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淘宝：学思创想
专题35 最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之
外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三
个顶点距离之和最小的点。
....................................................................................................................................................1
模型1.费马点模型...........................................................................................................................................1
模型2.加权费马点模型.................................................................................................................................12
..................................................................................................................................................20
模型1.费马点模型
结论：如图1，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM、BM、CM，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC 的值最小。
图1 图2 图3
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注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）
证明：如图2，以AB 为一边向外作等边三角形△ABE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE 为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB 与△ENB 中，∵
，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB 知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN 为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M 即为△ABC 的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（23-24 九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在
中，
，点
为
内部一点，则点
到
三个顶点之和的最小值是 ．
【答案】
【分析】将
绕着点A 顺时针旋转
，得到
，连接
，过点C 作
，交
的
延长线于N，由旋转的性质可得
，
，
，
，
，易
得
是等边三角形，可得
，进而得到
，当点H、E、P、C
共线时，
有最小值
，再求出
和
的长度，由勾股定理可求解．
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【详解】解：将
绕着点A 顺时针旋转
，得到
，连接
，过点C 作
，交
的延长线于N，
∴
，
，
，
，
，
∴
，∴
是等边三角形，∴
，
∴
，∴当点H、E、P、C 共线时，
有最小值
．
∵
，
，
∴
，∴
，∴
．
在
中，
，即点P 到
三个顶点之和的最小值是
．
故答案为：
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角
形的性质，构造旋转图形是本题的关键．
例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形
中，
是
的中点，
是
边上
一动点，将
沿着
翻折，使得点
落在点
处，矩形内有一动点
连接
则
的最小值为 ．
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【答案】
【分析】将
绕点D 逆时针旋转
得到
，连接
，从而将
转化到
，当点E、
、P、
、
在同一条直线上时，
=
取得最小
值．
【详解】
如图，将
绕点D 逆时针旋转
得到
，连接
，则有：
、
是等边三角形，
=
由折叠的性质可知，
的运动轨迹是以E 为圆心，EB 长为半径的圆（如图所示），故当E、
、P、
、
在同一直线上时取最小值；
是
的中点，
、
是等边三角形，
DC=4，
，
，
的最小值为：
=
=
；
故答案为
．
【点睛】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解．
例3．（23-24 九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知
所在平面内求一点P，使它到三
角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在
1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图
2，把
绕A 点逆时针旋转
得到
（点P，C 的对应点分别为点
，
），连接
，则
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，
．
∵______，∴
为等边三角形，∴
，∴
，
∴当B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，即点P 是
的“费马点”．
任务：（1 ）横线处填写的条件是______ ；（2 ）当点P 是
的“ 费马点” 时，
______；
（3 ）如图3 ，△ABC 中，
，
，E ，F 为BC 上的点，且
，判断
之间的数量关系并说明理由；
【实际应用】图4 所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C 为公园的出入口，
，
，
AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则
的
最小值是______．
【答案】问题背景：（1）见解析；（2）
；（3）
，理由见解析；实际应用；
【分析】问题背景：（1）先证明
为等边三角形，得到
，则
，
由此可得当B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，即点P 是
的“费马点”．
（2）由旋转的性质可得
，
，进而利用三角形内角和定理得到
，再由等边三角形的性质得到
，则
，
，即可
利用周角的定义得到
；
（3）将
绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
，利用旋转的性质和等边对等角，得到
，
为直角三角形，进而得到
，证明
，得到
，即
可得出结论；
实际应用：如图所示，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
，由问题背景（1）可得当
B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，最小值为
，过点
作
交
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延长线于D，证明
是等腰直角三角形，得到
，则
，利用勾股定理得到
，则
得最小值为
．
【详解】解：问题背景：（1）如图2，把
绕A 点逆时针旋转
得到
（点P，C 的对应点分
别为点
，
），连接
，则
，
．
∵
，∴
为等边三角形，∴
，∴
，
∴当B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，即点P 是
的“费马点”．
（2 ）如图2 所示，设
交于O ，由（1 ）可得当B ，P ，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，由旋转的性质可得
，
，又∵
，∴
∵
为等边三角形，∴
，∴
，
，
∴
，∴
，故答案为：
；
（3）
，理由如下：∵
，
，∴
，
如图所示，将
绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
，
则：
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
，∴
；
实际应用：如图所示，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
，
由问题背景（1）可得当B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，最小值为
，
过点
作
交
延长线于D，由旋转的性质可得
，
，
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∵
，∴
，∴
是等腰直角三角形，
∴
，∴
，
∴
，∴
得最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
等腰直角三角形的性质与判定等等，通过旋转构造全等三角形是解题的关键．
例4．（2023 春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知
所在平面上求一点P，使它到三角形的三
个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求
的点被人们称为“费马点”．如图1，当
三个内角均小于120°时，费马点P 在
内部，当
时，则
取得最小值．
(1)如图2，等边
内有一点P，若点P 到顶点A、B、C 的距离分别为3，4，5，求
的度数，为
了解决本题，我们可以将
绕顶点A 旋转到
处，此时
这样就可以利用旋转变换，
将三条线段
、
、
转化到一个三角形中，从而求出
_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
