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1.3 勾股定理的应用
课标要点
1.掌握勾股定理与勾股定理逆定理的核心内涵，能在真实生活情境、立体图形情境中，识
别直角三角形模型，完成边长计算、垂直判定等基础应用。
2.掌握立体图形最短路径求解方法，能通过侧面展开，将立体问题转化为平面直角三角形
问题，落实转化与化归数学思想。
3.能利用勾股定理解决生活经典模型问题，包括梯子滑动、旗杆高度、池塘测距、门框过
杆、航海方位测距等实际题型。
4.能利用勾股定理逆定理，通过三边数量关系判定直角、验证垂直，解决工程测量、方位
判断类实际问题。
5.经历实际问题抽象为几何模型的全过程，发展几何直观、模型观念、运算能力与应用意
识四大核心素养。
学习重难点
重点：
1.熟练运用勾股定理a2 + b2 = c2求解实际情境中直角三角形的未知边长，规范书写解题
步骤。
2.熟练掌握立体图形（圆柱、长方体）侧面展开方法，利用勾股定理求解最短爬行路径问
题。
3.能准确从生活场景中抽象出直角三角形模型，掌握“找直角、定斜边、代公式、算结果”
的标准解题流程。
4.熟练运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形，解决生活中垂直、直角验证类
实操问题。
难点：
1.立体图形展开的空间转化，无法精准判断展开后直角三角形的两条直角边长度，容易混
淆立体边长与平面边长。
2.复杂生活情境中隐藏直角的挖掘，不会通过作辅助线构造直角三角形，导致无法套用勾
股定理解题。
3.区分勾股定理与逆定理的使用场景：已知直角求边长用勾股定理，已知边长证直角用逆
定理，容易混淆误用。
4.最短路径问题的逻辑推理，无法理解 “两点之间线段最短” 结合勾股定理的原理，出
现路径判断错误。
第一章
勾股定理
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知识点
勾股定理应用的总体思路
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概念：勾股定理应用的本质：把生活实际问题、立体图形问题、折叠问题、方位问题，抽象转化为直角三角
形模型，再利用勾股定理a2 + b2 = c2求解未知边长、距离、高度、路径。.
随学随练
1．如图所示，一轮船以6 海里/时的速度从港口𝐴出发向东北方向航行，另一轮船以8 海里/时的速度同时
从港口𝐴出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距（ ）
A．20 海里
B．10 海里
C．30 海里
D．25 海里
【答案】A
【分析】如图（见解析），先求出∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵, 𝐴𝐶的长，再利用勾股定理求出𝐵𝐶的长即可．
【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为𝐵处，向东南方向航行的轮船到达地为𝐶处，连接
𝐵𝐶，
特别提醒
1）勾股定理只用于直角三角形，非直角三角形不可直接使用.
2）所有应用题第一步：找直角、构造直角三角形.
3）这里c指的是斜边、最长边，不可随意代换.
易错提醒
1.不建模、不画图，凭感觉代公式，极容易会错。
2.分不清直角边与斜边，公式代入颠倒。
3.单位不统一直接计算。
教材延伸
本节所有题型均基于三种数学思想：建模思想、转化思想、方程思想，是整个八上几何的核心解题思
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由题意得：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 45°，𝐴𝐵= 6 × 2 = 12（海里），𝐴𝐶= 8 × 2 = 16（海里），
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 20海里，
即两船相距20 海里．
2．把一张长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷按如图方式折叠，使顶点𝐵和𝐷点重合，折痕为𝐸𝐹．若𝐴𝐵= 15，𝐵𝐶= 25，则
𝐴𝐸的长度是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为长方形，𝐴𝐵= 15，𝐵𝐶= 25，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 25，∠𝐴= 90°，
根据折叠的性质可得，𝐴𝐸= 𝐴′𝐸，𝐴𝐵= 𝐴′𝐷= 15，∠𝐴= ∠𝐴′ = 90°，
设𝐴𝐸= 𝐴′𝐸= 𝑥，则𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= (25 −𝑥)，
在Rt △𝐴′𝐷𝐸中，𝐴′𝐸2 + 𝐴′𝐷2 = 𝐷𝐸2，
∴𝑥2 + 152 = (25 −𝑥)2，
解得：𝑥= 8，
∴𝐴𝐸= 8．
3．如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B，则它走过的最短路程为（ ）
A．√3
B．1 + √2
C．3
D．√5
【答案】D
【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段𝐴𝐵的
长，据此利用勾股定理求出𝐴𝐵的长即可得到答案．
【详解】解：将正方体展开，连接A、B，
由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段𝐴𝐵的长，
由题意得，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 2，𝐵𝐶= ，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
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∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √5，
