1 / 124
学科网（北京）股份有限公司
1.5 三角形全等的判定
课标要点
1、理解全等三角形的核心概念，精准识别全等三角形的对应边、对应角，夯实几何判定
的基础认知。
2、经历三角形全等判定定理的探究过程，体会数形结合与推理思想，培养几何直观能力。
3、掌握SSS、SAS、ASA、AAS 四种通用判定方法，能规范运用定理判定普通三角形全
等。
4、掌握直角三角形专属HL 判定定理，区分通用与特殊判定方法，适配直角三角形全等
证明。
5、能运用全等判定定理解决简单几何证明与计算问题，规范书写推理步骤，提升逻辑素
养。
学习重难点
重点：
1、掌握SSS、SAS、ASA、AAS 四种三角形全等判定定理的核心内容。
2、熟练掌握直角三角形HL 判定定理，明确其适用的特殊条件。
3、能选用合适定理，规范完成三角形全等的推理证明过程。
难点：
1、精准区分SAS 与SSA，规避边角对应关系混淆的判定误区。
2、根据题干已知条件，灵活选择最优的全等判定方法解题。
3、梳理复杂图形边角关系，精准找准全等三角形对应元素。
第一章
认识三角形
2 / 124
学科网（北京）股份有限公司
3 / 124
学科网（北京）股份有限公司
知识点一 全等三角形的判定1（边角边SAS）
定理1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝
'
'
A B ，∠A＝∠
'
A ，AC ＝
'
'
A C ，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
即学即练
．．．．
1．（25-26 八年级上·辽宁大连·期中）如图，AC 与BD相交于点O，OA
OD
=
，若用“SAS”证明ABO
≌
DCO
，还需添加的条件是（ ）
A．BA
CD
=
B．
A
D
=
C．
B
C
=
D．OB
OC
=
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪
4 / 124
学科网（北京）股份有限公司
一种方法，取决于题目中的已知条件．
OA
OD
=
，由于对顶角相等得到
AOB
DOC
=
，然后根据“SAS”添加条件即可．
【详解】解：
OA
OD
=
，
AOB
DOC
=
，
A、当添加BA
CD
=
时，不能证明
ABO
DCO
△
≌△
；
B、当添加
A
D
=
时，
(
)
ASA
ABO
DCO
≌
，不能用SAS 证明ABO
DCO
≌
；
C、当添加
B
C
=
时，
(
)
AAS
ABO
DCO
≌
，不能用SAS 证明ABO
DCO
≌
；
D、当添加OB
OC
=
时，能证明
(
)
SAS
ABO
DCO
≌
．
故选：D．
2．（25-26 八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，点A，F ，C ，D 在同一条直线上，
=
AF
DC，
AB
DE
=
，
A
D
=
．求证：ABC
DEF
≌
．
【答案】见详解
【分析】根据
=
AF
DC，得AC
DF
=
，结合AB
DE
=
，
A
D
=
，证明
(
)
ABC
DEF SAS
≌
，即可作
答．
【详解】证明：∵
=
AF
DC，
∴AF
FC
DC
FC
+
=
+
，
则AC
DF
=
，
∵AB
DE
=
，
A
D
=
，
∴
(
)
ABC
DEF SAS
≌
．
知识点二 全等三角形的判定2（角边角ASA）
定理2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠
'
A ，AB＝
'
'
A B ，∠B＝∠
'
B ，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
5 / 124
学科网（北京）股份有限公司
即学即练
．．．．
3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，AC 与BD相交于点E ，
1
2
= ，
3=
4
，求证：
AB
CD
=
．
【答案】
证明：∵1
2
= ，
3
4
= ，
∴1
3
2
4
+= +，即
ABC
DCB
=
，
在ABC
和DCB
中，
2
1
ABC
DCB
BC
CB
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
DCB ASA
≌
，
∴AB
CD
=
．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到AB 、CD所在的全等三角形．通过角的和运
算得到
ABC
DCB
=
，结合公共边BC 和1
2
= ，利用ASA判定ABC
DCB
，从而推出AB
CD
=
．
【详解】略
4．（25-26 七年级下·广西南宁·期末）如图，ABC
中，AD是BC 边上的中线，E，F 为直线AD上的点，
连接BE
CF
，
，且BE
CF
．
(1)求证：
BDE
CDF
△
≌△
；
(2)若
13
7
AE
AF
=
=
，
，试求DE 的长．
【答案】(1)
证明：∵AD是BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
∵BE
CF
，
6 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
=
DBE
DCF ，
又∵
BDE
CDF
=
，
∴
(
)
ASA
BDE
CDF
≌
；
(2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是
解题的关键．
（1）由三角形中线的定义得到BD
CD
=
，由平行线的性质得到
=
DBE
DCF ，据此利用ASA 可证明
BDE
CDF
△
≌△
；
（2）由线段的和差关系可得EF 的长，由全等三角形的性质可得
1
2
DE
DF
EF
=
=
，据此可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵
13
7
AE
AF
=
=
，
，
∴
13 7
6
EF
AE
AF
=
−
=
−
=
，
∵
BDE
CDF
△
≌△
，
∴DE
DF
=
，
∵
6
DE
DF
EF
+
=
=
，
∴
3
DE = ．
知识点三 全等三角形的判定3（角角边AAS）
定理3：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个
三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC
和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
7 / 124
学科网（北京）股份有限公司
即学即练
．．．．
5．（25-26 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AB
CD
，E 为BC 的中点，且
AE
DE
⊥
，延长DE 交AB 的延长线于点F ．
(1)求证：FBE
DCE
≌
(2)若
12
AD =
，
5
CD = ，求AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理
解线段垂直平分线的性质是解题关键．
（1）由“AAS”可证FBE
DCE
≌
；
（2）由全等三角形性质可得EF
DE
=
，
5
BF
CD
=
= ，由线段垂直平分线的性质可得
12
AD
AF
=
=
，进一
步求解即可．
【详解】（1）解：E 为BC 的中点，
BE
EC
=
，
AB
DC
，
F
CDE
=
，
FBE
DCE
=
，
在FBE
与DCE
中，
F
CDE
FBE
DCE
BE
CE
=
=
=
，
(
)
AAS
FBE
DCE
≌
，
（2）解：∵FBE
DCE
≌
EF
DE
=
，
5
BF
CD
=
= ，
∵AE
DE
⊥
，
∴
12
AD
AF
=
=
，
5 12
AF
AB
BF
AB
=
+
=
+ =
，
7
AB =
，
8 / 124
学科网（北京）股份有限公司
6．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，ABC
的两条高AD，BE相交于点F，AC
BF
=
．
(1)求证：ADC
BDF
≌
．
(2)若
15
3
BC
AF
=
=
，
，求CD的长．
【答案】(1)
证明：∵AD，BE是ABC
的高，
∴
90
ADC
ADB
FEA
=
=
=
，
∵
90
FBD
BFD
AFE
DAC
+
=
+
=
，
BFD
AFE
=
，
∴
FBD
DAC
=
，
∵AC
BF
=
，
∴
(
)
AAS
ADC
BDF
≌
；
(2)6
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；
（1）由AAS 即可证明ADC
BDF
≌
；
（2）由ADC
BDF
≌
得BD
AD
DF
CD
=
=
，
，设CD
x
=
，则
15
AD
BD
x
=
=
−
，由AD
AF
DF
=
+
建立方
程即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵ADC
BDF
≌
，
∴BD
AD
DF
CD
=
=
，
，
设CD
x
=
，则
15
AD
BD
x
=
=
−
，DF
x
=
，
∵AD
AF
DF
=
+
，
∴15
3
x
x
−
= +
，
解得：
6
x =
，
故
6
CD =
．
知识点四 全等三角形的判定4（边边边SSS）
定理4：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果
'
'
A B ＝AB，
'
'
A C ＝AC，
'
'
B C ＝BC，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
9 / 124
学科网（北京）股份有限公司
即学即练
．．．．
7．（25-26 八年级上·湖南永州·期末）如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，AB
CD
=
，AM
BN
=
，
CM
DN
=
．
(1)求证：
ACM
BDN
≌
；
(2)若
70
M =
∠
，
32
D
=
， 求
A
的度数．
【答案】(1)
解：
AB
CD
=
，
AB
BC
CD
BC
+
=
+
，即CA
DB
=
．
在ACM
和BDN 中，
CA
DB
AM
BN
CM
DN
=
=
=
，
(
)
SSS
ACM
BDN
≌
．
(2)78
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角
形的性质证明角相等．
（1）根据AB
CD
=
可得CA
DB
=
，再加上条件AM
BN
=
，CM
DN
=
．可利用SSS定理证明
ACM
BDN
≌
；
（2）由（1）知ACM
BDN
≌
，根据全等三角形的性质得到对应角相等，再利用三角形内角和定理求出
A
的度数．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知ACM
BDN
≌
，
32
ACM
D
=
=
．
80
A
M
ACM
=
+
+
，
70
M =
∠
，
10 / 124
学科网（北京）股份有限公司
180
180
70
32
78
A
M
ACM
=
−
−
=
−
−
=
．
8．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：DF
BE
=
，AD
BC
=
，AE
CF
=
．
(1)求证：
ADF
CBE
△
≌△
．
(2)判断BE与DF 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
∵AE
CF
=
，
∴AE
EF
CF
EF
+
=
+
,
∴AF
CE
=
，
∵DF
BE
=
，AD
BC
=
，
∴
ADF
CBE
△
≌△
．
(2) BE
DF
∥
，
理由如下：
由（1）得
ADF
CBE
△
≌△
，
∴
AFD
CEB
=
，
∴BE
DF
∥
．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由AE
CF
=
，得AF
CE
=
，再结合DF
BE
=
，AD
BC
=
，即可证明
ADF
CBE
△
≌△
；
（2）由全等三角形的对应角相等得
AFD
CEB
=
，再根据内错角相等，两直线平行，得
AFD
CEB
=
，即可作答．
【详解】（1）略
（2）略
知识点五 灵活选定判定方法
判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
11 / 124
学科网（北京）股份有限公司
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可
以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
SAS
HL
SSS
AAS
SAS
ASA
AAS
ASA
AAS
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
找夹角
已知两边找直角
找另一边
边为角的对边
找任一角
找夹角的另一边
已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角
找边的对角
找夹边
已知两角
找任一边
灵活运用全等判定定理
（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此
在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
（2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
（3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)
已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)
已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS)
即学即练
．．．．
9．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知BC
DC
=
，添加下列某一个条件后，能判定
12 / 124
学科网（北京）股份有限公司
ABC
ADC
≌
的是（ ）．
A．
B
D
=
B．
BAC
DAC
=
C．AD
BC
=
D．
BCA
DCA
=
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键．
根据全等三角形的判定定理，逐一判断即可．
【详解】解：A，不满足全等三角形的判定条件，故A 错误；
B，不满足全等三角形的判定条件，故B 错误；
C，不满足全等三角形的判定条件，故C 错误；
D，满足SAS 全等三角形的判定条件，故D 正确．
故选：D．
10．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在ABC
和DEF
中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上．下
面四个条件：①AB
DE
=
；②AB
DE
∥
；③BE
CF
=
；④
A
D
=
．
(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
【答案】(1)
解：①已知：AB
DE
=
，AB
DE
∥
，BE
CF
=
，求证
A
D
=
；
②已知：AB
DE
=
，AB
DE
∥
，
A
D
=
，求证BE
CF
=
；
(2)
解：选择①②③，证明④
∵AB
DE
∥
，
∴
B
E
= ，
13 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵BE
CF
=
，
∴BE
CE
CF
CE
+
=
+
，即BC
EF
=
，
又∵AB
DE
=
，
∴
(
)
ABC
DEF SAS
≌
，
∴
A
D
=
；
选择①②④，证明③
∵AB
DE
∥
，
∴
B
E
= ，
又∵AB
DE
=
，
A
D
=
，
∴
(
)
ABC
DEF ASA
≌
，
∴BE
CF
=
，
∴BE
CE
CF
CE
+
=
+
，即BC
EF
=
。
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
题型01 用SAS 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
1．如图，OA
OB
=
，加一个条件 ，并用SAS 证明AOC
BOD
≌
．
解题贴士
两边必须夹同一角，角为两边夹角，非对角；对应边、角书写对齐；看清图形公共边 / 对
顶角，避免误用 SSA 判定。
14 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【答案】OC
OD
=
（答案不唯一）
【分析】SAS 判定要求：两边及其夹角对应相等．已知OA
OB
=
，还有对顶角
AOC
BOD
=
，因此只需
要再添加一组夹边OC
OD
=
，就可以利用SAS 证明AOC
BOD
≌
．
【详解】解：添加条件：OC
OD
=
，理由如下，
在AOC
和BOD
中：
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
=
=
，
(
)
AOC
BOD SAS
≌
．
变｜式｜巩｜固
2．如图，
,
,
,
AB
AD AC
AE
BAE
DAC
ABC
=
=
=
△
与ADE
全等吗？
【答案】ABC
与ADE
全等
【分析】根据SAS证明即可．
【详解】解：ABC
与ADE
全等，
∵
BAE
DAC
=
∴
BAE
EAC
DAC
EAC
+
=
+
∴
BAC
DAE
=
∵
,
AB
AD AC
AE
=
=
∴
(
)
SAS
ABC
ADE
△
≌△
．
3．如图，点B、E 在线段AD上，
,
,
AB
DE BC
EF BC
EF
=
=
∥
．
15 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(1)试说明：DBC
AEF
≌
；
(2)判断线段AF 与CD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
解：∵
,
AB
DE BC
EF
=
∥
，
∴AB
BE
DE
BE
+
=
+
，
CBD
AEF
=
，
∴AE
BD
=
，
又∵BC
EF
=
，
∴
(
)
SAS
DBC
AEF
≌
；
(2)
解：AF
CD
∥
，理由如下：
∵DBC
AEF
≌
，
∴
A
D
=
，
∴AF
CD
∥
．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的
关键：
（1）平行线的性质，得到
CBD
AEF
=
，SAS证明DBC
AEF
≌
即可；
（2）全等三角形的性质，得到
A
D
=
，即可得到AF
CD
∥
．
【详解】（1）略
（2）略
4．如图，AB
EF
=
，AD
CF
=
，AB
EF
∥
，求证：
(1)
D
ABC
FE
≌△
△
(2) BC
DE
∥
【答案】(1)
证明：
AD
CF
=
16 / 124
学科网（北京）股份有限公司
AD
CD
CF
CD
+
=
+
AC
DF
=
AB EF
∥
A
F
=，
又∵AB
EF
=
，
(
)
ABC
FED SAS
≌
(2)
证明：由（1）得
D
ABC
FE
≌△
△
ACB
EDF
=
BC
DE
∥
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键．
（1）求出AC
DF
=
，根据SAS推出
D
ABC
FE
≌△
△
；
（2）由（1）全等三角形的性质可得
ACB
EDF
=
，即可证明BC
EF
∥
．
【详解】（1）略
（2）略
题型02 全等的性质与SAS 综合
典｜例｜精｜析
5．如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
于点D ，AB
BD
CD
+
=
，
25
C
=
，则
B
等于（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】在CD上截取 DE
BD
=
，连接 AE ，通过证明ABD
AED
≌
得到AB
AE
=
，
B
AED
=
，再
结合已知条件推出 AE
EC
=
，利用等边对等角和外角性质即可求解
【详解】解：如图，在 CD上截取DE
BD
=
，连接 AE ，
17 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
ADE
=
=
，
在
ABD
和
AED
中，
BD
ED
ADB
ADE
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
AED SAS
≌
，
∴AB
AE
=
，
B
AED
=
，
∵CD
DE
EC
=
+
，且 BD
DE
=
，
∴CD
BD
EC
=
+
，
又 ∵AB
BD
CD
+
=
，
∴AB
BD
BD
EC
+
=
+
，即 AB
EC
=
，
∴AE
EC
=
，
∴
25
EAC
C
=
=
，
∵
AED
∠
是
AEC
△
的外角，
∴
25
25
50
AED
EAC
C
=
+
=
+
=
，
∴
50
B =
∠
．
变｜式｜巩｜固
6．如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚AD，BC 交于点O，且点O是AD，BC 的中
点．若上方椅面宽度
26 cm
AB =
，则椅脚底部CD的宽度是________cm．
【答案】26
【分析】根据全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：∵点O是AD，BC 的中点，
∴
,
OA
OD OB
OC
=
=
，
∵
AOB
COD
=
，
∴
(SAS)
AOB
DOC
≌
，
∴
26cm
CD
AB
=
=
．
18 / 124
学科网（北京）股份有限公司
7．如图，ABD
和
AEC
△
都是等腰三角形，AB
AD
=
，AC
AE
=
，
DAB
CAE
=
．连接BC ，DC 与
BE相交于点O．
(1)求证：CD
BE
=
；
(2)试说明：
DOE
与
CAE
的数量关系．
【答案】(1)证明：
DAB
CAE
=
，
DAB
BAC
CAE
BAC
+
=
+
，即
DAC
BAE
=
，
在ABE
和ADC
中，
AB
AD
BAE
DAC
AE
AC
=
=
=
，
(
)
SAS
ABE
ADC
≌
，
CD
BE
=
；
(2)
180
DOE
CAE
+
=
，理由如下，
如图，设AC 和OE 相交于点F ，
由（1）可知，ABE
ADC
≌
，
AEF
FCO
=
，
又
AFE
CFO
=
，
180
180
AEF
AFE
FCO
CFO
−
−
=
−
−
，
EAF
FOC
=
，
180
DOE
FOC
+
=
，
180
DOE
CAE
+
=
．
【分析】（1）根据SAS证明ABE
ADC
≌
，即可证得结论；
（2）设AC 和OE 相交于点F ，由ABE
ADC
≌
得到对应角相等，继而根据三角形内角和定理得到
EAF
FOC
=
，从而得到
180
DOE
CAE
+
=
．
19 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）略；
（2）略．
8．如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AC ，DE 相交于点G ，AB
DE
=
，AB DE
∥
，BE
CF
=
．
(1)请判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由；
(2)若
45
B
=
，
60
F
=
，求
EGC
的度数．
【答案】(1) AC
DF
∥
，理由如下：
因为AB DE
∥
，
所以
B
DEF
=
．
因为BE
CF
=
，
所以BE
CE
CF
CE
+
=
+
，
所以BC
EF
=
．
在ABC
和DEF
中，
AB
DE
B
DEF
BC
EF
=
=
=
，
所以
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
，
所以
F
ACB
=
，
所以AC
DF
∥
；
(2)75
【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，ABC
DEF
≌
，
所以
45
DEF
B
= =
，
60
ACB
F
=
=
，
所以
180
180
45
60
75
EGC
DEF
ACB
=
−
−
=
−
−
=
．
20 / 124
学科网（北京）股份有限公司
题型03 用ASA 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
9．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角
形模具，你选择带的那块编号是________．
【答案】
③
【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形
的判定定理寻找包含足够条件的碎片．
【详解】第①块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小；
第②块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小；
第③块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等
的两个三角形全等，
带第③块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具．
变｜式｜巩｜固
10．如图：点A
B
C
D
、、、
在同一直线上，CE
BF
，AB
CD
=
，请添加一个条件______，使得
ACE
DBF
△
≌△
（填一个即可）．
【答案】
A
D
=
（答案不唯一 CE
BF
=
、
E
F
=
）
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：∵点A B
C
D
、、、
在同一直线上，AB
CD
=
，
解题贴士
ASA 需两角夹一条公共对应边，边必须是两角中间夹边；边角对应有序书写，区分 AAS，
勿错用非夹边，留意公共角、对顶角等等角条件。
21 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴AB
BC
CD
BC
+
=
+
，
∴AC
BD
=
；
又∵CE
BF
∥
，
根据平行线的性质，得
ACE
DBF
=
此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可：
添加CE
BF
=
，可由SAS判定全等；
添加
A
D
=
，可由ASA判定全等；
添加
E
F
=
，可由AAS判定全等，以上均正确
综上， 答案不唯一，CE
BF
=
，
A
D
=
、
E
F
=
都正确．
11．如图，AB
AC
=
，CD
AB
，且
ABE
CAD
=
，延长BE交AD于点F．
(1)求证：ABE
CAD
≌
；
(2)若点E 是AC 的中点，
3
CD =
，ABE
的周长比BCE
的周长大2，求ABC
的周长.
