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1.1 认识三角形
课标要点
1. 掌握三角形定义及分类，能准确识别各类三角形，区分基本几何特征。
2. 理解三角形三边关系定理，熟练判断三条线段能否组成三角形。
3. 认识三角形高线、中线、角平分线，掌握三种线段的画法与性质。
4. 熟记三角形内角和定理并能证明，熟练运用定理求解三角形角度。
5. 掌握三角形外角性质，能结合内角和知识解决综合角度计算问题。
学习重难点
重点：
1. 掌握三角形三边关系及判定应用方法
2. 理解三角形三线定义与核心性质
3. 熟练运用内角和、外角性质计算角度
难点：
1. 钝角三角形高线的准确绘制与辨析
2. 三边关系的灵活综合运用与取值
3. 内外角结合的复杂角度综合计算
第一章
认识三角形
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知识点一 三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶
点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
即学即练
．．．．
1．（2026 七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三
角形”是解题关键．据此解答即可．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C 选项的图形是三角形，
故选：C．
2．（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以
A
为角的三角形是（ ）
A．ABE
B．BCD
C．BCE
D．
CDE
△
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【答案】A
【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可．
本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据定义，得以
A
为角的三角形是ABE
，ABC
，
故选：A．
3．（24-25 八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在ABC
中，D 是BC 边上一点，E 是AD边上一点．在
ACE
△
中，
CAE
的对边是__________．
【答案】CE / EC
【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答
案．
【详解】解：在
ACE
△
中，
CAE
的对边是CE ．
故答案为：CE ．
知识点二 三角形的分类
三角形的分类
1）三角形按边分类：三角形{
三边都不相等的三角形
等腰三角形{ 等边三角形 （三边都相等）
底边和腰不相等的等腰三角形（只有两边相等）
2）三角形按角分类：三角形{
直角三角形
斜三角形{锐角三角形
钝角三角形
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶
角，腰和底边的夹角叫做底角。
特别提醒
做题先看清分类标准，按角看最大内角判断类型；按边看边长是否相等，等边是特殊等腰。两类标准不
可混用，遇取值范围结合三边关系验证。
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．．．．
4．（25-26 七年级下·河北张家口·期中）ABC
各个内角度数如图所示，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理列方程求出x 的值，再计算最大内角的度数即可判断三角形的形状；
【详解】解：三角形内角和等于180，
3
2
180
x
x
x
+
+ =
，
解得：
30
x=
，
最大内角
3
3 30
90
A
x
=
=
=
，
这个三角形是直角三角形．
5．（25-26 八年级下·浙江金华·阶段检测）若, ,
a b c 为ABC
的三边长，且(
)(
)
0
a
b
b
c
−
−
=
，则ABC
一定
是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
【答案】A
【分析】根据乘积为0 的性质得到边的关系，即可判断三角形类型.
【详解】解：∵(
)(
)
0
a
b
b
c
−
−
=
，
∴-
0
a b =
或
0
b
c
−=
，
即a
b
=
或b
c
=
，
∴ABC
至少有两条边相等，
∴ABC
一定是等腰三角形.
6．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期中）ABC
中，
A
B
C
、
、
的度数之比为3:5:7，则ABC
是
____________三角形（填直角、锐角或钝角）
【答案】锐角
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形类型的判断方法是解决本题的关键．
根据三角形内角和定理，结合角度比计算各角具体度数，并判断三角形类型即可．
【详解】解：设
3 ,
5 ,
7
A
x
B
x
C
x
=
=
=
，
由三角形内角和定理得3
5
7
180
x
x
x
+
+
=
15
180
x =
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解得
12
x =
，
∴
36 ,
60 ,
84
A
B
C
=
=
=
，
∵所有内角均小于90，
∴ABC
是锐角三角形．
故答案为：锐角．
知识点三 三角形的三边关系
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
即学即练
．．．．
7．（25-26 八年级上·浙江温州·开学考试）已知一个三角形的两边长是4 和7，且周长为偶数，则第三条边
的长度可以是___（写一个）
【答案】5（或7 或9，答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件确定第三边的奇偶性，即
可得到符合要求的第三边长．
【详解】解：设三角形第三条边的长度为x ，
根据三角形三边关系可得：7
4
7
4
x
−
+
，
∴3
11
x
，
∵三角形的周长
4
7
11
x
x
=
+ +
=
+ ，且三角形周长为偶数，
∴x 为奇数，
∴3
11
x
范围内的奇数为5，7 ，9，任选一个即可．
8．（25-26 八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知三角形的三边长分别为3，
1
a −，5，则化简
3
9
a
a
−
+
−
的结果为________．
特别提醒
判断三边能否构成三角形，只需验证两短边之和大于最长边；已知两边求第三边，两边之差＜第三边＜
两边之和，取值勿忘取整数或范围限制。
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【答案】6
【分析】本题主要考查三角形三边关系及绝对值化简，根据三边关系确定a 的取值范围是解题的关键．
根据三角形三边关系定理确定a 的取值范围，再化简绝对值表达式．
【详解】解：由三角形三边关系定理，得3
(
1)
5,3
5
1
a
a
+
−
+
−，且(
1)
5
3
a −
+
，
解得3
9
a
，
因此当3
9
a
时， |
3|
3,|
9 | 9
a
a
a
a
−
=
−
−
=
−
，
故|
3|
|
9 | (
3)
(9
)
6
a
a
a
a
−
+
−
=
−
+
−
=
．
故答案为：6．
9．（24-25 八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边
3
a = ，
7
b =
，第三边是c ．
(1)求第三边c 的取值范围；
(2)若第三边的长是偶数，则c 的值为___________．
【答案】(1)4
10
c
＜＜
(2)6 或8
【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解；
（2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c 为偶数解答即可．
此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件．
【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得4
10
c
＜＜
；
（2）根据三角形三边关系可得4
10
c
＜＜
，
因为第三边c 的长为偶数，
所以c 取6 或8；
故答案为：6 或8；
知识点四 三角形的稳定性
①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四
边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
即学即练
．．．．
10．（25-26 八年级上·北京·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
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A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答．
【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性．
11．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD，使
其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的稳定性，四边形不具有稳定性；根据四边形不具有稳定性，而三角形具有稳
定性即可完成．
【详解】解：∵四边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性，
∴用木条EF 固定长方形门框ABCD，使其不变形，
故选：D．
12．（25-26 八年级上·山西吕梁·期中）我国建造的港珠澳大桥全长55 公里，集桥、岛、隧于一体，是世
界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理
是_______．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键，根据三角形
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的三边一旦确定，则形状大小完全确定，及三角形的稳定性．
【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
知识点五 三角形相关的线段
类型
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语
言
从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中
点的线段．
三角形一个内角的平分线与
它的对边相交，这个角的顶
点与交点之间的线段．
图形语
言
性质
∵AD 是∆ABC 中BC 边的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AD 是∆ABC 中BC 边的中线
∴BD=CD S△ABD=S△ADC= 1
2 S△ABC
∵AD 是∆ABC 中∠BAC 的角
平分线
∴∠BAD=∠DAC=
1
2 ∠BAC
用途举
例
1、线段垂直．2、角度相
等．
1、线段相等．2、面积相等．
角度相等．
即学即练
．．．．
13．（24-25 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ABC
中，AD是BC 边上的中线，已知
5cm
AB =
，
7cm
AC =
，则ACD
和ABD
的周长差为________cm．
【答案】2
【分析】本题考查有关三角形中线的计算，根据AD是BC 边上的中线，得到BD
CD
=
，
结合三角形周长计算即可得到答案；
特别提醒
做题先分清高线、中线、角平分线三类线段各自性质。中线等分底边，平分三角形面积；角平分线分割
出相等两角；高线与对应底边垂直。钝角三角形两条高在外部，作图计算易出错。遇到综合题，标注等
线段、等角、直角，结合内角和、面积公式梳理等量关系解题。
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【详解】解：∵AD是BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
∴
(
)
ACD
ABD
C
C
AC
AD
CD
AB
AD
BD
AC
AB
−
=
+
+
−
+
+
=
−
，
∵
5cm
AB =
，
7cm
AC =
，
∴
2cm
ACD
ABD
C
C
−
=
，
故答案为：2．
14．（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，AD为ABC
的高，BE为ABC
的角平分线，若
70 ,
45
ABC
ACB
=
=
，则
AEB
=______．
【答案】80/80 度
【分析】根据角平分线的定义求出
CBE
，再利用三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵BE为ABC
的角平分线，
70
ABC
=
，
∴
1
35
2
CBE
ABC
=
=
，
∵
45
ACB
=
，
∴
35
45
80
AEB
CBE
C
=
+
=
+
=
，
故答案为：80．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是利用外角表示出
AEB
．
15．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ABC
中，AD，AE ，AF 分别是ABC
的高、角平
分线、中线．
(1)若ABC
的面积为6，则
ABF
△
的面积为______．
(2)当
30
B
=
，
45
C
=
时，求
DAE
的度数．
【答案】(1)3
(2)7.5
【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线，熟记相关定义是解题关键；
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（1）
ABF
△
的面积为
1
2
ABC
S
=
△
；
（2）由题意得
180
105
BAC
B
C
=
−−
=
，进而得
1
52.5
2
CAE
BAC
=
=
即可求解；
【详解】（1）解：∵AF 是ABC
的中线，且ABC
的面积为6，
∴
ABF
△
的面积为6
2
3
= ．
（2）解：∵
30
B
=
，
45
C
=
，
∴
180
105
BAC
B
C
=
−−
=
．
∵AE 平分
BAC
，
∴
1
52.5
2
CAE
BAC
=
=
．
∵AD
BC
⊥
，
45
C
=
，
∴
180
90
45
45
DAC
=
−
−
=
，
∴
52.5
45
7.5
DAE
CAE
CAD
=
−
=
−
=
．
知识点六 三角形的内角和
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
即学即练
．．．．
的度数是____________．
特别提醒
解题牢记三内角和为 180°，遇角平分线、折叠、平行线先转化等角。多个未知角可设未知数列方程，
借助外角定理简化运算。复杂图形拆分单个三角形分析，标注已知角度，理清角之间等量代换关系，避
免漏看隐藏平角、直角条件。
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【答案】25°
【分析】根据平行线的性质可得
65
EFD
=
，即可得出
115
EFC
=
，再根据三角形内角和即可得．
【详解】解：如图所示，CD 交EA 于点F，
∵
//
AB CD ，
65
A
=
，
∴
65
EFD
=
，
∴
180
180
65
115
EFC
EFD
=
−
=
−
=
，
∴
180
180
115
40
25
E
EFC
C
=
−
−
=
−
−
=
，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质．
17．（25-26 八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，在ABC
中，内角
ABC
和外角
ACD
的平分线交
于点
,
35
E
E
=
，则
A
=___________．
【答案】70
【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、三角形外角性质等知识，现有角平分线定义得到
1
2
ABE
DBE
ABC
=
=
，
1
2
ACE
DCE
ACD
=
=
，设
ABE
DBE
=
=
，
ACE
DCE
=
=
，再
由三角形外角性质得到
35
=
+
①；2
2
A
= +
②，由2①即可得到答案，熟练掌握角平分线定
义、三角形外角性质是解决问题的关键．
【详解】解：BE平分
ABC
、CE 平分
ACD
，
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1
2
ABE
DBE
ABC
=
=
，
1
2
ACE
DCE
ACD
=
=
，
设
ABE
DBE
=
=
，
ACE
DCE
=
=
，
DCE
E
DBE
= +
，即
35
=
+
①；
DCA
A
ABC
= +
，即2
2
A
= +
②；
由2①得2
70
2
=
+
，
与②比较可得
70
A
=
，
故答案为：70．
18．（25-26 八年级上·新疆阿克苏·期末）探索归纳：
(1)如图1，已知ABC
为直角三角形，
90
A
=
，若沿图中虚线剪去
A
，则1
2
+= ．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知ABC
中，
60
A
=
，剪去
A
后形成四边形，则1
2
+= 度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想1
2
+与
A
的关系是 ．
(4)如图3，若
A
没有剪掉，而是把它折成如图3 的形状，请猜想1
2
+与
A
的关系是 ．
【答案】(1)D
(2)240
(3) 1
2
180
A
+= +
(4) 1
2
2 BAC
+=
【分析】（1）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答
案
（2）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案
（3）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案
（4）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案．
【详解】（1）解：
1
A
AED
= +
，
2
A
ADE
= +
，
1
2
180
90
270
A
AED
ADE
A
+=+
+
+=
+
=
，
故选：D．
（2）解：
1
A
ANM
= +
，
2
A
AMN
= +
，
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1
2
180
60
240
A
ANM
AMN