∴蚂蚁走过的最短路程为√5．
4．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点𝐵处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点𝐴处，则蚂蚁从外壁𝐴处到内壁𝐵处的爬行最短路线长
为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm
B．15cm
C．17cm
D．25cm
【答案】C
【分析】将该圆柱的侧面展开，作𝐴关于𝐸𝐹的对称点𝐴′，可得𝐴′𝐵即为最短距离，在直角△𝐴′𝐷𝐵中，根据
勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作𝐴关于𝐸𝐹的对称点𝐴′，
则𝐴′𝐷=
1
2 × 30 = 15(cm), 𝐵𝐷= 11 −5 + 2 = 8(cm)，
连接𝐴′𝐵，则𝐴′𝐵即为最短距离，
在直角△𝐴′𝐷𝐵中，由勾股定理得：𝐴′𝐵= √152 + 82 = 17(cm)．
5．一架云梯长25分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙7分米，如果梯子的顶端下滑了4分米，那
么梯子的底端在水平方向滑动了______分米．
【答案】8
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【分析】由题意知𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 25分米，𝐵𝐶= 7分米，𝐴𝐷= 4分米，由勾股定理求得𝐶𝐷= 20分米，𝐶𝐸=
15分米，然后通过线段的和与差即可求解．
【详解】解：如图，由题意知𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 25分米，𝐵𝐶= 7分米，𝐴𝐷= 4分米，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 24（分米），
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶−𝐴𝐷= 24 −4 = 20（分米），
在Rt △𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐸= √𝐷𝐸2 −𝐶𝐷2 = 15（分米），
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸−𝐵𝐶= 15 −7 = 8（分米），
∴梯子的底端在水平方向滑动了8分米．
6．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽
为4m．
(1)请你算一算共需购买多大面积的地毯；
(2)若地毯的价格为120 元/m2，则购买地毯需花费多少元？
【答案】(1)共需购买68 平方米的地毯
(2)购买地毯需花费8160 元
【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可；
（2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用．
【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为5m，斜边为13m，
根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：√132 −52 = 12m，
则需购买地毯的长为12 + 5 = 17m，
因为地毯的宽则是台阶的宽4 米，
所以面积是：17 × 4 = 68m2．
故共需购买68m2的地毯．
（2）解：由地毯的价格为120 元/m2，
则购买地毯的费用为：120 × 68 = 8160元，
故购买地毯需花费8160 元．
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知识点
梯子滑动模型
基本概念：墙、地面互相垂直，构成固定直角三角形。
梯子长度=斜边（恒定不变），滑动前后斜边长度不变，利用两次勾股定理求滑动距离。
随学随练
1．如图，长3m的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为1.8m，则梯子顶端距离地面的高
度为（ ）
A．1.8
B．2.4
C．2.5
D．2.6
【答案】B
【详解】解：由勾股定理得，√32 −1.82 = 2.4(m)．
2．如图，一根长13m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端5m．如果梯子的顶端下滑7m，
那么梯足将滑动（ ）．
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
特别提醒
1.梯子长度永远不变，是本题唯一隐藏条件。
2.下滑距离=原高−现高。
3.外移距离=现底距−原底距。
易错提醒
1.误以为梯子长度会变短或变长。
2.直接用原始边长加减，不重新计算前后高度。
教材延伸
梯子模型常考方程题型：已知滑动距离，设未知高建立方程求解。
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【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得𝐴𝐶= 𝐷𝐸= 13m，∠𝐵=
90°,𝐴𝐷= 7m, 𝐵𝐶= 5m，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：𝐴𝐶= 𝐷𝐸= 13m，∠𝐵= 90°,𝐴𝐷= 7m, 𝐵𝐶= 5m，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = 12m，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐷= 5m