【答案】(1)证明：∵
//
CD AB ，
∴
BAE
ACD
=
，
在ABE
和CAD
中，
BAE
ACD
AB
AC
ABE
CAD
=
=
=
，
∴
(
)
ABE
CAD ASA
≌
；
(2)16
【分析】（1）根据ASA可证明ABE
CAD
≌
即可；
（2）根据全等三角形的性质求出
3
AE
CD
=
= ，根据中点的定义求出
3
AE
CE
=
= ，
6
AC
AB
=
=
，再根据
三角形周长定义求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵ABE
CAD
≌
，且
3
CD =
，
∴
3
AE
CD
=
= ，
∵点E 是AC 的中点，
∴
3
AE
CE
=
= ，
6
AC
AB
=
=
，
22 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵ABE
的周长比BCE
的周长大2，
∴(
) (
)
2
AB
AE
BE
BC
BE
CE
+
+
−
+
+
=
，
即(
) (
)
6
3
3
2
BE
BC
BE
+ +
−
+
+
=
，
则6 3
3
2
BC
+ −
−=
，
∴
4
BC =
，
∴ABC
的周长为
6
6
4
16
AB
AC
BC
+
+
= + +
=
．
12．如图，
A
B
=，
1
2
= ，AE
BE
=
，点D 在AC 边上．
(1)求证：
ACE
BDE
≌△
△
；
(2)若
65
BDE
=
，求
C
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
65
C =
∠
【分析】（1）证明
AEC
BED
=
，进一步证明
(
)
ACE
BDE ASA
≌
即可；
（2）利用全等三角形的性质求解即可.
【详解】（1）证明：
1
2
=
，
1
2
AED
AED
+
=+
，
即
AEC
BED
=
，
在
ACE
△
和BDE
中，
A
B
AE
BE
AEC
BED
=
=
=
，
(
)
ACE
BDE ASA
≌
；
（2）解：
ACE
BDE
≌
△
△
，
C
BDE
=
，
又
65
BDE
=
，
65
C
=
.
23 / 124
学科网（北京）股份有限公司
题型04 全等的性质与SAS 综合
典｜例｜精｜析
13．如图，点F ，G 分别在ADE
的AD，DE 边上，C ，B 依次为GF 延长线上两点，AB
AD
=
，
BAF
CAE
=
，
B
D
= ．
(1)求证：BC
DE
=
；
(2)若
35
B
=
，
78
AFB
=
，求
DGB
的度数，并直接写出当
CAB
=_____时，DE
AC
．
【答案】(1)证明：∵
BAF
CAE
=
，
∴
BAF
FAC
CAE
FAC
−
=
−
，
∴
BAC
FAE
=
，
∵AB
AD
=
，
B
D
= ，
∴
(
)
ABC
ADE ASA
≌
，
∴BC
DE
=
．
(2)
67
DGB
=
，32
【分析】（1）先结合
BAF
CAE
=
，得
BAC
FAE
=
，又因为AB
AD
=
，
B
D
= ，即可证明
(
)
ASA
ABC
ADE
≌
△
△
；
（2）运用全等三角形的性质得
35
D
B
= =
，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得
67
DGB
=
，
根据DE
AC
，故
67
ACG
DGB
=
=
，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
35
D
B
= =
∵
78
GFD
AFB
=
=
∴
180
67
DGB
GFD
D
=
−
−
=
∵DE
AC
，
∴
67
ACG
DGB
=
=
，
∴
67
35
32
CAB
ACG
B
=
−=
−
=
（三角形外角性质）
变｜式｜巩｜固
24 / 124
学科网（北京）股份有限公司
14．如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC
DE
=
，AC
DE
∥
，
A
D
=
．
(1)请说明ABC
DFE
≌
；
(2)若
70
A
=
，
60
ACB
=
，求
F
的度数．
【答案】(1)证明：∵AC
DE
∥
，
∴
ACB
FED
=
，
∵
ACB
FED
AC
DE
A
D
=
=
=
∴
(
)
ASA
ABC
DFE
≌
．
(2)50
【分析】（1）根据三角形的判定证明即可；
（2）利用三角形内角和，全等三角形的性质，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：
(
)
ASA
ABC
DFE
≌
，
∴
B
F
=
．
∵
70
A
=
，
60
ACB
=
，
∴
180
50
A B
B
F
C
A
−=
=
=
−
；
15．如图，在ABC
中，
6
AB =
，
8
AC = ，
90
BAC
=
，AD
BC
，点E 是AC 的中点，连接DE 并延长，
交BC 于点F ．
(1)求证：ADE
CFE
≌
；
(2)求四边形ABFD的面积．
【答案】(1)
证明：ADE
CFE
25 / 124
学科网（北京）股份有限公司
AD
BC
，
DAE
C
=
．
点E 是AC 的中点，
AE
CE
=
．
在ADE
和CFE
中，
,
,
DAE
C
AE
CE
AED
CEF
=
=
=
(
)
ADE
CFE ASA
≌
．
(2)24
【分析】（1）利用平行线的性质得到内错角相等，结合E 是AC 中点和对顶角相等，用ASA 判定
ADE
CFE
．
（2）先算出直角ABC
的面积；再利用（1）中全等三角形面积相等，通过割补法，将四边形ABFD的面
积转化为与ABC
面积相等，直接得到结果．
【详解】（1）（1）略
（2）
90
BAC
=
，
6
AB =
，
8
AC = ，
1
1
6 8
24
2
2
ABC
S
AB
AC
=
=
=
，
由（1）知ADE
CFE
≌
，
ADE
CFE
S
S
=
．
观察图形可知：
ABC
CFE
ADE
ABFD
S
S
S
S
=
−
+
四边形
．
24
ABC
ABFD
S
S
=
=
四边形
．
16．如图，
A
B
=，
1
2
= ，AE
BE
=
，点D 在AC 边上．
(1)求证：
ACE
BDE
≌△
△
；
(2)判断ED与EC 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
证明：∵
1
2
= ，
26 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴1
2
AED
AED
+
= +
∴
BED
AEC
=
，
在ACE
和BDE
中，
A
B
AE
BE
AEC
BED
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ACE
BDE
≌
；
(2)
解：ED
EC
=
，理由如下：
由（1）知：
ACE
BDE
≌△
△
，
∴ED
EC
=
.
【分析】（1）利用ASA证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质，即可得证.
【详解】（1）略
（2）略
题型05 用AAS 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
17．如图，
ABC
ABD
=
，AC
AD
=
，根据AAS 定理，要使
ABC
ABD
△
≌△
，则须补充的一个条件是
___________．
【答案】
C
D
=
或
CAB
DAB
=
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据
ABC
ABD
=
，AC
AD
=
，添加
C
D
=
或
CAB
DAB
=
利用AAS 定理可判断
ABC
ABD
△
≌△
；由隐含的条件AB
AB
=
结合
ABC
ABD
=
，添加
C
D
=
利用
解题贴士
AAS 是两角及其中一角对边对应相等，边不能夹两角，区别 ASA；边角一一对应，找准等
角、等边，不可混淆边的位置。
27 / 124
学科网（北京）股份有限公司
AAS 定理可判断
ABC
ABD
△
≌△
，据此即可求解．
【详解】解：添加
C
D
=
，
在ABC
和ABD
中，
ABC
ABD
C
D
AC
AD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABC
ABD
△
≌△
；
添加
CAB
DAB
=
，
在ABC
和ABD
中，
ABC
ABD
CAB
DAB
AC
AD
=
=
=
∴
(
)
AAS
ABC
ABD
△
≌△
；
添加
C
D
=
，
在ABC
和ABD
中，
C
D
ABC
ABD
AB
AB
=
=
=
∴
(
)
AAS
ABC
ABD
△
≌△
；
故答案为：
C
D
=
或
CAB
DAB
=
．
变｜式｜巩｜固
18．如图，在ABC
中，点F 在边AB 上，且
ACF
B
= ，AD平分
BAC
交CF 于点D ，DE
CB
∥
交
AB 于点E ．
(1) AED
与ACD
全等吗？请说明理由；
(2)若
7
CF =
，
8
AC = ，
5
AF = ，求DEF
的周长．
【答案】(1)
ACD
AED
△
≌△
，理由如下：
DE
CB
∥
，
∴
AED
B
= ，
28 / 124
学科网（北京）股份有限公司
ACF
B
=
，
∴
ACF
AED
=
，
AD
平分
CAF
，
∴
CAD
BAD
=
，
AD
AD
=
，
∴
(
)
AAS
ACD
AED
≌
；
(2)10
【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明
ACF
AED
=
，再由AAS证明即可；
（2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果．
【详解】（1）略
（2）解：
,
8
ACD
AED AC =
≌
，
∴
8,
AE
AC
CD
ED
=
=
=
，
5
=
AF
，
∴
8 5
3
EF
AE
AF
−
=
= −= ，
7
CF =
，
∴DEF
的周长为
7 3 10
FD
DE
EF
FD
DC
EF
CF
EF
+
+
=
+
+
=
+
=
+ =
．
19．如图，点B 、E 、C 、F 是同一直线上顺次四点，AB
DE
∥
，AB
DE
=
，
ACB
F
= ．
(1)求证：AC
DF
=
；
(2)添加一个与
D
有关的条件，使得AC
DE
⊥
．（不需要证明）
【答案】(1)证明：
AB
DE
，
B
DEF
=
，
在ABC
与DEF
中，
B
DEF
=
，
ACB
F
= ，AB
DE
=
，
(
)
ABC
DEF AAS
≌
，
AC
DF
=
．
(2)
90
D
=
【分析】（1）先由
//
AB DE推出一组同位角相等，结合已知AB
DE
=
、
ACB
F
=
，利用AAS 证明
ABC
DEF
≌
，再根据全等三角形对应边相等得到AC
DF
=
；
（2）要使AC
DE
⊥
，结合ABC
DEF
≌
的角相等关系，构造直角条件，写出一个和
D
相关的条件即
29 / 124
学科网（北京）股份有限公司
可．
【详解】（1）略
（2）解：添加条件：
90
D
=
，
理由：若
90
D
=
，则DEF
是直角三角形，
90
DEF
F
+
=
，
由ABC
DEF
≌
得
ACB
F
=
，
等量代换得
90
DEF
ACB
+
=
，
因此AC
DE
⊥
．
20．如图，在ABC
中，
90 ,
ACB
AC
BC
=
=
，AD
CD
⊥
于点D ，BE
CD
⊥
于点E ．
(1)求证：ACD
CBE
≌
；
(2)若
6,
4
BE
DE
=
=
，求
ACE
△
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）因为AD
CD
⊥
，BE
CD
⊥
，所以可先推导
CAD
与
BCE
相等；可利用AAS定理证明
ACD
CBE
≌
．
（2）因为ACD
CBE
≌
，所以可得到对应边相等，进而求出CD的长度；再结合三角形面积公式，计算
ACE
△
的面积．
【详解】（1）证明：∵AD
CD
⊥
，BE
CD
⊥
，
90
ADC
CEB
=
=
，
90
ACD
BCE
ACB
+
=
=
，
在Rt ACD
中，
90
CAD
ACD
+
=
，
.
CAD
BCE
=
在ACD
和△CBE 中：
∵
90 ,
,
,
ADC
CEB
CAD
BCE AC
BC
=
=
=
=
(AAS).
ACD
CBE
≌
（2）解：由全等得：
6,
.
CD
BE
AD
CE
=
=
=
∵
,
,
C D E 共线，且
4
DE =
，
∴
6
4
2
CE
CD
DE
=
−
= −
=
，
∴
2
AD =
，
30 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
1
2 2
2.
2
2
ACE
S
CE
AD
=
=
=
题型06 全等的性质与AAS 综合
典｜例｜精｜析
21．如图，AD是ABC
的中线，BE
AD
⊥
交AD的延长线于点E ，CF
AD
⊥
于点F ，G 是AF 上一
点，连接BG ．
(1)证明：DE
DF
=
．
(2)若
CAF
BGE
=
，
2
DE =
，求AG 的长．
【答案】(1)证明：∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵BE
AD
⊥
，CF
AD
⊥
，
∴
90
BED
CFD
=
=
，
在BED
和CFD
中，
90
BED
CFD
BDE
CDF
BD
CD
=
=
=
=
∴
(
)
BED
CFD AAS
≌
，
∴DE
DF
=
．
(2)
4
AG =
【分析】（1）证明BED
CFD
≌
，对应边相等即可得到DE
DF
=
．
（2）证明
BEG
CFA
△
≌△
，则AF
EG
=
，即AG
EG
=
，则题目可解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）BED
CFD
≌
，
∴DE
DF
=
，BE
CF
=
，
∵BE
AD
⊥
，CF
AD
⊥
，
∴
90
BEG
CFA
=
=
，
31 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵
BGE
CAF
=
，
∴
(
)
BEG
CFA AAS
≌
，
∴GE
AF
=
，
∵
2
DE =
，
∴
4
GE
DE
DF
FG
FG
=
+
+
=
+
，
∴AF
FG
AG
=
+
，
∴4
FG
FG
AG
+
=
+
，
∴
4
AG =
．
变｜式｜巩｜固
22．如图，在ABC
中，DE 是BC 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AB 边于点E ，过点A作AF
AB
⊥
于点A，交DE 延长线于点F ，且BE
EF
=
，连接CF 、FB．
(1) DC 与AF 相等吗？为什么？
(2)若
50
DCF
=
，求
ABC
的度数．
【答案】(1) AF
DC
=
，理由如下：
∵DE 是BC 边的垂直平分线，
∴BD
DC
=
，
90
BDF
=
，
∵AF
AB
⊥
，
∴
90
FAB
=
，
在AFE
和DBE
中，
FEA
BED
FAE
BDE
BE
EF
=
=
=
，
∴
(
)
AFE
DBE AAS
≌
，
∴AF
BD
=
，
∴AF
DC
=
．
(2)
10
ABC
=
【分析】（1）根据垂直平分线，求出
90
BDF
=
，根据全等三角形的判定和性质，可得
(
)
AFE
DBE AAS
≌
，得到AF
BD
=
，等量代换，即可；
32 / 124
学科网（北京）股份有限公司
（2）根据垂直平分线的性质，可得
90
FDB
=
，BF
CF
=
，求出
50
FBD
DCF
=
=
，根据等边对等
角，则
40
BFD
FBE
=
=
，最后根据
ABC
FBD
FBA
=
−
，即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵DE 是BC 边的垂直平分线，
∴
90
FDB
=
，BF
CF
=
，
∴
50
FBD
DCF
=
=
，
∴
40
BFD
=
，
∵BE
EF
=
，
∴
40
BFD
FBE
=
=
，
∴
50
40
10
ABC
FBD
FBA
=
−
=
−
=
．
23．如图，在ABC
中，点D 为AB 边上一点，点E 为AC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的平行线
CF 于点F ，连接BE．
(1)求证：ADE
CFE
≌
；
(2)若BE
AC
⊥
，
3
BD =
，
4
CF =
，求BC 的长．
【答案】(1)证明：∵E 为AC 中点，
∴AE
CE
=
，
∵AB
CF
∥
∴
,
DAE
ECF
ADE
CFE
=
=
在AED
和CEF
中
DAE
ECF
ADE
CFE
AE
CE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
CFE
≌
△
△
(2)7
【分析】（1）根据平行线的性质可得
,
DAE
ECF
ADE
CFE
=
=
，根据E 为AC 中点，可得
AE
CE
=
，进而根据AAS ，证明ADE
CFE
≌
；
（2）证明AEB
CEB
≌
，得到BC
AB
=
，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵BE
AC
⊥
，
33 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
90
AEB
CEB
=
=
，
在
AEB
△
和CEB
中，
90
AE
CE
AEB
CEB
BE
BE
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AEB
CEB
≌
；
∴BC
AB
=
，
由（1）知：AED
CEF
≌
，
∴
4
AD
CF
=
=
，
∴
4 3
7
BC
AB
AD
BD
=
=
+
=
+ =
．
24．如图，AD 是ABC
的中线，BE
AD
⊥
交AD 的延长线于点E，CF
AD
⊥
于点F，G 是AF 上一
点，连接BG ．
(1)试说明DE
DF
=
．
(2)若
ACF
GBE
=
，
3
DF =
，求AG 的长．
【答案】(1)证明：∵AD 是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵BE
AD
⊥
，CF
AD
⊥
，
∴
90
BED
CFD
=
=
，
∵
BDE
CDF
=
，
∴
(
)
AAS
BDE
CDF
≌
，
∴DE
DF
=
；
(2)
6
AG =
【分析】（1）结合中线的定义得BD
CD
=
，再根据BE
AD
⊥
，CF
AD
⊥
，以及对顶角相等，证明
(
)
AAS
BDE
CDF
≌
，即可作答．
（2）结合
BDE
CDF
△
≌△
，
ACF
GBE
=
，证明
(
)
ACF
GBE ASA
≌
，结合线段的和差关系得
EF
AG
=
，代入数值整理得
3,
DE
DF
=
=
即
6
AG =
．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
90
BED
CFD
=
=
，
BDE
CDF
△
≌△
，DE
DF
=
，
34 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴BE
CF
=
，
∵
ACF
GBE
=
，
90
BED
CFD
CFA
=
=
=
，
∴
(
)
ACF
GBE ASA
≌
，
∴EG
FA
=
，
∴EG
FG
FA
FG
−
−
=
，
∴EF
AG
=
，
∵DE
DF
=
，
3
DF =
，
∴
3,
DE
DF
=
=
∴
6
EF =
，
∴
6
AG =
．
题型07 用SSS 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
25．小明回顾了用尺规作
A O B
AOB
=
的过程是：
由尺规作图可知，OC
O C
=
，OD
O D
=
，CD
C D
=
，
所以
OCD
O C D
≌
△
△
________，
所以
DOC
D O C
=
________．（填写理由依据）
【答案】 SSS 全等三角形的对应角相等
【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可．
【详解】解：由尺规作图可知，OC
O C
=
，OD
O D
=
，CD
C D
=
，
所以
(SSS)
OCD
O C D
≌
，
解题贴士
SSS 需三组对应边全部相等，边要一一对应；注意公共边、等量代换推等边，书写对应顶
点对齐，不可缺一组边就判定全等。
35 / 124
学科网（北京）股份有限公司
所以
DOC
D O C
=
（全等三角形的对应角相等）．
变｜式｜巩｜固
26．如图，下面是“作一个
A B C
△
，使得△
≌△
A B C
ABC ”的尺规作图方法．
（1）作一条线段
=
AB
AB ；
（2）以A为圆心，AC 长为半径画弧，以B为圆心，BC 长为半径画弧，两弧在线段A B
上方交于点
C；
（3）连接A C
，B C
，则△
≌△
A B C
ABC ．
上述判定△
≌△
A B C
ABC 的依据是________．
【答案】三边分别相等的两个三角形全等（SSS ）
【分析】根据尺规作图的步骤，可得
=
AB
AB ，
'
'
AC
AC
=
，
'
'
BC
B C
=
，根据“三边分别相等的两个三角
形全等”，可判定△
≌△
A B C
ABC ．
【详解】解：根据题意可知，
'
'
AC
AC
=
，
'
'
BC
B C
=
，
在
A B C
△
和ABC
中，
A B
AB
AC
A C
BC
B C
=
=
=
，
(
)
SSS
A B C
ABC
≌
．
27．已知：ABC
，点E ，点D 分别在边AC ，AB 上，延长BC 至点F ，连接ED，DF ，DF 交AC 于点
G ．现有四个条件：
①ED
BF
∥
；②AD
BF
=
；③DE
BD
=
；④AE
DF
=
．
请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明．
请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明．
【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④
36 / 124
学科网（北京）股份有限公司
已知：ED
BF
∥
，AD
BF
=
，DE
BD
=
，
求证：AE
DF
=
证明：
ED
BF
，
ADE
DBF
=
在ΔADE和FBD
中
由
AD
FB
ADE
FBD
DE
BD
=
=
=
，
(
)
SAS
ADE
FBD
≌
，
AE
DF
=
；
情况二：选取条件：②③④，结论：①
已知：AE
DF
=
，AD
BF
=
，DE
BD
=
，
求证： ED
BF
∥
证明：在ΔADE和FBD
中
由
AD
FB
AE
FD
DE
BD
=
=
=
，
(
)
SSS
ADE
FBD
≌
，
ADE
FBD
=
，
ED BF
∥
；
【详解】略
28．如图，在ABC
中，
90
AB
CB
ABC
F
=
=
，
，为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且
AE
CF
FB
BE
=
=
，
．
(1)求证：ABE
CBF
≌
；
(2)若
5
2
CE
FB
=
=
，
，求AF 的长度；
(3)若
30
45
CAE
BCA
=
=
，
，求
ACF
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)9
(3)60
37 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）利用SSS证明ABE
与
CBF
△
全等；
（2）先根据全等三角形性质得出BE
BF
=
，进而求出BC ，AB 的长度，再计算AF ；
（3）先求出
BAE
，再根据全等三角形性质得到
BCF
，最后求出
ACF
．
【详解】（1）证明：在ABE
和
CBF
△
中，
BE
BF
AB
CB
AE
CF
=
=
=
，
(
)
SSS
ABE
CBF
△
≌△
；
（2）解：
ABE
CBF
≌
，
BE
BF
=
．
∵
2
FB =
，
∴
2
BE = ．
又
5
CE =
，
2
5
7
BC
BE
CE
=
+
=
+
=
．
AB
CB
=
，
7
AB =
，
7
2
9
AF
AB
FB
=
+
=
+
=
；
（3）解：
90
ABC
=
，
30
CAE
=
，
CAB
CAE
EAB
=
+
，
45
BCA
=
，
45
BAC
=
，
15
EAB
=
，
ABE
CBF
△
≌△
，
EAB
FCB
=
，
15
FCB
=
，
15
45
60
ACF
FCB
BCA
=
+
=
+
=
．
题型08 全等的性质与SSS 综合
典｜例｜精｜析
29．如图，在五边形ABCDE 中，F 是边CD上的点，连接AF ，满足AB
AF
=
且BC
FC
=
．
38 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(1)证明：
CAB
CAF
=
．
(2)若
1
2
CAD
BAE
=
，
85
AFC
=
，
15
DAE
=
，求
ADF
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70
【分析】（1）利用SSS证明
ABC
AFC
≌
△
△
即可得到答案；
（2）先证明AD是
FAE
平分线．可得
15
FAD
DAE
=
=
，结合
AFC
FAD
ADF
=
+
，可得答案.
