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试卷第1 页，共17 页
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分层作业
1.2 一定是直角三角形吗
判断三边能否构成直角三角形
一、单选题
1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．B 10．B
二、填空题
11．90
12．不是
三、解答题
13 解：∵
9
12
15
0
a
b
c
−
−
−
+
+
=
，
∴
9,
12,
15
a
b
c
=
=
=
，
∵
2
2
2
9
12
15
+
=
，
∴ABC
是直角三角形．
14．解：由三边长之比为3:4:5 ，故设三边长为3 cm
x
，4 cm
x
，5 cm
x
，
由三角形的周长为24cm 可得3
4
5
24
x
x
x
+
+
=
，
解得
2
x =
，
三边分别：6cm，8cm，10cm，
2
2
2
6
8
10
+
=
，
∴该三角形为直角三角形．
15．证明：正方形ABCD的边长是4，F 为CD的中点，E 是BC 上一点，且
1
4
EC
BC
=
．
90
B
C
D
=
=
=
，
4
AB
BC
CD
=
=
=
，
1
1
4
CE
BC
=
= ，
2
CF
DF
=
=
，
3
BE
= ，
2
2
5
AE
AB
BE
=
+
=
，
2
2
5
EF
CE
CF
=
+
=
，
题型01
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2
2
2 5
AF
AD
DF
=
+
=
，
2
2
2
20
5
25
AF
EF
AE
+
=
+
=
=
，
AEF
是直角三角形．
16．解：是直角三角形，理由如下：
∵
2
1
1
π
2
2
AC
S
=
，
2
2
1
π
2
2
BC
S
=
，
2
3
1
π
2
2
AB
S
=
，
又∵
1
2
3
S
S
S
+
=
，
∴
2
2
2
1
1
1
π
π
π
2
2
2
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴ABC
是直角三角形．
17．解：连接AC ，
在Rt
ABC
△
中，
7m,
24m
AB
BC
=
=
，
∴
2
2
25m
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
20
CD
m
=
，
15m
AD =
，
∴
2
2
2
2
15
20
625
AD
CD
+
=
=
+
，
∴
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，
∴ACD
是直角三角形，且
90
D
=
，
∴
ACD
ABC
ABCD
S
S
S
=
+
△
△
四边形
1
1
2
2
AD CD
AB BC
=
+
1
1
20 15
7 24
2
2
=
+
150 84
=
+
(
)
2
234 m
=
．
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答：空地的面积是
2
234m ．
勾股数的认识
一、单选题
1．B 2．C 3．D 4．B
二、填空题
5．13，84，85
勾股树
一、单选题
1．B 2．D
二、填空题
3．3 4．2026 5．127
网格中的直角三角形
一、单选题
1．B 2．A
二、填空题
3．④⑤
三、解答题
4．（1）解：四边形ABCD的面积为：5 5 2 1 2
4 2 2 5 1 2
4 1 2 1 14.5
−−−−−=
．
（2）证明：如图，连接BD．
∵
2
2
2
3
4
25
BD =
+
=
，
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
4
2
2
1
20
5
25
BC
CD
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
BC
CD
BD
+
=
，
BCD
是直角三角形，且
90
BCD
=
．
5．（1）解：BAC
是直角三角形．
理由：由题意，得
2
2
2
4
2
20
AB =
+
=
，
2
2
2
2
1
5
AC =
+
= ，
2
2
2
4
3
25
BC =
+
=
，
∴
2
2
2
25
+
=
=
AB
AC
BC ，
题型02
题型03
题型04
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∴BAC
是直角三角形，且
90
BAC
=
．
（2）∵
90
BAC
=
，
∴
1
1
5 2 5
5
2
2
ABC
S
AC AB
=
=
=
．
设点A 到边BC 的距离为h，
∴
1
5
2
ABC
S
BC h
=
=
，即1
5
5
2
h
= ，
∴
2
h =
，即点A 到边BC 的距离为2．
6．（1）
2
2
1
3
10
AB =
+
=
（2）
2
2
1
3
10
AC =
+
=
，
2
2
2
4
2 5
BC =
+
=
∴
2
2
2
20
AB
AC
BC
+
=
=
∴△ABC 的形状是一个直角三角形
