论；
②证明
即可解决问题；
（2）如图2，在
上取
，连接
，推出
，根据全等三角形的性质得到
，
，证得
是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到
，即可得到结论．
【详解】（1）①略
②如图1，取
的中点
连接
，
，
，
，
，
4 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
；
（2）解：如图2，在
上取
，连接
，
，
，
5 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
．
题型模版
1.特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。
2.方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转化证
明。
变式1-1（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）学习理解：
（1）如图1，
，
，点D 为
的中点，则
的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，
，
，
，点F 为
的中点．
求证：
；
思维拓展：
6 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）如图3，在
中，
，
和
的角平分线
与
相交于点F，连接
，
，
，则
________．
【答案】（1）
；
（2）证明：如图2，延长
至点G，使
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵点F 为
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
7 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）13
【分析】（1）延长
至点E，使
，连接
，证明
，得出
的取值范围为
，从而得到
；
（2）如图2，延长
至点G，使
，连接
，证明
，
，通过
三角形面积转化得到结论；
（3）先证明
，如图3，在
上截取
，
，连接
，通过三
角形全等和三角形面积转化，得出
的面积．
【详解】解：（1）如图1，延长
至点E，使
，连接
，
∵点D 为
的中点，
∴
，
在
和
中，
8 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
（2） 略
（3）解：∵
分别平分
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
如图3，在
上截取
，
，连接
，
在
和
中，
，
∴
，
同理可得：
，
9 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
，
，
，
过点N 作
于点P，过点E 作
于点Q，
则
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
故答案为：13．
变式1-2（25-26 七年级下·辽宁阜新·期末）如图：在四边形
中，
，
，
，
分别是
，
上的点，且
，探究图中线段
，
，
之间的
数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长
到点
，使
，连接
，先证明
，再证
明
，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
(2)如图
，若在四边形
中，
，
，
分别是
、
上的点，且
，（）中结论是否仍然成立，并说明理由；
10 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)如图，在四边形
中，
，
，
分别是边
、
延长线上的点，
且
，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
【答案】(1)
；
(2)
解：（）中的结论
仍然成立．
证明：如图
中，延长
至
，使
，连接
，
∵
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
在
与
中，
，
11 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∵
，
∴
(3)
解：结论
不成立，结论：
．
证明：如图中，在
上截取
，使
，连接
，
∵
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
12 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
．
【分析】（）延长
到点
，使
，连接
，证明
和
，根据全等三
角形的性质即可求解；
（
）（）中的结论
仍然成立．如图
中，延长
至
，使
，连接
，证明
和
即可求证；
（）结论
不成立，结论：
．如图中，在
上截取
，使
，连接
，
证明
和
即可求证；
本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构
造全等三角形解决问题．
【详解】（1）解：如图，延长
到点
，使
，连接
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
，
即
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
13 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：
；
（2）略
（3）略
题型二、全等三角形之倍长中线模型
典例2 （25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，
中，D、E 在
上，
平分
，且
，
．求证：
．
【答案】
证明：如图，延长
至G，使得
，连接
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
14 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，即
为等腰三角形，
则
，
平分
，
，则
，
又
，
，
．
【分析】延长
至G，使得
，连接
，利用“
”易证
，得
，
，
根据“等边对等角”，得
，根据角平分线的定义可得
，等量代换可得
，根据“同位角相等，两直线平行”即可求证．
【详解】略
题型模版
1.特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。
2.方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化已知条件。
变式2-1（25-26 八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在
中，
是
的中点，过点
作直线
，
使
，交
的延长线于点
，求证：
．请结合图①写出完整的证明过程．
（2）如图②，
，
，
，连接
、
，
是
的中点，延长
交
于点
，
，
，则