A
+=+
+
+=
+
=
，
故答案为：240．
（3）解：
1
A
ANM
= +
，
2
A
AMN
= +
，
1
2
180
A
ANM
AMN
A
A
+= +
+
+=
+，
故答案为：1
2
180
A
+= +
．
（4）解：连接AP ，
1
FAP
FPA
=
+
，
2
EAP
EPA
=
+
，
1
2
FAP
FPA
EAP
EPA
BAC
EPF
+=
+
+
+
=
+
，
BAC
EPF
=
，
1
2
2 BAC
+=
，
故答案为：1
2
2 BAC
+=
．
【点睛】本题考查三角形的外角，关键是掌握三角形的外角的性质．
知识点七 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相
邻的任何一个角。
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．．．．
19．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在ABC
中，
80
A
=
，
60
B
=
．若D 为BC 延长线上一
点，则
ACD
的度数为_______．
【答案】140/140 度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
是解题的关键．
利用三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接计算
ACD
的度数．
【详解】解：∵
ACD
是ABC
的外角，
∴
ACD
A
B
=
+
．
∵
80
A
=
，
60
B
=
，
∴
80
60
140
ACD
=
+
=
．
故答案为：140．
20．（24-25 七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将ABC
纸片沿DE 折叠，
使点C 落在点C处，DC交BC 于点F ．若
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，则当
DEB
=__________度时，
AB
DC
．
【答案】72
【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，得出
108
18
A
C
=
=
,
，再结合两直线平行，同位角相等得
108
FDC
A
= =
，
根据折叠性质得
1
54
2
CDE
FDC
=
=
，最后由三角形外角性质得
72
DEB
=
，即可作答．
【详解】解：∵
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，
∴
6
1
180
108
180
18
6
3 1
6
3 1
A
C
=
=
=
=
+ +
+ +
,
，
∵AB
DC
，
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∴
108
FDC
A
= =
∵折叠，
∴
1
54
2
CDE
FDC
=
=
，
则
54
18
72
CDE
C
DEB
+
=
+
=
=
，
故答案为：72
21．（24-25 八年级上·河南焦作·期中）如图，在ABC
中，
22
CAE
=
，
47
C
=
，
30
CBD
=
．
(1)求
AFB
的度数；
(2)若
2
BAF
ABF
=
，求
BAF
∠
的度数．
【答案】(1)
99
AFB
=
(2)
54
BAF
=
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识．
（1）利用三角形的外角以及三角形的内角和定理计算即可．
（2）利用三角形内角和定理构建方程求出
ABF
即可解决问题．
【详解】（1）解：
AEB
C
CAE
=
+
，
47
C
=
，
22
CAE
=
，
69
AEB
=
，
30
CBD
=
，
69
30
99
AFB
=
+
=
；
（2）解：
2
BAF
ABF
=
，
99
AFB
=
，
3
180 99
ABF
=
−
，
27
ABF
=
，
54
BAF
=
．
题型01 三角形的识别与有关概念
典｜例｜精｜析
1．（24-25 七年级下·浙江·期中）图中以BC 为边的三角形有（ ）
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A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定
义即可得到结论．
【详解】解：以BC 为边的三角形有：ABC
、DBC
、EBC
，共3个．
故选：C ．
变｜式｜巩｜固
2．（25-26 八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（ ）
A．
A
，
B
，
ACB
是ABC
的内角
B．
BCD
是与
ACB
相邻的角
C．
180
BCD
A
+=
D．ABC
的三条边分别是 AB ，BC ，AC
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、
A
，
B
，
ACB
是ABC
的内角，原说法正确，不符合题意；
B、
BCD
是与
ACB
相邻的角，原说法正确，不符合题意；
C、
180
BCD
ACB
+
=
，但
BCD
A
+不一定等于180，原说法错误，符合题意；
D、ABC
的三条边分别是 AB ，BC ，AC ，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25 八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为______；以
ADE
为外角的三角形
是______；在ADC
中，边AD的对角是______；在ADE
中，
ADE
的对边是______．
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【答案】 6
ABD
C
AE / EA专项训练
【分析】本题考查了三角形的认识，涉及三角形的个数问题，三角形外角的定义及性质等知识，熟练掌握
相关知识是解题的关键．
【详解】图中三角形的个数为6 个，分别是ABD ADE
AEC
ABE
ADC
ABC
，
，
，
，
，
；
以
ADE
为外角的三角形是ABD
；
在ADC
中，边AD的对角是
C
；
在ADE
中，
ADE
的对边是AE ；
故答案为：6；ABD
；
C
；AE ．
4．（25-26 七年级下·全国·专项训练）看图填空．
（1）图中共有________个三角形，分别是____________________；
（2）
BGE
△
的三个顶点分别是________，三条边分别是________________，三个角分别是
____________________；
（3）AEF
中，顶点A 所对的边是________，边AF 所对的顶点是________；
（4）
ACB
是________的内角，
BEF
是________的外角，
ACB
的对边是________．
【答案】 4
,
,
,
ABC
EBG
AEF
CGF
B、G，E
,
,
BE EG BG
,
,
B
BEG
BGE
EF / FE E ACB AEF AB / BA
【分析】本题考查三角形相关概念：
（1）写出图中的三角形即可；
（2）根据顶点，边，角的定义，作答即可；
（3）根据对边，对角的定义，作答即可；
（4）根据内角，外角，对边的定义，作答即可．
【详解】解：（1）图中共有4 个三角形，分别是：
,
,
,
ABC
EBG
AEF
CGF
，
故答案为：4，
,
,
,
ABC
EBG
AEF
CGF
；
（2）
BGE
△
的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是
,
,
BE EG BG ，三个角分别是
,
,
B
BEG
BGE
；
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故答案为：B、G，E；
,
,
BE EG BG ；
,
,
B
BEG
BGE
；
（3）AEF
中，顶点A 所对的边是EF ，边AF 所对的顶点是E ；
故答案为：EF ，E ；
（4）
ACB
是ACB
的内角，
BEF
是AEF
的外角，
ACB
的对边是AB ；
故答案为：ACB ，AEF ，AB ．
题型02 三角形的个数问题
典｜例｜精｜析
5．（25-26 七年级下·江苏南京·期中）已知，如图，以AB 为边的三角形的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．
根据三角形的概念、结合图形写出以AB 为边的三角形．
【详解】解：由图可得，以AB 为边的三角形有ABC
，ABD
，
ABF
△
，ABE
，一共有4 个．
故选：D．
变｜式｜巩｜固
6．（25-26 八年级上·全国·单元测试）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C 三点
后，能组成直角三角形ABC．则点C 的位置有（ ）种选法．
A．3
B．6
C．7
D．9
【答案】C
【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键．
分三种情况计数：点C 与点A 在同一列或点C 与点B 在同一列，或使
ACB
是直角，据此求解．
【详解】根据题意，直角三角形中有1 个直角，要使三角形ABC 成为一个直角三角形，则点C 与点A 在
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同一列或点C 与点B 在同一列，或使
ACB
是直角即可；
点C 与点A 在同一列时，有3 种选法；
点C 与点B 在同一列时，有3 种选法；
ACB
是直角时，有1 种选法；
3 3 1
7
+ + =
（种）
连接A、B、C 三点使三角形ABC 成为一个直角三角形，则点C 的位置有7 种选法。
故答案为：C
7．（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）如图，共有_________个三角形．
【答案】6
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出
三角形的个数．
【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6 个．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
8．（25-26 九年级下·浙江绍兴·自主招生）定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长
边长为20 的整数边三角形的个数是（ ）
A．55
B．105
C．110
D．210
【答案】C
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边；设三角形的另外两边分别为a ，b (
20
a
b
且a ，b 为整数)，然后根据三边关系来确定
a ，b 的取值组合，从而得出整数边三角形的个数．
【详解】解：设三角形的另外两边分别为a ，b (
20
a
b
且a ，b 为整数)，
当
20
b =
时，根据三边关系a 需满足20
20
b
a
b
−
+
，
又因为
20
a
b
，
所以0
20
a
，
则a 可以为1或2 或3或4 或5或6 .....或20 ，此时有20 种情况满足题意；
同理可得：当
19
b =
时，1
19
a
，则a 可以为2 或3或 4 或5 .....或19，此时有18种情况满足题意；
当
18
b =
时，2
18
a
，则a 可以为3或 4 或5或6 .....或18，此时有16种情况满足题意；
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当
17
b =
时，3
17
a
，则a 可以为4 或 5或6 .....或17 ，此时有14种情况满足题意；
当
16
b =
时，4
16
a
，则a 可以为5或6 ...或 16，此时有12种情况满足题意；
当
15
b =
时，5
15
a
，则a 可以为6 或7 ...或 15，此时有10种情况满足题意；
当
14
b =
时，6
14
a
，则a 可以为7 或8 ...或 14，此时有8种情况满足题意；
当
13
b =
时，7
13
a
，则a 可以为8或9 ...或 13，此时有6 种情况满足题意；
当
12
b =
时，8
12
a
，则a 可以为9或10 ...或 12，此时有4 种情况满足题意；
当
11
b =
时，9
11
a
，则a 可以为10或11，此时有2 种情况满足题意；
20 18 16 14 12 10 8 6
4
2
110
+
+
+
+
+
+ + + +
=
，共有110种情况满足题意，
故选：C．
题型03 三角形的分类
典｜例｜精｜析
9．（25-26 八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①
A
B
C
=
+
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
2
A
B
C
= = ；④
A
B
C
= =
，能确定ABC
为直角三角形的条件有（ ）
A．1 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】D
【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为180．利用三角形内角和定理，
判断每个条件是否能使三角形有一个角为90．
【详解】解：①
A
B
C
=
+
，则
90
C
=
，ABC
是直角三角形；
②
A
：
B
：
1
C
= ：2 ：3，则
2
B
A
= ，
3
C
A
= ，由三角形内角和定理，得
2
3
180
A
A
A
+ + =
，解得，
30
A
=
，于是有
90
C
=
，ABC
是直角三角形；
③
2
A
B
C
= =
，则由三角形内角和定理，得2
2
180
C
C
C
+ +
=
，解得，
36
C
=
，则
72
A
B
= =
，不是直角三角形；
④
60
A
B
C
= =
=
，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定ABC
是直角三角形的条件有2 个，
故选：D．
变｜式｜巩｜固
10．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）在ABC
中，当
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : 时，这个三角形是______
解题贴士
区分两种分类标准，按角看最大内角，按边看边长关系。等边三角形属于特殊等腰三角形，不可并列分
类，做题看清题干分类要求，不要混淆判定条件。
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（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，设
A
x
= ，则
(
)
2
B
x
=
，
(
)
3
C
x
=
，列方程求解各角度数，再判断三角形类型，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键．
【详解】解：∵
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ，
∴设
A
x
= ，则
(
)
2
B
x
=
，
(
)
3
C
x
=
，
由题意可得：
2
3
180
x
x
x
+
+
=
，
解得：
30
x =
，
∴
30
A
=
，
60
B
=
，
90
C
=
，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
11．（2025 七年级上·浙江宁波·专题练习）在ABC
中，如果
A
B
C
=
+
，且
2
C
B
= ．那么如果按
角分，这是一个______三角形；按边分，这是一个______三角形．
【答案】 直角 等腰
【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，利用三角形内角和定理计算，再结合已知即可求
出各角的角度，进而可得答案．
【详解】解：
ABC
的内角和为180，
即
180
A
B
C
++
=
，
又
A
B
C
=
+
，
180
C
C
+
=
，
即
90
C
=
，
2
C
B
= ，
1
45
2
B
C
=
=
，
90
45
45
A
=
−
=
，
按角分，这是一个直角三角形；按边分，这是一个等腰三角形，
故答案为：直角，等腰．
12．（24-25 七年级上·山东青岛·阶段检测）ABC
中，
A
是
B
的2 倍，且
C
比
A
B
+
大12，试判断
ABC
的形状并说明理由．
【答案】ABC
为钝角三角形．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出
2
A
B
= ，
3
12
C
B
=
+
∠
∠
，根据三角形内角和是180，列出方程，求出
B
的度数，即可得出
A
和
C
的度数，根
据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形即可求解．
【详解】解：∵
A
是
B
的2 倍，
C
比
A
B
+
大12，
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故
2
A
B
= ，
12
C
A
B
=
+
+
∠
∠
∠
，
即
3
12
C
B
=
+
∠
∠
，
∵
180
A
B
C
++
=
，
即6
12
180
B+
=
∠
，
解得：
28
B
=
，
故
2
56
A
B
=
=
∠
∠
，
3
12
96
C
B
=
+
=
∠
∠
，
所以ABC
为钝角三角形．
题型04 构成三角形的条件
典｜例｜精｜析
13．（25-26 七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（ ）
A．2,3,4
B．5,3,3
C．6,6,12
D．6,8,10
【答案】C
【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、2 3
4
+
，能构成三角形，故该选项不符合题意；
B、3 3
5
+ ，能构成三角形，故该选项不符合题意；
C、6
6
12
+
=
，不能构成三角形，故该选项符合题意；
D、6
8
10
+
，能构成三角形，故该选项不符合题意．
变｜式｜巩｜固
14．（25-26 七年级上·江苏无锡·期中）在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小
棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无
法围成三角形，不符合题意；
解题贴士
判断三边只需短两边之和大于最长边；已知两边求第三边，取值介于两边差与和之间，取值范围不可忽
略等号，线段长度均为正数。
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B 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角
形，不符合题意；
C 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角
形的三边关系，可以围成三角形，符合题意；