∴𝐵𝐸= √𝐷𝐸2 −𝐵𝐷2 = 12m，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐸−𝐵𝐶= 7m；
故选A．
3．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5
米，顶端与地面的距离为2 米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端
与地面的距离为2.4 米，则两个书柜之间的距离为（ ）
A．1.5 米
B．2.2 米
C．2.4 米
D．2.5 米
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理；在Rt △𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，求出𝐴𝐶2 = 6.25，在
Rt △𝐶𝐷𝐸中，利用勾股定理𝐶𝐷2 + 𝐸𝐷2 = 𝐶𝐸2，求出𝐶𝐷= 0.7，再求和即可得出结果．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 2, 𝐵𝐶= 1.5，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
即𝐴𝐶2 = 22 + 1. 52 = 6.25，
∵𝐶𝐸= 𝐴𝐶, 𝐸𝐷= 2.4，
∴在Rt △𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷2 + 𝐸𝐷2 = 𝐶𝐸2，
∴𝐶𝐷2 = 6.25 −2. 42 = 0.49，
∴𝐶𝐷= 0.7，
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∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 1.5 + 0.7 = 2.2，
∴两个书柜之间的距离为2.2 米；
故选：B．
4．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度𝐶𝐸，测得如下数据：①测得𝐵𝐷的长度
为12 m；（𝐵𝐷⊥𝐶𝐸）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐵𝐶的长为15 m；③若小明同学想使风筝沿
𝐶𝐷方向下降4 m，则他应该往回收线___________m．
【答案】2
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得𝐶𝐷、𝐵𝑀是解答的关键．设风筝下降到
点M 处，连接𝐵𝑀，利用勾股定理分别求得𝐶𝐷、𝐵𝑀，即可求解．
【详解】解：如图，设风筝下降到点M 处，连接𝐵𝑀，则𝐶𝑀= 4m，
∵𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝐶=90°，
在Rt △𝐵𝐷𝐶中，𝐵𝐷= 12m，𝐵𝐶= 15 m，
∴𝐶𝐷= √𝐵𝐶2 −𝐵𝐷2 = √152 −122 = 9(m)，
∴𝑀𝐷= 𝐶𝐷−𝐶𝑀= 9 −4 = 5(m)，
∴在Rt △𝐵𝐷𝑀中，𝐵𝑀= √𝐵𝐷2 + 𝑀𝐷2 = √122 + 52 = 13(m)，
∴𝐵𝐶−𝐵𝑀= 15 −13 = 2(m)，
故答案为：2．
5．如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯𝐵𝐷水平放置，则刚好与𝐷𝐸一样长，已知滑梯的高度𝐶𝐸为3 米，
𝐵𝐶为1 米．则滑道𝐵𝐷的长度为______．
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【答案】5 米/5m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设𝐵𝐷的长为𝑥米，则𝐷𝐸= 𝑥米，𝐴𝐷= 𝐷𝐸−𝐴𝐸= (𝑥−1)米，在
Rt △𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设𝐵𝐷的长为𝑥米，则𝐷𝐸= 𝑥米，𝐴𝐷= 𝐷𝐸−𝐴𝐸= (𝑥−1)米，
由题意得：∠𝐵𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐶𝐸= 3米，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理得：𝑥2 = 32 + (𝑥−1)2，
解得：𝑥= 5，即：滑道𝐵𝐷的长为5 米；
故答案为：5 米．
知识点
航海方位角应用模型形
定义：利用上北下南左西右东，正北、正南与正东、正西互相垂直，航行路线构成直角三角形，用勾股定理
求直线距离。
随学随练
1．一艘轮船以12 海里/时的速度从港口𝐴出发向北航行，另一轮船以5 海里/时的速度同时从港口𝐴出发向
东航行，离开港口1 小时后两船相距（ ）
A．12 海里
B．8 海里
C．10 海里
D．13 海里
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1 小时后两船的距离
特别提醒
1.北偏东、北偏西、南偏东一定先南北、后东西。
2.必须画图确定直角顶点。
易错提醒
1.方位理解颠倒（东偏北≠北偏东）。
2.看不出垂直关系，建不出直角三角形。
教材延伸
常结合勾股定理逆定理判断航行是否垂直、是否原路折返。
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即可．
【详解】解：第一艘船向北航行距离：12 × 1 = 12（海里），
第二艘船向东航行距离：5 × 1 = 5（海里），
且两方向垂直，
则两船距离为直角三角形的斜边：√122 + 52 = √144 + 25 = √169 = 13（海里），
故选：D．
2．如图所示，甲货船以16 海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船乙以12 海里/小时的
速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3 小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（ ）
