文档内容
第 02 讲 全等三角形的判定
课程标准 学习目标
1. 掌握全等三角形的几种判定方法。
①全等三角形的判定 2. 掌握直角三角形的判定方法。
②直角三角形的全等判定 3. 能够熟练运用全等三角形的判定方法判定全等。
4. 对全等三角形的应用
知识点01 边边边（SSS）判定全等
1. 概念：
三条边 分别对应相等的两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
题型考点：①添加全等判定条件。②全等判定。
【即学即练1】
1．如图，已知AB＝DC，若用定理SSS证明△ABC≌△DCB，则需要添加的条件是（ ）
A．OA＝OD B．AC＝DB C．OB＝OC D．BC＝CB
【解答】解：∵AB＝DC，BC＝CB，
∴当添加AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SSS）．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，在△ACD和△ABD中，CD＝BD，AC＝AB．求证：△ACD≌△ABD．
【解答】证明：在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
知识点02 边角边（SAS）判定全等
1. 概念：
两边及其夹角 对应相等的两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】3．如图，在△ABF 和△DCE 中，点E、F在BC上，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能
用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（ ）
A．BE＝CF B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC
【解答】解：A、由 BE＝CF，得到 BF＝CE，又 AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，由 SAS 能判定
△ABF≌△DCE，故A符合题意；
B、∠B＝∠C，又AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，由AAS能判定△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
C、∠A＝∠D，又AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，由ASA能判定△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
D、AB＝DC，AF＝DE，∠AFB，∠DEC 分别是 AB、DC 的对角，因此不能用 SAS 判定
△ABF≌△DCE，故D不符合题意．
故选：A．
【即学即练2】
4．如图，点D在线段BE上，AB∥CD，AB＝DE，BD＝CD．△ABD和△EDC全等吗？为什么？
【解答】解：△ABD和△EDC全等，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDE，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（SAS）．
知识点03 角边角（ASA）判定全等
1. 概念：
两角及其夹边 对应相等的两个三角形全等。2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】
5．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，
那么需要补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠E
【解答】解：需要补充的条件是∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故选：B．
【即学即练2】
6. （2023春•东明县期末）如图，点 F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AF＝DC，求证：
△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠BCA，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
知识点04 角角边（AAS）判定全等
3. 概念：
两角及其其中一个角的对边 对应相等的两个三角形全等。
4. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】
7．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA
【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2 不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；
B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本选项不符
合题意；
C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本
选项符合题意；
D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
8．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于 E．AD 与 BE 交于 F，若 BF＝AC，求证：
△ADC≌△BDF．【解答】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC+∠AEF+∠AFE＝180°，∠BDF+∠BFD+∠DBF＝180°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
知识点05 直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等
5. 概念：
直角三角形的 斜边与其中一条斜边 对应相等的两个三角形全等。
6. 数学语言：
如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF。
题型考点：①添加全等判定条件。
②全等判定。
【即学即练1】
9．如图，DC⊥AE，垂足为 C，且 AC＝CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是
（ ）
A．CE＝BC B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠E
【解答】解：AB＝DE，理由是：∵DC⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
故选：B．
【即学即练2】
10．如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点A在BC上，且AE＝
CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【解答】证明：∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝∠FBC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝CB，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
寻找全等判定条件的方法总结：题型01 补充判定全等的条件
【典例1】
如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（ ）
A．AC＝DF B．∠E＝∠B C．AB＝DE D．DE∥AB
【解答】解：A、∵∠A＝∠D，BC＝EF，添加AC＝DF，
∴不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意；
B、∵∠A＝∠D，BC＝EF，添加∠E＝∠B，
∴利用AAS能判定△ABC≌△DEF，本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠D，BC＝EF，添加AB＝DE，
∴不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，BC＝EF，添加DE∥AB，则∠A＝∠D，
∴不能判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意；
故选：B．
【典例2】
如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件（ ）A．BC＝ED B．AB＝AE C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
A、加上条件BC＝ED不能证明△ACB≌△ADE；
B、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ACB≌△ADE；
C、加上条件∠C＝∠D可利用ASA证明△ACB≌△ADE；
D、加上条件∠B＝∠E可利用AAS证明△ACB≌△ADE；
故选：A．
【典例3】
如图，∠1＝∠2，下列条件中不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠ADB＝∠ADC D．DB＝DC
【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项不符合题意；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意；
