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淘宝：学思创想
专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1
..................................................................................................................................................12
模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动
点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，
即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一
类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO 中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
淘宝：学思创想
模型1-2. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，作AQ⊥AP 且AQ=AP，当点P 在圆O 上运动
时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
O
P
Q
A
M
A
Q
P
O
模型1-3. 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P 为“主动点”，Q 为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；②主动点、从
动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ 是定值）。
淘宝：学思创想
α
A
Q
P
O
α
α
O
P
Q
M
A
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P 为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，则动点P 是以A 圆心，AB 半径的圆或圆弧。
P
P
A
B
O
P
P
P
A
B
P
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB=90°，则动点P 是以AB 为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。
例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点
，
半径为2，
，
，点
是
上的动点，
点
是
的中点，则
的最小值为（ ）
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A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接
交
于
，连接
，由题
意得出
是
的中位线，则
，从而得到当
最小值，
最小，即当
运动到
时，
最小，此时
也为最小，求出
的长即可得出答案．
【详解】解：如图，连接
交
于
，连接
，
∵
，
，∴
，
，∴
，
，
∵点
是
的中点，∴
，∴
是
的中位线，∴
，
∴当
最小值，
最小，∴当
运动到
时，
最小，此时
也为最小，
∵
，∴
的最小值为
，故选：A．
例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系
中，半径为2 的
与x 轴的正半轴交于点
A，点B 是
上一动点，点C 为弦
的中点，直线
与x 轴、y 轴分别交于点D、E，则点C 到
直线
的最小距离为（ ）
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A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先确定
点的轨迹是
，则C 到直线
的最小距离为
，根据相似得到边长的数量关系，
列方程直接求解即可．
【详解】解：连接
，如图，
∵点C 为弦
的中点，∴
，∴
，∴点C 在以
为直径的圆上（点O、A 除外），
以
为直径作
，过P 点作直线
于H，交
于M、N，
当
时，
，则
，当
时，
，解得
，则
，
∴
，∴
，∵
的半径为2，∴
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
即
，解得
，∴
，
．
∴点C 到直线
的最小距离为
．故选：C．
【点睛】此题考查圆与三角形的综合，解题关键是先确定
点的轨迹是圆，则C 到直线
的最小距离为
，根据相似列方程直接求解即可．
例3．（2023 春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形
为正方形，P 是以边
为直径的
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上一动点，连接
，以
为边作等边三角形
，连接
，若
，则线段
的最大值为
．
【答案】
/
【分析】连接
、
，将
绕点B 逆时针旋转
得到
，连接
，通过证明
，得出
，从而得出点Q 在以点
为圆心，
为半径的圆上运动；则当
点O，
，P 三点在同一直线上时，
取最大值，易证
为等边三角形，求出
，即
可求出
．
【详解】解：连接
、
，将
绕点B 逆时针旋转
得到
，连接
，
∵
绕点B 逆时针旋转
得到
，∴
，
，
∵
为等边三角形，∴
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，∴
，
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∵
，四边形
为正方形，∴
，则
，
∴
，∴点Q 在以点
为圆心，
为半径的圆上运动；
∴当点O，
，P 三点在同一直线上时，
取最大值，
在
中，根据勾股定理可得：
，
∵
，
， ∴
为等边三角形，∴
，
∴
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q 的运动轨迹，以及熟练掌
握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
例4．（23-24 九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系
中，点A 的坐标是
，点B
是
上一点，
的半径为2，将
绕O 点顺时针方向旋转
得
，连接
，则线段
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】A
【分析】把
绕O 点顺时针方向旋转
得
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，
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以点
为圆心作
，使
的半径为2， 点B 是
上一点，则点
是
上一点，当点
三点共
线，即点
在
上时，
最小．
【详解】解：如图，把
绕O 点顺时针方向旋转
得
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，以点
为圆心作
，使
的半径为2，
，
，
，
，
，
，
过
作
于点
，
，
在
中，
，
点B 是
上一点，则点
是
上一点，
，
当点
三点共线，即点
在
上时，
最小，
，故线段
的最小值为
．故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出
正确的辅助线，运用数形结合的思想方法．
例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，以点A 为圆心，1 为半径作
圆，E 是⊙A 上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，
连结AF，则AF 的最小值是 ．
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【答案】
【分析】通过证
可得
，由勾股定理可得
，根据三角形三边
关系求AF 的最小值即可；
【详解】解：如图，取CD 中点G，连接AE、GF、AG，
∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠GDA=90°，
∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE，
∵
，∴
，∴
，
又AE=1，解得
，由勾股定理可得，
，
由三边的关系可得，AF 的最小值为：AG-GF=
；故答案为：
.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定
与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键.