（3）由（2）可知△ABC 是直角三角形
∴
1
1
=
=
10
10=5
2
2
ABC
S
AB AC
（4）图形如图所示：
勾股定理逆定理与三角形的面积
一、单选题
1．D 2．B
二、填空题
3．3 4．36 5．139
三、解答题
6．（1）解：如图：连接BD，
题型05
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，
∵
2
AB
AD
=
=
，
90
A
=
，
∴
2
2
2 2
BD
AD
AB
=
+
=
，
45
ADB
ABD
=
=
，
∵
2
1
CD = ，
2
8
BD =
，
2
9
BC =
，
∴
2
2
2
CD
BD
BC
+
=
，
∴BCD
为直角三角形，
=90
BDC
，
∴
135
ADC
BDC
ADB
=
+
=
（2）四边形ABCD的面积为：
1
1
1
1
2 2
1 2 2
2
2
2
2
2
2
ABD
BCD
S
S
AD AB
CD BD
+
=
+
=
+
=
+
．
7．（1）解：
CD
AB
⊥
∵
，
90
BDC
ADC
=
=
，
2
2
12
CD
BC
BD
=
−
=
．
25
AB =
，
9
DB =
，
16
AD
AB
DB
=
−
=
，
2
2
20
AC
AD
CD
=
+
=
．
（2）证明：
20
AC =
，
15
BC =
，
25
AB =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
．
ABC
是直角三角形．
8．解：如图，连接AC ．
在ABC
中，
90
ABC
=
，
6
AB =
，
8
BC = ，
∴
2
2
6
8
10
AC =
+
=
，
∵
24
CD =
，
26
AD =
，
10
AC =
，
∴
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
是直角三角形，且
90
ACD
=
，
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∴
1
1
10 24
6 8
120
24
96
2
2
ACD
ABC
S
S
S
=
−
=
−
=
−
=
阴影
△
△
．
故阴影部分的面积是96．
9．（1）解：
90
ADB
=
，理由如下：
2
64
BD =
，
2
4
CD =
，
2
68
BC =
，
2
2
2
BC
BD
CD
=
+
，
90
BDC
=
，
180
90
ADB
BDC
=
−
=
；
（2）在Rt ABD
中，
由勾股定理得
2
2
2
2
17
8
15
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
17
AC
AD
CD
=
+
=
，
1
1 17 8
68
2
2
ABC
S
AC BD
=
=
=
△
．
利用面积法求斜边上的高
一、单选题
1．D
二、填空题
2．
6
3
3．60
13
方位角与逆定理
一、填空题
1．西北
二、解答题
2．解：由题意，得
15 2
30nmile
AB =
=
，
20 2
40nmile
AC =
=
，
50nmile
BC =
．
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
ABC
是直角三角形，且
90
BAC
=
．
货船沿南偏东80方向航行，
客船航行的方向为北偏东90
80
10
−
=
．
3．解：由题意可得：
12 1.5
18
RP =
=
海里，
16 1.5
24
PQ =
=
海里，
30
QR =
海里，
∵
2
2
2
18
24
30
+
=
，
题型06
题型07
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∴RPQ
是直角三角形，
∴
90
RPQ
=
，
∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东45方向航行，
∴
45
RPS
=
，
∴“海天”号沿北偏西45（或西北）方向航行．
倍长中线与勾股定理逆定理
一、填空题
1．2 13
二、解答题
2．解：延长AD到点G；使DG
AD
=
，连接BG ．
∵点D 为BC 的中点，
∴DC
DB
=
，
∵
AD
DG
ADC
GDB
DC
DB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CAD
BGD
≌
，
∴AC
BG
=
，
CAD
G
=
．
∵
5
AB =
，
3
AC =
，
2
AD =
，
∴
5
AB =
，
3
BG =
，
2
4
AG
AD
=
=
∵
2
2
2
3
4
5
+
=
，
∴
2
2
2
AG + BG
AB
=
．
∴
90
G
=
．
∴
2
2
2
2
3
2
13
CD
BD
BG
DG
=
=
+
=
+
=
．
3．（1）证明：∵AD是ABC
的中线，
题型08
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∴CD
BD
=
，
在ECD
和ABD
中，
CD
BD
EDC
ADB
ED
