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1.1 探索勾股定理
课标要点
1.经历观察、猜想、网格探究、拼图验证的全过程，自主探索直角三角形的三边数量关系，
掌握勾股定理的推导过程，理解数形结合的数学思想。
2.熟记勾股定理文字表述与公式：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平
方，若直角边为a、b，斜边为c，则a2 + b2 = c2。
3.能够熟练运用勾股定理，已知直角三角形任意两条边长，求解第三条边长，解决基础的
边长计算问题。
4.能结合生活实际场景，将简单的实际问题抽象为直角三角形几何模型，利用勾股定理解
决基础实际应用问题。
5.了解勾股定理的历史文化背景，知晓我国古代在勾股定理研究中的成就，感受数学文化
价值，提升数学学习素养。
6.通过定理探究与验证，培养观察推理、合作探究、逻辑归纳的能力，初步掌握从特殊到
一般的数学探究方法。
学习重难点
重点：
1.掌握勾股定理的具体内容和标准公式，明确公式中直角边、斜边的对应关系，杜绝边的
对应混淆问题。
2.熟练掌握勾股定理的基础应用，可精准完成直角三角形已知两边求第三边的计算，掌握
基础计算格式与步骤。
3.能初步将简单实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决生活中的基础几何问
题。
难点：
1.理解并掌握面积割补法（拼图法） 验证勾股定理的原理，理清图形面积等量替换的逻
辑，突破数形转化的思维难点。
2.区分直角三角形中直角边与斜边，规避未指明直角边、斜边时的漏解、错解问题，初步
建立分类讨论的解题思维。
3.深度理解数形结合思想，掌握通过图形面积关系推导代数公式的方法，学会几何与代数
知识的联动运用。
第一章
勾股定理
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知识点
直角三角形三边的数量关系
勾股定理概念：在任意直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。直角边简称勾、股，斜边
称为弦。若直角边分别为a、b，斜边为c，那么三边满足：a2 + b2 = c2.
随学随练
1．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 8，则𝐴𝐶的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 8，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 = 10，
∴𝐴𝐶= 10．
2．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4，点𝑃是边𝐵𝐶上的动点，则𝐴𝑃长不可能是（ ）
易错提醒
1）公式仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不能使用；
2）平方和是两条直角边相加，不是斜边加直角边，切勿写成a2 + c2 = b2；
3）做题前必须分清斜边：斜边是直角对边，是三角形最长边。.
教材延伸
我国古代《周髀算经》最早记载 “勾三股四弦五”，是勾股定理最经典整数组合。
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A．2.5
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】利用勾股定理可得𝐴𝐶= 3，然后利用垂线段最短即可解答．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √52 −42 = 3，
根据垂线段最短，可知𝐴𝑃的长不可小于3，当P 和C 重合时，𝐴𝑃= 3，
由2.5 < 3，即𝐴𝑃长不可能是2.5．
3．在直角三角形中，斜边长为17，一条直角边长为8，则另一条直角边长是（ ）
A．7
B．8
C．10
D．15
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得
到结果．
【详解】解：设另一条直角边长为𝑥
∵该三角形是直角三角形，斜边长为17，一条直角边长为8
∴根据勾股定理可得𝑥2 + 82 = 172
整理得𝑥2 = 172 −82 = 289 −64 = 225
∵三角形边长为正数
∴𝑥= √225 = 15
知识点
勾股定理的经典几何面积证明（重点）
赵爽弦图法证明：用四个全等直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形面积 = 小正方形面积 + 四个直
角三角形面积，化简推导a2 + b2 = c2.
【补充说明】
1) 大正方形边长c，小正方形边长|a −b|；
2) 面积等式：c2 = (a −b)2 + 4 ×
1
2 ab，化简得a2 + b2 = c2.
随学随练
特别提醒
1）弦图是考试必考证明模型，图形拼接后内外正方形边长不要混淆；
2）计算面积时，直角三角形面积要乘
1
2，容易遗漏导致推导出错.
教材延伸
课本除赵爽弦图外，还有 “外补正方形” 拼图证法，核心思路均为等面积转化.
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1．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证
勾股定理的等式是（ ）
A．(𝑎+ 𝑏)2 = 4 ×
1
2 𝑎𝑏+ 𝑐2
B．(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2
C．(𝑎+ 𝑏)2 = (𝑏−𝑎)2 + 4𝑎𝑏
D．𝑎2 + 𝑏2 −2𝑎𝑏= (𝑎−𝑏)2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．
根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算．
【详解】解：大正方形的边长为𝑎+ 𝑏，面积为(𝑎+ 𝑏)2，
小正方形的边长为𝑐，面积为𝑐2，
四个直角三角形的面积都为
1
2 𝑎𝑏，
所以(𝑎+ 𝑏)2 = 4 ×
1
2 𝑎𝑏+ 𝑐2，
故选：A．
2．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；
乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出
的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲
B．乙
C．甲，乙都可以
D．甲，乙都不可以
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键．
由图形中的面积关系：梯形的面积=直角三角形的面积× 2 +等腰三角形的面积，正方形的面积=小正方形
的面积+直角三角形的面积× 4，化简即可求解．
【详解】解：甲同学的方案：
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由题意得等腰三角形的直角三角形；
∵梯形的面积=直角三角形的面积× 2 +等腰三角形的面积，
∴
1
2 (𝑎+ 𝑏)2 =
1
2 × 2 × 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，
∴整理得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
因此甲同学的方案可以证明勾股定理．
乙同学的方案：
∵大正方形的面积=小正方形的面积+直角三角形的面积× 4，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑐2 +
1
2 𝑎𝑏× 4，
∴𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 𝑐2 + 2𝑎𝑏，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
因此乙同学的方案可以证明勾股定理；
故选：C．
3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了
证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”
流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1 到图2 的变化的是（ ）
A．4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑏−𝑎)2 = 𝑐2
B．
1
2 (𝑎+ 𝑏)2 = 2 (
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2)
C．4𝑎𝑏+ (𝑏−𝑎)2 = 𝑐2
D．𝑎2 + 𝑎𝑏+ 𝑎× (𝑏−𝑎) = 𝑐2
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键；
根据两个图形面积相等，列式，即可求解；
【详解】解：根据题意，列式可得：4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑏−𝑎)2 = 𝑐2，
故选：A
知识点
已知直角三角形两边，求第三边
定义：已知直角三角形任意两条边长，分两种情况代入勾股定理变形公式计算第三边.
【补充说明】① 已知两直角边，求斜边：c = √a2 + b2；
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② 已知一条直角边、斜边，求另一直角边：a = √c2 −b2、b = √c2 −a2.
随学随练
1．已知一个直角三角形的两边长分别为2 和3，则第三边长的平方是（ ）
A．5
B．13
C．5 和7
D．5 或13
【答案】D
【分析】分情况讨论已知边是直角边还是斜边，避免漏解．
【详解】解：已知直角三角形两边长为2 和3，未明确两条边是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①当2 和3 都是直角边时，第三边为斜边，
由勾股定理得，第三边长的平方为 22 + 32 = 13；
②当3 为斜边，2 为直角边时，第三边为另一条直角边，
由勾股定理得，第三边长的平方为 32 −22 = 5；
∴第三边长的平方是5 或13．
2．已知直角三角形的两边分别为6 和8，则斜边上的高是（ ）．
A．10
B．
24
5
C．
24
5 或
3√7
2
D．
24
5 或10
【答案】C
【分析】本题需分两种情况讨论，即已知两边都为直角边，或8 为斜边，利用勾股定理求出第三边，再根
据三角形面积的两种表示方法求出斜边上的高．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当6和8均为直角边时，由勾股定理，斜边𝑐= √62 + 82 = √100 = 10，设斜边上的高为ℎ，三角形面积
𝑆=
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 10 × ℎ，∴ℎ=
6×8
10 =
24
5 ；
②当8为斜边，6为直角边时，由勾股定理，另一条直角边𝑎= √82 −62 = √28 = 2√7，设斜边上的高为
ℎ，三角形面积𝑆=
1
2 × 6 × 2√7 =
1
2 × 8 × ℎ，∴ℎ=
6×2√7
8
=
3√7
2 ，
综上，斜边上的高为
24
5 或
3√7
2 ．
3．直角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 9，𝐵𝐶= 12，则𝐴𝐶的长为________．
【答案】15 或3√7/3√7或15
【分析】需分𝐴𝐶为斜边和𝐴𝐶为直角边两种情况讨论，利用勾股定理计算𝐴𝐶的长．
易错提醒
题目未明确告知哪条边是斜边时，必须分类讨论，分两种情况计算，容易漏解丢分.