【详解】（1）证明：在ABC
和AFC
中，
AB
AF
BC
FC
AC
AC
=
=
=
，
(
)
SSS
ABC
AFC
≌
，
CAB
CAF
=
.
（2）解：
CAB
CAF
=
，
1
2
CAF
BAF
=
，
1
2
CAD
BAE
=
，
BAE
BAF
FAE
=
+
，
1
1
2
2
CAD
BAF
FAE
=
+
，
1
2
CAD
CAF
FAE
=
+
，
CAD
CAF
FAD
=
+
，
1
2
FAD
FAE
=
，
即AD是
FAE
平分线．
AD平分
FAE
，
15
FAD
DAE
=
=
，
在ADF
中，
AFC
FAD
ADF
=
+
，
85
AFC
=
，
15
FAD
=
，
39 / 124
学科网（北京）股份有限公司
85
15
70
ADF
=
−
=
.
变｜式｜巩｜固
30．如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，EC
FD
=
，EA
FB
=
，AB
CD
=
．
(1)求证：
E
F
= ；
(2)若
40
A =
∠
，
80
D
=
，求
EPF
度数．
【答案】(1)
证明：∵AB
BC
CD
BC
+
=
+
，即AC
BD
=
，
在EAC
与FBD
中，
EA
FB
EC
FD
AC
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
EAC
FBD
≌
，
∴
E
F
= ；
(2)60
【分析】（1）证明EAC
FBD
≌
，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得
80
ECA
D
=
=
，
40
FBD
A
= =
，再由三角形内角和定理可得
BPC
的度数，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵EAC
FBD
≌
，
40
A =
∠
，
80
D
=
，
∴
80
ECA
D
=
=
，
40
FBD
A
= =
，
∴
180
180
40
80
60
BPC
FBD
ACE
=
−
−
=
−
−
=
，
∴
60
EPF
BPC
=
=
．
31．如图，已知点
,
,
,
B E C F 在同一直线上，AB
DE
=
，
,
AC
DF BE
CF
=
=
．
(1)求证：ABC
DEF
≌
；
40 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(2)若
85
A
=
，
60
B
=
，求
F
的度数．
【答案】(1)
证明：∵BE
CF
=
，
∴BE
CE
CF
CE
+
=
+
，
即BC
EF
=
，
又∵AB
DE
=
，AC
DF
=
，
∴
(
)
ABC
DEF SSS
≌
；
(2)
35
F
=
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）先由BE
CF
=
，整理得BC
EF
=
，再结合AB
DE
=
，AC
DF
=
，即可证明
(
)
ABC
DEF SSS
≌
；
（2）先根据三角形内角和性质进行计算，得
180
35
ACB
A
B
=
−−=
，结合全等三角形的对应角相
等，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：∵
85
A
=
，
60
B
=
，
∴
180
35
ACB
B
A
=
−−=
；
由（1）得ABC
DEF
≌
，
∴
35
F
ACB
=
=
．
32．如图，ABC
为等腰三角形，AC
BC
=
，BDC
和
ACE
△
分别为等边三角形，AE 与BD相交于点
F ，连接CF 并延长，交AB 于点G ．
(1)求证：G 是AB 的中点；
(2)若AC 平分
DCG
，求
BAE
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌
握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）由题意易得
CAB
CBA
=
，
60
CAE
CBD
=
=
，则有
FAG
FBG
=
，然后可得
41 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(
)
SSS
AFC
BFC
≌
△
△
，则有
ACF
BCF
=
，进而根据等腰三角形的性质可进行求证；
（2）根据题意得出
ACD
ACF
=
，确定
ACD
ACF
BCF
=
=
，
40
ACB
=
，再由三角形内角和定理
及角度的差计算即可．
【详解】（1）证明：∵AC
BC
=
，
∴
CAB
CBA
=
，
∵BDC
和
ACE
△
为等边三角形，
∴
60
CAE
CBD
=
=
，
∴
CAB
CAE
CBA
CBD
−
=
−
，即
FAG
FBG
=
，
∴AF
BF
=
，
∴
AF
BF
CF
CF
AC
BC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
AFC
BFC
≌
△
△
，
∴
ACF
BCF
=
，即CF 平分
ACB
，
又∵AC
BC
=
，
∴AG
BG
=
，即G 为AB 的中点；
（2）解：∵AC 平分
DCG
，
∴
ACD
ACF
=
，
由（1）得：
ACF
BCF
=
，
∴
ACD
ACF
BCF
=
=
，
∵
60
DCB
ACD
ACF
BCF
=
+
+
=
，
∴
20
ACF
BCF
=
=
，
∴
40
ACB
=
，
∴
(
)
1
180
40
70
2
CAB
CBA
=
=
−
=
，
∴
10
BAE
CAB
CAE
=
−
=
．
题型09 添加条件证明三角形全等
典｜例｜精｜析
33．如图，线段AC 、BD相交于点E ，连接AD、BC ．给出下列条件：
①点E 为AC 中点；②AC
BD
⊥
于E ；③AD
BC
∥
；④AD
BC
=
．
42 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(1)添加2 个条件：__________（填序号），使得ADE
CBE
≌
；
(2)说明（1）中结论成立的理由．
【答案】(1)①③或③④
(2)解：添加2 个条件：①③，使得ADE
CBE
≌
，
理由如下：
∵AD
BC
∥
，
∴
D
B
= ，
A
C
=
，
∵点E 为AC 中点，
∴AE
CE
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
CBE
≌
；
添加2 个条件：③④，使得ADE
CBE
≌
，
理由如下：
∵AD
BC
∥
，
∴
D
B
= ，
A
C
=
，
∵AD
BC
=
，
∴
(
)
ASA
ADE
CBE
≌
．
【分析】（1）②AC
BD
⊥
与对顶角相等重复，不可选取，全等至少有一组边相等，故①和④必须选一
个，据此求解即可；
（2）添加①③利用AAS证明ADE
CBE
≌
；添加③④利用ASA 证明ADE
CBE
≌
．
【详解】（1）略
（2）略
变｜式｜巩｜固
34．已知：如图，点E
F
、在CD上，DE
CF
AE
BF
=
，
∥
．
43 / 124
学科网（北京）股份有限公司
请从①AC
BD
=
；②
A
B
=；③AC
BD
∥
这三个选项中，选择一个作为条件，使得
ACE
BDF
△
≌△
，并说明理由．
解：选择条件是___________．理由是：
【答案】②
A
B
=，
理由：∵AE
BF
∥
，
∴
AEC
BFD
=
，
∵DE
CF
=
,
∴DF
CE
=
,
在
ACE
△
和BDF
中
AEC
BFD
CE
DF
A
B
=
=
=
∴
(
)
AAS
ACE
BDF
≌
；
③AC
BD
∥
，
理由：∵AC
BD
∥
，
∴
C
D
=
，
∵AE
BF
∥
，
∴
AEC
BFD
=
，
∵DE
CF
=
,
∴DF
CE
=
,
在
ACE
△
和BDF
中
AEC
BFD
CE
DF
C
D
=
=
=
∴
(
)
ASA
ACE
BDF
≌
．
【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可．
【详解】选①或②，理由略．
若选①AC
BD
=
，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等．
35．已知：如图，点E，F 在CD上，AE
BF
=
，AE
BF
∥
．
44 / 124
学科网（北京）股份有限公司
请从①AC
BD
=
；②
A
B
=；③AC
BD
∥
这三个选项中，选择一个作为条件，使得
ACE
BDF
△
≌△
，并说明理由．
解：选择条件是_________．理由是：
【答案】
②
A
B
=，
理由：∵AE
BF
∥
，
∴
AEC
BFD
=
，
在
ACE
△
和BDF
中
AEC
BFD
AE
BF
A
B
=
=
=
∴
(
)
ACE
BDF ASA
≌
；
③AC
BD
∥
；
∵AC
BD
∥
，
∴
C
D
=
，
∵AE
BF
∥
，
∴
AEC
BFD
=
，
在
ACE
△
和BDF
中
AEC
BFD
C
D
AE
BF
=
=
=
∴
(
)
ACE
BDF AAS
≌
.
若选①AC
BD
=
，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等.
【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可.
【详解】略.
36．如图，点B ，F ，C ，E 四点在同一直线上，BF
CE
=
，
B
E
= ．若__________，则
ABC
DEF
≌
．请从①
A
D
=
；②AB
DE
=
；③AC
DF
=
这三个选项中选择一个作为条件（写序
号），使结论成立，并说明理由．
45 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【答案】①或②；理由如下：
BF
CE
=
，
BF
FC
CE
FC
+
=
+
，即BC
EF
=
，
①：在ABC
和DEF
中，
A
D
B
E
BC
EF
=
=
=
，
(
)
AAS
ABC
DEF
≌
；
②：在ABC
和DEF
中，
AB
DE
B
E
BC
EF
=
=
=
，
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
；
③：此时条件为
B
E
= 、BC
EF
=
、AC
DF
=
，此时无法推出ABC
DEF
≌
．
【分析】分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可．
【详解】略
题型10 结合尺规作图的全等问题
典｜例｜精｜析
37．（1）过ABC
的顶点A 作高线AD和角平分线AE ，若AD与AE 的夹角为15，且
50
B =
∠
，求
C
的度数；
（2）如图1，已知ABC
，
A
A
= ，请用尺规作图，在图2 画出
A B C
△
，使
=
AB
AB ，
=
A C
AC ，
并证明
B
B
=．
【答案】（1）80或20；（2）见详解
【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论．
46 / 124
学科网（北京）股份有限公司
（2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形
性质得出对应角相等．
【详解】解：（1）当AE 在
BAD
内时，
AD
是高线，
50
B =
∠
，在Rt ABD
中，
50
40
90
90
BAD
B
=
−=
−
=
，
又
15
DAE
=
，
40
15
25
BAE
BAD
DAE
=
−
=
−
=
，
AE
是角平分线，
2
2 25
50
BAC
BAE
=
=
=
，
180
180
50
50
80
C
B
BAC
=
−−
=
−
−
=
；
当AE 在
CAD
内时，
AD
是高线，
50
B =
∠
，在Rt ABD
中，
90
90
50
40
BAD
B
=
−=
−
=
，
又
15
DAE
=
，
40
15
55
BAE
BAD
DAE
=
+
=
+
=
，
AE
是角平分线，
2
2 55
110
BAC
BAE
=
=
=
，
180
180
50
110
20
C
B
BAC
=
−−
=
−
−
=
；
（2） 如图，以A为圆心，AB 长为半径画弧，交
A
的一边为B；再以A为圆心，AC 长为半径画弧，
交
A
的另一边为C，连接B C
；
A B C
△
即为所求作的三角形．
47 / 124
学科网（北京）股份有限公司
在ABC
和
A B C
△
中，
AB
A B
A
A
AC
A C
=
=
=
，
(
)
SAS
ABC
A B C
≌
，
B
B
=
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形
的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质．
变｜式｜巩｜固
38．如图，在ABC
中，延长AB ，在射线AB 的延长线上截取DE
AB
=
．
任务1：实践与操作：
①如图1，请用无刻度直尺与圆规作DEF
与ABC
全等（不写作法，保留作图痕迹）．
②你作的DEF
与ABC
全等的依据是 (SSS 、SAS 、AAS 、
)
ASA ．
任务2：猜想与证明：如图2，DEF
ABC
≌
，AG 平分
CAB
，DG 平分
ADF
．
①试猜想
G
= ．
②请你求出
G
的度数．
【答案】任务1：
①如图1，DEF
即为所求；
②SSS ；
任务2：①90； ②90．
【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
任务一：根据SSS 作出三角形DEF
即可；
48 / 124
学科网（北京）股份有限公司
任务二：①猜想：
90
G
=
；
②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可．
【详解】解：任务一：
① 略
②依据是：SSS ，
故答案为：SSS ；
任务2：
①猜想：
90
G
=
．
故答案为：90；
②
DEF
ABC
≌
，
CAB
FDE
=
，
AC
DF
，
180
CAB
ADF
+
=
，
AG
平分
CAB
，DG 平分
ADF
，
1
2
GAB
CAB
=
，
1
2
GDA
ADF
=
，
1
1
1
1
(
)
180
90
2
2
2
2
GAB
GDA
CAB
ADF
CAB
ADF
+
=
+
=
+
=
=
，
180
90
90
G
=
−
=
．
39．（1）如图1，AE 是
MAD
的平分线，点C 是AE 上一点，点B 是AM 上一点，在AD上求作一点
P ，使得
ABC
APC
≌
△
△
，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在ABC
中，
90
ACB
=
，
60
A
=
，BE、CF 分别是
ABC
和
ACB
的角平分线，CF 与
BE相交于点O，请探究线段BC 、BF 、CE 之间的关系，请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）BC
BF
CE
=
+
，证明见解析．
【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等．
（1）当AB
AP
=
时，可以证明出
ABC
APC
≌
△
△
，即以点A为圆心，以AB 长为半径画弧交AD于一点，
则此点为所要求的点P ，可以作出图形；
（2）在BC 上截取BD
BF
=
，证明
(
)
SAS
BFO
BDO
≌
，继而再证明
(
)
ASA
COE
COD
≌
，即可得到本题
49 / 124
学科网（北京）股份有限公司
答案．
【详解】解：（1）当AB
AP
=
时，
∵AE 是
MAD
的平分线，
∴
BAC
PAC
=
，
在ABC
和
APC
△
中，
AB
AP
BAC
PAC
AC
AC
=
=
=
，
∴
ABC
APC
≌
△
△
，
∴以点A为圆心，以AB 长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P ，如下图所示：
（2）BC
BF
CE
=
+
，理由如下：
在BC 上截取BD
BF
=
，
在BFO
和
BDO
△
中，
BF
BD
FBO
DBO
BO
BO
=
=
=
，
(
)
SAS
BFO
BDO
≌
，
BOF
BOD
=
，
60
A
=
，BE、CF 分别是
ABC
和
ACB
的角平分线，CF 与BE相交于点O，
1
1
180
180
60
120
2
2
BOC
ABC
ACB
=
−
−
=
−
=
，
180
120
60
COE
=
−
=
，
60
BOD
BOF
COE
=
=
=
，
120
60
60
COD
BOC
BOD
=
−
=
−
=
，
在
COE
△
和
COD
△
中，
50 / 124
学科网（北京）股份有限公司
COE
COD
CO
CO
OCE
OCD
=
=
=
，
(
)
ASA
COE
COD
≌
，
CE
CD
=
，
BC
BF
CE
=
+
．
40．如图，在Rt ABC
中，
90
C
=
，AC
BC
=
，在线段CB 延长线上取一点P ，以AP 为直角边，点P 为
直角顶点，在射线CB 上方作等腰Rt APD
，过点D 作DE
CB
⊥
，垂足为点E ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：AC
PE
=
；
(3)连接DB，并延长交AC 的延长线于点F ，用等式表示线段CF 与AC 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)𝐶𝐹= 𝐴𝐶，理由见解析
【分析】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是利用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
的性质．（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据已知条件证明ACP
DEP
≌
，即可得AC
PE
=
；
（3）根据（2）证明DBE
为等腰直角三角形，BCF
为等腰直角三角形，即可得到CF
AC
=
．
【详解】（1）解：如图即为补全的图形；
（2）证明：
51 / 124
学科网（北京）股份有限公司
DE
CB
⊥
，
90
C
=
，
90
DEP
C
=
=
，
3
2
90
+=
，
又
90
APD
=
，
1
2
90
+=
，
1
3
= ，
又
AP
DP
=
，
(
)
AAS
ACP
PED
≌
．
AC
PE
=
．
（3）线段CF 与AC 的数量关系是CF
AC
=
．理由如下：
ACP
PED
≌
，
PC
DE
=
，
又
AC
BC
=
，
BC
PE
=
，
PC
BE
DE
=
=
，
即DBE
为等腰直角三角形，
∴
45
DBE
FBC
=
=
∴BCF
为等腰直角三角形，
BC
CF
=
，
AC
CF
=
．
52 / 124
学科网（北京）股份有限公司
题型11 全等模型—倍长中线
典｜例｜精｜析
41．ABC
中，若
7
9
AC
AB
=
=
，
，则中线AD的取值范围是（ ）
A．2
16
AD
B．4
32
AD
C．1
16
AD
D．1
8
AD
【答案】D
【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，延长
AD到E，使AD
DE
=
，连接CE ，证ADB
EDC
≌
，推出AB
EC
=
，根据三角形的三边关系求出即可．
【详解】解：延长AD到E，使AD
DE
=
，连接CE ，如下图：
∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
在ADB
与
EDC
△
中，
AD
DE
ADB
EDC
DB
DC
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADB
EDC
≌
∴AB
EC
=
根据三角形的三边关系得∶
EC
AC
AE
AC
EC
−
+
，
即：AB
AC
AE
AC
AB
−
+
∴2
16
AE
，
∵
2
AE
AD
=
，
∴1
8
AD
，
故选：D．
变｜式｜巩｜固
42．如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，
5
AB =
，
3
AC =
，则AD的取值范围是（ ）
53 / 124
学科网（北京）股份有限公司
A．2
AD
4
B．1
4
AD
C．1
7
AD
D．1
8
AD
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边
及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键.
