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1.3 三角形全等的判定
课标要点
1.经历三角形全等判定条件的探究过程，掌握普通三角形全等的四种判定方法：边边边
（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），准确理解每种判定定理
的对应边角条件，明确“对应”的核心要求，清楚区分各类判定定理的适用场景。
2.能结合已知条件、图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行边角关系等），分析、
筛选合适的全等判定定理，完成三角形全等的推理判定。
3.掌握三角形全等证明的基本解题思路与书写规范，能够按照几何证明格式，规范书写已
知、求证、证明过程，做到推理步步有据、逻辑清晰、格式标准。
4.理解“边边角（SSA）、角角角（AAA）”不能判定三角形全等的原因，能准确辨析易
错判定条件，规避全等判定中的常见误区。
5.能利用三角形全等的判定与性质，结合三角形内角和、边角关系等知识，解决线段相等、
角相等的证明问题和简单几何综合问题，提升几何演绎推理能力。
6.熟练掌握完整尺规作图步骤，保留全部作图痕迹；理解作图原理为SSS 全等判定（同
圆、等圆半径相等，构造三边对应相等的全等三角形，实现角度相等）；能独立完成作图，
可用于后续作平行线、作三角形题型。
学习重难点
重点：
1.熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS 四种普通三角形全等判定定理。
2.能根据题干已知条件和图形隐含条件，灵活、准确选择合适的判定方法证明三角形全等。
3.掌握几何全等证明的规范书写格式，步骤完整、依据准确，养成严谨的几何书写习惯。
4.利用三角形全等判定与性质，证明线段相等、角相等，解决基础几何证明与计算题型。
难点：
1.精准辨析各类全等判定定理的差异，准确区分可判定与不可判定的条件，理解SSA、
AAA 不能判定全等的本质原因，规避易错点。
2.从复杂图形中挖掘隐藏条件（公共边、公共角、对顶角、垂直、平行产生的等角等），
自主补齐全等判定所需条件。
3.多步递进型几何推理，先推导边角条件，再判定全等，最后利用全等性质得出结论，构
建完整逻辑推理链。
4.解决全等三角形的变式、旋转、翻折类几何题型，突破图形变换带来的识图难点，精准
第一章
三角形
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定位对应边角关系。
知识点
判定定理一：边边边（SSS）
1.判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（简写成：边边边，或SSS）。
2. 标准符号语言：
在△ABC 和△DEF 中
{
AB = DE
BC = EF
AC = DF
∴ △ABC≌△DEF（SSS）
3.三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的
稳定性。
随学随练
1．（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，∠𝐴𝑂𝐵是一个任意角，在
边𝑂𝐴, 𝑂𝐵上分别取𝑂𝐷= 𝑂𝐸，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点𝐷, 𝐸重合，这时过角尺顶点𝑃的
射线𝑂𝑃就是∠𝐴𝑂𝐵的平分线．在验证结论时，判定△𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐸的依据是（ ）
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A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．ASA
【答案】C
【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点𝐷, 𝐸重合，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐷，
∵𝑂𝐷= 𝑂𝐸，𝑂𝑃= 𝑂𝑃，
∴△𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐸(SSS)．
2．（2026·云南保山·二模）如图，𝐶是线段𝐴𝐹的中点，𝐵𝐶= 𝐸𝐶，𝐴𝐵= 𝐹𝐸．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐸𝐶．
【答案】
证明：∵𝐶是线段𝐴𝐹的中点，
∴𝐴𝐶= 𝐹𝐶．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐹𝐸𝐶中，
{
𝐴𝐶= 𝐹𝐶
𝐵𝐶= 𝐸𝐶
𝐴𝐵= 𝐹𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐸𝐶(SSS)．
【分析】根据中点的性质得到𝐴𝐶= 𝐹𝐶，再由SSS证明三角形全等．
【详解】略
知识点
判定定理二：边角边（SAS）（重点）
1.判定定理二：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成：边角边，或SAS）。
2.标准符号语言
在△ABC 和△DEF 中
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{
AB = DE
∠B = ∠E
BC = EF
∴ △ABC≌△DEF（SAS）
随学随练
1．（25-26 八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知∠1 = ∠2，要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，则需添加的条件是
_____（填一个即可）．
【答案】𝐴𝐶= 𝐷𝐵(答案不唯一)
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，核心是结合已知条件选择合适的判定方法．已知∠1 = ∠2，且
𝐵𝐶是△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐵的公共边(即𝐵𝐶= 𝐶𝐵)，目前已有一组角和一组边对应相等，根据全等三角形的SAS、
ASA、AAS判定定理，补充对应条件即可．
【详解】解：以添加𝐴𝐶= 𝐷𝐵为例，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中，
∵𝐴𝐶= 𝐷𝐵，∠1 = ∠2，𝐵𝐶= 𝐶𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(SAS)．
故答案为：𝐴𝐶= 𝐷𝐵(答案不唯一)．
2．（2026·云南昆明·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸．
求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸．
【答案】证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中
易错提醒
容易混淆“夹角”和“对角”，误用SSA 判定全等。只要不是两边中间的角，无论角度数值多大，都
不能用SAS，SSA 无全等判定效力，考试直接判错。
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∵{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)
【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可．
【详解】略．
知识点
判定定理三：角边角（ASA）（重点）
1.判定定理三：两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成：角边角，或ASA）。
2.标准符号语言
在△ABC 和△DEF 中
{
∠B = ∠E
BC = EF
∠C = ∠F
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
随学随练
1．（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学
知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
易错提醒
审题时务必看清边的位置：夹边用ASA，对边用AAS。书写定理简写必须精准对应，不可混用、错写，
简写错误会扣除步骤分。
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【答案】B
【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．
【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据ASA即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三
角形全等ASA．
2．（25-26 七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店
去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________．
【答案】
③
【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形
的判定定理寻找包含足够条件的碎片．
【详解】第①块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小；
第②块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小；
第③块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等
的两个三角形全等，
∴带第③块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具．
3．（2026·云南昆明·一模）如图，𝐴𝐷与𝐵𝐶相交于点𝑂，𝐴𝑂= 𝐵𝑂，∠𝐴= ∠𝐵．求证：△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷．
【答案】
证明：在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中，
∵{
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝑂= 𝐵𝑂
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
，
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(ASA)．
【分析】由“ASA”即可证明△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷．
【详解】略
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知识点
判定定理四：角角边（AAS）（重点）
1.判定定理三：两角分别相等且其中一组角的对边相等的两个三角形全等（简写成：角角边，或AAS）。
2.标准符号语言
在△ABC 和△DEF 中
{
∠A = ∠D
∠B = ∠E
BC = EF
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
随学随练
1．（25-26 八年级上·新疆和田·期末）如图，已知∠1 = ∠2，要根据AAS，判定△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，则需要补
充的一个条件为____________．
【答案】∠𝐵= ∠𝐶
【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可．
【详解】解：补充的一个条件为∠𝐵= ∠𝐶，
∵∠𝐵= ∠𝐶，∠1 = ∠2，𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(AAS)，
故答案为：∠𝐵= ∠𝐶
2．（2026·云南德宏·一模）如图，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐷𝐶，垂足分别为𝐵，𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．求证：△
𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷．
教材延伸
三边相等用SSS，两边夹角用SAS；两角夹边ASA，两角对边AAS；边边角、角角角，判定全等皆无
效。
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【答案】
证明：∵ 𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐷𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
{
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴ △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(AAS)．
【分析】先由垂直条件推出两个直角相等，再结合题目给的角相等和公共边，用AAS判定两个三角形全
等．
【详解】略
知识点
尺规作图
1.已知三边（𝒂, 𝒃, 𝒄），作三角形：
步骤一：作线段 AB=c；
步骤二：以点A 为圆心，𝑎 为半径作弧，以 B 为圆心，𝑏 为半径作弧，两弧相交于点 C；
步骤三：连接 AC，BC，△ABC 即为所求。（如图1）
图1 图2 图3
2.已知两边及夹角（边：𝒂,𝒃，角：𝜶），作三角形：
步骤一：作线段 AB=𝑎；
步骤二：以A 为顶点作∠DAB=α；
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步骤三：在射线AD 上截取AC=𝑏；
步骤四：连接BC，△ABC 即为所求。（如图2）
3.已知两角及夹边（角：𝜶，𝜷，边：𝒂），作三角形：
步骤一：作线段 AB=𝑎；
步骤二：以A 为顶点作∠DAB=α，以B 为顶点作∠EBA=β，AD 与BE 相较于点C，△ABC 即为所求。（如图
3）
4.已知∠AOB，作∠AˊOˊBˊ，使∠AˊOˊBˊ=∠AOB：
步骤一：以点O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB 于点C，D；
步骤二：作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC 为半径作弧𝑙，交O’A’于点C’；
步骤三：以点C’为圆心，CD 长为半径作弧，交弧𝑙于点D’；
步骤四：过点Oˊ，D’作射线O’B’，∠A’O’B’即为所求。（如图4）
5.过直线AB 外一点P 作直线CD，使得AB∥CD：
步骤一：在直线AB 上取一点F，过点P，F 作直线PF；
步骤二：作∠EPD=∠EFB；
步骤三：延长DP 得直线CD，CD 即为所求。（如图5）
图4 图5
随学随练
1．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）已知：线段𝑎，𝑐，∠𝛼（如图）．
求作：△𝐴𝐵𝐶，使𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐵= 𝑐，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝛼．
易错提醒
禁止使用直尺刻度测量长度、角度，禁止徒手描摹圆弧；所有线段长度、角度相等均通过圆规截弧实
现，作图痕迹（圆弧、辅助线）必须全部保留，遗漏痕迹直接扣分。
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【答案】见解析
【分析】画射线𝐵𝐷，以𝛼的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交𝛼的两边于点𝐴′，𝐶′；以相同长度为半
径，B 为圆心画弧，交𝐵𝐶于点F，以F 为圆心，𝐶′𝐴′为半径画弧，两弧交于点E，作射线𝐵𝐸；以B 为圆
心，a 为半径画弧交射线𝐵𝐷于点C，以B 为圆心，c 为半径画弧交射线𝐵𝐸于点A，连接𝐴𝐶即可．
【详解】解：如图所示，△𝐴𝐵𝐶即为所求．
2．（2026·陕西西安·三模）如图，已知△𝐴𝐵𝐶，请用尺规作图法在𝐵𝐶边上求作点𝐷，连接𝐴𝐷，使得
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示：点𝐷即为所求.
