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1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14.1 全等三角形及其性质 知识点一 全等图形 概念：能完全重合的图形叫做全等图形． 特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等． 知识点二 全等三角形概念 概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．把两个全等三角形重合到一起，重 合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”． 特别提醒 1．书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上． 2．找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）有公共边的，公共边是对应边． （4）有公共角的，公共角是对应角． （5）有对顶角的，对顶角是对应角． （6）两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短 边（或最小角）是对应边（或对应角）． （7）由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若 ，则 AB 和DE，AC 和DF，BC 和EF 分别是对应边； 和 ， 和 ， 和 分别是对应角． 第十四章 全等三角形 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点三 全等三角形的性质 性质1：对应边相等：两个全等三角形的所有对应边长度相等． 性质2：对应角相等：两个全等三角形的所有对应角度数相等． 拓展延伸（常用推论）：由对应边、对应角相等可进一步推出： 全等三角形的周长相等；全等三角形的面积相等； 全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线分别相等． 标准几何语言：若△ABC≌△DEF，则：对应边：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， 对应角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F. 特别提醒 1．书写全等三角形时，对应顶点一一对应书写，否则会找错对应边、对应角． 2．全等三角形⟹ 周长相等、面积相等；周长/面积相等⟹ 三角形全等（反过来不 成立）． 3．只有全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线才相等． 4．图形翻转、旋转、平移后得到的全等三角形，先锁定对应顶点，再依次找边和 角，不跳步． 易错1：对应关系混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，AB=5，AC=7，∠A=50°，求DE 和DF 的长。 错解：DE=AB=5，DF=AC=7。 （错误地将AB 对应DE，AC 对应DF，但未确认对应顶点顺序） 错因：全等三角形表示时，对应顶点必须按顺序书写。△ABC≌△DEF 表示A↔D，B↔E，C↔F。若题目给 出的对应关系不同，直接按字母顺序对应会导致错误。 规避方法：先看全等符号两边的字母排列顺序，确定对应顶点→再找对应边和对应角。书写时严格对应。 易错2：全等三角形性质应用不完整 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 错例：已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，求∠F 的度数。 错解：∠F=∠A=60°。（误认为∠F 与∠A 是对 应角） 错因：未根据对应顶点顺序找对应角。由△ABC≌△DEF 知，C 与F 对应，故∠F=∠C=180°-60°-70°=50°，而 非∠A。 规避方法：找对应角/边时，务必先写出对应顶点关系（如A↔D，B↔E，C↔F），再一一对应求解，切勿 凭感觉匹配。 易错3：全等三角形周长、面积、对应高线/中线/角平分线的性质混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，△ABC 的周长为20，AB=6，BC=8，求EF 的长。 错解：EF=AB=6。（误以为 EF 一定等于AB） 错因：未利用全等三角形周长相等及对应边关系综合求解。由全等知DE=AB=6，EF=BC=8，DF=AC。应先 求AC=20-6-8=6，再得DF=6，而EF=BC=8。 规避方法：牢记全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积均相等。解题时先明确对应边， 再结合周长或面积公式列式计算。 题型一：全等图形 方法技巧 能够完全重合的图形即为全等图形，全等图形形状、大小完全相同 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000 多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图 形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一 判断即可． 【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A 错误； 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B 正确； C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C 错误； D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D 错误． 2． 年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多 种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图 形，求解即可． 【详解】解：A、B、C 中形状相同，但大小不同，不符合题意； D 中大小一样，形状相同，符合题意； 3．雕窗是我国古代一种常见的窗户样式，其外框为圆形，中间具有精美的图案．如图，琳琳家的一个雕 窗出现了破损，为买到同款雕窗，她应前往商店购买的样式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形，根据形状大小都相同的图形为全等形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，琳琳应前往商店购买的样式与原来的样式形状大小都相同，观察图形，只有B 选项 的图形符合题意； 4．下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（ ） 5 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形的判断方法是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、两个图形是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意； C、两个是全等图形，不符合题意； D、两个图形是全等图形，不符合题意； 题型二：全等三角形的概念及表示方法 方法技巧 记作△ABC≌△DEF 时，对应顶点必须一一对应书写，据此快速确定对应边、对应角 1．下列命题是真命题的是（ ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够 完全重合的三角形，因此选项C 正确，其他选项均不能保证三角形全等． 【详解】解：对于A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题 意； 对于B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意； 对于C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项C 是真命题，符合题意； 对于D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意． 2．若 ，则 的对应边是（ ） A． B． C． D． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握 全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴点 和点 是对应点，点 和点 是对应点， ∴ 的对应边是 ， 3．如图，已知 ，则 的对应角是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相 等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，则 的对应角为 ． 题型三：利用全等三角形的性质求角度 方法技巧 全等三角形对应角相等，结合三角形内角和、外角性质综合计算． 1．如图，已知 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 7 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据全等三角形的性质得出 ，再根据三角形的内角和定理求出 的度数即 可． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 2．如图， ， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．根据： ， 可知 ，根据 ，计算求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．如图，已知 ， ， ，则 （ ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根 据全等三角形的性质得到 ， ，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． 4．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得 的度数是（ ） 8 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算边a 与边c 的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a 与边c 的夹角为 ， ∵两个三角形全等，且 是边a 与边c 的夹角， ∴ ． 题型四：利用全等三角形的性质求线段长 方法技巧 全等三角形对应边相等，结合线段和差关系求解长度． 1．如图，这是某大桥及其侧面示意图， ，若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到 ，进而可求 的长． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 2．如图， ，若 ， ，则 的长是（ ） 9 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 3．如图， ，若 的周长为 ，则 的长为（ ） A．7 B．9 C．5 D．14 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出 的长，再根据全等三角形对应边 相等即可得到答案． 【详解】解：∵ 的周长为21， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 4．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔 （ ）水平钉入长为10cm 的长方形木条中（点B，C，F，E 在同一条直线上）．若 ，则BC 的长为（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等得到 ，再根据线段的和差关系求解即可． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解；∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 题型五：利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 方法技巧 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到 线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线 段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件． 1．如图所示， ，且点 在同一条直线上． (1)试判断 与 的位置关系，并说明理由． (2)线段 与线段 相等吗？说明理由． 【答案】(1) 解： ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ； (2) 解： ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 【分析】（）由全等三角形的性质得 ，再根据平行线的判定即可求证； 11 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （ ）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图， ， ， ，点B，C，D 在同一直线上，点E 在 上，延长 交 于点F． (1)求 的长； (2)求证： ． 【答案】(1) (2) 证明： ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的特征； （1）由全等三角形的性质得 ， ，即可求解； （2）由全等三角形的性质得 ， ，结合直角三角形两锐角互余得 ，即可得证． 【详解】（1）解： ， ， 12 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， 故 的长为 ； （2）略 3．如图，在 中， 于点D，点E 在 边上，连接 交 于点F， ． (1)若 ， ，求 的面积； (2)试判断 与 之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2) 解： ． 理由： ， ， ， ， ， ． ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性 质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出 ，求出 ，根据三角形面积公式求出结果 即可； （2）根据垂线定义得出 ，根据 ，得出 ，求出 13 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ． 又 ， ． 又 ， ． ． （2）略 4．如图，已知 ， 是锐角， ， ，延长 交 于点F，交 于点G． (1)判断直线 与 是否垂直？请说明理由； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1) ． 理由如下：∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (2) 【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和 差运算． （1）通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直； 14 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知 ， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 题型六：全等三角形的性质在图形变换中的应用 方法技巧 图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个三角形全等；变换只改变位置，对应边、 对应角大小不变 1．如图，点 ， 在 的边 上，且 ，下列说法错误的是（ ） A． 经过平移可与 重合，平移的距离为 的长 B．将 沿 的垂直平分线翻折，可与 重合 C．将 沿 的垂直平分线翻折，可与 重合 D．将 绕 的中点逆时针旋转 ，不能与 重合 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形 是全等的． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， A、 经过平移距离为 的长， 和 重合，点A 不重合，故不能与 重合，故A 选项错 误，符合题意； B、将 沿 的垂直平分线翻折，可与 重合，正确，不符合题意； C、将 沿 的垂直平分线翻折，可与 重合，正确，不符合题意； 15 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 D、将 绕 的中点逆时针旋转 ， 和 重合，点A 不重合，故不能与 重合，正确， 不符合题意． 2．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N 五个点，其中点B，O，A 表示的数分别为 ，0， 4．如图2，将数轴在点O 的左侧部分绕点O 顺时针方向旋转 ，将数轴在点A 的右侧部分绕点A 逆时针 方向旋转 ，连接BM，MN．若 和 全等，则点M 表示的数为______． 【答案】 或 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出 或 进而结合数轴即可求解． 【详解】解：依题意， ， ， ∵ 和 全等， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 3．两个全等的三角形按如图方式摆放，其中 ．此时 B，E 重合，B，C，D 在同一直线上．现将 沿射线 向右平移．在平移过程中，直线 与 交 于点 的平分线与直线 交于点 ，则 ______ （用含 的代数式表示）． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 16 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据角平分线的定义求出 ，利用 ，得 ，可得 ， 根据 平行线的性质，分四种情况求解即可， 【详解】解：当点G 在点A 下方且点H 在点F 上方时，如图， 平分 ， ， ， ， ， ， ， 当点G 在点A 下方且点H 在点F 下方时，如图， 平分 ， ， ， ， ， ， 小学 初中 17 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 当点G 在点A 下方且点H 在点E 下方时，如图， ， ， 当点G 在点A 上方时，如图， ， ， 平分 ， ， ， ， 综上， 的度数为 ． 故答案为： 或 或 ． 18 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型七：利用全等三角形的性质研究动点问题 方法技巧 动点运动过程中，始终保持三角形全等关系，对应边、对应角恒定不变；结合路 程、速度、线段长度列等式求解． 1．如图，已知线段 米， 于点 ， 米， 于 ， 点从 点向 运动，每 秒走1 米， 点从 点向 运动，每秒走2 米， 、 同时从 出发，则出发 秒后，在线段 上有一 点 ，使 与 全等，则 的值为（ ） A． B．5 或10 C．10 D． 或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨 论：当 时， ， ；当 时， ， ；由全等三角 形性质计算 的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解： 点从 点向 运动，每秒走1 米， 点从 点向 运动，每秒走2 米， 、 同时从 出 发，则出发 秒后， ∴ 米， 米， ∴ （米）， 当 时， ， ， ∴ ， 解得， ， 此时 ，不符合题意，舍去； 当 时， ， ， ∴ ， 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得， ， 此时 ，符合题意； 综上所述， 与 全等， 的值为 ， 2．如图， 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以2 厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．若点 的运动速度为厘 米/秒，则当 与 全等时，的值为（ ） A． 或 B． 或2 C． 或2 D． 或 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：① ，② ，继而可解． 【详解】解：设两点所用的时间为，则 ， ， ， 中， 厘米，点 为 的中点， 厘米， 若 ，则 ， ， 则 ，解得 ； 若 ，则 则 ， 解得 ， 的值为： 或2； 3．题目：“如图，已知 ， ， ，动点 以 的速度从点 出发沿 边 向终点 移动，动点 以 的速度从点 出发沿边 向终点 匀速移动，动点 从点 出发沿 对角线 向终点 移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接 ，求动点 的速度为多少时，存在某个时刻，使得以 为顶点的三角形与 全等 20 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （点 与点 是对应点）．”甲答： ，乙答： ，丙答： ，则正确的是（ ） A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得， ， ，即得 ，又 由 可得 ，然后分 和 两种情况根据全等三角 形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当 时，则 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴此时点 的速度为 ； 当 时，则 ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴此时点 的速度为 ； 综上，动点 的速度为 或 ， 4．如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交 于点 ．动点 ， 同时从点 出 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 发，其中动点 以 的速度沿射线 运动，动点 以 的速度在直线 上运动．已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．当动点 在直线 上运动时，若 与 全等， 则的值为______． 【答案】 或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分 当 在线段 上时， ， 当 在线段 上时， ， 当 在线段 延长线上时， ， 当 在线段 延长线上时， 四种情况，然后根据全 等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 平分 ， ∴ ， ∴ 当 在线段 上时， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， 当 在线段 上时， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， 当 在线段 延长线上时， ， ∴ ， 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， 当 在线段 延长线上时， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， ∴若 与 全等，则的值为 或 ， 5．如图，在四边形 中， ， ．动点P 以 的速度从点 A 出发沿边 向点D 匀速移动，动点Q 以 的速度从点B 出发沿边 向点C 匀速移动，动点M 从 点B 出发沿对角线 向点D 匀速移动，三点同时出发．连接 ，当动点M 的速度为 __________ 时，存在某个时刻，使得以P、D、M 为顶点的三角形与 全等． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为 ，动 点M 的速度为 ，则 ，进而得到 ，再分当 时，当 时，两种情况根据全等 三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为 ，动点M 的速度为 ， 由题意得， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 当 时，则 ， ∴ ， 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得 ， ∴ ， 解得 ． 当 时，则 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 解得 ． 综上所述，动点M 的速度为 或 ，