如图，延长AD至
,
E 使
,
AD
ED
=
再证明
,
ACD
EBD
≌
可得
3,
BE
AC
=
=
再利用三角形的三边关系可
得：5
3
2
5
3,
AD
−
+
从而可得答案.
【详解】解：如图，延长AD至
,
E 使
,
AD
ED
=
AD
为ABC
的中线，
,
BD
CD
=
,
ADC
BDE
=
,
ACD
EBD
≌
3,
AC
EB
=
=
5,
AB =
5
3
2
5
3,
AD
−
+
1
4.
AD
故选：B．
43．如图，AD是ABC
的中线，在AB 边上取一点E，连接CE 交AD于点F，若AB
CF
=
，
16
ACE
=
，
30
CAD
=
，则
AEF
的度数为________．
【答案】88
54 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【分析】先证明
(
)
SAS
ADB
GDC
≌
，则AB
CG
=
，
G
FAE
=
，由AB
CF
=
，得到CG
CF
=
，则
CFG
G
AFE
FAE
=
=
=
，由于
16
ACE
=
，
30
CAD
=
，再由三角形内角和定理求解．
【详解】解：延长AD至点G ，使得DG
AD
=
，连接CG ，
∵AD是ABC
的中线，
∴CD
DB
=
，
∵AB
CF
=
，
ADB
GDC
=
，
∴
(
)
SAS
ADB
GDC
≌
，
∴AB
CG
=
，
G
FAE
=
，
∵AB
CF
=
，
∴CG
CF
=
，
∴
CFG
G
=
，
∴
CFG
G
AFE
FAE
=
=
=
，
∵
16
ACE
=
，
30
CAD
=
，
∴
(
)
180
180
180
46
AFE
AFC
CAD
ACE
−
−
−
−
=
=
=
，
∴
180
180
46
2
88
AEF
FAE
AFE
=
−
−
=
−
=
．
44．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
如图1，在ABC
中，若
4,
2
AB
BC
=
=
，求AC 边上的中线BD的取值范围．
以下是小聪同学思考的解决方法：先延长BD至点E ，使DE
BD
=
，然后连接CE ，利用三角形全等将边
AB 转化到CE ，最后在DEC
中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．
55 / 124
学科网（北京）股份有限公司
（1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段BD的长度为整数，则
BD＝_____；
【灵活应用】
（2）如图2，BD是ABC
的中线，延长DB到点E ，连接AE ，使AE
BC
=
，求证：
AEB
DBC
=
；
【拓展提升】
（3）如图3，在ABC
中，分别以
,
AB BC 作等腰直角三角形ABM
和
BCN
△
，其中
90
ABM
CBN
=
=
，连接MN ，点D 是MN 的中点，连接DB，延长DB与AC 相交于点H ，
6
BD =
，
2
=
BH
．试判断BD与AC 的数量关系，并求出ABC
的面积．
【答案】（1）SAS，2；（2）见解析；（3）
2
AC
BD
=
, ABC
的面积为12
【分析】（1）如图1：先延长BD至点E ，使DE
BD
=
，连接CE ，易证
(
)
SAS
ADB
CDE
△
≌△
可得
4
CE
AB
=
=
，BD
DE
=
，再在BCE
中利用三角形的三边关系可得2
6
BE
，进而得到1
BD
，再结
合已知条件即可解答；
（2）如图：延长BD到点F，使DF
BD
=
，连接AF ．易证
(
)
SAS
ADF
CDB
≌
可得
AF
BC
DBC
F
=
=
，
，进而得到AF
AE
=
，再根据等边对等角可得
F
AEB
=
，最后根据等量代换即
可解答；
（3）如图3：延长BD到点E，使
6
DE
BD
=
=
，连接ME ．易证
(
)
SAS
BDN
EDM
≌
可得BN
EM
=
、
DME
DNB
=
，再证明
(
)
SAS
ABC
BME
≌
可得AC
BE
=
、
MBE
CAB
=
，即
2
AC
BD
=
；再说明
90
AHB
=
，最后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）如图1：先延长BD至点E ，使DE
BD
=
，连接CE ，
∵BD是边AC 上的中线，
∴AD
CD
=
，
∵DE
BD
=
，
ADB
EDC
=
，
∴
(
)
SAS
ADB
CDE
△
≌△
，
∴
4
CE
AB
=
=
，
在BCE
中，CE
BC
BE
CE
BC
−
+
，
∴2
6
BE
，即2
6
BD
，
∴1
BD
，
∵线段BD的长度为整数，
∴
2
BD =
．
故答案为：SAS，2．
（2）证明：如图：延长BD到点F，使DF
BD
=
，连接AF ．
56 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵BD是ABC
的中线，
∴AD
CD
=
，
在ADF
和CDB
中，
AD
CD
ADF
CDB
DB
DF
=
=
=
∴
(
)
SAS
ADF
CDB
≌
．
∴AF
BC
DBC
F
=
=
，
，
∵AE
BC
=
，，
∴AF
AE
=
，
∴
F
AEB
=
，
又∵
DBC
F
=
，
∴
AEB
DBC
=
．
（3）如图3：延长BD到点E，使
6
DE
BD
=
=
，连接ME ．
∵点D 是MN 的中点，
∴MD
ND
=
．
在BDN 和
EDM
△
中，
BD
DE
BDN
EDM
MD
ND
=
=
=
，
57 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
(
)
SAS
BDN
EDM
≌
．
∴BN
EM
=
，
DME
DNB
=
，
∴BN
EM
∥
．
∵
BCN
△
是等腰直角三角形，
∴
90
CBN
=
，
45
BN
BC
BCN
=
=
，
，
∴EM
BC
=
．
∵
90
ABM
=
，
∴
180
ABC
MBN
+
=
．
又∵BN
EM
∥
，
∴
180
MBN
BME
+
=
，
∴
ABC
BME
=
．
在ABC
和BME
中，
AB
BM
ABC
BME
BC
EM
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
BME
≌
．
∴AC
BE
=
，
MBE
CAB
=
，
∵
2
BE
BD
=
，
∴
2
AC
BD
=
．
∵
6
BD =
，
∴
2
6
12
AC
．
∵
90
ABM
=
，
∴
90
MBE
ABH
+
=
，
∴
90
CAB
ABH
+
=
，
∴
90
AHB
=
，
∴ABC
的面积为1
1 12 2
12
2
2
AC BH
=
=
．
【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键．
题型12 全等模型—一线三等角
典｜例｜精｜析
45．如图，
90
9cm
3cm
AC
CE
ACE
AB
BD
ED
BD
AB
DE
=
=
⊥
⊥
=
=
，
，
，
，
，
，则BD等于（ ）
58 / 124
学科网（北京）股份有限公司
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
【答案】C
【分析】证出
BAC
DCE
=
，根据AAS证明BAC
DCE
≌
，得出CD
AB
=
，BC
DE
=
，从而可求出
BD．
【详解】解：∵
90
ACE
AB
BD
ED
BD
=
⊥
⊥
，
，
，
∴
90
B
D
=
=
，
∴
90 ,
90
BAC
ACB
ACB
DCE
+
=
+
=
，
∴
BAC
DCE
=
，
又AC
CE
=
，
∴
(
)
AAS
BAC
DCE
≌
，
∴
9cm
3cm
CD
AB
BC
DE
=
=
=
=
，
，
∴
3 9
12cm
BD
BC
CD
=
+
= + =
．
变｜式｜巩｜固
46．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
=
，
2
BC =
，过A 点作AD
BC
；AE
AC
⊥
，AC
AE
=
，
3
AD = ，连
接DE ，则ADE
的面积为_____．
【答案】3
【分析】过点E 作EF
DA
⊥
交DA延长线于点F，证明
(
)
AEF
ACB AAS
≌
，得到
2
EF
BC
=
=
，然后利用
三角形面积公式求解．
【详解】解：过点E 作EF
DA
⊥
交DA延长线于点F，
59 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵AE
AC
⊥
，
∴
90
EAF
FAC
+
=
，
∵AD
BC
，
90
B
=
，
∴
180
90
BAF
B
−
=
=
，
∴
90
BAC
FAC
+
=
，
∴
EAF
BAC
=
，
又∵
90
F
B
=
=
∠
∠
，AC
AE
=
，
∴
(
)
AEF
ACB AAS
≌
，
∴
2
EF
BC
=
=
，
∴ADE
的面积为1
1
3 2
3
2
2
AD EF
=
=
．
47．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆CD与楼AB 之间选定一点P．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角
12
DPC
=
，测得楼顶A 视线PA与地面夹角
78
APB
=
，量得P 到楼底距离PB与旗杆CD高度相等，
都等于10 米，量得旗杆与楼之间距离为
57
DB =
米，请你帮小程计算出楼高AB 是多少米？
【答案】楼高AB 是47 米
【分析】证明
(
)
AAS
ABP
PDC
≌
，由全等三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵
12
DPC
=
，
78
APB
=
，
∴
12
78
90
D
APB
PC
+
=
=
+
，
由题意得
90
ABP
PDC
=
=
，
10
BP
DC
=
=
米，
∴
90
BAP
APB
+
=
，
47
PD
BD
BP
=
−
=
米，
∴
BAP
DPC
=
，
在ABP
和PDC
中，
60 / 124
学科网（北京）股份有限公司
90
ABP
PDC
BAP
DPC
BP
DC
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABP
PDC
≌
，
∴
47
AB
PD
=
=
米，
∴楼高AB 是47 米．
48．【特例感知】
(1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90，且三组边相互垂直，
所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点A在直线l 上，
90
BAD
=
，AB
AD
=
，过点B 作BC
l
⊥于点
C ，过点D作DE
l
⊥于点E ，由1
2
2
90
D
+= +
=
，得_________________；
【问题探究】
(2)请猜想线段DE ，BC ，CE 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)如图2，在ABC
中，点D 为AB 上一点，DE
DF
=
，
A
EDF
B
=
=，
3
AE = ，
8
AB =
，求BF 的
长．
【答案】(1) 1
D
=
(2)解：CE
DE
BC
=
+
，
理由如下：
1
2
2
90
D
+= +
=
，
1
D
=
，
在ABC
和DAE
中，
90
1
ACB
DEA
D
AB
AD
=
=
=
=
，
61 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(
)
AAS
ABC
DAE
≌
，
BC
AE
=
，DE
AC
=
，
CE
AC
AE
DE
BC
=
+
=
+
；
(3)
5
BF =
【分析】（1）根据同角的余角相等可得：1
D
=
；
（2）证明
(
)
AAS
ABC
DAE
≌
，根据全等三角形的性质可证CE
DE
BC
=
+
；
（3）证明
(
)
AAS
AED
BDF
≌
，根据全等三角形的性质可得AB
BF
AE
=
+
，根据
8
AB =
，
3
AE = ，即可
求出BF 的长度．
【详解】（1）解：
1
2
2
90
D
+= +
=
，
根据同角的余角相等，可得：1
D
=
；
（2）略
（3）解：
EDB
是ADE
的外角，
EDB
A
AED
EDF
FDB
=+
=
+
，
A
EDF
=
，
AED
FDB
=
，
在AED
和BDF
中，
A
B
AED
BDF
DE
DF
=
=
=
，
(
)
AAS
AED
BDF
≌
，
3
AE
BD
=
=
，BF
AD
=
，
AB
AD
BD
BF
AE
=
+
=
+
，即8
3
BF
=
+ ，
5
BF
=
．
题型13 全等模型—截长补短
典｜例｜精｜析
49．如图，AB
AD
=
，
140
BAD
=
，AB
CB
⊥
于点B，AD
CD
⊥
于点D，E、F 分别是CB 、CD上的
点，且
70
EAF
=
，下列结论中①DF
BE
=
，②
ADF
ABE
△
≌△
，③FA平分
DFE
，④EF 平分
AEC
，⑤BE
DF
EF
+
=
．其中正确的结论有_________
62 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【答案】③⑤
【分析】由E 、F 分别是CB 、CD上的任意点，可知DF 与BE不一定相等，ADF
与ABE
也不一定全
等，可判断①错误，②错误；延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，先证明
(
)
ABG
ADF SAS
≌
，得
AG
AF
=
，
BAG
DAF
=
，
G
AFD
=
，由
140
BAD
=
，
70
EAF
=
，可以推导出
70
EAG
=
，则
=
EAG
EAF ，即可证明
(
)
SAS
EAG
EAF
≌
，得
G
AFE
=
，因为
AEB
AEF
=
，所以
AFD
AFE
=
，可判断③正确，因为EG
EF
=
，所以BE
DF
BE
BG
EG
EF
+
=
+
=
=
，可判断⑤正确；
由EF 平分
AEC
结合
AEF
AEB
=
，推出与E 、F 分别是CB 、CD上的任意点互相矛盾，可得④错
误．
【详解】解：
E
、F 分别是CB 、CD上的任意点，
DF
与BE不一定相等，故①错误；
AB
CB
⊥
于点B ，AD
CD
⊥
于点D ，
90
D
ABE
=
=
，
AB
AD
=
，
ADF
ABE
△
≌△
的另一个条件是DF
BE
=
，
DF
与BE不一定相等，
ADF
与ABE
不一定全等，故②错误；
延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，则
180
90
ABG
ABE
=
−
=
，
ABG
D
=，
在ABG
和ADF
中，
AB
AD
ABG
D
BG
DF
=
=
=
，
63 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(
)
ABG
ADF SAS
≌
，
AG
AF
=
，
BAG
DAF
=
，
G
AFD
=
，
140
BAD
=
，
70
EAF
=
，
70
EAG
BAE
BAG
BAE
DAF
BAD
EAF
=
+
=
+
=
−
=
，
EAG
EAF
=
，
在
EAG
△
和EAF
中，
AG
AF
EAG
EAF
AE
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
EAG
EAF
≌
，
G
AFE
=
，
AEB
AEF
=
，EG
EF
=
，
AFD
AFE
=
，BE
DF
BE
BG
EG
EF
+
=
+
=
=
，
FA
平分
DFE
，故③⑤正确；
若EF 平分
AEC
，而
AEF
AEG
=
，
60
CEF
AEF
AEG
=
=
=
，与E 、F 分别是CB 、CD上的任意点矛盾，故④错误；
综上可知，正确的结论有③⑤．
变｜式｜巩｜固
50．如图，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，AB
AD
=
．点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的
延长线上，连接AF 、AE 、EF ，满足EF
BE
FD
=
+
．若
75
C
=
，则
=
EAF
__________．
【答案】127.5
【分析】先作DG
BE
=
，连接AG ，即可证明
ADG
ABE
△
≌△
，进而说明EF
GF
=
，可得
AEF
AGF
≌
，再结合
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，可得答案．
【详解】证明：如图，延长DC 到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，
64 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵
180 ,
180
ABC
ADC
ABC
ABE
+
=
+
=
，
ADC
ABE
=
．
∵
,
AB
AD BE
DG
=
=
，
∴
(
)
ADG
ABE SAS
≌
，
AG
AE
=
，
DAG
BAE
=
．
EF
BE
FD
=
+
，
∴EF
DG
DF
=
+
，
EF
GF
=
，
∵AE
AG
AF
AF
EF
FG
=
=
=
，
，
，
∴
(
)
AEF
AGF SSS
≌
，
∴
FAE
FAG
=
．
∵
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，
∴2
(
)=360
FAE
GAB
BAE
+
+
，
∴2
(
)=360
FAE
GAB
DAG
+
+
，
即2
360
FAE
DAB
+
=
，
∴
1
180
2
EAF
DAB
=
−
，
∵
360
105
DAB
C
ABC
ADC
=
−−
−
=
，
∴
180
52.5
127.5
EAF
−
=
=
．
51．已知：如图1，在ABC
中，两内角的平分线BD
CE
、
交于点I，
(1)试探究
BIC
和
A
的数量关系，并说明理由；
65 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(2)如图2，当
90
A
=
时，点F 在边CA 上，且CF
BE
BC
+
=
，连接IF ，
①求证：IF
CE
⊥
；
②若
8
AB =
，
15
AC =
，
17
BC =
，求AF 的长．
【答案】(1)解：
1
90?