的面积为________．
【答案】
（1）证明：∵
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
15 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
；
（2）8
【分析】（1）证明
，即可解答；
（2）过点A 作
，交
的延长线于点G，证明
，可得
，从而得到
，
，
，再结合
，可得到
，可证明
，
可得
，
，从而得到
，进而得到
，然后三角形的面积公式解
答即可．
【详解】解：（1）略
（2）如图，过点A 作
，交
的延长线于点G，
∵
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
16 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
故答案为：8．
变式2-2（25-26 八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解
决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过
构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关
知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
(1)如图1，在
中，
，
，D 是
的中点，求
边上的中线
的取值范围．经过合作交
流，得到了如下的解决方法：延长
到点E，使
，连接
，可以判定
，从而得
到
．这样就能把线段
，
，
集中在
中，再利用三角形的三边关系，即可求出
中线
的取值范围．
请你直接写出
的取值范围：______；
(2)如图2，
，点D 为
的中点，
，
，求
；
(3)如图3，在
和
中，
，
，
．连接
，
，点F 是
的中点，连接
并延长，与
相交于点G．请猜想
和
的数量关系并说明理由．
【答案】(1)
17 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)
(3)
解：
；
理由如下：延长
至点H，使
，连接
，如图：
，
∵F 是
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
18 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
；
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边
关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解；
（2）如图2，延长
交
的延长线于H，根据中点得
，证得
，求得
，
证得
为线段
的垂直平分线，然后即可求解；
（3）延长
至点H，使
，连接
，先证得
，得
，
，
再根据平行线的性质证得
，再证
，然后即可求解；
【详解】（1）解：在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为：
；
（2）解：如图2，延长
交
的延长线于H，
，
∵
，
∴
，
∵点D 是
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
19 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
为线段
的垂直平分线，
∴
；
（3）略
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 八年级上·全国·期中）如图，在
中，
，
是
边上的中线，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角
形是解决此题的关键．
延长
至点
，使得
，连接
，证明
，得到
，再结合三角形三边关
系得到
，即可解题．
【详解】解：延长
至点
，使得
，连接
，
20 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
是
边上的中线，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，
整理得
．
故选：B．
2．（25-26 八年级上·重庆江北·期末）如图，在
中，
，
和
的平分线
、
相
交于点O，
交
于点D，
交
于点E，若已知
周长为20，
，
，则
长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
21 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在
上截取点
使得
，连接
，根据角平分线的定义得到
，
，进而得到
，先证明
，得到
，再证明
，推出
，再利用三角形的周长公式求
出
的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，在
上截取点
使得
，连接
，
∵
，
∴
，
∵
和
的平分线
、
相交于点O，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴设
，
，
22 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
周长为20，
，
∴
，
即
，
解得
，
∴
，
故选：B．
3．（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，
中，
，
是
中线，有下面四个结论：
①
与
的面积相等；②
③若点
是线段
上的一个动点（点
不与点
重
合），连接
，则
的面积比
的面积大；④点
是
所在直线上的两个动点（点
与点
不重合），若
，连接
，则
．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．②③
D．①④
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关
键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长
至
，使
，易证得
，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③
进行判断；由
，
，
，易证得
，可得
，即
可对④进行判断.
【详解】解：∵
是
中线，
∴
∴
与
的面积相等，故①正确，
延长
至
，使
，如图
23 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
∴
则在
中，
，
∴
，故②正确；
点
是线段
上的一个动点(点
不与点
重合)，连接
，如图
∵
，
∴
，
又∵
与
的面积相等，
∴
的面积和
的面积相等，故③不正确，
点
是
所在直线上的两个动点(点
与点
不重合)，若
，连接
，如图，
由
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，故④正确，
24 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故选：B.