D 选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围
成三角形，不符合题意．
15．（25-26 八年级上·浙江金华·开学考试）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24 根火柴棒搭
一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形．
【答案】12
【分析】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边．
可把三角形的周长看作24，再根据三角形的三边关系可得出结论．
【详解】解：三角形两边之和大于第三边，
只能有12 种答案，即① 2、11、11；② 3、10、11；③ 4、9、11；④ 4、10、10；⑤ 5、8、11；⑥
5、9、10；⑦ 6、7、11；⑧ 6、8、10；⑨ 6、9、9；⑩ 7、7、10；⑪ 7、8、9；⑫ 8、8、8．
故答案为：12．
16．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个
三角形？分别写出来．
【答案】可以组成3 个三角形，见解析
【分析】根据三角形的三边关系，进行判断即可．
【详解】解：∵4
8
10,4 10
12,8 10
12
+
+
+
，
∴可以组成3 个三角形，
分别为：（1）8 cm，10 cm，12 cm；（2）4 cm，10 cm，12 cm；（3）4 cm，8 cm，10 cm．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握利用两短边之和大于第三边即可组成三角形，是解题的关
键．
题型05 确定第三边的取值范围及其应用
典｜例｜精｜析
17．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为4cm 和6cm，要选择第三根木棒，将他们钉成
一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【分析】设第三根木棒的长度为cm
x
，根据三角形的三边关系求出2
10
x
，结合第三根木棒的长为奇
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数，即可得出结果．
【详解】解：设第三根木棒的长度为cm
x
，
∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为4cm 和6cm，
∴6 4
6
4
x
−
+ ，
∴2
10
x
，
∵第三根木棒的长为奇数，
∴符合条件的x 为3，5，7，9，共 4 个，
因此满足条件的三角形个数为 4 个．
变｜式｜巩｜固
18．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）已知三角形的两边
1,
7
a
b
=
=
，若第三边c 为整数，则c 的值为
_____．
【答案】7
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的两边之
和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数即可解答．
【详解】解：根据题意可知，7 1
1 7
c
−
+
即6
8
c
，
∵第三边c 的长为整数，
∴
7
c =
．
故答案为：7．
19．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）已知ABC
的三边分别为a、b、c，且满足
2
2
8
4
20
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，那么第三边 c 的取值范围为_______．
【答案】2
6
c
【分析】本题主要考查了完全平方公式，构成三角形的条件，非负数的性质，根据完全平方公式可得
(
)
(
)
2
2
4
2
0
a
b
−
+
−
=
，则由非负数的性质可得
4
2
a
b
=
=
，
，再根据a
b
c
a
b
−
+ 即可得到答案．
【详解】解：∵
2
2
8
4
20
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
8
16
4
4
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
4
2
0
a
b
−
+
−
=
，
∵(
)
(
)
2
2
4
0
2
0
a
b
−
−
，
，
∴(
)
(
)
2
2
4
2
0
a
b
−
=
−
=
，
∴
4
0
2
0
a
b
−
=
−
=
，
，
∴
4
2
a
b
=
=
，
，
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∵a
b
c
a
b
−
+ ，
∴4
2
2
4
2
6
c
−
=
+
=
，
故答案为：2
6
c
．
20．（24-25 七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程：
若
2
2
2
2
6
9
0
a
ab
b
b
+
+
−
+
=
，求a 、b 的值。
解：
2
2
2
2
6
9
0
a
ab
b
b
+
+
−
+
=
2
2
2
2
6
9
0
a
ab
b
b
b
+
+
+
−
+
=
(
)
(
)
2
2
3
0
a
b
b −
+
+
=
0
a
b
+
=
，
3
0
b −=
3
a
= −，
3
b =
根据以上解题过程，试探究下列问题：
(1)已知
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
−
+
−
+ =
，求
2
x
y
+
的值；
(2)已知a 、b 、c 是ABC
的三边，且满足
2
2
8
10
41
0
a
b
b
a
+
−
−
+
=
，求ABC
中最长边c 的取值范围；
(3)已知：
5
2
8
a
b
c
−
+
=
，
2
2
2
5
0
ab
c
c
+
+
+
=
，求a 的值。
【答案】(1)
2
3
x
y
+
=
(2)5
9
c
(3)5
【分析】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组
分解法是解题的关键．
（1）首先把第3 项
2
2y 裂项，拆成
2
2
y
y
+
，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x 和y，
代入求得数值；
（2）用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a 和b，进而根据三角形三边关系且c 为最长边，
即可求解；
（3）先把
8 5
2
a
b
c
= +
−
代入
2
2
2
5
0
ab
c
c
+
+
+
=
，得到关于b 和c 的式子，再仿照（1）（2）题求解得出
(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
4
8
4
2
1
0
b
c
bc
b
b
c
c
+
−
+
−
+
+
+
+
=
，进而即可求解．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
−
+
−
+ =
，
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
y
−
+
+
−
+ =
，
2
2
(
)
(
1)
0
x
y
y
−
+
−
=
，
0
x
y
−
=
，
1
0
y−
=
，
x
y
=
，
1
y = ，
1
x
y
=
= ，
2
3
x
y
+
=
；
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（2）解：
2
2
8
10
41
0
a
b
b
a
+
−
−
+
=
，
2
2
1
10
2
8
6
0
5
a
b
b
b
−
+
+
−
+
=
，
2
2
(
5)
(
4)
0
a
b
−
+
−
=
，
5
0
a
−= ，
4
0
b−
=
，
5
a
=
，
4
b =
；
∵a 、b 、c 是ABC
的三边，
∴a
b
c
a
b
−
+ 即1
9
c
又∵c 为最长边
∴5
9
c
；
（3）解：∵
5
2
8
a
b
c
−
+
=
，
∴
8 5
2
a
b
c
= +
−
∵
2
2
2
5
0
ab
c
c
+
+
+
=
∴(
)
2
8
5
2
2
2
5
0
b
b
c
c
c
+
−
+
+
+
=
∴
2
2
5
2
2
8
2
5
0
b
c
bc
b
c
+
−
−
+
+
=
∴(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
4
8
4
2
1
0
b
c
bc
b
b
c
c
+
−
+
−
+
+
+
+
=
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
0
b
c
b
c
−
+
−
+
+
=
∴
0,2
2
0,
1
0
b
c
b
c
−
=
−
=
+ =
∴
1,
1
c
b
= −
= −
∴
8 5
2
8 5
2
5
a
b
c
= +
−
= −+
=
题型06 根据三角形中线求长度
典｜例｜精｜析
21．（25-26 八年级上·江西宜春·期中）如图，ABC
的周长是40 ，AD是边BC 上的中线，
14
AB =
，
8
CD =
，则ABD
与ACD
的周长之差为（ ）
解题贴士
中线平分底边，分底边两段相等；已知两边求中线多用倍长中线模型，注意线段等量转换，计算时看清
线段对应关系，勿混淆底边与腰长。
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A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据三角形中线的意义求得
8
BD
CD
=
= ，
2
16
BC
BD
=
=
，再利用三角形的周长求得
10
AC =
，从而可求
得ABD
与ACD
的周长之差．
【详解】解：∵AD是边BC 上的中线，
8
CD =
，
∴
8
BD
CD
=
= ，
2
16
BC
BD
=
=
，
∵ABC
的周长是40 ，
∴
40
AB
AC
BC
+
+
=
，
∵
14
AB =
，
∴14
16
40
AC
+
+
=
，
解得：
10
AC =
，
∴ABD
与ACD
的周长之差为
(
)
AB
BD
AD
AC
AD
DC
+
+
−
+
+
AB
BD
AD
AC
AD
DC
=
+
+
−
−
−
14 10
4
AB
AC
=
−
=
−
=
，
故选：C．
变｜式｜巩｜固
22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，CM 是ABC
的中线，
8cm
BC =
，若
BCM
△
的周长比ACM
的周长大
3cm，则AC 的长为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义
可得AM
BM
=
，结合题意可得
3cm
BC
AC
−
=
，进而获得答案．
【详解】解：∵CM 是ABC
的边AB 上的中线，
∴AM
BM
=
，
∵
BCM
△
的周长比ACM
的周长大3cm，
∴(
) (
)
3cm
BC
BM
CM
AC
AM
CM
+
+
−
+
+
=
，
∴
3cm
BC
AC
−
=
，
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∵
8cm
BC =
，
∴
5cm
AC =
．
故选：C．
23．（25-26 八年级上·全国·单元测试）如图，在ABC
中，AB
AC
，AD是BC 边上的中线，若ABD
和
ADC
的周长之差为2 ，且AB 与AC 的和为14，则AB =__________，AC =__________．
【答案】 8 6
【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．
根据三角形中线的定义，BD
CD
=
．所以ABD
和ADC
的周长之差也就是AB 与AC 的差，然后联立关
于AB 、AC 的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
AD
是BC 边上的中线，
BD
CD
=
，
ABD
△
的周长
ADC
−
的周长(
) (
)
2
AB
AD
BD
AC
AD
CD
AB
AC
=
+
+
−
+
+
=
−
=
，
即
2
AB
AC
−
=
①，
又
14
AB
AC
+
=
②，
①+ ②得．2
16
AB =
，
解得
8
AB =
，
②- ①得，2
12
AC =
，
解得
6
AC =
，
故答案为：8；6
24．（25-26 七年级下·福建泉州·期中）如图，在ABC
中，AD是中线，
10cm,
6cm
AB
AC
=
=
．
(1)求ABD
与ACD
的周长差；
(2)点E 在边AB 上，连接ED．若ABC
的周长被DE 分成的两部分的差是2cm ，求线段AE 的长．
【答案】(1)4cm
(2)线段AE 的长为1cm或3cm
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
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（1）ABD
的周长
AB
BD
AD
=
+
+
，ACD
的周长
AC
CD
AD
=
+
+
，由中线的定义可得BD
CD
=
，即可
解答；
（2）由图可知三角形BDE的周长
BE
BD
DE
=
+
+
，四边形ACDE 的周长
AE
AC
DC
DE
=
+
+
+
，BD
DC
=
，
进而分当BDE
的周长-四边形ACDE 的周长
2cm
=
和四边形ACDE 的周长-当BDE
的周长
2cm
=
两种情况
讨论求解即可．
【详解】（1）解：ABD
的周长
AB
BD
AD
=
+
+
，ACD
的周长
AC
CD
AD
=
+
+
，
∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
ABD
与ACD
的周长差：(
) (
)
4cm
AB
BD
AD
AC
CD
AD
AB
AC
+
+
−
+
+
=
−
=
（2）解：由图可知：BDE
的周长
BE
BD
DE
=
+
+
，四边形ACDE 的周长
AE
AC
DC
DE
=
+
+
+
，
①当BDE
的周长-四边形ACDE 的周长
2cm
=
时，
∵D是BC 的中点，
∴BD
DC
=
，
∴(
) (
)
2
BE
BD
DE
AE
AC
DC
DE
+
+
−
+
+
+
=
，
∴
2
BE
AE
AC
=
+
+ ，
又∵
10cm
AB =
，
6cm
AC =
，BE
AB
AE
=
−
，
∴
2
AE
AC
AB
AE
+
+
=
−
，
∴10
6
2
AE
AE
−
=
+ +
∴
1cm
AE =
；
②四边形ACDE 的周长-
BDE
的周长
2cm
=
时，
∵D是BC 的中点，
∴BD
DC
=
，
∴(
) (
)
2
AE
AC
DC
DE
BE
BD
DE
+
+
+
−
+
+
=
，
∴
2
AE
AC
BE
+
=
+ ，
又∵
10cm
AB =
，
6cm
AC =
，BE
AB
AE
=
−
，
∴
2
AE
AC
AB
AE
+
=
−
+ ，
∴
6
10
2
AE
AE
+
=
−
+
∴
3cm
AE =
；
综上，线段AE 的长为1cm或3cm ．
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题型07 根据三角形中线求面积
典｜例｜精｜析
25．（25-26 九年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在ABC
中，已知点D、E、F 分别为边BC 、AD、CE
的中点，若ABC
的面积为16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点D 、E 、F 分别为中点的条件，逐步
推导BCE
的面积，进而求出阴影部分BEF
的面积
【详解】解：点D为BC 的中点，
1
1 16
8
2
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
=
=
=
=
，
点E 为AD的中点，
1
1 8
4
2
2
BDE
ABD
S
S
=
=
=
，
1
1 8
4
2
2
CDE
ACD
S
S
=
=
=
，
4
4
8
BCE
BDE
CDE
S
S
S
=
+
=
+
=
，
点F 为CE 的中点，
1
1 8
4
2
2
BEF
BCE
S
S
=
=
=
，
即图中阴影部分的面积为4 ．
变｜式｜巩｜固
26．（25-26 八年级上·安徽六安·期中）如图，D 是ABC
中边AB 的中点，连接CD，E 是CD的中点，连
接AE ，BE．若
8
ABC
S
＝，则阴影部分的面积为（ ）
解题贴士
三角形中线将三角形分成面积相等两部分，多条中线分割可等分面积。解题找准底边中点，等底同高面
积相等，结合整体面积快速求小三角形面积。
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A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】本题考查了中线平分三角形面积，解题关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．本题利用阴
影面积等于整个大三角形面积的一半即可求解．
【详解】解：∵E 是CD的中点，
∴
1
1
,
2
2
ACE
ACD
BED
BCD
S
S
S
S
＝
＝
，
则
(
)
1
1
1
1
4
2
2
2
2
ACE
BED
ACD
BCD
ACD
BCD
ABC
S
S
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
+
=
=
阴影
，
故选： C．
27．（25-26 七年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，ABC
的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC ，
AD，BE，CE 的中点，则
AFG
△
的面积是________．
【答案】9
2
【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解．
【详解】解：∵D是BC 的中点，
1
1 12
6
2
2
ABD
ABC
S
S
=
=
=
，
∵E 是AD的中点，
1
1
6
3
2
2
ABE
ABD
S
S
=
=
=
，
F
是BE的中点，
1
1
3
3
2
2
2
AFE
ABE
S
S
=
=
=
，
同理可得：
3
2
AEG
S
=
，
3
2
FEG
S
=
，
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∴
9
2
AFG
AFE
AEG
FEG
S
S
S
S
=
+
+
=
．
28．（25-26 七年级下·江苏扬州·期中）已知ABC
的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若AD是ABC
的边BC 上的中线，则ABD
的面积________ ACD
的面积（填“”“”或
“ = ”）；
(2)如图2，若
,
CD BE 分别是ABC
的边
,
AB AC 上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法：连结