例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段
为
的直径，点
在
的延长线上，
，
，点
是
上一动点，连接
，以
为斜边在
的上方作Rt
，且使
，连接
，则
长的最大值为 ．
【答案】
/
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【分析】作
，使得
，
，则
，
，
，由
，推出
，即
（定长），由点
是定点，
是定长，点
在半径
为1 的
上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作
，使得
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
（定长），
点
是定点，
是定长，
点
在半径为1 的
上，
，
的最大值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例7．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在
中，
，
，
，平面上
有一点P，
，连接
，
，取
的中点G．连接
，在
绕点A 的旋转过程中，则
的最大
值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的
确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取
的中点
，连接
，
，证明
在以
为圆心，
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为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取
的中点
，连接
，
，
∵
为
的中点，
，∴
，∴
在以
为圆心，
为半径的圆上，
当C，Q，G 三点共线时，
最大，
，
∵
，
，
，∴
，∴
，
∴
，即
的最大值为．故选A
例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系
中，对于图形
与图形
给出如下定义：
为图形
上任意一点，将图形
绕点
顺时针旋转
得到
，将所有
组成的图形记作
，称
是图形
关于图形
的“关联图形”．(1)已知
，
，
，其中
．
若
，请在图中画出
点
关于线段
的“关联图形”；
若点
关于线段
的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出
的取值范围；(2)对于平面上一条长度为
的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”
上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为
，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出
的取值范围
（用含
和的式子表示）．
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【答案】(1)①见详解；②
或
(2)
【分析】（）
根据新定义找出关键点
的旋转
后连接
即可；
同上理分情况讨论即可；
（
）画出分析图，如图所示，线段
的长度为
，圆
的半径为，易得
且相似比为
，再移动图形即可求出
；本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练
掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：
如图所示：线段
即为所求；
如图：当
时，点
关于线段
的“关联图形”与
轴恰有公共点，
∴
时，点
关于线段
的“关联图形”与
轴有公共点；
当
时，点
关于线段
的“关联图形”与
轴恰有公共点，
∴
时，点
关于线段
的“关联图形”与
轴有公共点；
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综上所述：
或
；
（2）如图，画出分析图，如图所示，线段
的长度为
，圆
的半径为，
点
分别绕点
顺时针旋转
得到
，分析可知
且相似比为
，
可得圆
的半径均为
，随意转动图，可得
．
1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段
，点
为
的中点，动点
到点
的距离是1，连接
，
线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
，则线段
长度的最大值是（ ）
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A．3
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】以
为斜边向上作等腰直角
，连接
，
．利用相似三角形的性质证明
，推出
点
的运动轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，根据
，可得结论．
【详解】解：以
为斜边向上作等腰直角
，连接
，
．
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∴
，同理
，
，
，
，
，
，
，
点
的运动轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
，
，故线段
长度的最大值为
．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，
三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压
轴题．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，
中，
，
，点D 是
的中点，P 是
以A 为圆心，以
为半径的圆上的动点，连接
，则
的最大值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定
，分别确定A 点的运动轨迹为阿氏
圆O，C 点的运动轨迹为阿氏圆
，，由此可知，当
最最小时，
的值最大，进行求解即可.
