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专题35 最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之
外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三
个顶点距离之和最小的点。
....................................................................................................................................................1
模型1.费马点模型...........................................................................................................................................1
模型2.加权费马点模型.................................................................................................................................12
..................................................................................................................................................20
模型1.费马点模型
结论：如图1，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM、BM、CM，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC 的值最小。
图1 图2 图3
注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
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是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）
证明：如图2，以AB 为一边向外作等边三角形△ABE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE 为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB 与△ENB 中，∵
，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB 知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN 为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M 即为△ABC 的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（23-24 九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在
中，
，点
为
内部一点，则点
到
三个顶点之和的最小值是 ．
例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形
中，
是
的中点，
是
边上
一动点，将
沿着
翻折，使得点
落在点
处，矩形内有一动点
连接
则
的最小值为 ．
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例3．（23-24 九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知
所在平面内求一点P，使它到三
角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在
1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图
2，把
绕A 点逆时针旋转
得到
（点P，C 的对应点分别为点
，
），连接
，则
，
．
∵______，∴
为等边三角形，∴
，∴
，
∴当B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，即点P 是
的“费马点”．
任务：（1 ）横线处填写的条件是______ ；（2 ）当点P 是
的“ 费马点” 时，
______；
（3 ）如图3 ，△ABC 中，
，
，E ，F 为BC 上的点，且
，判断
之间的数量关系并说明理由；
【实际应用】图4 所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C 为公园的出入口，
，
，
AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则
的
最小值是______．
例4．（2023 春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知
所在平面上求一点P，使它到三角形的三
个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求
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的点被人们称为“费马点”．如图1，当
三个内角均小于120°时，费马点P 在
内部，当
时，则
取得最小值．
(1)如图2，等边
内有一点P，若点P 到顶点A、B、C 的距离分别为3，4，5，求
的度数，为
了解决本题，我们可以将
绕顶点A 旋转到
处，此时
这样就可以利用旋转变换，
将三条线段
、
、
转化到一个三角形中，从而求出
_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下
问题．(2)如图3，
三个内角均小于120°，在
外侧作等边三角形
，连接
，求证：
过
的费马点．(3)如图4，在
中，
，
，
，点P 为
的费马
点，连接
、
、
，求
的值．(4)如图5，在正方形
中，点E 为内部任意一点，
连接
、
、
，且边长
；求
的最小值．
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例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，
公里，
公里，现在要设立两个车站E，F，则
的最小值为______公里．
模型2.加权费马点模型
结论：点P 为锐角△ABC 内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP 最小值。（加权费马点）
证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
如：保持BP 不变，xAP+yBP+zCP=
y( x
y AP +BP + z
y CP )
，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。
例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形
和矩形
中，
，
，
,
．矩形
绕着点A 旋转，连接
，
，
，
．
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(1)求证：
；(2)当
的长度最大时，①求
的长度；②在
内是否存在一点P，使得
的值最小?若存在，求
的最小值；若不存在，请说明理由．
例2．（2024·重庆·二模）已知
中
，点
和点
是平面内两点，连接
，
和
，
．
(1)如图1，若
，
，
，求
的长度；(2)如图2，连接
和
，点
为
中点，点
为
中点，连接
和
，若
，求证：
；(3)若
，
，当
取得最小值，且
取得最大值时，直接写出
的面积．
例3．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）在等边
中，点D 是边
上一点，连接
，将线段
绕
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点A 顺时针旋转
得到线段
，则
，
，连接
交
于点F，交
于点H．
(1)如图1，当点D 为
中点时，且
，求
的面积；(2)如图2，猜想线段
、
、
之间
的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若
，在
内部有一个动点P，连接
、
、
，
直接写出
的最小值．
1．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M 是矩形
内一点，且
，
，N 为
边
上一点，连接
、
、
，则
的最小值为______．
2．（2023·广东深圳·二模）如图，
是等边三角形，M 是正方形ABCD 对角线BD（不含B 点）上任
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意一点，
，
（点N 在AB 的左侧），当AM+BM+CM 的最小值为
时，正方形的边
长为______．
3.（24-25 九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC 内存在一点P，使它到三角形顶
点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC 的值为费马距离．经研究发现：在锐角
△ABC 中，费马点P 满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P 为锐角△ABC 的费马点，且PA＝3，
PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 ．
4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形
中，
，点E 是
的中点，点F 是
边上一
动点．将
沿着
翻折，使得点B 落在点
处，若点P 是矩形内一动点，连接
，则
的最小值为 ．
5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在
中，P 为平面内的一点，连接
，若
，则
的最小值是（ ）
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A．
B．36