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ECD
ABD
≌
，
∴CE
AB
=
；
（2）解：∵
6
AD =
，DE
AD
=
，
∴
12
AE
AD
DE
=
+
=
，
又∵
5
AB =
，
13
AC =
，
∴
5
CE
AB
=
=
，
∵
2
2
2
5
12
25 144
169
13
+
=
+
=
=
，
∴
2
2
2
AE
CE
AC
+
=
，
∴
ACE
△
是直角三角形，且
90
E
=
，
∴
2
2
2
2
6
5
61
CD
DE
CE
=
+
=
+
=
，
∴CD的长为
61 ．
一、单选题
1．A 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C
二、填空题
11．511 12．不能 13．24 14．6 或4 或13
2
三、解答题
15．（1）解：（1）∵
12
AB =
，
13
BC =
，
5
AC =
，
∴
2
2
2
2
2
2
12
5
169
13
AB
AC
BC
+
=
+
=
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
BAC
=
，
∴
1
1 12 5
30
2
2
ABC
S
AB
AC
=
=
=
.
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（2）解：∵
41
AB =
，
8
BC = ，
5
AC =
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
41
5
66
64
8
AB
AC
BC
+
=
+
=
=
=
，
∴ABC
不是直角三角形，如图，
过点A 作AD
BC
⊥
于点D，
∴
90
ADC
ADB
=
=
，
设BD
x
=
，则
8
CD
x
= −，
∵
2
2
2
2
2
AC
CD
AB
BD
AD
−
=
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
5
8
41
x
x
−
−
=
−
，
∴
5
x = ，
∴
5
3
BD
CD
=
=
，
，
∴
2
2
25
9
4
AD
AC
CD
=
−
=
−
=
，
∴
1
1 8 4
16
2
2
ABC
S
BC
AD
=
=
=
△
．
16．解：如图，连接AC ．
根据勾股定理，得
2
2
2
2
6
8
10
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
．
5
AD =
，
5 5
CD =
，
2
2
2
100
25
125
AC
AD
CD
+
=
+
=
=
，
ACD
为直角三角形，且
90
CAD
=
，
1
1
6 8
5 10
49
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
△
△
．
17．解：
16
MN =
米，
30
=
NH
米，
34
=
MH
米，
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2
2
2
MN
NH
MH
+
=
，
MNH
为直角三角形，且
90
N
=
，
在Rt NPH
中，
31
=
HP
米，
30
=
NH
米，
2
2
61
NP
HP
NH
=
−
=
米，
(
)
16
61
MP
MN
NP
=
−
=
−
米，
即这条河的宽度MP 为(
)
16
61
−
米．
18．解：∵
90
ABC
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
∴
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵AC
CD
=
，
∴
5
CD = ；
过点D作DE
BC
⊥
交BC 延长线于E ．
∴
90
CED
=
，
∵
5 2
AD =
，
∴
2
2
50
AC
CD
+
=
，
(
)
2
2
5 2
50
AD =
=
，
∴
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
是直角三角形，
90
ACD
=
，
∴
90
BAC
ACB
ACB
ECD
+
=
+
=
，
∴
BAC
ECD
=
．
在ABC
和
CED
△
中，
ABC
CED
BAC
ECD
AC
CD
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
CED AAS
≌
，
∴
3
AB
CE
=
=
，
4
BC
DE
=
=
，
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∴
7
BE
BC
CE
=
+
=
，
∴
2
2
65
BD
BE
DE
=
+
=
．
19．(1)证明：∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
又∵
ADB
EDC
AD
ED
=
=
，
，
∴
(
)
DEC
DAB SAS
≌
；
（2）解：∵DEC
DAB
≌
，
∴
3
CE
AB
=
=
，
∵
2
DE
AD
=
=