AO ，由AD
DB
=
得：
ADO
BDO
S
S
=
，同理：
AEO
CEO
S
S
=
，设
,
ADO
AEO
S
x S
y
=
=
，则
,
BDO
CEO
S
x S
y
=
=
，由题
意得：
1
1
30,
30
2
2
ABE
ABC
ADC
ABC
S
S
S
S
=
=
=
=
，可列方程组为：
2
30
2
30
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得________，通过解这个
方程组可得四边形ADOE 的面积为________；
(3)如图3，
:
1: 3,
:
1: 2
AD DB
CE AE
=
=
，请你计算四边形ADOE 的面积，并说明理由．
【答案】(1) =
(2)
10
10
x
y
=
=
，20；
(3)四边形ADOE 的面积为13，理由见解析
【分析】本题考查三角形的中线，解二元一次方程组，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键：
（1）根据三角形的中线平分面积作答即可；
（2）加减消元法求出,x y的值，再根据得四边形ADOE 的面积为x
y
+
，进行计算即可；
（3）连接AO ，设
,
OAD
AOE
S
x S
y
=
=
，仿照（2），进行求解即可．
【详解】（1）解：∵AD是ABC
的边BC 上的中线，
∴ABD
的面积=
ACD
的面积；
故答案为：= ；
（2）解
2
30
2
30
x
y
x
y
+
=
+
=
，得：
10
10
x
y
=
=
；
由图可知：四边形ADOE 的面积为
20
x
y
+
=
；
故答案为：
10
10
x
y
=
=
，20；
（3）四边形ADOE 的面积为13，理由如下：
连接AO ，设
,
OAD
AOE
S
x S
y
=
=
，
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∵
:
1: 3,
:
1: 2
AD DB
CE AE
=
=
，
∴
3
BOD
AOD
S
BD
S
AD
=
=
，
2
AOE
COE
S
AE
S
CE
=
=
，
2
1
,
3
4
ADC
ABE
ABC
ABC
S
S
AE
AD
S
AC
S
AB
=
=
=
=
，
∴
3
3
BOD
AOD
S
S
x
=
=
，
1
1
2
2
COE
AOE
S
S
y
=
=
，
2
1
40,
15
3
4
ABE
ABC
ADC
ABC
S
S
S
S
=
=
=
=
，
∴
3
40
1
15
2
x
x
y
x
y
y
+
+
=
+
+
=
，解得：
9
4
x
y
=
=
；
∴四边形ADOE 的面积为
13
x
y
+
=
．
题型08 重心的概念
典｜例｜精｜析
29．（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）一个三角形的重心是该三角形（ ）
A．三条高线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．以上都是
【答案】C
【分析】根据三角形三条中线的交点是三角形的重心解答即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握定义
是解题的关键．
【详解】解：根据三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，
故选：C．
变｜式｜巩｜固
30．（25-26 八年级上·陕西西安·阶段检测）画出下图中ABC
的重心．
解题贴士
重心是三角形三条中线交点，仅中线交点才是重心。重心分中线比 2:1，分割出六个面积相等小三角形，
区分重心、垂心、内心，不可混淆。
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【答案】见解析
【分析】先作BC、AC 的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心．
【详解】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点O，点O即为所求．
【点睛】此题主要考查重心的作图，解题的关键是熟知重心是三角形中线的交点．
31．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，在8 8
的网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC
的顶
点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚
线表示，画图结果用实线表示）．
(1)画出ABC
关于AC 对称的ACD
（点B 的对应点是点D）；
(2)画出ABC
的重心O；
(3)直接写出四边形ABCD的面积______．
【答案】(1)
ACD
如图所示；
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(2)
ABC
的重心O 如图所示；
(3)24
【分析】本题考查了利用网格的特点作图．
（1）根据轴对称的特点，作出图形即可；
（2）利用长方形的特点找到边AB ，BC 的中点，ABC
两条中线的交点即可为重心；
（3）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：四边形ABCD的面积为
1
2
4 6
24
2
=
．
故答案为：24．
32．（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将
其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探
究．请你帮助他们完成下列问题：
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(1)如图②，小组成员在三角形薄板ABC 上画出中线AD，可以得到
ABD
S
_______
ACD
S△
（填“”“ = ”或
“”）；
(2)如图③，三角形薄板ABC 的三条中线AD
CE
BF
，
，
相交于点O，试判断三角形薄板ABC 被三条中线所
分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由；
(3)结合（2）中的结论，直接写出
:
AO OD的值．
【答案】(1) =
(2)相等，理由见详解
(3)2
【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形面积相等，中点的性质是解题的关键．
（1）根据等底等高的三角形面积相等，直接可求即可得到答案；
（2）设
OCD
OBE
OAF
S
x
S
y
S
z
=
=
=
，
，
，根据题意可得
2
2 2
2
x
y
x
z
x
z
y
z
+
=
+
+
=
+
，
，即可得到x
y
z
=
=
，
三条中线分成的六个三角形面积相等；
（3）由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的1
6 ，则
2
BOD
ABO
S
S
=
，由两个三角形高相等，则2OD
AO
=
，即可得出
2
AO
OD =
．
【详解】（1）解：∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
∴ABD
与ACD
等底等高，
ABD
ACD
S
S
=
，
故答案为：= ；
（2）解：三条中线分成的六个三角形面积相等，
理由如下：
设
OCD
OBE
OAF
S
x
S
y
S
z
=
=
=
，
，
，
∵D是BC 的中点，
ABD
ACD
S
S
=
，
OCD
OBE
OAF
OCD
OBD
OBE
OAE
S
x
S
y
S
z
S
S
S
S
=
=
=
=
=
，
，
，
，
，
2
2
x
y
x
z
+
=
+
，
y
z
=
，
ABF
BCF
S
S
=
，
2
2
x
z
y
z
+
=
+
，
x
y
=
，
x
y
z
=
= ，
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即三条中线分成的六个三角形面积相等；
（3）解：由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，则每个小三角形的面积是大三角形面积的
1
6 ，
2
BOD
ABO
S
S
=
，
2OD
AO
=
，
∴
2
AO
OD =
，即
:
AO OD的值为2 ．
题型09 画三角形的高
典｜例｜精｜析
33．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）ABC
中BC 边上高的作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高线的定义即可解答．
【详解】解：A 选项中，作的是AC 边上的高，不符合题意；
B 选项中，没有经过顶点A，不符合题意；
C 选项中，AE 不垂直BC ，不符合题意；
D 选项中，AE 过点A且垂直BC ，符合题意．
变｜式｜巩｜固
34．（24-25 七年级下·河北张家口·期中）如图，ABC
的边AB 上的高是（ ）
A．DB
B．CF
C．AF
D．BE
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【答案】B
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂
足之间的线段叫做三角形的高，即可解答．
【详解】解：在ABC
中，边AB 为底边，从顶点C 向AB 所在直线作垂线，垂足为F，因此边AB 上的高
是线段CF ．
35．（25-26 八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，ABC
的高AD，BE交于点F，则
（1）在
ABF
△
中，BF 边上的高为 __；
（2）在ADC
中，AD边上的高为 __．
【答案】 AE / EA CD/ DC
【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形
的高．
根据三角形的高的定义作答即可．
【详解】解：（1）在
ABF
△
中，BF 边上的高为AE ．
故答案为：AE ；
（2）在ADC
中，AD边上的高为CD．
故答案为：CD．
36．（25-26 八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知在直角三角形ABC 中，
90 ,
8,
6,
10
BAC
AB
AC
BC
=
=
=
=
．
(1)作出ABC
的高AD和中线AE ；
(2)求ABE
的面积；
(3)求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
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(3) 24
5
【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
（1）根据题意画出图形；
（2）根据三角形面积公式即可解答；
（3）利用面积法即可解答．
【详解】（1）解：如图，高AD和中线AE 即为所求
（2）解：ABC
的面积为
24
2
AC AB
=
，
AE
是ABC
的中线，
ABE
的面积为12；
（3）解：
AD
BC
⊥
，
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AC AB
=
=
，
48
24
10
5
AD
=
=
．
题型10 与三角形的高有关计算问题
典｜例｜精｜析
37．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC
中，
40
BCA
=
，
60
ABC
=
．若BF 是
ABC
的
高，与角平分线AE 相交于点O．则
EOF
的度数为（ ）．
解题贴士
三角形高与底边垂直，自带 90° 直角，可结合内角和计算角度。锐角三角形三条高均在内部，直角三
角形两条高与直角边重合，钝角两条高在外部。计算面积牢记底高对应，勿错配底边与高，遇外部高别
漏补延长线，结合直角三角形边角关系列式求解。
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A．130
B．70
C．110
D．100
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外
角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出
80
BAC
=
，根据角平分线得到
1
40
2
EAC
BAC
，再由三角形的高得到
90
AFO
=
，再根据三角形内角和定理求出
AOF
，最后
由邻补角的定义即可得出结果．
【详解】解：∵在ABC
中，
40
BCA
=
，
60
ABC
=
，
∴
180
40
60
80
BAC
=
−
−
=
，
∵AE 平分
BAC
，
∴
1
40
2
EAC
BAC
，
∵BF 是ABC
的高，
∴
90
AFO
=
，
∴
180
50
AOF
EAC
AFO
=
−
−
=
，
∴
180
130
EOF
AOF
=
−
=
．
故选：A．
变｜式｜巩｜固
38．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，点D 沿BC 自B 向C 移动(
点D 不与B、C 重合) ．作CE
AD
⊥
于点E，BF
AD
⊥
于点F，则CE
BF
+
的值为（ ）
A．一直增大
B．一直减少
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】D
【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
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依据题意，由CE
AD
⊥
于E，BF
AD
⊥
于F，从而可得出
(
)
1
2
ABC
S
CE
BF
AD
=
+
，又
ABC
S
一定，AD随
着D 的移动先减小再增大，则CE
BF
+
随着D 的移动先增大后减小，即可得解．
【详解】解：
CE
AD
⊥
于E，BF
AD
⊥
于F，
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
1
1
2
2
CE AD
BF AD
=
+
(
)
1
2 CE
BF
AD
=
+
ABC
S
△
一定，AD随着D 的移动先减小再增大，
CE
BF
+
∴
随着D 的移动先增大后减小．
故选：D．
39．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，D 为BC 中点，过点D 作
DP
AB
⊥
，
3
DP =
，E 为BC 上一点，过点E 作EM
AB
⊥
，EN
AC
⊥
，
4.2
EM =
，则EN =________．
【答案】1.8
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出
1
1
2
2
ABC
ABF
ACF
S
S
S
AB DF
AC EF
=
+
=
+
是解此题的关键．连接AD，AE ，根据D 为BC 中点，得出
1
2
ABD
ACD
S
S
AB DP
=
=
，从而得出
2
ABC
ABD
ACD
ABD
S
S
S
S
AB DP
=
+
=
=
，根据三角形面积得出
1
1
2
2
ABC
ABE
ACE
S
S
S
AB EM
AC EN
=
+
=
+
，从而得出
1
1
2
2
AB DP
AB EM
AB EN
=
+
，代入数据计算即
可．
【详解】解：如图，连接AD，AE ，
，D 为BC 中点，
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∴
1
2
ABD
ACD
S
S
AB DP
=
=
，
∴
2
ABC
ABD
ACD
ABD
S
S
S
S
AB DP
=
+
=
=
，
∵EM
AB
⊥
，EN
AC
⊥
，
1
1
2
2
ABC
ABE
ACE
S
S
S
AB EM
AC EN
=
+
=
+
，
∴
1
1
2
2
AB DP
AB EM
AB EN
=
+
，
∵
3
DP =
，
4.2
EM =
，
∴
1
1
3
4.2
2
2
AB
AB
AB EN
=
+
，
解得：
1.8
EN =
．
故答案为：1.8．
40．（24-25 八年级上·安徽安庆·期中）如图，在Rt
ABC
△
与Rt ACD
中，BC 与AD相交于点E，EF
BC
⊥
交AC 于点F．
(1) ABC
中BC 边上的高是___________；
ACE
△
中AE 边上的高是___________；
(2)若
3cm
AB =
，
4cm
CD =
，
4cm
AE =
，求
ACE
△
的面积．
【答案】(1) AB ；CD
(2)8
【分析】本题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积
公式．
（1）根据三角形某条边上高的定义可以得解；
（2）根据三角形面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解：∵在Rt
ABC
△
中，AB
BC
⊥
，
∴ABC
的BC 边上的高是AB ；
∵在Rt ACD
中，AE
CD
⊥
∴
ACE
△
的AE 边上的高是CD；
故答案为：AB ，CD.
（2）解：∵在
ACE
△
中，
AE
CD
⊥
，
4cm
CD =
，
4cm
AE =
，
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ACE
的面积为
(
)
2
1
1
4 4
8 cm
2
2
AE CD
=
=
．
题型11 三角形的角平分线
典｜例｜精｜析
41．（25-26 八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，AD，AE ，AF 分别是ABC
的中线、角平分线和高
线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD
CD
=
B．DF
CF
=
C．
90
AEB
=
D．
1
2
BAE
BAC
=
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高线，掌握相关定义及结论即可求解；
【详解】解：∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，不是AD
CD
=
，故A 错误；
∵AE 是ABC
的角平分线，
∴
1
2
BAE
BAC
=
，故D 正确；
∵AF 是ABC
的高线，
∴
90
AFB
=
，不是
90
AEB
=
，故C 错误；
无法推出DF
CF
=
，故B 错误；
故选：D
变｜式｜巩｜固
42．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，BD平分
ABC
交AC 于D，
作DE
DB
⊥
交AB 于E，已知
40
A =
∠
，则
ADE
的度数为（ ）
解题贴士
角平分线平分三角形内角，分得两角相等。内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，计算角度常结
合内角和，注意区分内外角平分线模型。
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A．40