【分析】以𝐴为顶点，𝐵𝐴为一边，与点𝐶在𝐴𝐵的同侧作射线𝐴𝐷使得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶，交𝐵𝐶于点𝐷，则点𝐷即为
所求.
【详解】略
3．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，点𝐷是线段𝐵𝐶上的一点，请用尺规过点𝐷作直线𝐷𝐸，使𝐷𝐸∥
𝐴𝐶，交线段𝐴𝐵于点𝐸．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：直线𝐷𝐸即为所求．
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【分析】以𝐷𝐵为一边，在∠𝐶的同侧作∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵，交𝐴𝐵于点𝐸即可．
【详解】略
拓展
四大三角形全等判定定理对比
判定定理
判定条件
核心关键
是否可推导
唯一三角形
特殊性质/备注
SSS（边边边）
三组对应边相等
无需角度条件
是
三角形具有稳定性；等
角作图核心原理
SAS（边角边）
两组对应边+一
组夹角相等
必须是夹角，SSA
不能判定全等
是
易混淆易错点：两边非
夹角无法判定
ASA（角边角）
两组对应角+一
组夹边相等
边为两角的公共
夹边
是
边角位置固定，唯一性
强
AAS（角角边）
两组对应角+一
组对边相等
边为其中一角的
对边，非夹边
是
可由内角和180°+ASA
推导得出
活学活用
1．（25-26 八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，点B，E，C，F 在一条直线上，请在下列五个条件中任选三
个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明．
①𝐴𝐵∥𝐷𝐸；②𝐴𝐶∥𝐷𝐹；③𝐴𝐵= 𝐷𝐸；④∠𝐴= ∠𝐷；⑤𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
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题设：
结论：
证明：
【答案】
题设：①𝐴𝐵∥𝐷𝐸；②𝐴𝐶∥𝐷𝐹；③𝐴𝐵= 𝐷𝐸；
结论：④∠𝐴= ∠𝐷；⑤𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
证明：∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐶∥𝐷𝐹
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹
又∵𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)
∴∠𝐴= ∠𝐷，𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∴𝐵𝐶−𝐸𝐶= 𝐸𝐹−𝐸𝐶
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，然
后根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】略
2．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵上一点，𝐸为𝐴𝐶中点，连接𝐷𝐸并
延长至点𝐹，使得∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐹，连接𝐶𝐹．
(1)你认为𝐴𝐷与𝐶𝐹相等吗？并说明理由；
(2)若𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐵𝐷= 2，𝐶𝐹= 3，求𝐵𝐶的长．
【答案】(1)𝐴𝐷= 𝐶𝐹，理由如下：
因为点𝐸为𝐴𝐶中点，
所以𝐶𝐸= 𝐴𝐸．
在△𝐶𝐸𝐹和△𝐴𝐸𝐷中，
{
∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷
∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐶𝐸= 𝐴𝐸
，
所以△𝐶𝐸𝐹≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)，
所以𝐴𝐷= 𝐶𝐹；
(2)5
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【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，△𝐶𝐸𝐹≌△𝐴𝐸𝐷，
所以𝐴𝐷= 𝐶𝐹= 3，
所以𝐴𝐵= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 2 + 3 = 5．
因为𝐸是𝐴𝐶的中点，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
所以𝐶𝐸= 𝐴𝐸， ∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°．
又因为𝐵𝐸= 𝐵𝐸，
所以△𝐶𝐸𝐵≌△𝐴𝐸𝐵(SAS)，
所以𝐵𝐶= 𝐴𝐵= 5．
拓展
三类三角形尺规作图对比
作图类型
已知条件
作图核心顺序
依托定理
作图唯一性
已知三边作三角形
三条线段边长
定基准边→双弧交
汇→连线成型
SSS
唯一
已知两边及夹角作
三角形
两条边、一个夹
角
定基准边→作等角
→截边长→连线
SAS
唯一
已知两角及夹边作
三角形
两个角、一条夹
边
定基准边→两端作
等角→射线交汇
ASA
唯一
活学活用
1．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段𝑎，𝑏和∠𝛼，请用尺规作图，作△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵= 𝑎，
𝐴𝐶= 𝑏，∠𝐴= 𝛼．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】先作出∠𝑀𝐴𝑁= 𝛼，然后在边𝐴𝑀上截取𝐴𝐵= 𝑎得到点B，在边𝐴𝑁上截取𝐴𝐶= 𝑏得到点C，连接
𝐵𝐶即可得到符合要求的图形．
【详解】解：如图所示，△𝐴𝐵𝐶即为所求．
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拓展
全等与作图综合扩展
1.绝对不能判定全等的情况：SSA（两边及非夹角）、AAA（三角对应相等）均无法判定三角形全等。AAA
仅能证明三角形相似，形状相同、大小不一定相同；SSA 无法固定三角形形状，存在两种作图可能。
2.全等与作图综合题型：考试常考“先作图、再证明”，即按条件尺规作图后，利用全等定理证明所作图
形符合题干要求，融合实操与推理。
活学活用
1．（25-26 八年级上·福建漳州·期末）如图，点D 是△𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐴𝐷, 𝐶𝐷，已知∠𝐵= 45°，∠𝐷=
90°．
(1)在△𝐴𝐵𝐶内求作一点M，使得△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图：
（1）以点A 为圆心，𝐴𝐷的长为半径画弧，再以点C 为圆心，𝐶𝐷为半径画弧，两弧交于点M，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐷= 90°，从而得到∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴= 90°，再由∠𝐵= 45°，可
得∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 135°，即可求解．
∴∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀= (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴) −(∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴) = 45°
【详解】（1）解：如图，点M 即为所求；
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（2）解：∵△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，∠𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐷= 90°．
∴∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴= 90°．
∵∠𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180° −45° = 135°．
∴∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀= (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴) −(∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴) = 45°．
题型
用SSS 证三角形全等
▌例1．（25-26 八年级上·河北张家口·期末）如图，若𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐴𝐵= 𝐷𝐵，则可得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶．其
判定依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．SSA
D．ASA
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用SSS证明三角形全等即可．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶中，
∵𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐴𝐵= 𝐷𝐵，𝐵𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶(SSS)，
故选：A．
解题贴士
优先找公共边，通过线段和差等量代换补齐第三组边。
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▌例2．（2026·云南昆明·一模）如图，点𝐴，𝐸，𝐹，𝐷在同一直线上，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐵𝐹= 𝐶𝐸，𝐴𝐸=
𝐷𝐹．求证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸．
【答案】
证明：∵𝐴𝐸= 𝐷𝐹，
∴𝐴𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐷𝐹+ 𝐸𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝐸．
在△𝐴𝐵𝐹与△𝐷𝐶𝐸中
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐹= 𝐶𝐸
𝐴𝐹= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸(SSS)．
【分析】根据𝐴𝐸= 𝐷𝐹得出𝐴𝐹= 𝐷𝐸，根据“SSS”即可证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸．
【详解】略
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·河北邢台·期末）学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如
图，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，∠𝐶= ∠𝐷，求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐵𝐶”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去
掉的一个已知条件是________．
【答案】∠𝐶= ∠𝐷
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL，熟
练掌握知识点是解题的关键．
根据SSS即可得到△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐵𝐶，则可以确定∠𝐶= ∠𝐷这个条件多余．
【详解】解：∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐵𝐶(SSS)，
∴可以去掉的一个已知条件∠𝐶= ∠𝐷，
故答案为：∠𝐶= ∠𝐷．
▌对点练1-2．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D 在同一条直线上，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐶=
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𝐸𝐹，𝐴𝐸= 𝐵𝐷．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
【答案】
解：∵𝐴𝐸= 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐸−𝐵𝐸= 𝐵𝐷−𝐵𝐸，
即𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
∵{
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SSS)．
【分析】根据“SSS”直接证明全等即可．
【详解】略
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·江苏南通·期末）如图，𝐴𝐷, 𝐵𝐶相交于点𝑂, 𝐴𝐷= 𝐵𝐶, 𝐴𝐶= 𝐵𝐷．求证：
∠𝐴= ∠𝐵．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐷𝐶(SSS)，继而利用全等性质即可
得到本题答案．
【详解】证明：如图，连接𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷与△𝐵𝐷𝐶中，{
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
𝐶𝐷= 𝐷𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐷𝐶(SSS)，
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∴∠𝐴= ∠𝐵．
题型
用SAS 证三角形全等
▌例1．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
【答案】B
【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意；
B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等，