D、根据∠1＝∠2、DB＝DC和AD＝AD不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意；故选：D．
【典例4】
如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
【典例5】
如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（
）
A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF
【解答】解：A、可根据SAS判定△ABC≌△DEF，
故本选项不符合题意；
B、不能根据SSA判定△ABC≌△DEF，
故本选项符合题意；
C、根据AB∥DE，可得∠B＝∠DEF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF，
故本选项不符合题意；
D、可根据SSS判定△ABC≌△DEF，
故本选项不符合题意．
故选：B．
【典例6】
如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
【解答】解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
题型02 全等三角形的判定证明
【典例1】
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：△ABC≌△DFE．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
【典例2】
如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，点E在线段BD上，∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE．求证：
△ABD≌△ECD．
【解答】证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠EDC，在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS）．
【典例3】
如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
【典例4】
如图，∠C＝∠E，点 D 在 BC 边上，BC＝DE，∠1＝∠2，AC 和 DE 相交于点 O．求证：
△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠1+∠B，
即∠ADE+∠2＝∠1+∠B，
而∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠B，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
【典例5】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
求证：△AEC≌△BED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
题型03 全等三角形的判定与性质
【典例1】
已知锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点F，交AD于点E．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）若BD＝8，DC＝6，求线段EF的长度．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，
∴BD＝AD．
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠DAC．
在△BDE和△ADC中，，
∴△BDE≌△ADC（ASA）．
（2）解：∵△BDE≌△ADC，DC＝6，BD＝8，
∴BC＝BD+CD＝14，AD＝BD＝8，AC＝BE，DE＝CD＝6，
在Rt△BDE中，由勾股定理得 ，
∴AC＝BE＝10，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【典例2】
如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD（HL），
（2）解：AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD，
∴∠BCA＝∠CDE，
∵∠B＝∠DCE＝90°，
∴∠BCA+∠ACD＝90°，
∴∠CDE+∠ACD＝90°，
∴∠DFC＝180°﹣（∠CDE+∠ACD）＝90°，
∴AC⊥DE．
【典例3】
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【典例4】
如图，点B、F、C、E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，AD交BE于O．
（1）求证：△ACO≌△DFO；
（2）若BF＝CE．求证：AB∥DE．
【解答】证明：（1）∵AC∥FD，∴∠CAO＝∠FDO，
在△ACO与△DFO中
，
∴△ACO≌△DFO（AAS）；
（2）∵△ACO≌△DFO，
∴OF＝OC，
∵BF＝CE，
∴BO＝EO，
在△ABO与△DEO中
，
∴△ABO≌△DEO（SAS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
【典例5】
已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N
不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E
在直线AN上，且AE＝DE．
（1）如图，当∠ACB＝90°时；
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；
（2）当∠ACB＝ ，其它条件不变时，∠BDE的度数是 ．（用含 的代数式表示）
α α
【解答】（1）①证明：∵CA＝CB，BN＝AM，
∴CM＝CN，
在△BCM和△ACN中，，
∴△BCM≌△ACN（SAS）；
②解：∵△BCM≌△ACN，
∴∠CBM＝∠CAN，
∵AG∥BC，
∴∠CBM＝∠ADM，
∴∠ADM＝∠CAN，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAG＝90°，
∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝90°；
（2）解：当点E在直线AG上方时，由②同理可得∠BDE＝∠CAN+∠EAD，
∵∠ACB＝ ，
∴∠CAG＝ ，
α
∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝180°﹣ ，
α
当点E在直线AG下方时，
α
同理可得∠DBC＝∠CAN＝∠ADB，∠ACB＝∠DAC＝ ，
∵EA＝ED，
α
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠BDE＝∠DAC＝ ，
故答案为：180°﹣ 或 ．
α
题型04 全等三角形的应用
α α
【典例1】
王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
则两堵木墙之间的距离DE是（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
故选：C．
【典例2】
如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且
使BC＝CD．从点D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量
DE的长为28米，则A、B两点之间的距离为 2 8 米．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝28米．
故答案为：28．
【典例3】
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力
一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（
）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1.4（m），
答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
故选：D．
【典例4】
如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点 A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，
BE＝9cm，则该零件的面积为（ ）A．14 B．53 C．98 D．196
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE＝9cm，
∴AC＝ ＝ （cm），
∴BC＝ cm，
∴该零件的面积为 × × ＝53（cm2）．
故选：B．
1．如图，已知∠BCA＝∠BDA＝90°，BC＝BD．则证明△BAC≌△BAD的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【解答】解：∵∠BCA＝∠BDA＝90°，
在Rt△BAC和Rt△BAD中，，
∴Rt△BAC≌Rt△BAD（HL）．
故选：D．
2．如图，点A、B分别在OC、OD上，AD与BC相交于点E，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝40°，∠D＝
20°，则∠AEC等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠C＝∠D＝20°，