【详解】解：固定
，则
，∴A 点的运动轨迹为阿氏圆O，
设
，则
，
，则
，
∵
，
，∴C 点的运动轨迹为阿氏圆
，∴
，
∴
，∴当
最小时，
的值最大，
，∴
，故选：D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O 和点
的动直线a，b，其夹角
，
点M 是
中点，连接
，则
的最小值是（ ）
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A．4
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作
的外接圆
，连接
，取
的中点Q，连接
，证明
是等边三角
形，求出
，得到点M 在以Q 为圆心，4 为半径的圆上运动，画出
，当M 在
与
的
交点时，连接
交
于M，此时
有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：作
的外接圆
，连接
，取
的中点Q，连接
，
∵
，
，∴
是等边三角形，∵
，∴
，
∵
，
，∴
，∴点M 在以Q 为圆心，4 为半径的圆上运动，画出
，
当M 在
与
的交点时，连接
交
于M，此时
有最小值，
∵
是等边三角形，
，∴
，
∵
，
，∴
．∴
的最小值是
，故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性
质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键．
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4．（23-24 九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边
的边长为
，
是
上一点，
，把
绕
点
旋转一周，
点的对应点为
，连接
，
的中点为
，连接
．则
长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质及三边关系，取
中点
，连接
，利用等边三角形的性质和勾股定理求出
，根据三角形中位线
定理得到
，再利用三角形三边关系
即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵
，把
统点
旋转一周，∴
，
等边
的边长为
，点
是
中点，∴
，
， ∴
，
∵点
是
的中点，∴
，又∵
，∴
，
在
中，
，∴
的最小值为
，故选：
．
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5．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在
中，
，
，
，平面上有
一点P，
，连接
，
，取
的中点G．连接
，在
绕点A 的旋转过程中，则
的最大值
是（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的
确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取
的中点
，连接
，
，证明
在以
为圆心，
为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取
的中点
，连接
，
，
∵
为
的中点，
，∴
，∴
在以
为圆心，
为半径的圆上，
当C，Q，G 三点共线时，
最大，
，
∵
，
，
，∴
，∴
，
∴
，即
的最大值为．故选A
6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M 是等边三角形
边
的中点，P 是三角形内一点，连接
，
将线段
以A 为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则
的最小值为
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．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有
关定义以及和性质等知识，得到点Q 的运动路线是解答的关键．连接
，
，将线段
绕着点A 逆
时针旋转
得到线段
，连接
，
，由旋转性质可推导
，
是等边三
角形，则
，
，根据圆的定义可得点Q 在以H 为圆心，1 为半径的圆上运动，进而可
知当M、Q、H 共线时，
最小，最小值为
，根据等边三角形的性质求得
值即可求解．
【详解】解：连接
，
，将线段
绕着点A 逆时针旋转
得到线段
，连接
，
，
由旋转性质得
，
，
，即
，
∴
，
是等边三角形，∴
，
，
则点Q 在以H 为圆心，1 为半径的圆上运动，
∵
，∴当M、Q、H 共线时，
最小，最小值为
，
∵点M 是等边三角形
边
的中点，
，∴
，
，
∴
，即
，∴
的最小值为
，故答案为：
．
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7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，
是正方形
边
的中点，
是正方形内一点，连接