2
BIC
A
=
+
∠，理由如下：
∵在ABC
中，两内角的平分线BD
CE
、
交于点I，
∴
1
1
,
2
2
IBC
ABC
ICB
ACB
=
=
，
∵
180
A
ABC
ACB
+
+
=
，
∴
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
∴
(
)
1
1
1
1
90
2
2
2
2
IBC
ICB
ABC
ACB
ABC
ACB
A
+
=
+
=
+
=
−
，
∵
180
BIC
IBC
ICB
+
+
=
∠
∠
，
∴
(
)
1
1
180
180
90
90
2
2
BIC
IBC
ICB
A
A
=
−
+
=
−
−
=
+
；
(2)①证明：如图2 所示，在BC 上截取BH
BE
=
，连接IH ，
∵在ABC
中，两内角的平分线BD
CE
、
交于点I，
∴
,
IBE
IBH
ICH
ICF
=
=
∠
∠
∠
∠
，
又∵
,
BE
BH BI
BI
=
=
，
∴
(
)
SAS
BEI
BHI
≌
，
∴
BEI
BHI
=
∠
∠
，
∴180
180
BEI
BHI
−
=
−
，
∴
AEC
IHC
=
∠
∠
；
∵BC
BE CF
=
+
，
66 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴CF
BC
BE
BC
BH
=
−
=
−
，
∴CF
CH
=
，
又∵CI
CI
=
，
∴
(
)
SAS
CIF
CIH
≌
，
∴
CIF
CIH
=
∠
∠
；
∵
90
A
=
，
∴
90
AEC
ACE
+
=
∠
∠
，
∴
90
IHC
ICH
+
=
∠
∠
，
∴
90
CIH
=
，
∴
90
CIF
=
，
∴IF
CE
⊥
；
②9
4
【分析】（1）由角平分线的定义得到
1
1
,
2
2
IBC
ABC
ICB
ACB
=
=
，由三角形内角和定理可得
1
90
2
IBC
ICB
A
+
=
−
，据此根据三角形内角和定理可得结论；
（2）①在BC 上截取BH
BE
=
，连接IH ，证明
BEI
BHI
△
≌△
，得到
BEI
BHI
=
∠
∠
，则可证明
AEC
IHC
=
∠
∠
；证明CF
CH
=
，则可证明
CIF
CIH
△
≌△
，得到
CIF
CIH
=
∠
∠
；根据
90
AEC
ACE
+
=
∠
∠
，得到
90
IHC
ICH
+
=
∠
∠
，则可证明
90
CIH
=
，得到
90
CIF
=
，即IF
CE
⊥
；
②过点E 作ET
BC
⊥
于点T，证明
ACE
TCE
△
≌△
，得到EA
ET
=
；可证明AC
AE
BC
BE
=
，据此求出BE的
长，进而求出CF 的长即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）①略；
②解：如图所示，过点E 作ET
BC
⊥
于点T，
∴
90
ETC
A
=
=
∠
∠；
∵CI 平分
ACB
，
∴
ACE
TCE
=
∠
∠
，
67 / 124
学科网（北京）股份有限公司
又∵CE
CE
=
，
∴
(
)
AAS
ACE
TCE
≌
，
∴EA
ET
=
；
∵
1
1
2
2
1
1
2
2
ACE
BCE
EA AC
EA AC
S
AE
S
BE
BC ET
BE AC
=
=
=
，
∴AC
AE
BC
BE
=
，即
15
17
AE
BE =
，
∴
17
17
15 17
4
BE
AB
=
=
+
，
∵BC
BE CF
=
+
，
∴
51
4
CF
BC
BE
=
−
=
，
∴
9
4
AF
AC
CF
=
−
=
．
52．如图1，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC ，CD上的点，且
45
EAF
=
，则有结论EF
BE
DF
=
+
成立．
(1)如图2，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
D
=
=
，E，F 分别是BC ，CD上的点，
1
2
EAF
BAD
=
，探究线段EF ，BE，DF 之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由；
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
ADC
+
=
，延长BC 到点E，延长CD到点F，使得
1
2
EAF
BAD
=
，猜想线段EF ，BE，DF 又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明．
【答案】(1)结论EF
BE
DF
=
+
．
证明：如图，延长EB到点G，使BG
DF
=
，连接AG ．
68 / 124
学科网（北京）股份有限公司
在ABG
和ADF
中，
90
AB
AD
ABG
D
BG
DF
=
=
=
=
，
(
)
SAS
ABG
ADF
≌
，
AG
AF
=
，
1
2
=
1
1
3
2
3
2
BAD
EAF
BAD
+= +=
−
=
，
GAE
EAF
=
又
AE
AE
=
，
(
)
SAS
AEG
AEF
≌
，
EG
EF
=
EF
EG
BE
BG
BE
DF
=
=
+
=
+
．
(2) EF
BE
DF
=
−
【分析】（1）如图，延长EB到点G，使BG
DF
=
，连接AG ，证出ABG
ADF
≌
，根据全等三角形的性
质得出AG
AF
=
，再证明AEG
AEF
≌
得EG
EF
=
，再根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图，在BE上截取BG ，使BG
DF
=
，连接AG ，利用（1）的思路解答即可．
【详解】（1）解：结论EF
BE
DF
=
+
．证明略．
（2）解：EF
BE
DF
=
−
，理由如下：
如图，在BE上截取BG ，使BG
DF
=
，连接AG ，
∵
180 ,
180
B
ADC
ADF
ADC
+
=
+
=
，
B
ADF
=
，
69 / 124
学科网（北京）股份有限公司
AB
AD
=
，
∴
(
)
ABG
ADF SAS
≌
，
BAG
DAF
AG
AF
=
=
，
，
1
2
BAG
EAD
DAF
EAD
EAF
BAD
+
=
+
=
=
，
GAE
EAF
=
，
AE
AE
=
，
∴
(
)
AEG
AEF SAS
≌
，
EG
EF
=
，
EG
BE
BG
=
−
，
EF
BE
DF
−
=
．
题型14 全等模型—半角模型
典｜例｜精｜析
53．如图1：在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
120
BAD
=
，
90
B
ADC
=
=
，E 、F 分别是BC ，CD
上的点，且
60
EAF
=
，探究图中线段BE，EF ，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明
AEF
AGF
≌
，即可得出BE，EF ，FD之间的数量关系，他的结论应是 ．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模
型．
拓展:如图2 ，若在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E 、F 分别是BC ，CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，则BE，EF ，FD之间的数量关系是 ．请证明你的结论．
70 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）EF
BE
DF
=
+
；（2）EF
BE
DF
=
+
，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意证
(
)
ABE
ADG SAS
≌
，推出AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
，然后利用
60
EAF
=
，
120
BAD
=
，以及角的和差关系得到
60
GAF =
∠
，从而证明
(
)
EAF
GAF SAS
≌
，推出EF
FG
=
，结
合FG
DG
DF
BE
DF
=
+
=
+
，即可得到结论；
（2）延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，根据
180
B
D
+
=
，推出
B
ADG
=
，易证
(
)
ABE
ADG SAS
≌
，推出AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
，然后利用
1
2
EAF
BAD
=
，以及角的和差关系
得到
EAF
GAF
=
，从而证明
(
)
EAF
GAF SAS
≌
，推出EF
FG
=
，结合FG
DG
DF
BE
DF
=
+
=
+
，即
可得到结论．
【详解】解：（1）在ABE
和
ADG
△
中
DG
BE
B
ADG
AB
AD
=
=
=
(
)
SAS
ABE
ADG
≌
AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
=
+
=
+
又
60
EAF
=
，
120
BAD
=
120
60
60
GAF
BAE
DAF
BAD
EAF
=
+
=
−
=
−
=
60
EAF
GAF
=
=
在EAF
和GAF
中
AE
AG
EAF
GAF
AF
AF
=
=
=
(
)
EAF
GAF SAS
≌
EF
FG
=
FG
DG
DF
BE
DF
=
+
=
+
EF
BE
DF
=
+
71 / 124
学科网（北京）股份有限公司
（2）EF
BE
DF
=
+
，
理由：如图所示，延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG
180
B
ADC =
+
，
180
ADC
ADG
+
=
B
ADG
=
在ABE
和
ADG
△
中
DG
BE
B
ADG
AB
AD
=
=
=
(
)
SAS
ABE
ADG
≌
AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
1
2
EAF
BAD
=
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
BAD
EAF
EAF
=
+
=
+
=
−
=
EAF
GAF
=
在EAF
和GAF
中
AE
AG
EAF
GAF
AF
AF
=
=
=
(
)
EAF
GAF SAS
≌
EF
FG
=
FG
DG
DF
BE
DF
=
+
=
+
EF
BE
DF
=
+
变｜式｜巩｜固
54．【问题背景】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截
长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问
题．
如图1，在四边形ABCD中，
,
120
90
AB
AD
BAD
B
ADC
=
=
=
=
，
，点E ，F 分别是
,
BC CD 上的
72 / 124
学科网（北京）股份有限公司
点，且
60
EAF
=
，连接EF ，探究线段
,
,
BE EF DF 之间的数量关系．
(1)探究发现：小雨同学的方法是延长FD到点G ．使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明
AEF
AGF
≌
，从而得出结论：_____；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，
,
180 ,
,
AB
AD
B
D
E F
=
+
=
分别是边
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理
由．
【答案】(1) EF
BE
DF
=
+
(2)
（1）中的结论EF
BE
FD
=
+
仍然成立．证明如下：
如图，延长FD到G ，使DG
BE
=
，连接AG ．
180
ABE
ADC
+
=
，
180
ADC
ADG
+
=
，
ABE
ADG
=
，
在ABE
与
ADG
△
中，
AB
AD
ABE
ADG
BE
DG
=
=
=
，
(
)
SAS
ABE
ADG
≌
，
,
AE
AG
BAE
DAG
=
=
，
1
2
BAE
DAF
GAD
DAF
BAD
EAF
BAD
+
=
+
=
−
=
∠
∠
，
GAF
EAF
=
．
在AGE
和AEF
中
73 / 124
学科网（北京）股份有限公司
AG
AE
GAE
EAF
AE
AE
=
=
=
(
)
SAS
AGF
AEF
≌
，
GF
EF
=
．
FG
DF
DG
BE
DF
=
+
=
+
EF
BE
DF
=
+
．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明ABE
ADG
≌
得到
DAG
BAE
AG
AE
=
=
，
，再证明AEF
AGF
≌
，得到EF
GF
=
，再由
线段的和差关系可得结论；
（2）延长FD到G ，使DG
BE
=
，连接AG ，先导角证明
ABE
ADG
=
，再证明ABE
ADG
≌
得到
DAG
BAE
AG
AE
=
=
，
，再接着证明AEF
AGF
≌
，得到EF
GF
=
，再由线段的和差关系可得结论．
【详解】（1）解：∵
90
B
ADC
=
=
，
∴
180
90
ADG
ADC
B
=
−
=
= ，
又∵AB
AD
DG
BE
=
=
，
，
∴
(
)
ABE
ADG SAS
≌
，
∴
DAG
BAE
AG
AE
=
=
，
；
∵
120
60
BAD
EAF
=
=
∠
，∠
，
∴
120
60
60
BAE
DAF
+
=
−
=
，
∴
60
GAF
DAF
DAG
DAF
BAE
=
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
GAF
EAF
=
，
又∵AF
AF
=
，
∴
(
)
AEF
AGF SAS
≌
，
∴EF
GF
DG
DF
BE
DF
=
=
+
=
+
；
（2）略
55．【模型建立】
(1)如图1，在正方形ABCD中，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
45
EAF
=
，探究图中线段EF ，
BE，DF 之间的数量关系．
74 / 124
学科网（北京）股份有限公司
小明的探究思路如下：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，先证明ADF
ABG
≌
，再证明
AEF
AEG
≌
．
①EF ，BE，DF 之间的数量关系为________；
②小亮发现这里ABG
可以由ADF
经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像
上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
ABC
与
D
互补，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，试问线段EF ，BE，DF 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图3，在矩形ABCD中，点E 在边BC 上，
6
AD =
，
4
AB =
，
45
CAE
=
，求CE 的长．
【答案】(1)①BE
DF
EF
+
=
，②将ADF
绕A点顺时针旋转90
(2) EF
DF
BE
=
+
，理由见详解
(3)5.2
【分析】（1）①沿着小明的思路，先证ADF
ABG
≌
，再证AEF
AEG
≌
，即可得出结论；②在①的
基础上，证明
90
GAF
=
即可得解；
（2）延长CB 至点M ，使得BM
DF
=
，连接AM ，先证ABM
ADF
≌
，再证MAE
FAE
≌
，即可得出结
论；
（3）方法1：延长AB 至P ，使AP
AD
=
，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，延长AE 交PQ 于
M ，连接CM ，设BE
x
=
，则
6
CE
x
=
−
，证明ABE
APM
∽
，可得
2
3
4
6
AB
BE
AP
PM
=
=
=
，求出
3
3
2
2
PM
BE
x
=
=
，得出
3
6
2
MQ
PQ
PM
x
=
−
=
−
，由（1）得：
3
4
2
CM
PM
CD
x
=
+
=
+ ，由勾股定理得：
2
2
2
3
3
6
2
4
2
2
x
x
−
+
=
+
，解方程即可．
方法2：过E 点作EN
AC
⊥
于N 点，设EC
x
=
，则有
6
x
，即
6
BE
x
=
−
，分别在Rt
ABE
△
和Rt
ADC
△
中，表示出
2
AE 和求出AC ，再证
AEN
△
是等腰直角三角形，即可得
2
2
2
2
2
AE
AN
EN
=
=
，则有
2
2
2
2
4
(6
)
EN
x
=
+
−
，再证Rt
Rt
ABC
ENC
∽
，即有AB
AC
EN
EC
=
，进而有
4
2 13
AB
EC
x
EN
AC
=
=
，则可得一元
二次方程
2
2
2
4
2
4
(6
)
13 x
x
=
+
−
，解方程就可求出CE ．
【详解】（1）解：①BE
DF
EF
+
=
，理由如下：
沿着小明的思路进行证明，
在正方形ABCD中，有AD
AB
=
，
90
D
ABC
=
=
，
即有
90
ABG
=
，
75 / 124
学科网（北京）股份有限公司
BG
DF
=
，AD
AB
=
，
90
D
ABG
=
=
，
Rt
Rt
(HL)
ADF
ABG
≌
，
AF
AG
=
，
DAF
BAG
=
，
90
BAD
=
，
45
EAF
=
，
45
+
=
BAE
DAF
，
45
BAE
BAG
EAF
+
=
=
，
AF
AG
=
，AE
AE
=
，
(SAS)
AEF
AEG
≌
，
EG
EF
=
，
EG
BG
BE
=
+
，BG
DF
=
，
EF
BE
DF
=
+
，结论得证；
②将ADF
绕A点顺时针旋转90即可得到ABG
．
理由如下：
在①已经证得ADF
ABG
≌
，并得到
45
BAE
BAG
EAF
+
=
=
，
45
45
90
GAF
EAG
EAF
=
+
=
+
=
，
将ADF
绕A点顺时针旋转90即可得到ABG
；
故答案为：①BE
DF
EF
+
=
，②将ADF
绕A点顺时针旋转90；
（2）EF
DF
BE
=
+
，理由如下：
延长CB 至点M ，使得BM
DF
=
，连接AM ，如图，
ABC
与
D
互补，
180
D
ABC
，
180
ABC
ABM
+
=
，
ABM
D
=
，
AB
AD
=
，BM
DF
=
，
(
)
SAS
ABM
ADF
≌
，
DAF
BAM
=
，AM
AF
=
，
1
2
EAF
BAD
=
，
76 / 124
学科网（北京）股份有限公司
1
2
BAE
FAD
BAD
+
=
，
BAE
FAD
EAF
+
=
，
DAF
BAM
=
，
BAM
BAE
EAF
+
=
，
MAE
EAF
=
，
AM
AF
=
，AE
AE
=
，
(
)
MAE
FAE SAS
≌
，
ME
EF
=
，
ME
BE
MB
=
+
，MB
DF
=
，
EF
DF
BE
=
+
，结论得证；
（3）解法一：如图，延长AB 至P ，使AP
AD
=
，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，延长AE 交
PQ 于M ，连接CM ，
90 ,
P
PAD
D
=
=
=
四边形APQD 是正方形，
6
PQ
DQ
AP
AD
=
=
=
= ，AP
DQ
∥
，
2
BP
AP
AB
=
−
=
，
,
,
AP
DQ PQ
BC
∥
∥
四边形BPQC 是平行四边形，
90
P
=
四边形BPQC 是矩形，
2,
BP
CQ
=
=
设BE
x
=
，则
6
CE
x
=
−
，
PQ
BC
∥
，
ABE
APM
∽
，
2
3
4
6
AB
BE
AP
PM
=
=
=
，
3
3
2
2
PM
BE
x
=
=
，
3
6
2
MQ
PQ
PM
x
=
−
=
−
，
77 / 124
学科网（北京）股份有限公司
由（1）得：
3
4
2
CM
PM
CD
x
=
+
=
+ ，
在Rt MCQ
中，由勾股定理得：
2
2
2
3
3
6
2
4
2
2
x
x
−
+
=
+
，
解得：
0.8
x =
，
0.8
BE
=
，
6
5.2
CE
x
=
−
=
；
解法二：过E 点作EN
AC
⊥
于N 点，如图，
6
AD =
，
4
AB =
，
在矩形ABCD中，
6
AD
BC
=
=
，
4
AB
DC
=
=
，
90
D
B
= =
，
设EC
x
=
，则有
6
x
，
6
BE
BC
EC
x
=
−
= −，
在Rt
ABE
△
中，
2
2
2
2
2
4
(6
)
AE
AB
BE
x
=
+
=
+
−
，
在Rt
ADC
△
中，
2
2
2
2
6
4
2 13
AC
AD
DC
=
+
=
+
=
，
45
CAE
=
，EN
AC
⊥
，
90
ANE
ENC
=
=
，
45
AEN
=
，
AEN
是等腰直角三角形，
2
2
AE
AN
EN
=
=
，
2
2
2
2
2
AE
AN
EN
=
=
，
即：
2
2
2
2
4
(6
)
EN
x
=
+
−
90
ENC
B
=
=
，
ACB
ECN
=
，
Rt
Rt
ABC
ENC
∽
，
AB
AC
EN
EC
=
，
4
AB =
，
2 13
AC =
，EC
x
=
，
4
2 13
AB
EC
x
EN
AC
=
=
，
2
2
4
13
EN
x
=
，
78 / 124
学科网（北京）股份有限公司
2
2
2
2
4
(6
)
EN
x
=
+
−
，
2
2
2
4
2
4
(6
)
13 x
x
=
+
−
，
结合
6
x
，解得
5.2
x =
，
5.2
CE
=
．
【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直
角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
56．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转
或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条
件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质．
【问题提出】
如图①，在四边形ABCD中，
,
120
90
AB
AD
BAD
B
ADC
=
=
=
=
，
，E，F 分别是
,
BC CD 上的点，
且
60
EAF
=
，探究图中线段
,
,
BE EF DF 之间的数量关系．
【思路启迪】
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明
EAF
≌△
，可得出结论．他的结论应是 ．
【触类旁通】如图②，若在四边形ABCD中，
,
180 ,
,
AB
AD
B
D
E F
=
+
=
分别是
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【模型迁移】已知：如图，ABC
是等边三角形，
6
AB =
，点D 是ABC
外一点，DB
DC
=
且
120
60
BDC
EDF
=
=
，
，DE
DF
、
分别交AB
AC
、
于点E、F，AEF
的周长为 ．
【答案】思路启迪：GAF
，EF
BE
DF
=
+
；触类旁通：结论仍然成立，见解析；模型迁移：12
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的
性质与判定定理是解题的关键．
思路启迪：先证明ABE
ADG
≌
得到
DAG
BAE
AG
AE
=
=
，
，再证明AEF
AGF
≌
，得到
EF
GF
=
，再由线段的和差关系可得结论；
触类旁通：延长FD到G ，使DG
BE
=
，连接AG ，先导角证明
ABE
ADG
=
，再证明ABE
ADG
≌
得
79 / 124
学科网（北京）股份有限公司
到
DAG
BAE
AG
AE
=
=
，
，再接着证明AEF
AGF
≌
，得到EF
GF
=
，再由线段的和差关系可得结
论；
模型迁移：延长FC 到H，使得CH
BE
=
，连接DH ，可求出
30
DBC
DCB
=
=
，由等边三角形的性质
可得
60
6
ABC
ACB
AB
AC
=
=
=
=
∠
∠
，
，则可证明
90
90
ABD
ACD
=
=
∠
，∠
，同理可证明
EF
CF
BE
=
+
，再根据三角形周长公式可得答案．
【详解】解：思路启迪：∵
90
B
ADC
=
=
，
∴
180
90
ADG
ADC
B
=
−
=
= ，
又∵AB
AD
DG
BE
=
=
，
，
∴
(
)
ABE
ADG SAS
≌
，
∴
DAG
BAE
AG
AE
=
=
，
；
∵
120
60
BAD
EAF
=
=
∠
，∠
，
∴
120
60
60
BAE
DAF
+
=
−
=
，
∴
60
GAF
DAF
DAG
DAF
BAE
=
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
GAF
EAF
=
，
又∵AF
AF
=
，
∴
(
)
AEF
AGF SAS
≌
，
∴EF
GF
DG
DF
BE
DF
=
=
+
=
+
；
触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下：
如图，延长FD到G ，使DG
BE
=
，连接AG ．
180
ABE
ADC
+
=
，
180
ADC
ADG
+
=
，
ABE
ADG
=
，
在ABE
与
ADG
△
中，
AB
AD
ABE
ADG
BE
DG
=
=
=
，
(
)
SAS
ABE
ADG
≌
，
,
AE
AG
BAE
DAG
=
=
，
1
2
BAE
DAF
GAD
DAF
BAD
EAF
BAD
+
=
+
=
−
=
∠
∠
，
80 / 124
学科网（北京）股份有限公司
GAF
EAF
=
．
在AGE
和AEF
中
AG
AE
GAE
EAF
AE
AE
=
=
=
(
)
SAS
AGF
AEF
≌
，
GF
EF
=
．