∴∠DAC＝∠O+∠D＝40°+20°＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣20°﹣60°＝100°．
故选：D．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．下列结论不一定成立
的是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．∠DAB＝∠BCD D．∠DAB＝∠ABC
【解答】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，AD＝BC．
所以A、B、C三项均成立，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交
AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线CG，若∠B＝40°，则∠FCG为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：如图：连接DE，FG，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
由作法可知：AD＝AE＝CF＝CG，DE＝FG，
在△ADE和△CFG中，
，
∴△ADE≌△CFG（SSS），
∴∠A＝∠FCG＝50°，
故选：B．
5．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝
∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝
∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中， ，∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴△ACF的面积＝△ABE的面积，
∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABE与△BDE的面积之和，
∵△ABC的面积为18，CD＝2BD，
∴△ABD的面积＝ ×18＝6，
∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABD的面积＝6；
故选：A．
6．如图，AD和CE是△ABC的高，交于点F，且BD＝FD＝4，CD＝7，则AF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD＝90°﹣∠B，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA）．
∴BD＝DF＝4，
∵AD＝7，
∴AF＝AD﹣FD＝7﹣4＝3，
∴AF的长是3．
故选：A．
7．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正
放置的四个正方形的面积依次是S 、S 、S 、S ，则S +S +S +S 的值为（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：如图，∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3，
同理可证FG2+LK2＝HL2＝1，
∴S +S +S +S ＝CE2+HL2＝1+3＝4．
1 2 3 4
故选：C．
8．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问
题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，
QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：
4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC
的长为（ ）
A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm
【解答】解：设：BM＝3xcm，则BN＝4xcm，
∵∠A＝∠B＝90°，
（1）当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM＝3x，BN＝AC，
又AM+BM＝42cm，
∴3x+3x＝42，
∴x＝7．
∴AC＝BN＝4x＝28cm；
（2）当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN，BM＝AC，
当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM，BN＝AC，
又AM+BM＝42cm，
∴3x+3x＝42，∴x＝7．
∴AC＝BN＝4x＝28cm；
当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN＝4x，BM＝AC＝3x，
又AM+BM＝42cm，
∴4x+3x＝42，
∴x＝6，
∴AC＝BM＝18cm；
故选：C．
9．如图，已知：AD与BC交于O点，OA＝OB，要使△AOC≌△BOD，添加一个你认为合适的条件为
．
【解答】解：OC＝OD，
理由是：∵在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
故答案为：OC＝OD或∠A＝∠B或∠C＝∠D．
10．在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中
OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝3cm，EF＝5cm，圆形容器的壁厚是 cm．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝3cm，
∵EF＝5cm，∴圆柱形容器的壁厚是 ×（5﹣3）＝1（cm），
故答案为：1．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分△BAC交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥AB
交AB于点F．若BF＝BE，AC＝4，DF＝3．则AE的长为 ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝DF＝3；
∴ ；
∵BE⊥AD，
∴∠E＝∠BFD＝90°；
在Rt△BFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴DE＝DF＝3，
∴AE＝AD+DE＝5+3＝8．
故答案为：8．
12．如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运
动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q
运动随之结束），当点P，Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，此时t＝ ．
【解答】解：分两种情况：
①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，可得
5＝7﹣2t，
解得：t＝1s，
②若△ACP≌△BQP，则AP＝BP，
2t＝7﹣2t，解得 ．
故答案为：1s或 ．
13．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，
AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
14．如图，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F
在射线AC上，连结AD，若AD＝AB．
求证：（1）∠AED＝∠AFD．
（2）AF＝AE+BC．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，
∠BAC+∠ANE+∠AED＝∠DNF+∠EDF+∠AFD＝180°，
∴∠AED＝∠AFD；
（2）如图，在FA上截取FM＝AE，连接DM，
在△AED与△MFD中，
，
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
∴∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，
在△ABC与△DAM中，
，
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF，
∴AF＝AE+BC．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B
向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动 秒时，AE＝ DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝ ，则∠ADE＝ （用含 的式子表示）．
α α
【解答】解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，
∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，
∴当AE＝ DC，时，8﹣2t＝ （12﹣2t），
解得t＝3，
故答案为：3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，
∴12﹣2t＝8，
解得t＝2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠BAC＝ ，AB＝AC，
α
∴∠ADE＝∠B＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ ．
α α
故答案为：90°﹣ ．
α