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角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下
问题．(2)如图3，
三个内角均小于120°，在
外侧作等边三角形
，连接
，求证：
过
的费马点．(3)如图4，在
中，
，
，
，点P 为
的费马
点，连接
、
、
，求
的值．(4)如图5，在正方形
中，点E 为内部任意一点，
连接
、
、
，且边长
；求
的最小值．
【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)
；(4)
．
【分析】（1）根据旋转性质得出
≌
，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，
BP=CP′=4，根据△ABC 为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，
∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理
，得出△PP′C 是直角三角形，
∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，
AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据
，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，
最小=CB′，点P 在CB′上即可；
（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′
均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据
，可得点C，
点P，点P′，点B′四点共线时，
最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾
股定理BC=
，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在
Rt△CBB′中，B′C=
即可；
（4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB 延长线于F，得出
△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，
BB′=BC，∠B′BC=60°，
，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，
最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求
∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=
，勾股
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定理BF=
，可求AF=AB+BF=2+
，再根据勾股定理AB′=
即可．
【详解】（1）解：连结PP′，∵
≌
，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，
BP=CP′=4，
∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC 中，PC=5，
，
∴△PP′C 是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；
（2）证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，
AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，
∵
，∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，
最小=CB′，
∴点P 在CB′上，∴
过
的费马点．
（3）解：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，
最小=CB′，
∵
，
，
，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=
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∴
最小=CB′=
；
（4）解：将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB 延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵
，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，
最小=AB′，
∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，∴BF=
，BF=
，
∴AF=AB+BF=2+
，∴AB′=
，∴
最小=AB′=
．
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【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间
线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾
股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题
关键．
例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，
公里，
公里，现在要设立两个车站E，F，则
的最小值为______公里．
【答案】15+10
【分析】将△AEB 绕A 顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC 绕点D 逆时针旋转60°得到
△DF'M，连接CM、FM、FF'，如图2，此时EH、EF、FM 共线，EA+EB+EF+FC+FD 是最小值，利用旋
转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．
【详解】解：如图1，将△AEB 绕A 顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC 绕点D 逆时针旋转
60°得到△DF'M，连接CM、FF'，
由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，
∴△AEG 和△ABH 是等边三角形，∴AE=EG，
同理得：△DFF'和△DCM 是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，
∴当H、G、E、F、F'、M 在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD 有最小值，如图2，
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∵AH=BH，DM=CM，∴HM 是AB 和CD 的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，
∵AB=10，∴△ABH 的高为5
，
∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5
+5
=15+10
，
则EA+EB+EF+FC+FD 的最小值是（15+10
）公里．故答案为：（15+10
）．
【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E 和
F 的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．
模型2.加权费马点模型
结论：点P 为锐角△ABC 内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP 最小值。（加权费马点）
证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
如：保持BP 不变，xAP+yBP+zCP=
y( x
y AP +BP + z
y CP )
，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。
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例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形
和矩形
中，
，
，
,
．矩形
绕着点A 旋转，连接
，
，
，
．
(1)求证：
；(2)当
的长度最大时，①求
的长度；②在
内是否存在一点P，使得
的值最小?若存在，求
的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①
；②存在，最小值是
【分析】（1）根据矩形的性质，先证
，利用相似三角形的性质准备条件，再证
即可；（2）①先确定当
在矩形
外，且
三点共线时，
的长度最大，并画
出图形，在
中求出
的长，最利用
的性质求解即可；②将
绕着点A 顺时针旋
转
,且使
，连接
，同理将
绕着点A 顺时针旋转
,得到
, 且使
，连接
，过P 作
于S，过点L 作
垂直
的延长线于点Q，确定
，当C、
P、K、L 四点共线时，
的长最小，再根据
直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
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【详解】（1）证明：∵
，
，∴
，
∵矩形
和矩形
，∴
，
，
，∴
，
∴
，
，∴
，
，
即
，
，∴
（2）∵
，∴当
在矩形
外，且
三点共线时，
的长度最大，如图所示：
此时
，
，
①∵
，
，∴
，
，
在
中，
，
，
∴
，由（1）得：
，
∴
， 即
，∴
；
②如图，将
绕着点A 顺时针旋转
,且使
，连接
，同理将
绕着点A 顺时针旋转
,
得到
, 且使
，连接
，
由旋转可得：
，∴
，∴
，∴
,
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过P 作
于S，则
，
，
∴
，则
， ∴
，∴
，
∵
，即
，当C、P、K、L 四点共线时，
的长最小，
由题意，
，
，
，
，
过点L 作
垂直
的延长线于点Q，
，
∴
，
，则
，
在
中，根据勾股定理得
，∴
的最小值为
.