FG
DF
DG
BE
DF
=
+
=
+
EF
BE
DF
=
+
．
模型迁移：如图所示，延长FC 到H，使得CH
BE
=
，连接DH ，
∵
120
BDC
DB
DC
=
=
∠
，
，
∴
180
30
2
BDC
DBC
DCB
−
=
=
=
，
∵ABC
是等边三角形，
∴
60
6
ABC
ACB
AB
AC
=
=
=
=
∠
∠
，
，
∴
90
90
ABD
ABC
DBC
ACD
ACB
DCB
=
+
=
=
+
=
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，
∴
180
90
DCH
ACD
DBE
=
−
=
=
∠
∠
∠
，
又∵BD
CD
BE
CH
=
=
，
，
∴
(
)
SAS
DBE
DCH
≌
，
∴DE
DH
BDE
CDH
=
=
，∠
∠
；
∵
120
60
BDC
EDF
=
=
，
，
∴
120
60
60
BDE
CDF
+
=
−
=
∠
∠
，
∴
60
HDF
CDH
CDF
BDE
CDF
=
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
HDF
EDF
=
∠
∠
，
又∵DF
DF
=
，
∴
(
)
EDF
HDF SAS
≌
，
∴EF
HF
=
，即EF
CF
CH
CF
BE
=
+
=
+
，
∴AEF
的周长
12
AE
EF
AF
AE
BE
AF
CF
AB
AC
=
+
+
=
+
+
+
=
+
=
．
81 / 124
学科网（北京）股份有限公司
题型15 全等模型—手拉手模型
典｜例｜精｜析
57．如图，C 为线段BE上一动点（不与点B ，E 重合），在BE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角
形CDE ，AE 与BD交于点O，AC 与BD交于点M ，AE 与CD交于点N ，连接MN ．以下六个结论：①
AE
BD
=
；②CMN
是等边三角形；③AN
BM
=
；④
60
AOB
=
；⑤OC 平分
MON
；⑥
//
MN BE ；其中正确的结论个数是（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质得AC
BC
=
，CE
CD
=
，
60
BCA
DCE
=
=
，则
60
ACE
BCD
ACD
=
=
+
，
60
ACN
=
，即可根据“SAS”证明ACE
BCD
≌
，得AE
BE
=
，
CAE
CBD
=
，可判断①正确；再推导出
60
AOB
BCA
=
=
，可判断④正确；再证明
ACN
BCM
≌
△
△
，得AN
BM
=
，CN
CM
=
，可判断③正确；由AN
BM
=
，
60
MCN
=
，证明CMN
是
等边三角形，可判断②正确；因为
60
CMN
ACB
=
=
∠
∠
，所以MN
BE
∥
，可判断⑥正确；作CF
AE
⊥
于点F ，CI
BD
⊥
于点I ，由
ACE
BCD
S
S
=
△
△
，得1
1
2
2
AE CF
BD CI
=
，则CF
CI
=
，即可证明OC 平分
MON
，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的
判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线的判定、角平分线的性质等知
识，证明ACE
BCD
≌
是解题的关键．
【详解】解：
ABC
和
CDE
△
都是等边三角形，
AC
BC
=
，CE
CD
=
，
60
BCA
DCE
=
=
，
60
ACE
BCD
ACD
=
=
+
，
180
60
ACN
BCA
DCE
=
−
−
=
，
ACN
BCM
=
，
在
ACE
△
和BCD
中，
AC
BC
ACE
BCD
CE
CD
=
=
=
，
(SAS)
ACE
BCD
≌
，
82 / 124
学科网（北京）股份有限公司
AE
BE
=
，
CAE
CBD
=
，
故①正确；
60
AOB
AMB
CAE
AMB
CBD
BCA
=
−
=
−
=
=
，
故④正确；
在ACN
和
BCM
△
中，
CAN
CBM
AC
BC
ACN
BCM
=
=
=
，
(ASA)
ACN
BCM
≌
，
AN
BM
=
，CN
CM
=
，
故③正确；
AN
BM
=
，
60
MCN
=
，
CMN
△
是等边三角形，
故②正确；
60
CMN
ACB
=
=
，
MN
BE
∥
，
故⑥正确；
作CF
AE
⊥
于点F ，CI
BD
⊥
于点I ，
1
2
ACE
S
AE CF
=
，
1
2
BCD
S
BD CI
=
，且
ACE
BCD
S
S
=
△
△
，
1
1
2
2
AE CF
BD CI
=
，
AE
BD
=
，
CF
CI
=
，
点C 在
MON
的平分线上，
OC
平分
MON
，
故⑤正确，
故选：A．
83 / 124
学科网（北京）股份有限公司
变｜式｜巩｜固
58．如图，点A、B、C 在同一条直线上，ABD
，BCE
均为等边三角形，连接AE 和CD，AE 分别交
CD，BD于点M ，P ，CD交BE于点Q，连接PQ ，BM ，下列结论：
①
ABE
DBC
≌
△
△
；
②
60
DMA
=
；
③
BPQ
△
为等边三角形；
④PQ
BM
=
．
其中结论不一定成立的有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟
练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．首先由等边三角形的性质得到
ABE
DBC
=
，
60
PBQ
=
，然后证明出
(
)
ABE
DBC SAS
≌
，得到
BAE
BDC
=
，然后证明出
(
)
ASA
ABP
DBQ
≌
，得到BP
BQ
=
，进而证明即可．
【详解】解：
ABD
、BCE
为等边三角形，
AB
DB
=
，
60
ABD
CBE
=
=
，BE
BC
=
，
ABE
DBC
=
，
60
PBQ
=
，
在ABE
和DBC
中，
=
=
=
AB DB
ABE
DBC
BE BC
，
(
)
ABE
DBC SAS
≌
，故①正确；
ABE
DBC
≌
，
BAE
BDC
=
，
180
60
60
60
BDC
BCD
+
=
−
−
=
，
60
DMA
BAE
BCD
BDC
BCD
=
+
=
+
=
，故②正确；
在ABP
和DBQ
中，
84 / 124
学科网（北京）股份有限公司
60
BAP
BDQ
AB
DB
ABP
DBQ
=
=
=
=
，
(
)
ASA
ABP
DBQ
≌
，
BP
BQ
=
，
∵
60
PBQ
=
，
BPQ
△
为等边三角形，故③正确；
根据题意无法证明PQ
BM
=
，故④错误．
综上所述，结论不一定成立的有1 个．
故选：B．
59．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究．
(1)问题发现
如图1，ABC
和ADE
均为等边三角形，将ADE
绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接
BD，CE ．填空:
①BD
CE 的值为 ；
②
BEC
的度数为 ．
(2)类比探究
如图2，ABC
和ADE
均为等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
，AM
DE
⊥
于M，将ADE
绕点A 旋
转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接BD，CE ．
①求
BEC
的度数；
②请判断线段BE，CE ，AM 之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，若
3
AM = ，
4
CE =
，求四边形ABCE的面积．
【答案】(1)①1；②60
(2)①
90
BEC
=
；②
2
BE
CE
AM
=
+
(3)35
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判
定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
85 / 124
学科网（北京）股份有限公司
（1）①根据等边三角形的性质得到AB
AC
=
，AD
AE
=
，
60
BAC
DAE
=
=
，得到
BAD
CAE
=
，
证明
BAD
CAE
△
≌△
，根据全等三角形的性质证明结论；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）①仿照（1）①的作法解答；
②根据等腰直角三角形的性质得到
2
DE
AM
=
，结合图形得到答案；
（3）由（2）可知：
2
BE
CE
AM
=
+
，
90
BEC
=
，BD
CE
=
，然后可得
10
BE =
，进而根据割补法可进
行求解．
【详解】（1）①证明：∵ABC
和ADE
为等边三角形，
AB
AC
=
，AD
AE
=
，
60
BAC
DAE
=
=
，
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
BD
CE
=
，
∴
1
BD
CE = ；
②解：∵
BAD
CAE
△
≌△
，
180
120
AEC
ADB
ADE
=
=
−
=
，
120
60
60
BEC
AEC
AED
=
−
=
−
=
；
故答案为1；60；
（2）解：①∵ABC
和ADE
均为等腰直角三角形，
AB
AC
=
，AD
AE
=
，
45
ADE
AED
=
=
，
90
BAC
DAE
=
=
，
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
BD
CE
=
，
180
135
AEC
ADB
ADE
=
=
−
=
，
135
45
90
BEC
AEC
AED
=
−
=
−
=
；
②
2
BE
CE
AM
=
+
，
86 / 124
学科网（北京）股份有限公司
理由如下：
ADE
为等腰直角三角形，AM
DE
⊥
，
2
DE
AM
=
，
∴
2
BE
BD
DE
CE
AM
=
+
=
+
；
（3）解：由（2）可知：
2
BE
CE
AM
=
+
，
90
BEC
=
，BD
CE
=
，
∵
3
AM = ，
4
CE =
，
∴
4
6
10
BE =
+
=
，
∴
1
1
35
2
2
ABE
BEC
ABCE
S
S
S
BE AM
CE BE
=
+
=
+
=
四边形
．
60．问题发现：
（1）如图①，已知点C 为线段AB 上一点，分别以线段AC 、BC 为直角边作等腰直角三角形，
=90
ACD
，CA
CD
=
，CB
CE
=
，连接AE 、BD，则AE 、BD之间的数量关系为________，位置关系
为________．
拓展探究：
（2）如图②，把Rt ACD
绕点C 逆时针旋转，线段AE 、BD交于点F ，则AE 与BD之间的关系是否仍然
成立？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，已知AC
CD
=
，BC
CE
=
，
90
ACD
BCE
=
=
，连接AB 、AE 、AD，把线段AB 绕点
A 旋转，若
5
AB =
，
3
AC =
，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．
【答案】（1）AE
BD
=
，AE
BD
⊥
；
（2）仍然成立．理由如下：如图，设CE 与BD相交于点G ．
∵
90
ACD
BCE
=
=
，
∴
ACD
DCE
DCE
BCE
+
=
+
，
即
ECA
BCD
=
，
又∵CB
CE
=
，CD
AC
=
，
∴
ACE
DCB
≌
，
87 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴AE
BD
=
，
AEC
DBC
=
．
∵
90
CBD
CGB
+
=
，
BGC
FGE
=
，
∴
90
AEC
EGF
+
=
，
∴
90
AFB
=
，
∴AE
BD
⊥
．
（3）3 2
5
+
【分析】（1）延长BD交AE 于点H ，证明
ACE
DCB
≌
，得出AE
BD
=
，
BDC
EAC
=
，根据
90
CBD
CDB
+
=
，求出
90
CBD
EAC
+
=
，得出
90
AHB
=
即可；
（2）设CE 与BD相交于点G ，证明
ACE
DCB
≌
，得出AE
BD
=
，
AEC
DBC
=
．根据
90
CBD
CGB
+
=
，
BGC
FGE
=
，得出
90
AEC
EGF
+
=
，证明
90
AFB
=
，即可得出结论；
（3）连接BD，证明
ACE
DCB
≌
，得出AE
BD
=
，
3
AC
CD
=
=
，
=90
ACD
，求出
3 2
AD =
，根据
BD
AD
AB
+
，得出
3 2
5
BD
+ ．当点B 在线段DA的延长线上时等号成立，即可求出AE 的最大值．
【详解】解：（1）AE
BD
=
AE
BD
⊥
如图，延长BD交AE 于点H ，
∵CB
CE
=
，
90
ACD
BCD
=
=
，CA
CD
=
，
∴
ACE
DCB
≌
，
∴AE
BD
=
，
BDC
EAC
=
，
∵
90
CBD
CDB
+
=
，
∴
90
CBD
EAC
+
=
，
∴
90
AHB
=
，
∴AE
BD
⊥
．
（2） 略
（3）3 2
5
+ ．提示：如图，连接BD，
∵
90
ACD
BCE
=
=
，
88 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
ACE
BCD
=
，
又∵CB
CE
=
，AC
CD
=
，
∴
ACE
DCB
≌
，
∴AE
BD
=
，
∵
3
AC
CD
=
=
，
=90
ACD
，
∴
3 2
AD =
，BD
AD
AB
+
，
∴
3 2
5
BD
+ ．
当点B 在线段DA的延长线上时等号成立，如图，
故AE 的最大值为3 2
5
+ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形三边关
系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明
ACE
DCB
≌
．
题型16 全等三角形的综合问题
典｜例｜精｜析
61．如图，在ABC
中，高AD和BE交于点H ，且1
2
22.5
= =
，下列结论：①1
3
= ；②
BD
DH
AB
+
=
；③2AH
BH
=
；④若DF
BE
⊥
于点F ，则AE
FH
DF
−
＝
．其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可证
2
3
= ，又因为1
2
= ，可得1
3
= ；利用ASA可证
BDH
ADC
≌
，根据全等三角形的性质可证DH
CD
=
，证明AEB
CEB
≌
，根据全等三角形的性质可证
AB
BC
=
，根据BC
BD
CD
=
+
可证结论成立；根据全等三角形的性质可证2AE
BH
=
，根据AH
AE
可知
2AH
BH
，；过点D作DK
AC
⊥
，可知四边形DFEK 是矩形，证明FDH
KDC
≌
，根据全等三角形的
89 / 124
学科网（北京）股份有限公司
性质可证DF
DK
=
，FH
CK
=
，根据EC
CK
EK
−
=
可证结论成立．
【详解】解：
AD
BC
⊥
，BE
AC
⊥
，
90
ADC
BEC
=
=
，
3
90
C
+
=
，
2
90
C
+
=
，
2
3
= ，
又
1
2
=
，
1
3
= ，
故①正确；
1
2
22.5
= =
，
1
2
45
ABD
= +=
，
AD
BC
⊥
，
90
ADB
=
，
45
BAD
=
，
AD
BD
=
，
2
3
=
，
90
ADB
ADC
=
=
，
在BDH
和ADC
中，
2
3
AD
BD
ADB
ADC
=
=
=
，
(
)
ASA
BDH
ADC
≌
，
DH
CD
=
，
BC
BD CD
BD
DH
=
+
=
+
，
BE
AC
⊥
且1
2
= ，
90
AEB
CEB
=
=
，
在AEB
和CEB
中，
1
2
BE
BE
AEB
CEB
=
=
=
，
(
)
ASA
AEB
CEB
≌
，
AB
BC
BD
DH
=
=
+
，
故②正确；
由②可知BDH
ADC
≌
，
BH
AC
=
，
由②可知AEB
CEB
≌
，
AE
CE
=
，
90 / 124
学科网（北京）股份有限公司
2AE
AC
=
，
2AE
BH
=
，
AH
AE
，
2AH
BH
，
故③不成立；
如下图所示，过点D作DK
AC
⊥
，
则四边形DFEK 是矩形，
由②可知DH
DC
=
，
90
HDF
HDK
CDK
HDK
+
=
+
=
，
FDH
CDK
=
，
在FDH
和KDC
中，
90
DFH
DKC
FDH
KDC
DH
DC
=
=
=
=
，
(
)
AAS
FDH
KDC
≌
，
DF
DK
=
，FH
CK
=
，
四边形DFEK 是正方形，
DF
EK
=
，
由②可知AEB
CEB
≌
，
AE
CE
=
，
EC
CK
EK
−
=
，
AE
FH
DF
−
=
；
综上所述，结论正确的有①②④．
变｜式｜巩｜固
62．如图，在OAB
和OCD
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，OA
OC
，
30
AOB
COD
=
=
，连接AC ，
BD交于点M ，AC 与OD 相交于E ，BD与OA相交于F ，连接OM ．则下列结论中：①
AOC
BOD
≌
；②AC
BD
=
；③
30
AMB
=
；④OEM
OFM
≌
．正确的个数有（ ）
91 / 124
学科网（北京）股份有限公司
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】由SAS证明AOC
BOD
≌
得出AC
BD
=
，则①②正确；由全等三角形的性质得出
OAC
OBD
=
，由三角形的外角性质得
AMB
OAC
AOB
OBD
+
=
+
，得出
30
AMB
AOB
=
=
，
则③正确；作OG
MC
⊥
于G ，OH
MB
⊥
于H ，则
90
OGC
OHD
=
=
，由AAS证明OCG
ODH
，
得出OG
OH
=
，由角平分线的判定得出MO 平分
BMC
，假设OEM
OFM
≌
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
EOG
FOH
≌
，可得到
(
)
ASA
DMO
AMO
≌
，从而得到OC
OA
=
，与OA
OC
矛盾，则④错
误．
【详解】解：
30
AOB
COD
=
=
，
∴
AOB
AOD
COD
AOD
+
=
+
，即
BOD
AOC
=
，
在AOC
和
BOD
△
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
=
=
，
(
)
AOC
BOD SAS
≌
，则①正确；
AC
BD
=
，
OAC
OBD
=
，
OCA
ODB
=
，则②正确；
由三角形的外角性质得：
AMB
OAC
OFD
AOB
OBD
+
=
=
+
，
30
AMB
AOB
=
=
，则③正确；
如图，作OG
MC
⊥
于G ，OH
MB
⊥
于H ，则
90
OGC
OHD
=
=
，
在OCG
和ODH
中，
90
OCG
ODH
OGC
OHD
OC
OD
=
=
=
=
，
(
)
AAS
OCG
ODH
≌
，
OG
OH
=
，
GOM
HOM
=
，
92 / 124
学科网（北京）股份有限公司
MO
平分
BMC
，即
=
CMO
BMO ，
CMD
BMA
=
，
∴
DMO
AMO
=
，
假设OEM
OFM
≌
，
OE
OF
=
∴
，
在Rt EOG
和Rt
FOH
△
中，
∵
,
OE
OF OG
OH
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
EOG
FOH
≌
，
∴
EOG
FOH
=
，
∴
EOG
GOM
FOH
MOH
+
=
+
，即
EOM
FOM
=
，
在DMO 和AMO
中，
∵
DMO
AMO
=
，OM
OM
=
，
EOM
FOM
=
，
∴
(
)
ASA
DMO
AMO
≌
，
∴OD
OA
=
，即OC
OA
=
，与OA
OC
矛盾，
则假设不成立，则④错误；
综上，正确的结论有①②③．
63．如图，在ABC
中，AB
AC
=
，
45
B
C
=
=
，D，E 是边BC 上两点，过点A 作AF
AD
⊥
，垂足
是A，过点C 作CF
BC
⊥
，垂足是C，交AF 于点F，连接EF ，其中DE
EF
=
．下列结论：①
AD
AE
=
；②
45
DAE
=
；③若
10
ABC
S
=
△
，
4
ADE
S
=
△
．则
6
AECF
S
=
四边形
；④CE
BD
DE
+
．其中
正确的是______．（填序号）
【答案】②③/③②
【分析】证明
(
)
ASA
ABD
ACF
≌
即可判断①，证明
(
)
ADE
AFE SSS
≌
，即可得到
1
45
2
DAE
EAF
DAF
=
=
=
，即可判断②；根据
ABD
ACF
△
≌△
得到
ABD
ACF
S
S
=
，根据
ABC
ADE
ACE
ACF
S
S
S
S
=
+
+
即可判断③；根据
ABD
ACF
△
≌△
得到BD
CF
=
，由CE
CF
EF
+
，
DE
EF
=
即可判断④．
【详解】解：∵
45
B
C
=
=
，
∴
90
BAC
=
，
93 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵AF
AD
⊥
，CF
BC
⊥
，
∴
90
DAF
ECF
=
=
，
∴
90
BAD
DAC
CAF
DAC
+
=
+
=
，
∴
BAD
CAF
=
，
∵
45
ACF
FCE
ACB
−
=
=
，
∴
ACF
B
= ，
又∵AB
AC
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
ACF
≌
；
∴AD
AF
=
,
但是无法证明AF
AE
=
，
∴AD
AE
=
不一定成立；
故①错误；
∵
,
,
DE
EF AD
AF AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ADE
AFE SSS
≌
，
∴
1
45
2
DAE
EAF
DAF
=
=
=
，
故②正确；
∵
ABD
ACF
△
≌△
，
∴
ABD
ACF
S
S
=
，
∴
ABC
ABD
ADC
ACF
ADC
ADE
ACE
ACF
S
S
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
+
+
，
∴
10
4
6
ACE
ACF
ABC
ADE
AECF
S
S
S
S
S
=
+
=
−
=
−
=
四边形
，
故③正确；
∵
,
ABD
ACF
≌
∴BD
CF
=
，
∵CE
CF
EF
+
，DE
EF
=
，
∴CE
BD
DE
+
，故④错误；
综上可知，正确的是②③．
64．数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展
开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题．
94 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【探究初步】
探究1 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
(1)如图1，在ABC
中，
90
BAC
=
，
2
AB
AC
=
=
，D 为AC 边上的一点，若ABD
与CBD
为偏等积三
角形，则CD = ；
(2)如图2，在ABC
中，
2
AB =
，
4
AC =
，D 为BC 边上的一点，且满足ABD
与ACD
为偏等积三角
形，过点B 作BE
AC
，交AD的延长线于点E，如果线段AD的长度为正整数，那么AE = ．
探究2 如图3，
90
BAD
=
，AB
AD
=
，过点B 作BC
AC
⊥
于点C，过点D 作DE
AC
⊥
于点E．我们把
这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
(3)探究图3 中线段CE
BC
DE
、
、
之间的数量关系，可得 ．
【迁移应用】
(4)如图4，已知ADC
与BDE
是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中DA
DC
=
，DB
DE
=
，
90
ADC
BDE
=
=
，
ADB
CDE
，过D 作DM
AB
⊥
，垂足为点M，MD的延长线与CE 交于点N，
请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明．
【答案】(1)1；
(2)4；
(3)CE
DE
BC
=
+
；
(4)解：CDN
与
EDN
△
为偏等积三角形，ADB
与
CDE
△
为偏等积三角形，证明如下：
如图所示，过E 作EP
DN
⊥
于点P，过C 作CQ
DN
⊥
交DN 延长线于点Q．
∴
90
EPN
EPD
CQN
=
=
=
∠
，
∵DM
AB
⊥
，
∴
90
DMB
EPD
=
=
∠
∠
，
∴
90
PDE
PED
+
=
；
∵
90
BDE =
∠
，
∴
90
PDE
MDB
+
=
∠
∠
，
∴
PED
MDB
=
∠
∠
，
又∵DE
BD
=
，
∴
(
)
AAS
PED
MDB
≌
，
∴PE
DM
=
；
95 / 124
学科网（北京）股份有限公司
同理可证明
QDC
MAD
△
≌△
，
∴CQ
DM
=
，
∴CQ
PE
=
，
又∵
,
QNC
PNE
CQN
EPN
=
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
(
)
AAS
EPN
CQN
≌
，
∴CN
NE
=
．
∴
CDN
EDN
S
S
=
，
又∵ADC
与BDE
不全等，
∴DC
DE
∴CDN
与
EDN
△
不全等，
∴CDN
与是偏等积三角形；
如图所示，过E 作EG
CD
⊥
于点G，过B 作BF
AD
⊥
交AD延长线于点F．
∴
90
BFD
EGD
=
=
，
∵
360
EDG
ADB
ADC
BDE
+
+
+
=
，
90
ADC