∴可以根据SAS证明全等，符合题意；
C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意；
D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意．
▌例2．（2026·云南临沧·二模）如图，点𝐵，𝐸，𝐹，𝐶在同一条直线上，∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐹= 𝐶𝐸，𝐴𝐵=
𝐷𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹．
【答案】
证明：∵𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐹−𝐸𝐹= 𝐶𝐸−𝐸𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹中，
解题贴士
先证边等→再证夹角等→最后写SAS 结论。
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{
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(SAS)．
【分析】由𝐵𝐹= 𝐶𝐸可得𝐵𝐸= 𝐶𝐹，进而可证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(SAS)．
【详解】略
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·湖北黄石·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶, 𝐵𝐶= 3．将△𝐴𝐵𝐶从点𝐷
处沿虚线剪开，若𝐵𝐸= 1, 𝐶𝐹= 2，当线段BD 的长度为__________时，剪下的两个三角形全等．
【答案】2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当𝐵𝐷= 𝐶𝐹= 2时，利用SAS即可证明两个三角形全等．
【详解】解：如图所示，当𝐵𝐷= 𝐶𝐹= 2时，𝐷𝐶= 𝐵𝐶−𝐵𝐷= 1，
则𝐵𝐷= 𝐶𝐹= 2, ∠𝐵= ∠𝐶, 𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 1，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐷(SAS)，
故答案为：2．
▌对点练1-2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C 在线段𝐴𝐵上，𝐴𝐷∥𝐵𝐸，且𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐵𝐸= 𝐴𝐶．连接
𝐷𝐶，𝐸𝐶．求证：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐶𝐸．
【答案】证明：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐸，
∴∠𝐴= ∠𝐵，
在△𝐴𝐷𝐶和△𝐵𝐶𝐸中，
{
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)．
【分析】根据平行线的性质得∠𝐴= ∠𝐵，再根据SAS即可得证．
【详解】略
▌对点练1-3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵．求证：𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
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【答案】证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐷中，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，𝐴𝐵= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
【分析】利用SAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，即可证明𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
【详解】略
题型
用ASA 证三角形全等
▌例1．（2026·云南文山·一模）如图，点𝐸，𝐶都在线段𝐵𝐹上，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹．求
证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
【答案】
证明：∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐹+ 𝐶𝐸，即𝐵𝐶= 𝐸𝐹．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
∵{
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)．
【分析】根据角边角的证明方法证明即可．
【详解】略
解题贴士
1）判定核心：两组对应角相等＋两角所夹的对应边相等；
2）适用场景：题干有平行、垂直、公共边、两角条件充足。
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▌对点练1-1．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，垂足分别为D，E，𝐴𝐷=
𝐴𝐸．下列选项中，可以直接作为判定△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】D
【分析】由ASA判定△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，即可得到答案．
【详解】解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
{
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(ASA)，
∴可以直接作为判定△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸的依据是ASA．
▌对点练1-2．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐴𝐸=
𝐴𝐶，连接𝐵𝐸，∠𝐶= ∠𝐸．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐷．
【答案】证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶
∵∠𝐶= ∠𝐸，𝐴𝐸= 𝐴𝐶
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐶(ASA)
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷．
【分析】证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐶(ASA)即可．
【详解】略
▌对点练1-3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐵⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐵，𝐶，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸．求证：𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
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【答案】证明：∵𝐷𝐵⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶
∴∠𝐵= ∠𝐶= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(ASA)
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
【分析】证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(ASA)即可．
【详解】略
题型
用AAS 证三角形全等
▌例1．（25-26 七年级下·重庆·期中）如图，点𝐵，𝐵′，𝐶，𝐶′在同一直线上，已知∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵′𝐶′，
𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶′，添加下列一个条件，不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′的是（ ）
A．𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′
B．𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′
C．∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵′𝐴′𝐶′
D．∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴′𝐶′𝐵′
【答案】B
【详解】解：已知∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵′𝐶′，𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶′，
∴𝐵𝐵′ + 𝐵′𝐶= 𝐵′𝐶+ 𝐶𝐶′，即𝐵𝐶= 𝐵′𝐶′，
A 选项，当𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′时，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(SAS)，
解题贴士
角度条件多、缺少夹边时，优先用AAS 判定。
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B 选项，当𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′时，不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，
C 选项，当∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵′𝐴′𝐶′时，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(AAS)，
D 选项，当∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴′𝐶′𝐵′时，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(ASA)．
▌例2．（25-26 八年级下·江西九江·期中）如图，点𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷在同一直线上，𝐴𝐵= 𝐶𝐷, 𝐴𝐸∥𝐷𝐹, ∠𝐸=
∠𝐹．求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹．
【答案】见解析
【详解】证明：∵𝐴𝐸∥𝐷𝐹
∴∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐹𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵= 𝐶𝐷, ∠𝐸= ∠𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(AAS)．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·山东·期中）如图，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，只需添加一个条件即可证明△𝐴𝐵𝐶≌
△𝐴𝐷𝐶，这个条件可以为______________（写出一个即可）．
【答案】𝐴𝐵= 𝐴𝐷或∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷或∠𝐵= ∠𝐷（答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记三角形的判定定理是解决问题的关键．
根据题意，可知∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，𝐴𝐶= 𝐴𝐶，添加𝐴𝐵= 𝐴𝐷，由SAS即可证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶；添加
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷，由ASA即可证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶；添加∠𝐵= ∠𝐷，由AAS即可证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶；从而
得到答案．
【详解】解：如图所示：
∵ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
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添加𝐴𝐵= 𝐴𝐷时，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)；
添加∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷时，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
{
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(ASA)；
添加∠𝐵= ∠𝐷时，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
{
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
∠𝐵= ∠𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(AAS)；
故答案为：𝐴𝐵= 𝐴𝐷或∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷或∠𝐵= ∠𝐷（答案不唯一）．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，已知𝐵𝐷= 𝐶𝐹，𝐴𝐵∥𝐸𝐹，∠𝐴= ∠𝐸．试说明：
𝐴𝐶= 𝐷𝐸．
【答案】证明：∵𝐵𝐷= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐷+ 𝐷𝐶= 𝐶𝐹+ 𝐷𝐶即𝐵𝐶= 𝐹𝐷，
∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐹，
∵{
∠𝐴= ∠𝐸
∠𝐵= ∠𝐹
𝐵𝐶= 𝐹𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐹𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐸．
【分析】先证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐹𝐷(AAS)，再解答即可
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【详解】略
▌对点练1-3．（2026·陕西·一模）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸在𝐶𝐷上，𝐵𝐸与𝐴𝐷交于点𝐹，且𝐹为𝐴𝐷的中点．求
证：𝐵𝐹= 𝐸𝐹．
【答案】证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷，
∵𝐹是𝐴𝐷的中点，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝐹，
∵在△𝐴𝐵𝐹和△𝐷𝐸𝐹中，
{
∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸
∠𝐵= ∠𝐹𝐸𝐷
𝐴𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐸𝐹．
【分析】先利用平行线的性质得出∠𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷，再通过判定△𝐴𝐵𝐹和△𝐷𝐸𝐹全等，最后根据全等三角形对
应边相等得出结论．
【详解】略
题型
尺规作图
▌例1．（25-26 八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知线段a，b 和∠𝛼，用直尺和圆规作一个△𝐴𝐵𝐶，使得
∠𝐴= ∠𝛼, 𝐴𝐵= 𝑎+ 𝑏，𝐴𝐶= 𝑏．（保留作图痕迹，不写作法）
解题贴士
1）作已知等角：原理为SSS 全等，通过截取等弧保证两角相等，必须保留作图圆弧痕迹；
2）作三角形：三边条件用SSS 作图；两边夹角用SAS 作图；两角夹边用ASA 作图；
3）过直线外一点作平行线：先作同位角/内错角等于已知角，利用等角平行原理作图；
4）得分规范：保留所有作图痕迹，不擦圆弧，标注字母与垂足。
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【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线𝐴𝑀，再以点A 为圆心，线段𝑎的长为半径画弧交
射线𝐴𝑀于D，接着以点D 为圆心，线段b 的长为半径画弧交射线𝐴𝑀于B，再接着作∠𝑀𝐴𝑁= ∠𝛼，最后
以点A 为圆心，线段b 的长为半径画弧交射线𝐴𝑁于C，连接𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶即为所求．
【详解】解：如图所示，△𝐴𝐵𝐶即为所求．
▌对点练1-1．（25-26 七年级上·陕西西安·期末）如图，∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼°，𝑀𝑁= 𝑚．利用圆规与无刻度直尺作
三角形𝐷𝐸𝐹，使得∠𝐷𝐸𝐹= 𝛼°，且满足𝐷𝐸= 2𝐸𝐹= 2𝑚．（不写过程和证明，保留作图痕迹）
【答案】
如图，三角形𝐷𝐸𝐹即为所求．
【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关
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键．
先作∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼°， 在射线𝐸𝐹上截取𝐸𝐹= 𝑚， 在射线𝐸𝐷上截取𝐸𝐷= 2𝑚，再连接𝐷𝐹即可．
【详解】略
▌对点练1-2．（2026·西藏日喀则·三模）尺规作图：如图，已知∠𝐴𝑂𝐵，求作∠𝐶𝑃𝐷，使∠𝐶𝑃𝐷=
∠𝐴𝑂𝐵．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
【分析】本题考查基本尺规作图，利用作一个角等于已知角的方法即可作出符合要求的∠𝐶𝑃𝐷．
【详解】解：∠𝐶𝑃𝐷即为所求．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期中）如图，点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶延长线上一点，请使用尺规作
图法在𝐵𝐷上方求作一点𝐸，连接𝐶𝐸，使得𝐶𝐸∥𝐴𝐵．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】以点𝐵为圆心，任意半径画弧交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐵𝐶于点𝑁，以点𝐶为圆心，𝐵𝑀为半径画弧交𝐶𝐷于点
𝐹，以点𝐹为圆心，𝑀𝑁为长度画弧，两弧交于点𝐸，作射线𝐶𝐸，点𝐸即为所作．
【详解】解：点𝐸即为所作，
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题型
全等三角形与尺规作图综合
▌例1．（25-26 八年级上·山东日照·期中）如图1，已知∠𝛼，∠𝛽，线段𝑚，求作△𝐴𝐵𝐶．
作法：如图2，①作线段𝐴𝐵= 𝑚；②在𝐴𝐵的同旁作∠𝐴= ∠𝛼，∠𝐵= ∠𝛽，∠𝐴与∠𝐵的另一边交于点𝐶．则
△𝐴𝐵𝐶就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．SSA
【答案】C
【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，
据此得出全等的判定方法．
根据题中的图形，可以得到∠𝐵= 𝛽 ，𝐴𝐵= 𝑚，∠𝐴= 𝛼，再根据全等三角形的判定方法，求解即可．
【详解】解：由作图可知，∠𝐵= 𝛽 ，𝐴𝐵= 𝑚，∠𝐴= 𝛼，
则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA．
故选C．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖南益阳·期末）（1）已知Rt △𝐴𝐵𝐶的直角边𝐵𝐶和斜边𝐴𝐵分别等于如图
所示的线段a、c 的长，请用直尺和圆规作出△𝐴𝐵𝐶．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在下面的网格图中△𝐴𝐵𝐶的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得△
𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐵𝐶．
解题贴士
1）从作图痕迹中提取等边、等角条件，匹配SSS/SAS/ASA/AAS 证全等；
2）利用全等对应边角相等，转移已知条件，求解未知边长、角度。
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作三角形，
（1）作直线l，在直线l 上取点C，以点C 为圆心，a 为半径画弧，交l 于点B，D，然后作出𝐵𝐷的垂直平
分线，以点B 为圆心，以c 为半径画弧，交𝐵𝐷的垂直平分线于点A，连接𝐴𝐵即可；
（2）根据全等三角形的判定求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，△𝐴𝐵𝐶即为所求；
（2）如图所示，点D 即为所求．
▌对点练1-2．（25-26 七年级上·山东泰安·期中）尺规作图．
已知：△𝐴𝐵𝐶（如图）．
求作：△𝐴1𝐵1𝐶1，使△𝐴1𝐵1𝐶1与△𝐴𝐵𝐶全等．
要求：
(1)不写作法，保留作图痕迹；
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(2)写出作图时选取的相等的边或角．
【答案】(1)图见解析
(2){
𝐴1𝐵1 = 𝐴𝐵
𝐵1𝐶1 = 𝐵𝐶
𝐴1𝐶1 = 𝐴𝐶
【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：
（1）利用SSS，作射线𝐵1𝐷，截取𝐵1𝐶1 = 𝐵𝐶，分别以𝐵1, 𝐶1为圆心，𝐴𝐵, 𝐴𝐶的长为半径画弧，两弧交于点
𝐴1，连接𝐴1𝐵1, 𝐴1𝐶1，即可；
（2）根据SSS进行作答即可．
【详解】（1）解：如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
（2）由作图，{
𝐴1𝐵1 = 𝐴𝐵
𝐵1𝐶1 = 𝐵𝐶
𝐴1𝐶1 = 𝐴𝐶
．
题型
全等三角形辅助线问题
▌例1．（25-26 八年级上·山东济宁·期中）如图，𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐶𝐷分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，𝐴𝐶，𝐴𝐵上的中线，
三条中线相交于点𝑂，下列说法错误的是（ ）
A．点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的重心
B．△𝐴𝑂𝐷和△𝐴𝑂𝐹的面积相等
C．△𝐴𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸
D．𝐴𝑂= 2𝑂𝐸
【答案】C
解题贴士
1）中线倍长法：遇中线，延长中线至两倍长，构造SAS 全等，转移边角；
2）公共边/公共角法：图形共边共角直接用作条件，快速凑全等要素；
3）截长补短法：线段和差题型，长截短、短补长，构造全等转化线段。
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【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的中线
性质是解答的关键．
根据三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的判定与性质逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐶𝐷分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，𝐴𝐶，𝐴𝐵上的中线，三条中线相交于点𝑂，
∴点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的重心，故A 正确，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐷= 𝑆△𝐵𝑂𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐶
∴𝑆△𝐴𝑂𝐹+ 𝑆四边形𝐸𝐶𝐹𝑂= 𝑆△𝐵𝑂𝐸+ 𝑆四边形𝐸𝐶𝐹𝑂
∴𝑆△𝐴𝑂𝐹= 𝑆△𝐵𝑂𝐸
同理可得𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐵𝑂𝐶
∴𝑆△𝐴𝑂𝐷+ 𝑆四边形𝐵𝐷𝑂𝐸= 𝑆△𝐶𝑂𝐸+ 𝑆四边形𝐵𝐷𝑂𝐸
∴𝑆△𝐴𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐸
又∵𝐸是𝐵𝐶的中点，则𝑆△𝐵𝑂𝐸= 𝑆△𝐶𝑂𝐸
∴𝑆△𝐴𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐹，故B 正确，
∵𝐴𝑂= 𝐶𝑂不一定成立，
∴△𝐴𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸不一定成立，故C 错误；
如图，延长𝑂𝐸至𝐺，使得𝑂𝐸= 𝐸𝐺，连接𝐶𝐺，
∵𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐶，𝑆△𝑂𝐸𝐶= 𝑆△𝐵𝐸𝑂
又∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝐶𝐸𝐺，
∴△𝐵𝐸𝑂≌△𝐶𝐸𝐺(SAS)
∴𝑆△𝐵𝐸𝑂= 𝑆△𝐶𝐸𝐺
∴𝑆△𝑂𝐺𝐶= 𝑆△𝑂𝐸𝐶+ 𝑆△𝐺𝐸𝐶= 2𝑆△𝑂𝐸𝐶= 𝑆△𝑂𝐵𝐶
∵𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐶
∴𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝑂𝐺𝐶
∴𝐴𝑂= 𝑂𝐺
∴𝐴𝑂= 2𝑂𝐸，故D 正确
故选：C．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点E 在线段𝐴𝐵上，𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是
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∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
(1)线段𝐷𝐸与𝐶𝐸有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 2，求𝐶𝐷的长．
【答案】(1)𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）先根据角平分线得2∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶, 2∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，再根据𝐴𝐷∥𝐵𝐶就可得出∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸=
90°，即可得出结论；
（2）在𝐷𝐶上截取𝐷𝐹= 𝐴𝐷= 3，先证△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐸，再证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，即可得出答案．
【详解】（1）解：𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，理由如下：
∵𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐸𝐷𝐶, ∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐷𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴2∠𝐸𝐷𝐶+ 2∠𝐷𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
∴𝐷𝐸⊥𝐶𝐸；
（2）解：如图，在𝐷𝐶上截取𝐷𝐹= 𝐴𝐷= 3，连接𝐸𝐹，
∵𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸, ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐹𝐷𝐸中，
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{
𝐴𝐷= 𝐹𝐷
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸
𝐷𝐸= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐸(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐹𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180°，
∵∠𝐷𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
{
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸
∠𝐵= ∠𝐸𝐹𝐶
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐹= 2，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐹+ 𝐷𝐹= 2 + 3 = 5．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】
数学课上老师提出如下问题：如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷 是𝐵𝐶 边上的中线，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐷= 2，若𝐴𝐶 边
的长为整数，求𝐴𝐶 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长𝐴𝐷 至点𝐸 ，
使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，能得到△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶，所以𝐴𝐶= 𝐵𝐸，进而利用三角形的任意两边之和大于第三
边解决问题．
【思考发现】
(1)如图①，△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶的理由是 ；
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)根据小明的方法思考，可得𝐴𝐶 的长可能为 ；（写出一个即可）
【类比迁移】
(3)如图②，𝐴𝐷 是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐺交𝐴𝐶 于点𝐺 ，交𝐴𝐷 于点𝐹 ，𝐴𝐶= 𝐵𝐹．
求证：𝐴𝐺= 𝐹𝐺．
以下是部分证明过程：
证明：如图③，延长𝐴𝐷 至点𝐸 ，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连结𝐵𝐸．
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⋯⋯
请完成上述证明过程．
【学以致用】
(4)如图④，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵 ，𝐶𝐷= 𝐶𝐸 ，连结𝐴𝐷 、𝐵𝐸，取𝐴𝐷
的中点𝐹 ，连结𝐶𝐹．若𝐶𝐹= 2，则𝐵𝐸= ．
【答案】(1)B
(2)2（或3，4，5，6 之一）
(3)证明：如图③，延长𝐴𝐷 至点𝐸 ，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸．
同（1），可证△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐸，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐹，
∴∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸，
∵∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐺，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐺𝐴𝐹；
∴𝐴𝐺= 𝐹𝐺．
(4)4
【分析】（1）由题意知𝐴𝐷= 𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵，𝐶𝐷= 𝐵𝐷，可得△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)；
（2）由△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶得𝐵𝐸= 𝐶𝐴，在△𝐴𝐵𝐸中，根据三角形三边关系可得𝐴𝐸−𝐴𝐵< 𝐵𝐸< 𝐴𝐸+ 𝐴𝐵，
进而即可求解；
（3）倍长𝐴𝐷 至E，连 𝐵𝐸，同（1）可证△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)， 得出𝐵𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐸，结合
𝐴𝐶= 𝐵𝐹，可得𝐵𝐸= 𝐵𝐹，由等边对等角可得∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐺，等量代换后可得∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐺𝐴𝐹，根据
等角对等边即可得出结论；
（4）倍长 𝐶𝐹至G，连𝐷𝐺，同（1），可证△𝐷𝐹𝐺≌△𝐴𝐹𝐶(SAS)，进而证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐺𝐷𝐶(SAS)，可得
𝐵𝐸= 𝐶𝐺= 2𝐶𝐹.
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【详解】（1）解：在△𝐸𝐷𝐵和△𝐴𝐷𝐶中，
{
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
，
∴ △𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，
故选：B；
（2）解：∵ △𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶，
∴ 𝐵𝐸= 𝐶𝐴，
∵ 在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐸= 2𝐴𝐷= 4，𝐴𝐸−𝐴𝐵< 𝐵𝐸< 𝐴𝐸+ 𝐴𝐵，，
∴4 −3 < 𝐵𝐸< 4 + 3， 即1 < 𝐵𝐸< 7，
∵𝐴𝐶 为整数，𝐵𝐸= 𝐶𝐴，
∴𝐴𝐶 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一.
（3）略
（4）解：如图，延长𝐶𝐹至点𝐺 ，使𝐹𝐺= 𝐶𝐹，连𝐷𝐺，
∴𝐶𝐺= 2𝐶𝐹= 4，
同（1），可证△𝐷𝐹𝐺≌△𝐴𝐹𝐶(SAS)，
∴𝐷𝐺= 𝐴𝐶, ∠𝐺𝐷𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹.
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐵 ，
∴𝐷𝐺= 𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐸= 180°.
在△𝐴𝐶𝐷 中，∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐺𝐷𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐺𝐷𝐶，
又∵𝐷𝐶= 𝐶𝐸，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐺𝐷𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐺𝐶= 4．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性
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质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键．
基础通关
1．（25-26 七年级下·山西晋中·期末）判定两个三角形全等的方法错误的是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．SSA
D．HL
【答案】C
【详解】解： 任意三角形全等的判定方法包括SAS，ASA，SSS，AAS，这些方法可用于判定三角形全等，
直角三角形还有专属判定方法HL，
SSA即两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，因此SSA是错误的判定方法．
2．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）如图，做一个角平分仪𝐴𝐵𝐶𝐷，其中𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，将角平
分仪上的顶点𝐴与∠𝑃𝑅𝑄的顶点𝑅重合，调整𝐴𝐵和𝐴𝐷，使它们分别落在角的两边上，过点𝐴、𝐶画一条射线
𝐴𝐸，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，所以∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，𝐴𝐸就是∠𝑃𝑅𝑄的平分线，其中判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶的依据
是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
【答案】C
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
𝐵𝐶= 𝐷𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SSS)．
3．（2026·河北邯郸·二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从𝐴地到𝐵地的路程分别为𝑙甲和𝑙乙．下列
关系正确的是（ ）
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A．𝑙甲> 𝑙乙
B．𝑙甲= 𝑙乙
C．𝑙甲< 𝑙乙
D．𝑙甲≥𝑙乙
【答案】A
【分析】延长𝐴𝐷、𝐵𝐸交于点𝐹，易证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐹(ASA)，则𝐴𝐶= 𝐴𝐹= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹、𝐵𝐶= 𝐵𝐹= 𝐵𝐸+
𝐸𝐹，进而求出𝑙甲和𝑙乙，根据三角形三边关系得到𝐷𝐹+ 𝐸𝐹> 𝐷𝐸，据此求出𝑙甲和𝑙乙的关系．
【详解】解：延长𝐴𝐷、𝐵𝐸交于点𝐹，
由图甲可知，∠𝐶𝐴𝐵= 55°、∠𝐶𝐵𝐴= 65°，由图乙可知，∠𝐷𝐴𝐵= 55°、∠𝐸𝐵𝐴= 65°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵、∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐸𝐵𝐴，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐹中，
{
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐵
𝐴𝐵= 𝐴𝐵
∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐹𝐵𝐴
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐹(ASA)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐹、𝐵𝐶= 𝐵𝐹
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐹= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹、𝐵𝐶= 𝐵𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹，
∴𝑙甲= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹+ 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹，
∵𝑙乙= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐵、𝐷𝐹+ 𝐸𝐹> 𝐷𝐸，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹+ 𝐸𝐹> 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸+ 𝐷𝐸，
∴𝑙甲> 𝑙乙．
4．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）如图，已知∠𝐴𝑂𝐵，以点𝑂为圆心，任意长为半径画弧，分别交𝑂𝐴，
𝑂𝐵于点𝐶，𝐷；再以点𝑂为圆心，大于𝑂𝐶的长为半径画弧，分别交𝑂𝐴，𝑂𝐵于点𝐸，𝐹，连接𝐶𝐹，𝐷𝐸，则△
𝐸𝑂𝐷≌△𝐹𝑂𝐶，其全等的依据是________．（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）．
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【答案】SAS
【分析】根据作图过程和全等三角形的判定可得答案．
【详解】解：由作图过程得𝑂𝐷= 𝑂𝐶，𝑂𝐸= 𝑂𝐹，
在△𝐸𝑂𝐷和△𝐹𝑂𝐶中，
{
𝑂𝐷= 𝑂𝐶
∠𝐸𝑂𝐷= ∠𝐹𝑂𝐶
𝑂𝐸= 𝑂𝐹
∴△𝐸𝑂𝐷≌△𝐹𝑂𝐶(SAS)．
5．（25-26 七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在4 × 6的方格中，点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸均在格点上，那么
∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐵𝐴𝐶=____________度．
【答案】90
【分析】取格点F，连接𝐶𝐹，𝐷𝐹，得到△𝐶𝐷𝐹≌△𝐵𝐴𝐶(SAS)，得到∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，进而求解即可．
【详解】解：取格点F，连接𝐶𝐹，𝐷𝐹，
∵𝐶𝐹= 𝐵𝐶= 2，𝐷𝐹= 𝐴𝐶= 4，∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴△𝐶𝐷𝐹≌△𝐵𝐴𝐶(SAS)，
∴∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°．
6．（25-26 七年级下·陕西渭南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶=
∠𝐷𝐴𝐸．试说明𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
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【答案】证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
【分析】直接利用SAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸即可.