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解
直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与
联系，适当添加辅助线是解答的关键.
例2．（2024·重庆·二模）已知
中
，点
和点
是平面内两点，连接
，
和
，
．
(1)如图1，若
，
，
，求
的长度；(2)如图2，连接
和
，点
为
中点，点
为
中点，连接
和
，若
，求证：
；(3)若
，
，当
取得最小值，且
取得最大值时，直接写出
的面积．
【答案】(1)
(2)见解析(3)
【分析】（1）过点
作
交
于点
，证明
即可求解；
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（2）取
的中点
，连接
，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
得出
，再证明
，得出
，进而即可得证；
（3）将
绕点
顺时针转
得到
，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，
根据
，当
四点共线时，
最小，进而确定
的位置，
根据点
在
为圆心，
为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当
取得最大值时，
在
的延长线上，连接
，过点
作
于点，进而解直角三角形，求得
的长，根据三角形面
积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点
作
交
于点
，
∵
中
，∴
，
，
∵
，
，∴
，
．
又∵
，∴
∴
∴
；
（2）解：如图所示，取
的中点
，连接
，
又∵
是
，
，∴
，
∵
∴
，∵
，
为
的中点，∴
，
在
中，
∴
∴
淘宝：学思创想
∴
即
又∵
即
，∴
∴
∵
∴
∴
（3）解：∵
中
，
，∴
是等边三角形，
如图所示，将
绕点
顺时针转
得到
，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，
∴
，
，
，
则
是等边三角形，
是等边三角形，
∵
取
的中点
，则
，
∵
是
的中点，
，
，∴
∴当
四点共线时，
最小 此时如图所示，∴
∵
，∴
，∴
是直角三角形，∴
是直角三角形，∴
∵
∴
∴
设
，则
，
，
在
中，
∵
是等边三角形，∴
，
在
中，
∴
∴
解得：
∴
，
取
的中点
，连接
，
∵
∴点
在
为圆心，
为半径的圆上运动，
∴
，∴当
取得最大值时，
在
的延长线上，连接
，过点
作
于点，
淘宝：学思创想
在
中，
，∴
，
∴
，∴
，
∴
的面积为
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三
角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，
加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键．
例3．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）在等边
中，点D 是边
上一点，连接
，将线段
绕
点A 顺时针旋转
得到线段
，则
，
，连接
交
于点F，交
于点H．
(1)如图1，当点D 为
中点时，且
，求
的面积；(2)如图2，猜想线段
、
、
之间
的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若
，在
内部有一个动点P，连接
、
、
，
直接写出
的最小值．
【答案】(1)
(2)
，见解析(3)
【分析】（1）过点E 作
，交
的延长线于点M，求得
，
，
，利用
计算即可．（2）在
上取点M 使
，
连接
．则由
可证明
，从而有
，
；再由
证明
淘宝：学思创想
，得
，则由线段的和差关系可得结论；（3）过点C 作
于点C，使得
，过点C 作
于点C，使得
，证明
，得到
，根据勾股定
理，得
，从而得到
，根据两点之间线段
最短，得到
，得到当
共线时，
取得最小值，过点A 作
，交
的延长线于点Q，过点A 作
于点R，则四边形
是矩形，利用等边三角形
的性质，勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过点E 作
，交
的延长线于点M，
∵等边
，∴
，
，
∵点D 为
中点, ∴
，
，
∵
，
，
，∴
，由勾股定理得
，解得
；
∵
，
，∴
，∴
．
（2）解：
．理由如下：在
上取点M 使
，连接
．
∵
是等边三角形，∴
，
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，
，∴
，
淘宝：学思创想
∵
，
，
∴
，在
和
中，
，∴
，
∴
，即
，∵
，∴
．
（3）解：过点C 作
于点C，使得
，过点C 作
于点C，使得
，根据题意，
得
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
，根据勾股定理，得
，
∴
，∴
，
∵
，∴当
共线时，
取得最小值，
∵
，∴
，∴
，
过点A 作
，交
的延长线于点Q，过点A 作
于点R，则四边形
是矩形，
∴
，∵等边
，∴
，
，
∴
，∴
，
故
的最小值为
．
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，
含30 度直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相应的知识是解题的关键．本题有一定的
难度，添加适当的辅助线是解题的关键．
1．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M 是矩形
内一点，且
，
，N 为
淘宝：学思创想
边
上一点，连接
、
、
，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
、
，然后即可得
为等边三
角形，同理
为等边三角形，接着证明当
、
、
三条线段在同一直线上，
的值最小，即
的值最小，过点
作
于点E，即
最小值为：
，问题随之得解．
【详解】如图所示，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
、
，
根据旋转的性质有：
，
，
，
为等边三角形，同理
为等边三角形，
，
，
，
当线段
、
、
三条线段在同一直线上，且该直线与
垂直时，
的值最小，
即
的值最小，如下图，过点
作
于点E，交
于点F，
最小值为：
，在矩形
中，
于点E，
即可知四边形
是矩形，
，即
，
为等边三角形，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最
短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．
2．（2023·广东深圳·二模）如图，