A．35 海里
B．50 海里
C．60 海里
D．40 海里
【答案】C
【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角
可得∠𝐵𝐴𝐶= 90°，再利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
离开港口3 小时后，𝐴𝐵= 16 × 3 = 48（海里），𝐴𝐶= 12 × 3 = 36（海里），
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 60海里，
即甲、乙两轮船相距60 海里，
故选：C．
3．一艘轮船位于灯塔𝑃的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的𝐴处，它沿北偏东30°方向航行60海里到达𝐵
处，此时与灯塔𝑃的距离为（ ）
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A．27海里
B．75海里
C．50海里
D．15√3海里
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得∠𝑃𝐴𝐵= 90°，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点𝐴作𝐴𝐶∥𝑃𝐸交𝐵𝑃于𝐶，
根据题意得∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐸𝑃𝐴= 60°，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，𝑃𝐴= 45海里，𝐴𝐵= 60海里，
∴∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐴𝐵= 90°，
在Rt △𝑃𝐴𝐵中，根据勾股定理得，
𝑃𝐵= √𝐴𝑃2 + 𝐴𝐵2 = √452 + 602 = √5625 = 75（海里），
故此时与灯塔𝑃的距离为75海里．
故选：B．
4．如图所示为雷达图，规定：1 个单位长度代表100m，以点𝑂为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心
圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点𝑂处用雷达发现𝐴，𝐵两处鱼群，那么𝐴，𝐵两处鱼
群的距离是（ ）
A．5m
B．100m
C．500m
D．300m
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出∠𝐴𝑂𝐵=
90°及𝑂𝐴、𝑂𝐵后即可根据勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐵，数轴交点为𝑂，
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由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为360° ÷ 12 × 3 = 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 90°，
又1个单位长度代表100m，
∴𝑂𝐴= 300m，𝑂𝐵= 400m，
∴根据勾股定理可得，
∴Rt △𝐴𝑂𝐵中，𝐴𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 500m．
故选：C．
5．如图，某港口𝑃位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时
12nmile的速度沿北偏西50°方向航行，“海天”号以每小时16nmile的速度沿北偏东40°方向航行，它们离开
港口一个半小时后分别位于𝑅、𝑄处，此时两艘轮船相距________nmile．
【答案】30
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意得到𝑃𝑄= 16 × 1.5 = 24，𝑃𝑅= 12 × 1.5 = 18，∠𝑅𝑃𝑄= 40° + 50° = 90°
∴𝑄𝑅= √𝑃𝑄2 + 𝑃𝑅2 = √242 + 182 = 30．
知识点
折叠问题中的勾股定理应用
概念：根据图形折叠性质：折叠前后全等、对应边相等、对应角相等。
解题通常方法：设未知边长为 x；用折叠等量表示其余边长；在Rt△中列勾股方程求解。
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随学随练
1．如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 8，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐵与𝐴𝐶的中点𝐹重合，折痕为
𝐷𝐸，则𝐶𝐸的长为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到𝐸𝐹= 𝐵𝐸，设𝐶𝐸= 𝑥，在Rt △𝐶𝐸𝐹中结合勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，𝐴𝐹= 𝐶𝐹=
1
2 𝐴𝐶= 4，𝐸𝐹= 𝐵𝐸，
设𝐶𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 8 −𝑥，
在Rt △𝐶𝐸𝐹中，𝐸𝐹2 = 𝐶𝐹2 + 𝐶𝐸2，
∴(8 −𝑥)2 = 42 + 𝑥2，
解得𝑥= 3，
即𝐶𝐸= 3．
2．如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4, 𝐴𝐷= 8，将此长方形沿𝐸𝐹折叠，使点𝐷与点𝐵重合，则𝐴𝐸的长度为
（ ）
特别提醒
1.折叠题必考方程思想，不用方程基本无法解。
2.重点抓取：折叠重合边=等量边。
易错提醒
1.找不到折叠相等边，无法列式。
2.代数式表达边长出错，方程列错。
教材延伸