C．
D．
6．（23-24 九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E 是边长为8 的正方形
的边
上的动点，
于点F，G 在
上，且
，P 是平面内一动点，H 是
上的动点，则
的最小值为 ．
7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如
可看做是图一中
的长，
可看做是
的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在
中有一点
使得
的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将
绕
点向外旋转
得到
，并连接
易得
是等边三角形、
，则
，
则
，所以
的值最小为
．
请结合以上两材料求出
的最小值
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8．（2023 上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：
【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边
与等边
共一个顶点时，无论怎么摆放可通过
恒有
．于是提出了如下问题．
【问题证明】（1）如图2，M 是等腰
内一点，N 是等边
内一点，且满足
．
求证：
是等边三角形．
【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M 是等腰
内一点，当点M 到三角形3 个顶点的距离
之和，即
最小时，我们把M 点称为等腰
的“紫荆点”．若M 是等腰
的紫
荆点，求
．
完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）
解：如图3，令
，
分别是等腰
，等边
内一点，且满足
∴
∵
是等边三角形 ∴
，
由 ① 可知：∴
的最小值
的最小值= ②
∴如图4，当D、N、M、C 在一条直线上时．M 是等腰
的紫荆点
∴
③
；
④
∴
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【拓展提升】（3）甲同学发现等腰
“紫荆点”的作法：如图5，已知
，在AB 的左侧作等
边
．连接
，与
的角平分线
交于点M，点M 就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？
请说明理由．
9．（2024·陕西西安·二模）问题提出
(1)如图1，在等边
内部有一点P，
，
，
，则
______．
问题解决(2)如图2，五边形ABCDE 是某公园局部平面图，
，
，
，
，
，
．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观
赏桥梁PQ 和三条观光路AP，CQ，DQ，且
，
．已知观赏桥梁修建费用每米2a 元和观
光路修建费用每米a 元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a 的代数
式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由．
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10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在
中，
，
，P 为
内
一点，求
的最小值．为了求
的最小值，小明是这样做的：将
绕点A 顺时
针旋转60°得到
，则
，连接
．此时小明发现
，且
，则
为等
边三角形，于是
．试着根据小明的思路，求出
的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地
，其中
米，
米，点E 在
边上且
米，F 为
边上任意一点，点A 关于
的对称点为
．牧场主欲在四边形
的四条边上装
上栅栏饲养土鸡，并将B 点、C 点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形
内一点P 处打一口井，
并修建地下管道
，
，
．请问：是否存在一点P，使
的值最小？如果存在，请求出
的最小值及此时
的长；如果不存在，请说明理由．
11．（23-24 八年级下·陕西·阶段练习）课本再现：
（1）把两个全等的矩形
和矩形
拼成如图1 的图案，则
的度数为________；
图1 图2 图3
迁移应用：（2）如图2，在正方形
中，E 是
边上一点（不与点C、D 重合），连接
，将
绕点E 顺时针旋转
至
，作射线
交
的延长线于点G，求证：
；
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拓展延伸：（3）如图3，在菱形
中，
，E 是
边上一点（不与点C、D 重合），连接
，
将
绕点E 顺时针旋转
至
，作射线
交
的延长线于点G．
①线段
与
的数量关系是________②连接
，点P 为
内一点，连接
．若
，
则
的最小值为________．
12．（23-24 九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在
中，
，
，
于点D．点G 是射线AD 上一点，过G 作
分别交AB、AC 于点E、F：
(1)如图①所示，若点E，F 分别在线段AB，AC 上，当点G 与点D 重合时，求证：
；
(2)如图②所示，当点G 在线段AD 外，且点E 与点B 重合时，猜想AE，AF 与AG 之间存在的数量关系并
说明理由；(3)当点G 在线段AD 上时，请直接写出
的最小值．
参考公式：
13．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王
的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643 年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的
私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一
条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位置．托里拆利成功地解决了
费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C 距离之和最小的点称为
ABC 的费
马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
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（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将
BPC 绕点B 顺时针
旋转60°得到
BDE，连接PD，可得
BPD 为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因
PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC 的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC 内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若
AB=2，求PA+PB+PC 的最小值；（3）如图3，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，
在点E 运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在
ADE 内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE
最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE 的最小值；若不存在，请说明理由．
14.（23-24 九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在
内部有一点
，
是正三角形，连接
、
、
，将线段
绕
顺时针反向旋转
至
，①求证：
；②调整P 点的位
置，使
最小，求此时
和
的大小.（2）如图在直角三角形
中，
，
，在其内部任取一点
，求
的最小值.
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15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同
一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学
家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡
营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当
的三个内角均小于
时，如图1，将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由
，可知
为 ①
三角形，故
，又
，故
，
由 ②
可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，如图2，最小值为
，此时
的P 点为该三角形的“费马点”，且有
③
；
已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
，
则该三角形的“费马点”为 ④
点．
(2)如图4，在
中，三个内角均小于
，且
，已知点P 为
的
“费马点”，求
的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知
．现欲
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建一中转站P 沿直线向A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A，B，C 的铺设成本分别为a
元/
，a 元/
，
元/
，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结
果用含a 的式子表示）
16．（2024·广东·一模）如图，
和
均为等腰直角三角形，
．现将
绕点C 旋转．
（1）如图1，若
三点共线，
，求点B 到直线
的距离；（2）如图2，连接
，点F
为线段
的中点，连接
，求证：
；（3）如图3，若点G 在线段
上，且
，
在
内部有一点O，请直接写出
的最小值．
