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1.5 三角形全等的判定
课标要点
1、理解全等三角形的核心概念，精准识别全等三角形的对应边、对应角，夯实几何判定
的基础认知。
2、经历三角形全等判定定理的探究过程，体会数形结合与推理思想，培养几何直观能力。
3、掌握SSS、SAS、ASA、AAS 四种通用判定方法，能规范运用定理判定普通三角形全
等。
4、掌握直角三角形专属HL 判定定理，区分通用与特殊判定方法，适配直角三角形全等
证明。
5、能运用全等判定定理解决简单几何证明与计算问题，规范书写推理步骤，提升逻辑素
养。
学习重难点
重点：
1、掌握SSS、SAS、ASA、AAS 四种三角形全等判定定理的核心内容。
2、熟练掌握直角三角形HL 判定定理，明确其适用的特殊条件。
3、能选用合适定理，规范完成三角形全等的推理证明过程。
难点：
1、精准区分SAS 与SSA，规避边角对应关系混淆的判定误区。
2、根据题干已知条件，灵活选择最优的全等判定方法解题。
3、梳理复杂图形边角关系，精准找准全等三角形对应元素。
第一章
认识三角形
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知识点一 全等三角形的判定1（边角边SAS）
定理1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝
'
'
A B ，∠A＝∠
'
A ，AC ＝
'
'
A C ，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
即学即练
．．．．
1．（25-26 八年级上·辽宁大连·期中）如图，AC 与BD相交于点O，OA
OD
=
，若用“SAS”证明ABO
≌
DCO
，还需添加的条件是（ ）
A．BA
CD
=
B．
A
D
=
C．
B
C
=
D．OB
OC
=
2．（25-26 八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，点A，F ，C ，D 在同一条直线上，
=
AF
DC，
AB
DE
=
，
A
D
=
．求证：ABC
DEF
≌
．
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知识点二 全等三角形的判定2（角边角ASA）
定理2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠
'
A ，AB＝
'
'
A B ，∠B＝∠
'
B ，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
即学即练
．．．．
3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，AC 与BD相交于点E ，
1
2
= ，
3=
4
，求证：
AB
CD
=
．
4．（25-26 七年级下·广西南宁·期末）如图，ABC
中，AD是BC 边上的中线，E，F 为直线AD上的点，
连接BE
CF
，
，且BE
CF
．
(1)求证：
BDE
CDF
△
≌△
；
(2)若
13
7
AE
AF
=
=
，
，试求DE 的长．
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知识点三 全等三角形的判定3（角角边AAS）
定理3：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个
三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC
和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
即学即练
．．．．
5．（25-26 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AB
CD
，E 为BC 的中点，且
AE
DE
⊥
，延长DE 交AB 的延长线于点F ．
(1)求证：FBE
DCE
≌
(2)若
12
AD =
，
5
CD = ，求AB 的长．
6．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，ABC
的两条高AD，BE相交于点F，AC
BF
=
．
(1)求证：ADC
BDF
≌
．
(2)若
15
3
BC
AF
=
=
，
，求CD的长．
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知识点四 全等三角形的判定4（边边边SSS）
定理4：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果
'
'
A B ＝AB，
'
'
A C ＝AC，
'
'
B C ＝BC，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
即学即练
．．．．
7．（25-26 八年级上·湖南永州·期末）如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，AB
CD
=
，AM
BN
=
，
CM
DN
=
．
(1)求证：
ACM
BDN
≌
；
(2)若
70
M =
∠
，
32
D
=
， 求
A
的度数．
8．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：DF
BE
=
，AD
BC
=
，AE
CF
=
．
(1)求证：
ADF
CBE
△
≌△
．
(2)判断BE与DF 的位置关系，并说明理由．
知识点五 灵活选定判定方法
判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
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一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可
以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
SAS
HL
SSS
AAS
SAS
ASA
AAS
ASA
AAS
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
找夹角
已知两边找直角
找另一边
边为角的对边
找任一角
找夹角的另一边
已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角
找边的对角
找夹边
已知两角
找任一边
灵活运用全等判定定理
