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分层作业
1.2 一定是直角三角形吗
目 录
A 组 巩固过关
题型01 判断三边能否构成直角三角形
题型02 勾股数的认识
题型03 勾股树
题型04 网格中的直角三角形
题型05 勾股定理逆定理与三角形的面积
题型06 利用面积法求斜边上的高
题型07 方位角与勾股定理逆定理
题型08 倍长中线与勾股定理逆定理
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
判断三边能否构成直角三角形
一、单选题
1．ABC
三边分别为a 、b 、c ，在下列条件下，ABC
不是直角三角形的是（ ）
A．
8
a = ，
14
b =
，=17
c
B．
2
2
2
a
b
c
+
=
题型01
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C．
3
a = ，
4
b =
，
5
c =
D．
5 12 13
a b c =
∶∶
∶
∶
2．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（ ）．
A．4 5 6
，，
B．1
3 ，1 4 ，1
5
C．12
，，
3
D．5 ， 12 ， 13
3．有①25 ，7 ，24；②16，20 ，12；③9，40 ，41；④4 ，6 ，8；⑤41，
2
4 ，
2
5 ，各组数为边长，
能组成直角三角形的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在ABC
中，若
2
2
2
0
AB
BC
AC
+
−
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
90
A
=
B．
90
B
=
C．
90
C
=
D．
60
A
=
5．下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ）
①1，2，3；②2 ，
2 ，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3．
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
6．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是15cm、20cm 、25cm，据此李老师判断这个教
具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180
D．勾股定理
7．如果将直角三角形的三条边长同时扩大到原来的6 倍，那么得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
8．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（ ）
A．长分别为2a，2b ，2c的三条线段一定能组成一个直角三角形
B．长分别为
2
a+
，
2
b+ ，
2
c +
的三条线段一定能组成一个直角三角形
C．长分别为a ，b ，
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
D．长分别为
2
a ，
2
b ，
2
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
9．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
10．下列选项中，正确的是（ ）
A．在Rt
ABC
△
中，已知两边长分别为6 和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为3 4 5
：：，则该三角形是直角三角形
C．ABC
的三边分别为AB
BC
AC
，
，
，若
²
²
²
AB
BC
AC
=
+
，则
A
是直角
D．在ABC
中，若
2 3 7
A
B
C
：
：
＝：：，则ABC
是直角三角形
二、填空题
11．在ABC
中，a，b，c 分别是
A
，
B
，
C
的对边，若
2
(
)(
)
b
a b
a
c
−
+
=
，则
B
= ______．
12．一个三角形的三边长分别是6 厘米，8厘米，9厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角
三角形．
三、解答题
13．已知ABC
中，A
、B
、C
所对边长分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边满足
9
12
15
0
a
b
c
−
−
−
+
+
=
，
试判断ABC
的形状．
14．一个三角形的周长为24cm ，三边长之比为3:4:5 ，求这个三角形三边的长度，并判断三角形的形状．
15．如图，在边长为4 的正方形ABCD中，F 为CD的中点，E 是BC 上一点，且
1
4
EC
BC
=
．求证：AEF
是直角三角形．
16．如图，分别以ABC
的三边为直径向图形外作半圆，这三个半圆的面积分别为
1S ，2
S ，3
S ，且
1
2
3
S
S
S
+
=
，
那么ABC
是不是直角三角形？请说明理由．
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17．在玉溪精心勾勒生态宜居图景的进程中，志愿者们巧将临街一块闲置的四边形空地，雕琢成一方充满
生机的小微绿地．为城市街角注入鲜活绿意．经测量
90
7
ABC
AB
=
=
，
米，
24
BC =
米，
20
CD =
米，
15
AD =
米，求空地的面积．
勾股数的认识
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5
B．7，24，25
C．1
5 ，1
12 ，1
13
D．3
−，4
−，5
−
2．下列几组数，能组成勾股定理的（ ）
（1）0.3，0.4 ，0.5 （2）4 ，6 ，8（3）32， 42， 52 （4）5，12，13 （5）20 ，21，29
A．5个
B．4 个
C．3个
D．2 个
3．手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，
能构成直角三角形三边的勾股数是（ ）
A．
2
7 ，
2
24 ，
2
25
B．7 ，24 ，26
C．0.7 ，2.4，2.5
D．14，48 ，50
4．有下列各组数：①3,4,5；②8,15,17 ；③0.5,1.2,1.3；④1, 3, 2 ，其中勾股数有（ ）
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
二、填空题
