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专题04 全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形模型之截长补短模型（难）
题型2 全等三角形模型之手拉手模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形模型之截长补短模型
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
1．（25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，AD
BC
，点E 在线段AB 上，DE
CE
、
分别是
ADC
、BCD
的角平分线，
(1)线段DE 与CE 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若
3
AD = ，
2
BC =
，求CD的长．
【答案】(1) DE
CE
⊥
，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
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（1）先根据角平分线得2
,2
EDC
ADC
DCE
BCD
=
=
，再根据AD
BC
就可得出
90
EDC
DCE
+
=
∠
∠
，
即可得出结论；
（2）在DC 上截取
3
DF
AD
=
= ，先证
ADE
FDE
△
≌△
，再证BCE
FCE
≌
，即可得出答案．
【详解】（1）解：DE
CE
⊥
，理由如下：
DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
2
,
2
ADC
EDC
BCD
DCE
=
=
，
AD
BC
，
180
ADC
BCD
+
=
，
2
2
180
EDC
DCE
+
=
，
90
EDC
DCE
+
=
，
90
DEC
=
，
DE
CE
⊥
；
（2）解：如图，在DC 上截取
3
DF
AD
=
= ，连接EF ，
DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
,
EDC
ADE
DCE
BCE
=
=
，
在ADE
和FDE
中，
AD
FD
ADE
FDE
DE
DE
=
=
=
，
(
)
SAS
ADE
FDE
≌
，
A
DFE
=
，
AD
BC
，
180
A
B
+=
，
180
DFE
CFE
+
=
，
B
CFE
=
，
在BCE
和
FCE
△
中，
BCE
FCE
B
EFC
CE
CE
=
=
=
，
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(
)
AAS
BCE
FCE
≌
，
2
BC
CF
=
= ，
2 3
5
CD
CF
DF
=
+
=
+ = ．
2．（25-26 八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可
以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问
题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，
在四边形ABCD中，AB
AD
=
，E ，F 分别是直线BC ，CD上的点．
(1)如图①，若
90
ABC
ADC
=
=
，E ，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
=
，试探究线
段EF ，BE，DF 之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，
请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若
180
ABC
ADC
+
=
，点E 在CB 的延长线上，且BE
CD
，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
=
+
，请探究
EAF
与
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
解：线段EF
BE
DF
，
，
之间的数量关系为：EF
BE
DF
=
+
，理由：
如图，延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，
∵
90
ABC
ADC
=
=
，
∴
90
ABG
ADF
=
=
，
又∵AB
AD
=
，BG
DF
=
，
∴
(
)
SAS
ABG
ADF
≌
，
∴
BAG
DAF
AF
AG
=
=
，
，
∴
FAG
DAB
=
，
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∵
1
2
EAF
BAD
=
，
∴
1
2
EAF
FAG
=
，
∴
EAF
EAG
=
，
在AEF
和AEG
中，
AE
AE
EAF
EAG
AF
AG
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AEF
AEG
≌
，
∴EF
EG
BE
BG
=
=
+
，
∴EF
BE
DF
=
+
；
(2)
解：
1
180
2
EAF
DAB
=
−
，理由：
如图，在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，
180
ABC
ADC
+
=
，
180
ABC
ABE
+
=
，
ADC
ABE
=
，
AB
AD
=
，DG
BE
=
，
(
)
SAS
ABE
ADG
≌
，
AG
AE
DAG
BAE
=
=
，
，
EF
BE
DF
DG
BE
=
+
=
，
，
EF
DG
DF
GF
=
+
=
，
在AEF
和AGF
中，
AE
AG
FA
FA
EF
GF
=
=
=
，
(
)
SSS
AEF
AGF
≌
，
FAE
FAG
=
，
360
FAE
EAG
FAG
+
+
=
，
EAG
BAE
BAG
=
+
，
(
)
2
360
FAE
BAE
BAG
+
+
=
，
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=
DAG
BAE ，
(
)
2
360
FAE
DAG
BAG
+
+
=
，
即2
360
EAF
DAB
+
=
，
(
)
1
1
360
180
2
2
EAF
DAB
DAB
=
−
=
−
．
【分析】（1）延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，通过证明ABG