教材延伸
结合平方根运算，结果若开不尽方直接保留最简二次根式，不用强行化成小数.
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【详解】∵𝐴𝐵< 𝐵𝐶，故分两种情况讨论：
①当∠𝐵为直角时，𝐴𝐶为斜边，𝐴𝐵和𝐵𝐶为直角边，由勾股定理得：
𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √92 + 122 = √225 = 15；
②当∠𝐴为直角时，𝐵𝐶为斜边，𝐴𝐵和𝐴𝐶为直角边，由勾股定理得：
𝐴𝐶= √𝐵𝐶2 −𝐴𝐵2 = √122 −92 = √63 = 3√7；
综上所述，𝐴𝐶的长为15 或3√7．
知识点
勾股定理简单实际应用
概念：将生活、几何图形中的垂直结构抽象为直角三角形，利用三边平方关系求解长度、高度、距离。常
见模型：梯子靠墙、旗杆折断、小桥水深、长方形对角线.
随学随练
1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A 处，则
旗杆折断部分𝐴𝐵的高度是（ ）
A．5m
B．12m
C．13m
D．18m
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度𝐴𝐵= √52 + 122 = 13(m)．
故选：C．
2．如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树𝐴𝐵上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（𝐵𝐶）为12m的一棵大
树𝐶𝑀上，大树高𝐶𝑀= 8m，喜鹊的巢位于树顶下方1m的𝐷处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，
如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）
特别提醒
1）建模时找准垂直关系，没有直角无法使用勾股定理；
2）单位统一，题目边长单位不一致要先换算再计算.
教材延伸
后续章节立体图形最短路径、折叠几何压轴题，底层解题依据均为勾股定理.
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A．6.5s
B．6s
C．5.5s
D．5s
【答案】A
【分析】过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐶于𝐸，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐶于𝐸，如图所示：
由题意可知，𝐴𝐵= 𝐶𝐸= 2m, 𝐴𝐸= 𝐵𝐶= 12m,𝐷𝑀= 1m,𝐶𝑀= 8m，
∴𝐷𝐸= 8 −1 −2 = 5m，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为𝐴𝐷，由勾股定理可得𝐴𝐷= √𝐴𝐸2 + 𝐷𝐸2 =
√122 + 52 = 13，
∴它要飞回巢中所需的时间至少是13 ÷ 2 = 6.5(s)．
3．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根
竹子高1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3 尺处，那么折断处离地面的高度为___________尺．（1 丈
= 10尺）
【答案】4.55
【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为𝑥尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方
程求解即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为𝑥尺，
𝑥2 + 32 = (10 −𝑥)2，
解得𝑥= 4.55，
故答案为：4.55．
4．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的𝐴处向围墙上的𝐶处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离𝐵𝐷= 16
米，教学楼高𝐴𝐵= 15米，围墙高𝐶𝐷= 3米，问至少需要多长的彩旗带？
【答案】20m
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【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，求得𝐶𝐸, 𝐴𝐸，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，
则四边形𝐶𝐷𝐵𝐸是长方形，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 3m，𝐵𝐷= 𝐶𝐸= 16m，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 12m，
在Rt △𝐴𝐶𝐸中，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2，
∴𝐴𝐶= √122 + 162 = 20m，
答：至少需要20m的彩旗带．
知识点
勾股定理面积拓展
概念：以直角三角形三边向外分别作正方形，两条直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。设三
边正方形面积S1 = a2，S2 = b2，S3 = c2，则S1 + S2 = S3.
随学随练
1．勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的
正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形𝐵的面
积为9．正方形𝐶的面积为25，则正方形𝐴的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．34
易错提醒
只有直角三角形满足该面积规律，普通三角形无此等量关系；不要混淆直角边、斜边对应的正方形面积.
教材延伸
拓展图形可替换为等边三角形、半圆，面积依旧保持两小面积之和等于大面积.
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【答案】C
【详解】解：设正方形𝐵的边长为b，正方形𝐶的边长为c，正方形𝐴的边长为a，
∵三角形为直角三角形，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，即𝑎2 + 9 = 25，
∴𝑎2 = 16，即正方形𝐴的面积为16．
2．如图，分别以Rt △𝐴𝐵𝐶的直角边𝐴𝐵，𝐵𝐶为边向外作正方形，其面积分别为𝑆1，𝑆2，以斜边𝐴𝐶为直径
向外画半圆，其面积为𝑆3．若𝑆1 = 5，𝑆2 = 3，则𝑆3等于（ ）
A．𝜋
B．2𝜋
C．4𝜋
D．8𝜋
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到𝐴𝐶2 = 8，根据圆的面积公式，解答即可．
【详解】解：根据题意，得𝑆1 = 𝐴𝐵2, 𝑆2 = 𝐵𝐶2，且𝑆1 = 5，𝑆2 = 3，
∴𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 3 + 5 = 8，
根据勾股定理，得𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 = 8，
故圆的面积为𝜋(
𝐴𝐶
2 )
2
= 𝜋⋅
𝐴𝐶2
4 = 2𝜋，
根据题意，得𝑆3是半圆的面积，
故𝑆3 =
1
2 × 2𝜋= 𝜋；
3．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的
直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________．
【答案】50
【详解】解：如图，
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由勾股定理得：𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷2 = 𝐷𝐸2 −𝐶𝐸2 = 132 −122 = 25，
∴阴影部分的面积是𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 2𝐴𝐶2 = 2 × 25 = 50.
拓展
数学抽象素养
1.从方格纸直角三角形、生活垂直实物（梯子、旗杆）中剥离长度、直角等几何要素，抽象出标准直角三角
形模型，提炼三边字母a、b、c，把现实长度转化为代数符号。
2.区分 “图形边长” 与 “边长平方” 两个抽象量，理解正方形面积等价于边长平方，搭建几何图形到代数式
的抽象桥梁。
3.剔除无关实物信息，仅保留垂直、线段长度核心条件，建立通用直角三角形数学模型，能自主完成生活场
景数学建模。
活学活用
1．【综合与实践】
【主题】测量旗杆高度
【素材】某校八年1 班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升
旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为
2 米．
【实践探索】
如图②，小组成员站在旗杆𝐴𝐵左边，将绳子𝐴𝐶的下端𝐶拉开8 米，此时，下端𝐶刚好接触地面，且绳子
𝐴𝐶处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆𝐴𝐵的高度．
思考：你是否也能计算出旗杆𝐴𝐵的高度？请写出你的解答过程．
【答案】解：设旗杆𝐴𝐵高度为x 米，则绳子𝐴𝐶长度为(𝑥+ 2)米，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
即𝑥2 + 82 = (𝑥+ 2)2，
解得𝑥= 15，
即旗杆𝐴𝐵的高度为15 米．
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【分析】设旗杆𝐴𝐵高度为x 米，则绳子𝐴𝐶长度为(𝑥+ 2)米，利用勾股定理解Rt △𝐴𝐵𝐶即可．
【详解】略
2．如图1，有两棵树，一棵高18米（𝐴𝐵= 18米），另一棵高2米（𝐶𝐷= 2米），两树相距12米（𝐵𝐷= 12
米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高18米的树𝐴𝐵在点𝑀处折断，大树顶部落在点𝐷处，则树𝐴𝐵折断处𝑀距离地面多少
米？
【答案】(1)20米
(2)5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股
定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出𝐵𝑀的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为18 −2 = 16（米），两树相距12米（𝐵𝐷= 12米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= √162 + 122 = 20（米），
答：至少飞了20米；
（2）解：由勾股定理得：𝐵𝑀2 + 𝐴𝐵2 = 𝐴𝑀2，
∴𝐵𝑀2 + 122 = (18 −𝐵𝑀)2，
解得：𝐵𝑀= 5，
答：树𝐴𝐵折断处𝑀距离地面5米．
拓展
数学文化素养
1.了解我国《周髀算经》“勾三股四弦五” 记载，知晓勾股定理在中国古代的发展，感受传统数学成就；
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2.认识赵爽弦图的历史价值，体会古代数学家割补证明的巧妙思维，对比中西勾股定理研究时间，增强文化
自信。
活学活用
1．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时
期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为𝑎，较长的直角边长都为𝑏，斜边长都为
𝑐，大正方形的面积可以表示为𝑐2，也可以表示为4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2，由此推导出勾股定理：如果直角三
角形的两条直角边长分别为𝑎, 𝑏，斜边长为𝑐，则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
(1)【探索求证】
数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠𝐴= ∠𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸= 90∘，请你利用图②推
导勾股定理．
(2)【问题解决】
同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知
△𝐻𝑀𝑁中，𝐻𝑀= 13, 𝑀𝑁= 15, 𝐻𝑁= 14，作𝑀𝐾⊥𝐻𝑁，就可以计算出△𝐻𝑀𝑁的面积．请你完善解答过
程，求出△𝐻𝑀𝑁的面积．
【答案】(1)见解析
(2)84
【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解；
（2）根据勾股定理构造等量关系即可求得𝐻𝐾的长度，即可求解面积．
【详解】（1）解：∵𝑆梯形𝐴𝐵𝐸𝐷=
(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
2
=
1
2 (𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2) =
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2，
且𝑆梯形
𝐴𝐵𝐸𝐷=
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2 +
1
2 𝑎𝑏= 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，
∴
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2 = 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
（2）解：由题意设𝐻𝐾= 𝑥，
∵𝐻𝑀= 13,𝑀𝑁= 15,𝐻𝑁= 14，
∴𝐾𝑁= 𝐻𝑁−𝐻𝐾= 14 −𝑥．
∵𝑀𝐾⊥𝐻𝑁，
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∴∠𝑀𝐾𝐻= ∠𝑀𝐾𝑁= 90∘．
在Rt △𝑀𝐻𝐾中，
𝑀𝐾2 = 𝐻𝑀2 −𝐻𝐾2 = 132 −𝑥2.