（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此
在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
（2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
（3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)
已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)
已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS)
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即学即练
．．．．
9．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知BC
DC
=
，添加下列某一个条件后，能判定
ABC
ADC
≌
的是（ ）．
A．
B
D
=
B．
BAC
DAC
=
C．AD
BC
=
D．
BCA
DCA
=
10．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在ABC
和DEF
中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上．下
面四个条件：①AB
DE
=
；②AB
DE
∥
；③BE
CF
=
；④
A
D
=
．
(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
题型01 用SAS 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
1．如图，OA
OB
=
，加一个条件 ，并用SAS 证明AOC
BOD
≌
．
解题贴士
两边必须夹同一角，角为两边夹角，非对角；对应边、角书写对齐；看清图形公共边 / 对
顶角，避免误用 SSA 判定。
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变｜式｜巩｜固
2．如图，
,
,
,
AB
AD AC
AE
BAE
DAC
ABC
=
=
=
△
与ADE
全等吗？
3．如图，点B、E 在线段AD上，
,
,
AB
DE BC
EF BC
EF
=
=
∥
．
(1)试说明：DBC
AEF
≌
；
(2)判断线段AF 与CD的位置关系，并说明理由．
4．如图，AB
EF
=
，AD
CF
=
，AB
EF
∥
，求证：
(1)
D
ABC
FE
≌△
△
(2) BC
DE
∥
题型02 全等的性质与SAS 综合
典｜例｜精｜析
5．如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
于点D ，AB
BD
CD
+
=
，
25
C
=
，则
B
等于（ ）
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A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
变｜式｜巩｜固
6．如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚AD，BC 交于点O，且点O是AD，BC 的中
点．若上方椅面宽度
26 cm
AB =
，则椅脚底部CD的宽度是________cm．
7．如图，ABD
和
AEC
△
都是等腰三角形，AB
AD
=
，AC
AE
=
，
DAB
CAE
=
．连接BC ，DC 与
BE相交于点O．
(1)求证：CD
BE
=
；
(2)试说明：
DOE
与
CAE
的数量关系．
8．如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AC ，DE 相交于点G ，AB
DE
=
，AB DE
∥
，BE
CF
=
．
(1)请判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由；
(2)若
45
B
=
，
60
F
=
，求
EGC
的度数．
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题型03 用ASA 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
9．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角
形模具，你选择带的那块编号是________．
变｜式｜巩｜固
10．如图：点A
B
C
D
、、、
在同一直线上，CE
BF
，AB
CD
=
，请添加一个条件______，使得
ACE
DBF
△
≌△
（填一个即可）．
11．如图，AB
AC
=
，CD
AB
，且
ABE
CAD
=
，延长BE交AD于点F．
(1)求证：ABE
CAD
≌
；
(2)若点E 是AC 的中点，
3
CD =
，ABE
的周长比BCE
的周长大2，求ABC
的周长.
12．如图，
A
B
=，
1
2
= ，AE
BE
=
，点D 在AC 边上．
解题贴士
ASA 需两角夹一条公共对应边，边必须是两角中间夹边；边角对应有序书写，区分 AAS，
勿错用非夹边，留意公共角、对顶角等等角条件。
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(1)求证：
ACE
BDE
≌△
△
；
(2)若
65
BDE
=
，求
C
的度数．
题型04 全等的性质与SAS 综合
典｜例｜精｜析
13．如图，点F ，G 分别在ADE
的AD，DE 边上，C ，B 依次为GF 延长线上两点，AB
AD
=
，
BAF
CAE
=
，
B
D
= ．
(1)求证：BC
DE
=
；
(2)若
35
B
=
，
78
AFB
=
，求
DGB
的度数，并直接写出当
CAB
=_____时，DE
AC
．
变｜式｜巩｜固
14．如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC
DE
=
，AC
DE
∥
，
A
D
=
．
(1)请说明ABC
DFE
≌
；
(2)若
70
A
=
，
60
ACB
=
，求
F
的度数．
15．如图，在ABC
中，
6
AB =
，
8
AC = ，
90
BAC
=
，AD
BC
，点E 是AC 的中点，连接DE 并延长，
交BC 于点F ．
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(1)求证：ADE