ADF
≌
，得到对应角、对应边相等，
继而得证AEF
AEG
≌
，得到EF
EG
BE
DF
=
=
+
．
（2）在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，通过证明ABE
ADG
≌
，得到对应角、对应
边相等，继而得证AEF
AGF
≌
，得到
FAE
FAG
=
，根据圆周角为360，得到
1
180
2
EAF
DAB
=
−
．
【详解】（1）略
（2）略
3．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
ADC
+
=
，E 、F 分
别是边BC 、CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当
90
B
ADC
=
=
时．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ．
请你在图1 中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明ABE
≌_____；再证明了
AEF≌
△
_____，即可得出BE，EF ，FD之间的数量关
系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当
180
B
ADC
+
=
时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你
的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若E 、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF ，BE，FD之间
的数量关系为_____．（不用证明）
【答案】(1)图见解析，
ADG
△
，AGF
，EF
BE
FD
=
+
(2)成立，证明见解析
(3) EF
BE
DF
=
−
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
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（1）根据题意，画出图形，先证明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，即可得出结论；
（2）延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，即可得出
结论；
（3）在BC 上取一点G ，使BG
DF
=
，先证明ABG
ADF
≌
，再证明AEG
AEF
≌
，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
解题思路为：先证明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，即可得出
,
,
BE EF FD 之间的数量关系为
EF
BE
FD
=
+
；
故答案为：
ADG
△
，AGF
，EF
BE
FD
=
+
；
（2）解：成立，证明如下：
延长FD到点G ，使DG
BE
=
，则
180
ADF
ADG
+
=
，
∵
180
B
ADC
+
=
，
∴
B
ADG
=
，
∵AB
AD
=
，
∴ABE
ADG
≌
，
∴AG
AE
=
，1
3
= ，
∵
1
2
EAF
BAD
=
，
∴
1
1
2
2
BAD
=
+
，
∴
1
3
2
2
BAD
=
+
，即：
1
2
FAG
BAD
=
，
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∴
EAF
FAG
=
，
又AF
AF
=
，
∴AEF
AGF
≌
，
∴EF
GF
=
，
∵GF
DF
DG
=
+
，
∴EF
DF
BE
=
+
；
（3）解：在BC 上取一点G ，使BG
DF
=
，
∵
180
ADF
ADC
=
+
，
180
B
ADC
+
=
，
∴
B
ADF
=
，
又AB
AD
=
，
∴ABG
ADF
≌
，
∴AG
AF
=
，
1
2
= ，
∴
1
1
3
2
3
2
EAF
BAD
+ = + =
=
，
∴
1
2
GAE
BAD
EAF
=
=
，
又AE
AE
=
，
∴AGE
AFE
≌
，
∴EF
EG
BE
BG
BE
DF
=
=
−
=
−
．
故答案为：EF
BE
DF
=
−
．
◆题型2 全等三角形模型之手拉手模型
【常见模型及证法】
1）双等边三角形型
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条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
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条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
4．（25-26 八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形ABC
和AEF
创作几何艺术
装置．其中AB
AC
=
，AE
AF
=
，
CAB
EAF
=
，BE交FC 于O点．请你解决以下关于这个艺术装置的
几何问题
(1)直角风格的装置
如图1，当
90
CAB
=
时，求证：BE
CF
=
，BE
CF
⊥
；
(2)六十度风格的装置
如图2 ，当
60
CAB
=
时，求
BOC
的度数；
(3)猜想：任意顶角的装置
当
CAB
=
时(0
90 )
，
BOC
的度数为________（直接用含的式子表示）
【答案】(1)证明：设BE、AC 交于点Q ，
CAB
EAF
=
，
CAB
CAE
EAF
CAE
+
=
+
，即
FAC
EAB
=
．
在FAC
与
EAB
△
中，
AB
AC
FAC
EAB
AE
AF
=
=
=
，
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(
)
SAS
FAC
EAB
≌
，
BE
CF
=
，
EBA
ACF
=
．
90
CAB
=
，
90
EBA
BQA
+
=
．
BQA
CQE
=
，
90
ACF
CQE
+
=
，
180
90
90
COQ
=
−
=
，
BE
CF
⊥
；
(2)
60
BOC
=
(3)
【分析】
（1）由
CAB
EAF
=
，可得
FAC
EAB
=
，证明FAC
EAB
≌
，得到BE
CF
=
，EBA
ACF
=
，
结合
BQA
CQE
=
，即可得出结论；
（2）由
CAB
EAF
=
，可得
FAC
EAB
=
，证明FAC