属于八上期末大题高频：长方形折叠求边长、求折痕、求面积。
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解𝐸𝐷= 𝐸𝐵，先表示出𝐸𝐵= 8 −𝐴𝐸，再根据勾
股定理计算即可．
【详解】解：∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，使点D 与点B 重合，
∴𝐸𝐷= 𝐸𝐵，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐷= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 8 −𝐴𝐸，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 90°，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2，即42 + 𝐴𝐸2 = (8 −𝐴𝐸)2，
解得：𝐴𝐸= 3，
故选：A．
3．如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐷= 9cm，将此长方形折叠，使点𝐵与点𝐷重合，折痕为𝐸𝐹，
则𝐵𝐹的长为（ ）
A．6cm
B．7.5cm
C．5cm
D．4cm
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
根据折叠的性质可得，𝐵𝐶′ = 𝐷𝐶，𝐶′𝐹= 𝐶𝐹，∠𝐶′ = ∠𝐶，设𝐵𝐹= 𝑥cm，则𝐶′𝐹= (9 −𝑥)cm，根据勾股定
理列出方程，求解即可．
【详解】解：如图，记点C 的对应点为𝐶′，
∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐷= 9cm，
∴ 𝐷𝐶= 𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 9cm，∠𝐶= 90°，
由折叠可得，𝐵𝐶′ = 𝐷𝐶= 3cm，𝐶′𝐹= 𝐶𝐹，∠𝐶′ = ∠𝐶= 90°，
设𝐵𝐹= 𝑥cm，则𝐶′𝐹= 𝐶𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝐹= (9 −𝑥)cm，
在Rt △𝐵𝐶′𝐹中，𝐵𝐶′2 + 𝐶′𝐹2 = 𝐵𝐹2，
∴ 32 + (9 −𝑥)2 = 𝑥2，解得𝑥= 5，
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则𝐵𝐹的长为5cm．
故选：C．
4．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐶= 5cm，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点C 与点A 重合，得折
痕𝐷𝐸，则△𝐴𝐵𝐸的周长等于_______cm．
【答案】7
【分析】根据勾股定理，可得𝐵𝐶的长，根据翻折的性质，可得𝐴𝐸与𝐶𝐸的关系，根据三角形的周长公式，
可得答案．
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐶= 5cm，
由勾股定理，得𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = 4(cm)，
由翻折的性质，得𝐶𝐸= 𝐴𝐸．
△𝐴𝐵𝐸的周长= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 3 + 4 = 7(cm)．
知识点
圆柱体图形最短路径问题
内容：圆柱侧面为曲面，曲面最短路径不能直接求。解题方法：侧面展开变长方形→两点连线为线段最短
→构造直角三角形用勾股定理。直角边：圆柱高、底面半周长。
随学随练
1．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A 位于盒外底面的边缘，如果在A 处
有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B 处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ）
特别提醒
1.圆柱展开底面长度是 半周长πr，不是直径！
2.最短路径一定是平面线段。
易错提醒
1.把底面直径当成展开底边（本节最大易错点）。
2.不展开直接在曲面上连线计算。
教材延伸
圆柱最短路径公式：L = √ℎ2 + (πr)2；属于期末高频填空压轴。
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A．13cm
B．√61cm
C．8cm
D．2√34cm
【答案】B
【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将圆柱侧面沿过点𝐴的母线展开，如图所示：
∵圆柱底面周长为12cm，高为10cm，点𝐵为对侧中点，
∴在展开图中，点𝐴到点𝐵的水平距离为底面周长的一半，即
1
2 × 12 = 6(cm)， 点𝐵到底面的垂直距离为高
的一半，即
1
2 × 10 = 5(cm)，
∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 √62 + 52 = √36 + 25 = √61(cm)．
2．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为1.5m，高为6m的柱子
上，有一条雕龙从柱底𝐴点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的𝐷点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为
（ ）
A．4.5米
B．7.5米
C．12.5米
D．15米
【答案】B
【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可
得到答案．
【详解】解：如图，