CFE
≌
；
(2)求四边形ABFD的面积．
16．如图，
A
B
=，
1
2
= ，AE
BE
=
，点D 在AC 边上．
(1)求证：
ACE
BDE
≌△
△
；
(2)判断ED与EC 的数量关系，并说明理由．
题型05 用AAS 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
17．如图，
ABC
ABD
=
，AC
AD
=
，根据AAS 定理，要使
ABC
ABD
△
≌△
，则须补充的一个条件是
___________．
变｜式｜巩｜固
18．如图，在ABC
中，点F 在边AB 上，且
ACF
B
= ，AD平分
BAC
交CF 于点D ，DE
CB
∥
交
AB 于点E ．
解题贴士
AAS 是两角及其中一角对边对应相等，边不能夹两角，区别 ASA；边角一一对应，找准等
角、等边，不可混淆边的位置。
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(1) AED
与ACD
全等吗？请说明理由；
(2)若
7
CF =
，
8
AC = ，
5
AF = ，求DEF
的周长．
19．如图，点B 、E 、C 、F 是同一直线上顺次四点，AB
DE
∥
，AB
DE
=
，
ACB
F
= ．
(1)求证：AC
DF
=
；
(2)添加一个与
D
有关的条件，使得AC
DE
⊥
．（不需要证明）
20．如图，在ABC
中，
90 ,
ACB
AC
BC
=
=
，AD
CD
⊥
于点D ，BE
CD
⊥
于点E ．
(1)求证：ACD
CBE
≌
；
(2)若
6,
4
BE
DE
=
=
，求
ACE
△
的面积．
题型06 全等的性质与AAS 综合
典｜例｜精｜析
21．如图，AD是ABC
的中线，BE
AD
⊥
交AD的延长线于点E ，CF
AD
⊥
于点F ，G 是AF 上一
点，连接BG ．
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(1)证明：DE
DF
=
．
(2)若
CAF
BGE
=
，
2
DE =
，求AG 的长．
变｜式｜巩｜固
22．如图，在ABC
中，DE 是BC 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AB 边于点E ，过点A作AF
AB
⊥
于点A，交DE 延长线于点F ，且BE
EF
=
，连接CF 、FB．
(1) DC 与AF 相等吗？为什么？
(2)若
50
DCF
=
，求
ABC
的度数．
23．如图，在ABC
中，点D 为AB 边上一点，点E 为AC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的平行线
CF 于点F ，连接BE．
(1)求证：ADE
CFE
≌
；
(2)若BE
AC
⊥
，
3
BD =
，
4
CF =
，求BC 的长．
24．如图，AD 是ABC
的中线，BE
AD
⊥
交AD 的延长线于点E，CF
AD
⊥
于点F，G 是AF 上一
点，连接BG ．
(1)试说明DE
DF
=
．
(2)若
ACF
GBE
=
，
3
DF =
，求AG 的长．
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题型07 用SSS 证明三角形全等
典｜例｜精｜析
25．小明回顾了用尺规作
A O B
AOB
=
的过程是：
由尺规作图可知，OC
O C
=
，OD
O D
=
，CD
C D
=
，
所以
OCD
O C D
≌
△
△
________，
所以
DOC
D O C
=
________．（填写理由依据）
变｜式｜巩｜固
26．如图，下面是“作一个
A B C
△
，使得△
≌△
A B C
ABC ”的尺规作图方法．
（1）作一条线段
=
AB
AB ；
（2）以A为圆心，AC 长为半径画弧，以B为圆心，BC 长为半径画弧，两弧在线段A B
上方交于点
C；
（3）连接A C
，B C
，则△
≌△
A B C
ABC ．
上述判定△
≌△
A B C
ABC 的依据是________．
27．已知：ABC
，点E ，点D 分别在边AC ，AB 上，延长BC 至点F ，连接ED，DF ，DF 交AC 于点
G ．现有四个条件：
①ED
BF
∥
；②AD
BF
=
；③DE
BD
=
；④AE
DF
=
．
解题贴士
SSS 需三组对应边全部相等，边要一一对应；注意公共边、等量代换推等边，书写对应顶
点对齐，不可缺一组边就判定全等。
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请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明．
请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明．
28．如图，在ABC
中，
90
AB
CB
ABC
F
=
=
，
，为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且
AE
CF
FB
BE
=
=
，
．
(1)求证：ABE
CBF
≌
；
(2)若
5
2
CE
FB
=
=
，
，求AF 的长度；
(3)若
30
45
CAE
BCA
=
=
，
，求
ACF
的度数．
题型08 全等的性质与SSS 综合
典｜例｜精｜析
29．如图，在五边形ABCDE 中，F 是边CD上的点，连接AF ，满足AB
AF
=
且BC
FC
=
．
(1)证明：
CAB
CAF
=
．
(2)若
1
2
CAD
BAE
=
，
85
AFC
=
，
15
DAE
=
，求
ADF
的度数．
变｜式｜巩｜固
30．如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，EC
FD
=
，EA
FB
=
，AB
CD
=
．
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(1)求证：
E
F
= ；
(2)若
40
A =
∠
，
80
D
=
，求
EPF
度数．
31．如图，已知点
,
,
,
B E C F 在同一直线上，AB
DE
=
，
,
AC
DF BE
CF
=
=
．
(1)求证：ABC
DEF
≌
；
(2)若
85
A
=
，
60
B
=
，求
F
的度数．
32．如图，ABC
为等腰三角形，AC
BC
=
，BDC
和
ACE
△
分别为等边三角形，AE 与BD相交于点
F ，连接CF 并延长，交AB 于点G ．
(1)求证：G 是AB 的中点；
(2)若AC 平分
DCG
，求
BAE
的度数．
题型09 添加条件证明三角形全等