是等边三角形，M 是正方形ABCD 对角线BD（不含B 点）上任
意一点，
，
（点N 在AB 的左侧），当AM+BM+CM 的最小值为
时，正方形的边
长为______．
【答案】
【分析】首先通过SAS 判定
，得出
，因为
,
,得出
是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=
，作辅助线，
过点E 作
交CB 的延长线于F，由题意求出
，设正方形的边长为x，在
中，
根据勾股定理求得正方形的边长为
．
【详解】∵
为正三角形，∴
，
∴
∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴
∴
．
淘宝：学思创想
在
和
中
，∴
（SAS）∴
在
中，
又∵
，∴
为等边三角形，∴
．
∵AM+BM+CM 最小值为
．∴EN+MN+CM 的最小值为
即CE=
．
过点E 作
交CB 的延长线于F，可得
．
设正方形的边长为x，则BF=
，
．
在
，∵
，∴
解得
（负值舍去）．∴正方形的边长为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角
三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．
3.（24-25 九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC 内存在一点P，使它到三角形顶
点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC 的值为费马距离．经研究发现：在锐角
△ABC 中，费马点P 满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P 为锐角△ABC 的费马点，且PA＝3，
PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 ．
【答案】7+2
【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：如图：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，
淘宝：学思创想
∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB
∴
即PB2＝12∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质．
4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形
中，
，点E 是
的中点，点F 是
边上一
动点．将
沿着
翻折，使得点B 落在点
处，若点P 是矩形内一动点，连接
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将
绕点C
顺时针旋转
得到
，连接
，连接
，由等腰三角形
得出
，再由折叠得出
点
的轨迹在以点E 为圆心，
为半径的圆周上，所以
的最小值为
，即
的最小值为
，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的
性质是解决此题的关键．
【详解】将
绕点C 顺时针旋转
得到
，连接
，连接
，
则
三点共线，
，∴
，∴
，
∵点E 是
的中点，∴
，∵
，
淘宝：学思创想
∴
，由
折叠成
，∴
，
∴点
在以点E 为圆心，
为半径的圆上，∴
，
∵两点间线段最短，∴
，即
，
∴
，∴
，
则
的最小值为
，故答案为：
．
5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在
中，P 为平面内的一点，连接
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．36
C．
D．
【答案】A
【分析】分别以
、
为边在下方构造等边三角形
、
，分别取
、
中点
，连
接
，先证得
，可得
，由中位线可得
，由等边三角
形性质可得
，当
三点共线时即可求得
的最小
值，最终求出
的最小值．
淘宝：学思创想
【详解】分别以
、
为边在下方构造等边三角形
、
，分别取
、
中点
，连
接
，如图所示，
∵取
、
中点
，∴
，∵等边三角形
，∴
，
∵等边三角形
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴当
三点共线时
最小，
∵
∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
的最小值为
，故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型
构造辅助线．
6．（23-24 九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E 是边长为8 的正方形
的边
上的动点，
于点F，G 在
上，且
，P 是平面内一动点，H 是
上的动点，则
淘宝：学思创想
的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接
，以
为斜边构造等腰直角三角形
，则以O 为圆心，以
为半径的圆中的一个
锐角圆周角为
，过点O 作
于点Q，过点O 作
交
的延长线于点P，
，利用旋转解答即可．
【详解】解：连接
，根据题意，得
，
∵
，
，∴
∴
，
以
为斜边构造等腰直角三角形
，则以O 为圆心，以
为半径的圆中的一个锐角圆周角为
，
根据
，得对角互补，∴G 的运动轨迹为以O 为圆心，以
为半径的圆的红色圆弧，
过点O 作
于点Q，过点O 作
交
的延长线于点P，
则四边形
是正方形，且
，
∴
，
，取
，连接
，
∵
，
，∴
，且
，∴
，
∴
，∴
，将四边形
绕点A 顺时针旋转
，
则
，如图作
，∴
，∴
，
∴
淘宝：学思创想
∴
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用，
熟练掌握旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用是解题的关键．
7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如
可看做是图一中
的长，
可看做是
的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在
中有一点
使得
的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将
绕
点向外旋转
得到
，并连接
易得
是等边三角形、
，则
，
则
，所以
的值最小为
．
请结合以上两材料求出
的最小值
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，含30 度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转
化为
，构造直角三角形
