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1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 分层作业 13.3.1.1 三角形的内角 目 录 A 组 巩固过关 题型01 已知两角求第三个角 题型02 利用方程思想求解三角形的内角 题型03 利用平行线求三角形内角度数 题型04 利用三角板求三角形内角度数 题型05 翻折问题中求三角形内角度数 题型06 利用整体思想求三角形内角度数 题型07 三角形内角和实际应用 题型08 三角形内角和综合应用 B 组 能力进阶 C 组 思维拔高 拓展 链接中考 已知两角求第三个角 1． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°,∠𝐵= 20°，则∠𝐶的度数为（ ） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为180°，已知两个角的度数，第三个角可 通过180°减去已知两角的和求得． 【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴= 60°,∠𝐵= 20°，根据三角形内角和定理，得： ∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −60° −20° = 100°， 故选：C． 题型01 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 2.根据条件，在△ABC 中，求∠A 的度数： (1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________； (2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________； 【答案】(1)60°；(2)80°；(3)30°. 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】(1)∵∠B＝70°，∠C＝50°，∴∠A＝180°－70°－50°＝60°； (2)∵∠C＝20°，∠A＝∠B，∴∠A＝ 1 2×(180°－20°)＝80°； 故答案为：(1)60°；(2)80°； 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 利用方程思想求解三角形内角 3.若一个三角形的三个内角的比为1: 3: 4，则此三角形的最大内角度数是（ ） A．97.5° B．90° C．80° D．67.5° 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵三角形的三个内角和为180°， 设三个内角大小分别为：𝛼、3𝛼、4𝛼， ∴𝛼+ 3𝛼+ 4𝛼= 180°， 解得𝛼= 22.5°， ∴4𝛼= 4 × 22.5° = 90°， ∴此三角形的最大内角度数是90°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 4.(1)在△ABC 中，∠A＝ 1 2∠B＝ 1 3∠C， 求∠A 的度数： (2)在△ABC 中，∠𝐴= 50°, ∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，求三角形内角度数 【答案】30°. ∠𝐴= 50°,∠𝐵= 40°, ∠𝐶= 90° 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可． （2）本题主要考查三角形内角和定理的运用，掌握三角形内角和定理是关键． 【详解】（1）∵∠A＝ 1 2∠B＝ 1 3∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A. 由三角形内角和定理，得∠A＋2∠A＋3∠A＝180°， 题型02 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 解得∠A＝30°. （2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°， ∴50° + ∠𝐵+ 50° + ∠𝐵= 180°， 解得，∠𝐵= 40°， ∴∠𝐶= 50° + 40° = 90°， ∴∠𝐴= 50°,∠𝐵= 40°, ∠𝐶= 90°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 利用平行线求三角形内角度数 5.如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°,∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ） A．20° B．30° C．80° D．100° 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质得到∠1 = ∠4 = 50°，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵𝑎∥𝑏， ∴∠1 = ∠4 = 50°， ∵∠3 = 100°， ∴∠2 = 180° −∠3 −∠4 = 30°． 6.如图，直线𝑎∥𝑏，直角△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴在直线𝑏上，已知∠𝐵= 90°，∠𝐶= 30°，边𝐴𝐶，𝐵𝐶与直线𝑎分别相交 于点𝐷，𝐸，若∠𝐶𝐸𝐷= 50°，则∠1的度数为( ) 题型03 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根 据三角形的内角和定理可求解∠𝐶𝐷𝐸的度数，∠𝐵𝐴𝐷的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：∵∠𝐶𝐸𝐷= 50°，∠𝐶= 30°，∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸= 180°， ∴∠𝐶𝐷𝐸= 180° −50° −30° = 100°， ∵∠𝐵= 90°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐶= 90° −30° = 60°， ∵ 𝑎∥𝑏， ∴∠1 + ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸= 100°， ∴∠1 = 100° −60° = 40°， 故选：B． 7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 70°，直线𝐷𝐸经过点A 且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若∠𝐷𝐴𝐵= 30°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．根 据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶， ∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 30°， ∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −30° −70° = 80°． 故选：B． 5 / 23 学科网（北京）股份有限公司 利用三角板求三角形内角度数 8.如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合， 则∠1的度数为（ ） A．100° B．120° C．135° D．