，
∴
4
AE
AD
DE
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
4
3
16
9
25
AE
CE
+
=
+
=
+
=
，
又∵
2
2
5
25
AC =
=
，
∴
2
2
2
AE
CE
AC
+
=
，
∴
90
AEC
=
；
在Rt
CED
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
3
2
13
CD
CE
DE
=
+
=
+
=
，
∵AD是ABC
的中线，
∴
2
2 13
BC
CD
=
=
；
（3）解：∵DEC
DAB
≌
，
∴
ABD
ECD
S
S
=
，
∴
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
ECD
ACD
S
S
=
+
ACE
S
=
1
2 AE CE
=
1
4 3
2
=
6
=
．
20．（1）解：∵在ABC
中，AD为BC 边上的高，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
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∵
2
CD =
，
4
AD =
，
8
BD =
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
20,
4
8
80
AC
AD
CD
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
，
10
BC
CD
BD
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
100
10
AC
AB
BC
+
=
=
=
，
∴
90
BAC
=
，
∴AB
AC
⊥
；
（2）解：正确，理由如下：
AD
BC
⊥
，
∴在Rt ACD
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AC
CD
=
−
①，
在Rt ABD
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AB
BD
=
−
②，
+
①
②得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2AD
AC
CD
AB
BD
AC
AB
CD
BD
=
−
+
−
=
+
−
−
，
2
AD
BD CD
=
，
2
2
2
2
2BD CD
AC
AB
CD
BD
=
+
−
−
，
∴
2
2
2
2
2
BD
BD CD
CD
AC
AB
+
+
=
+
，
∴(
)
2
2
2
BD
CD
AC
AB
+
=
+
，即
2
2
2
BC
AC
AB
=
+
，
ABC
为直角三角形；
（3）解：安全，理由如下：
4m
BC =
，
2.4m
BD =
，BD
AC
⊥
，
在Rt BCD
中，根据勾股定理得
(
)
(
)
2
2
2
2
4
2.4
3.2 m
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
，
∴
5 3.2
1.8
AD = −
=
，
∴
2
2
3
AB
AD
BD
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
3
4
25
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
ABC
是直角三角形，
∴这个房梁安全．
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一、单选题
1．D
二、解答题
2．（1）解：AB 与BC 的位置关系为AB
BC
⊥
，理由：
根据题意可知，
13km
BD =
，
5
CD
km
=
，
90
BCD
=
，
∴
(
)
2
2
13
5
12
BC
km
=
−
=
，
又∵
16km
AB =
，
20km
AC =
，
∴
2
2
2
2
2
2
16
12
20
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
ABC
=
，
∴AB
BC
⊥
．
（2）解：作AP
CD
⊥
，交DC 延长线于点P ，则四边形ABCP是长方形，
∴
90
P
=
，
16
CP
AB
km
=
=
，
12
AP
BC
km
=
=
，
∴
(
)
5 16
21
DP
km
=
+
=
，
∴
(
)
2
2
21
12
3 65
AD
km
=
+
=
∴线段AD的长度为3 65km．
3（1）∵
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
∴
4
7.5 8.5
10
2
p
+
+
=
=
∴
(
) (
) (
)
10
10
4
10
7.5
10
8.5
10 6 2.5 1.5
225
15
ABC
S
=
−
−
−
=
=
=
△
（2）证明：∵
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
∴
2
2