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根据题意可得，柱身高为6米，底面周长为1.5米，
∵有一条雕龙从柱底𝐴点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的𝐷点，
∴𝐶𝐺= 𝐵𝐹= 𝐴𝐸= 1.5，𝐶𝐷= 𝐵𝐶= 𝐴𝐵=
1
3 𝐴𝐷=
1
3 × 6 = 2，𝐶𝐺⊥𝐴𝐷，𝐵𝐹⊥𝐴𝐷，𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹=
𝐷𝐺，
∴𝐷𝐺= 𝐶𝐹= 𝐵𝐸= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = √22 + 1.52 = 2.5，
∴𝐷𝐺+ 𝐶𝐹+ 𝐵𝐸= 2.5 × 3 = 7.5（米），
∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为7.5米．
3．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高𝐴𝐵为4，𝐵𝐶是上底的直径，一只蚂蚁从点𝐴出发，沿着圆柱的侧
面爬行到𝐶，则爬行的最短距离是________．
【答案】5
【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题．
【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点𝐴出发，沿着线段𝐴𝐶爬行时，距离最短；
由题意知，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶为圆柱体底面周长的一半，即𝐵𝐶=
1
2 × 6 = 3，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √42 + 32 = 5，
即爬行的最短距离是5．
知识点6 长方体（立方体）表面最短路径
定义：长方体表面行走，有三种展开方式，得到三种斜边长度，取最小值即为最短路径。设长宽高分别为：
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𝑎、𝑏、𝑐可得三种展开的计算公式：
1.长宽合并：√(𝑎+ 𝑏)2 + 𝑐2；2.长高合并：√(𝑎+ 𝑐)2 + 𝑏2；3.宽高合并：√(𝑏+ 𝑐)2 + 𝑎2
随学随练
1．如图，在一张边长为5cm的正方形纸板𝐴𝐵𝐶𝐷上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与𝐴𝐷平行且
相等，横截面是一个边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点𝐴出发，翻过木块到达点𝐶处，则蚂蚁爬行的最短
路径长为（ ）
A．12cm
B．5√3cm
C．(5 + √26)cm
D．√74cm
【答案】D
【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下：
由题意可知，𝐴𝐵= 5 + 1 + 1 = 7cm，𝐵𝐶= 5cm，
由勾股定理可得，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √72 + 52 = √74(cm)．
2．如图，长方体的长𝐵𝐸= 20cm，宽𝐴𝐵= 10cm，高𝐴𝐷= 15cm，点𝑀在𝐶𝐻上，且𝐶𝑀= 5cm．如果一只
蚂蚁要沿着长方体的表面从点𝐴爬到点𝑀，那么它爬行的最短路程是（ ）
特别提醒
1.必须三算对比取最小，不能只算一种。
2.越“扁平”的展开面，路径越短。
易错提醒
1.只算一种直接写答案。
2.展开后找错两条直角边。
教材延伸
正方体任意两点最短路径只有两类结果，可直接秒杀选择题。
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A．15√2cm
B．10√5cm
C．30cm
D．(5 + 5√13)cm
【答案】A
【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算𝐴到𝑀的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展
开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较
三种情况下的路径长度即可得出答案．
【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面𝐴𝐵𝐶𝐷和右面𝐵𝐶𝐻𝐸展开在同一平面内，如图
1，
此时𝐷、𝐶、𝑀在同一直线上， 在Rt △𝐴𝐷𝑀中，𝐴𝐷= 15，𝐷𝑀= 𝐷𝐶+ 𝐶𝑀= 𝐴𝐵+ 𝐶𝑀= 10 + 5 = 15，
根据勾股定理得：𝐴𝑀= √𝐴𝐷2 + 𝐷𝑀2 = √152 + 152 = 15√2；
情况二：将长方体的前面𝐴𝐵𝐶𝐷和顶面𝐷𝐶𝐺𝐻展开在同一平面内，如图2，
此时𝐵、𝐶、𝑀在同一直线上， 在Rt △𝐴𝐵𝑀中，𝐴𝐵= 10，𝐵𝑀= 𝐵𝐶+ 𝐶𝑀= 𝐴𝐷+ 𝐶𝑀= 15 + 5 = 20，
根据勾股定理得：𝐴𝑀= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝑀2 = √102 + 202 = 10√5；
情况三：将长方体的底面𝐴𝐵𝐸𝐹和右面𝐵𝐶𝐻𝐸展开在同一平面内，如图3，
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由题意得：𝐴𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 10 + 15 = 25，𝑀𝐶= 5，
在Rt △𝐴𝐶𝑀中，根据勾股定理得：𝐴𝑀＝√𝐴𝐶2 + 𝐶𝑀2 = √252 + 52 = 5√26，
∵(15√2)
2 = 450，(10√5)
2 = 500，(5√26)
2 = 650
∴15√2 < 10√5 < 5√26，
∴ 需要爬行的最短路程是15√2cm．
3．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长𝐴𝐵= 4米，宽𝐵𝐶= 1米，高𝐵𝐵′ = 2米．工作人员要