典｜例｜精｜析
33．如图，线段AC 、BD相交于点E ，连接AD、BC ．给出下列条件：
①点E 为AC 中点；②AC
BD
⊥
于E ；③AD
BC
∥
；④AD
BC
=
．
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(1)添加2 个条件：__________（填序号），使得ADE
CBE
≌
；
(2)说明（1）中结论成立的理由．
变｜式｜巩｜固
34．已知：如图，点E
F
、在CD上，DE
CF
AE
BF
=
，
∥
．
请从①AC
BD
=
；②
A
B
=；③AC
BD
∥
这三个选项中，选择一个作为条件，使得
ACE
BDF
△
≌△
，并说明理由．
解：选择条件是___________．理由是：
35．已知：如图，点E，F 在CD上，AE
BF
=
，AE
BF
∥
．
请从①AC
BD
=
；②
A
B
=；③AC
BD
∥
这三个选项中，选择一个作为条件，使得
ACE
BDF
△
≌△
，并说明理由．
解：选择条件是_________．理由是：
36．如图，点B ，F ，C ，E 四点在同一直线上，BF
CE
=
，
B
E
= ．若__________，则
ABC
DEF
≌
．请从①
A
D
=
；②AB
DE
=
；③AC
DF
=
这三个选项中选择一个作为条件（写序
号），使结论成立，并说明理由．
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题型10 结合尺规作图的全等问题
典｜例｜精｜析
37．（1）过ABC
的顶点A 作高线AD和角平分线AE ，若AD与AE 的夹角为15，且
50
B =
∠
，求
C
的度数；
（2）如图1，已知ABC
，
A
A
= ，请用尺规作图，在图2 画出
A B C
△
，使
=
AB
AB ，
=
A C
AC ，
并证明
B
B
=．
变｜式｜巩｜固
38．如图，在ABC
中，延长AB ，在射线AB 的延长线上截取DE
AB
=
．
任务1：实践与操作：
①如图1，请用无刻度直尺与圆规作DEF
与ABC
全等（不写作法，保留作图痕迹）．
②你作的DEF
与ABC
全等的依据是 (SSS 、SAS 、AAS 、
)
ASA ．
任务2：猜想与证明：如图2，DEF
ABC
≌
，AG 平分
CAB
，DG 平分
ADF
．
①试猜想
G
= ．
②请你求出
G
的度数．
39．（1）如图1，AE 是
MAD
的平分线，点C 是AE 上一点，点B 是AM 上一点，在AD上求作一点
P ，使得
ABC
APC
≌
△
△
，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在ABC
中，
90
ACB
=
，
60
A
=
，BE、CF 分别是
ABC
和
ACB
的角平分线，CF 与
BE相交于点O，请探究线段BC 、BF 、CE 之间的关系，请证明你的结论．
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40．如图，在Rt ABC
中，
90
C
=
，AC
BC
=
，在线段CB 延长线上取一点P ，以AP 为直角边，点P 为
直角顶点，在射线CB 上方作等腰Rt APD
，过点D 作DE
CB
⊥
，垂足为点E ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：AC
PE
=
；
(3)连接DB，并延长交AC 的延长线于点F ，用等式表示线段CF 与AC 的数量关系，并证明．
题型11 全等模型—倍长中线
典｜例｜精｜析
41．ABC
中，若
7
9
AC
AB
=
=
，
，则中线AD的取值范围是（ ）
A．2
16
AD
B．4
32
AD
C．1
16
AD
D．1
8
AD
变｜式｜巩｜固
42．如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，
5
AB =
，
3
AC =
，则AD的取值范围是（ ）
A．2
AD
4
B．1
4
AD
C．1
7
AD
D．1
8
AD
43．如图，AD是ABC
的中线，在AB 边上取一点E，连接CE 交AD于点F，若AB
CF
=
，
16
ACE
=
，
30
CAD
=
，则
AEF
的度数为________．
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44．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
如图1，在ABC
中，若
4,
2
AB
BC
=
=
，求AC 边上的中线BD的取值范围．
以下是小聪同学思考的解决方法：先延长BD至点E ，使DE
BD
=
，然后连接CE ，利用三角形全等将边
AB 转化到CE ，最后在DEC
中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．
（1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段BD的长度为整数，则
BD＝_____；
【灵活应用】
（2）如图2，BD是ABC
的中线，延长DB到点E ，连接AE ，使AE
BC
=
，求证：
AEB
DBC
=
；
【拓展提升】
（3）如图3，在ABC
中，分别以
,
AB BC 作等腰直角三角形ABM
和
BCN
△
，其中
90
ABM
CBN
=
=
，连接MN ，点D 是MN 的中点，连接DB，延长DB与AC 相交于点H ，
6
BD =
，
2
=
BH
．试判断BD与AC 的数量关系，并求出ABC
的面积．
题型12 全等模型—一线三等角
典｜例｜精｜析
45．如图，
90
9cm
3cm
AC
CE
ACE
AB
BD
ED
BD
AB
DE
=
=
⊥
⊥
=
=
，
，
，
，
，
，则BD等于（ ）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
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变｜式｜巩｜固
46．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
=
，
2
BC =
，过A 点作AD
BC
；AE
AC
⊥
，AC
AE
=
，
3
AD = ，连
接DE ，则ADE
的面积为_____．
47．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆CD与楼AB 之间选定一点P．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角
12
DPC