二、填空题
4．（25-26 七年级下·四川达州·阶段检测）如图，
是
的中线，在
边上取一点E，连接
交
于点F，若
，
，
，则
的度数为________．
【答案】
【分析】先证明
，则
，
，由
，得到
，则
，由于
，
，再由三角形内角和定理求解．
【详解】解：延长
至点
，使得
，连接
，
∵
是
的中线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
25 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
．
5．（25-26 八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形
中，
，
与
互补，点E、
F 分别在射线
、
上，且
，当
，
，
时，
的周长等于______．
【答案】13
【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
在
上截取
，先证
，再证
，可得
，再由
的周长
即可解答．
【详解】解：在
上取点G，使
，
∵
，
，
∴
，
在
与
中
，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
，
∵
，
26 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
在
与
中
，
∴
∴
．
∴
∴
的周长等于
，
∵
，
，
，
∴
的周长等于
故答案：
．
6．（25-26 八年级上·北京·阶段检测）如图，
是
的高，
，
，
，过
点
作
交
于点
．下列四个结论中：
①
；②当
时，
；③
；④
．
所有正确结论的序号是___________．
【答案】②④
【分析】①在线段
上截取
，连接
，可证
，得
，
，
可证
，得
，即
；
②当
时，
，由
得
，利用角的和差可证
，
即
；
③由
得
，利用角的和差可证
，则
与
不一定相等；
④由
得
，利用角的和差可证
，
，由三角形全等的性质可
27 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
证
，从而可证
．
【详解】解：①在线段
上截取
，连接
，
∵
是
的高，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
；
则①错误；
②当
时，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
28 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
；
则②正确；
③∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
即
，
则当
时，
，
此时
，
但题目中未给出
的具体值，所以
与
不一定相等；
则③错误；
④∵
，
∴
，
∴
，
由③得
，
∵
，
∴
，
则
，
∴
，
∴
；
则④正确；
故答案为：②④．
三、解答题
7．（25-26 八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图
形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
29 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【问题探究】
（1）如图1，在
中，
平分
交
于点
，
，点
在边
上，且
，连
接
，试说明：
．
【综合研究】
（2）2025 年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动
人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2 是活动场地平面示意图，在
中，
米，
校学生会在边
、
上分别取点
、，使得点
为
的中点，
于点
，在线段
上找点
，
使得
米，
为等腰直角三角形，
，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不
计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道
的长，请你帮助校学生会计算出
的长．
【答案】（1）∵
平分
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
是
的外角，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
30 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
又∵
，
∴
，
∴
．
（2）
米．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一
线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键．
（1）先证明
，得出
，从而证得
，所以
，即可得出
结论；
（2）过点
作
，交
的延长线于点
，根据等腰
的性质证明
，再根据倍
长中线证明
，最后通过等量代换求解即可．
【详解】解：（1）略
（2）过点
作
，交
的延长线于点
，如图2 所示：
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
31 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵点
是
的中点，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
米，
∴
（米），
∴
米，
∵
米，
∴
（米）．
8．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三
角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在
中，
平分
，
，求证：
；任选下面一种方法，并写出
完整的证明过程：
方法一：如图①，在
上截取
，使得
，连接
，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长
到点F，使得
，连接
，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在
中，
，
交
于点H，直接写出
之间的等量关系
________．
(3)如图④，在
中，
平分
，
，
分别为
的角平分线，
32 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，直接写出
________．
【答案】(1)
若选择方法一．
证明：如图①，在
上截取
，使得
，连接
，
∵
平分
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
若选择方法二．
证明：如图②，延长
到点F，使得
，连接
，
∵
平分
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
∴
．
∴
，
∴
，
33 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
．
(2)