105° 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关 键；如图，由题意易得∠𝐶= 30°，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°, ∠𝐶= 30°, ∠𝐷= 45°， ∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶， ∴∠𝐷= ∠𝐷𝐺𝐶= 45°， ∴∠1 = 180° −∠𝐶−∠𝐷𝐺𝐶= 105°； 故选D． 9.将一副三角板（∠𝐸= 30°）按如图方式摆放，使𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝐹𝑃𝐶=（ ） A．105° B．115° C．75° D．90° 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题 题型04 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到∠𝐹= 180° −90° −∠𝐸= 60°，然后由平行线的性质得到∠𝐹𝐶𝑃= ∠𝐴= 45°， 然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵∠𝐸= 30° ∴∠𝐹= 180° −90° −∠𝐸= 60° ∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵 ∴∠𝐹𝐶𝑃= ∠𝐴= 45° ∴∠𝐹𝑃𝐶= 180° −∠𝐹−∠𝐹𝐶𝑃= 75°． 故选：C． 翻折问题中求三角形内角度数 10.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，点𝐷为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐷𝐶沿直线𝐴𝐷折叠后，点𝐶落到点𝐸处， 若𝐷𝐸∥𝐴𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为（ ） A．70° B．110° C．80° D．100° 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根 据三角形的内角和得到∠𝐵𝐴𝐶= 110°，由折叠的性质得到∠𝐸= ∠𝐶= 30°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸， 根据平行线的性质得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸= 30°，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 110°， 由折叠的性质得，∠𝐸= ∠𝐶= 30°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶， ∵𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐵， ∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸= 30°， ∴∠𝐶𝐴𝐷= 40°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶= 110°， 故选：B． 11.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，将三角形纸片沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴落在𝐵𝐶边 题型05 7 / 23 学科网（北京）股份有限公司 上的点𝐹处，若𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，∠𝐵𝐷𝐹= 68°，则∠𝐴的度数为（ ） A．68° B．72° C．79° D．82° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到∠𝐴𝐸𝐹= 90°，∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐷𝐸= 112°，再由折叠的性质求出 ∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸的度数即可得到答案． 【详解】解：∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐹= 90°， ∵∠𝐵𝐷𝐹= 68°， ∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐷𝐸= 180° −∠𝐵𝐷𝐹= 112°， 由折叠的性质可得∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐸𝐹= 45°，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸= 56°， ∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐷𝐸= 79°． 12.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐵= 20°，点𝐷是边𝐵𝐶上的动点，将三角形纸片沿𝐴𝐷对折，使 点𝐵落在点𝐵′处，当𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶时，则∠𝐵𝐴𝐷=（ ） A．22° B．25° C．28° D．30° 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】利用折叠的性质和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：由折叠得，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′， 又∵ 𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐵′𝐷𝐵= 90°， ∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′ = 360°−∠𝐵′𝐷𝐵 2 = 360°−90° 2 = 135°， ∴ ∠𝐵𝐴𝐷= 180° −∠𝐵−∠𝐴𝐷𝐵= 180° −20° −135° = 25°． 8 / 23 学科网（北京）股份有限公司 利用整体思想求三角形内角度数 13.如图，∠𝐴𝐶𝑂= 30°，∠𝐴𝐵𝑂= 20°，∠𝐴= 50°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为__________． 【答案】100° 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理． 先求得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，根据∠𝐴𝐶𝑂= 30°，∠𝐴𝐵𝑂= 20°，可得∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵，即可求得∠𝐵𝑂𝐶． 【详解】解：∵∠𝐴= 50°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 130°， ∵∠𝐴𝐶𝑂= 30°，∠𝐴𝐵𝑂= 20°， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵−(∠𝐴𝐶𝑂+ ∠𝐴𝐵𝑂) = 80°， ∴∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 100°． 