=
，测得楼顶A 视线PA与地面夹角
78
APB
=
，量得P 到楼底距离PB与旗杆CD高度相等，
都等于10 米，量得旗杆与楼之间距离为
57
DB =
米，请你帮小程计算出楼高AB 是多少米？
48．【特例感知】
(1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90，且三组边相互垂直，
所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点A在直线l 上，
90
BAD
=
，AB
AD
=
，过点B 作BC
l
⊥于点
C ，过点D作DE
l
⊥于点E ，由1
2
2
90
D
+= +
=
，得_________________；
【问题探究】
(2)请猜想线段DE ，BC ，CE 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)如图2，在ABC
中，点D 为AB 上一点，DE
DF
=
，
A
EDF
B
=
=，
3
AE = ，
8
AB =
，求BF 的
长．
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题型13 全等模型—截长补短
典｜例｜精｜析
49．如图，AB
AD
=
，
140
BAD
=
，AB
CB
⊥
于点B，AD
CD
⊥
于点D，E、F 分别是CB 、CD上的
点，且
70
EAF
=
，下列结论中①DF
BE
=
，②
ADF
ABE
△
≌△
，③FA平分
DFE
，④EF 平分
AEC
，⑤BE
DF
EF
+
=
．其中正确的结论有_________
变｜式｜巩｜固
50．如图，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，AB
AD
=
．点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的
延长线上，连接AF 、AE 、EF ，满足EF
BE
FD
=
+
．若
75
C
=
，则
=
EAF
__________．
51．已知：如图1，在ABC
中，两内角的平分线BD
CE
、
交于点I，
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(1)试探究
BIC
和
A
的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当
90
A
=
时，点F 在边CA 上，且CF
BE
BC
+
=
，连接IF ，
①求证：IF
CE
⊥
；
②若
8
AB =
，
15
AC =
，
17
BC =
，求AF 的长．
52．如图1，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC ，CD上的点，且
45
EAF
=
，则有结论EF
BE
DF
=
+
成立．
(1)如图2，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
90
B
D
=
=
，E，F 分别是BC ，CD上的点，
1
2
EAF
BAD
=
，探究线段EF ，BE，DF 之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由；
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
ADC
+
=
，延长BC 到点E，延长CD到点F，使得
1
2
EAF
BAD
=
，猜想线段EF ，BE，DF 又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明．
题型14 全等模型—半角模型
典｜例｜精｜析
53．如图1：在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
120
BAD
=
，
90
B
ADC
=
=
，E 、F 分别是BC ，CD
上的点，且
60
EAF
=
，探究图中线段BE，EF ，FD之间的数量关系．
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小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明
AEF
AGF
≌
，即可得出BE，EF ，FD之间的数量关系，他的结论应是 ．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模
型．
拓展:如图2 ，若在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E 、F 分别是BC ，CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，则BE，EF ，FD之间的数量关系是 ．请证明你的结论．
变｜式｜巩｜固
54．【问题背景】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截
长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问
题．
如图1，在四边形ABCD中，
,
120
90
AB
AD
BAD
B
ADC
=
=
=
=
，
，点E ，F 分别是
,
BC CD 上的
点，且
60
EAF
=
，连接EF ，探究线段
,
,
BE EF DF 之间的数量关系．
(1)探究发现：小雨同学的方法是延长FD到点G ．使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明
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AEF
AGF
≌
，从而得出结论：_____；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，
,
180 ,
,
AB
AD
B
D
E F
=
+
=
分别是边
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理
由．
55．【模型建立】
(1)如图1，在正方形ABCD中，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
45
EAF
=
，探究图中线段EF ，
BE，DF 之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，先证明ADF
ABG
≌
，再证明
AEF
AEG
≌
．
①EF ，BE，DF 之间的数量关系为________；
②小亮发现这里ABG
