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淘宝：学思创想
专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1
..................................................................................................................................................12
模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动
点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，
即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一
类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO 中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
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模型1-2. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，作AQ⊥AP 且AQ=AP，当点P 在圆O 上运动
时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
O
P
Q
A
M
A
Q
P
O
模型1-3. 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P 为“主动点”，Q 为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；②主动点、从
动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ 是定值）。
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α
A
Q
P
O
α
α
O
P
Q
M
A
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P 为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，则动点P 是以A 圆心，AB 半径的圆或圆弧。
P
P
A
B
O
P
P
P
A
B
P
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB=90°，则动点P 是以AB 为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。
例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点
，
半径为2，
，
，点
是
上的动点，
点
是
的中点，则
的最小值为（ ）
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A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系
中，半径为2 的
与x 轴的正半轴交于点
A，点B 是
上一动点，点C 为弦
的中点，直线
与x 轴、y 轴分别交于点D、E，则点C 到
直线
的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．
例3．（2023 春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形
为正方形，P 是以边
为直径的
上一动点，连接
，以
为边作等边三角形
，连接
，若
，则线段
的最大值为
．
例4．（23-24 九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系
中，点A 的坐标是
，点B
是
上一点，
的半径为2，将
绕O 点顺时针方向旋转
得
，连接
，则线段
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．5
D．6
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例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，以点A 为圆心，1 为半径作
圆，E 是⊙A 上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，
连结AF，则AF 的最小值是 ．
例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段
为
的直径，点
在
的延长线上，
，
，点
是
上一动点，连接
，以
为斜边在
的上方作Rt
，且使
，连接
，则
长的最大值为 ．
例7．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在
中，
，
，
，平面上
有一点P，
，连接
，
，取
的中点G．连接
，在
绕点A 的旋转过程中，则
的最大
值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系
中，对于图形
与图形
给出如下定义：
为图形
上任意一点，将图形
绕点
顺时针旋转
得到
，将所有
组成的图形记作
，称
是图形
关于图形
的“关联图形”．(1)已知
，
，
，其中
．
若
，请在图中画出
点
关于线段
的“关联图形”；
若点
关于线段
的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出
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的取值范围；(2)对于平面上一条长度为
的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”
上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为
，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出
的取值范围
（用含
和的式子表示）．
1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段
，点
为
的中点，动点
到点
的距离是1，连接
，
线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
，则线段
长度的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，
中，
，
，点D 是
的中点，P 是
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以A 为圆心，以
为半径的圆上的动点，连接
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O 和点
的动直线a，b，其夹角
，
点M 是
中点，连接
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．
4．（23-24 九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边
的边长为
，
是
上一点，
，把
绕
点
旋转一周，
点的对应点为
，连接
，
的中点为
，连接
．则
长度的最小值是（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在
中，
，
，
，平面上有
一点P，
，连接
，
，取
的中点G．连接
，在
绕点A 的旋转过程中，则
的最大值
是（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M 是等边三角形
边
的中点，P 是三角形内一点，连接
，
将线段
以A 为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则
的最小值为
．
7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，
是正方形
边
的中点，
是正方形内一点，连接
，线段
以
为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则
的最小值
为 ．
8．（2024 年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，
，
，点
是线
段
上一个动点，连接
，将线段
沿直线
进行翻折，点
落在点
处，连接
，以
为斜
边在直线
的左侧或者下方构造等腰直角三角形
，则点
从
运动到
的过程中，线段
的最
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小值是 ，当
从点
运动到点
时，点
的运动总路径长是 ．
9.（2023·深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，2 为半径
作圆，E 是
A
上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90并缩短到原来的一半，得到线段DF ，
连接AF ，则AF 的最小值是 ．
10．（24-25 九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形
中，
，
，
是矩形
左侧
一点，连接
、
，且
，连接
，
为
的中点，连接CE，则CE的最大值为 ．
11．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形
的边长为5，以
为圆心，2 为半径作
，点
为
上的动点，连接
，并将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，在点
运动的过程中，
长度
的最大值是 ．
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12.（23-24 九年级上·江苏无锡·期中）如图，
是
上任意一点，点
在
外，已知
，
是等边三角形，则
的面积的最大值为
13．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以
点B 为圆心，BD 长为半径作圆，点E 为
上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F 在直线BC
的上方，且满足
，连结BF．当点E 与点D 重合时，BF 的值为 ．点E 在
上运动过程
中，BF 存在最大值为 ．
14．（23-24 九年级·重庆·阶段练习）如图，
4
AB
，O 为AB 的中点，
O
的半径为1，点P 是
O
上一
动点，以PB 为直角边的等腰直角三角形PBC （点P 、B 、C 按逆时针方向排列），则线段AC 的长的取
值范围为 ．
15．（2024·浙江·一模）如图，在矩形
中，
，
是线段
上一动点，点
，
绕点
逆时
针旋转
得到点
，
，若在运动过程中
的度数最大值恰好为
，则
的长度为 ．
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16．（23-24 九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形
中，
，
，
是
上一动点，则
的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形
中，
，点
是平面上一点，且
，连接
，在
上
方作正方形
，求
的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021 年9 月在西安举办的第14 届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正
方形区域
进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角
为健身运动
区域，直角顶点E 设计在草坪区域扇形
的弧
上．设计铺设
和
这两条不同造价鹅卵石路，
已知
米，
米，
，
，若铺设
路段造价为每米200 元，铺设
路段的造价为每米100 元，请求出铺设
和
两条路段的总费用的最小值．
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17．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，
的半径为2，点
是
外的一个定点，
．点
在
上，作点
关于点
的对称点
，连接
、
．当点
在
上运动一周时，试探究点
的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长
至点
，使
，连接
，通过证明
，可推出点
的运动路径是以点
为圆心、2 为半径
的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长
至点
，使
，连接
．
1°当点
在直线
外时，
证明过程缺失
2°当点
在直线
上时，易知
．
综上，点
的运动路径是以点
为圆心、2 为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形
中，点
分别为边
的中点，连接
，点
是
中点，
点
是线段
上的任意一点，
．点
是平面内一点，
，连接
．作点
关于点
的对称点
，连接
．
（1）当点
是线段
中点时，点
的运动路径长为________________．
（2）当点
在线段
上运动时，连接
．设线段
长度的最大值为
，最小值为
，则
________________．
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18．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图，已知
半径是，点
是
上的一个动点，点
是平面内一点，
，求证：线段
的最大值
为
．
【问题解决】经过分析，如图
，小明将
延长交
于点
，并猜想此时
最大，为了验证这个猜
想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图
， 在
上任意取一点
点
不与点
重合， 连结
、
，
证明过程缺失
则
，则此时，
最大， 最大值为
．
【问题延申】如图， 在
中，
，
，
， 点
是边
上的一个动点，
连结
， 过点
作
于点
， 连结
， 则线段
的最小值是 ．
【拓展提升】如图
，某景区有一片油菜花地，形状由
和以
为直径的半圆两部分构成， 已知
米，
，
， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据
设计要求，在半圆上确定一点
，沿
修建小路，并在
中点
处修建一个凉亭，沿
修建
仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊
的长度尽可能短，若不考虑其
他因素，则仿古长廊
最短为 米．(结果保留根号)