5．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅
题型02
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简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾
股数为______．
勾股树
一、单选题
1．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，
B ，C ，D的面积分别为3，2 ，2 ，5，则正方形G 的面积为（ ）．
A．5
B．12
C．7
D．9
2．如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为
1S ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直
角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为
2
S
，按照此规律继续下去，则
2025
S
的值为（ ）
A．
2025
1
2
B．
2024
1
2
C．
2023
1
2
D．
2022
1
2
二、填空题
3．如图，正方形ABCD的边AB ，CD向外作Rt
ABE
△
，Rt CDF
，
90
AEB
DCF
=
=
，以AE ，EB，
CF ，DF 为边向外作正方形，面积分别为6，2，S，11，则S的值为_______．
题型03
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4．有一个边长为1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，
三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4 个正方形（如图②），如果按此规
律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025 次后形成的图形中所有正方形的面积和是
_______．
5．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾
股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一
生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为______．
网格中的直角三角形
一、单选题
1．如图，在5 5
的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格点上，从中任意找出3 点组成三角形，下列选项
中，是直角三角形的是（ ）
题型04
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A．ABC
B．BCD
C．ADC
D．ABD
2．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A，B ，C 构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
二、填空题
3．图中，是直角三角形的序号是________．
三、解答题
4．如图是由边长都为1 的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求证：
90
BCD
=
．
5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，ABC
的顶点均在格点（网格线的交点）上．
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(1)判断BAC
的形状，并说明理由；
(2)求点A 到边BC 的距离．
6．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C 均落在格点上．
(1)计算线段AB 的长度 ；
(2)判断△ABC 的形状 ；
(3)写出△ABC 的面积 ；
(4)画出△ABC 关于直线l 的轴对称图形△A1B1C1．
勾股定理逆定理与三角形的面积
一、单选题
1．若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60 cm ，则它的面积为（ ）
A．
2
60 cm
B．
2
80 cm
C．
2
100 cm
D．
2
120 cm
2．如图，在四边形ABCD中，
3
AB =
，
4
BC =
，
1
CD = ，
2 6
AD =
，AB
BC
⊥
，四边形ABCD的面积为
（ ）
题型05
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A．12
B．6
6
+
C．2 6
D．2 6
6
+
二、填空题
3．在ABC
中，
3
AC =
，
2
BC =
，
7
AB =
，则ABC
的面积为 _______________．
4．如图，在四边形ABCD中，
90
B
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
13
CD =
，
12
AD =
，四边形ABCD的面积为
_________．
5．如图，点E 在边长为13 的正方形ABCD内，
5
AE = ，
12
BE =
，求出图中阴影部分的面积是______．
三、解答题
6．如图，四边形ABCD，
2
AB
AD
=
=
，
3
BC = ，
1
CD = ，
90
A
=
．
(1)求
ADC
的度数．
(2)求四边形ABCD的面积．
7．如图，在ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，已知
25
AB =
，
15
BC =
，
9
DB =
．
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(1)求AC ，CD的长；
(2)求证：ABC
是直角三角形．
8．某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得
6
AB =
，
8
BC = ，
24
CD =
，
26
AD =
，
90
ABC
=
，试求阴影部分的面积．
9．如图，在ABC
中，
2 17
BC =
，点D 在边AC 上，
8
BD =
，
2
CD =
．
(1)猜想
ADB
的度数，并说明理由；
(2)若
17
=
AB
，求ABC
的面积．
利用面积法求斜边上的高
一、单选题
1．一个三角形的三边长分别为6cm 8cm 10cm
、
、
，则这个三角形最长边上的高是（ ）cm