可以由ADF
经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像
上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
ABC
与
D
互补，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，试问线段EF ，BE，DF 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图3，在矩形ABCD中，点E 在边BC 上，
6
AD =
，
4
AB =
，
45
CAE
=
，求CE 的长．
56．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转
或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条
件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质．
【问题提出】
如图①，在四边形ABCD中，
,
120
90
AB
AD
BAD
B
ADC
=
=
=
=
，
，E，F 分别是
,
BC CD 上的点，
且
60
EAF
=
，探究图中线段
,
,
BE EF DF 之间的数量关系．
【思路启迪】
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，先证明ABE
ADG
≌
，再证明
EAF
≌△
，可得出结论．他的结论应是 ．
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【触类旁通】如图②，若在四边形ABCD中，
,
180 ,
,
AB
AD
B
D
E F
=
+
=
分别是
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【模型迁移】已知：如图，ABC
是等边三角形，
6
AB =
，点D 是ABC
外一点，DB
DC
=
且
120
60
BDC
EDF
=
=
，
，DE
DF
、
分别交AB
AC
、
于点E、F，AEF
的周长为 ．
题型15 全等模型—手拉手模型
典｜例｜精｜析
57．如图，C 为线段BE上一动点（不与点B ，E 重合），在BE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角
形CDE ，AE 与BD交于点O，AC 与BD交于点M ，AE 与CD交于点N ，连接MN ．以下六个结论：①
AE
BD
=
；②CMN
是等边三角形；③AN
BM
=
；④
60
AOB
=
；⑤OC 平分
MON
；⑥
//
MN BE ；其中正确的结论个数是（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
变｜式｜巩｜固
58．如图，点A、B、C 在同一条直线上，ABD
，BCE
均为等边三角形，连接AE 和CD，AE 分别交
CD，BD于点M ，P ，CD交BE于点Q，连接PQ ，BM ，下列结论：
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①
ABE
DBC
≌
△
△
；
②
60
DMA
=
；
③
BPQ
△
为等边三角形；
④PQ
BM
=
．
其中结论不一定成立的有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
59．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究．
(1)问题发现
如图1，ABC
和ADE
均为等边三角形，将ADE
绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接
BD，CE ．填空:
①BD
CE 的值为 ；
②
BEC
的度数为 ．
(2)类比探究
如图2，ABC
和ADE
均为等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
=
=
，AM
DE
⊥
于M，将ADE
绕点A 旋
转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接BD，CE ．
①求
BEC
的度数；
②请判断线段BE，CE ，AM 之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，若
3
AM = ，
4
CE =
，求四边形ABCE的面积．
60．问题发现：
（1）如图①，已知点C 为线段AB 上一点，分别以线段AC 、BC 为直角边作等腰直角三角形，
=90
ACD
，CA
CD
=
，CB
CE
=
，连接AE 、BD，则AE 、BD之间的数量关系为________，位置关系
为________．
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拓展探究：
（2）如图②，把Rt ACD
绕点C 逆时针旋转，线段AE 、BD交于点F ，则AE 与BD之间的关系是否仍然
成立？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，已知AC
CD
=
，BC
CE
=
，
90
ACD
BCE
=
=
，连接AB 、AE 、AD，把线段AB 绕点
A 旋转，若
5
AB =
，
3
AC =
，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．
题型16 全等三角形的综合问题
典｜例｜精｜析
61．如图，在ABC
中，高AD和BE交于点H ，且1
2
22.5
= =
，下列结论：①1
3
= ；②
BD
DH
AB
+
=
；③2AH
BH
=
；④若DF
BE
⊥
于点F ，则AE
FH
DF
−
＝
．其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
变｜式｜巩｜固
62．如图，在OAB
和OCD
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，OA
OC
，
30
AOB
COD
=
=
，连接AC ，
BD交于点M ，AC 与OD 相交于E ，BD与OA相交于F ，连接OM ．则下列结论中：①
AOC
BOD
≌
；②AC
BD
=
；③
30
AMB
=
；④OEM
OFM
≌
．正确的个数有（ ）
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A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