，线段
以
为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则
的最小值
为 ．
【答案】
【分析】连接
，将
以
中心，逆时针旋转
，
点的对应点为
，由
的运动轨迹是以
为圆
心，为半径的半圆，可得：
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任
一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当
、
、
三点共
线时，
的值最小，可求
，从而可求解．
【详解】解，如图，连接
，将
以
中心，逆时针旋转
，
点的对应点为
，
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，
如图，当
、
、
三点共线时，
的值最小，
四边形
是正方形，
，
，
是
的中点，
，
，
由旋转得：
，
，
，
的值最小为
．故答案：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性
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质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
8．（2024 年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，
，
，点
是线
段
上一个动点，连接
，将线段
沿直线
进行翻折，点
落在点
处，连接
，以
为斜
边在直线
的左侧或者下方构造等腰直角三角形
，则点
从
运动到
的过程中，线段
的最
小值是 ，当
从点
运动到点
时，点
的运动总路径长是 ．
【答案】
【分析】由
，可得
在以
为圆心，
为半径的
圆上运动从
运动到
，当
、
、
共线时，
最小；连接
，
，可证明
∽
，从而得出
，故点
在以
为圆心，
为半径的
圆上运动，当点
从点
运动到点
时，点
运动
，进一步求得结果．
【详解】解：如图，连接
，而
，
，
∴
，由折叠得：
，
淘宝：学思创想
点
在以
为圆心，
为半径的
圆上运动从
运动到
，
当
、
、
共线时，
最小，
，连接
，
，
，
，同理：
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
点
在以
为圆心，
为半径的
圆上运动，如图，
当点
从点
运动到点
时，点
运动
，
，
点
运动的路径长为：
，故答案为：
，
．
【点睛】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，圆的周
长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
9.（2023·深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，2 为半径
作圆，E 是
A
上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90并缩短到原来的一半，得到线段DF ，
连接AF ，则AF 的最小值是 ．
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【答案】2 5
1
【分析】通过证EDA
FDT
∽
可得
1
FT ，由勾股定理可得
2
2
2 5
AT
AD
DT
，根据三角形三边关
系求AF 的最小值即可；
【详解】解：如图，取CD 中点T，连接AE
FT
AT
、
、
，
∵四边形ABCD 是正方形，∴
4
90
AD
CD
ADC
，
，
∵
1
2
2
2
DT
CT
CD
DE
DF
，
，∴
2
DE
AD
DF
DT
，
∵
90
EDF
ADC
，∴
EDA
FDT
，∴EDA
FDT
∽
，∴
2
AE
ED
TF
FD
，∴
1
FT ，
∵
2
2
2 5
AT
AD
DT
，∴AF
AT
TF
，∴
2 5
1
AF
，∴AF 的最小值为2 5
1
10．（24-25 九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形
中，
，
，
是矩形
左侧
一点，连接
、
，且
，连接
，
为
的中点，连接CE，则CE的最大值为 ．
【答案】3
【分析】延长
至F，使
，连接
，点O 为
的中点，以点O 为圆心，
为直径作圆，连
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接
，
延长线交
于点
，交
于点G，连接
；由
且点Q 在矩形的左侧知，点
Q 是在
上运动，由题意及辅助线作法知，
为
的中位线，则
，当F、O、Q 三
点共线时，
最长，最大值为
的长度；利用相似三角形的性质可求得
的长，从而求得
，最后求出
的长，从而可求得
的最大值．
【详解】如图，延长
至F，使
，连接
，点O 为
的中点，以点O 为圆心，
为直径作
圆，连接
，
延长线交
于点
，交
于点G，连接
，
∵
，∴点Q 是在以点O 为圆心，
为直径的圆上运动，
∵Q 是矩形
左侧一点，∴点Q 是在
上运动，
∵
，∴点C 为
的中点，∵点E 为
的中点，∴
