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第 03 讲 全等三角形性质和判定
课程标准 学习目标
1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素；(重点)
①全等三角形的概念 2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形
②全等三角形的性质 全等；(重点)
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)
知识点01 全等三角形的概念和性质
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点
叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图， ，若 ，则 长度为
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学科网（北京）股份有限公司．
2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图， ， ，
则 ．
3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图， ， ， ，点B，C，D在同一直线
上，点E在 上，延长 交 于点F．
(1)求 的长；
(2)求 的度数．
知识点02 全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或
“ASA”）.
特别说明：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△ A'B'C' .
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以
写成“角角边”或“AAS”）
特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由
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学科网（北京）股份有限公司“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是
前者的推论.
【即学即练2】
1．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点 ， 在线段 上， ， ，
， 与 交于点 ．求证： ．
2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
知识点03 全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．
【即学即练3】
1．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△ 和△ 中， ， ， ， 四点在同一直线上，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点 、 在 上， ， ， ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的长．
题型01 全等三角形的性质
例题：（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图， ， ， ，垂足分别为 、
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图， ，若 ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知 ， 与 ， 与 是对应角，有下列
个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图， ，点 在边 上（不与点 ， 重合），
与 交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 与 的周长和；
题型02 用SSS证明两三角形全等
例题：（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ，
， ．求证： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南周口·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种
类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．
图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中 ， ．
(1)求证： ；
(2)小华发现 平分 ，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图， 是 上的两个动点，且
．
(1)若点 运动至图①所示的位置，且 ．试说明： ；
(2)若点 运动至图②所示的位置，仍有 ，则 还成立吗？请说明理由；
(3)若点 不重合，且 ，则 和 平行吗？请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图， 是 的中点，且 ．
(1)试说明： ；
(2)判断 和 的位置关系，并说明理由．
题型03 用ASA证明两三角形全等
例题：（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，点 在线段 上， ， ，
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图．在 和 中，点 ， ， ， 在同一条直线上．
已知 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上， ， ，
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ．
(2)若 ，求 的大小．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点 在一条直线上， ，
交 于点 ．试说明：
(1) ；
(2) 与 互相平分．
题型04 用AAS证明两三角形全等
例题：（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点 在同一条直线上，点 ， 分别在直
线 的两侧，且 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在 和 中， ，点 、 、
、 在同一条直线上，且 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）陈同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面
垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ），点 在 上，点A
和B分别与木墙的顶端重合．
(1)求证： ．
(2)求两堵木墙之间的距离．
3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图， 且 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
题型05 用SAS证明两三角形全等
例题：（23-24九年级下·福建南平·阶段练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上， ， ，
，求证： ．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，点B，F，C，E在一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在 中， ，延长 至点E，过点E作
，使 ，连接 交 于点D．
(1)求证： ；
(2)若G是 上一点，满足 ，连接 ，证明： ．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图， 平分 的延长线交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
题型06 添加条件使两三角形全等
例题：（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在 与 中，已知 ，在不添加任何
辅助线的前提下，依据“ ”证明 ，需再添加一个条件是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点 是 的中点，要使 ，还需要添加一个条
件可以是 ．（只需写出一种情况）
2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图， ， ，在不改变图形的情况下，请你添加一个
条件，使 ，则需添加的条件是 ．
3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，① ， ， ；② ， ，
；③ ， ， ；④ ， ， ；⑤ ， ，
．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号）
题型07 由三角形全等求时间或线段长
例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图， ， ， ，点 在线
段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．它们运动的时间
为 设点 的运动速度为 ，当 时，x的值为 ；当 时，x
的值为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，做一个“ ”字形框架 ，其中 ， ，
足够长， 于 ， 于点 ，点 从 出发向 运动，同时点 从 出发向 运动，使
运动的速度之比 ，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线 上取点 ，使 与
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学科网（北京）股份有限公司全等，则线段 的长为 ．
2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长方形 中， ， ，延长
至点 使 ，连接 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动．当
点 运动 秒时， 和 全等．
3．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在 中， ， ，点 在 上，且
；点 从 出发以每秒 的速度向点 运动，同时，点 从 出发向点 运动，设运动时间
为 秒，连接 、 ．
(1)用含 的式子表示 、 ；
(2)若点 的运动速度也为每秒 ， 为何值时， ；
(3)若点 的运动速度和点 的速度不相等，要使 ，则点 的运动速度为多少?全等时 为
多少?
题型08 利用全等图形求正方形网格中角度之和
例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在 的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已
知 ，则 和 的关系是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【变式训练】
1．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 .
2．如图，在 的正方形网格中标出了 和 ，则 度．
一、单选题
1．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图， ， ，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）
A． ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知 ， ， 和 全等，则下列表示
正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为 个边长相等的正方形的组合图形，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在 中， ，以 为边，作 ，
满足 ，点E为 上一点，连接 ， ，连接 ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题
6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图， ，点C，D，B，F在同一条直线上， ，
， ，则 的长为 ．
7．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在 中， ， ， ，则
．
8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图， ，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应
顶点，过点A作 ，垂足为点F，若 ，则 的度数为 ．
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 于点 ， 于点 ， 与
交于点 ， ，则 的长度为 ．
10．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在 中， ， 为 边上的高，
， ，点 从点 出发，在直线 上以 的速度移动，过点 作 的垂线交直线
于点 ．当点 运动 s时， ．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
11．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，点 是 的中点， 且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A， ， ， 在同一条直线上， ，
， ．
(1)求证： ；
(2) ．
13．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图， ，点A，F，C，E在一条直线上．
(1)求证： ；
(2)连接 ．若 ，求 的度数．
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知 和 均为直角三角形，
于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)试说明： ；
(2)连接 ，若 平分 ，求 的度数．
15．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图①，已知 ．
(1)求证 ．
(2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由．
(3)如图②，连接 ， 是不是 的平分线？请说明理由．
16．（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】
（1）如图①，在 中， ， 的平分线交 于点 ， 于点 ．
①试说明： ；
②如图②，点 是线段 上一点，连接 ，且 ，判断 与 之间的数量关系，并说
明理由；
【问题解决】
（2）若图②中的 是某市的一块空地， ， 和 是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在
区域内种植鲜花，已知 区域的面积为 ， ， ，求种植鲜花的面积
（即 的面积）．
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