，
，
，
淘宝：学思创想
以
为坐标原点构造直角坐标系，设
为
，进而得到
，
，
，将
绕点
点逆时针旋转
得到
，并做
，根据旋转的性质，
含30 度角的性质，求出
的长，根据
，进行求解即可．
【详解】解：原式
可看做下图中的
，其中
为
，
则
，
，
将
绕点
点逆时针旋转
得到
，并做
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
又
，
∵
，∴
，
∴
的最小值为
；
的最小值为
．
8．（2023 上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：
【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边
与等边
淘宝：学思创想
共一个顶点时，无论怎么摆放可通过
恒有
．于是提出了如下问题．
【问题证明】（1）如图2，M 是等腰
内一点，N 是等边
内一点，且满足
．
求证：
是等边三角形．
【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M 是等腰
内一点，当点M 到三角形3 个顶点的距离
之和，即
最小时，我们把M 点称为等腰
的“紫荆点”．若M 是等腰
的紫
荆点，求
．
完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）
解：如图3，令
，
分别是等腰
，等边
内一点，且满足
∴
∵
是等边三角形 ∴
，
由 ① 可知：∴
的最小值
的最小值= ②
∴如图4，当D、N、M、C 在一条直线上时．M 是等腰
的紫荆点
∴
③
；
④
∴
【拓展提升】（3）甲同学发现等腰
“紫荆点”的作法：如图5，已知
，在AB 的左侧作等
边
．连接
，与
的角平分线
交于点M，点M 就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？
请说明理由．
【答案】（1）见详解（2）①两点之间，线段最短，②
③
④
（3）正确，理由见详解
【分析】（1）因为
，所以
，
，因为
是等边三角形，则
淘宝：学思创想
，故
，即可证明
是等边三角形；（2）依题意，由
的最小值
的最小值，知道①填写的内容是两点之间，线段最短，即②填写的是
；根据
，又因为
以及邻补角性质，故
，因为三角形外角性质，知
，结合
推导前后内容，即可作答；（3）连接
，在
上取点N，使
，根据
是等腰
的角平
分线，得
，结合
，所以
，证明
，
得
，
，证明
是等边三角形，
，
，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
，∴
，
，
∵
是等边三角形，则
，∴
∵
，∴
是等边三角形；
（2）解：如图3，令
，
分别是等腰
，等边
内一点，且满足
∴
∵
是等边三角形∴
，
由两点之间，线段最短可知：∴
的最小值
的最小值
∴如图4，当D、N、M、C 在一条直线上时．M 是等腰
的紫荆点
∴
；
∴
（3）正确，证明如下：如图：连接
，在
上取点N，使
，连接
，
∵
是等腰三角形∴
∵
是等腰
的角平分线，∴
∵
，
∴
∴
，
∵
是等边三角形，
是等腰三角形∴
∴
∵
∴
∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
是等边三角形，
则
，即
，
结合“紫荆点”的定义，则甲同学发现是正确的．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、以及等腰三角形的性质和等边三角形的性质与判定，综合
性较强，熟练掌握作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
9．（2024·陕西西安·二模）问题提出
(1)如图1，在等边
内部有一点P，
，
，
，则
______．
问题解决(2)如图2，五边形ABCDE 是某公园局部平面图，
，
，
，
，
，
．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观
赏桥梁PQ 和三条观光路AP，CQ，DQ，且
，
．已知观赏桥梁修建费用每米2a 元和观
光路修建费用每米a 元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a 的代数
式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)150°；(2)最小的总费用为
元
【分析】（1）、将
绕点B 顺时针旋转60°得
，则可得
为等边三角形，由勾股定理逆
定理可得：
，即可求解；（2）、连接BE，BP，EP，将
绕点B 顺时针旋转60°得到
，连接
由（1）方法可得
最小，即需
最小，所以当A，P，
，
四点共线时，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图3，将
绕点B 顺时针旋转60°得
，
则
，
，
为等边三角形，∴
，
淘宝：学思创想
，∵
，∴
，∴
，∴
；
（2）如图4，连接BE，BP，EP，修桥梁费用为100a，修观光路费用为
．
∵
，
，∴四边形BCQP 是平行四边形，四边形PQDE 是平行四边形，
∴
，
，∴要使
最小，则需
最小．
将
绕点B 顺时针旋转60°得到
，连接
．∴
是等边三角形，
∴
，
，∴
，
当A，P，
，
四点共线时，
最小，∴
的最小值为
，
如图5，延长
，过点A 作
，垂足为点H，
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
．
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
，
在
中，由勾股定理，得
，
∴最小的总费用为
元．
【点睛】本题考查了三角形旋转，等边三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，
利用三角形旋转性质作出辅助三角形是解题的关键．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在
中，
，
，P 为
内
一点，求
的最小值．为了求
的最小值，小明是这样做的：将
绕点A 顺时
针旋转60°得到
，则
，连接
．此时小明发现
，且
，则
为等
边三角形，于是
．试着根据小明的思路，求出
的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地
，其中
米，
米，点E 在
边上且
米，F 为
边上任意一点，点A 关于
的对称点为
．牧场主欲在四边形
的四条边上装
上栅栏饲养土鸡，并将B 点、C 点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形
内一点P 处打一口井，
并修建地下管道
，
，
．请问：是否存在一点P，使
的值最小？如果存在，请求出
的最小值及此时
的长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在，