从箱底的𝐴点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的𝐶′点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是
________米．
【答案】5
【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算𝐴𝐶′的长度，再比较即可求解．
【详解】解：情况一：𝐴𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 4 + 1 = 5米，𝐶𝐶′ = 𝐵𝐵′ = 2米，
∴ 𝐴𝐶′ = √𝐴𝐶2 + 𝐶𝐶′2 = √52 + 22 = √29米；
情况二：𝐴𝐵′ = 𝐴𝐵+ 𝐵𝐵′ = 4 + 2 = 6米，𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶= 1米，
∴ 𝐴𝐶′ = √𝐴𝐵′2 + 𝐵′𝐶′2 = √62 + 12 = √37米；
情况三：𝐵𝐶′ = 𝐵𝐶+ 𝐶𝐶′ = 1 + 2 = 3米，𝐴𝐵= 4米，
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∴ 𝐴𝐶′ = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶′2 = √42 + 32 = √25 = 5米；
∵ 5 < √29 < √37，
∴这根软管的最短长度是5米．
拓展
模型观念素养内涵
能够将生活实际场景、立体图形场景、动态变化场景，剥离无关信息，抽象固化为直角三角形数学模型，
利用勾股定理解决现实问题，是本章应用题的核心解题素养。
1.场景模型化能力：所有实际问题（梯子、航海、折叠、立体路径、工程测量），本质全部是直角三角
形模型，解题第一步必须完成“实景→几何图形”的转化，拒绝凭题意硬算。
2.动态模型不变量思维：梯子滑动、图形折叠、路径变换等动态问题中，抓恒定条件（梯子长度不
变、折叠边长不变），以不变应万变，是压轴题核心突破口。
3.方程模型构建能力：遇到边长未知、边长存在数量关系的题型，主动设未知数，建立勾股方程模
型，突破单纯公式计算的局限，适配所有中高难度题型。
4.模型归类迁移能力：掌握经典固定模型（圆柱展开模型、长方体三路径模型、方位角垂直模型、梯
子滑动模型），可直接迁移到同类变式题，实现举一反三。
活学活用
1．综合与实践
物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角．
如图，直线𝐸𝐹为水平平面镜，𝐴𝐶⊥𝐸𝐹，𝐵𝐷⊥𝐸𝐹，垂足分别为C、D，入射点O 是线段𝐶𝐷的中点，𝑂𝑀
为法线，已知𝐴𝐶= 6 cm，𝐶𝐷= 8 cm．
(1)求入射光线𝐴𝑂的长度；
(2)求反射光线𝑂𝐵的长度．
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【答案】(1)2√13cm (2)2√13cm
【分析】（1）先利用中点的性质求出直角三角形的直角边长，再根据勾股定理求出𝐴𝑂的长度；
（2）根据光的反射定律推导出△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷，从而得到𝐵𝐷= 𝐴𝐶= 6cm，最后根据勾股定理求出𝑂𝐵的
长度．
【详解】（1）∵点O 是线段𝐶𝐷的中点，𝐶𝐷= 8 cm，
∴𝑂𝐶=
1
2 𝐶𝐷=
1
2 × 8 = 4 cm，
∵𝐴𝐶⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝑂= 90°，
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶中，𝐴𝑂= √𝐴𝐶2 + 𝑂𝐶2 = √62 + 42 = √52 = 2√13(cm)，
所以入射光线𝐴𝑂的长度为2√13cm．
（2）∵反射角等于入射角，
∴∠𝐴𝑂𝑀= ∠𝐵𝑂𝑀，
∵𝑂𝑀为法线，
∴𝑂𝑀⊥𝐸𝐹，
∴∠𝑀𝑂𝐶= ∠𝑀𝑂𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐶= 90° −∠𝐴𝑂𝑀，∠𝐵𝑂𝐷= 90° −∠𝐵𝑂𝑀，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中，
{
∠𝐴𝐶𝑂= ∠𝐵𝐷𝑂= 90°
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
，
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐶= 6cm，
由（1）知𝑂𝐷= 𝑂𝐶= 4 cm，
∴在𝐑𝐭△𝐵𝑂𝐷中，𝑂𝐵= √𝐵𝐷2 + 𝑂𝐷2 = √62 + 42 = √52 = 2√13(cm)，
所以反射光线𝑂𝐵的长度为2√13cm．
2．项目化学习
项目主题：办公区绿化规划．
项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为400m2的
办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化．
设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知𝐴𝐵= 12m，𝐵𝐶= 9m，𝐶𝐷= 8m，𝐴𝐷= 17m，∠𝐴𝐵𝐶=
90°．
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问题解决：
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道𝐴𝐶，则这条直道𝐴𝐶的长度为
________m；
(2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要
求．
【答案】(1)15
(2)设计方案不符合规划要求