A．4cm
B．3cm
C．5cm
D．4.8cm
二、填空题
2．若三角形的三边分别为1，2 ，3 ，则该三角形最大边上的高长为：________．
题型06
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3．在ABC
中，
5
AC = ，
12
BC =
，
13
AB =
，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是___．
方位角与勾股定理逆定理
一、填空题
1．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方
向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里．它们离开港口一个小时后分别位于点
Q、R 处，且相距20 海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行．
二、解答题
2．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A 出发，客船的速度是20nmile/h ，货船的速度是15nmile/h，
货船沿南偏东80方向航行，2h 后，货船到达B 处，客船到达C 处，此时两船相距50nmile ．求客船航行的
方向．
3．在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P 位于
东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航
行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口1.5小时后分别位于Q、R 处，且相距30 海里，如
果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
题型07
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倍长中线与勾股定理逆定理
一、填空题
1．如图，在ABC
中，
3
AB =
，
5
AC =
，边BC 的中线
2
AD =
，为了求出边BC 的长，小明同学做了以下
辅助线：延长AD到E，使DE
AD
=
，连接CE ．则BC = ________．
二、解答题
2．如图，ABC
中，点D 为BC 的中点，
5
AB =
，
3
AC =
，
2
AD =
，求：CD的长．
3．如图，在ABC
中，
5
AB =
，
13
AC =
，BC 边上的中线
6
AD =
，延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接CE ．
(1)求证：CE
AB
=
；
(2)求CD的长．
题型08
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一、单选题
1．下列各数中，能与5，12 组成一组勾股数
．．．的是（ ）
A．13
B．119
C．13 或119
D．10
2．下列条件中，不能判定ABC
为直角三角形的个数为（ ）
①
23
a =
，
2
4
b =
，
2
5
c =
；②
2
2
2
AB
BC
AC
−
=
；③
5
a =
，
12
b =
，
13
c =
；④: :
1:2: 3
a b c =
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．从长度分别为2cm
cm 4cm 5cm 6cm
x
，
，
，
，
的5 根长短不一的木棒中随机抽取一根，能与3cm和4cm 的木棒
围成直角三角形的概率为2
5 ，则x 是（ ）
A．5
B．7
C．7 或5
D．无法确定
5．已知ABC
的三边分别为
2
1
k −，2k ，
2
1(
1)
k
k
+
，则ABC
为（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
6．下列命题：
①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13；
②如果a、b、c 为一组勾股数，那么3a 、3b 、3c 仍是勾股数；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a
b
c
=
），那么
2
2
2
:
:
2:1:1
a
b
c =
．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
7．如图，在ABC
中，若
10
AB =
，
6
BC =
，
8
AC = ，则AC 边上的中线BD的长为（ ）
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A．5
B．4
C．2 13
D．2 10
8．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D 的边长分别是
3，5，2，3，则最大正方形E 的面积为（ ）
A．40
B．45
C．47
D．50
9．如图，在ABC
中，
13,
12,
5
AB
AC
BC
=
=
=
，点D 是AC 的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
A．6
B．13
2
C．7
D．
61
10．如图，Rt
ABC
△
中，BD平分
ABC
，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，如果点M，N 分别为BD
BC
，
上的
动点，那么CM
MN
+
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．4.8
D．5
二、填空题
11．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，
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重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第
二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________
12．如图，在每个小正方形的边长均为1 的正方形网格中，有三条线段, ,
a b c （线段端点都在格点上），以
这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）．
13．如图，在ABC
中，点D 是ABC
内一点，连接
,
,
AD BD AD
BD
⊥
．已知
4,
3,
13,
12
AD
BD
AC