BDE
=
=
，
∴
180
EDG
ADB
+
=
．
又∵
180
BDF
ADB
+
=
，
∴
EDG
BDF
=
，
又∵DB
DE
=
，
∴
(
)
AAS
BFD
EGD
≌
，
∴BF
EG
=
．
∵
1
1
,
2
2
ADB
CDE
S
AD BF S
CD EG
=
=
，
96 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
ADB
CDE
S
S
=
，
又∵
ADB
CDE
，
,
AD
CD DB
DE
=
=
，
∴ADB
与
CDE
△
不全等，
∴ADB
与
CDE
△
是偏等积三角形．
【分析】（1）根据定义可得
ABD
CBD
S
S
=
△
△
，则可证明AD
CD
=
，即
1
1
2
CD
AC
=
= ；
（2）根据定义可得
1
ABD
ACD
S
BD
S
CD
=
=
，则BD
CD
=
；证明DBE
DCA
≌
得到
,
4
DE
DA BE
AC
=
=
=
；根据三
角形三边的关系求出AD的取值范围，结合线段AD的长度为正整数，求出AD的长即可求出AE 的长；
（3）证明
(
)
AAS
CAB
EDA
≌
，得到AC
DE
AE
BC
=
=
，
，即可证明CE
AC
AE
DE
BC
=
+
=
+
；
（4）过E 作EP
DN
⊥
于点P，过C 作CQ
DN
⊥
交DN 延长线于点Q．证明
PED
MDB
△
≌△
，
QDC
MAD
△
≌△
，推出CQ
PE
=
，再证明EPN
CQN
≌
，得到CN
NE
=
，则可推出
CDN
EDN
S
S
=
，可证
明DC
DE
，则可证明CDN
与
EDN
△
不全等，故CDN
与是偏等积三角形；过E 作EG
CD
⊥
于点G，
过B 作BF
AD
⊥
交AD延长线于点F．证明BFD
EGD
≌
，得到BF
EG
=
．则可证明
ADB
CDE
S
S
=
，可证
明ADB
与
CDE
△
不全等，则可证明ADB
与
CDE
△
是偏等积三角形．
【详解】（1）解：如图1 所示，
∵ABD
与CBD
为偏等积三角形，
∴
ABD
CBD
S
S
=
△
△
，
∵
90
BAC
=
，即AB
AC
⊥
，
∴
1
1
,
2
2
ABD
CBD
S
AD AB S
CD AB
=
=
△
△
，
∴1
1
2
2
AD AB
CD AB
=
，
∴AD
CD
=
，即
1
1
2
CD
AC
=
= ；
（2）解：∵ABD
与ACD
为偏等积三角形，
∴
ABD
ACD
S
S
=
，
∴
1
ABD
ACD
S
BD
S
CD
=
=
，
∴BD
CD
=
；
97 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∵BE
AC
，
∴
,
DBE
DCA
DEB
DAC
=
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
(
)
SAS
DBE
DCA
≌
∴
,
4
DE
DA BE
AC
=
=
=
；
在ABE
中，BE
AB
AE
BE
AB
−
+
，
∴4 2
4 2
AE
−
+
，即2
2
6
AD
，
∴1
3
AD
，
∵线段AD的长度为正整数，
∴
2
AD =
，
∴
4
AE =
；
（3）解：∵BC
AC
⊥
，DE
AC
⊥
，
∴
90
C
E
=
=
，
∴
90
B
CAB
+
=
∠
∠
；
∵
90
BAD
=
，
∴
90
CAB
EAD
+
=
，
∴
B
EAD
=
，
又∵AB
DA
=
，
∴
(
)
AAS
CAB
EDA
≌
，
∴AC
DE
AE
BC
=
=
，
，
∴CE
AC
AE
DE
BC
=
+
=
+
；
（4）略
基础通关
1．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，BD
AC
⊥
，CE
AB
⊥
，垂足分别为D，E，AD
AE
=
．下列
选项中，可以直接作为判定ABD
ACE
≌
的依据是（ ）
98 / 124
学科网（北京）股份有限公司
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】D
【分析】由ASA判定ABD
ACE
≌
，即可得到答案．
【详解】解：∵BD
AC
⊥
，CE
AB
⊥
，
∴
90
ADB
AEC
=
=
，
在ABD
和
ACE
△
中，
ADB
AEC
AD
AE
BAD
CAE
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACE ASA
≌
，
∴可以直接作为判定ABD
ACE
≌
的依据是ASA．
2．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，已知AB
DE
=
且AB
DE
∥
，那么添加下列一个条件后，仍无
法判定ABC
DEF
≌
的是（ ）
A．AC
DF
=
B．
A
D
=
C．BF
EC
=
D．BC
EF
=
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，关键是先由平行线性质得到一组角相等，再结合各选项条件判
断是否符合全等判定定理(
)
SSS
SAS
ASA
AAS
、
、
、
．已知AB
DE
=
且
//
AB DE，根据“两直线平行，同位
角相等”可得
ABC
DEF
=
，接下来分析各选项即可．
【详解】解：
AB
DE
，
ABC
DEF
=
，
又
AB
DE
=
，
对于选项A：添加AC
DF
=
，此时满足AB
DE
=
，
ABC
DEF
=
，AC
DF
=
，属于SSA ，无法判定
ABC
DEF
≌
；
99 / 124
学科网（北京）股份有限公司
对于选项B：添加
A
D
=
，
在ABC
和DEF
中，
A
D
AB
DE
ABC
DEF
=
=
=
，
(
)
ASA
ABC
DEF
≌
；
对于选项C：添加BF
EC
=
，
BF
FC
EC
FC
+
=
+
，
BC
EF
=
，
在ABC
和DEF
中，
AB
DE
ABC
DEF
BC
EF
=
=
=
，
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
；
对于选项D：添加BC
EF
=
，
在ABC
和DEF
中，
AB
DE
ABC
DEF
BC
EF
=
=
=
，
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
；
故选：A．
3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，ABC
和
CDE
△
都是等腰直角三角形，
90
ACB
ECD
=
=
，
50
EBD
=
，则
AEB
的度数为（ ）
A．130
B．135
C．140
D．145
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直
角三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
根据ABC
和
CDE
△
都是等腰直角三角形，得EC
DC
=
，AC
BC
=
，从而通过推导证明
(
)
SAS
≌
BDC
AEC
△
△
，得
EAC
DBC
=
；再结合三角形内角和的性质，通过计算即可得到答案．
100 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【详解】
ABC
和
CDE
△
都是等腰直角三角形，
EC
DC
=
，AC
BC
=
，
∵
90
ACB
ECD
=
=
ECA
DCB
=
，
(
)
SAS
≌
BDC
AEC
△
△
EAC
DBC
=
50
+
=
+
=
=
EAC
EBC
DBC
EBC
EBD
(
)
90
40
+
=
−
+
=
EBA
EAB
EAC
EBC
(
)
180
140
=
−
+
=
AEB
EBA
EAB
故选：C．
4．（25-26 八年级上·江西上饶·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有
1、2、3、4 的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带
（ ）
A．第1 块
B．第2 块
C．第3 块
D．第4 块
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验
证即可得到结论．
【详解】解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们
去，
只有第2 块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足三角形全等的条件，是符合题意的，
故选：B．
5．（25-26 八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知
1
2
= ，若要使ABC
DCB
≌
，( 不允许标注其他字母
) 则添加的一个条件为______ ．
【答案】
A
D
=
（
ABC
DCB
=
或
ABD
DCA
=
或AC
BD
=
（答案不唯一））
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件．
101 / 124
学科网（北京）股份有限公司
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5 种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方
法，取决于题目中的已知条件．
【详解】解：
1
2
=
，BC
CB
=
，
当添加
A
D
=
，
(
)
ABC
DCB AAS
≌
；
当添加
ABC
DCB
=
或
ABD
DCA
=
时，
(
)
ABC
DCB ASA
≌
；
当添加AC
BD
=
时，
(
)
ABC
DCB SAS
≌
；
故答案为：
A
D
=
（
ABC
DCB
=
或
ABD
DCA
=
或AC
BD
=
（答案不唯一））
6．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，D 是ABC
的边AB 上一点，DF 交AC 于E ，DE
EF
=
，
FC
AB
∥
，若
2
BD =
，
6
CF = ，则AB =_____．
【答案】8
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明ADE
CFE
≌
是本题的关键．
由“AAS”可证ADE
CFE
≌
，可得
6
CF
AD
=
=
，即可求解．
【详解】解：
FC
AB
∥
，
A
ACF
=
，
F
ADF
=
，
又
DE
EF
=
，
(AAS)
ADE
CFE
△
≌△
，
6
CF
AD
=
= ，
8
AB
AD
BD
=
+
=
，
故答案为：8．
7．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角ABC
中，
90
B
=
，
8
AB =
，
6
BC =
，
10
AC =
，CE 平分
ACB
，ED
AC
⊥
于D ，则ADE
的周长是______．
【答案】12
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，证明
(
)
AAS
BCE
DCE
△
≌△
，得到
6
BC
DC
=
=
，BE
DE
=
，进而得到ADE
的周长
AE
DE
AD
AE
BE
AD
AB
AD
=
+
+
=
+
+
=
+
即可求解，
102 / 124
学科网（北京）股份有限公司
掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵CE 平分
ACB
，
∴
BCE
DCE
=
，
∵ED
AC
⊥
，
∴
90
EDC
=
，
∵
90
B
=
，
∴
B
EDC
=
，
又∵CE
CE
=
，
∴
(
)
AAS
BCE
DCE
△
≌△
，
∴
6
BC
DC
=
=
，BE
DE
=
，
∵
10
AC =
，
∴
10 6
4
AD
AC
DC
=
−
=
−=
，
∴ADE
的周长
8 4
12
AE
DE
AD
AE
BE
AD
AB
AD
=
+
+
=
+
+
=
+
= +
=
，
故答案为：12．
8．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，ABC
中，AD
BC
⊥
于
,
D E 是AD上一点，连接BE并延长交
AC 于F ．若
,
,
30,
20
AD
BD DE
DC FC
AF
=
=
=
=
．则ABE
的面积是_______．
【答案】500
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，解题的关键是证明
BDE
ADC
△
≌△
，得出
BE
AC
=
且AF
BE
⊥
，再利用三角形面积公式求解．先证明
BDE
ADC
△
≌△
，得到BE
AC
=
且
AF
BE
⊥
，再结合AC 的长度，利用三角形面积公式
1
2
S
ah
=
（a 为底，h 为高）求出ABE
的面积．
【详解】解：∵AD
BC
⊥
于D ，
90
BDE
ADC
=
=
在BDE
和ADC
中，
,
BD
AD
BDE
ADC
DE
DC
=
=
=
(SAS)
BDE
ADC
≌
DBE
DAC
BE
AC
=
=
，
103 / 124
学科网（北京）股份有限公司
90
DBE
C
DAC
C
+
=
+
=
90
BFC
=
AF
BE
⊥
30
20
FC
AF
=
=
，
30
20
50
BE
AC
FC
AF
=
=
+
=
+
=
1
1
50 20
500
2
2
ABE
S
BE AF
=
=
=
∴ABE
的面积是500．
故答案为：500．
9．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在ABC
中，D 为边AB 上的一点，E 为AC 的中点，连接DE 并延
长至点F ，连接CF ，使得CF
AB
∥
．求证：AD
CF
=
．
【答案】见解析
【详解】证明：∵CF
AB
∥
∴
A
ECF
=
∵E 为AC 的中点，
∴AE
CE
=
∵
AED
CEF
=
∴
(
)
ASA
AED
CEF
△
≌△
∴AD
CF
=
．
10．（25-26 八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知AB
AC
=
，AD
AE
=
，
1
2
= ．
(1)求证：BD
CE
=
；
(2)若
30
B
=
，求
C
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30
104 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）证明出
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，即可得到BD
CE
=
；
（2）由全等三角形对应角相等求解．
【详解】（1）解：
1
2
=
，
1
2
CAD
CAD
+
=
+，即
BAD
CAE
=
，
又∵AB
AC
=
，AD
AE
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
△
≌△
BD
CE
=
；
（2）解：
BAD
CAE
△
≌△
，
30
B
=
，
30
C
B
= =
．
素养提升
11．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为O，钟摆静止时在最低点A处，
OA与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置B 处，距离水平台的高度为1.2 m ；然后到达位置C 处，测得
B 、C 两点到OA的水平距离BD、CE 分别为1.5 m 和1.8 m，且
90
BOC
=
、则钟摆到达C 处时距离水平
台的高度为（）
A．1.2 m
B．1.5 m
C．1.6 m
D．1.8 m
【答案】B
【分析】通过证明OBD
COE
≌
得出对应边OD
CE
=
，OE
BD
=
，利用高度关系求解即可．
【详解】解：
BD
OA
⊥
，CE
OA
⊥
，
90
BDO
OEC
=
=
，
90
OBD
BOD
+
=
，
90
BOC
=
，
90
BOD
COE
+
=
，
OBD
COE
=
，
在OBD
和
COE
△
中
105 / 124
学科网（北京）股份有限公司
BDO
OEC
OBD
COE
OB
OC
=
=
=
，
(AAS)
OBD
COE
≌
，
1.8m
OD
CE
=
=
，
1.5m
OE
BD
=
=
，
设点O距离水平台的高度为h ，
点B 距离水平台的高度为1.2m，
1.2
1.8 1.2
3m
h
OD
=
+
=
+
=
，
点C 距离水平台的高度为
3 1.5
1.5(m)
h
OE
−
=
−
=
．
12．（16-17 八年级上·甘肃平凉·期中）如图所示，在ABC
中，AC
BC
⊥
，AE 为
BAC
的平分线，
DE
AB
⊥
，
7cm
AB =
，
3cm
AC =
，则BD等于（ ）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
【答案】D
【分析】证明出
(
)
AAS
AEC
AED
≌
，得到
3cm
AD
AC
=
=
，进而求解即可．
【详解】解：∵AE 为
BAC
的平分线
∴
CAE
DAE
=
∵AC
BC
⊥
，DE
AB
⊥
∴
90
C
ADE
=
=
∵AE
AE
=
∴
(
)
AAS
AEC
AED
≌
∴
3cm
AD
AC
=
=
∵
7cm
AB =
∴
4cm
BD
AB
AD
=
−
=
．
13．（25-26 八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，ABC
的面积为
2
6cm ，AP 垂直
ABC
的平分线BP于
点P，则
PBC
△
的面积为（ ）
2
cm
106 / 124
学科网（北京）股份有限公司
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】延长AP 交BC 于点D ，证明
ABP
DBP
≌
△
△
，得到AP
PD
=
，根据三角形的中线平分面积推出
PBC
△
的面积等于ABC
的面积的一半，即可．
【详解】解：延长AP 交BC 于点D ，
∵AP 垂直
ABC
的平分线BP于点P，
∴
90 ,
APB
DPB
ABP
DBP
=
=
=
，
又∵BP
BP
=
，
∴
(
)
ASA
ABP
DBP
≌
，
∴AP
PD
=
，
∴
,
1
1
2
2
BPD
ABD
CPD
ACD
S
S
S
S
=
=
，
∴
(
)
1
2
BPD
CPD
ABD
ACD
S
S
S
S
+
=
+
，
∴
2
1
3cm
2
BPC
ABC
S
S
=
=
．
14．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，BM 是ABC
的中线，CD
BM
⊥
，过点B 作AB 的垂线交
DC 延长线于点E ，若
,
AB
BE
=
1
MD = ，则CE 的长是（ ）
107 / 124
学科网（北京）股份有限公司
A．3
B．2.5
C．2 2
D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A 作AH
BM
⊥
，交BM 的延长线于点H，证明
(
)
AAS
AMH
CMD
≌
，得到
1
AH
CD
HM
DM
=
=
=
，
，则
2
DH
DM
HM
=
+
=
；再证明
(
)
AAS
DEB
HBA
≌
，得到AH
BD
DE
BH
=
=
，
，则可证明
2
CE
DH
=
=
．
【详解】解：如图所示，过点A 作AH
BM
⊥
，交BM 的延长线于点H，
∵CD
BM
⊥
，AH
BM
⊥
，
∴
90
AHM
CDM
CDB
=
=
=
∠
∠
∠
；
∵BM 是ABC
的中线，
∴AM
CM
=
，
又∵
AMH
CMD
=
，
∴
(
)
AAS
AMH
CMD
≌
，
∴
1
AH
CD
HM
DM
=
=
=
，
，
∴
2
DH
DM
HM
=
+
=
；
∵BE
AB
⊥
，即
90
ABE
=
，
∴
90
DBE
DEB
DBE
HBA
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
DEB
HBA
=
∠
∠
，
又∵AB
BE
=
，
∴
(
)
AAS
DEB
HBA
≌
，
∴AH
BD
DE
BH
=
=
，
，
小学
初中
108 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴CD
BD
=
，
∴DE
CD
BH
BD
−
=
−
，
∴
2
CE
DH
=
=
，
故选：D．
15．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）将ABC
平移得到DEF
，DE 经过BC 的中点G ，已知
3
AB =
，
则DG =__________．
【答案】3
2 /1.5
【分析】证明四边形ABDE 是平行四边形，再证明
(
)
AAS
BGE
CDG
≌
，求解即可；
【详解】解：∵ABC
平移得到DEF
，
∴AD BE
∥
，
3
AB
DE
=
=
∴
,
GBE
GCD
GEB
GDC
=
=
∵G 是边BC 的中点，
∴BG
GC
=
，
∵
GBE
GCD
GEB
GDC
BG
CG
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BGE
CGD
≌
，
∴
1
2
DG
GE
DE
=
=
，
∴
3
2
DG =
；
16．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D 三点在同一直线上，且AB
AE
=
，
AC
AD
=
，
BAE
CAD
=
．若1
2
3
100
++=
，则
3
的度数为_____．
109 / 124
学科网（北京）股份有限公司
【答案】50
【分析】先证明
(
)
BAC
EAD SAS
≌
，得出
2
BAC
=
，1
ABC
=
，再结合三角形外角的定义及性质计
算即可得出结果．
【详解】解：∵
BAE
CAD
=
，
∴
BAE
CAE
CAD
CAE
−
=
−
，
∴
BAC
EAD
=
，
∵AB
AE
=
，AC
AD
=
，
∴
(
)
BAC
EAD SAS
≌
，
∴
2
BAC
=
，
1
ABC
=
，
∵
3
2
1
BAC
ABC
=
+
= +，
1
2
3
100
++=
，
∴2 3 100
=
，
∴
3
50
=
．
17．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
,
C
AC
BC BD
=
=
平分
ABC
，过点A
作AE
BD
⊥
，交BD的延长线于点E，若
4
AE =
，则BD的长为_____ ．
【答案】8
【分析】延长AE
BC
、
交于点F，证明
(
)
ASA
CAF
CBD
≌
，得BD
AF
=
，再证明
(
)
ASA
ABE
FBE
≌
，
得
1
2
AE
EF
AF
=
=
，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AE
BC
、
交于点F，
∵
,
90
AE
BD
ACB
⊥
=
，
110 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
90
ACF
BCD
AED
FEB
=
=
=
=
，
∵
ADE
BDC
=
，
180
,
180
CAF
AED
ADE
CBD
BCD
BDC
=
−
−
=
−
−
，
∴
CAF
CBD
=
，
在CAF
和CBD
中，
CAF
CBD
AC
BC
ACF
BCD
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
CAF
CBD
≌
，
∴BD
AF
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABE
FBE
=
，
在ABE
和
FBE
△
中，
ABE
FBE
BE
BE
AEB
FEB
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABE
FBE
≌
，
∴
1
2
AE
EF
AF
=
=
，
∴
2
2 4
8
BD
AF
AE
=
=
= = ．
【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
18．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰Rt
ABC
△
中，
10
AB
BC
=
=
，
90
ABC
=
，D
是射线BC 上一点，连结AD，过点A 作AE
AD
⊥
，AE
AD
=
，连接CE 与直线AB 交于点F，若
4
AB
BF
=
，则BD的长是______ ．
【答案】5或15
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，过点E 作EH
AB
⊥
于H，由
AAS可证AEH
DAB
≌
，可得AB
EH
=
，BD
AH
=
，由AAS可证BFC
HFE
≌
，可得BF
FH
=
，分点
D 在点C 左侧或右侧讨论，即可求解．
【详解】解：当点D 在点C 右侧时，过点E 作EH
AB
⊥
于H，
111 / 124
学科网（北京）股份有限公司
AE
AD
⊥
，EH
AB
⊥
，
90
DAE
ABC
=
=
，
90
EAH
BAD
BAD
ADB
+
=
=
+
，
EAH
ADB
=
，
AE
AD
=
，
(
)
AAS
AEH
DAB
≌
，
AB
EH
=
，BD
AH
=
，
10
AB
BC
=
=
，
4
AB
BF
=
，
10
5
4
2
BF
=
=
，
AB
BC
EH
=
=
，
又
90
CBF
H
=
=
，
EFH
BFC
=
，
(
)
AAS
BFC
HFE
≌
，
5
2
BF
FH
=
=
，
5
5
10
15
2
2
AH
AB
BF
FH
=
+
+
=
+
+
=
．
15
BD
=
.