的最小值为300，
的长为
米
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性质，
特殊角三角函数，相似三角形的判定及性质．（1）连接
，由旋转的性质得到
，
，
，再由勾股定理得
即可解答．（2）连接
，
作点A 关于
的对称点
，则点
的轨迹为弧
，将
绕点B 顺时针旋转60°得到
，连接
淘宝：学思创想
，
，
，
．由旋转的性质得
，
，
，
，当E，
，P，
，C 五点共线时，
取得最小值，过
点
作
于点H，交
于点M，证得
为等边三角形，再由特殊角的三角函数得到
，
米，则
，再根据勾股定理得
的值，设
交
于点N，过点B
作
于点Q，易证
，即可解答．
【详解】解：（1）如图①，连接
．
根据小明的思路可知，
，
，则
．
∵
，
，
在
中，
，
当C，P，
，E 四点共线时取得最小值，
的最小值为
．
（2）存在．∵点A，
关于
对称，
米，
点
在以点E 为圆心，50 米为半径的圆弧
上．
如图②，连接
，作点A 关于
的对称点
，则点
的轨迹为弧
．
由（1）同理可得，将
绕点B 顺时针旋转60°得到
，连接
，
，
，
．由旋转的
淘宝：学思创想
性质得
，
，
，
为等边三角形，
，
∵
，
米．
当E，
，P，
，C 五点共线时，
取得最小值，最小值为
，此时点
为
与弧
的交点． 过点
作
于点H，交
于点M．
∵
，
为等边三角形，
米．
∵
，
，
，
（米），
在
中，
（米）．
易得
米，
米，
则
（米），
（米），
在
中，
（米），
（米），
的最小值为300．
设
交
于点N，过点B 作
于点Q．
，
，
，即
，
米，
米，
米，
，
，
，
，
米，易知当
取得最小值时，
，
在
中，
（米）．
答：
的最小值为300，此时
的长为
米．
11．（23-24 八年级下·陕西·阶段练习）课本再现：
（1）把两个全等的矩形
和矩形
拼成如图1 的图案，则
的度数为________；
淘宝：学思创想
图1 图2 图3
迁移应用：（2）如图2，在正方形
中，E 是
边上一点（不与点C、D 重合），连接
，将
绕点E 顺时针旋转
至
，作射线
交
的延长线于点G，求证：
；
拓展延伸：（3）如图3，在菱形
中，
，E 是
边上一点（不与点C、D 重合），连接
，
将
绕点E 顺时针旋转
至
，作射线
交
的延长线于点G．
①线段
与
的数量关系是________②连接
，点P 为
内一点，连接
．若
，
则
的最小值为________．
【答案】（1）90；（2）见解析；（3）①
；②
【分析】（1）先证明
，可得
，从而得到
，由此
可得答案；（2）过点F 作
交
延长线于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明
，可得
，从而得到
，进而得到
是等腰直角三角形，即
可证明结论；
（3）①过点F 作
，与
的延长线交于点H，可证得
，从而得到
，
，
，进而得到
，
，继而得到
；
②把
绕点B 逆时针旋转
，点P 的对应点为点N，点A 的对应点为点M，过点M 作
的垂线交
的延长线于点H，得
为等边三角形，求出
,当点
四点共线时，
的值最小，即
的长，可得
的最小值为
的长，根据勾股定理可求解
【详解】解：（1）∵矩形
和矩形
是全等矩形，∴
，
在
和
中，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
；故答案为：90；
淘宝：学思创想
（2）如图，过点F 作
交
延长线于点H，
∵四边形
是正方形，∴
，∴
，
由旋转的性质得：
，∵
，∴
，
在
和
中，
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
是等腰直角三角形，∴
；
（3）①过点F 作
，与
的延长线交于点H，
∵四边形
是菱形，∴
，由旋转得
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
是直角三角形，
∵
，∴
，故答案为：
；
②如图，把
绕点B 逆时针旋转
，点P 的对应点为点N，点A 的对应点为点M，过点M 作
的垂
线交
的延长线于点H，则
，
淘宝：学思创想
∴
是等边三角形，∴
∴
，
当点
四点共线时，
的值最小，最小值为线段
的长，
∵四边形
是菱形，且
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
又
，∴
，∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、
等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含
角的直角三角形的性质以及勾股定理等
知识，本题综合性强，熟练掌握正方形、矩形、菱形的性质以及旋转的性质，证明三角形全等是解题的关
键
12．（23-24 九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在
中，
，
，
于点D．点G 是射线AD 上一点，过G 作
分别交AB、AC 于点E、F：
(1)如图①所示，若点E，F 分别在线段AB，AC 上，当点G 与点D 重合时，求证：
；
(2)如图②所示，当点G 在线段AD 外，且点E 与点B 重合时，猜想AE，AF 与AG 之间存在的数量关系并
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说明理由；(3)当点G 在线段AD 上时，请直接写出
的最小值．
参考公式：
【答案】(1)证明见详解(2)
，理由如下(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可求证；
（2）过点
作
上
交
延长线于点
，由等腰直角三角形可得
，
，
由“
“可证
，可得
，可得结论；
（3）将
绕点
顺时针旋转
得到△
，连接
，
，过点
作
，交
的延长线
于点
，由旋转的性质可得
，则当点
，点
，点
，点
共线时，
的值最小，最小值为
的长，由
角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：由题：在
中，
，
，
于点
，
,
则
也是
上的中点，即
是
的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
，理由如下：如图1，过点
作
交
延长线于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
．
（3）如图2，将
绕点
顺时针旋转
得到△
，连接
，
，过点
作
，交
的延长线于点
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
当点
，点
，点
，点
共线时，
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的值最小，最小值为
的长，
，
，
，
，
，
，
的最小值为：
．
【点睛】考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力，用旋转的知识解决几何最值问题，对于与等腰直