63．如图，在ABC
中，AB
AC
=
，
45
B
C
=
=
，D，E 是边BC 上两点，过点A 作AF
AD
⊥
，垂足
是A，过点C 作CF
BC
⊥
，垂足是C，交AF 于点F，连接EF ，其中DE
EF
=
．下列结论：①
AD
AE
=
；②
45
DAE
=
；③若
10
ABC
S
=
△
，
4
ADE
S
=
△
．则
6
AECF
S
=
四边形
；④CE
BD
DE
+
．其中
正确的是______．（填序号）
64．数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展
开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题．
【探究初步】
探究1 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
(1)如图1，在ABC
中，
90
BAC
=
，
2
AB
AC
=
=
，D 为AC 边上的一点，若ABD
与CBD
为偏等积三
角形，则CD = ；
(2)如图2，在ABC
中，
2
AB =
，
4
AC =
，D 为BC 边上的一点，且满足ABD
与ACD
为偏等积三角
形，过点B 作BE
AC
，交AD的延长线于点E，如果线段AD的长度为正整数，那么AE = ．
探究2 如图3，
90
BAD
=
，AB
AD
=
，过点B 作BC
AC
⊥
于点C，过点D 作DE
AC
⊥
于点E．我们把
这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
(3)探究图3 中线段CE
BC
DE
、
、
之间的数量关系，可得 ．
【迁移应用】
(4)如图4，已知ADC
与BDE
是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中DA
DC
=
，DB
DE
=
，
90
ADC
BDE
=
=
，
ADB
CDE
，过D 作DM
AB
⊥
，垂足为点M，MD的延长线与CE 交于点N，
请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明．
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基础通关
1．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，BD
AC
⊥
，CE
AB
⊥
，垂足分别为D，E，AD
AE
=
．下列
选项中，可以直接作为判定ABD
ACE
≌
的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
2．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，已知AB
DE
=
且AB
DE
∥
，那么添加下列一个条件后，仍无
法判定ABC
DEF
≌
的是（ ）
A．AC
DF
=
B．
A
D
=
C．BF
EC
=
D．BC
EF
=
3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，ABC
和
CDE
△
都是等腰直角三角形，
90
ACB
ECD
=
=
，
50
EBD
=
，则
AEB
的度数为（ ）
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A．130
B．135
C．140
D．145
4．（25-26 八年级上·江西上饶·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有
1、2、3、4 的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带
（ ）
A．第1 块
B．第2 块
C．第3 块
D．第4 块
5．（25-26 八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知
1
2
= ，若要使ABC
DCB
≌
，( 不允许标注其他字母
) 则添加的一个条件为______ ．
6．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，D 是ABC
的边AB 上一点，DF 交AC 于E ，DE
EF
=
，
FC
AB
∥
，若
2
BD =
，
6
CF = ，则AB =_____．
7．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角ABC
中，
90
B
=
，
8
AB =
，
6
BC =
，
10
AC =
，CE 平分
ACB
，ED
AC
⊥
于D ，则ADE
的周长是______．
8．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，ABC
中，AD
BC
⊥
于
,
D E 是AD上一点，连接BE并延长交
AC 于F ．若
,
,
30,
20
AD
BD DE
DC FC
AF
=
=
=
=
．则ABE
的面积是_______．
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9．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在ABC
中，D 为边AB 上的一点，E 为AC 的中点，连接DE 并延
长至点F ，连接CF ，使得CF
AB
∥
．求证：AD
CF
=
．
10．（25-26 八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知AB
AC
=
，AD
AE
=
，
1
2
= ．
(1)求证：BD
CE
=
；
(2)若
30
B
=
，求
C
的度数．
素养提升
11．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为O，钟摆静止时在最低点A处，
OA与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置B 处，距离水平台的高度为1.2 m ；然后到达位置C 处，测得
B 、C 两点到OA的水平距离BD、CE 分别为1.5 m 和1.8 m，且
90
BOC
=
、则钟摆到达C 处时距离水平
台的高度为（）
A．1.2 m
B．1.5 m
C．1.6 m
D．1.8 m
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12．（16-17 八年级上·甘肃平凉·期中）如图所示，在ABC