在Rt △𝑀𝑁𝐾中，
𝑀𝐾2 = 𝑀𝑁2 −𝑁𝐾2 = 152 −(14 −𝑥)2.
∴132 −𝑥2 = 152 −(14 −𝑥)2，
解得𝑥= 5，
∴𝐻𝐾= 5，
∴𝑀𝐾= √132 −52 = 12．
∴𝑆△𝐻𝑀𝑁=
1
2 × 14 × 12 = 84．
2．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为𝑎，较小的直角边长
都为𝑏，斜边长都为𝑐），大正方形的面积可以表示为𝑐2，也可以表示为4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2，由此推导出重
要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为𝑎, 𝑏，斜边长为𝑐，则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积可表示为：______，也可以表
示为：______，由此可以推出𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
(2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄𝐶，河边原有两个取水点𝐴、𝐵，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
由于某种原因，由𝐶到𝐴的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点𝐻（𝐴、𝐻、𝐵
在同一条直线上），并新修一条路𝐶𝐻，且𝐶𝐻⊥𝐴𝐵．测得𝐶𝐻= 0.8千米，𝐻𝐵= 0.6千米，求新路𝐶𝐻比原路
𝐶𝐴少多少千米？
(3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第
（2）问中若𝐴𝐵≠𝐴𝐶时，𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 17，𝐴𝐵= 21，设𝐴𝐻= 𝑥，可以求𝐶𝐻的值，请帮小
明写出求𝐶𝐻详细完整的过程．
【答案】(1)
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2；
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2
(2)新路𝐶𝐻比原路𝐶𝐴少
1
30千米
(3)设𝐴𝐻= 𝑥，则𝐵𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐻= 21 −𝑥，
在Rt △𝐴𝐶𝐻中，𝐶𝐻2 = 𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2，
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在Rt △𝐵𝐶𝐻中，𝐶𝐻2 = 𝐵𝐶2 −𝐵𝐻2，
∴ 𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2 = 𝐵𝐶2 −𝐵𝐻2，即102 −𝑥2 = 172 −(21 −𝑥)2，
解得𝑥= 6，
∴ 𝐶𝐻= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2 = √100 −62 = 8．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面
积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，则𝐴𝐻= 𝑥−0.6，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果；
（3）在Rt △𝐴𝐶𝐻和Rt △𝐵𝐶𝐻中，由勾股定理得求出𝐶𝐻2 = 𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2 = 𝐵𝐶2 −𝐵𝐻2，列出方程求解即可
得到结果．
【详解】（1）解：梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2，也可以表示为
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，
∴
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2 = 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，即𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
（2）解：设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，
∴ 𝐴𝐻= 𝐴𝐵−𝐵𝐻= 𝑥−0.6，
在Rt △𝐴𝐶𝐻中，𝐴𝐻2 + 𝐶𝐻2 = 𝐴𝐶2，即(𝑥−0.6)2 + 0.82 = 𝑥2，
解得𝑥=
5
6，
即𝐴𝐶=
5
6（千米），
∴ 𝐴𝐶−𝐶𝐻=
5
6 −0.8 =
1
30（千米），
答：新路𝐶𝐻比原路𝐶𝐴少
1
30千米；
（3）解：略.
3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知𝑆1 = 15，𝑆2 = 21，求𝑆3的值；
(2)请根据图2 中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
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(3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知𝑆1 = 6，𝑆2 = 13，求𝑆3的值．
【答案】(1)36
(2)见解析
(3)19
【分析】（1）根据题意得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，再分别计算正方形的面积，即可完成求解；
（2）图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；
（3）结合题意，首先分别求出以a 为直径的半圆面积、以b 为直径的半圆面积、以c 为直径的半圆面积、
三角形的面积，根据图形特点表示出(𝑆1 + 𝑆2)，结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2，
∴𝑆3 = 𝑆1 + 𝑆2 = 15 + 21 = 36；
（2）解：∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻+ 4𝑆△𝐴𝐷𝐸．
即𝑐2 =
1
2 𝑎𝑏× 4 + (𝑏−𝑎)2，
化简得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
（3）解：由勾股定理可得：𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2．
∵𝑆1 = π (
𝑎
2)
2
=
π
4 𝑎2，𝑆2 = π (
𝑏
2)
2
=
π
4 𝑏2，𝑆3 = π (
𝑐
2)
2
=
π
4 𝑐2，
∴𝑆3 =
π
4 𝑐2 =
π
4 𝑎2 +
π
4 𝑏2 = 𝑆1 + 𝑆2，
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∴𝑆3 = 6 + 13 = 19．
题型
直接套用勾股定理计算
▌例1 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，两直角边长分别是6cm、8cm，则斜边的长是（ ）
A．2cm
B．10cm
C．14cm
D．24cm
【答案】B
【分析】由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，两直角边长分别是6cm、8cm，
∴斜边的长是√62 + 82 = 10cm．
▌对点练1-1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若𝐴𝐶= 5，𝐴𝐵= 13，则𝐵𝐶的长是( )
A．25
B．144
C．12
D．15
【答案】C
【分析】先根据∠𝐶= 90°确定𝐴𝐵是斜边，𝐴𝐶、𝐵𝐶是直角边，再利用勾股定理代入已知的𝐴𝐶和𝐴𝐵的长度
计算即可得到𝐵𝐶的长．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2．
即52 + 𝐵𝐶2 = 132，
解得𝐵𝐶= √144 = 12．
故选：C．
解题贴士
先找准直角，确定斜边c；套用公式a2 + b2 = c2，按需变形a = √c2 −b2、b = √c2 −a2；运算顺序先平
方、再加减、最后开算术平方根，长度舍去负根，根式结果化为最简二次根式.
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▌对点练1-2．如图所示，直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 7.5，𝐵𝐷=
8，𝐶𝐷= 4.5，则点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为（ ）
A．4.5
B．4.8
C．8
D．7.5
【答案】B
【分析】过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，交AB 于点E，先利用勾股定理求出𝐴𝐷的长，再用面积法即可得到答案．
【详解】解：过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，交AB 于点E，如下图：
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐷= 8，
∴𝐴𝐷= √102 −82 = 6，
∵
1
2 𝐴𝐷· 𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵· 𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸=
𝐴𝐷·𝐵𝐷
𝐴𝐵
=
6×8
10 = 4.8，即点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为：4.8
题型
直角三角形三边外接正方形面积换算题
▌例1 如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的
面积分别为144，225，那么正方形A 的面积是（ ）
解题贴士
直角边对应正方形面积S1 = a2，S2 = b2，斜边正方形S3 = c2，恒定满足S1 + S2 = S3；已知任意两块面
积，直接加减求第三块，省去求边长步骤.
