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2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
12.2 三角形全等的判定
题型导航
题型1
SSS证明三角形全等
三 题型2
SAS证明三角形全等
角
形
题型3
ASA或AAS证明三角形全等
全
等
题型4
的
HL证明三角形全等
判
题型5
定 三角形全等判定的灵活应用
题型变式
【题型1】SSS证明三角形全等
1．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）小华在复习用尺规作一个角等于已知角
的过程中，回顾了作图的过程，他发现 与 全等，请你说明小华得到全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：在 和 中，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2021·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校八年级期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB
上一点，那么图中共有___对全等三角形．
【答案】3
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻
时要由易到难，逐个验证．
【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．
【题型2】SAS证明三角形全等1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角
形全等的依据是（ ）
A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边
【答案】B
【分析】根据已知条件，直接利用ASA进行证明即可求解．
【详解】解：在△ABC与△ADC中，
，
则△ABC≌△ADC（ASA）．
∴BC＝CD．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图， ， ， ，若 ， ，
则 ___．
【答案】
【分析】根据 ，推出 ，联合题目的条件可证明 ，进而可求得
结论．【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ，
而 ，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用 判定三角形全等，三角形内角和定理，利用平行推出角等，进而推出三角形全
等是解题关键．
【题型3】ASA或AAS证明三角形全等
1．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线
AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点 ，使 ，这时只要出 的长，就知道AB
的长，那么判定 ≌ 的理由是（ ）
A．ASA B．AAS C．SAS D．HL
【答案】A
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
【详解】解：∵AC⊥AB，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ≌ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是能够利用ASA判定两个三角形全等．
【变式3-1】
2．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，AB、CD相交于点E，且AE＝BE， ．求证：
AEC≌△BED．
△
【答案】见解析
【分析】采用“ASA”的全等三角形的判定方法即可求证．
【详解】∵
∴∠A＝∠B，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质的知识，掌握全等三角形的判定方法是解答本题
的关键．【题型4】HL证明三角形全等
1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知 ， ， ．则 的理
由是（ ）
A．HL B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【分析】利用直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CAB和Rt△DBA中，
，
∴Rt△CAB≌Rt△DBA（HL）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
【变式4-1】
2．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）如图，AB=AD，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D，求证
ABC≌△ADC．
△【答案】见解析
【分析】求出∠B=∠D=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt ABC≌Rt ADC．
【详解】解：∵CB⊥AB，CD⊥AD △ △
∴∠B=∠D=90°
又∵AB=AD，AC=AC
∴Rt ABC≌Rt ADC（HL）
【点△睛】本题考△查了全等三角形的判定定理和性质定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【题型5】全等三角形判定的灵活应用
1．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）下列各组条件中，可以判定△ABC≌△DEF的条件是（
）
A．AB=DE、AC=DF、BC=EF B．∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F
C．AB=DE、AC=DF、∠C=∠F D．BC=EF、∠A=∠D
【答案】A
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL，根据以上定理判断即
可
【详解】解： A、符合全等三角形的判定定理SSS，即能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B、只有角相等，不能判定△ABC≌△DFE，故本选项不合题意；
C、只满足SSA，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不合题意；
D、只有一角一边两个条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不合
题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL．【变式5-1】
2．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在 中， 是 边上的高， 是 边
上的高，且 ， 交于点 ，若 ，BD=8， ，则线段 的长度为______．
【答案】5
【分析】首先证明△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得FD=CD，AD=BD，根据AD=8，
DF=3，即可算出AF的长．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=3，BD=8，
∴AD=8，DF=3，
∴AF=8-3=5，
故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·福建·福州十八中八年级期末）如图，已知 ，垂足为 ， ， ，则可得
到 ，理由是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．
【详解】解:∵
∴∠AOB=∠COD=90°
在Rt△AOB和Rt△COD中
∴ （HL）
故选A．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键．
2．（2022·全国·七年级期末）如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李
湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定 ABC≌ ADC的理由是（ ）
△ △
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．
【详解】解：在 ADC与 ABC中，
△ △
．
∴△ADC≌△ABC（SAS）．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，
做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，
若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2021·全国·七年级课时练习）如图， ABC和 EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在
同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ ABC≌△△EDF的是( )
△
A．AB＝ED B．AC＝EF
C．AC∥EF D．BF＝DC
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断.