EAB
≌
，得到
EBA
ACF
=
，结合
BQA
CQE
=
，即可解答；
（3）根据（2）中的方法进行解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：设BE、AC 交于点Q ，
CAB
EAF
=
，
CAB
CAE
EAF
CAE
+
=
+
，即
FAC
EAB
=
．
在FAC
与
EAB
△
中，
AB
AC
FAC
EAB
AE
AF
=
=
=
(
)
SAS
FAC
EAB
≌
，
EBA
ACF
=
．
BQA
CQE
=
，
180
FCA
BOC
CQO
+
+
=
，
180
EBA
BAC
BQA
+
+
=
，
60
BOC
CAB
=
=
；
（3）解：
CAB
EAF
=
，
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CAB
CAE
EAF
CAE
+
=
+
，即
FAC
EAB
=
．
在FAC
与
EAB
△
中，
AB
AC
FAC
EAB
AE
AF
=
=
=
(
)
SAS
FAC
EAB
≌
，
EBA
ACF
=
．
BQA
CQE
=
，
180
FCA
BOC
CQO
+
+
=
，
180
EBA
BAC
BQA
+
+
=
，
BOC
CAB
=
=
．
5．（25-26 七年级下·山东济南·期中）ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
．
(1)如图1，点
,
D E 在
,
AB AC 上，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点D在ABC
内部，点E 在ABC
外部，连接
,
BD CE ，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系和位置关
系？请说明理由．
(3)如图3，点
,
D E 都在ABC
外部，连接BD，CE ，CD，EB，BD与CE 相交于F 点．若
6
BD =
，求四
边形BCDE 的面积．
【答案】(1) BD
CE
=
，理由见解析
(2) BD
CE
=
，BD
CE
⊥
，理由见解析
(3)18
【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．
（1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）延长BD，分别交AC 、CE 于F、G，证明
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，根据全等三角形的性质、垂直的定
义解答；
（3）同理证明
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，得到
6
BD
CE
=
=
，BD
CE
⊥
，再根据
BCE
DCE
BCDE
S
S
S
=
+
四边形
计算，
求出四边形BCDE 的面积．
【详解】（1）解：BD
CE
=
，理由如下：
∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
∴AB
AD
AC
AE
−
=
−
，
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∴BD
CE
=
；
（2）解：BD
CE
=
，BD
CE
⊥
，理由如下：
延长BD，分别交AC 、CE 于F、G，
∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
90
BAC
DAE
=
=
，
∵
BAD
BAC
DAC
=
−
，
CAE
DAE
DAC
=
−
，
∴
BAD
CAE
=
，
在ABD
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴BD
CE
=
，
ABD
ACE
=
，
∵
AFB
GFC
=
，
∴
90
CGF
BAF
=
=
，即BD
CE
⊥
；
（3）解：如图，BD与AC 相交于O点
∵ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
90
BAC
DAE
=
=
，
∵
BAD
BAC
DAC
=
+
，
CAE
DAE
DAC
=
+
，
∴
BAD
CAE
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴
6
BD
CE
=
=
，
ABD
ACE
=
，
∵
AOB
FOC
=
，
∴
90
BFC
BAC
=
=
，
即BD
CE
⊥
，
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∴
1
1
1
1
6 6
18
2
2
2
2
BCE
DCE
BCDE
S
S
S
CE
BF
CE
DF
CE
BD
=
+
=
+
=
=
=
四边形
．
6．
（25-26 七年级下·河南郑州·期中）
【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，
则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手
模型”．
(1)【初步把握】如图1，ABC
与ADE
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
BAC
DAE
=
，则有
ABD
△
≌ ；线段BD和CE 的数量关系是 ；
(2)【深入研究】如图2，ABC
和ADE
是都是等腰三角形，即AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
90
BAC
DAE
=
=
，
B，C，D 在同一条直线上．请判断线段BD与CE 存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，直线1
2
l
l
⊥
，垂足为点O，2l 上有一点M 在点O 右侧且
4
OM =
，点N 是1l 上一个
动点，连接MN ，在MN 下方作等腰直角三角形NMP ，MN
MP
=
，
90
NMP
=
，连接OP ．请直接写出
线段OP 的最小值及此时ON 的长度．
【答案】(1)
ACE
△
；BD
CE
=
(2) BD
CE
=
；BD
CE
⊥
；理由见解析
(3)4；4
【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是
掌握全等三角形判定定理．
（1）由
BAC
DAE
=
，可得
BAD
CAE
=
，根据SAS可得ABD
ACE
≌
，则可得出结论；
（2）由
90
BAC
DAE
=