B．35
C．30
D．25
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．先求出
50
ABC
=
，根据BD平分
ABC
交AC 于D，得
25
CBD
=
，又因为
ADB
C
CBD
=
+
，DE
DB
⊥
，进行列式计算，即可求解．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
40
A =
∠
，
∴
180
40
90
50
ABC
=
−
−
=
，
∵BD平分
ABC
交AC 于D，
∴
1 50
25
2
CBD
=
=
，
∵
ADB
C
CBD
=
+
，
∴
90
25
115
ADE
EDB
+
=
+
=
，
∵DE
DB
⊥
，
∴
90
115
ADE
+
=
，
∴
25
ADE
=
，
故选：D．
43．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，ABC
中AD，BE分别是ABC
的高和角平分线，若
70
C
=
，
95
AEB
=
，则
BAD
=_____°．
【答案】40
【分析】根据AD，BE分别是ABC
的高和角平分线，得
90
ADC
=
，
ABE
CBE
=
；根据三角形的外
角，得
AEB
CBE
C
=
+
，
ADC
ABD
BAD
=
+
，即可．
【详解】∵AD，BE分别是ABC
的高和角平分线，
∴
90
ADC
=
，
ABE
CBE
=
，
∵
70
C
=
，
95
AEB
=
，
46 / 91
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∴
AEB
CBE
C
=
+
，
∴95
70
CBE
=
+
，
∴
25
CBE
=
，
∴
25
ABE
CBE
=
=
，
∴
50
ABD
=
，
∵
ADC
ABD
BAD
=
+
，
∴90
50
BAD
=
+
，
∴
40
BAD
=
．
故答案为：40 ．
【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是
掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质．
44．（2023·浙江金华·二模）如图，AD
BC
∥
，点E 是BA延长线上一点，
E
DCE
=
．
(1)求证：
B
D
= ．
(2)若CE 平分
BCD
，
47
E
=
，求
B
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)86
【分析】（1）根据AD
BC
∥
可得
B
EAD
=
，根据
E
DCE
=
可得EB
CD
∥
，进而可得
D
EAD
=
，等量代换可得
B
D
= ；
（2）根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明．
【详解】（1）证明：
AD
BC
，
B
EAD
=
，
E
DCE
=
，
EB
CD
∥
，
D
EAD
=
，
B
D
=
；
（2）解：∵
47
E
=
，
E
DCE
=
，
∴
47
E
DCE
=
=
，
∵CE 平分
BCD
，
47 / 91
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∴
47
BCE
DCE
=
=
，
∴
180
86
B
E
BCE
=
−−
=
，
∴
B
的度数为86．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定和性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线
的判定定理和性质定理．
题型12 与平行线有关的三角形内角和问题
典｜例｜精｜析
45．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）如图，在ABC
中，
70
C
=
，直线DE 经过点A 且DE
BC
∥
，若
30
DAB
=
，则
BAC
的度数为（ ）
A．70
B．80
C．90
D．100
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为180是解题的关
键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解．
【详解】解：
DE
BC
∵
∥
，
30
B
DAB
=
=
，
180
B
C
BAC
++
=
，
180
180
30
70
80
BAC
B
C
=
−−
=
−
−
=
．
故选：B．
变｜式｜巩｜固
46．（25-26 七年级下·上海嘉定·期末）如图，AB
CD
∥
，PF
AB
⊥
，垂足为点F ，如果
45
PEC
=
，那
么
EPF
=______．
解题贴士
作平行线转移内角拼成平角，巧用同位角、内错角相等代换角度，计算时找准平行线截出的等角，结合
180° 平角列式求解。
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【答案】135
【分析】延长FP交CD于M ，由平行线的性质得到FM
CD
⊥
，求出
90
45
MPE
PEC
=
−
=
，由邻补
角的性质即可求解．
【详解】解：延长FP交CD于M ，
AB
CD
∥
，PF
AB
⊥
，
FM
CD
⊥
，
90
PME
=
，
45
PEC
=
，
90
45
MPE
PEC
=
−
=
，
180
135
EPF
MPE
=
−
=
，
故答案为：135．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到FM
CD
⊥
．
47．（25-26 八年级下·全国·课堂例题）如图，
/ /
AB
CD ，EF 分别与AB ，CD交于点A，F，若
20
E
=
，
130
EFD
=
，则
B
=______．
【答案】30
【分析】先根据平行线的性质可得
130
EAB
EFD
=
=
，再根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：
//
AB CD
，
130
EFD
=
，
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130
EAB
EFD
=
=
，
20
E
=
，
8
30
1 0
E
EAB
B
=
−
=
−
，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
48．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，EF
CD
∥
，GD
CA
∥
．
(1)求证：1
2
180
+=
；
(2)若CD平分
ACB
，DG 平分
CDB
，且
35
A
=
，求
ABC
的度数．
【答案】(1)证明：
EF
CD
∥
，
1
180
ECD
+
=
，
GD
CA
∥
，
2
ECD
=
，
1
2
180
+=
；
(2)75
【分析】（1）根据平行线的性质得到1
180
ECD
+
=
，
2
ECD
=
，据此可证明结论；
（2）根据平行线的性质得到
35
BDG
A
= =
，
2
ECD
= ，由角平分线的定义得到
2
35
BDG
ECD
=
=
=
∠
，进而求出
ACB
的度数，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：
GD
CA
∥
，
35
BDG
A
= =
，
2
ECD
= ，
DG
平分
CDB
，
2
35
BDG
=
=
，
2
35
ECD
= =
，
CD
平分
ACB
，
2
70
ACB
ECD
=
=
，
8
75
1 0
A
ACB
B
=
−
=
−
．
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题型13 与角平分线有关的三角形内角和问题
典｜例｜精｜析
49．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，BD是ABC
的角平分线，CE 是ABC
的高，
50
ABC
=
，
80
ACB
=
，点F 为边AB 上一点，当ADF
为直角三角形时，
BDF
的度数为__________________．
【答案】15或65
【分析】分
90
AFD
=
和
90
ADF
=
两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和
定理求解即可．
【详解】解：BD是ABC
的角平分线，
50
ABC
=
，
1
25
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，
当
90
AFD
=
时，
90
BFD
=
，
90
90
25
65
BDF
ABD
=
−
=
−
=
；
当
90
ADF
=
时，
90
CDF
=
，
25
CBD
=
，
80
ACB
=
，
180
180
25
80
75
BDC
CBD
ACB
=
−
−
=
−
−
=
，
90
75
15
BDF
CDF
BDC
=
−
=
−
=
解题贴士
遇角平分线先标相等两角，结合内角和列式，内外角平分线有固定角度结论，设元简化计算，区分两种
平分线模型避免混淆。
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综上，
BDF
的度数为15或65．
变｜式｜巩｜固
50．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
中，BD
AC
⊥
于点D ，
CAB
的平分线AE 交
BD于点E ，
60
AED
=
，
40
ABC
=
，则
C
的度数是________．
【答案】80/80 度
【分析】先由垂线的定义得到
90
ADE
=
，再由三角形内角和定理得到
30
DAE
=
，则由角平分线的定
义可得
2
60
CAB
CAE
=
=
∠
∠
，然后由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵BD
AC
⊥
，
∴
90
ADE
=
，
∵
60
AED
=
，
∴
180
30
DAE
ADE
AED
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∵AE 是
CAB
的角平分线，
∴
2
60
CAB
CAE
=
=
∠
∠
，
∵
40
ABC
=
，
∴
180
80
C
CAB
ABC
−
−
=
=
．
51．（25-26 七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程：
如图，
ACE
是ABC
的一个外角，
50
A
=
，
ABC
的平分线与
ACE
的平分线交于点D ，求
D
的度
数．
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解：因为
ABC
的平分线与
ACE
的平分线交于D ，
所以
1
2
2
ABC
=
，
1
4
2
=
．（ ）（填推理依据）
因为
ACE
是ABC
的外角，
4
是BCD
的外角，
所以
ACE
A
= + ，
4
D
= + ．
（ ）（填推理依据）
…
【答案】解：因为
ABC
的平分线与
ACE
平分线交于D ，
所以
1
2
2
ABC
=
，
1
4
2
ACE
=
（角平分线的定义），
因为
ACE
是ABC
的外角，
4
是BCD
的外角，
所以
ACE
A
ABC
= +
，
4
2
D
=+，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
所以
(
)
1
1
1
1
4
2
25
2
2
2
2
D
ACE
ABC
ACE
ABC
A
= −=
−
=
−
=
=
．
【分析】根据三角形外角的性质可得
4
2
D
=−，
A
ACE
ABC
=
−
，再利用角平分线的定义即可解
答
【详解】略
52．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题．
(1)已知：如图1，在ABC
中，
60
A
=
，BP，CP 分别平分
ABC
和
ACB
，
BPC
的度数是
_________．
(2)已知：如图2，
DBC
与
ECB
分别是ABC
的两个外角，且
210
DBC
ECB
+
=
．则
A
=
_________．
(3)如图3，在四边形ABCD中，
F
为四边形ABCD的
ABC
的平分线及外角
DCE
的平分线所在的直线
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构成的锐角，若设
A
=
，
D
=
，求
F
的度数．（用含，的式子表示）
【答案】(1)120
(2)30
(3) (
)
1
90
2
+
−
【分析】（1）在ABC
中，根据三角形内角和定理可求得
ABC
ACB
+
，结合角平分线的含义可得
PBC
PCB
+
，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）先求解
ABC
ACB
+
，再进一步利用内角和定理可得答案；
（3）延长BA，CD交于点Q ，同（2）可得
180
Q
=
+
−
，证明
1
2
FBE
QBC
=
，
1
2
FCE
DCE
=
，结合外角的性质可得
Q
DCE
QBC
=
−
，
2
2
2
F
FCE
FBC
DCE
QBC
=
−
=
−
，可得
2
Q
F
=
，进一步求解即可；
【详解】（1）解：在ABC
中，
60
A
=
，
∴
180
60
120
ABC
ACB
−
+
=
=
，
∵BP，CP 分别平分
ABC
和
ACB
，
∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCB
ACB
=
，
∴
(
)
1
60
2
PBC
PCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
120
BPC
PBC
PCB
=
−
+
=
；
（2）解：∵
DBC
与
ECB
分别是ABC
的两个外角，且
210
DBC
ECB
+
=
，
∴
(
)
180
180
360
210
150
ABC
ACB
DBC
ECB
+
=
+
−
+
=
−
=
，
∴
(
)
180
180
150
30
A
ABC
ACB
=
−
+
=
−
=
；
（3）解：延长BA，CD交于点Q ，如图，
∵
BAD
=
，
ADC
=
，
∴
(
)
(
)
180
180
360
360
QAD
QDA
BAD
ADC
BAD
ADC
+
=
−
+
−
=
−
+
=
−
+
，
∴
(
)
(
)
180
180
360
180
Q
QAD
QDA
=
−
+
=
−
−
+
=
+
−
，
∵
F
为四边形ABCD的
ABC
的平分线及外角
DCE
的平分线所在的直线构成的锐角，
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∴
1
2
FBC
QBC
=
，
1
2
FCE
DCE
=
，
∵
DCE
QBC
Q
=
+
，
FCE
FBC
F
=
+
，
∴
Q
DCE
QBC
=
−
，2
2
2
F
FCE
FBC
DCE
QBC
=
−
=
−
，
∴
2
Q
F
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
180
90
2
2
2
F
Q
=
=
+
−
=
+
−
．
题型14 三角形折叠中的角度问题
典｜例｜精｜析
53．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）如图，在ABC
中，D 是BC 边上的一点，将ABD
沿AD翻折，使
点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若
75
ADB
=
，
47
C
=
，则
B
的度数为（ ）
A．77
B．75
C．62
D．58
【答案】A
【分析】根据翻折的性质得到
ADE
ADB
=
、
B
AED
=
，再结合平角定义求出
CDE
，最后利用三角
形外角定理求出
AED
∠
，进而得到
B
的度数．
【详解】解：由翻折可得，
75
ADE
ADB
=
=
，
B
AED
=
，
180
30
CDE
ADE
ADB
=
−
−
=
，
77
AED
CDE
C
=
+
=
，
77
B
AED
=
=
．
变｜式｜巩｜固
54．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在ABC
中，
80
A
=
，
40
B
=
，点M ，N 分别是AB ，
BC 上动点，沿MN 所在的直线折叠
B
，使点B 的对应点B落在AC 上．若
90
NB C
=
，则
MNB
的度
解题贴士
折叠前后对应角相等，利用内角和、平角建立等量关系。顶点分内部、外部两种情况，找准重叠等角，
设未知数快速计算角度。
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数为（ ）
A．60
B．75
C．80
D．85
【答案】B
【分析】由三角形内角和定理求出
C
的度数，进而求出
CNB
的度数，再由平角的定义求出
BNB
的度
数，最后根据折叠的性质可得答案．
【详解】解：∵
80
A
=
，
40
B
=
，
∴
180
60
C
A
B
=
−−=
，
∵
90
NB C
=
，
∴
180
30
CNB
C
NB C
=
−
−
=
∠
，
∴
180
150
BNB
CNB
=
−
=
∠
∠
，
由折叠的性质可得
1
75
2
MNB
MNB
BNB
=
=
=
∠
∠
．
55．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片ABCD中，E 为边AD上一点，将纸片沿EB，
EC 折叠，点A落在点A的位置，点D 落在点D的位置（点A在点D右侧）．若
20
A ED
=
，则
BEC
=__________．
【答案】80/80度
【分析】设
AEB
x
=
，
DEC
y
=
，用两种方法表示
BEC
，求出x
y
+
的值，进而解题．
【详解】解：设
AEB
x
=
，
DEC
y
=
，
则
A EB
x
=
，
D EC
y
=
，
∵
20
A ED
=
，
∴
20
BED
x
=
−
，
20
CEA
y
=
−
，
∵
180
180
BEC
AEB
DEC
x
y
=
−
−
=
−
−
，
20
20
20
20
BEC
BED
A ED
CEA
x
y
x
y
=
+
+
=
−
+
+
−
=
+
−
，
∴180
20
x
y
x
y
−
−
=
+
−
，
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化简得
100
x
y
+
=
，
∴
20
80
BEC
x
y
=
+
−
=
．
56．（25-26 八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52 页第19 题
部分内容．
【问题回顾】
(1)已知：如图1，在ABC
中，
60
A
=
，BD，CD分别平分
ABC
和
ACB
，
BDC
的度数是 ．
(2)已知：如图2，在ABC
中，BE平分
ABC
，CE 平分外角
ACE
，试判断
A
和
E
的数量关系，并说
明理由．
(3)如图3，BF 平分外角
CBP
，CF 平分外角
BCQ
，若设
A
=
，则
F
= ．（用含的式子表示）
【拓展与应用】
(4)如图4，BI 平分
ABC
，CI 平分