【详解】A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；
B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；
D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；
故选C.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 中，D，E是 边上的两点，
，则 的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【分析】先证明BD=CE，然后证明△ADB≌△AEC，∠ADE=∠AED=70°，得到∠BAD=∠CAE，根据三角
形内角和定理求出∠DAE=40°，从而求出∠BAD的度数即可得到答案．
【详解】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的
性质与判定条件是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ，
，下列结论不一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出
ABC≌△CDE，再逐个判断即可．
△【详解】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
同理∠1=∠E，
∵∠D=90°，
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在 ABC和 CDE中，
△ △
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴ ，
∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以
不一定成立故选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的
关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点 ， 重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结
PQ．以下结论错误的是（ ）
A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
【答案】D
【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正
确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA
（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线
平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D
错误．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
在△CQB与△CPA中，，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故C正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，
故B正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故A正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到
不变量．
二、填空题
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图， ， ， ，则 ______°．【答案】25
【分析】先证明 ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数
即可． △
【详解】解：∵ ，
∴△ABC和 ADC是直角三角形，
∵AC＝AC，△ ，
∴Rt ABC≌Rt ADC（HL）,
∴∠D△AC＝∠BA△C，
∵ ，
∴∠DAC＝ ∠BAD＝65°，
∴ 90°－∠DAC＝25°．
故答案为：25．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
8．（2020·北京·中考真题）在 ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条
件即可证明 ABD≌ ACD，这个条件可以是________（写出一个即可）
【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）
【分析】证明 ABD≌ ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得
答案．
【详解】解：要使
则可以添加：∠BAD=∠CAD，
此时利用边角边判定：
或可以添加：
此时利用边边边判定：
故答案为：∠BAD=∠CAD或（ ）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点
E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________
【答案】8
【分析】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出
Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．
【详解】解：∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
∵AB=AC，BD=AE，
∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL），
∵BD=3，CE=5，
∴AE=BD=3，AD=CE=5，
∴DE= AD+ AE=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线上一点，
点E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，则∠ACF的度数为________°．【答案】61
【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝16°，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝29°，
∴∠BAE＝16°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF＝16°，
∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝61°，
故答案为：61．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键．
11．（2021·广东·深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级阶段练习）如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分
∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________；
【答案】
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得 ，根据全等三角形的性质得到 ，得
出 ， ，推出 ，代入求出即可．
【详解】解：延长AP交BC于E，如下图．∵BP平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：12.5 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相
等．
12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且 ，连
接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则 ______．
【答案】【分析】作 ，交 于 ，作 ，交 于 ．通过平行线的性质证明 ，
， ，即可求出 ．
【详解】解：作 ，交 于 ，作 ，交 于 ，
是 的中线，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．三、解答题
13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：
FC//AB．
【答案】见解析
【分析】由DE=FE，AE=CE，易证得 ADE≌△CFE，即可得∠A=∠ECF，则可证得FC AB．
【详解】证明：在 ADE和 CFE中，△
△ △
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，
∴FC//AB．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想
的应用．
14．（2022·江苏·八年级课时练习）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF
＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【答案】证明见解析
【分析】由题意可知 和 都为直角三角形，即可直接利用“HL”证明 ．
【详解】证明：∵AD是 的高，
∴ ，即 和 都为直角三角形．∴在 和 中 ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．
15．（2022·陕西·中考真题）如图，在 ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：
DE=BC． △
【答案】证明见解析
【分析】利用角边角证明 CDE≌ ABC，即可证明DE=BC．
【详解】证明：∵DE∥AB△， △
∴∠EDC=∠B．
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，
∴ CDE≌ ABC(ASA)．
∴△DE=BC．△
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
16．（2021·广东广州·中考真题）如图，点E、F在线段BC上， ， ， ，证明：
．
【答案】见解析
【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】证明：∵ ，
∴∠B=∠C，∵ ， ，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴ ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．（2021·全国·八年级专题练习）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE,求证：AE＝DE.
【答案】见解析
【分析】利用SSS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB，再由SAS定理证明
△ABE≌△CED，即可证得AE=DE．
【详解】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ABC=∠DCB．
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴AE=DE．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若
有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图， ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC
于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断 BEG的形状，并说明理由．【答案】（1）BE＝ AD，见解析；（2） BEG是等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明 BAE≌△HAE，得BE＝HE＝ BH，再证明
△
BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝ AD；
△
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于
是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明 BEG是等腰直角三角形．
△
【详解】证：（1）BE＝ AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在 BAE和 HAE中，
△ △
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝ BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在 BCH和 ACD中，
△ △，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝ AD．
（2） BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝△BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝ ∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基
本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