【详解】略
7．（2026·广东广州·二模）如图，已知𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，𝐴𝐶∥𝐷𝐹．求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
【答案】证明：∵𝐴𝐶∥𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
【分析】先根据平行线的性质证明∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸，再根据全等三角形的判定证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，即可
证明结论．
【详解】略
8．（2026·云南昭通·一模）如图：在四边形𝐵𝐴𝐶𝐷中对角线𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐶；求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【答案】见解析
【分析】由𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，结合∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐷，根据AAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，进
而得𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
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【详解】证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
{
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
9．（2026·福建厦门·三模）如图，点B， E， C， F 在同一条直线上， 𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐵= 𝐷𝐹，∠𝐵=
∠𝐹，求证：∠𝐴= ∠𝐷．
【答案】证明：∵点B， E， C， F 在同一条直线上， 𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐹+ 𝐶𝐸，即𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
又∵𝐴𝐵= 𝐷𝐹，∠𝐵= ∠𝐹，
∴△𝐴𝐶𝐵≌𝐷𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐷．
【分析】根据𝐵𝐸= 𝐶𝐹，得到𝐵𝐶= 𝐸𝐹，证明△𝐴𝐶𝐵≌𝐷𝐸𝐹，即可得证.
【详解】略
10．（2026·云南昆明·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．求证：
𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
【答案】见解析
【分析】根据两边及其夹角相等证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸即可．
【详解】证明：∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
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{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
11．（2026·湖北随州·二模）如图，𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点O，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐶∥𝐵𝐷，求证：𝐴𝑂= 𝐵𝑂．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质；先由平行线的性质可得∠𝐴= ∠𝐵，∠𝐶=
∠𝐷，再结合𝐴𝐶= 𝐵𝐷，即可判定△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(ASA)，进而得出𝐴𝑂= 𝐵𝑂．
【详解】证明：∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐵，∠𝐶= ∠𝐷，
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中，
{
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
∠𝐶= ∠𝐷
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(ASA)，
∴𝐴𝑂= 𝐵𝑂．
12．（2026·江苏南京·一模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，连接
𝐶𝐸，∠𝐵= ∠𝐸．求证：𝐵𝐷= 𝐸𝐶．
【答案】见解析
【详解】证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐶
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐵，∠𝐵= ∠𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶(ASA)
∴𝐵𝐷= 𝐸𝐶．
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素养提升
1．（25-26 七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F 在𝐶𝐷上，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，𝐴𝐸∥𝐵𝐹．
请从①𝐴𝐶= 𝐵𝐷；②∠𝐴= ∠𝐵；③𝐴𝐶∥𝐵𝐷这三个选项中，选择一个作为条件，使得△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹，并
说明理由．
解：选择条件是_________．理由是：
【答案】
②∠𝐴= ∠𝐵，
理由：∵𝐴𝐸∥𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐷𝐹中
{
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
∠𝐴= ∠𝐵
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹(ASA)；
③𝐴𝐶∥𝐵𝐷；
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷，
∴∠𝐶= ∠𝐷，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐷𝐹中
{
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷
∠𝐶= ∠𝐷
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹(AAS).
若选①𝐴𝐶= 𝐵𝐷，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等.
【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可.
【详解】略.
2．（25-26 七年级上·山东烟台·期中）为了测量一幢高楼高𝐴𝐵，在旗杆𝐶𝐷与楼之间选定一点P，测得旗杆
顶C 视线𝑃𝐶与测楼顶A 视线𝑃𝐴两线夹角为90°，即∠𝐶𝑃𝐴= 90°．量得P 到楼底距离𝑃𝐵与旗杆高度相等，
等于8 米，量得旗杆与楼之间距离为𝐷𝐵= 33米，计算楼高𝐴𝐵是多少米？
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【答案】25 米
【分析】利用全等三角形的判定方法得出△𝐶𝑃𝐷≌△𝑃𝐴𝐵(ASA)，进而得出𝐴𝐵的长．
【详解】解：由题意知，𝐶𝐷= 𝐵𝑃= 8米，
∵∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝑃𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐴𝑃𝐵= 90° −∠𝐶𝑃𝐷，
在△𝐶𝑃𝐷和△𝑃𝐴𝐵中，
{
∠𝐶𝐷𝑃= ∠𝐴𝐵𝑃
𝐷𝐶= 𝑃𝐵
∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐴𝑃𝐵
，
∴△𝐶𝑃𝐷≌△𝑃𝐴𝐵(ASA)，
∴𝐷𝑃= 𝐴𝐵，
∵𝐷𝐵= 33米，𝑃𝐵= 8米，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝑃= 33 −8 = 25米)，
答：楼高𝐴𝐵是25 米．
3．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）如图，点𝐵，𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，𝐴𝐶，𝐷𝐸相交于点𝐺，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
(1)请判断𝐴𝐶与𝐷𝐹的位置关系，并说明理由；
(2)若∠𝐵= 45°，∠𝐹= 60°，求∠𝐸𝐺𝐶的度数．
【答案】(1)𝐴𝐶∥𝐷𝐹，理由如下：
因为𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
所以∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹．
因为𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
所以𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐹+ 𝐶𝐸，
所以𝐵𝐶= 𝐸𝐹．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
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{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
，
所以△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)，
所以∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵，