ACB
，把ABC
折叠，使点A与点I 重合，若1
2
130
+=
，则
BIC
= ．
【答案】(1)120
(2)
1
2
=
E
A，理由见解析
(3)
1
90
2
F
=
−
(4)122.5
【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果；
（2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果；
（3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果；
（4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：在ABC
中，
60
A
=
，
∴
120
ABC
ACB
+
=
，
∵BD，CD分别平分
ABC
和
ACB
，
∴
1
1
,
2
2
DBC
ABC
DCB
ACB
=
=
，
∴
(
)
1
60
2
DBC
DCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
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∴
(
)
180
180
60
120
BDC
DBC
DCB
=
−
+
=
−
=
；
（2）解：
1
2
=
E
A，理由如下：
∵BE平分
ABC
，CE 平分外角
ACE
，
∴
1
2
CBE
ABC
=
，
1
2
ECM
ACM
=
，
∵
ACM
是ABC
的外角，
ECM
是BCE
的外角，
∴
,
ACM
ABC
A
ECM
CBE
E
=
+
=
+
，
∴1
1
1
2
2
2
ACM
ABC
A
=
+
，即
1
2
ECM
CBE
A
=
+
，
∴
1
2
=
E
A；
（3）解：∵
A
=
，
∴
180
ABC
ACB
+
=
−
，
∴
180
180
180
PBC
QCB
ABC
ACB
+
=
−
+
−
=
+
，
∵BF 平分
CBP
，CF 平分
BCQ
，
∴
1
1
,
2
2
CBF
PBC
BCF
BCQ
=
=
，
∴
1
1
1
90
2
2
2
CBF
BCF
PBC
BCQ
+
=
+
=
+
，
∴
1
1
180
90
90
2
2
F
=
−
+
=
−
；
（4）解：∵折叠，
∴
,
ADE
IDE
AED
IED
=
=
，
∵1
2
130
+=
，
∴
(
)
180
180
1
2
230
ADI
AEI
+
=
+
−+
=
，
∴
(
)
1
180
65
2
A
ADI
AEI
=
−
+
=
，
∵BI 平分
ABC
，CI 平分
ACB
，
由（1）得：
1
90
90
32.5
122.5
2
BIC
A
=
+
=
+
=
．
题型15 三角形内角和的应用
典｜例｜精｜析
57．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD的交点为C，且
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A
，
B
，
D
保持不变．为了舒适，可调整
E
的大小，使
130
EFD
=
，则图中
E
应________（填
“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（ ）
A．增加，5
B．增加，10
C．减小，5
D．减小，10
【答案】B
【分析】延长DF ，交CE 于点G ，根据三角形的内角和求出
70
ACB
=
，得到
90
DGE
DCE
D
=
+
=
，再根据三角形的外角，求出
40
E
=
，由图中
30
E
=
，得到
E
应增加
10，即可解答．
【详解】解：延长DF ，交CE 于点G ，
180
50
60
70
ACB
=
−
−
=
70
ECD
ACB
=
=
70
20
90
DGE
DCE
D
=
+
=
+
=
，
130
EFD
DGE
E
=
+=
40
E
=
而图中
30
E
=
E
应增加10．
变｜式｜巩｜固
58．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图1是一辆变速自行车的实物图，图2 是抽象出来的部分示意
图，已知直线EF 与BD相交于点P ，AB
CD
∥
，
12
P
=
，
100
CFP
=
，则
ABP
的大小为（ ）
A．95
B．92
C．90
D．88
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【答案】D
【分析】先由邻补角定义求出
DFP
，再由三角形内角和定理求出
PDF
，最后由平行线性质求解即可．
【详解】解：
100
CFP
=
，
180
100
80
DFP
=
−
=
，
在
DFP
△
中，
12
P
=
，
80
DFP
=
，则
180
12
80
88
PDF
=
−
−
=
，
AB
CD
∥
，
88
ABP
PDF
=
=
．
59．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，
能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含45角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成
的．某同学利用图1（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图2 中的图形．若
1
2
= ，则
3
= _____．
【答案】67.5
【分析】根据图1 可求出
BCD
的度数，则可求出1
的度数，再由三角形内角和定理求出
ABC
的度数
即可得到答案．
【详解】解：如图2 所示，由图1 得
180
45
90
45
BCD =
−
−
=
∠
，
∵
1
2
= ，1
2
180
BCD
++
=
∠
，
∴1
2
67.5
= =
，
∵
45
A
=
，
∴
180
1 67.5
ABC
A
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∴
3
67.5
ABC
=
=
∠
∠
．
60．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）在ABC
中，
40
ABC
ACB
=
=
，点D 在直线BC 上（点D 不与
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端点B ，C 重合）．
(1)如图①，当点D在线段BC 上时，连接AD，作
40
ADE
=
，DE 交线段AC 于点E ．
①若
110
BDA
=
，则
EDC
= °，
BAD
= °；
②当点D在线段BC 上运动时，试猜想
BAD
与
EDC
的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，当点D在CB 的延长线上时，连接AD，作
40
ADE
=
，DE 交直线AC 于点E ，若
15
BAD
=
，请直接写出
AED
∠
的度数．
【答案】(1)①30,30 ；②
BAD
EDC
=
理由：在ABD
中
∵
180 ,
40
BAD
B
ADB
B
+ +
=
=
，
∴
180
BAD
B
ADB
=
−−
，
180
40
ADB
=
−
−
，
140
ADB
=
−
，
∵
180 ,
40
EDC
ADE
ADB
ADE
+
+
=
=
，
∴
180
EDC
ADE
ADB
=
−
−
，
180
40
ADB
=
−
−
，
140
ADB
=
−
，
∴
BAD
EDC
=
．
(2)75或25
【分析】（1）根据三角形内角和为180和平角为180证得
BAD
EDC
=
，再利用三角形内角和为180
求解即可；
（2）利用三角形的外角等于不相邻的两内角和与三角形内角和为180求解即可．
【详解】（1）解：①∵
40
ABC
ADE
=
=
，
∴
180
140 ,
180
140
BAD
ADB
ABC
ADB
EDC
ADE
+
=
−
=
+
=
−
=
，
∴
BAD
EDC
=
，
又∵
110
BDA
=
，
∴
180
30
BAD
EDC
ABC
BDA
=
=
−
−
=
；
②见答案．
（2）解：当点E 在线段CA 的延长线上，如图1 所示，
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,
∵
40
ABC
ACB
=
=
，
∴
80
BAE
ABC
ACB
=
+
=
，
又∵
15
BAD
=
，
∴
65
DAE
BAE
BAD
=
−
=
，
∵
40
ADE
=
，
∴
180
75
AED
DAE
ADE
=
−
−
=
；
当点E 在线段AC 的延长线上，如图2 所示，
，
∵
40
ABC
ACB
=
=
，
∴
180
100
BAC
ABC
ACB
=
−
−
=
，
又∵
15
BAD
=
，
∴
115
DAE
BAE
BAD
=
+
=
，
∵
40
ADE
=
，
∴
180
25
AED
DAE
ADE
=
−
−
=
．
题型16 三角形中压轴题
典｜例｜精｜析
61．（25-26 七年级下·北京东城·期末）已知直线AB
CD
∥
，点E，F 分别在直线AB ，CD上，点P 为直
线AB ，CD外一点，连接PE，PF ．
BEP
的平分线所在直线与
EPF
的平分线所在直线交于点M．
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(1)如图1，若
150
BEP
=
，
120
DFP
=
，则
EPF
=________；
(2)如图2，当点P 位于直线AB 与直线CD之间，直线EF 右侧时，试探究
EMP
与
PFD
之间的数量关
系，并说明理由；
(3)如图3．当点P 在直线AB 上方时，补全图形并写出
EMP
与
PFD
之间的数量关系．
【答案】(1)90
(2)
2
DFP
EMP
=
；理由如下：
作PH
AB
∥
，设
BEP
=
，
DFP
=
，
∴
EPH
BEP
=
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴PH
CD
∥
，
∴
FPH
DFP
=
=
，
∴
EPF
=
+
，
∵MN 平分
EPF
，
∴
1
2
2
EPN
EPF
+
=
=
，
∴
180
180
2
EPM
EPN
+
=
−
=
−
，
∵EM 平分
BEP
，
∴
1
2
2
BEP
PEM
=
=
，
∵
180
EPM
PEM
EMP
+
+
=
，
∴
180
180
2
2
2
EMP
+
=
−
−
−
=
，即
2
DFP
EMP
=
，
∴
2
DFP
EMP
=
；
(3)点P 位于直线EF 左侧时，
2
DFP
EMP
=
；
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或点P 位于直线EF 右侧时，
360
2
DFP
EMP
=
−
，
【分析】（1）作PG
AB
∥
，利用平行线的判定和性质求解即可；
（2）作PH
AB
∥
，设
BEP
=
，
DFP
=
，求得
EPF
=
+
，再利用平行线的判定和性质结合三
角形内角和定理求解即可；
（3）分两种情况讨论，同（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：作PG
AB
∥
，
∴
180
30
EPG
BEP
=
−
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴PG
CD
∥
，
∴
180
60
FPG
DFP
=
−
=
，
∴
90
EPF
EPG
FPG
=
+
=
；
（2）略
（3）解：点P 位于直线EF 左侧时，作PH
AB
∥
，设
BEP
=
，
DFP
=
，
∴
180
180
EPH
BEP
=
−
=
−
，
∵AB
CD
∥
，
∴PH
CD
∥
，
∴
180
180
FPH
DFP
=
−
=
−
，
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∴
EPF
FPH
EPH
=
−
=
−
，
∵MP 平分
EPF
，
∴
1
2
2
EPM
EPF
−
=
=
，
∵QM 平分
BEP
，
∴
1
2
2
BEP
PEQ
=
=
，
∴
180
180
2
PEM
PEQ
=
−
=
−
，
∵
180
EPM
PEM
EMP
+
+
=
，
∴
180
180
2
2
2
EMP
−
=
−
−
−
=
，即
2
DFP
EMP
=
，
∴
2
DFP
EMP
=
；
点P 位于直线EF 右侧时，作PH
AB
∥
，设
BEP
=
，
DFP
=
，
∴
EPH
BEP
=
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴PH
CD
∥
，
∴
FPH
DFP
=
=
，
∴
EPF
FPH
EPH
=
−
=
−
，
∵MP 平分
EPF
，
∴
1
2
2
EPM
EPF
−
=
=
，
∵QM 平分
BEP
，
∴
1
2
2
BEP
PEM
=
=
，
∵
180
EPM
PEM
EMP
+
+
=
，
∴
2
180
180
2
2
EMP
=
−
=
−
−
−
，即
180
2
DFP
EMP
=
−
，
∴
360
2
DFP
EMP
=
−
．
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变｜式｜巩｜固
62．（25-26 七年级下·浙江杭州·期末）已知：AB
CD
，点E，M 分别是直线AB ，CD上的点，F 为射线
MC 上一动点，连接EF 、EM ，过点F 作FG
EF
⊥
交射线EM 于点G，点H 为射线EM 上一点，且FG
平分
MFH
．
(1)如图1，若
EFM
为钝角，
①求证：EF 平分
CFH
；
②若
BEM
GFM
GEF
=
+
，求
BEM
的度数；
(2)如图2，若
EFM
为锐角，
BEM
GFM
GEF
=
+
，探究
MFH
与
MHF
之间的数量关系．
【答案】(1)①证明：
FG
EF
，
90
EFG
=
，
180
90
EFC
EFG
MFG
MFG
=
−
−
=
−
90
EFH
EFG
HFG
HFG
=
−
=
−
，
FG
平分
MFH
，
HFG
MFG
=
，
90
90
HFG
MFG
−
=
−
，
EFH
EFC
=
，
EF
平分
CFH
；
②45；
(2)
2
90
MFH
MHF
+
=
【分析】（1）①证明
90
EFC
MFG
=
−
，
90
EFH
HFG
=
−
，结合已知的角的平分线，证明即可；
②根据AB
CD
，得到
180
BEF
EFM
+
=
，根据垂直，已知，进行代换计算求解即可；
（2）根据已知，证明
45
GEF
=
，利用三角形外角性质，
EGF
MHF
HFG
=
+
结合已知得到
1
45
2
MHF
MFH
+
=
，化简即可．
【详解】（1）①略；
②解：
AB
CD
∥
，
180
BEF
EFM
+
=
，
180
BEM
GEF
EFG
GFM
+
+
+
=
，
BEM
GFM
GEF
=
+
，
90
EFG
=
，
2
180
90
90
BEM
=
−
=
，
解得
45
BEM
=
；
（2）解：
MFH
与
MHF
之间的数量关系为
2
90
MFH
MHF
+
=
，理由如下：
AB
CD
∥
，
180
BEF
EFM
+
=
，
180
BEM
GEF
EFM
+
+
=
，
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BEM
GFM
GEF
=
+
，
90
EFG
=
，
90
180
GFM
GEF
GEF
GFM
+
+
+
−
=
，
解得
45
GEF
=
；
45
EGF
=
，
EGF
MHF
HFG
=
+
，
45
MHF
HFG
+
=
，
FG
平分
MFH
，
1
2
HFG
MFH
=
，
1
45
2
MHF
MFH
+
=
，
2
90
MFH
MHF
+
=
；
63．（25-26 七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线AB 与直线CD平行，两个相同的直角三角尺
EFG
和
MNP
△
摆放在AB 与CD之间，其中
90
EGF
MPN
=
=
，
60
GEF
PMN
=
=
，点E 在直线
AB 上，边MN 在直线CD上，点G，P，F，N 在同一条直线上．
(1)请猜想
AEG
的度数，并说明理由．
(2)将EFG
绕点E 以每秒2的速度逆时针旋转并记为EF G
，设运动时间为t 秒（0
60
t
）．
①如图2，
MNP
△
固定不动，当EF与
MNP
△
的其中一边平行时，求t 的值．
②如图3，点Q 在边G F上，连结EQ ，使EQ 平分
GEF
．在EFG
旋转的同时，
MNP
△
也绕点M 以
每秒1的速度顺时针旋转并记为
MN P
△
．当EQ 与
MN P
△
的其中一边平行时，请直接写出t 的值．
【答案】(1)解：
60
AEG
=
，理由如下：
过点F 作FO
AB
∥
，如图
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∵
90
EGF
MPN
=
=
，
60
GEF
PMN
=
=
，
∴
180
90
60
30
EFG
PNM
=
=
−
−
=
，
∵FO
AB
∥
，AB
CD
∥
，
∴FO
AB
CD
，
∴
30
OFN
PNM
=
=
，
∴
180
120
EFO
EFG
OFN
=
−
−
=
，
∵FO
AB
∥
，
∴
180
60
BEF
EFO
=
−
=
，
∴
180
60
AEG
GEF
BEF
=
−
−
=
；
(2)①t 的值为15或30 或60；②t 的值为20，30，50
【分析】（1）过点F 作FO
AB
∥
，先推导出FO
AB
CD
，求出
30
EFG
PNM
=
=
，再根据平行线的
判定与性质进行求解即可；
（2）①由题意，得到
2
FEF
t
=
，分类讨论：第一种情况：当EF
PN
∥
时，第二种情况：当EF
MN
∥
时，第三种情况：当EF
PM
∥
时，逐个分析求解即可；
②分类讨论：第一种情况：当EQ
P N
∥
时，第二种情况：当EQ
MN
∥
时，第三种情况：当EQ
MP
∥
时，逐个分析求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①由题意，得
2
FEF
t
=
，
第一种情况：当EF
PN
∥
时，如图
∴
EFG
FEF
=
，
即2
30
t =
，
解得
15
t =
；
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第二种情况：当EF
MN
∥
时，如图
此时点F在直线AB 上，
∴
2
60
FEF
t
=
=
，
解得
30
t =
，
第三种情况：当EF
PM
∥
时，如图
∵
90
G
MPN
GPM
=
=
=
，
∴GE
PM
∥
，即此时点F在直线GE 上，
∴
2
180
FEF
t
GEF
=
=
−
，
即2
180
60
t =
−
解得
60
t =
，
综上所述，当EF与
MNP
△
的其中一边平行时，t 的值为15或30 或60；
②第一种情况：当EQ
P N
∥
时，如图，延长N P交直线AB 于点I，令N P与直线CD的交点为H，
由题意，得
2 ,
GEG
t
NMN
t
=
= ，
∵EQ 平分
GEF
，
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∴
3
1
2
0
QEG
G EF
=
=
，
∴
180
90
2
BEQ