中，AC
BC
⊥
，AE 为
BAC
的平分线，
DE
AB
⊥
，
7cm
AB =
，
3cm
AC =
，则BD等于（ ）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
13．（25-26 八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，ABC
的面积为
2
6cm ，AP 垂直
ABC
的平分线BP于
点P，则
PBC
△
的面积为（ ）
2
cm
A．1
B．2
C．3
D．4
14．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，BM 是ABC
的中线，CD
BM
⊥
，过点B 作AB 的垂线交
DC 延长线于点E ，若
,
AB
BE
=
1
MD = ，则CE 的长是（ ）
A．3
B．2.5
C．2 2
D．2
15．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）将ABC
平移得到DEF
，DE 经过BC 的中点G ，已知
3
AB =
，
则DG =__________．
16．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D 三点在同一直线上，且AB
AE
=
，
AC
AD
=
，
BAE
CAD
=
．若1
2
3
100
++=
，则
3
的度数为_____．
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17．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
,
C
AC
BC BD
=
=
平分
ABC
，过点A
作AE
BD
⊥
，交BD的延长线于点E，若
4
AE =
，则BD的长为_____ ．
18．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰Rt
ABC
△
中，
10
AB
BC
=
=
，
90
ABC
=
，D
是射线BC 上一点，连结AD，过点A 作AE
AD
⊥
，AE
AD
=
，连接CE 与直线AB 交于点F，若
4
AB
BF
=
，则BD的长是______ ．
19．（25-26 九年级下·江苏无锡·期中）如图，ABC
的两条高AD
CE
、
交于点
,
F AF
BC
=
．
(1)求证：
AEF
CEB
△
≌△
；
(2)若
4,
5
BE
CF
=
=
，求
ACF
△
的面积．
20．（25-26 八年级上·江西宜春·期末）王强同学用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地
面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(
)
,
90
AC
BC
ACB
=
=
，点C 在DE 上，点A
和B 分别与木墙的顶端重合．
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(1)求证：△
≌△
ADC
CEB ；
(2)求两堵木墙之间的距离；
(3)求四边形ABED的面积．
迁移创新
21．（25-26 八年级上·浙江台州·期中）如图，CE 平分
BCD
且CE
BD
⊥
于点E ，
DAB
DBA
=
，
22
AC =
，BCD
的周长为32，则BD的长为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．16
22．（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图，ABC
中，AB
AC
=
，
78
BAC
=
，O为ABC
内一点，且
9
OCB
= ，
21
ABO
=
，则
OAC
的度数为（ ）
A．68
B．69
C．71
D．72
23．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，
AB
AD
=
．点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延长线上，连接AF 、AE 、EF ，满足
EF
BE
FD
=
+
．若
75
C
=
，则
=
EAF
__________．
24．（25-26 八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD 中，AB
AD
=
．
小学
初中
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(1)若
120
BAD
=
，
90
B
ADC
=
=
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，且
60
EAF
=
，试探究线段
BE，EF ，FD之间的数量关系．小亮同学认为：延长FD到点G，使DG
BE
=
，连接AG ，如图1，先证
明ABE
ADG
≌
，再证明AEF
AGF
≌
，则可得到BE，EF ，FD之间的数量关系．请你：
①直接写出
GAF
的度数：
GAF
= ______ ；
②根据小亮同学的思路，直接判断BE，EF ，FD之间的数量关系：______．
(2)如图2，若
180
B
D
+
=
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，
1
2
EAF
BAD
=
，（1）中的结论是否
仍然成立？请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
+
=
，点E，F 分别是CB ，CD延长线上的点，若EF
BE
DF
=
+
，试判断
EAF
和
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
25．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）在等边ABC
中，点P 为ABC
所在平面内一点．
(1)如图1，点P 在ABC
内，以CP 为边作等边CPD
，连接AP ，BD，延长AP 交BD的延长线于点Q ，
求
AQB
的度数；
(2)如图2，点P 在ABC
内，且
120
APC
=
，M 为AC 的中点，连接PM ，PB，求证：
2
PB
PM
=
；
(3)如图3，在（1）的条件下，将等边CPD
绕点C 顺时针旋转至B ，C ，P 三点共线，连接AP ，BD交
于点E ，连接EC ，设AE
a
=
，DE
b
=
，CE
c
=
，若
3
BC
CP
=
，直接写出
3
a
b
c
−
的值．