14．如图，点𝐸，𝐷分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上．若∠𝐵= 30°，∠𝐶= 55°，则∠1 + ∠2的度数为_____________． 【答案】∠1 + ∠2 = 85° 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟记三角形的内角和为180°．根据三角形的内角 和定理列式整理可得∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶，从而可求解． 【详解】解：∵∠1 + ∠2 + ∠𝐴= 180°，∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐴= 180°， ∴∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶， ∵∠𝐵= 30°，∠𝐶= 55°， ∴∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶= 30° + 55° = 85°． 15.在△𝐴𝐵𝐶中，点O 为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵角平分线的交点，∠𝐵𝑂𝐶= 128°，则∠𝐴=_______． 【答案】76°/76 度 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 题型06 9 / 23 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：如图， ∵点𝑂为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵角平分线的交点， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵. ∵∠𝐵𝑂𝐶= 128°， ∴ ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 180° −128° = 52°． ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 104°． 在△𝐴𝐵𝐶中，根据三角形内角和定理得 ∠𝐴= 180° −(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −104° = 76°． 三角形内角和实际应用 16.如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B 时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线𝐵𝑂−𝑂𝐶，点O 在点B 的南偏东30°方向上，且∠𝐵𝑂𝐶= 51°．若要在点C 恢复原设计的东西走向，必须保证∠𝑂𝐶𝐷的度数为 （ ） A．110° B．111° C．119° D．120° 【答案】B 【知识点】邻补角的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、与方向角有关 的计算题 【分析】延长𝐴𝐵交𝑂𝐶于点E，先求出∠𝐸𝐵𝑂= 60°，再根据三角形的内角和求出∠𝐵𝐸𝑂= 69°，进而由邻补 角的定义，得到∠𝐶𝐸𝐵= 111°，继而推导出∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐶𝐸𝐵= 111°，即可解答． 【详解】解：延长𝐴𝐵交𝑂𝐶于点E，如图 题型07 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐸𝐵𝑂= 90° −30° = 60°， ∵∠𝐵𝑂𝐶= 51°， ∴∠𝐵𝐸𝑂= 180° −∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐸𝐵𝑂= 69°， ∴∠𝐶𝐸𝐵= 180° −∠𝐵𝐸𝑂= 111°， ∵点C 恢复原设计的东西走向，即𝐶𝐷∥𝐴𝐵， ∴∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐶𝐸𝐵= 111°． 17.如图是A，B，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛 的北偏东20°方向． (1)从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是多少度？ (2)从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵是多少度？ 【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐶= 120° (2)∠𝐴𝐶𝐵= 40∘ 【知识点】两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查的是方向角的知识，熟练掌握方向角的定义、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据𝐷𝐴∥𝐵𝐸可求出∠𝐴𝐵𝐸= 100°，结合∠𝐶𝐵𝐸= 20°可得出∠𝐴𝐵𝐶= 120°； （2）根据三角形内角和定理可求出∠𝐴𝐶𝐵= 40∘． 【详解】（1）解：根据题意，得∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°，∠𝐸𝐵𝐶= 20°，𝐷𝐴∥𝐵𝐸． ∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐴= 180°． ∴∠𝐸𝐵𝐴= 180° −∠𝐷𝐴𝐵= 180° −80° = 100°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐵𝐶= 100° + 20° = 120°． （2）解：∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 80° −60° = 20°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶= 180° −20° −120° = 40°． 11 / 23 学科网（北京）股份有限公司 三角形内角和综合应用 18.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷，∠𝐶𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸交𝐵𝐷于点𝐸，∠𝐴𝐸𝐷= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 40°，则∠𝐶 的度数是________． 【答案】80°/80 度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先由垂线的定义得到∠𝐴𝐷𝐸= 90°，再由三角形内角和定理得到∠𝐷𝐴𝐸= 30°，则由角平分线的定义 可得∠𝐶𝐴𝐵= 2∠𝐶𝐴𝐸= 60°，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°， ∵∠𝐴𝐸𝐷= 60°， ∴∠𝐷𝐴𝐸= 180° −∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 30°， ∵𝐴𝐸是∠𝐶𝐴𝐵的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐵= 2∠𝐶𝐴𝐸= 60°， ∵∠𝐴𝐵𝐶= 40°， ∴∠𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐴𝐵𝐶= 80°． 