(3)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质
等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）选择方法一：证明
．则
，证明
，则
，
即可得到结论；选择方法二：证明
．则
，即可得到结论；
（2）在
上取点G，使
，证明
，
，则
，即可得到
；
（3）根据角平分线的性质定理可知点D 到
的距离等于点D 到
的距离，得到
，又由
，得到
，同理，
，设
，列出方程组并解方程组即可得到答
案．
【详解】（1）略
（2）解：在
上取点G，使
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
34 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
；
（3）解：∵
平分
，
∴点D 到
的距离等于点D 到
的距离，
∴
，
∵
，
∴
，
同理，
设
，则
∴
，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
9．（25-26 八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结
论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在
中，是
的中点，若
的面积为6，则
的面积为__________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长
到点
，使
，连接
，根据
可以判定
，得出
．这样就能把线段
集中在
中，根据三角形三边关系可以
求出中线的范围．若
，则
的取值范围是__________．
【拓展应用】
①如图2，在
中，
是
的中点，
是边
上的一点，连接
，交
于点
．若
，请
判断
之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养选做题】
②如图3，在
中，是
的中点，
是
的角平分线，交
于点
，
．设
，
的面积分别为
和
，若
，试求
的最大值．
35 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】[性质探究]①3；②
；
[拓展应用]①
．理由如下：
如图2，延长
到点H，使
，连接
，
∵
是
的中点，
∴
，又
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
②
【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可；
②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可；
[拓展应用]①如图2，延长
到点H，使
，连接
，证明
得到
，
36 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，则
，利用平行线的性质和等边对等角推导出
，则
，
进而可得结论；
②作
交
于P，过E 作
于T，证明
得到
，
，
，则
；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出
，根据垂线段最短和
三角形的面积公式得到
，进而可求解．
【详解】解：[拓展应用]
①∵在
中，
是
的中点，
的面积为6，
∴
的面积为
，
故答案为：3；
②如图1，延长
到点
，使
，连接
，
∵
是
的中点，
∴
，又
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，即
，
∴
；
[拓展应用]
①略
②如图3，作
交
于P，过E 作
于T，
∵
是
的角平分线，
∴
，又
，
∴
，
37 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
，
，
∴
；
∵
是
的中点，
∴
,
设
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故
的最大值为
．
10．（25-26 八年级上·江西新余·期末）【经典再现】
（1）如图1，
为等边
外一点，
，
，
，连接
．则：
①线段
和线段
的位置关系是______（直接写出结果）．
②
______
．
【深入探究】
（2）如图2，
为等边
外一点，
，
，点M 和点N 分别为等边
的边AB
和AC 上任意一点，
，试探究线段
，
和
的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点
和点
为等边
的边
和
上任意一点”改为“点
和点
为直
线
和直线
上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段
，
和
的数量关系．
②当（2）中的点
和点
在等边
的边
和
上运动时，记
的周长为P，记
的周长
为
，则
的值是否改变？若不变，请求出
的值：若改变，请说明理由．
38 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）①
垂直平分
（或
）；②
，（2）
，（3）①当点
在
上
时，
，当点M在
延长线上时，
，当点
在
延长线上时，
，
②
．
【分析】（1）根据
、
，由线段垂直平分线的判定定理即可得出
垂直平分
，根据等
边三角形的性质求出
，再根据
，
，求出
，进而可得
，由含
直角三角形性质可得
；
（2）延长
到
使
，连接
，可得
，进而可得
，
由此得出
，
（3）①分三种情况同理（2）可以证明结论．
②由（2）可得
，由此即可得出
．
本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补
短法构造全等三角形．
【详解】（1）结论：
，
∵等边
∴
，
又∵
，
∴
垂直平分
，
∵
，等边
中，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
39 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
（2）证明：延长
到
使
，连接
，如图2，
∴
，
∵等边
中，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
同理：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即：
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
（3）①结论：当点
在
上时，
，当点
在
的延长线上时，
，当点
40 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在
的延长线上时，
，
证明：当点
在
上时，由（2）得
，
当点M 在
延长线上时，在
取
使
，则：
，连接
，如图3，
同理可证
，
∴
当点
在
延长线上时，在
取
使
，则：
，连接
，如图
4，
同理可得：
，
∴
综上所述：当点
在
上时，
，当点
在
延长线上时，
，当点M 在
延长线上时，
．
②
，
解：记
的周长为P，
由（2）得：
，
∴
，
记
的周长为Q，
，
∴
41 / 41
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