=
，得
BAD
CAE
=
，即可证
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，有BD
CE
=
，ACE
ABC
=
，
而ABC
是等腰三角形且
90
BAC
=
，知
45
ABC
ACB
=
=
，故
45
ACE
ABC
=
=
，即可得
45
45
90
BCE
ACB
ACE
=
+
=
+
=
，BD
CE
⊥
；
（3）证明
45
O MO
=
，当OP 有最小，即O P
最小，即垂线段最短，当O P
y
⊥
轴时，O P
最小，则可
得出答案．
【详解】（1）∵
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
在ABD
和
ACE
△
中，
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AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
；
故答案为：
ACE
△
；BD
CE
=
；
（2）解：BD与CE 的数量关系是BD
CE
=
，位置关系是BD
CE
⊥
∵
90
BAC
DAE
=
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
在ABD
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴BD
CE
=
，
ACE
ABC
=
，
∵ABC
是等腰三角形且
90
BAC
=
，
∴
45
ABC
ACB
=
=
，
∴
45
ACE
ABC
=
=
，
∴
45
45
90
BCE
ACB
ACE
=
+
=
+
=
，
∴BD
CE
⊥
；
（3）∵
MNP
△
是等腰直角三角形，
∴
45
MNP
NPM
=
=
，
将OPM
绕M 点顺时针旋转90得O P M
（N 与P重合），
连接OO，
∴PMO
P MO
≌
，
∴MO
MO
=
，OP
O P
=
，
∴
45
O MO
=
，
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当OP 有最小，即O P
最小，当O P
y
⊥
轴时，
由
45
O OP
=
，
90
O P O
=
，
∴
4
O P
OM
=
=
，
4
ON
OP
=
=
，
∴
4
ON =
，OP 最小值为4．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在ABC
中，
8
AB =
，
14
AC =
，
30
C
=
，P 是BC 上的任意
一点，连接AP ，将AP 绕点A按顺时针方向旋转至AQ ，使
PAQ
BAC
=
，连接BQ ，则线段BQ 长度的
最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4 3
3
D．4
【答案】B
【分析】在AC 上截取
8
AB
AD
=
= ，利用全等三角形的判定和性质，可得
(
)
ABQ
ADP SAS
≌
，QB
PD
=
，
当DP
PC
⊥
时，DP的长度最小，此时QB 的长度最小，根据直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的
一半，进行解答，即可．
【详解】解：在AC 上截取
8
AB
AD
=
= ，
∵
PAQ
BAC
=
，
∴
QAB
BAP
BAP
CAP
+
=
+
，
∴
CAP
QAB
=
，
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由旋转可得，AP
AQ
=
，
在ABQ
和ADP
中，
AB
AD
QAB
CAP
AQ
AP
=
=
=
，
∴
(
)
ABQ
ADP SAS
≌
，
∴QB
PD
=
，
当DP
PC
⊥
时，DP的长度最小，此时QB 的长度最小，
∵
14 8
6
DC
AC
AD
=
−
=
−=
，
30
C
=
，
∴
1
3
2
PD
CD
=
=
．
∴
3
QB =
．
2．
（25-26 八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：AC
BC
=
，DC
EC
=
，
90
ACB
ECD
=
=
，
38
EBD
=
，
现有下列结论：①
BDC
AEC
△
≌△
；②
135
AEB
=
；③BD
AE
=
；④AE
BD
⊥
．其中正确的有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】先通过角的等量代换得到
BCD
ACE
=
，利用SAS 证明BDC
AEC
≌
，由此推出BD
AE
=
，再
结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证
AEB
度数与AE
BD
⊥
是否成立，逐
一判断4 个结论正误．
【详解】解：已知
90
ACB
ECD
=
=
，
ACB
ECB
ECD
ECB
−
=
−
，
即
BCD
ACE
=
，
在BDC
和AEC
中：
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BC
AC
BCD
ACE
DC
EC
=
=
=
，
(
)
SAS
BDC
AEC
≌
，结论①正确；
由全等三角形对应边相等，得BD
AE
=
，结论③正确；
由BDC
AEC
≌
，得
CBD
CAE
=
，
已知
38
EBD
CBD
CBE
=
+
=
，
38
CAE
CBE
+
=
，
∵
90
ACB
=
，
90
CBA
CAB
+
=
，
即
90
CBE
ABE
CAE
BAE
+
+
+
=
，
代入
38
CAE
CBE
+
=
，得
90
38
52
ABE
BAE
+
=
−
=
，
在ABE
中，
(
)
180
180
52
128
135
AEB
ABE
BAE
=
−
+
=
−
=
，结论②错误；
延长AE 交BD于点F ，交BC 于点H ，
由BDC
AEC
≌
，得
DBC
EAC
=
，
又
BHF
CHA
=
，
90
ACB
=
，
90
BHF
DBC
CHA
EAC
+
=
+
=
，
180
90
AFB
BHF
DBC
=
−
−
=
，即AF
BD
⊥
，
AE
BD
⊥
，结论④正确，
综上，①③④正确，共3 个正确结论．
3．（25-26 八年级上·四川遂宁·期末）如图，在OAB
和OCD
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，OA
OC
，
30
AOB
COD
=
=
，连接AC ，BD交于点M ，AC 与OD 相交于E ，BD与OA相交于F ，连接OM ．则
下列结论中：①AOC