BC
=
=
=
=
，
则图中阴影部分的面积为______．
14．如图，点C 为直线l 上的一个动点，AD
l
⊥于D 点，BE
l
⊥于E 点，
8
AD
DE
=
= ，
2
BE =
，当CD长
为______ 时，ABC
为直角三角形．
三、解答题
15．如图，在ABC
中，
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(1)当
12
AB =
，
13
BC =
，
5
AC =
时，求ABC
的面积．
(2)当
41
AB =
，
8
BC = ，
5
AC =
时，求ABC
的面积．
16．如图，在四边形ABCD中，
90
B
=
，
6
AB =
，
8
BC = ，
5
AD = ，
5 5
CD =
，求四边形ABCD的面
积．
17．如图，小微同学想测量一条河的宽度MP ，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点
H ，发现MP 延长线上的点N 处有一棵大树，用测距仪测得
34
=
MH
米，
30
=
NH
米，
31
=
HP
米，已知
16
MN =
米，请你计算这条河的宽度MP ．（结果保留根号）
18．如图．四边形ABCD中，
90 ,
3,
4
ABC
AB
BC
=
=
=
，连接AC ，且AC
CD
=
，若
5 2
AD =
，求BD的
长．
19．如图，ABC
中，
3
AB =
，
5
AC =
，BC 边上的中线
2
AD =
，延长AD到点E，使得DE
AD
=
，连接CE ．
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(1)求证：DEC
DAB
≌
；
(2)求BC 的长；
(3)求ABC
的面积．
20． 如图1， 在三角形ABC 中，AD为BC 边上的高．
(1)若
2
CD =
，
4
AD =
，
8
BD =
， 求证： AB
AC
⊥
；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足
2
AD
BD CD
=
时，ABC
一定为直角三角形．小明的判断正确
吗？为什么？
(3)如图2 是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3 所示的图形，已
知斜梁BD
AC
⊥
于点 D．经测量，斜梁
5m
AC =
，
2.4m
BD =
，横梁
4m
BC =
．若横梁BC 与竖梁AB 垂直
则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
一、单选题
1．如图，在ABC
中，ABC
的平分线交AC 于点D，E 为线段BD上一动点，F 为边AB 上一动点，若
5
AB =
，
4
BD =
，
3
AD
DC
=
= ，则AE
EF
+
的最小值为（ ）
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A．4
B．2 7
C．10
D．24
5
二、解答题
2．第12 届世界运动会于2025 年8 月7 日至8 月17 日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更
多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知
16km
AB =
，
20km
AC =
，
13km
BD =
，点B 在点C 的正西方向，点D 在点C 的正北方5km处．
(1)试判断AB 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A 飞到D，求线段AD的长度．
3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16 页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分
别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积为
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．
【解决问题】：已知在ABC
中，
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
．
(1)请你用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积．
(2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
4．解决问题
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(1)如图1，Rt
Rt
ABE
DEC
≌
△
△
，
90
A
D
=
=
，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1 证明勾股定
理
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(2)如图2，AD
CD
⊥
，
13
AB =
，
12
BC =
，
4
AD =
，
3
CD =
，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决
定在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，使
,
CH
AB
⊥
现测得
1.3
CA =
千米，
1.4
AB =
千米，
1.5
BC =
千米，求新修路CH 的长为______千米．（只填空）
5．如图①，在ABC
中，若
6
AB =
，
4
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．
【问题解决】
（1）解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E ，使DE
AD
=
，再连接BE（或将ACD
绕着点D 逆时
针旋转180得到EBD
，把AB 、AC ，2AD集中在ABE
中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出
中线AD的取值范围是________；
【应用】
（2）如图②，在ABC
中，点D 为边BC 的中点，已知
10
AB =
，
6
AC =
，
4
AD =
，求BC 的长；
【拓展】
（3）如图③，在ABC
中，
90
C
=
，点D 是边AB 的中点，点M 在边AC 上，过点D 作DN
DM
⊥
交边
AC 于点N，连接MN ．已知
1
AM = ，
3
BN =
，则MN 的长为________．