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A．225
B．144
C．81
D．369
【答案】C
【详解】解：正方形A 的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知𝑆𝐴= 225 −144 =
81．
▌对点练1-1 如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8 和22 表
示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ）
A．17
B．14
C．15
D．16
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出𝐵𝐶2 = 25，则𝐸𝐹2 = 25，然后根据勾股定理求出𝐸𝐺2 = 17，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意，得𝐴𝐵2 = 3，𝐴𝐶2 = 22，𝐹𝐺2 = 8，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐹𝐺𝐸= 90°，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 22 + 3 = 25，
∵𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴𝐸𝐹2 = 25，
又∠𝐹𝐺𝐸= 90°，𝐹𝐺2 = 8，
∴𝐸𝐺2 = 𝐸𝐹2 −𝐹𝐺2 = 25 −8 = 17，
∴含有问号的那个正方形的面积是17．
▌对点练1-2 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°，分别以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的四条边为边，向外作
四个正方形，面积分别为𝑆1，𝑆2，S3，S4，若𝑆1 = 8，𝑆2 = 11，S3 = 15，则S4的值是（）
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A．18
B．19
C．26
D．34
【答案】A
【分析】连接对角线𝐴𝐶。因为∠𝐴𝐵𝐶= 90°和∠𝐶𝐷𝐴= 90°，所以△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶都是直角三角形，且它们
共用斜边𝐴𝐶，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到𝐴𝐶2与
四边形各边平方的关系，进而求出𝑆4。
【详解】解：如图所示，连接𝐴𝐶，
根据题意，𝐴𝐷2 = 𝑆1 = 8，𝐴𝐵2 = 𝑆2 = 11，𝐵𝐶2 = 𝑆3 = 15，𝐶𝐷2 = 𝑆4
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，根据勾股定理有：
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2
∴𝐴𝐶2 = 𝑆2 + 𝑆3 = 11 + 15 = 26
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐶𝐷𝐴= 90°，根据勾股定理有：
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2
∴𝐴𝐶2 = 𝑆1 + 𝑆4 = 8 + 𝑆4
∴26 = 8 + 𝑆4
∴𝑆4 = 26 −8 = 18
题型
无图，已知直角三角形两边求第三边
▌例1 若直角三角形的两条边为3 和4，那么第三边长为（ ）
A．1
B．5
C．7
D．5 或√7
【答案】D
【分析】分两种情况：边长为4 的边是直角边和边长为4 的边是斜边，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当边长为4 的边是直角边时，则第三边的长为√32 + 42 = 5，
当边长为4 的边是斜边时，则第三边的长为√42 −32 = √7，
综上所述，第三边的长为5 或√7．
解题贴士
斜边是三角形最长边，必须分两类讨论：①两条已知边全是直角边，求斜边；②长边为斜边，短边为直
角边，求另一条直角边；两种结果都要写，避免漏解扣分.
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▌对点练1-1 若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x 的值为（ ）
A．13
B．√119
C．13 或√119
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题需分两种情况讨论，利用勾股定理求解x 的值，因为x 可能是直角三角形的直角边或斜边．
【详解】解：当x 是直角边时，𝑥= √122 −52 = √119，
当x 是斜边时，𝑥= √52 + 122 = 13，
综上，x 的值为13 或√119，
故选：C．
▌对点练1-2 已知 △𝐴𝐵𝐶 中𝐴𝐷为𝐵𝐶 边上的高，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 12，△𝐴𝐵𝐶的面积为48，𝐴𝐵边长为
_____．
【答案】10或2√97
【分析】先利用三角形面积公式求出高𝐴𝐷的长度，再通过勾股定理求出𝐶𝐷的长，分𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部和外
部两种情况，结合勾股定理计算𝐴𝐵的边长即可得到答案；
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶的面积为48，𝐵𝐶= 12，𝐴𝐷为𝐵𝐶 边上的高，
∴𝐴𝐷= 8，
在△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐴𝐶= 10，𝐴𝐷= 8，根据勾股定理，得
𝐶𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √102 −82 = √100 −64 = √36 = 6，
①当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部时，点D 在线段𝐵𝐶上，
𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= 12 −6 = 6
在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴𝐷𝐵= 90°，𝐴𝐷= 8，𝐵𝐷= 6，根据勾股定理，得
𝐴𝐵= √𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √82 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10，
②当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶外部时，点D 在线段𝐵𝐶的延长线上，
𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 12 + 6 = 18，
在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴𝐷𝐵= 90°，𝐴𝐷= 8，𝐵𝐷= 18，根据勾股定理，得
𝐴𝐵= √𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √82 + 182 = √64 + 324 = √388 = 2√97，
故答案为：10或2√97．
题型
赵爽弦图边长、面积计算题
解题贴士
区分图形三个部分：大正方形边长为斜边c，内部小正方形边长|a −b|，四个全等直角三角形；核心面积
等式c2 = (a −b)2 + 4 ×
1
2 ab；计算三角形面积切勿遗漏
1
2，代入数值解方程求未知线段.
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▌例1 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4
个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦
图”，其中∠𝐴𝐵𝐶= 90°，阴影部分的面积是49，𝐴𝐵= 5，则大正方形𝐴𝐶𝐷𝐸的边长是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】由题意可知，𝐴𝐵= 𝐶𝐹= 5，由阴影部分的面积，可知阴影部分的边长为7，进而得出𝐵𝐶= 12，
再利用勾股定理，求出𝐴𝐶= 13，即可求解．
【详解】解：由题意可知，𝐴𝐵= 𝐶𝐹= 5，
∵阴影部分的面积是49，
∴阴影部分的边长为7，
∴𝐵𝐶−𝐶𝐹= 7
∴𝐵𝐶= 12，
∴ 𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 13，
即大正方形𝐴𝐶𝐷𝐸的边长是13．
▌对点练1-1 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是
由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，正方形𝑀𝑁𝐾𝑇的面积分别为𝑆1，
𝑆2，𝑆3．若正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为2，则𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3的值为（ ）．
A．6
B．8
C．12
D．16
【答案】C
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【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点．
设八个全等的直角三角形的短直角边为𝑎，长直角边为𝑏，斜边为𝑐，得到正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积𝑆2 = 𝑐2 = 4，
根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到𝑆1 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏，𝑆3 = 𝑐2 −2𝑎𝑏，整体代入得到𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 =
12．
【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为𝑎，长直角边为𝑏，斜边为𝑐，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
∵正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为2，
∴𝑆2 = 𝑐2 = 22 = 4，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为𝑆1 = (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 𝑐2 + 2𝑎𝑏，
正方形𝑀𝑁𝐾𝑇的面积为𝑆3 = (𝑏−𝑎)2 = (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 −2𝑎𝑏= 𝑐2 −2𝑎𝑏，
∴𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏+ 𝑐2 + 𝑐2 −2𝑎𝑏= 3 × 𝑐2 = 3 × 4 = 12．
▌对点练1-2 学习完勾股定理后，小明制作了“赵爽弦图”．他先将长为2𝑏，宽为𝑎的长方形分割成四个全等
的直角三角形，如图①所示，然后用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，经测量得长方形的面积为
182，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为6，则𝑎+ 𝑏=______
【答案】20
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得𝐴𝐻= 𝐷𝐺= 𝐶𝐹= 𝐵𝐸=
𝑏, 𝐴𝐸= 𝐷𝐻= 𝐶𝐺= 𝐵𝐹= 𝑎，则有𝐴𝐵2 = 𝑎2 + 𝑏2，然后可得𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 62 = 36，2𝑎𝑏= 182，
𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑎2 + 𝑏2 = 36 + 182 = 218，进而根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：𝐴𝐻= 𝐷𝐺= 𝐶𝐹= 𝐵𝐸= 𝑏, 𝐴𝐸= 𝐷𝐻= 𝐶𝐺= 𝐵𝐹= 𝑎，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理得：𝐴𝐵2 = 𝑎2 + 𝑏2，
∴𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝐴𝐵2 = 𝑎2 + 𝑏2，
∵长方形的面积为182，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为6，
∴𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 62 = 36，2𝑎𝑏= 182，
∴𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑎2 + 𝑏2 = 36 + 182 = 218，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 218 + 182 = 400，
∴𝑎+ 𝑏= 20；
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故答案为：20．
▌对点练1-3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用
八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，正方形𝑀𝑁𝐾𝑇的面积分别为𝑆1，
𝑆2，𝑆3．若𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 21，则𝑆2的值是_______ ．
【答案】7
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出
各边之间的关系，从而得出答案．
【详解】解：∵图中正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，正方形𝑀𝑁𝐾𝑇的面积分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3，
∴𝐶𝐺= 𝑁𝐺，𝐶𝐹= 𝐷𝐺= 𝑁𝐹，
∴𝑆1 = (𝐶𝐺+ 𝐷𝐺)2 = 𝐶𝐺2 + 𝐷𝐺2 + 2𝐶𝐺⋅𝐷𝐺= 𝐺𝐹2 + 2𝐶𝐺⋅𝐷𝐺，
𝑆2 = 𝐺𝐹2，𝑆3 = (𝑁𝐺−𝑁𝐹)2 = 𝑁𝐺2 + 𝑁𝐹2 −2𝑁𝐺⋅𝑁𝐹，
∵𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 21 = 𝐺𝐹2 + 2𝐶𝐺⋅𝐷𝐺+ 𝐺𝐹2 + 𝑁𝐺2 + 𝑁𝐹2 −2𝑁𝐺⋅𝑁𝐹= 3𝐺𝐹2，
∴𝑆2的值是：7．
故答案为：7．
题型
应用勾股定理解决简单的问题
▌例1 如图，某自动感应门的正上方A 处装着一个感应器，离地的高度𝐴𝐵为2.5米，当人体进入感应器的
感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生𝐶𝐷正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时
(𝐵𝐶= 1.2米），感应门自动打开，𝐴𝐷为多少米？
解题贴士
运用勾股定理解决实际问题时，首先梳理题干中的垂直线段，抽象构建直角三角形模型，统一所有长度
单位；存在未知边长则设未知数，结合线段间和差关系表示三边，区分直角边与斜边灵活选用勾股定理
及其变形式列式计算，抓住各自固定线段等量关系，计算只取算术平方根，根式化为最简形式，最后将
结果代入验证并结合题意完整作答.