19.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，分别交𝐶𝐷、𝐴𝐶于点𝐹、𝐸．若∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°， 求∠𝐶𝐹𝐵的度数． 【答案】125°/125 度 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义， 求出∠𝐵𝐶𝐹, ∠𝐶𝐵𝐹的度数，进而求出∠𝐶𝐹𝐵的度数即可. 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°,∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐶𝐵𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 90° −∠𝐴= 60°， 题型08 12 / 23 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐷= 20°， ∴∠𝐶𝐹𝐵= 180° −∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐶𝐵𝐹= 125°. 1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ） A．49° B．50° C．51° D．52° 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −28° −50° = 102°， ∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 1 2 × 102° = 51°． 2． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 46°，∠𝐶= 54°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶于𝐷，𝐷𝐸∥𝐴𝐵，交𝐴𝐶于点𝐸，则∠𝐴𝐷𝐸的 大小是（ ） A．40° B．43° C．46° D．54° 【答案】A 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质；根据三角形内角和定理求得 ∠𝐵𝐴𝐶= 80°，根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐷= 40°，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 46°，∠𝐶= 54°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −46° −54° = 80°， ∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， 13 / 23 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝐴𝐷= 40°， ∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 40°， 故选：A． 3.如果等腰三角形有一个角是40°，则它的顶角是_____________ 【答案】40°或100° 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中， 已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是40°， ∴当40°为顶角时，顶角为40°； 当40°为底角时，另一个底角也为40°，顶角为180° −40° −40° = 100°． ∴顶角为40°或100°， 故选D． 4.如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷外点𝐴1的位置，若∠1 + ∠2 = 240°，则∠𝐴=______ 【答案】30° 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据平角的性质得到∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 + ∠2 = 180° + 360° = 540°根据题意，得到 ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°再由图形翻折变换的性质得到∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 150°，根据三角形的内角 和即可得出结论． 【详解】解：∵∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 + ∠2 = 180° + 360° = 540° ，∠1 + ∠2 = 240°， ∴∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°， 根据折叠的性质可得：∠𝐴𝐷𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐴1,∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐴1， ∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷= 150°， ∴∠𝐴= 180° −(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 180° −150° = 30° ． 5.若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为 _________________________________________________________ 【答案】三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题、等腰三角形 14 / 23 学科网（北京）股份有限公司 的性质和判定 【分析】分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得𝑥，可得出三个 角的度数． 【详解】解 当底角为𝑥°、顶角为(2𝑥−20)°时，则根据三角形内角和为 180°可得 𝑥+ 𝑥+ 2𝑥−20 = 180， 解得𝑥= 50， 此时三个内角分别为50°、50°、80°； 当顶角为𝑥°、底角为(2𝑥−20)°时，则根据三角形内角和为 180°可得 𝑥+ 2𝑥−20 + 2𝑥−20 = 180， 解得𝑥= 44， 此时三个内角分别为44°、68°、68°； 当底角为𝑥°、(2𝑥−20)°时，则等腰三角形性质可得 𝑥= 2𝑥−20， 解得𝑥= 20， 此时三个内角分别为20°、20°、140°； 综上可知三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键． 6.如图，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线． (1)若∠𝐵= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数； (2)若∠𝐵= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，且𝛼> 𝛽，直接写出∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数（用含𝛼，𝛽的代数式表示）． 