AEG
GEG
G EQ
t
=
−
−
−
=
−
，
∵
180
180
30
150
MHN
HMN
N
t
t
=
−
−
=
−−
=
−，
∴
180
30
IHM
MHN
t
=
−
= +
，
∵EQ
P N
∥
，AB
CD
∥
，
∴
BEQ
BIH
IHM
=
=
，
∴90
2
30
t
t
−
= +
，
解得
20
t =
；
第二种情况：当EQ
MN
∥
时，如图，延长EQ 交直线CD于点K，
同理可得
2 ,
GEG
t
NMN
t
=
= ，
90
2
BEQ
t
=
−
∵
180
180
30
150
MHN
HMN
N
t
t
=
−
−
=
−−
=
−，
∵EQ
MN
∥
，AB
CD
∥
，
∴
EKH
HMN
BEQ
=
=
，
∴90
2t
t
−
= ，
解得
30
t =
；
第三种情况：当EQ
MP
∥
时，如图，延长MP交直线AB 于点L，
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同理可得
2 ,
GEG
t
NMN
t
=
= ，
30
QEG =
，
∴
180
2
90
BEQ
AEG
GEG
QEG
t
=
+
+
−
=
−
，
60
P MH
P MN
NMN
t
=
−
=
−，
∵EQ
MP
∥
，AB
CD
∥
，
∴
ELM
HMP
BEQ
=
=
，
∴2
90
60
t
t
−
=
−，
解得
50
t =
，
综上所述，t 的值为20，30，50．
64．（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成
趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观
栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解
决下列问题：如图1，在三角形ABC 中，
90
ABC
=
，直线a 与边
,
AC AB 分别交于
,
D E 两点，直线b 与
边
,
BC AC 分别交于
,
F G 两点，且a
b
．
(1)若
35
AED
=
，求
BFG
的度数；
(2)如图2，P 为边AB 上一点，连接PF ，若
180
PFG
BFG
+
=
，请你探索
PFG
与
AED
∠
的数量关
系，并说明理由；
(3)如图3，若
AED
n
=
，延长AB 交直线b 于点Q ，在线段DG 上有一点M ，连结
,
ME MQ ，请直接写出
,
,
MEQ
EMQ
MQF
之间的数量关系（用含n 的式子表示）．
【答案】(1)125
(2)
90
PFG
AED
+
=
，理由见解析
(3)
180
MEQ
EMQ
MQF
n
+
−
=
−
【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键．
（1）过点B 作直线BH
a
∥，结合平行线性质即可得出结论．
（2）过点B 作直线BH
a
∥，结合平行线性质即可．
（3）画出图形，结合三角形的内角和定理及平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点B 作直线BH
a
∥，
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35
ABH
AED
=
=
，
90
ABC
=
，
90
55
CBH
ABH
=
−
=
，
BH
a
a
b
∥
∥
，
，
BH
b
∥，
180
CBH
BFG
+
=
，
180
125
BFG
CBH
=
−
=
；
（2）解：
90
PFG
AED
+
=
，理由如下：
如图2，过点B 作直线BH
a
∥，
由（1）得，BH
a
b
∥∥，
ABH
AED
=
，
又
90
CBH
ABH
ABC
+
=
=
，
90
CBH
AED
+
=
，
BH
b
∥
，
180
CBH
BFG
+
=
，
又
180
PFG
BFG
+
=
，
CBH
PFG
=
，
90
PFG
AED
+
=
；
（3）解：
180
MEQ
EMQ
MQF
n
+
−
=
−
，理由如下：
如图3，
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中，
180
MEQ
EMQ
EQM
+
+
=
，
a
b
∥，
EQF
AED
n
=
=
，
EQM
EQF
MQF
=
−
，
180
MEQ
EMQ
EQF
MQF
+
+
−
=
，
180
MEQ
EMQ
n
MQF
+
+
−
=
，
180
MEQ
EMQ
MQF
n
+
−
=
−
．
基础通关
1．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的三边长度分别为2，5 和x，则x 的值可以是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可．
【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得
5 2
5
2
x
−
+
，
∴3
7
x
，选项中只有4 满足该范围．
2．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）在ABC
中，BC 边上的高线为（ ）
A．CE
B．AE
C．CD
D．CF
【答案】B
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【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，
∴ABC
中BC 边上的高应过顶点A且垂直于BC 所在直线，
观察图形可知，AE
BC
⊥
，垂足为E ，
∴BC 边上的高线为AE ．
3．（25-26 九年级下·山东菏泽·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则
BGE
的度数为（ ）
A．75
B．85
C．90
D．105
【答案】A
【详解】解：由图可知，
60
BCF
=
，
45
DAE
=
，
(
)
(
)
180
180
60
45
75
BGE
AGC
BCF
DAE
=
=
−
+
=
−
+
=
，
故选：A．
4．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，将ABC
沿着DE 折叠，使点B 与点C 重合，若
76
A
=
，
32
C
=
，则
ABE
的度数为（ ）
A．40
B．32
C．30
D．45
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理．
根据三角形内角和定理求出
72
ABC
=
，根据折叠的性质得到
32
EBC
C
=
=
，即可求出
ABE
的度
数．
【详解】解：∵
76
A
=
，
32
C
=
，
∴
180
180
76
32
72
ABC
A
C
=
−−
=
−
−
=
，
∵将ABC
沿着DE 折叠，使点B 与点C 重合，
∴
32
EBC
C
=
=
，
∴
40
ABE
=
．
故选：A．
5．（25-26 七年级下·河南周口·期中）如图，AD是ABC
的中线．若
2
ACD
S
=
，则
ABC
S
=
△
_____．
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【答案】4
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可．
【详解】解：∵AD是ABC
的中线，
∴
2
2 2
4
ABC
ACD
S
S
=
=
=
．
6．（24-25 七年级下·甘肃武威·期末）如图，DE
AB
⊥
，
30
A
=
，
55
D
=
，则
ACB
的度数为
_____ ．
【答案】
115
【分析】先根据垂直的定义得
90
BED
=
，由三角形内角和定理求出
B
，再根据三角形内角和定理求出
ACB
的度数即可．
【详解】解：∵DE
AB
⊥
，
∴
90
BED
=
，
∵
55
D
=
，
∴
180
35
B
BED
D
=
−
−
=
，
又∵
30
A
=
，
∴
(
)
180
115
ACB
A
B
−
=
+
=
．
7．（18-19 七年级下·上海奉贤·期末）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一
块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中=_________．
【答案】75
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【分析】利用两块三角板的已知角及三角形内角和即可求解．
【详解】解：如图，在ABC
中，
60
B
=
，在DEF
中，
45
FED
=
，
在BCE
中，
180
75
B
FED
=
−−
=
．
8．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，AD是ABC
的中线，DE
AB
⊥
于点E ，DF
AC
⊥
于点F ，
2
DF
DE
=
，则AB 是AC 的________倍．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解
题的关键．根据三角形中线的性质可得
ABD
ACD
S
S
=
，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
∴
ABD
ACD
S
S
=
，
∴1
1
2
2
AB DE
AC DF
=
，
∵
2
DF
DE
=
，
∴1
1
2
2
2
AB DE
AC
DE
=
，
整理得：
2
AB
AC
=
，
∴AB 是AC 的2 倍．
故答案为：2．
9．（25-26 七年级下·浙江台州·期中）如图在方格纸中，ABC
的顶点都在方格纸的格点上．
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(1)画出ABC
向上平移6 格后的图形
A B C
△
；
(2)画出
A B C
△
的高C H
；
(3)直接写出BB和CC的关系：_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据三角形的高的定义作图即可；
（3）根据平移的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：画出
A B C
△
如图所示：
（2）解：画出
A B C
△
的高C H
如图所示；
（3）解：由平移的性质可得：BB和CC的关系平行且相等．
10．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在ACD
中，CF 平分
ACD
交AD于点F ，过点A作
AB
CF
∥
，且交DC 的延长线于点B ，点E 在AC 的延长线上，且
E
B
=．
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(1)求证：CF
DE
∥
；
(2)若
50
E
B
= =
，
2
CDE
ADC
=
，求
BAD
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)105
【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出
BAC
ACF
=
解答．
（1）根据平行线的性质得出
BAC
ACF
=
，进而利用角平分线的定义得出
ACF
FCD
=
，进而利用平
行线的判定解答即可；
（2）根据平行线的性质得出
B
CDE
=
，进而利用三角形内角和定理解答即可．
【详解】（1）证明：
AB CF
，
BAC
ACF
=
，
CF
平分
ACD
，
ACF
FCD
=
，
E
B
=
，
ACB
DCE
=
，
BAC
CDE
=
，
CDE
FCD
=
，
CF
DE
∥
；
（2）解：
AB CF
，CF
DE
∥
，
AB
DE
∥
，
50
B
CDE
=
=
，
2
CDE
ADC
=
，
25
ADC
=
，
180
50
25
105
BAD
=
−
−
=
．
素养提升
11．（25-26 七年级下·浙江金华·期末）已知一副三角板按如图方式摆放，其中
90
A
D
=
=
，
30
B
=
，
45
F
=
．若AB
EF
∥
，则1
的度数为（ ）
A．90
B．105
C．120
D．135
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【答案】B
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理，求出
30
BEF
=
，
45
DEF
=
，再利用平角求解即
可．
【详解】解：
AB EF
∥
，
30
BEF
B
= =
，
90
D
=
，
45
F
=
，
45
DEF
=
，
1 180
180
30
45
105
BEF
DEF
=
−
−
=
−
−
=
．
12．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三角形纸片ABC 沿EF 折叠，点C 落在C处．若
70
BFE
=
，则
BFC
的度数为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．45
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得出
EFC
EFC
=
，再根据平角的性质求出
EFC
，利用角度的和差关系
计算即可．
【详解】解：折叠的性质可得：
EFC
EFC
=
，
∵
70
BFE
=
，
∴
180
110
EFC
BFE
=
−
=
，
∴
110
EFC
EFC
=
=
，
∴
110
70
40
BFC
EFC
BFE
=
−
=
−
=
．
13．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，BD为ABC
的中线，AE 为ABD
的中线，AF 为
AEC
△
的
中线，若AEF
的面积为
2
2cm ，则ABC
的面积为（ ）
A．
2
8cm
B．
2
12cm
C．
2
16cm
D．
2
18cm
【答案】A
【分析】先由AF 为
AEC
△
的中线，求出
2
2
4cm
ACE
AEF
S
S
=
=
，根据AE 为ABD
的中线可得
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ADE
ABE
S
S
=
，
CDE
BCE
S
S
=
，进而即可求解．
【详解】解：∵AF 为
AEC
△
的中线，AEF
的面积为
2
2cm ，
∴
2
2
4cm
ACE
AEF
S
S
=
=
，
∵AE 为ABD
的中线，
∴
ADE
ABE
S
S
=
，
CDE
BCE
S
S
=
，
∴
1
2
ACE
ADE
CDE
ABC
S
S
S
S
=
+
=
，
∴
2
2
8cm
ABC
ACE
S
S
=
=
．
14．（2026·安徽宿州·二模）如图，在ABC
中，
1
3
PBC
ABC
=
，
1
3
PCB
ACB
=
，且
72
A
=
．则
BPC
的度数为（ ）
A．108
B．120
C．144
D．150
【答案】C
【分析】利用三角形内角和求得
+
108
ABC
ACB
=
，根据题意可得
(
)
1
+
36
3
PBC
PCB
ABC
ACB
=
+
=
，再利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：在ABC
中，
72
A
=
，
∴
+
180
180
72
108
ABC
ACB
A
=
−=
−
=
，
∵
1
3
PBC
ABC
=
，
1
3
PCB
ACB
=
，
∴
(
)
1
1
1
1
+
108
36
3
3
3
3
PBC
PCB
ABC
ACB
ABC
ACB
=
+
=
+
=
=
，
在BPC
中，
(
)
180
180
36
144
BPC
PBC
PCB
=
−
+
=
−
=
．
15．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，ABC
中，
4
AB
AC
=
=
，P 是BC 上任意一点，PE
AB
⊥
于
点E，PF
AC
⊥
于点F，若
3
ABC
S
=
△
，则PE
PF
+
=________．
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【答案】3
2
【分析】根据题意得到
1
1
3
2
2
ABP
ACP
S
S
AB PE
AC PF
+
=
+
=
，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AP ，
∵
,
,
4,
3
ABC
PE
AB PF
AC AB
AC
S
⊥
⊥
=
=
=
，
∴
1
1
3
2
2
ABP
ACP
S
S
AB PE
AC PF
+
=
+
=
，
∴
(
)
1
3
2 AB PE
PF
+
=
，
∴
3
2
PE
PF
+
=
．
16．（25-26 七年级下·浙江·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹
部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，AB
CD
AC
DE
∥
，
∥
，点F 在直
线AC 上，
110
50
FAB
E
=
=
∠
，∠
，则
DCE
的度数为___________．
【答案】60
【分析】利用平行线的性质得到
110
FAB
ACD
=
=
∠
∠
，即可得到
180
110
70
EDC =
−
=
∠
，再利用三角
形的内角和运算求解即可．
【详解】解：∵AB
CD
，
∴
110
FAB
ACD
=
=
∠
∠
，
∵AC
DE
∥
，
∴
180
ACD
EDC
+
=
，
∴
180
110
70
EDC =
−
=
∠
，
∵
50
E
=
，
∴
180
180
70
50
60
DCE
EDC
E
=
−
−
=
−
−
=
∠
∠
∠
．
小学
初中
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17．（25-26 八年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，在ABC
中，已知点D，E，F 分别为边
,
,
BC AD CE 的
中点，且ABC
的面积等于
2
4cm ，则阴影部分图形面积等于__
2
cm ．
【答案】1
【分析】根据三角形中线的性质得
2
2cm
ABD
ACD
S
S
=
=
，同理可得
2
1cm
BDE
S
=
，同理
2
1cm
CDE
S
=
，进而
求出
2
BCE
S
=
，最后根据三角形中线的性质得出答案．
【详解】解：∵
2
4cm
ABC
S
=
△
，点D 是BC 的中点，
∴
2
1
2cm
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
=
=
=
．
∵点E 是AD的中点，
∴
2
1
1cm
2
ABE
BDE
ABD
S
S
S
=
=
=
，同理
2
1
1cm
2
ACE
CDE
ACD
S
S
S
=
=
=
，
∴
2
BCE
BDE
CDE
S
S
S
=
+
=
△
△
△
．
∵点F 是CE 的中点，
∴
2
1
1cm
2
BEF
BCE
S
S
=
=
．
18．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）如图1，直线MN