所以𝐴𝐶∥𝐷𝐹；
(2)75°
【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
所以∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= 45°，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹= 60°，
所以∠𝐸𝐺𝐶= 180° −∠𝐷𝐸𝐹−∠𝐴𝐶𝐵= 180° −45° −60° = 75°．
4．（25-26 七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知点𝐵，𝐸，𝐶，𝐹在一条直线上，𝐴𝐶= 𝐷𝐸，𝐴𝐶∥𝐷𝐸，
∠𝐴= ∠𝐷．
(1)请说明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸；
(2)若∠𝐴= 70°，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，求∠𝐹的度数．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐶∥𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹𝐸𝐷，
∵{
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹𝐸𝐷
𝐴𝐶= 𝐷𝐸
∠𝐴= ∠𝐷
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸(ASA)．
(2)50°
【分析】（1）根据三角形的判定证明即可；
（2）利用三角形内角和，全等三角形的性质，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸(ASA)，
∴∠𝐵= ∠𝐹．
∵∠𝐴= 70°，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
小学
初中
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∴∠𝐵= ∠𝐹= 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴= 50°；
5．（25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是𝐵𝐶，𝐴𝐶边上的中点，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于
点𝑂．
(1)若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 20，求𝑆△𝐴𝐵𝐷；
(2)求证：𝑆△𝐴𝑂𝐵= 2𝑆△𝐵𝑂𝐷；
(3)点𝐹在线段𝐶𝐷上（点𝐹不与点𝐶，点𝐷重合），连接𝐹𝐸并延长𝐹𝐸到点𝐺，连接𝐴𝐺，若𝐴𝐷平分四边形
𝐴𝐵𝐹𝐺的面积．求证：𝐴𝐺∥𝐵𝐶．
【答案】(1)10；
(2)∵𝐷, 𝐸分别是𝐵𝐶, 𝐴𝐶边上的中点，
∴𝐴𝐷, 𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐸= 𝐸𝐶, 𝐵𝐷= 𝐶𝐷．
如下图，连接𝐶𝑂，
∴𝑆△𝐴𝐸𝑂= 𝑆△𝐶𝐸𝑂，𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐵𝐸，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐵𝑂𝐶．
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷=
1
2 𝑆△𝐵𝑂𝐶，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝑂𝐵；
(3)证明：连接𝐴𝐹，
∵𝐷是𝐵𝐶边上的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
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∵𝐴𝐷平分四边形𝐴𝐵𝐹𝐺的面积，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆四边形𝐴𝐷𝐹𝐺，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆四边形𝐴𝐷𝐹𝐺，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐺= 𝑆△𝐶𝐸𝐹．
∵𝐸是𝐴𝐶边上的中点，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐹= 𝑆△𝐶𝐸𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐺= 𝑆△𝐴𝐸𝐹，
∴𝐺𝐸= 𝐹𝐸．
在△𝐴𝐸𝐺和△𝐶𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐸= 𝐶𝐸,
∠𝐴𝐸𝐺= ∠𝐶𝐸𝐹,
𝐺𝐸= 𝐹𝐸,
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐶𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸𝐶𝐹，
∴𝐴𝐺∥𝐵𝐶．
【分析】（1）先求出𝐵𝐷= 𝐶𝐷，根据三角形的面积公式可得答案；
（2）由三角形面积和中线的性质，先证𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐵𝑂𝐶，再根据中线的性质，证𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷，即可得
答案；
（3）由三角形面积、三角形的中线、𝐴𝐷平分四边形𝐴𝐵𝐹𝐺的面积，证明𝑆△𝐴𝐸𝐺= 𝑆△𝐶𝐸𝐹，再证𝑆△𝐴𝐸𝐺=
𝑆△𝐴𝐸𝐹，得𝐺𝐸= 𝐸𝐹，再证△𝐴𝐺𝐸≌△𝐶𝐹𝐸，得∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸，即可得答案．
【详解】（1）解：∵𝐷是𝐵𝐶边上的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 20 = 10；
（2）略；
（3）略．
6．（25-26 七年级下·山西运城·期末）阅读与思考
再探判定三角形全等的条件
几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它
们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合．
回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形
全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯
一三角形．
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小红：已知∠𝐴= 120°,𝐴𝐶= 4cm, 𝐵𝐶= 7cm．
如图．
小丽：已知∠𝐴= 90°, 𝐴𝐵= 3cm,𝐵𝐶= 4cm．
……
任务：
(1)按照小丽的条件，作出△𝐴𝐵𝐶（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“SSA”未作为判定三角形全等方法，一定有“SSA”不成立
的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）．
(3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条𝐵𝐷, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶钉在同一点𝐵处．此时𝐵𝐷平
分∠𝐴𝐵𝐶，𝑃是𝐵𝐷上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在𝑃处，另一端分别钉在
木条𝐵𝐴, 𝐵𝐶上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2．
通过测量发现模型2 中四边形𝐵𝑀𝑃𝑁面积比模型1 中四边形𝐵𝐸𝑃𝐹面积大10cm2，且𝐵𝑁= 2𝐵𝐹, 𝐵𝑀=
𝐵𝐸．此时四边形𝐵𝐸𝑃𝐹的面积为______cm2，请说明钉出两种不同模型的原因．
【答案】(1)解：如图，△𝐴𝐵𝐶即为所求；
(2)解：如图，△𝐴𝐵𝐶1，△𝐴𝐵𝐶2即为所求；
(3)20，两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一
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【分析】（1）根据要求逐步作图即可；
（2）作∠𝐵= 45°，在角的一边上截取𝐴𝐵= 4cm，再以𝐴为圆心，3cm为半径画弧交角的另一边于𝐶1,𝐶2，
进一步完成作图即可；
（3）证明当𝐵𝐸= 𝐵𝐹时，△𝐵𝑃𝐸≌△𝐵𝑃𝐹(SSS)或(SAS)，在图2 中，𝐵𝑀≠𝐵𝑁，𝐵𝐾= 𝐵𝑀，可得△
𝐵𝑀𝑃≌△𝐵𝐾𝑃(SAS)，而△𝐵𝑀𝑃,△𝐵𝑁𝑃不全等，可得当𝐵𝐹= 𝐵𝐾= 𝐵𝐸= 𝐵𝑀时，△𝐵𝐸𝑃,△𝐵𝐹𝑃,△𝐵𝑀𝑃,△
𝐵𝐾𝑃全等，进一步分析求解.
【详解】（1）解：作直线𝐴𝐷，过𝐴作直线𝐴𝐷的垂线，在垂线上截取𝐴𝐵= 3cm，在直线𝐴𝐷上取点𝐶，且
𝐵𝐶= 4cm，则△𝐴𝐵𝐶即为所求；
作图略
（2）解：作∠𝐵= 45°，在角的一边上截取𝐴𝐵= 4cm，再以𝐴为圆心，3cm为半径画弧交角的另一边于
𝐶1,𝐶2，则𝐴𝐶1 = 𝐴𝐶2 = 3cm，
显然：△𝐴𝐵𝐶1，△𝐴𝐵𝐶2两个三角形不全等.
作图略
（3）解：如图，在图2 的𝐵𝐶上截取𝐵𝐾= 𝐵𝑀，连接𝑃𝐾，
在图1 中，
∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃，𝑃𝐸= 𝑃𝐹，𝐵𝑃= 𝐵𝑃，
此时△𝐵𝑃𝐸,△𝐵𝑃𝐹不一定全等，
当𝐵𝐸= 𝐵𝐹时，
∴△𝐵𝑃𝐸≌△𝐵𝑃𝐹(SSS)或(SAS)，
在图2 中，𝐵𝑀≠𝐵𝑁，𝐵𝐾= 𝐵𝑀，
∴△𝐵𝑀𝑃≌△𝐵𝐾𝑃(SAS)，而△𝐵𝑀𝑃,△𝐵𝑁𝑃不全等，
∵𝐵𝐸= 𝐵𝑀，
∴当𝐵𝐹= 𝐵𝐾= 𝐵𝐸= 𝐵𝑀时，
∴△𝐵𝐸𝑃,△𝐵𝐹𝑃,△𝐵𝑀𝑃,△𝐵𝐾𝑃全等，
∴△𝐵𝐸𝑃,△𝐵𝐹𝑃,△𝐵𝑀𝑃,△𝐵𝐾𝑃的面积相等，
∵模型2 中四边形𝐵𝑀𝑃𝑁面积比模型1 中四边形𝐵𝐸𝑃𝐹面积大10cm2，
∴△𝑃𝐾𝑁的面积为10cm2，
∵𝐵𝑁= 2𝐵𝐹= 2𝐵𝐾，
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∴△𝐵𝑃𝐹的面积为10cm2，
∴模型1 中四边形𝐵𝐸𝑃𝐹面积为20cm2；
∴钉出两种不同模型的原因是：两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一.