【答案】(1)∠𝐴𝐸𝐶= 110°，∠𝐷𝐴𝐸= 20° (2)∠𝐴𝐸𝐶= 90° + 𝛼−𝛽 2 ，∠𝐷𝐴𝐸= 𝛼−𝛽 2 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角 平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先利用三角形内角和求出∠𝐵𝐴𝐶，结合角平分线定义得到∠𝐶𝐴𝐸，再用内角和算出∠𝐴𝐸𝐶；根据 高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐷𝐴𝐶，最后作差得到∠𝐷𝐴𝐸； （2）先用三角形内角和表示出∠𝐵𝐴𝐶，结合角平分线得到∠𝐶𝐴𝐸，代入内角和公式化简求出∠𝐴𝐸𝐶；再由高 线推出∠𝐷𝐴𝐶，通过角度相减化简得到∠𝐷𝐴𝐸的代数式． 【详解】 （1）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −70° −30° = 80°， 15 / 23 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 × 80° = 40°， 在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −30° −40° = 110°， ∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° −∠𝐶= 90° −30° = 60°， ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 60° −40° = 20°； （2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −𝛼−𝛽， ∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 (180° −𝛼−𝛽) = 90° − 𝛼+𝛽 2 ， 在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −𝛽−(90° − 𝛼+𝛽 2 ) = 90° + 𝛼−𝛽 2 ， ∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° −∠𝐶= 90° −𝛽， ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= (90° −𝛽) −(90° − 𝛼+𝛽 2 ) = 𝛼−𝛽 2 ． 7.如图1、2、3 所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝑃． (1)如图1 所示，若∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为 ． (2)如图1 所示，如果∠𝐴= 80°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数； (3)如图2 所示，作△𝐴𝐵𝐶外角∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑁𝐶𝐵 的平分线交于点 𝑄，试探索∠𝑄，∠𝐴 之间的数量关系； (4)如图3 所示，延长线段𝐵𝑃，𝑄𝐶交于点𝐸，在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出∠𝐴 的度数． 【答案】(1)135° (2)130° (3)∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴 (4)45°或60°或120°或135° 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 16 / 23 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠𝑃𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝑃，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把∠𝑃𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝑃用∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵表示出来，再利用∠𝐴表示出来， 最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠𝐶𝐵𝑄和∠𝐵𝐶𝑄，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出∠𝐸𝐵𝑄的度数，然后由（3）求出的∠𝑄，利用三角形内角和求出∠𝐸，再分4 种情况 讨论，求出∠𝐴的度数． 【详解】（1）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 21°，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 24°， ∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃= 135°； （2）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃 = 180° −1 2 ∠𝐴𝐵𝐶−1 2 ∠𝐴𝐶𝐵 = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (180° −∠𝐴) = 90° + 1 2 ∠𝐴 = 90° + 1 2 × 80° = 130°； （3）解：∵𝐵𝑄，𝐶𝑄分别是∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑁的角平分线， ∴∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 ∠𝐵𝐶𝑁， ∵∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∵∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐵𝐶𝑄+ ∠𝑄= 180°， ∴ 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴+ 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) + ∠𝑄= 180°， ∴∠𝐴+ 1 2 (180° −∠𝐴) + ∠𝑄= 180°， ∴∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴； （4）解：∵𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝑄是∠𝐶𝐵𝑀的角平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐶𝐵𝑀， 17 / 23 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°， ∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀) = 90°， ∴∠𝑄𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90°， 由（3）知∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴， ∴∠𝐸+ ∠𝑄= 90°， ∴∠𝐸= 1 2 ∠𝐴， ∵在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，∠𝑄𝐵𝐸= 