PQ
∥
，直角三角尺ABC 的锐角顶点A，C 分别在
直线MN ，PQ 上，点B 在直线MN
PQ
，
之间，
60
ACB
=
．
（1）当
35
BCP
=
时，
MAB
=______；
（2）如图2，在线段AB 上取一点D ，过点D 作直线EF
PQ
，若射线CG 平分
ACP
，且满足
BDE
EDG
=
，则
BCP
=_____．
【答案】 55 40
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是
解题关键．
（1）易得
30
95
BAC
ACP
=
=
，
，根据平行线的性质求得
85
MAC
=
，则
MAB
MAC
BAC
=
−
；
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（2）设
BCP
=
，则
60
ACP
=
+
，由角平分线的定义可得
1
30
2
2
GCP
GCA
ACP
=
=
=
+
，由
平行线的性质得
30
2
EDG
GCP
=
=
+
，于是求得
60
BDG
BDE
EDG
ADC
=
+
=
+
=
，在三角
形ADC 中，利用三角形内角和定求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，
90
B
=
，
∵
60
ACB
=
，
∴
90
90
60
30
BAC
ACB
=
−
=
−
=
，
∵
35
BCP
=
，
∴
35
60
95
ACP
BCP
ACB
=
+
=
+
=
，
∵MN
PQ
∥
，
∴
180
180
95
85
MAC
ACP
=
−
=
−
=
，
∴
85
30
55
MAB
MAC
BAC
=
−
=
−
=
；
故答案为：55；
（2）设
BCP
=
，则
60
ACP
ACB
BCP
=
+
=
+
，
∵射线CG 平分
ACP
，
∴
1
30
2
2
GCP
GCA
ACP
=
=
=
+
，
∵EF
PQ
，
∴
30
2
EDG
GCP
=
=
+
，
∵
30
2
BDE
EDG
=
=
+
，
∴
60
BDG
BDE
EDG
ADC
=
+
=
+
=
，
∵
180
ADC
GCA
CAB
+
+
=
，
∴60
30
30
180
2
+
+
+
+
=
，
解得：
40
=
，
∴
40
BCP
=
．
故答案为：40．
19．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在ABC
中，AD
AE
AF
，
，
分别是ABC
的高、角平分
线、中线．
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(1)若
12cm
AB =
，
10cm
AC =
，求
ABF
△
与
ACF
△
的周长之差；
(2)当
30
B
=
，
50
C
=
时，求
DAE
的度数．
【答案】(1)2cm
(2)
10
DAE
=
．
【分析】（1）结合AF 是ABC
的中线，得到BF
CF
=
，根据三角形的周长公式求解即可；
（2）先求出
100
BAC
=
，再运用AE 平分
BAC
，得出
50
CAE
=
，然后运用三角形内角和性质进行列
式计算
40
DAC
=
，即可作答．
【详解】（1）解：∵AF 是ABC
的中线，
∴BF
CF
=
，
∵
12
ABF
C
AB
BF
AF
BF
AF
=
+
+
=
+
+
，
10
ACF
C
AC
CF
AF
BF
AF
=
+
+
=
+
+
，
∴
12 10
2
ABF
ACF
C
C
−
=
−
=
；
（2）解：∵
30
B
=
，
50
C
=
，
∴
180
100
BAC
B
C
=
−−
=
，
∵AE 平分
BAC
，
∴
1
50
2
CAE
BAC
=
=
，
∵AD
BC
⊥
，
50
C
=
，
∴
180
90
50
40
DAC
−
−
=
=
，
∴
50
40
10
DAE
CAE
CAD
=
−
=
−
=
．
20．（25-26 七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线AM
BN
，
60
BAM
=
，点P 是直线AM 上的一
个动点（不与点A重合），BC ，BD分别平分
ABP
和
PBN
．
(1)当点P 在点A左侧时，若
42
DPB
=
，则
PDB
=______°．
(2)若点P 为点A左侧运动时，求
CBD
的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明
理由．
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(3)
ACB
与
ABD
之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
【答案】(1)69
(2)不变化，
60
CBD
=
，理由如下：
AM
BN
，
60
BAM
=
，
180
120
ABN
BAM
−
=
=
，
BC ，BD分别平分
ABP
和
PBN
，
1
2
CBP
CBA
ABP
=
=
，
1
2
PBD
NBD
PBN
=
=
，
CBD
PBD
CBP
−
=
1
1
2
2
PBN
ABP
−
=
(
)
1
2
PBN
ABP
−
=
1
2
ABN
=
60
=
，
即
60
CBD
=
，不变化；
(3)点P 在点A左侧时，
ACB
ABD
=
；点P 在点A右侧时，
180
ACB
ABD
+
=
，理由如下：
设
ABC
=
，
①点P 在点A左侧时，
60
ACB
BAM
ABC
−
−
=
=
，
1
120
2
2
60
2
2
ABD
PBD
ABP
PBN
ABP
−
−
−
+
=
=
=
−
=
，
此时
ACB
ABD
=
；
②点P 在点A右侧时，
180
120
ACB
CAB
ABC
−
−
−
=
=
，
1
120
2
2
60
2
2
ABD
PBD
ABP
PBN
ABP
−
=
+
=
+
=
+
=
+
，
此时，
180
ACB
ABD
+
=
．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义作答即
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可；
（2）根据平行线的性质得出
180
120
ABN
BAM
−
=
=
，根据角平分线的定义得出
1
2
CBP
CBA
ABP
=
=
，
1
2
PBD
NBD
PBN
=
=
，根据
CBD
PBD
CBP
−
=
求出结果即可；
（3）分两种情况进行讨论，点P 在点A左侧时，点P 在点A右侧时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：AM
BN
，
PDB
DBN
=
，
BD平分
PBN
，
PBD
DBN
=
，
PBD
PDB
=
，
42
DPB
=
，
(
)
(
)
1
1
180
180
42
69
2
2
PDB
DPB
−
−
=
=
=
，
故答案为：69 ；
（2）略
（3）略
迁移创新
21．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线1
2
l
l
∥，点A，B 在1l 上，点C ，D 在2l 上，连接AC ，
AD，BC ，且AD，BC 交于点E ．若AD平分
BAC
，
(
)
1
ACE
x
ECD
=
+
，
90
AEC
y ECD
+
=
，
当x ，y 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x
y
+
B．x
y
−
C．2x
y
−
D．
2
x
y
−
【答案】D
【分析】先设
ECD
=
，结合平行线、角平分线得
AEC
，再联立条件得
2
x
y
=
，对选项逐一分析即可
求解．
【详解】解：∵1
2
l
l
∥，
∴
180
BAC
ACD
+
=
，
已知AD平分
BAC
，设
ECD
=
，则：
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∵
(
1)
ACE
x
ECD
=
+
，
∴
(
1)
ACE
x
=
+
，
∴
(
2)
ACD
ACE
ECD
x
=
+
=
+
，
∵
180
BAC
ACD
+
=
，
∴
(
)
180
2
BAC
x
=
−
+
，
又∵AD平分
BAC
，
∴
1
2
90
2
2
x
CAD
BAC
+
=
=
−
，
在
AEC
△
中，将
180
AEC
CAD
ACE
+
+
=
代入
2
90
2
x
CAD
+
=
−
、
(
1)
ACE
x
=
+
，得，
(
)
2
90
1
180
2
x
AEC
x
+
+
−
+
+
=
，
解得
90
2
x
AEC
=
−
，
已知
ECD
=
，代入
90
2
x
AEC
=
−
，得，
90
90
2
x
y
−
+
=
，
解得
2
x
y
=
，
由
2
x
y
=
，逐一验证选项：
A．
3
x
y
y
+
=
，y 变化，不符合题意；
B．x
y
y
−
=
，y 变化，不符合题意；
C．2
3
x
y
y
−
=
，y 变化，不符合题意；
D．
2
0
x
y
−
=
，恒为0 ，值不变，符合题意．
22．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）如图，点B 在线段AE 上(
)
AB
BE
，分别以AB ，BE为边作正方
形ABCD，正方形BEFG，若要求三角形CAF （阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（ ）．
A． EF
B． AD
C． CF
D． AF
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的面积公式、整式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，把阴影部分的
面积表示出来．
由题意可得：阴影部分的面积
CFG
ACD
AEF
ABCD
BEFG
S
S
S
S
S
=
+
+
−
−
正方形
正方形
，化简后即可求解．
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【详解】解：设正方形ABCD的边长为a ，正方形BEFG的边长为b ，
∴AB
BC
CD
AD
a
=
=
=
=
，BE
EF
FG
BG
b
=
=
=
= ，
∴CG
BC
BG
a b
=
−
=
−，AE
AB
BE
a b
=
+
= + ，
阴影部分的面积
CFG
ACD
AEF
ABCD
BEFG
S
S
S
S
S
=
+
+
−
−
正方形
正方形
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
2
2
a
b
b a
b
a
b a
b
=
+
+
−
−
−
+
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
a
b
ab
b
a
ab
b
=
+
+
−
−
−
−
2
1
2 a
=
，
∴要求三角形CAF （阴影部分）的面积，只要知道正方形ABCD的边长，即AD的长．
故选：B．
23．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF 折叠（折线EF 交AD，BC 于
E ，F ），点C 、D 分别对应点
1
C ，
1
D ，
1
ED 交BC 于G ，再将四边形
1
1
C DGF 沿FG 折叠，点
1
C 、
1
D 分
别对应点
2
C 、
2
D ，
2
GD 交EF 于H ．若
EFB
=
，则
2
FHD
的度数为________（用含的代数式表
示）．
【答案】3
【分析】根据平行线的性质得出
EFB
DEF
=
=
，再由折叠的性质确定
2
DEG
=
，利用平行线的性
质得出
2
BGE
DEG
=
=
，再由对顶角相等及折叠的性质确定
2
1
2
D
GF
GF
D
=
=
，结合三角形内角
和定理及邻补角求解即可．
【详解】解：∵长方形纸片ABCD，
∴BC
AD
∥
，
∵
EFB
=
，
∴
EFB
DEF
=
=
，
∵折叠，
∴
1
D EF
DEF
=
=
，
∴
2
DEG
=
，
BC
AD
，
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∴
2
BGE
DEG
=
=
，
∴
1
2
DGF
BGE
=
=
，
∵折叠，
2
1
2
G
D GF
D
F
=
=
，
180
180
2
180
3
FHG
EFG
FGH
=
−
−
=
−
−
=
−
，
2
180
3
FHD
FHG
=
−
=
．
24．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
，AC 与BD交于点E，
ADB
ACB
AEB
+
=
，设ADE
的面积为
1S ，ABE
的面积为
2
S ，BCE
的面积为
3
S ，
CDE
△
的面积
为
4
S ．
(1)求证：
2
4
S
S
=
(2)若
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S 都是整数，且四边形ABCD的面积是25，求
1S 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
1
1
S = 或4
【分析】（1）作EF
AD
交AB 于点F ，证明出BC
AD
，得出
2
3
4
3
S
S
S
S
+
=
+
，即可得证；
（2）由题意可得
1
4
2
3
S
S
S
S
=
，
1
2
3
4
1
2
3
2
25
S
S
S
S
S
S
S
+
+
+
=
+
+
=
，从而得出
2
1
3
2
S S
S
=
，由于
1
2
4
3
S
S
S
S
=
，且
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S 都是整数，6
7
7 8
28
+ + + =
，5 6
6
7
24
+ + +
=
，5 7
7 8
27
+ + + =
，均
不符合题意，进而得出
1
5
S
，分情况计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：作EF
AD
交AB 于点F ，
则
ADB
FEB
=
，
∵
ADB
ACB
AEB
+
=
，
AEF
FEB
AEB
+
=
，
∴
AEF
ACB
=
，
∴BC
EF
∥
，
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∴BC
AD
∥
，
∴
2
3
4
3
S
S
S
S
+
=
+
，
∴
2
4
S
S
=
；
（2）解：∵ADE
与ABE
等高，
∴
1
2
S
DE
S
BE
=
，
同理可得
4
3
S
DE
S
BE
=
，
∴
1
4
2
3
S
S
S
S
=
，
由题意可得：
1
2
3
4
1
2
3
2
25
S
S
S
S
S
S
S
+
+
+
=
+
+
=
，
∴
2
1
3
2
S S
S
=
，
由于
1
2
4
3
S
S
S
S
=
，且
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S 都是整数，6
7
7 8
28
+ + + =
，5 6
6
7
24
+ + +
=
，
5 6 6 8
25
+ + + =
，5 7
7 8
27
+ + + =
，均不符合题意，
∴
1
5
S
，
当
1
1
S = 时，此时
2
4
4
S
S
=
=
，
3
16
S =
，符合题意；
当
1
2
S =
时，没有满足题意的
2
S ，
3
S ，
4
S ，故不符合题意；
当
1
3
S =
时，没有满足题意的
2
S ，
3
S ，
4
S ，故不符合题意；
当
1
4
S =
时，此时
2
4
6
S
S
=
=
，
3
9
S =
，符合题意；
综上所述，
1
1
S = 或4 ．
25．（25-26 七年级下·浙江·期中）“一带一路”让中国和世界的联系更紧密．“中欧班列”为了安全起见，在
某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯．如图1 所示，灯A射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回
转，灯B 射线从BP开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒
1 度，灯B 转动的速度是每秒2 度．假定主道路是平行的，即QP
MN
∥
，且
:
4:5
BAM
BAN
=
．
(1)填空：
BAN
= ________；
(2)若灯A射线先转动24 秒，灯B 射线才开始转动，在灯A射线到达AN 之前，B 灯转动几秒，两灯的光束
互相平行？
(3)如图2，若两灯同时开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，两灯射出的光束相交于点C ，过点C 作
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BCD
，交MN 于点D ，且
140
BCD
=
，则在转动过程中，试探究
ABC
与
ACD
的数量关系．
【答案】(1)100
(2)转动112秒或24秒时，两灯的光束平行
(3)
2
ABC
ACD
=
【分析】（1）利用平角的定义计算即可求解；
（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质列式计算即可求解；
（3）求得
(2
80)
ABC
t−
=
，再根据
180
ACB
ABC
BAC
=
−
−
计算出结果，即可求解．
【详解】（1）解：∵
:
4:5
BAM
BAN
=
，
180
BAM
BAN
+
=
，
∴
5 180
100
9
BAN
=
=
；
（2）解：设当灯B 转动t 秒时，两灯的光束互相平行．
①当0
40
t
秒时，如图1．
1
80
(24
)
(56
)
t
t
−
−
=
+
=
，
2
(80
2 )t
=
−
．
因为BC
AD
∥
，所以
1
2
= ，
即(56
)
(80
2 )
t
t
−
=
−
，
所以1
24
t =
秒；
②当40
90
t
秒时，如图2．
1
(24
)
80
(
56)
t
t
−
−
=
+
=
，
2
(2
80)
t−
=
．
因为BC
AD
∥
，所以
1
2
= ，即(
56)
(2
80)
t
t
−
−
=
，
所以2
24
t =
秒（舍去）；
③当90
156
t
秒，即B 灯回转时，如图3．
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1
(24
)
80
(
56)
t
t
−
−
=
+
=
，
(
)
2
100
2
180
(280
2 )
t
t
=
−
−
=
−
．
因为BC
AD
∥
，所以
1
2
= ，即(
56)
(280
2 )
t
t
−
=
−
，
解得：
112
t =
，
综上所述，当
112
t =
秒或
24
t =
秒时，两灯的光束平行；
（3）解：
2
ABC
ACD
=
，理由如下：
设两灯同时转动t 秒，
由（1）知，
80
ABP
=
，
则
(2
80)
ABC
t−
=
，
DAC
t
= ，
(80
)
BAC
t
−
=
，
所以
180
ACB
ABC
BAC
=
−
−
180
(2
80)
(80
)
t
t
−
−
−
−
=
(180
)t
−
=
，
所以
140
(180
)
ACD
t
−
−
=
(
40)
t−
=
，
所以
2
ABC
ACD
=
．