7．（25-26 七年级下·贵州毕节·期末）【探究】
(1)如图1，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的中线，且𝐴𝐵> 𝐴𝐶，延长𝐴𝐷至点𝐸，使𝐸𝐷= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸 ，可证得△𝐴𝐷𝐶≌△
𝐸𝐷𝐵，其中判定两个三角形全等的依据为 ．
A． SSS B． SAS C． AAS D． ASA
【应用】
(2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求
证的结论转化到同一个三角形中．如图2，𝐸𝑃是△𝐷𝐸𝐹 的中线，若𝐸𝐹= 8，𝐷𝐸= 6，求出2𝐸𝑃的取值范
围．
【拓展】
(3)根据以上经验，如图3，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐷= 180°，连接𝐴𝐶 、 𝐵𝐷，𝐸是𝐴𝐶的中
点，证明：𝑂𝐸=
1
2 𝐵𝐷．
【答案】(1)B
(2)2 < 2𝐸𝑃< 14
(3)证明：如图3，𝐸是𝐴𝐶的中点，延长𝑂𝐸至点𝐻，使𝐸𝐻= 𝑂𝐸=
1
2 𝐻𝑂，连接𝐶𝐻，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝑂𝐸𝐴和△𝐻𝐸𝐶中，
{
𝑂𝐸= 𝐸𝐻
∠𝑂𝐸𝐴= ∠𝐻𝐸𝐶
𝐴𝐸= 𝐶𝐸
∴△𝑂𝐸𝐴≌△𝐻𝐸𝐶(SAS)，
∴𝑂𝐴= 𝐻𝐶，∠𝐸𝑂𝐴= ∠𝐸𝐻𝐶，
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∵𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴𝐻𝐶= 𝑂𝐵，
在△𝑂𝐶𝐻中，根据三角形内角和180°，
∴∠𝐻𝑂𝐶+ ∠𝑂𝐻𝐶+ ∠𝐻𝐶𝑂= 180°，
∴∠𝐻𝑂𝐶+ ∠𝐸𝑂𝐴+ ∠𝐻𝐶𝑂= 180°，
∵∠𝐻𝑂𝐶+ ∠𝐸𝑂𝐴= ∠𝐶𝑂𝐴，
∴∠𝐶𝑂𝐴+ ∠𝐻𝐶𝑂= 180°，
∵∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐷= 180°，∠𝐶𝑂𝐴+ ∠𝐷𝑂𝐵+ ∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐷= 360°，
∴∠𝐶𝑂𝐴+ ∠𝐷𝑂𝐵= 180°，
∴∠𝐻𝐶𝑂= ∠𝐷𝑂𝐵，
∵𝑂𝐶= 𝑂𝐷，
∴在△𝐻𝐶𝑂和△𝐵𝑂𝐷中，
{
𝐻𝐶= 𝑂𝐵
∠𝐻𝐶𝑂= ∠𝐷𝑂𝐵
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
，
∴△𝐻𝐶𝑂≌△𝐵𝑂𝐷(SAS)，
∴𝐻𝑂= 𝐵𝐷，
∵𝐸𝐻= 𝑂𝐸=
1
2 𝐻𝑂，
∴𝑂𝐸=
1
2 𝐵𝐷．
【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可．
（2）按照（1）中方法延长𝐸𝑃，使𝐸𝑃= 𝑃𝑄，利用三角形全等证明𝐷𝐸= 𝐹𝑄= 6，再利用三角形两边之和
大于第三边，两边之差小于第三边即可求出2𝐸𝑃的取值范围．
（3）按照（1）中方法延长𝑂𝐸，使𝐸𝐻= 𝑂𝐸=
1
2 𝐻𝑂，证明△𝑂𝐸𝐴≌△𝐻𝐸𝐶、△𝐻𝐶𝑂≌△𝐵𝑂𝐷即可证明出
结论．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
{
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐵𝐷𝐸
𝐴𝐷= 𝐸𝐷
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(SAS)，
（2）解：如图2，𝐸𝑃是△𝐷𝐸𝐹 的中线，𝐸𝐹= 8，𝐷𝐸= 6，延长𝐸𝑃至点𝑄，使𝐸𝑃= 𝑃𝑄，连接𝐹𝑄，则
𝑄𝐸= 2𝐸𝑃，
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在△𝐸𝐷𝑃和△𝑄𝐹𝑃中，
{
𝐸𝑃= 𝑃𝑄
∠𝐸𝑃𝐷= ∠𝑄𝑃𝐹
𝐷𝑃= 𝐹𝑃
∴△𝐸𝐷𝑃≌△𝑄𝐹𝑃(SAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐹𝑄= 6，
∵𝐸𝐹= 8，
∴在△𝐸𝐹𝑄，根据三角形三边关系得，
∴𝐸𝐹+ 𝐹𝑄= 8 + 6 = 14 > 𝐸𝑄，
∴𝐸𝐹−𝐹𝑄= 8 −6 = 2 < 𝐸𝑄，
∴2 < 𝐸𝑄< 14，
∵𝑄𝐸= 2𝐸𝑃，
∴2 < 2𝐸𝑃< 14．
（3）略
迁移创新
1.（河北沧州·三模）如图，甲、乙二人分别从𝐴地前往𝐵地，若𝐴，𝐵两地之间的距离为8千米，甲行走的路
线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案
即可）
【答案】9（答案不唯一）
【分析】延长𝐴𝐷、𝐵𝐸交于点𝐹，连接𝐵𝐷，证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐴𝐸𝐵得到𝐴𝐶= 𝐴𝐹，𝐵𝐶= 𝐵𝐹，推出𝐴𝐹+ 𝐵𝐹=
11千米，由三角形的三边关系得𝐷𝐸+ 𝐵𝐸> 𝐵𝐷，𝐴𝐷+ 𝐵𝐷> 𝐴𝐵，推出𝐷𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷> 8，由𝐷𝐹+ 𝐸𝐹>
𝐷𝐸，得到𝐷𝐸+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸< 11，进而得到8 < 𝐷𝐸+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸< 11，即可求解．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐷、𝐵𝐸交于点𝐹，连接𝐵𝐷，
由题意可得𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 11千米，𝐴𝐵= 8千米，
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∵ ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐵= 𝛼，∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐹𝐵𝐴= 𝛽，𝐴𝐵= 𝐴𝐵，
∴ △𝐴𝐶𝐵≌△𝐴𝐸𝐵(ASA)，
∴ 𝐴𝐶= 𝐴𝐹，𝐵𝐶= 𝐵𝐹，
∴ 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 11千米，
∵ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸> 𝐵𝐷，𝐴𝐷+ 𝐵𝐷> 𝐴𝐵，
∴ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷> 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵，
即𝐷𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷> 𝐴𝐵= 8，
∵ 𝐷𝐹+ 𝐸𝐹> 𝐷𝐸，
∴ 𝐴𝐹−𝐴𝐷+ 𝐵𝐹−𝐵𝐸> 𝐷𝐸，
∴ 𝐷𝐸+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸< 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹= 11，
∴ 8 < 𝐷𝐸+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸< 11，
∴乙行走的路线可能为9（答案不唯一）．
2．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离．
(1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点
方案：第一步：在C 点处面向B 点的方向站好，调整帽子，使视线从A 点通过帽檐正好落在B 点；
第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D 点通过帽檐正好落在F 点．
示意图：
原理：
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐹，𝐷𝐸⊥𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐵= _______ = 90°．
又∵𝐴𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸（______ ），
∴𝐵𝐶=______．
(2)任务2：测量输电线路长度
任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B 处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺
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无法直接量出A、B 间的距离，请你设计一个方案，测出A、B 间的距离，并作出示意图．
方案：第一步：________________________；
第二步：________________________；
（可适当添加步骤）……
示意图（请按方案补充完整）
【答案】(1)∠𝐷𝐸𝐹，ASA，𝐸𝐹
(2)在池塘外取可同时到达𝐴、𝐵的点𝐶，连接AC 并延长至点𝐷，使𝐶𝐷= 𝐴𝐶；连接𝐵𝐶并延长至点𝐸，使
𝐶𝐸= 𝐵𝐶；
测量𝐷𝐸的长度，𝐷𝐸的长度就是𝐴、𝐵两点间的距离．
【分析】（1）由𝐴𝐶⊥𝐵𝐹 ，𝐷𝐸⊥𝐵𝐹 可得两个直角相等，根据条件可以看出两角夹一边，即𝐴𝑆𝐴判定两
个三角形全等，进而得到三角形对应边相等；
（2）通过构造△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(SAS) ，得到𝐴𝐵= 𝐷𝐸，通过测量𝐷𝐸的长度即可．
【详解】（1）∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐹 ，𝐷𝐸⊥𝐵𝐹 ，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹= 90°，
∵𝐴𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸（ASA），
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹
（2）第一步：在池塘外取可同时到达𝐴、𝐵的点𝐶，连接𝐴𝐶并延长至点𝐷，使𝐶𝐷= 𝐴𝐶；连接𝐵𝐶并延长至
点𝐸，使𝐶𝐸= 𝐵𝐶；
第二步：测量𝐷𝐸的长度，𝐷𝐸的长度就是𝐴、𝐵两点间的距离．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，
𝐴𝐶= 𝐷𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸 ，𝐵𝐶= 𝐸𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(SAS) ，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸
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图略