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【答案】2.5米
【分析】过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，构造Rt △𝐴𝐷𝐸，利用勾股定理求得𝐴𝐷的长度即可．
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，
∵𝐴𝐵= 2.5米，𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 1.6米，𝐸𝐷= 𝐵𝐶= 1.2米，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 2.5 −1.6 = 0.9（米）．
在Rt △𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得到：𝐴𝐷= √𝐴𝐸2 + 𝐷𝐸2 = √0.92 + 1.22 = 2.5（米），
答：𝐴𝐷为2.5米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线
段𝐴𝐷的长度．
▌对点练1-1 某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例
缩小后得到），测得𝐴𝐶= 80cm，𝐵𝐶= 60cm，𝐴𝐵= 100cm．
(1)若入口E 在边AB 上，且𝐴𝐵= 2𝐵𝐸，求从入口E 到出口C 的距离（线段CE 的长度）；
(2)在（1）的条件下，若线段CD 是一条水渠，且点D 在边AB 上，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，求线段DE 的长度．
【答案】(1)50cm
(2)28cm
【详解】解：（1）∵𝐴𝐶= 80cm，𝐵𝐶= 60cm，𝐴𝐵= 100cm，802 + 602 = 1002，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴△ABC 为直角三角形，且∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
∵𝐴𝐵= 2𝐵𝐸，
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∴E 为AB 的中点，
∴𝐶𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 50cm．
（2）如图，过点C 作𝐶𝐹⊥𝐴𝐵交AB 于点F．
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐷，∴𝐸𝐹= 𝐷𝐹．
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐹，
∴𝐶𝐹=
80×60
100 = 48(cm)．
在Rt△CEF 中，根据勾股定理，得𝐸𝐹= √502 −482 = 14(cm)，
则𝐷𝐸= 2𝐸𝐹= 28cm．
▌对点练1-2 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼
发生火灾，在这栋楼的𝐵处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置𝐴与
楼房的距离为12米．
(1)求𝐵处与地面的距离．
(2)完成𝐵处的救援后，消防员发现在𝐵处的上方3米的𝐷处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小
孩，则消防车从𝐴处向着火的楼房靠近的距离𝐴𝐶为多少米？
【答案】(1)12米
(2)3米
【分析】（1）先根据勾股定理求出𝑂𝐵的长，进而可得出结论；
（2）由勾股定理求出𝑂𝐴的长，利用𝑂𝐶= 𝑂𝐴−𝑂𝐶即可得出结论．
【详解】（1）解：在Rt △𝑂𝐴𝐵中，
∵𝐴𝐵= 15米，𝑂𝐴= 12米，
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∴𝑂𝐵= √𝐴𝐵2 −𝑂𝐴
2 = √152 −122 = 9米
∴𝐵𝐸= 𝑂𝐵+ 𝑂𝐸= 9 + 3 = 12(米)．
答：𝐵处与地面的距离是12米；
（2）在Rt △𝑂𝐴𝐵中，
∵𝐶𝐷= 15米，𝑂𝐷= 𝑂𝐵+ 𝐵𝐷= 9 + 3 = 12(米)，
∴𝑂𝐶= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐷2 = √152 −122 = 9米
∴𝐴𝐶= 𝑂𝐴−𝑂𝐶= 12 −9 = 3(米)．
答：消防车从𝐴处向着火的楼房靠近的距离𝐴𝐶为3米．
基础通关
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，
某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他
们仅仅少走了（ ）m 路，却踩伤了花草
A．1
B．5
C．2
D．7
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出𝐴𝐵，再根据𝐴𝐶+ 𝐵𝐶−𝐴𝐵解答．
【详解】解：如图所示，根据题意，得𝐴𝐶= 3m，𝐵𝐶= 4m，∠𝐶= 90°，
根据勾股定理，得𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √32 + 42 = 5，
则𝐴𝐶+ 𝐵𝐶−𝐴𝐵= 3 + 4 −5 = 2(m)，
所以他们仅仅少走了2m路．
2．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐵𝐶= 6, 𝐴𝐶= 8，则𝐴𝐵的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．13
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【答案】C
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐵𝐶= 6, 𝐴𝐶= 8，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √82 + 62 = 10．
3．如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面3 m的𝐶处发生弯折，弯折后
的立柱顶端恰好落在距离立柱底部𝐴点4 m的位置𝐵处，则这根木质立柱原本的总高度为
A．8m
B．7m
C．5m
D．4m
【答案】A
【分析】根据勾股定理，得到𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 5m,结合这根木质立柱原本的总高度为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶求解即
可；
【详解】解：根据勾股定理，得到𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 5m，
故木质立柱原本的总高度为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 3 + 5 = 8(m)；
4．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为边作正方形．若𝐴𝐵= 6，正方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积为
9，则正方形𝐵𝐶𝐹𝐺的面积为（ ）
A．27
B．24
C．21
D．15
【答案】A
【分析】根据正方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积为9可得𝐴𝐶2 = 9，再在Rt △𝐴𝐵𝐶中利用勾股定理求出𝐵𝐶2的值，即为正
方形𝐵𝐶𝐹𝐺的面积．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐷𝐸𝐶为正方形，且面积为9，
∴𝐴𝐶2 = 9，
∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 6，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 = 62 = 36，
∴𝐵𝐶2 = 36 −𝐴𝐶2 = 36 −9 = 27，
∵四边形𝐵𝐶𝐹𝐺为正方形，
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∴正方形𝐵𝐶𝐹𝐺的面积为𝐵𝐶2 = 27．
5．一个直角三角形的两直角边长分别为7 和24，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为625
B．三角形的周长为84
C．斜边长为25
D．三角形的面积为168
【答案】C
【分析】利用勾股定理计算斜边长，再分别计算三角形的周长和面积，即可判断各选项的正误．
【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，
∴由勾股定理可得该直角三角形的斜边长为 √72 + 242 = √49 + 576 = √625 = 25，
∴该三角形的周长为7 + 24 + 25 = 56，
该直角三角形的面积为
1
2 × 7 × 24 = 84，
∴四个选项中只有C 选项中的说法正确，符合题意．
6．我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈
= 10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6 尺远，问折断处离地面的高度是多
少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）
A．𝑥2 + 62 = (10 −𝑥)2
B．62 = 102 −𝑥2
C．𝑥2 −62 = (6 + 𝑥)2
D．𝑥2 = (10 + 𝑥)2
【答案】A
【分析】将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设折断处离地面的高度为𝑥尺，
∵竹子原高一丈，一丈= 10尺，
∴未折断部分高度为𝑥尺，折断部分的长度为(10 −𝑥)尺，
∵抵地处到竹子底部的水平距离为6尺，三者构成直角三角形，折断部分为斜边，
∴根据勾股定理可得𝑥2 + 62 = (10 −𝑥)2．
7．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝑎= 10，则𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 =_______．
【答案】200
【分析】根据三角形边角对应关系，∠𝐴对边为斜边𝑎，利用勾股定理得到𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2，可将原式整理为
2𝑎2，再代入𝑎= 10计算即可．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，
故𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2；
∴𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑎2 = 2𝑎2，
∵𝑎= 10，
故2𝑎2 = 2 × 102 = 200，
即𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 200．
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8．公园内有两棵相距4m的树，一棵树高为5m，另一棵树高为8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵
树的顶端，小鸟至少要飞__________m．
【答案】
5
【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三
角形的斜边长，利用勾股定理即可求解；
【详解】解：根据题意画图如下：其中𝐴𝐵= 8m,𝐶𝐷= 5m, 𝐵𝐷= 4m，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷, 𝐶𝐷⊥𝐵𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
过C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵于𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 5m, 𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 4m，
∴两棵树的高度差𝐴𝐸= 8 −5 = 3m，两棵树的水平距离𝐶𝐸= 4m，
根据勾股定理可得𝐴𝐶= √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5(m)，
即小鸟至少要飞5m．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，分别以𝐴𝐶、𝐵𝐶为边向外作正方形，面积分别记为𝑆1、𝑆2，若𝑆1 =
6，𝑆2 = 3，则𝐴𝐵=________．
【答案】√3
【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方，求出𝐴𝐵的平方，进而求出𝐴𝐵．
【详解】解：由题意得：
𝑆1 = 𝐴𝐶2 = 6, 𝑆2 = 𝐵𝐶2 = 3，
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∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = 𝑆1 −𝑆2 = 6 −3 = 3，
∴𝐴𝐵= √3．
10．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的
正方形，直角三角形的直角边分别为𝑎，𝑏，斜边为𝑐，若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则
(𝑎+ 𝑏)2的值为________．
【答案】25
【分析】由题意得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 = 13，(𝑎−𝑏)2 = 1，进而得到2𝑎𝑏= 12，最后根据(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 +
2𝑎𝑏，即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，
∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 = 13，(𝑎−𝑏)2 = 1，
∴ 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 1
13 −2𝑎𝑏= 1
2𝑎𝑏= 12，
∴ (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 13 + 12 = 25．
11．如图，△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，点𝐴在𝐷𝐸上（点𝐴不与点𝐷，𝐸重
合）．写出线段𝐴𝐸，𝐴𝐷，𝐵𝐶之间的数量关系式：__________．
【答案】𝐴𝐸2 + 𝐴𝐷2 = 2𝐵𝐶2
【分析】连接𝐵𝐷，先证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)，根据全等三角形的性质可得𝐴𝐸= 𝐵𝐷，∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐷𝐵=
45°，结合勾股定理可得结论．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
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∵△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐸𝐷𝐶= 45°
∵∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐵= 90°
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷，∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐷𝐵= 45°
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐵
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐷𝐵为直角三角形
根据勾股定理可得：𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐵2，
∴𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐸2
∵在Rt △𝐴𝐶𝐵中，根据勾股定理有𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵2 = 2𝐵𝐶2，
∴𝐴𝐸2 + 𝐴𝐷2 = 2𝐵𝐶2.