为
的中位线，∴
，
∵
，∴当F、O、Q 三点共线时，
最长，此时
的最大值为
的长度，
∵
，∴
，∵四边形
为矩形，
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
设
，则
，∴
，解得：
，∴
，
，
在
中，由勾股定理得
，
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∴
，∴
，∴
．故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知
识，确定出点Q 的运动路径、求
的最大值转化为求
的最大值是解题的关键与难点．
11．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形
的边长为5，以
为圆心，2 为半径作
，点
为
上的动点，连接
，并将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，在点
运动的过程中，
长度
的最大值是 ．
【答案】
/
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连
接
，证明
，得到
，点
在以
为圆心，2 为半径的
上，当
在对角线
延长线上时，
最大，再利用勾股定理求对角线
的长，即可得出
长度的最大值．
【详解】解：连接
，∵正方形
，∴
，
，
∵将
绕点
逆时针旋转
得到
，∴
，
，∴
，
∴
，∴
，∴点
在以
为圆心，2 为半径的
上，
如图，当
在对角线
延长线上时，
最大，
在
中，
，∴
，
淘宝：学思创想
即
长度的最大值为
，故答案为：
．
12.（23-24 九年级上·江苏无锡·期中）如图，
是
上任意一点，点
在
外，已知
，
是等边三角形，则
的面积的最大值为
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点
的位置变换是解题的关键．
如图所示，以
为边作等边
，连接
，可证
，可得
，点
在
以点
为圆心的圆上，且半径
，过点
作
于点
，即
是
的垂直平分线，当点
在
上其在点
的上方时，
的面积的最大值，根据等边三角形，含
角的直角三角形的性质可求
出
，
的值，根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，以
为边作等边
，连接
，
∵
是等边三角形，∴
，
∵
是等边三角形，∴
，
∴
，且
，
，∴
，∴
，
∴点
在以点
为圆心的圆上，且半径
，过点
作
于点
，即
是
的垂直平分线，
淘宝：学思创想
当点
在
上其在点
的上方时，
的面积的最大值，
∴在
中，
，
，
，∴
，
∴
，且
，∴
，
∴
，故答案为：
．
13．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以
点B 为圆心，BD 长为半径作圆，点E 为
上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F 在直线BC
的上方，且满足
，连结BF．当点E 与点D 重合时，BF 的值为 ．点E 在
上运动过程
中，BF 存在最大值为 ．
【答案】
/
【分析】根据题意可知当点E 与点D 重合时，点F 在AC 上，且可求出
的长，从而可求出CF 的长，即
在
中，利用勾股定理求出BF 的长即可；连接AF、BE，由题意即可求出
．再根据
，
，可得出
，即证明
，得出
．从而可求出AF 的长，即说明点F 在以点A 为圆心，半径为1 的圆上运动．则可知当点F 在BA
的延长线上时BF 最大，最大值为
．在
中，利用勾股定理求出AB 的值，即得出答案．
【详解】根据题意可知，当点E 与点D 重合时，点F 在AC 上，如图，
淘宝：学思创想
∵
，∴
．
∴在
中，
；如图，连接AF、BE
∵
，
，∴
．
∵
，
，∴
，
∴
，∴
．
∵
，∴
，即AF 的长为定值．∴点F 在以点A 为圆心，半径为1 的圆上运动．
∴当点F 在BA 的延长线上时BF 最大，且值为
．
在
中，
，∴
．故答案为：
，
．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
在解决第二个空时，证明出点F 在以点A 为圆心，半径为1 的圆上运动是关键．
14．（23-24 九年级·重庆·阶段练习）如图，
4
AB
，O 为AB 的中点，
O
的半径为1，点P 是
O
上一
动点，以PB 为直角边的等腰直角三角形PBC （点P 、B 、C 按逆时针方向排列），则线段AC 的长的取
值范围为 ．
【答案】
【解答】解：如图，作OK
AB
，在OK 上截取OK
OA
OB
，连接AK 、BK 、KC 、OP ．
淘宝：学思创想
OK
OA
OB
，OK
AB
，
KA
KB
，
90
AKB
，
AKB
是等腰直角三角形，
OBK
PBC
，
OBP
KBC
，
2
2
OB
PB
BK
BC
，
OBP
KBC
∽
，
2
KC
BC
OP
PB
，
1
OP
，
2
KC
，点C 的运动轨迹是以点K 为圆心，KC 为半径的圆，
2
2 2
AK
OA
，
AC
的最大值为3 2 ，AC 的最小值
2 ，
2
3 2
AC
剟
．