90°， ∴∠𝑄，∠𝐸都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①∠𝑄= 3∠𝐸， ∴90° − 1 2 ∠𝐴= 3 × 1 2 ∠𝐴， ∴2∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 45°； ②∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝐸， ∴3 × 1 2 ∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 60°； ③∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝑄， ∴3 (90° − 1 2 ∠𝐴) = 90°， ∴270° −1.5∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 120°， ④∠𝐸= 3∠𝑄， ∴3 (90° − 1 2 ∠𝐴) = 1 2 ∠𝐴， 解之得：∠𝐴= 135°， 综上可知：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°． 1．【综合问题】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐶𝐴的平分线相交于点G，𝐺𝐸⊥𝐴𝐶于点E，F 为AC 上的一点， 且𝐴𝐹= 𝐹𝐶，𝐺𝐻⊥𝐶𝐷于点H．下列说法：①𝐴𝐺⊥𝐶𝐺；②∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸；③𝑆△𝐴𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺；④若 ∠𝐸𝐺𝐻: ∠𝐸𝐶𝐻= 2: 7，则∠𝐸𝐺𝐻= 40°．其中正确的有（ ） 小学 初中 18 / 23 学科网（北京）股份有限公司 A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等， 得∠𝐶𝐺𝐸= ∠𝐺𝐴𝐶，故∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360 度以及∠𝐸𝐺𝐻: ∠𝐸𝐶𝐻= 2: 7，得出∠𝐸𝐶𝐻= 180° × 7 9 = 140°，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此 题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的 面积公式、角平分线的概念． 【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°， ∵∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐶𝐴的平分线相交于点G， ∴∠𝐺𝐴𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐴= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 × 180° = 90°， ∵∠𝐺𝐴𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐺𝐶= 180° ∴∠𝐴𝐺𝐶= 90°，𝐴𝐺⊥𝐶𝐺； 故①是正确的； ②中，∵∠𝐴𝐺𝐶= 90°，𝐺𝐸⊥𝐴𝐶 ∴∠𝐺𝐴𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐴= 90°，∠𝐶𝐺𝐸+ ∠𝐺𝐶𝐴= 90° ∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸 故②是正确的； ∵𝐴𝐹= 𝐶𝐹， ∴𝑆△𝐴𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺（等底同高）； 故③是正确的； 在四边形𝐺𝐸𝐶𝐻中，∠𝐸𝐺𝐻+ ∠𝐸𝐶𝐻= 180°． 又∠𝐸𝐺𝐻: ∠𝐸𝐶𝐻= 2: 7， 则∠𝐸𝐺𝐻= 180° × 2 9 = 40°， 故④是正确的． 故选：A． 2．【分类讨论】如图，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，点𝐹为边𝐴𝐵 上一点，当△𝐴𝐷𝐹为直角三角形时，∠𝐵𝐷𝐹的度数为__________________． 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 【答案】15°或65° 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】分∠𝐴𝐹𝐷= 90°和∠𝐴𝐷𝐹= 90°两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定 理求解即可． 【详解】解：∵ 𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 50°， ∴ ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 25°， 当∠𝐴𝐹𝐷= 90°时，∠𝐵𝐹𝐷= 90°， ∴ ∠𝐵𝐷𝐹= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 90° −25° = 65°； 当∠𝐴𝐷𝐹= 90°时，∠𝐶𝐷𝐹= 90°， ∵ ∠𝐶𝐵𝐷= 25°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°， ∴ ∠𝐵𝐷𝐶= 180° −∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐴𝐶𝐵= 180° −25° −80° = 75°， ∴ ∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐵𝐷𝐶= 90° −75° = 15° 综上，∠𝐵𝐷𝐹的度数为15°或65°． 3．【整体思想】如图，∠𝐴𝐵𝐸、∠𝐴𝐶𝐸 的角平分线𝐵𝐹、𝐶𝐹交于点𝐹，已知∠𝐵𝐸𝐶= 130°,∠𝐵𝐴𝐶= 30°，则 ∠𝐵𝐹𝐶=___________ 20 / 23 学科网（北京）股份有限公司 【答案】80° 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】连接𝐵𝐶，根据三角形内角和为180°，在△𝐵𝐸𝐶和△𝐴𝐵𝐶中得出∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 50°，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 150°，即可求出∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸，结合𝐵𝐹、𝐶𝐹是∠𝐴𝐵𝐸、∠𝐴𝐶𝐸的角平分线，求出∠𝐹𝐵𝐸+ ∠𝐹𝐶𝐸= 50°， 在△𝐵𝐹𝐶中，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接𝐵𝐶， 在△𝐵𝐸𝐶中，∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180° −∠𝐵𝐸𝐶, ∠𝐵𝐸𝐶= 130°， ∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐸𝐶= 180° −130° = 50°， 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°,∠𝐵𝐴𝐶= 30°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶= 