当点D 在点C 左侧时，过点E 作EH
AB
⊥
于H，
同理证
(
)
AAS
AEH
DAB
≌
，
(
)
AAS
BFC
HFE
≌
得
5
2
BF
FH
=
=
，
5
5
10
5
2
2
AH
AB
BF
FH
=
−
−
=
−
−
= ．
5
BD
=
故答案为：5或15.
19．（25-26 九年级下·江苏无锡·期中）如图，ABC
的两条高AD
CE
、
交于点
,
F AF
BC
=
．
112 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
AEF
CEB
△
≌△
；
(2)若
4,
5
BE
CF
=
=
，求
ACF
△
的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)22.5
【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明
BCE
DAB
=
，然后利用AAS 即可证明
AEF
CEB
≌
；
（2）利用全等三角形的性质可以得到 EF 、AE 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：
ABC
的两条高 AD，CE 交于点 F ，
90
BEC
AEC
ADB
=
=
=
，
90
BCE
B
DAB
B
+=
+=
即
BCE
DAB
=
，
在
CEB
与
AEF
中，
BEC
AEC
BCE
DAB
AF
BC
=
=
=
(
)
AEF
CEB AAS
≌
；
（2）解：
AEF
CEB
≌
，
AE
CE
=
， EF
EB
=
，
4
BE =
，
5
CF = ，
4
EF
=
，
9
CE
AE
CF
EF
=
=
+
= ，
1
1
5 9
22.5
2
2
ACF
S
CF
AE
=
=
=
．
20．（25-26 八年级上·江西宜春·期末）王强同学用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地
面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(
)
,
90
AC
BC
ACB
=
=
，点C 在DE 上，点A
和B 分别与木墙的顶端重合．
113 / 124
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：△
≌△
ADC
CEB ；
(2)求两堵木墙之间的距离；
(3)求四边形ABED的面积．
【答案】(1)
证明：
AC
BC
=
，
90
ACB
=
，AD
DE
⊥
，BE
DE
⊥
，
90
ADC
CEB
=
=
，
90
ACD
BCE
+
=
，
90
ACD
DAC
+
=
，
BCE
DAC
=
．
在ADC
和CEB
中，
ADC
CEB
DAC
ECB
AC
CB
=
=
=
(
)
AAS
ADC
CEB
≌
；
(2)40cm
(3)
2
800cm
【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
（1）根据题意可得AC
BC
=
，
90
ACB
=
，AD
DE
⊥
，BE
DE
⊥
，进而得到
90
ADC
CEB
=
=
，再
根据等角的余角相等可得
BCE
DAC
=
，再证明△
≌△
ADC
CEB 即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答；
（3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由题意得：
4 3
12cm
AD =
=
，
4 7
28cm
BE =
=
．
ADC
CEB
△
≌△
，
12cm
EC
AD
=
=
，
28cm
DC
BE
=
=
，
40cm
DE
DC
CE
=
+
=
，
故两堵木墙之间的距离为40cm ．
（3）解：依题意，四边形ABED是梯形，
∴四边形ABED的面积
(
)
1
2 AD
BE
DE
=
+
(
)
2
1 12
28
40
800cm
2
=
+
=
．
114 / 124
学科网（北京）股份有限公司
迁移创新
21．（25-26 八年级上·浙江台州·期中）如图，CE 平分
BCD
且CE
BD
⊥
于点E ，
DAB
DBA
=
，
22
AC =
，BCD
的周长为32，则BD的长为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系．
由已知得BC
DC
=
，AD
BD
=
，则
22
AC
DB
DC
=
+
=
，所以
10
BC =
，则
10
DC =
，即可求得
12
BD =
．
【详解】∵CE 平分
BCD
且CE
BD
⊥
于点E，
∴
1
90
2
BCE
DCE
BCD
BEC
DEC
=
=
=
=
，
，
∵CE
CE
=
，
∴
(
)
ASA
BCE
DCE
≌
，
∴BC
DC
=
，
∵
DAB
ABD
=
，
∴AD
BD
=
，
∵
22
AC
AD
DC
DB
DC
=
+
=
+
=
，BCD
的周长
32
DC
DB
CB
=
+
+
=
，
∴
32
22
10
BC =
−
=
，
∴
10
DC =
，
∴
22 10
12
BD =
−
=
，
故选：C．
22．（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图，ABC
中，AB
AC
=
，
78
BAC
=
，O为ABC
内一点，且
9
OCB
= ，
21
ABO
=
，则
OAC
的度数为（ ）
115 / 124
学科网（北京）股份有限公司
A．68
B．69
C．71
D．72
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长BO交
BAC
的角平分线于点
P ，连接CP ，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出
51
ABC
ACB
=
=
，
39
BAP
CAP
=
=
，进
而得出
30
OBC
=
，利用SAS证明APB
APC
≌
，根据全等三角形的性质求出
21
ABP
ACP
=
=
，
APB
APC
=
，根据角的和差及三角形内角和定理求出
120
BPC
=
，结合平角定义求出
120
APC
BPC
=
=
，利用ASA证明
APC
OPC
≌
△
△
，根据全等三角形的性质得出AP
OP
=
，再根据等
腰三角形的性质及角的和差求解即可．
【详解】如图，延长BO交
BAC
的角平分线于点P ，连接CP ．
AP
平分
BAC
，
78
BAC
=
，
39
BAP
CAP
=
=
，
AB
AC
=
∵
，
78
BAC
=
，
51
ABC
ACB
=
=
，
21
ABO
=
，
30
OBC
ABC
ABO
=
−
=
，
在APB
和APC
中，
AB
AC
BAP
CAP
AP
AP
=
=
=
，
(
)
SAS
APB
APC
≌
，
21
ABP
ACP
=
=
，
APB
APC
=
，
30
BCP
ACB
ACP
=
−
=
，
180
120
BPC
PBC
BCP
=
−
−
=
，
360
120
240
APB
APC
+
=
−
=
，
120
APB
APC
BPC
=
=
=
，
9
OCB
=
，
21
OCP
BCP
OCB
ACP
=
−
=
=
，
在
APC
△
和OPC
中，
116 / 124
学科网（北京）股份有限公司
ACP
OCP
CP
CP
APC
OPC
=
=
=
，
(ASA)
APC
OPC
≌
，
AP
OP
=
，
1
(180
)
30
2
OAP
AOP
APO
=
=
−
=
，
30
39
69
OAC
OAP
CAP
=
+
=
+
=
，
故选：B．
23．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，
AB
AD
=
．点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延长线上，连接AF 、AE 、EF ，满足
EF
BE
FD
=
+
．若
75
C
=
，则
=
EAF
__________．
【答案】127.5
【分析】先作DG
BE
=
，连接AG ，即可证明
ADG
ABE
△
≌△
，进而说明EF
GF
=
，可得
AEF
AGF
≌
，再结合
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，可得答案．
【详解】证明：如图，延长DC 到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，
∵
180 ,
180
ABC
ADC
ABC
ABE
+
=
+
=
，
ADC
ABE
=
．
∵
,
AB
AD BE
DG
=
=
，
∴
(
)
ADG
ABE SAS
≌
，
AG
AE
=
，
DAG
BAE
=
．
EF
BE
FD
=
+
，
∴EF
DG
DF
=
+
，
117 / 124
学科网（北京）股份有限公司
EF
GF
=
，
∵AE
AG
AF
AF
EF
FG
=
=
=
，
，
，
∴
(
)
AEF
AGF SSS
≌
，
∴
FAE
FAG
=
．
∵
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，
∴2
(
)=360
FAE
GAB
BAE
+
+
，
∴2
(
)=360
FAE
GAB
DAG
+
+
，
即2
360
FAE
DAB
+
=
，
∴
1
180
2
EAF
DAB
=
−
，
∵
360
105
DAB
C
ABC
ADC
=
−−
−
=
，
∴
180
52.5
127.5
EAF
−
=
=
．
24．（25-26 八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD 中，AB
AD
=
．
(1)若
120
BAD
=
，
90
B
ADC
=
=
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，且
60
EAF
=
，试探究线段
BE，EF ，FD之间的数量关系．小亮同学认为：延长FD到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，如图1，先证
明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，则可得到BE，EF ，FD之间的数量关系．请你：
①直接写出
GAF
的度数：
GAF
= ______ ；
②根据小亮同学的思路，直接判断BE，EF ，FD之间的数量关系：______．
(2)如图2，若
180
B
D
+
=
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，
1
2
EAF
BAD
=
，（1）中的结论是否
仍然成立？请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
+
=
，点E，F 分别是CB ，CD延长线上的点，若EF
BE
DF
=
+
，试判断
EAF
和
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①60；②EF
BE
FD
=
+
(2)结论仍然成立，理由见解析
(3)
1
180
2
EAF
DAB
=
−
，理由见解析
【分析】（1）延长FD到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，则GF
BE
FD
=
+
，先依据“SAS”判定ABE
和
118 / 124
学科网（北京）股份有限公司
ADG
△
全等得AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
，进而得
60
EAF
GAF
=
=
，再依据“SAS”判定AEF
和
AGF
全等得EF
GF
=
，由此即可得出BE，EF ，FD之间的数量关系；
（2）延长FD到H，使DH
BE
=
，连接AH ，则HF
BE
FD
=
+
，先证明
B
ADH
=
，进而可依据“SAS”
判定ABE
和ADH
全等，则AE
AH
=
，
BAE
HAD
=
，继而结合已知条件可得出AF 是
HAE
的平分
线，由此可依据“SAS”判定AEF
和AHF
全等，则EF
HF
=
，据此即可得出答案；
（3）在DC 延长线上取一点G，使得DG
BE
=
，连接AG ，先判定
ADG
ABE
△
≌△
，再判定
AEF
AGF
≌
，得出
FAE
FAG
=
，最后根据
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，推导得到
2
360
FAE
DAB
+
=
，即可得出结论．
【详解】（1）解：①延长FD到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，如图1 所示：
∴GF
DG
FD
BE
FD
=
+
=
+
，
∵
90
B
ADC
=
=
，
∴
90
B
ADG
=
=
，
在ABE
和
ADG
△
中，
90
AB
AD
B
ADG
DG
BE
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABE
ADG SAS
≌
，
∴AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
，
∵
120
BAD
=
，
60
EAF
=
，
∴
120
60
60
BAE
DAF
BAD
EAF
+
=
−
=
−
=
，
∴
60
DAG
DAF
+
=
，即
60
GAF
DAG
DAF
=
+
=
，
∴
60
EAF
GAF
=
=
，
②在AEF
和AGF
中，
AE
AG
EAF
GAF
AF
AF
=
=
=
∴
(
)
AEF
AGF SAS
≌
，
119 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴EF
GF
=
，
∵GF
BE
FD
=
+
，
∴EF
BE
FD
=
+
，
∴BE，EF ，FD之间的数量关系是：EF
BE
FD
=
+
，
故答案为：①60，②EF
BE
FD
=
+
．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
延长FD到H，使DH
BE
=
，连接AH ，如图2 所示：
∴HF
DH
FD
BE
FD
=
+
=
+
，
∵
180
B
ADC
+
=
，
180
ADH
ADC
+
=
，
∴
B
ADH
=
，
在ABE
和ADH
中，
AB
AD
ADH
B
DH
BE
=
=
=
，
∴
(
)
ABE
ADH SAS
≌
，
∴AE
AH
=
，
BAE
HAD
=
，
∴
BAD
BAE
EAF
HAD
EAF
HAE
=
+
=
+
=
，
∵
1
2
EAF
BAD
=
，
∴
1
2
EAF
HAE
=
，
∴AF 是
HAE
的平分线，
∴
EAF
HAF
=
，
在AEF
和AHF
中，
AE
AH
EAF
HAF
AF
AF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AEF
AHF
≌
，
∴EF
HF
=
，
120 / 124
学科网（北京）股份有限公司
又∵HF
BE
FD
=
+
，
∴EF
BE
FD
=
+
，
∴结论仍然成立．
（3）解：
1
180
2
EAF
DAB
=
−
，
理由：如图3，在DC 延长线上取一点G，使得DG
BE
=
，连接AG ，
∵
180
ABC
ADC
+
=
，
180
ABC
ABE
+
=
，
∴
ADC
ABE
=
，
在
ADG
△
和ABE
中，
AD
AB
ADC
ABE
DG
BE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADG
ABE
≌
，
∴AG
AE
=
，
DAG
BAE
=
，
∵EF
BE
FD
DG
FD
GF
=
+
=
+
=
，
∴EF
GF
=
，
在AEF
和AGF
中，
AG
AE
AF
AF
EF
GF
=
=
=
，
∴
(
)
AEF
AGF SSS
≌
，
∴
FAE
FAG
=
，
∵
360
FAE
FAG
GAE
+
+
=
，
∴
(
)
2
360
FAE
GAB
BAE
+
+
=
，
∴
(
)
2
360
FAE
GAB
DAG
+
+
=
，
即2
360
FAE
DAB
+
=
，
121 / 124
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
180
2
EAF
DAB
=
−
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助
线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
25．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）在等边ABC
中，点P 为ABC
所在平面内一点．
(1)如图1，点P 在ABC
内，以CP 为边作等边CPD
，连接AP ，BD，延长AP 交BD的延长线于点Q ，
求
AQB
的度数；
(2)如图2，点P 在ABC
内，且
120
APC
=
，M 为AC 的中点，连接PM ，PB，求证：
2
PB
PM
=
；
(3)如图3，在（1）的条件下，将等边CPD
绕点C 顺时针旋转至B ，C ，P 三点共线，连接AP ，BD交
于点E ，连接EC ，设AE
a
=
，DE
b
=
，CE
c
=
，若
3
BC
CP
=
，直接写出
3
a
b
c
−
的值．
【答案】(1)60°
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）如图1中，设AQ 交BC 于J ．证明
(
)
SAS
ACP
BCD
≌
，推出
CAP
CBD
=
，可得结论．
（2）如图2 中，延长PM 到T ，使得MT
PM
=
，连接CT ，延长AP 到K ，使得PK
PC
=
，连接BK ，
CK ．证明
(
)
SAS
AMP
CMT
≌
，推出PA
CT
=
，AP
CT
=
，
PAM
MCT
=
，再证明
(
)
SAS
PKB
PCT
≌
，推出PB
PT
=
，可得结论．
（3）过点C 作CW
PA
⊥
于W ，CR
BD
⊥
于R ，在EB上取一点L ，使得EL
EA
=
，连接AL ，设BD交AC
于O．首先证明BE
AE
EC
=
+
，EP
EC
DE
=
+
，再证明
3
BE
PE
=
，由此构建关系式，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，设AQ 交BC 于J ．
122 / 124
学科网（北京）股份有限公司
ABC
，CPD
都是等边三角形，
CA
CB
=
，CP
CD
=
，
60
ACB
PCD
=
=
，
ACP
BCD
=
，
在ACP
和BCD
中，
CA
CB
ACP
BCD
CP
CD
=
=
=
，
(
)
SAS
ACP
BCD
≌
，
CAP
CBD
=
，
AJC
BJQ
=
，
60
BQJ
ACJ
=
=
，
60
AQB
=
．
（2）证明：如图2 中，延长PM 到T ，使得MT
PM
=
，连接CT ，延长AP 到K ，使得PK
PC
=
，连接
BK ，CK ．
在AMP
和CMT
中，
MA
MC
AMP
CMT
MP
MT
=
=
=
，
(
)
SAS
AMP
CMT
≌
，
PA
CT
=
，
PAM
MCT
=
，
PA
∥CT ，
123 / 124
学科网（北京）股份有限公司
120
APC
=
，
60
CPK
PCT
=
=
，
PK
PC
=
，
PCK
是等边三角形，
由（1）可知，
(
)
SAS
ACP
BCK
≌
，
AP
BK
=
，
120
APC
CKB
=
=
，
60
CKP
=
，
60
PKB
PCT
=
=
，BK
CT
=
，
在PKB
和PCT
中，
KP
CP
PKB
PCT
KB
CT
=
=
=
，
(
)
SAS
PKB
PCT
≌
，
PB
PT
=
，
2
PT
PM
=
，
2
PB
PM
=
．
（3）解：过点C 作CW
PA
⊥
于W ，CR
BD
⊥
于R ，在EB上取一点L ，使得EL
EA
=
，连接AL ，设BD
交AC 于O．
ABC
，DCP
都是等边三角形，
CA
CB
=
，CD
CP
=
，
60
BCA
DCP
=
=
，
ACP
BCD
=
，
在ACP
和BCD
中，
CA
CB
ACP
BCD
CP
CD
=
=
=
，
(
)
SAS
ACP
BCD
≌
，
CAP
CBD
=
，
AOE
BOC
=
，
124 / 124
学科网（北京）股份有限公司
60
AEO
BCO
=
=
，
120
BEP
=
，
CW
AP
⊥
，CR
BD
⊥
，
(
CW
CR
=
全等三角形对应边上的高相等) ，
CE
平分
BEP
，
60
CEB
CEP
PED
=
=
=
，
AE
EL
=
，
AEL
是等边三角形，
同理（1）可证，BAL
CAE
≌
，
EC
BL
=
，
BE
EL
BL
AE
EC
a
c
=
+
=
+
=
+ ，
同法可证EP
b
c
= + ，
∵
1
2
1
2
BEC
ECP
BE CR
S
BC
S
CP
EP CW
=
=
=
3，
3
BE
PE
=
，
(
)
3
a
c
b
c
+
=
+
，
3
2
a
b
c
−
=
，
∴
3
a
b
c
−
=2．