12．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b 组成，a、b 之间的距离为1 米，在a、b 之间要
布置跨线工位𝐶𝐷，使得𝐶𝐷⊥𝑎，物料供应点A 到传送带a 的距离𝐴𝐸= 3米，物料供应点B 到传送带b 的
距离𝐵𝐹= 2米，A，B 之间的距离为2√13米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即𝐴𝐶=
𝐵𝐷，则𝐸𝐶=________．
【答案】
11
8
【分析】过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐹交𝐵𝐹的延长线于点𝐻，求得𝐵𝐻= 2 + 3 + 1 = 6，利用勾股定理求得𝐴𝐻= 4，
设𝐶𝐸= 𝑥，则𝐷𝐹= 4 −𝑥，利用勾股定理分别求得𝐴𝐶2 = 32 + 𝑥2，𝐵𝐷2 = 22 + (4 −𝑥)2，根据𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
列式计算即可求解．
【详解】解：过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐹交𝐵𝐹的延长线于点𝐻，
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∵𝐵𝐹= 2，𝐴𝐸= 3，𝐶𝐷= 1，
∴𝐵𝐻= 2 + 3 + 1 = 6，
∵𝐴𝐵= 2√13，
∴𝐴𝐻= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐻2 = √(2√13)
2 −62 = 4，
设𝐶𝐸= 𝑥，则𝐷𝐹= 4 −𝑥，
∵𝐴𝐸= 3，𝐵𝐹= 2，
∴𝐴𝐶2 = 𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 32 + 𝑥2，𝐵𝐷2 = 𝐵𝐹2 + 𝐷𝐹2 = 22 + (4 −𝑥)2，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐷，即𝐴𝐶2 = 𝐵𝐷2，
∴32 + 𝑥2 = 22 + (4 −𝑥)2，
解得𝑥=
11
8 ；
即𝐸𝐶=
11
8 ．
13．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边分别为a，b，c．
(1)若𝑎= 5，𝑏= 12，求c；
(2)若𝑎= 15，𝑐= 25，求b．
【答案】(1)13
(2)20
【分析】利用直角三角形勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条边的长度即可求出
第三条边的长度．
【详解】（1）解 已知在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，由勾股定理得𝑎2 +
𝑏2 = 𝑐2
∵𝑎= 5，𝑏= 12，
∴𝑐= √𝑎2 + 𝑏2 = √52 + 122 = √25 + 144 = √169 = 13；
（2）解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝑎= 15，𝑐= 25，
𝑏= √𝑐2 −𝑎2 = √252 −152 = √625 −225 = √400 = 20．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 17，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶边上的高𝐴𝐻= 8．
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(1)根据图1，求𝐵𝐶的长；
(2)根据图2，求𝐵𝐶的长．
【答案】(1)21 (2)9
【分析】（1）利用勾股定理求出𝐵𝐻, 𝐶𝐻，再由𝐵𝐶= 𝐵𝐻+ 𝐶𝐻求解；
（2）利用勾股定理求出𝐵𝐻, 𝐶𝐻，再由𝐵𝐶= 𝐵𝐻−𝐶𝐻求解．
【详解】（1）解：如图1，当𝐴𝐻在三角形的内部时，
在Rt △𝐴𝐵𝐻中, ∵𝐴𝐵= 17, 𝐴𝐻= 8,
∴𝐵𝐻= √172 −82 = 15;
在Rt △𝐴𝐶𝐻中, ∵𝐴𝐶= 10, 𝐴𝐻= 8,
∴𝐶𝐻= √102 −82 = 6,
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐻+ 𝐶𝐻= 15 + 6 = 21；
（2）如图2，当𝐴𝐻在三角形的外部时，
在 Rt △𝐴𝐵𝐻中, ∵𝐴𝐵= 17,𝐴𝐻= 8,
∴𝐵𝐻= √172 −82 = 15;
在 Rt △𝐴𝐶𝐻中, ∵𝐴𝐶= 10,𝐴𝐻= 8,
∴𝐶𝐻= √102 −82 = 6,
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐻−𝐶𝐻= 15 −6 = 9．
15．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃𝐴，如图
1 所示，人只要移至该门口4m及4m以内时（图2 中𝐵𝐷），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一
个身高1.5m的学生走到𝐷处，门铃恰好自动响起，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，求该学生头顶𝐶到门铃𝐴的距
离．
【答案】该学生头顶𝐶到门铃𝐴的距离为5m
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
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【详解】解：如图，由题意，得
𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 1.5m, 𝐴𝐵= 4.5m，
𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 4.5 −1.5 = 3(m)，
𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 4m，
在Rt△𝐴𝐸𝐶中，
根据勾股定理，得
𝐴𝐶= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2
= √32 + 42 = 5(m)，
故该学生头顶𝐶到门铃𝐴的距离为5m．
素养提升
1．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度𝐷𝐸= 1.5 m，将它往前推送8 m（即：𝐵𝐶= 8 m）时，秋
千踏板离地的垂直高度𝐵𝐹= 3.5 m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索𝐴𝐷长是（ ）m
A．10.5
B．17
C．14
D．15
【答案】B
【分析】设𝐴𝐷= 𝑥m，则有𝐴𝐵= 𝑥 m，由题意易得𝐴𝐶= 𝐴𝐷−𝐶𝐷= (𝑥−2)m，然后根据勾股定理建立方
程进行求解即可．
【详解】解：设𝐴𝐷= 𝑥m，则有𝐴𝐵= 𝑥 m，
∵𝐶𝐸= 𝐵𝐹= 3.5m，𝐷𝐸= 1.5 m，
∴𝐶𝐷= 2m，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷−𝐶𝐷= (𝑥−2)m，
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∴在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
即(𝑥−2)2 + 82 = 𝑥2，
解得：𝑥= 17，
即𝐴𝐷= 17m．
2．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐷，则线段𝐶𝐷的长度为
（ ）
A．
7
8
B．
3
2
C．
15
8
D．√3
【答案】B
【分析】过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，利用勾股定理求出𝐴𝐵，再证明△𝐸𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐷，即可求出𝐵𝐸，𝐷𝐸=
𝐶𝐷，再在Rt △𝐵𝐸𝐷中利用勾股定理列出关于𝐷𝐸的方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，如图，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 4，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 5，
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵{
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐸𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶= 3，𝐷𝐸= 𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 2，𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= 4 −𝐷𝐸，
∵在Rt △𝐵𝐸𝐷中，𝐵𝐷2 = 𝐷𝐸2 + 𝐵𝐸2，
∴(4 −𝐷𝐸)2 = 𝐷𝐸2 + 22，
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解得：𝐷𝐸=
3
2，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸=
3
2．
3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由
四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短
直角边长为b．若𝑎𝑏= 8，𝐸𝐹= 3√2，则大正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为（ ）
A．25
B．16
C．20
D．27
【答案】A