180° −30° = 150°， 又∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸 = (∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐶) + (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐸𝐶𝐵) = (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 150° −50° = 100°， ∵𝐵𝐹、𝐶𝐹是∠𝐴𝐵𝐸、∠𝐴𝐶𝐸的角平分线， ∴∠𝐸𝐵𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐸, ∠𝐸𝐶𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐸， ∴∠𝐹𝐵𝐸+ ∠𝐹𝐶𝐸= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸) = 50°， ∴在△𝐵𝐹𝐶中： ∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= (∠𝐹𝐵𝐸+ ∠𝐹𝐶𝐸) + (∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 50° + 50° = 100°， ∴∠𝐵𝐹𝐶= 180° −(∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 180° −100° = 80°． 4．【新定义问题】新定义：在△𝐴𝐵𝐶中，若存在最大内角是最小内角度数的𝑛倍（𝑛为大于1 的正整数），则 △𝐴𝐵𝐶称为“𝑛倍角三角形”．例如，在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，∠𝐵= 60°，则∠𝐶= 30°，因为∠𝐴最大，∠𝐶最 小，且∠𝐴= 3∠𝐶，所以△𝐴𝐵𝐶为“3 倍角三角形”． 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (1)在△𝐷𝐸𝐹中，若∠𝐷= 20°，∠𝐸= 60°，则∠𝐹=______，△𝐷𝐸𝐹为“______倍角三角形”． (2)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 44°，∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线相交于点𝐷． ①求∠𝐴𝐷𝐵的度数． ②若△𝐴𝐵𝐷为“4 倍角三角形”，请求出∠𝐴𝐵𝐷的度数． 【答案】(1)100°，5 (2)①112°；②28°或40° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义； （1）根据三角形内角和定理求出∠𝐹，根据“𝑛倍角三角形”的定义判断； （2）①根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠𝐴𝐷𝐵； ②“𝑛倍角三角形”的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：（1）在△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸= 60°，∠𝐷= 20°， 则∠𝐹= 180° −∠𝐸−∠𝐷= 100°， ∴∠𝐹最大，∠𝐷最小，且∠𝐹= 5∠𝐷， ∴△𝐷𝐸𝐹为“5 倍角三角形”， 故答案为：100°，5； （2）①解：∵∠𝐶= 44°， ∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180° −44° = 136°， ∵∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶的角平分线相交于点𝐷， ∴∠𝐷𝐴𝐵= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐷𝐵𝐴= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴= 1 2 (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 1 2 × 136° = 68°， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 180° −(∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴) = 180° −68° = 112°， ②∵△𝐴𝐵𝐷为“4 倍角三角形”， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷或∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷， 当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷时，∠𝐴𝐵𝐷= 28°， 当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷时，∠𝐵𝐴𝐷= 28°，则∠𝐴𝐵𝐷= 180° −112° −28° = 40°， 综上所述，∠𝐴𝐵𝐷的度数为28°或40°． 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 1．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ） A．70° B．45° C．35° D．50° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】先判断出110°的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：∵等腰三角形有一个内角为110°， ∴这个等腰三角形的底角是 180°−110° 2 = 35°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底 角相等． 2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过△𝐴𝐵𝐶的顶点A，B 作𝐴𝐷∥𝐵𝐸．若∠𝐶𝐴𝐷= 25°，∠𝐸𝐵𝐶= 80°， 则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ） A．65° B．75° C．85° D．95° 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶= 80°，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵𝐴𝐷∥𝐵𝐸，∠𝐸𝐵𝐶= 80°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶= 80°， ∵∠𝐶𝐴𝐷= 25°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= 75°， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为1: 2: 3，这个三角形是______三角形 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求 出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：180° × 3 1+2+3 = 90°， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角．