64
4
16
4
AC =
=
=
，
2
2
15
225
2
4
BC
=
=
，
2
2
17
289
2
4
AB
=
=
∴
2
2
2
64
225
289
4
4
4
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
∴
90
C
=
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所以∆ABC 为直角三角形；
∴
1
1
4 7.5
15
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
△
4．（1）证明：
R
Rt
t D
AB
C
E
E
≌
，
AEB
DCE
=
，
90
A
D
=
=
，
90
DEC
DCE
+
=
，
90
DEC
AEB
+
=
，即
90
BEC
=
，
2
1
1
1
2
2
2
2
BEC
ABE
DEC
c
S
S
S
c c
a b
a b
ab
+
+
=
+
+
=
+
，
(
)(
)
2
2
1
2
2
ABCD
a
b
S
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
=
+
梯形
，
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ab
+
+
=
+
，即
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）解：
AD
CD
⊥
，
4
AD =
，
3
CD =
，
2
2
2
2
3
4
5
AC
CD
AD
=
+
=
+
=
，
13
AB =
，
12
BC =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
90
ACB
=
，
1
1
5 12
3 4
24
2
2
ABC
ACD
S
S
S
=
−
=
−
=
阴影
，
答：阴影部分面积为24；
（3）解：设AH
x
=
千米，则
(
)
1.4
BH
x
=
−
千米，
CH
AB
⊥
，
90
CHA
CHB
=
=
，
在Rt AHC
中，
2
2
2
CH
AC
AH
=
−
，
在Rt
BHC
△
中，
2
2
2
CH
BC
BH
=
−
，
2
2
2
2
AC
AH
BC
BH
−
=
−
，即
(
)
2
2
2
2
1.3
1.5
1.4
x
x
−
=
−
−
，
整理得，2.8
1.4
x =
，
解得，
0.5
x =
，
0.5
AH
=
千米，
2
2
2
2
1.3
0.5
1.2
CH
AC
AH
=
−
=
−
=
（千米），
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答：新修路CH 的长为1.2 千米．
5．（1）解：延长AD到点E；使DE
AD
=
，连接BE．
∵AD是边BC 上的中线，
∴DC
DB
=
，
∵
AD
DE
ADC
EDB
DC
DB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CAD
BED
≌
，
∴AC
BE
=
．
∵
<
<
AB
BE
AE AB
BE
−
+
,
∴
<
<
AB
AC
AE AB
AC
−
+
，
∵
6
AB =
，
4
AC =
，
∴2
2
10
AD
故1
5
AD
．
故答案为：1
5
AD
．
（2）解：延长AD到点G；使DG
AD
=
，连接BG ．
∵AD是边BC 上的中线，
∴DC
DB
=
，
∵
AD
DG
ADC
GDB
DC
DB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CAD
BGD
≌
，
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∴AC
BG
=
，
CAD
G
=
．
∵
10
AB =
，
6
AC =
，
4
AD =
，
∴
10
AB =
，
6
BG =
，
2
8
AG
AD
=
=
∵
2
2
2
AG + BG
AB
=
．
∴
90
CAD
G
=
=
．
∴
2
2
2 13
DC
AD
AC
=
+
=
，
故
2
4 13
BC
DC
=
=
．
（3）解：延长MD到点Q；使DQ
MD
=
，连接
,
BQ NQ ．
∵点D 是AB 的中点，DN
DM
⊥
，
∴AD
DB
=
，直线DN 是线段MQ 的垂直平分线，
∴MN
QN
=
，
∵
AD
DB
ADM
BDQ
DM
DQ
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
MAD
QBD
≌
，
∴AM
BQ
=
，
A
DBQ
=
．
∴BQ
AC
∥
，
∵
90
C
=
∴
90
QBN
=
，
∵
1
AM = ，
3
BN = ，
∴
2
2
10
NQ
BN
BQ
=
+
=
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∴
10
MN =
．
故答案为：10 ．
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