【分析】由𝐸𝐹是小正方形对角线，用𝑆=
1
2 𝐸𝐹2求小正方形面积；结合𝑎𝑏= 8，算出四个直角三角形总面
积；然后根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，求和得结果．
【详解】解：∵𝐸𝐹是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等，
∴𝑆小正方形=
1
2 𝐸𝐹2．
∵𝐸𝐹= 3√2，
∴𝑆小正方形=
1
2 × (3√2)
2 = 9．
∵单个直角三角形面积为
1
2 𝑎𝑏，𝑎𝑏= 8，
∴四个直角三角形总面积= 4 ×
1
2 𝑎𝑏= 2 × 8 = 16．
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷= 9 + 16 = 25．
∴大正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是25．
4．已知直角三角形的三条边分别为𝑎，𝑏，𝑐其中𝑎为斜边，𝑥=
1
2 (𝑎+ 𝑏−𝑐)，𝑦=
1
2 (𝑎−𝑏+ 𝑐)，则𝑥2 +
𝑦2的值为（ ）
A．𝑎2 + 𝑏2
B．𝑏2 + 𝑐2
C．𝑎2 + 𝑏𝑐
D．𝑎2 −𝑏𝑐
【答案】D
【分析】利用直角三角形的勾股定理有𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2，结合完全平方公式化简𝑥2 + 𝑦2，即可得到结果．
【详解】解：∵直角三角形的三条边分别为𝑎，𝑏，𝑐其中𝑎为斜边，
∴由勾股定理得 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ，
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∵𝑥=
1
2 (𝑎+ 𝑏−𝑐)，𝑦=
1
2 (𝑎−𝑏+ 𝑐)，
∴𝑥2 + 𝑦2 = [
1
2 (𝑎+ 𝑏−𝑐)]
2
+ [
1
2 (𝑎−𝑏+ 𝑐)]
2
= 1
4 {[𝑎+ (𝑏−𝑐)]2 + [𝑎−(𝑏−𝑐)]2}
= 1
4 [𝑎2 + 2𝑎(𝑏−𝑐) + (𝑏−𝑐)2 + 𝑎2 −2𝑎(𝑏−𝑐) + (𝑏−𝑐)2]
= 1
4 [2𝑎2 + 2(𝑏−𝑐)2]
= 1
4 [2𝑎2 + 2(𝑏2 −2𝑏𝑐+ 𝑐2)]
= 1
4 (2𝑎2 + 2𝑏2 + 2𝑐2 −4𝑏𝑐)
= 1
4 (2𝑎2 + 2𝑎2 −4𝑏𝑐)
= 𝑎2 −𝑏𝑐
5．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷由四个全等的直角三角形（△𝐴𝐵𝐸，△𝐵𝐶𝐹，△𝐶𝐷𝐺，△𝐷𝐴𝐻）和中间一个小正方
形𝐸𝐹𝐺𝐻组成，连接𝐷𝐸．若𝐴𝐸= 8，𝐵𝐸= 6，则𝐷𝐸的值为（ ）
A．10
B．2√15
C．2√17
D．2√10
【答案】C
【分析】根据全等三角形对应边相等求出𝐷𝐻、𝐴𝐻的长，结合图形得出𝐻𝐸的长及∠𝐷𝐻𝐸= 90°，最后在
Rt △𝐷𝐻𝐸中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐸，△𝐵𝐶𝐹，△𝐶𝐷𝐺，△𝐷𝐴𝐻都是全等三角形，
∴𝐷𝐻= 𝐴𝐸= 8，𝐴𝐻= 𝐵𝐸= 6、∠𝐷𝐻𝐴= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴𝐻𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐻= 8 −6 = 2，
∵∠𝐷𝐻𝐴= 90°，
∴∠𝐷𝐻𝐸= 180° −90° = 90°，
在Rt △𝐷𝐻𝐸中，由勾股定理得：𝐷𝐸= √𝐷𝐻2 + 𝐻𝐸2 = √82 + 22 = 2√17．
6．《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？”
译文：有一块矩形田地，长为40 步，宽与对角线的长度之和为60 步．已知1 亩＝240 平方步，这块田地
的面积为______亩．
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【答案】
25
9 /2
7
9
【分析】设长方形田的宽为x 步，对角线长为(60 −𝑥)步，利用勾股定理建立方程求解宽，再计算面积并
转换为亩数即可．
【详解】解：设宽为x 步，则对角线长为(60 −𝑥)步，
由勾股定理得：402 + 𝑥2 = (60 −𝑥)2，
解得𝑥=
50
3 ，
面积= 40 ×
50
3 =
2000
3 平方步，
亩数=
2000
3
÷ 240 =
25
9 ．
7．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为𝑆1，𝑆2，𝑆3，
若𝑆3 + 𝑆2 −𝑆1 = 20，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】5
【分析】由勾股定理可得𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2，由题意可得𝑆1 = 𝐴𝐶2，𝑆2 = 𝐴𝐵2，𝑆3 = 𝐵𝐶2，由此求出𝑆2 =
10，结合图形即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理可得：𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2，
由题意可得：𝑆1 = 𝐴𝐶2，𝑆2 = 𝐴𝐵2，𝑆3 = 𝐵𝐶2，
∴𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3，
∵𝑆3 + 𝑆2 −𝑆1 = 20，
∴𝑆2 = 10，
由图形可得：图中阴影部分的面积为
1
2 𝐴𝐵2 =
1
2 𝑆2 = 5．
8．如图①是第14 届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是
由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长𝐴𝐷为10，𝐴𝐸的长为6，
则小正方形的面积为_____．
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【答案】
4
【详解】勾股定理求出𝐵𝐸的长，进而求出𝐸𝐹的长，再利用正方形的面积公式进行求解即可.
【点睛】解：由题意，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 10,∠𝐴𝐸𝐵= 90°, 𝐵𝐹= 𝐴𝐸= 6，
∴𝐵𝐸= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐸2 = 8，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐵𝐹= 2，
∴小正方形的面积为𝐸𝐹2 = 4.
9．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如
下．
制作学具：两张直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶和𝐷𝐸𝐹，其中∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸= 90°，𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 𝑎，𝐴𝐶= 𝐷𝐹=
𝑏(𝑎< 𝑏)，𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 𝑐．
证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片𝐷𝐸𝐹的边𝐸𝐹落在纸片𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，点𝐸与点
𝐶重合，连接𝐴𝐷、𝐷𝐵得到四边形𝐴𝐶𝐵𝐷，利用四边形𝐴𝐶𝐵𝐷的面积的两种不同表示方法证明𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
请根据小高同学的思路写出证明过程．
【答案】如下
【分析】作𝐷𝐺⊥𝐶𝐵，垂足为点𝐺，设𝐴𝐵与𝐶𝐷的交点为𝐻，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SSS)，推出𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，分
割法求出四边形𝐴𝐶𝐵𝐷的面积，即可得证.
【详解】证明：如图，作𝐷𝐺⊥𝐶𝐵，垂足为点𝐺，
设𝐴𝐵与𝐶𝐷的交点为𝐻，
∵𝐵𝐶= 𝐸𝐹，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SSS)，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐷𝐸，
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∵∠𝐹𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐻= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐻= 90°，
∴∠𝐴𝐻𝐶= 90°，
∴𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，
∴𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐵+ 𝑆△𝐴𝐷𝐵= 1
2 𝐴𝐵· 𝐶𝐻+ 1
2 𝐴𝐵· 𝐷𝐻= 1
2 𝐴𝐵· 𝐷𝐸= 1
2 𝑐2
∵∠𝐶𝐹𝐷= ∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐺= 90°，
∴四边形𝐹𝐶𝐺𝐷为长方形，
∴𝐷𝐺= 𝐹𝐶= 𝑎，
∴𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶· 𝐷𝐹+
1
2 𝐵𝐶· 𝐷𝐺=
1
2 𝑎2 +
1
2 𝑏2，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.