15．（2024·浙江·一模）如图，在矩形
中，
，
是线段
上一动点，点
，
绕点
逆时
针旋转
得到点
，
，若在运动过程中
的度数最大值恰好为
，则
的长度为 ．
【答案】
【分析】根据点与圆的位置关系，由
，得到
，根据
，得到
，
结合
，得到
，由旋转的性质可得
，根据
可以取最大值3，即可求解，
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是：
根据
的最大值，得到
的最大值．
【详解】解：作
中点
，
中点
，分别以
、
为圆心画圆，连接
、
，
，
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由旋转的性质，矩形的性质，可得：
，
，
在旋转的过程中当
时，
，
∵
，∴
，即：
，
∵点
在线段
上，∴
，∴
，即
，
由旋转的性质可得：
，∴
，
∴当
可以取到最大值3 时，
的度数最大值恰好为
，
当
，
时，即点
与点
重合时，
，
在
中，
，故答案为：
．
16．（23-24 九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形
中，
，
，
是
上一动点，则
的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形
中，
，点
是平面上一点，且
，连接
，在
上
方作正方形
，求
的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021 年9 月在西安举办的第14 届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正
方形区域
进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角
为健身运动
区域，直角顶点E 设计在草坪区域扇形
的弧
上．设计铺设
和
这两条不同造价鹅卵石路，
已知
米，
米，
，
，若铺设
路段造价为每米200 元，铺设
路段的造价为每米100 元，请求出铺设
和
两条路段的总费用的最小值．
淘宝：学思创想
【答案】（1）
（2）
的最大值是
（3）铺设两条路段总费用的最小值为10000 元
【分析】（1）以
为斜边构造
的直角三角形，则
，求
的值即可；
（2）根据题意确定E 点的运动轨迹，进而得出
最大时点E 的位置，求出
即可；
（3）根据费用的关系可求出线段
的最小值即可．
【详解】解：（1）以
为斜边构造
的直角
，且
，
此时
，则
，则当P、B、E 在同一直线上时
有最小值为
，如下图：
即
的最小值为如图所示
的长度，
，
，
，
，
，
，
又
四边形
为矩形，
，
，
，
；
（2）
为动点且
，
点E 的运动轨迹为以C 为圆心，半径为1 的圆，
四边形
为正方形，
，即当
最大时
有最大值，
由图②知：当E 在
延长线上时
的位置时，
有最大值，
此时
，
，故
的最大值是
；
淘宝：学思创想
（3）由题意得：
的费用为
，
求费用最小值即为求
的最小值，连接
，
，在
上截取
，
四边形
时正方形，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
点F 在以A 为圆心，
为半径的弧上，
，
，
，
，即
，
，
当C、F、D 三点共线时，
有最小值
，
在
中，
，
铺设
和
两条路段总费用的最小值为：
（元），
即铺设
和
两条路段总费用的最小值为：
（元）．
【点睛】本题考查两点之间线段最短、正方形性质、圆的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题关键．
17．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，
的半径为2，点
是
外的一个定点，
．点
在
上，作点
关于点
的对称点
，连接
、
．当点
在
上运动一周时，试探究点
的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长
至点
，使
，连接
，通过证明
，可推出点
的运动路径是以点
为圆心、2 为半径
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的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长
至点
，使
，连接
．
1°当点
在直线
外时，
证明过程缺失
2°当点
在直线
上时，易知
．
综上，点
的运动路径是以点
为圆心、2 为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形
中，点
分别为边
的中点，连接
，点
是
中点，
点
是线段
上的任意一点，
．点
是平面内一点，
，连接
．作点
关于点
的对称点
，连接
．
（1）当点
是线段
中点时，点
的运动路径长为________________．
（2）当点
在线段
上运动时，连接
．设线段
长度的最大值为
，最小值为
，则
________________．
【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）
；（2）
【分析】问题解决：延长