BOD
≌
；②AC
BD
=
；③
30
AMB
=
；④OEM
OFM
≌
．正确的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
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【分析】由SAS证明AOC
BOD
≌
得出AC
BD
=
，则①②正确；由全等三角形的性质得出
OAC
OBD
=
，
由三角形的外角性质得
AMB
OAC
AOB
OBD
+
=
+
，得出
30
AMB
AOB
=
=
，则③正确；作
OG
MC
⊥
于G ，OH
MB
⊥
于H ，则
90
OGC
OHD
=
=
，由AAS证明OCG
ODH
，得出OG
OH
=
，
由角平分线的判定得出MO 平分
BMC
，假设OEM
OFM
≌
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
EOG
FOH
≌
，可得到
(
)
ASA
DMO
AMO
≌
，从而得到OC
OA
=
，与OA
OC
矛盾，则④错误．
【详解】解：
30
AOB
COD
=
=
，
∴
AOB
AOD
COD
AOD
+
=
+
，即
BOD
AOC
=
，
在AOC
和
BOD
△
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
=
=
，
(
)
AOC
BOD SAS
≌
，则①正确；
AC
BD
=
，
OAC
OBD
=
，
OCA
ODB
=
，则②正确；
由三角形的外角性质得：
AMB
OAC
OFD
AOB
OBD
+
=
=
+
，
30
AMB
AOB
=
=
，则③正确；
如图，作OG
MC
⊥
于G ，OH
MB
⊥
于H ，则
90
OGC
OHD
=
=
，
在OCG
和ODH
中，
90
OCG
ODH
OGC
OHD
OC
OD
=
=
=
=
，
(
)
AAS
OCG
ODH
≌
，
OG
OH
=
，
GOM
HOM
=
，
MO
平分
BMC
，即
=
CMO
BMO ，
CMD
BMA
=
，
∴
DMO
AMO
=
，
假设OEM
OFM
≌
，
OE
OF
=
∴
，
在Rt EOG
和Rt
FOH
△
中，
∵
,
OE
OF OG
OH
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
EOG
FOH
≌
，
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∴
EOG
FOH
=
，
∴
EOG
GOM
FOH
MOH
+
=
+
，即
EOM
FOM
=
，
在DMO 和AMO
中，
∵
DMO
AMO
=
，OM
OM
=
，
EOM
FOM
=
，
∴
(
)
ASA
DMO
AMO
≌
，
∴OD
OA
=
，即OC
OA
=
，与OA
OC
矛盾，
则假设不成立，则④错误；
综上，正确的结论有①②③．
二、填空题
4．
（25-26 八年级下·山西晋中·期末）如图，在ABC
与ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，BAC
DAE
=
=
，
连接BD和CE 交于点P ，连接AP ，则
BPC
= _______（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】过点A作AH
BD
⊥
，AG
CE
⊥
，交BD，CE 于点H ，G ，证明
D
AB ≌
△
△ACE ，得出对应边相
等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解．
【详解】解：
BAC
DAE
=
，
BAD
CAE
=
，
又
AB
AC
=
∵
，AD
AE
=
，
D
AB ≌
△
△
(SAS)
ACE
，
ACE
ABD
=
，
AOB
COP
=
，
180
180
ACE
COP
ABP
AOB
−
−
=
−
−
，
BPC
BAC
=
=
．
5．（25-26 七年级下·江西萍乡·期末）如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，
2
AB
AC
=
，点D 是线段AB 的中点，
将一块锐角为45的直角三角板按如图（ADE
）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，
连接BE、CE ，CE 与AB 交于点F，则
AEC
DBE
+
=______．
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【答案】45
【分析】由已知条件可知，AC
BD
=
，AE
DE
=
，
45
DAE
ADE
=
=
，进而推出
(
)
SAS
ACE
DBE
≌
，
得到
AEC
DEB
=
，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：
2
AB
AC
=
，点D 是线段AB 的中点，
1
2
AC
AB
=
，
1
2
AD
BD
AB
=
=
，
AC
BD
=
，
ADE
是锐角为45的直角三角板，
AE
DE
=
，
45
DAE
ADE
=
=
，
90
BAC
=
，
90
45
135
CAE
BAC
DAE
=
+
=
+
=
，
180
180
45
135
BDE
ADE
=
−
=
−
=
，
CAE
BDE
=
，
在
ACE
△
和DBE
中，
AE
DE
CAE
BDE
AC
BD
=
=
=
，
(
)
SAS
ACE
DBE
≌
，
=
AEC
DEB，
45
ADE
DEB
DBE
AEC
DBE
=
+
=
+
=
．
6．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，CD
BD
=
，过点C 作CM
CA
⊥
，
CM
CA
=
，连接BM 交CD于点N ，若
15
BD =
，
7
AD = ，则CN =____________．
【答案】4
【分析】在CD上取一点E，使得
7
DE
DA
=
=
，连接BE，由题意易得
(
)
ADC
EDB SAS
≌
，则有AC
EB
=
，
ACD
EBD
=
，然后可得
(
)
AAS
BEN
MCN
≌
，则有EN
CN
=
，进而问题可求解．
【详解】解：在CD上取一点E，使得
7
DE
DA
=
=
，连接BE，如图所示：
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∵CD
AB
⊥
，
∴
90
ADC
EDB
=
=
，
∵CD
BD
=
，
∴
(
)
ADC
EDB SAS
≌
，
∴AC
EB
=
，
ACD
EBD