迁移创新
1．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 14，𝐴𝐶= 13，高𝐴𝐷= 12，则△𝐴𝐵𝐶的周长是______．
【答案】32 + 2√13或22 + 2√13
【分析】分两种情况讨论，分别为高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部和高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶外部，利用勾股定理求出𝐵𝐷和𝐶𝐷
的长度，进而得到𝐵𝐶的长度，即可计算出△𝐴𝐵𝐶的周长．
【详解】解：分两种情况讨论：当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶的内部时，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理得𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √142 −122 = 2√13，
在Rt △𝐴𝐶𝐷中，由勾股定理得𝐶𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √132 −122 = 5，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 2√13 + 5，
此时△𝐴𝐵𝐶的周长为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 14 + (2√13 + 5) + 13 = 32 + 2√13；
当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶的外部时，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理得𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √142 −122 = 2√13，
在Rt △𝐴𝐶𝐷中，由勾股定理得𝐶𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √132 −122 = 5，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷−𝐶𝐷= 2√13 −5，
此时△𝐴𝐵𝐶的周长为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 14 + (2√13 −5) + 13 = 22 + 2√13；
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综上所述，△𝐴𝐵𝐶的周长是32 + 2√13或22 + 2√13．
2．分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题．
𝑂𝐴2
2 = 1 + (√1)
2 = 2，𝑆1 = √1
2 ，
𝑂𝐴3
2 = 1 + (√2)
2 = 3，𝑆2 = √2
2 ，
𝑂𝐴4
2 = 1 + (√3)
2 = 4，𝑆3 = √3
2 ，
……
(1)计算：𝑂𝐴10 =____________________；
(2)用含𝑛（𝑛是正整数）的等式表示上述变化规律：𝑂𝐴𝑛2 =__________，𝑆𝑛=__________；
(3)求出𝑆1
2 + 𝑆2
2 + 𝑆3
2 + 𝑆4
2 + ⋯+ 𝑆10
2 的值．
【答案】(1)√10
(2)𝑛；√𝑛
2
(3)
55
4
【分析】（1）观察上述结论，可以发现𝑂𝐴10
2 = 1 + (√9)
2 = 10，再开方即可求解；
（2）观察上述结论，可以发现𝑂𝐴𝑛
2 = 1 + (√𝑛−1)
2 = 𝑛，𝑆𝑛= √𝑛
2 即可求解；
（3）𝑆1
2 + 𝑆2
2 + 𝑆3
2 + 𝑆4
2 + ⋯+ 𝑆10
2 的值就是把面积的平方相加即可．
【详解】（1）解：∵𝑂𝐴2
2 = 1 + (√1)
2 = 2，
𝑂𝐴3
2 = 1 + (√2)
2 = 3，
𝑂𝐴4
2 = 1 + (√3)
2 = 4，
……
按此规律，𝑂𝐴10
2 = 1 + (√9)
2 = 10，
∴𝑂𝐴10 = √10（负值已舍去）；
（2）解：𝑂𝐴2
2 = 1 + (√1)
2 = 2，
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𝑂𝐴3
2 = 1 + (√2)
2 = 3，
𝑂𝐴4
2 = 1 + (√3)
2 = 4，
……
按此规律，𝑂𝐴𝑛
2 = 1 + (√𝑛−1)
2 = 𝑛，
𝑆1 = √1
2 ，
𝑆2 = √2
2 ，
𝑆3 = √3
2 ，
……
按此规律，𝑆𝑛= √𝑛
2 （𝑛是正整数）；
（3）解：𝑆1
2 + 𝑆2
2 + 𝑆3
2 + 𝑆4
2 + ⋯+ 𝑆10
2
= (√1
2 )
2
+ (√2
2 )
2
+ (√3
2 )
2
+. . . + (√10
2 )
2
= 1
4 × (1 + 2 + 3+. . . +10)
=
55
4 ．
3．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或
“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的．
【经历体验】
已知m，n 均为正实数、且𝑚+ 𝑛= 4，求√𝑚2 + 1 + √𝑛2 + 4的最小值．通过分析，小明想到了利用下面
的构造解决此问题：如图，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 1，𝐵𝐷= 2，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，点E 是线段𝐴𝐵上的动点，
且不与端点重合，连接𝐶𝐸、𝐷𝐸，设𝐴𝐸= 𝑚，𝐵𝐸= 𝑛．
(1)①用含m 的代数式表示𝐶𝐸=________，用含n 的代数式表示𝐷𝐸=________；
②据此写出√𝑚2 + 1 + √𝑛2 + 4的最小值是________；
【类比应用】
(2)根据上述的方法，构图求出代数式√𝑥2 + 9 + √𝑥2 −12𝑥+ 45的最小值．
【答案】(1)①√𝑚2 + 1，√𝑛2 + 4；②5
(2)6√2
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【分析】（1）①利用勾股定理可得𝐶𝐸和𝐷𝐸的长；
②利用三角形三边的关系得到𝐶𝐸+ 𝐷𝐸≥𝐶𝐷（当且仅当C、E、D 共线时取等号），作𝐷𝐻⊥𝐶𝐴交𝐶𝐴的延
长线于H，易得四边形𝐴𝐵𝐷𝐻为长方形，利用勾股定理计算出𝐶𝐷= 5，从而得到结论；
（2）利用（1）中的方法画出图形，设𝐴𝐵= 6，𝐶𝐴= 3，𝐵𝐷= 3，𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 6 −𝑥，利用勾股定
理得到，𝐶𝐸= √𝐴𝐸2 + 𝐴𝐶2 = √𝑥2 + 9，𝐷𝐸= √𝐵𝐸2 + 𝐵𝐷2 = √(6 −𝑥)2 + 9；根据两点之间线段最短得到
𝐶𝐸+ 𝐷𝐸≥𝐶𝐷（当且仅当C、E、D 共线时取等号），作𝐷𝐻⊥𝐶𝐴交𝐶𝐴的延长线于H，易得四边形𝐴𝐵𝐷𝐻为
长方形，利用勾股定理计算出𝐶𝐷即可得到代数式√𝑥2 + 9 + √𝑥2 −12𝑥+ 45的最小值．
【详解】（1）解：①在Rt △𝐴𝐶𝐸中，𝐶𝐸= √𝐴𝐸2 + 𝐴𝐶2 = √𝑚2 + 1，
在Rt △𝐵𝐷𝐸中，𝐷𝐸= √𝐵𝐸2 + 𝐵𝐷2 = √𝑛2 + 22 = √𝑛2 + 4；
②连接𝐶𝐷，由①得√𝑚2 + 1 + √𝑛2 + 4 = 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸，
根据两点之间线段最短，有𝐶𝐸+ 𝐷𝐸≥𝐶𝐷（当且仅当C、E、D 共线时取等号），
作𝐷𝐻⊥𝐶𝐴，交𝐶𝐴的延长线于H，如图，
∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，
则四边形𝐴𝐵𝐷𝐻为长方形，
∴𝐴𝐻= 𝐵𝐷= 2，𝐷𝐻= 𝐴𝐵= 4，
在Rt △𝐶𝐻𝐷中，𝐶𝐷= √𝐶𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √(𝐴𝐶+ 𝐴𝐻)2 + 𝐷𝐻2 = √(2 + 1)2 + 42 = 5，
∴𝐶𝐸+ 𝐷𝐸的最小值为5，
即√𝑚2 + 1 + √𝑛2 + 4的最小值是5；
（2）解：√𝑥2 + 9 + √𝑥2 −12𝑥+ 45 = √𝑥2 + 9 + √(6 −𝑥)2 + 9
如图，
设𝐴𝐵= 6，𝐶𝐴= 3，𝐵𝐷= 3，𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 6 −𝑥，
在Rt △𝐴𝐶𝐸中，𝐶𝐸= √𝐴𝐸2 + 𝐴𝐶2 = √𝑥2 + 9，
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在Rt △𝐵𝐷𝐸中，𝐷𝐸= √𝐵𝐸2 + 𝐵𝐷2 = √(6 −𝑥)2 + 9；
∴√𝑥2 + 9 + √𝑥2 −12𝑥+ 45 = 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸，
根据两点之间线段最短，有𝐶𝐸+ 𝐷𝐸≥𝐶𝐷（当且仅当C、E、D 共线时取等号），
作𝐷𝐻⊥𝐶𝐴交𝐶𝐴的延长线于H，则四边形𝐴𝐵𝐷𝐻为长方形，
∴𝐴𝐻= 𝐵𝐷= 3，𝐷𝐻= 𝐴𝐵= 6，
∴𝐶𝐻= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐻= 3 + 3 = 6，
在Rt △𝐶𝐻𝐷中，𝐶𝐷= √𝐶𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √62 + 62 = 6√2，
∴𝐶𝐸+ 𝐷𝐸的最小值为6√2，
即√𝑥2 + 9 + √𝑥2 −12𝑥+ 45的最小值为6√2．