至点
，使
，连接
．当点
在直线
外时，证明
得出
；当点
在直线
上时，则
，即可得解；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点
是线段
中点时，点
的运动路径为2 为半径的圆，由此计
算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点
的运动路径为2 为半径的圆，当点
与点
重合时，此时：
点
的运动路径为以
为圆心，2 为半径的圆，连接
交圆
于
，此时
的长度最小；当点
与点
重合时，此时：点
的运动路径为以
为圆心，2 为半径的圆，连接
，连接
交圆
于
，此时
淘宝：学思创想
的长度最大；分别求出
的值即可得解．
【详解】问题解决：证明：延长
至点
，使
，连接
．
1°当点
在直线
外时，
在
和
中，
，∴
，∴
；
2°当点
在直线
上时，则
．
综上，点
的运动路径是以点
为圆心、2 为半径的圆；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点
是线段
中点时，点
的运动路径为2 为半径的圆，
∴点
的运动路径长为
；
（2）由问题解决可得：点
的运动路径为2 为半径的圆，
如图，当点
与点
重合时，此时：点
的运动路径为以
为圆心，2 为半径的圆，连接
交圆
于
，
此时
的长度最小，由题意得：
，
，
，
，
，
，
∴由勾股定理得：
，∴线段
长度的最小值为
；
如图，当点
与点
重合时，此时：点
的运动路径为以
为圆心，2 为半径的圆，连接
，连接
交圆
于
，此时
的长度最大，由题意得：
，
，
∵
，∴
，∴
，
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
、
、
在同一直线上，∴
，
∴
，∴线段
长度的最大值为
，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握
以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
18．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图，已知
半径是，点
是
上的一个动点，点
是平面内一点，
，求证：线段
的最大值
为
．
【问题解决】经过分析，如图
，小明将
延长交
于点
，并猜想此时
最大，为了验证这个猜
想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图
， 在
上任意取一点
点
不与点
重合， 连结
、
，
证明过程缺失
则
，则此时，
最大， 最大值为
．
【问题延申】如图， 在
中，
，
，
， 点
是边
上的一个动点，
连结
， 过点
作
于点
， 连结
， 则线段
的最小值是 ．
【拓展提升】如图
，某景区有一片油菜花地，形状由
和以
为直径的半圆两部分构成， 已知
米，
，
， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据
设计要求，在半圆上确定一点
，沿
修建小路，并在
中点
处修建一个凉亭，沿
修建
仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊
的长度尽可能短，若不考虑其
他因素，则仿古长廊
最短为 米．(结果保留根号)
【答案】[问题解决]见解析；[问题延申]
；[拓展提升]
【分析】[问题解决]根据两点直接线段最短，可得
，进而即可求解；
[问题延申] 根据
可得点F 在以
为直径的半圆上，设
的中点为E，连接
，与点F 的运动
轨迹交于点
，则
的长度即为
的最小值；[拓展提升]连接
，
，取
中点为M，
中点为
N，连接
，
，
，证明
，推出点F 在以
为直径的左侧半圆上，连接
，
淘宝：学思创想
与点F 的运动轨迹交于点
，则
的长度即为
的最小值．
【详解】[问题解决]证明：∴
，即
∴线段
的最大值为
．
[问题解决]证明 如图
， 在
上任意取一点
点
不与点
重合， 连结
、
，
∵
半径是，点
是
上的一个动点，∴
,
∵
则
，则此时，
最大， 最大值为
．
[问题延申]
，
，
点F 在以
为直径的半圆上，
如图，设
的中点为E，连接
，与点F 的运动轨迹交于点
，则
的长度即为
的最小值．
，中点为E，
，又
，
，
，
，
即
的最小值为
．故答案为：
．
（3）
，
，
，
，
，
．
如图，连接
，
，取
中点为M，
中点为N，连接
，
，
，
点E 在以
为直径的半圆上，
，
中点为M，
中点为F，
中点为N，
为
的中位线，
为
的中位线，
为
的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
点F 在以
为直径的左侧半圆上，
取
中点为O，作
于点K，得矩形
，连接
，与点F 的运动轨迹交于点
，则
的
淘宝：学思创想
长度即为
的最小值．
，
中点为O，
，
中点为N，
，
，
，
，
，在
中，
，
，又
，
，
的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性
质等，第三问有一定难度，通过作辅助线判断出点F 的运动轨迹是解题的关键．