角三角形有关的证明题往往要进行图形的
旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行，最值
问题常常要通过轴对称和旋转
把要求的线段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线
段最短来解决．
13．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王
的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643 年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的
私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一
条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位置．托里拆利成功地解决了
费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C 距离之和最小的点称为
ABC 的费
马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将
BPC 绕点B 顺时针
旋转60°得到
BDE，连接PD，可得
BPD 为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因
PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC 的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC 内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若
AB=2，求PA+PB+PC 的最小值；（3）如图3，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，
在点E 运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在
ADE 内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE
最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2
；（3）存在，2
-2
【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解；
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（2）在Rt△ABC 中先求出AC，将△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，由两点之间
线段最短可知，PA+PB+PC 的最小值与线段AE 的长度相等，根据勾股定理即可求解；
（3）在△ADE 内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD 饶点D 顺时针旋转60°得到△FGD，根据旋转
的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE 的最小值与线段GE 的长度相等，再根据圆的特点、菱形与
勾股定理即可求出GE，故可求解．
【详解】（1）连接AE，如图，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC 的最小值为线段AE 的长
故答案为：两点之间线段最短；AE；
（2）∵在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2
∴BC=2AB=4 由勾股定理可得AC=
如图2，将△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，可得△CPD 为等边三角形，
∠BCE=60°
∴PD=PC 由旋转可得DE=PB，CE=BC=4 ∴PA+PB+PC=PA+DE+PD
由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC 的最小值与线段AE 的长度相等
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90° ∴在Rt△ACE 中，AE=
即PA+PB+PC 的最小值为2
；
（3）存在在
ADE 内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE 最小，
如图3，在△ADE 内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD 饶点D 顺时针旋转60°得到△FGD，连接
PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG 均为等边三角形
∴PD=PF 由旋转可得PA=GF
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∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE 的最小值与线段GE 的长度相等
∵∠BEC=90°∴点E 在以BC 为直径的
O 上，如图3 则OB=OC=
=2
如图3，连接OG 交
O 于点H，连接CG 交AD 于点K，连接AC，则当点E 与点H 重合时，GE 取最小值，
即PA+PD+PE 的最小值为线段GH 的长
∵菱形ABCD 的边长为4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4
∴△ABC、△ACD 均为等边三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°
∴四边形ACDG 是菱形，∠ACG=
∠ACD=30° ∴CG、AD 互相垂直平分
∴DK=
AD=2∴根据勾股定理得CK=
∴CG=2CK=
∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°∴在Rt△OCG 中，OG=
∵OH=OC=2∴GH=OG-OH=2
-2 即PA+PD+PE 的最小值为2
-2．
【点睛】此题主要考查四边形与圆综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之
间的距离特点．
14.（23-24 九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在
内部有一点
，
是正三角形，连接
、
、
，将线段
绕
顺时针反向旋转
至
，①求证：
；②调整P 点的位
置，使
最小，求此时
和
的大小.（2）如图在直角三角形
中，
，
，在其内部任取一点
，求
的最小值.