=
，
∵CM
CA
⊥
，CM
CA
=
，
∴
90 ,
ACM
EB
CM
=
=
，
∴
BEN
EDB
EBD
ACM
ACD
MCN
=
+
=
+
=
，
∵
BNE
MNC
=
，
∴
(
)
AAS
BEN
MCN
≌
，
∴EN
CN
=
，
∵
15
CD
BD
=
=
，
∴
8
CE
CD
DE
=
−
=
，
∴
1
4
2
CN
CE
=
=
．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·山西运城·期末）已知：如图，ABC
和
CDE
△
都是等腰三角形（CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCE
=
=
），点B 、C 、E 不在同一条直线上，连接AE 和BD．试探究线段AE 与BD的数量关系
并说明理由．
【答案】AE
BD
=
，理由如下：
ACB
DCE
=
=
，
ACB
ACD
DCE
ACD
+
=
+
，即
BCD
ACE
=
，
在BCD
和
ACE
△
中，
CA
CB
BCD
ACE
CD
CE
=
=
=
，
(
)
BCD
ACE SAS
≌
，
AE
BD
=
．
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【分析】由
ACB
DCE
=
=
推出
BCD
ACE
=
，再根据SAS推出BCD
ACE
≌
，进而证明AE
BD
=
．
【详解】略
8．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题：
(1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
ADC
=
=
，点E 、F 分别在边BC 、CD上，
连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，试说明：
2
BAD
EAF
=
；
(2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，AB
AD
=
，点E 在CB 的延长线上，
点F 在CD的延长线上，连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长DC 至点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，
请探究
BAD
与
EAF
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明：在ABE
和
ADG
△
中，AB
AD
=
，
90
B
ADG
=
=
，BE
DG
=
，
(
)
ABE
ADG SAS
≌
，
BAE
DAG
=
，AE
AG
=
，
EF
BE
DF
=
+
，DG
BE
=
，
EF
BE
DF
DG
DF
GF
=
+
=
+
=
，
AF
AF
=
，
(
)
AEF
AGF SSS
≌
，
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
=
=
+
=
+
，
BAE
FAD
EAF
+
=
，
2
BAD
BAE
FAD
EAF
EAF
=
+
+
=
；
(2)解：
1
180
2
EAF
DAB
=
−
（形式不唯一）．
理由：
180
ABC
ADC
+
=
，
180
ABC
ABE
+
=
，
ADC
ABE
=
，
又AB
AD
=
，DG
BE
=
，
(
)
SAS
ADG
ABE
≌
，
AG
AE
=
，
DAG
BAE
=
，
EF
BE
FD
=
+
，DG
BE
=
，
EF
BE
FD
DG
FD
GF
=
+
=
+
=
，
AF
AF
=
，
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(
)
AEF
AGF SSS
≌
，
FAE
FAG
=
，
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，
(
)
2
360
FAE
GAB
BAE
+
+
=
，
(
)
2
360
FAE
GAB
DAG
+
+
=
，
即2
360
FAE
DAB
+
=
，
1
180
2
EAF
DAB
=
−
．
【分析】（1）证明ABE
ADG
≌
得到
BAE
DAG
=
，AE
AG
=
，推出EF
GF
=
，证明AEF
AGF
≌
得
到
EAF
GAF
=
，推出
BAE
FAD
EAF
+
=
，根据角的和差即可得证；
（2）证明
ADG
ABE
△
≌△
得到AG
AE
=
，
DAG
BAE
=
，推出EF
GF
=
，证明AEF
AGF
≌
得到
FAE
FAG
=
，结合
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
9．（25-26 七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点D 为直线BC 上一动点，
以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角ADE
，使
90 ,
DAE
AD
AE
=
=
．
(1)当点D 在线段BC 上时，如图1，请判断CE 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，判断
,
,
BC CD CE 三条线段数量关系，并说明理由；
(3)当点D 在线段CB 的延长线上时，直接判断CE 与BC 的位置关系，并直接写出
,
,
BC CD CE 三条线段的数
量关系．
【答案】(1)解：CE
BC
⊥
，
理由：
90
BAC
DAE
=
=
，
BAC
CAD
DAE
CAD
−
=
−
，
BAD
CAE
=
，
在ABD
与
ACE
△
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
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ABC
ACE
=
，
∵ABC
是等腰直角三角形，且
90
BAC
=
，
45
ABC
ACB
=
=
，
∴
45
ACE
ABC
=
=
，
∴
90
BCE
ACB
ACE
=
+
=
，
∴
90
ABC
ACE
+
=
，
∴CE
BC
⊥
；
(2)解：CE
BC
CD
=
+
，
理由：∵ABC
ADE
、
是等腰直角三角形，
∴
,
,
90
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
在ABD
和ACE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴BD
CE
=
，
∵BD
BC
CD
=
+
，
∴CE
BC
CD
=
+
；
(3)
,
BC
CE CD
BC
CE
⊥
=
+
．
【分析】（1）根据“SAS”即可证明
ABD
ACE
△
△
≌
，再根据等腰直角的性质即可说明；
（2）同（1）的方法判断出
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，得出BD
CE
=
，再根据BD
BC
CD
=
+
，可得出结论；
（3）同（2）的方法可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：
,
BC
CE CD
BC
CE
⊥
=
+
，
理由：如图3，
∵ABC
ADE
，
是等腰直角三角形，
∴
,
,
90
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
=
，
∴
BAC
BAE
DAE
BAE
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
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在ABD
和ACE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴
ADB
AEC
=
，
∴BD
CE
=
，
∵CD
BD
BC
=
+
，
∴CD
CE
BC
=
+
，
∵
90
ADE
AED
+
=
，即
90
ADB
CDE
AED
+
+
=
，
∴
90
AEC
CDE
AED
+
+
=
，
∴
90
DCE
=
，即BC
CE
⊥
，
∴
,
BC
CE CD
BC
CE
⊥
=
+
．
10．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）综合与探究
问题情境：
小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进
行了如下操作：
如图1，在ABC
和ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAE
=
，连接BD、CE ．
【问题发现】
(1)小明发现图1 就是手拉手模型，拉手线BD、CE 存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②
处的理由；
解：
BAC
DAE
=
BAD
DAC
CAE
DAC
+
=
+
BAD
CAE
=
（理由：①）
在ABD
和
ACE
△
中
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AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
(
)
ABD
ACE SAS
≌
BD
CE
=
（理由：②）
(2)如图2，在图1 的基础上，ABC
不动，将ADE
绕着点A逆时针旋转至点B ，点B 、D 、E 在一条直线
上，BE交AC 于点O．小明发现ABD
与
ACE
△
依然全等．当
BAC
DAE
=
=
时，求
BEC
；
【拓展探究】
(3)在图2 的基础上，延长CE 至点F ，如图3．判断
AED
∠
与
AEF
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等；
(2)
BEC
=
；
(3)解：
AED
AEF
=
．理由如下：
如图，过点A 作AM
CE
⊥
于点M，作AN
BD
⊥
于点N．
同（1）可知
(
)
ABD
ACE SAS
≌
，
∴BD
CE
=
，
∴
ABD
ACE
S
S
=
，
∵
1
2
ABD
S
BD AN
=
，
1
2
ACE
S
CE AM
=
△
，
∴1
1
2
2
BD AN
CE AM
=
，
∴AM
AN
=
，
又∵
,
AM
CE AN
BD
⊥
⊥
，
∴
(
)
HL
AME
ANE
≌
，
∴
AED
AEF
=
．
【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可；
（2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果；
（3）过点A 作AM
CE
⊥
于点M，作AN
BD
⊥
于点N，证明AN
AM
=
，进而证明
(
)
HL
AME
ANE
≌
，可
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知
AED
AEF
=
．
【详解】（1）略；
（2）解：同（1）可知
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
ABD
ACE
=
．
AOB
EOC
=
且
BAC
=
，
在AOB
与
EOC
△
中，
180
BAC
ABD
AOB
+
+
=
，
180
BEC
ACE
EOC
+
+
=
BEC
BAC
=
=
；
（3）略．
11．（25-26 八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题：
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
D
=
=
，E，F 分别是边
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．请直接写出线段EF ，BE，FD之间的数量关系：______；
(2)如图②，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E ，F 分别是边BC ，CD所在直线上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．请直接写出线段EF ，BE，FD之间的数量关系： ．
【答案】(1) EF
BE
FD
=
+
(2)（1）中的结论EF
BE
FD
=
+
仍然成立．
理由是：如图2，延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．
180
ABC
D
+
=
，
180
ABG
ABC
+
=
，
ABG
D
=，
在ABG
与ADF
中，
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AB
AD
ABG
D
BG
DF
=
=
=
，
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．
AG
AF
=
，
1
2
= ，
1
1
3
2
3
2
BAD
EAF
+ = + =
