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专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）.......................................................................................................1
..................................................................................................................................................11
模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的
轨迹相同。
只要满足：
1、两“动”，一“定”
2、两动点与定点的连线夹角是定
角
3
两动点到定点的距离比值是定
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹
长度的比和它们到定点的距离比相同。
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动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在
直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型1）如图，P 是直线BC 上一动点，A 是直线BC 外一定点，连接AP，取AP 中点Q，当点P 在直线上
运动时，则Q 点轨迹也是一条直线。
P
Q
A
B
C
N
C
B
A
Q
P
M
证明：分别过A、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
模型2）如图，在△APQ 中AP=AQ，∠PAQ=
为定值，当点P 在直线BC 上运动时，则Q 点轨迹也是一
条直线。
证明：在BC 上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=
，AQ1=AP1，连结Q1Q 交BC 于点N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=
，
，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=
，即Q 点所在直线与BC 的夹角为定值，故Q 点轨迹是一条直线．
当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；
②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；
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③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）
为其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形
的边
，E 为
上一点，且
，F
为
边上的一个动点，连接
，若以
为边向右侧作等腰直角三角形
，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，
是边长为2 的等边三角形，点E 为中线BD上的动点．连
接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接
，则
，连接
，则
周长的
最小值是 ．
例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形
为矩形，对角线
与
相交于点
，点
在边
上，连接
，过
做
，垂足为
，连接
，若
，
，则
的最小值
为 ．
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例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△ABC 纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E 分别在
BC，AB 边上，连接DE，将△BDE 沿DE 翻折，使点B 落在点F 的位置，连接AF，若四边形BEFD 是菱
形，则AF 的长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形
中，
，
，点P 在线段
上运动（含
B，C 两点），连接
，以点A 为中心，将线段
逆时针旋转
到
，连接
，则线段
的最小
值为 .
例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，
是直线
上的一个动点，将
绕点
逆时针旋转
，得到点
，连接
，则
最小值为______．
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例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图，
中，
，
，
，点E 是边
上一点，将
绕点B 顺时针旋转
到
，连接
，则
长的最小值是（ ）
A．2
B．2.5
C．
D．
1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形
中，
，
，
，
是边
上一
点，且
，
是边
上的一个动点，将线段
绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
、
，
则
的最小值是（ ）.
A．4
B．
C．
D．
2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形
中，
，F 是
上一点，E 为
上一点，且
，连接
，将
绕着点E 顺时针旋转
到
的位置，则
的最小值为 ．
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3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形
中，
，
，点
为矩形对角线
上一动点，
连接
，以
为边向上作正方形
，对角线
交于点
，连接
，则线段
的最小值为
4．（2023 上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知
，B 为
上一点，
于A，
四边形
为正方形，P 为射线
上一动点，连接
，将
绕点C 顺时针方向旋转
得
，连接
，若
，则
的最小值为 ．
5．（2023 上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形
中，
，点
为边
的中点，连接
．点
是边
上一动点，点
为边
的中点，连接
．当
时，
的最小值是 ．
6．（2023 上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系
中，已知点
，点C 是y 轴
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上一动点，设其坐标为
，线段
绕点C 逆时针旋转
至线段
，则点B 的坐标为 ，连
接
，则
的最小值是 ．
7．（2024·山东校考一模）如图，正方形
中，
，点E 为边
上一动点，将点A 绕点E 顺时
针旋转
得到点F，则
的最小值为__________．
8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形
中，
，
，点
为边
上的动点，连
接
，过点
作
，且
，连接
，则线段
长度的最小值为______．
9．（23-24 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点
在直线上，
于点
，
，点
在直线上运
动，以
为边作等边
，连接
，则
的最小值为 ．
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10．（2024·四川达州·三模）如图，在等腰
中，
，
，点
是
边上
一动点，将线段
绕点
顺时针旋转
，得到线段
，连接
，
，则
的最小值是
．
11．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形
中，
，点
，
为直线
上的两个动点，且
，将线段
关于
翻折得线段
，连接
．当线段
的长度最小时，
的度
数为 度．
12．（23-24 八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，
中，
，
，
，D 是
线段
上一个动点，以
为边在
外作等边
．若F 是
的中点，连接
，则
的最小
值为 ．
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13．（2024 九年级下·江苏·专题练习）等边
边长为6，D 是
中点，E 在
上运动，连接
，在
下方作等边
，则
周长的最小值为 ．
14．（23-24 九年级下·湖北武汉·阶段练习）在等腰△ABC 中，AC＝AB，D 是BC 延长线上一点，E 是线段
AB 上一点，连接DE 交AC 于点F．
(1)如图1，求证：
；(2)如图2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD 的长；
(3)如图3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E 在直线AB 上运动，以DE 为斜边向上构造直角△DTE，且∠E＝
30°，请直接写出CT 的最小值是 ．
15．（2023·山东临沂·二模）如图，矩形
中，
，
，点E 在线段
上运动，将
绕
点A 顺时针旋转得到
，旋转角等于
，连接
．
(1)当点E 在
上时，作
，垂足为M，求证：
；(2)连接
，点E 从点B 运动到点C 的
过程中，试探究
是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
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16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点
依次在直线上，点
固定不动，且
，
分别以
为边在直线同侧作正方形
、正方形
，
，直角边
恒过点
，直
角边
恒过点
．(1)如图，若
，
，求点
与点
之间的距离；(2)如图，若
，
当点
在点
之间运动时，求
的最大值；(3)如图
，若
，当点
在点
之间运动时，
点
随之运动，连接
，点
是
的中点，连接
，则
的最小值为_______．
17．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个
问题：四边形
是边长为3 的正方形，点E 是边
上的一动点，连接
，以
为一边作正方形
（点C，E，F，G 按顺时针方向排列），连接
，
．
(1)如图1，求点G 到
的距离，请写出解答过程；
【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：
(2)如图2，当
经过点D 时，求
的长，请写出解答过程；
【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相
似”，于是给同学们留了一道思考题：
(3)求代数式
的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路；
解题思路：如图3，作等腰直角
，使
，连接
，
，
，则点C，D，
三点共线，
由
，
，可得
，
由
，
，可得
，……请完成“……”部分的解答过程．
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18．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形
是正方形，点
是
边上的一
个动点，以
为边在
的右侧作正方形
，连接
，则
与
的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形
是矩形，
，点
是
边上的一个动点，以
为边在
的右侧作矩形
，且
，连接
．判断线段
与
有怎样的数量关系：
______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，求
的最小值．