【答案】（1）①证明见解析部分②
，
（2）
【分析】（1）①证明
，可得结论；②利用两点之间线段最短以及全等三角形的性质解决
问题即可；（2）如图（2）中，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，
，
，过点
作
交
的延长线于点
．求出
的值，可得结论．
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【详解】（1）①证明：
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：
，
当
，
，
，
共线时，
的值最小，
此时
，
，
；
（2）解：如图（2）中，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，
，
，过点
作
交
的延长线于点
．
，
，
是等边三角形，
，
，
，
当
，
，
，
三点共线时，
的值最小，最小值为线段
的
长，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的最小值为
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间
线段最短，勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同
一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学
家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡
营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
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处填写该三角形的某个顶点）
当
的三个内角均小于
时，
如图1，将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由
，可知
为 ①
三角形，故
，又
，故
，
由 ②
可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，如图2，最小值为
，此时
的P 点为该三角形的“费马点”，且有
③
；
已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
，
则该三角形的“费马点”为 ④
点．
(2)如图4，在
中，三个内角均小于
，且
，已知点P 为
的
“费马点”，求
的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知
．现欲
建一中转站P 沿直线向A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A，B，C 的铺设成本分别为a
元/
，a 元/
，
元/
，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结
果用含a 的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③
；④A．(2) (3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
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（2）根据（1）的方法将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，即可得出可知当B，P，
，A 在
同一条直线上时，
取最小值，最小值为
，在根据
可证明
，由勾股定理求
即可，
（3）由总的铺设成本
，通过将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，得到等
腰直角
，得到
，即可得出当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小
值，即
取最小值为
，然后根据已知和旋转性质求出
即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
为等边三角形；∴
，
，
又
，故
，
由两点之间线段最短可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，
最小值为
，此时的P 点为该三角形的“费马点”，
∴
，
，∴
，
，
又∵
，∴
，
∴
，∴
；
∵
，∴
，
，∴
，
，
∴三个顶点中，顶点A 到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③
；④
．
（2）将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由（1）可知当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，最小值为
，
∵
，∴
，
又∵
∴
，
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由旋转性质可知：
，∴
，∴
最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当
最小时，总的铺设成本最低，
将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由旋转性质可知：
，
，
，
，
∴
，∴
，
当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，即
取最小值为
，
过点
作
，垂足为
，∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，∴
的最小值为
总的铺设成本
（元）故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股
定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
16．（2024·广东·一模）如图，
和
均为等腰直角三角形，
．现将
绕点C 旋转．
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（1）如图1，若
三点共线，
，求点B 到直线
的距离；
（2）如图2，连接
，点F 为线段
的中点，连接
，求证：
；
（3）如图3，若点G 在线段
上，且
，在
内部有一点O，请直接写出
的最小值．
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）
．
【分析】（1）由旋转性质易证
，从而可得
，
，再求
的CE 边高即可；（2）通过倍长中线构造
，得
，由
即可
证明
；（3）利用费马点模型构造图形，过点G 作
，且
，过点G 作
，且
，可得
，
，将问题由
转化为两点之间距离最短即可解答．
【详解】解：（1）∵
，
，
∴
，∴
，
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又∵
，
，∴
（SAS），∴
，
，
∵
，
，∴
，∵若
三点共线，∴
，
如图，过B 点作BH⊥CE 交CE 延长线于点H，
∴
，∴
，即：点B 到直线
的距离为
；
（2）延长CF 到N，使FN=CF，连接BN，
∵FD=FB，
，∴
（SAS）∴
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
又∵
，
，∴
（SAS），∴
，
又∵
，∴
，∴
，即
，
（3）
的最小值为
；过程如下：如解图3，过点G 作
，且
，过点G 作
，且
，连接OC、
、
，
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∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，即
，
∵
，∴
，
∵
，仅当C、O、
、
在同一条直线上等号成立；
如解图4，过点
作
，垂足为H，过点
作
，垂足为P，
∵
，∴
，
，
∵
，∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，∴
，
∴
的最小值为：
，
∴
的最小值为
．
【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形旋转全等和旋转相似的综合、解三角形等知识点，解（2）
关键是倍长中线构造三角形全等证明
；解（3）关键是掌握费马点求最值模型，利用旋转转
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化线段关系．