=
．
GAE
EAF
=
．
又AE
AE
=
，
AEG
AEF
≌
．
EG
EF
=
．
EG
BE
BG
=
+
．
=
+
EF
BE
FD
(3) EF
BE
FD
=
+
或EF
BE
FD
=
−
或EF
FD
BE
=
−
【分析】（1）延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．证明
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．AG
AF
=
，1
2
= ，证明
AEG
AEF
≌
．则EG
EF
=
．即可得到答案；
（2）延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．证明
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
，则AG
AF
=
，
1
2
= ，证明
AEG
AEF
≌
，则EG
EF
=
．即可得到答案；
（3）在BE上截取BG ，使BG
DF
=
，连接AG ．证明
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．则
BAG
DAF
=
，AG
AF
=
．证
明
(SAS)
AEG
AEF
≌
．则EG
EF
=
，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1，延长EB到G ，使BG
DF
=
，连接AG ．
在ABG
与ADF
中，
90
AB
AD
ABG
ADF
BG
DF
=
=
=
=
，
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．
AG
AF
=
，
1
2
= ，
1
1
3
2
3
2
BAD
EAF
+ = + =
=
．
GAE
EAF
=
．
又AE
AE
=
，
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∴AEG
AEF
≌
．
EG
EF
=
．
EG
BE
BG
=
+
．
=
+
EF
BE
FD；
（2）略
（3）当（1）的结论EF
BE
FD
=
+
成立，
当图3 中，EF
BE
FD
=
−
或EF
FD
BE
=
−
．
证明：在BE上截取BG ，使BG
DF
=
，连接AG ．
180
B
ADC =
+
，
180
ADF
ADC
=
+
，
B
ADF
=
．
在ABG
与ADF
中，
AB
AD
ABG
ADF
BG
DF
=
=
=
，
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
．
BAG
DAF
=
，AG
AF
=
．
1
2
BAG
EAD
DAF
EAD
EAF
BAD
+
=
+
=
=
．
GAE
EAF
=
．
AE
AE
=
，
(SAS)
AEG
AEF
△
≌△
．
EG
EF
=
EG
BE
BG
=
−
EF
BE
FD
=
−
．
同理可得：EG
EF
=
EG
BG
BE
=
−
EF
FD
BE
=
−
．
12．（25-26 七年级下·山西晋中·期末）综合与探究：
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问题情境：数学课上，
老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知ABC
中，AB
AC
=
，点M 是
直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AM 为一边在AM 的右侧作AMN
，使得AM
AN
=
，MAN
BAC
=
，
连接CN ．
(1)特例分析：如图1，当点M 在线段BC 上，且
90
BAC
=
时，则
BCN
=________．
(2)拓展探究：若
BAC
=
，
BCN
=
．
①如图2，当点M 在线段BC 上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由．
②当点M 在直线BC 上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．
【答案】(1)90；
(2)①解：
180
+
=
，理由如下：
MAN
BAC
=
，
MAN
MAC
BAC
MAC
−
=
−
，
即
CAN
BAM
=
，
在
BAM
△
和
CAN
△
中，
AB
AC
BAM
CAN
AM
AN
=
=
=
，
(
)
SAS
BAM
CAN
△
≌△
，
B
ACN
=
，
BAC
=
，
BCN
=
，
180
BAC
B
BCA
++
=
，
BAC
B
BCA
++
ACN
BCA
=
+
+
BCN
=
+
=
+
180
=
；
②
180
+
=
或
=
．
【分析】（1）证明
(
)
MAB
NAC SAS
≌
，得到
ABM
ACN
=
，再进行等量代换，最后利用三角形内角和
定理即可求证；
（2）①证明
(
)
MAB
NAC SAS
≌
，得到
ABM
ACN
=
，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即
可求证；
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②分别讨论当点M 在线段BC 上移动时，当点M 在线段BC 的延长线上移动时，当点M 在线段BC 的反向
延长线上移动时，三种情况即可．
【详解】（1）解：∵
MAN
BAC
=
，
∴
MAB
NAC
=
，
又∵AB
AC
=
，AM
AN
=
，
∴
(
)
SAS
MAB
NAC
≌
，
∴
ABM
ACN
=
，
∴
180
90
BCN
ACB
ACN
ACB
B
BAC
=
+
=
+=
−
=
；
（2）①略；
②解：当点M 在线段BC 上移动时，
180
+
=
，证明见小问①；
当点M 在线段BC 的延长线上时，如图1，
180
+
=
，
证明：∵
MAN
BAC
=
，
∴
MAB
NAC
=
，
又∵AB
AC
=
，AM
AN
=
，
∴
(
)
SAS
MAB
NAC
≌
，
∴
ABM
ACN
=
，
∴
180
BCN
ACB
ACN
ACB
B
BAC
=
+
=
+=
−
，
∴
180
+
=
；
当点M 在射线BC 的反向延长线上时，如图2，
=
，
证明：∵
MAN
BAC
=
，
∴
MAB
NAC
=
，
又∵AB
AC
=
，AM
AN
=
，
∴
(
)
SAS
MAB
NAC
≌
，
∴
ABM
ACN
=
，
∴
BCN
ACN
ACB
ABM
ACB
BAC
=
−
=
−
=
，
∴
=
．
综上所述，
180
+
=
或
=
．
小学
初中