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理逆定理可得∠𝐴𝐶𝐷= 90°，可求出绿化区的面积，即可求解．
【详解】（1）解：因为𝐴𝐵= 12m，𝐵𝐶= 9m，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
所以𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 15m．
答：这条直道𝐴𝐶的长度为15m．
（2）解：因为𝐴𝐶= 15m，𝐶𝐷= 8m，𝐴𝐷= 17m，
所以𝐶𝐷2 + 𝐴𝐶2 = 82 + 152 = 289 = 𝐴𝐷2．
所以∠𝐴𝐶𝐷=90°．
所以绿化区的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵× 𝐵𝐶+
1
2 𝐴𝐶× 𝐶𝐷=
1
2 × 9 × 12 +
1
2 × 15 × 8 = 114(m2)．
400 × 30% = 120(m2)．
因为114 < 120，
所以设计方案不符合规划要求．
3．春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图11，
已知一辆移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上，沿东西方向由𝐴向𝐵行驶，嘉嘉家在公路的一侧点𝐶处，且点𝐶与
直线𝐴𝐵上的两点𝐴、𝐵的距离分别为𝐴𝐶= 300m，𝐵𝐶= 400m，又𝐴𝐵= 500m，假如移动广播车周边260
米以内能听到广播宣传．
(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状并说明理由；
(2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？
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(3)若移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点𝐸时，嘉嘉在家刚好听
到广播，当移动广播车行驶到点𝐹时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即𝐶𝐸= 𝐶𝐹= 260米，问嘉嘉在家听
到广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)
解：过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，
则𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷，
即
1
2 × 300 × 400 =
1
2 × 500 × 𝐶𝐷，
解得𝐶𝐷= 240（米），
∵240 < 260，
∴嘉嘉在家能听到广播；
(2)嘉嘉在家能听到广播
(3)20秒
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解答即可求解；
（2）过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，利用三角形的面积可得𝐶𝐷= 240米，进而即可判断求解；
（3）利用勾股定理可得𝐹𝐷= 𝐸𝐷= 100米，即得𝐸𝐹= 𝐸𝐷+ 𝐹𝐷= 200米，进而即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解： △𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下：
∵𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 3002 + 4002 = 250000，𝐴𝐵2 = 5002 = 250000，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
（2）略
（3）解：由题意得，在Rt △𝐶𝐸𝐷中，𝐸𝐷= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √2602 −2402 = 100（米）,
同理得，𝐹𝐷= 𝐸𝐷= 100（米），
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐷+ 𝐹𝐷= 100 + 100 = 200（米），
∵
200
10 = 20（秒），
∴嘉嘉在家听到广播宣传的时长是20秒．
拓展
几何直观素养内涵
通过画图、展开图形、还原立体结构，直观感知图形边角关系、垂直关系、线段长短关系，依托图形辅助
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推理，规避逻辑漏洞，解决无图、立体、动态几何难题。
1.无图题主动作图能力：航海、测距、高度测量等无题干图形的题型，必须自主绘制简易几何示意图，精
准定位直角、边长、方位，避免审题错误。
2.立体图形平面化直观能力：具备空间想象能力，可将圆柱、长方体曲面或立体表面，直观展开为平面图
形，理解“立体最短路径=平面线段”的几何原理。
3.图形折叠直观推理能力：能直观识别折叠前后重合边、相等角、全等图形，快速锁定直角三角形位置，
精准抓取解题等量条件。
4.数形结合纠错能力：依托图形直观区分直角边与斜边、垂直与不垂直关系，杜绝公式代反、边长找错、
模型用错等低级易错点。
活学活用
4．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴在
滑块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体
C 的升降．实验初始状态如图1 所示（𝐴𝐶⊥𝐵𝐶），物体C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距离
是6dm，绳长（𝐴𝐵+ 𝐴𝐶）为18dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B 和物体C
的大小忽略不计，都看作一个点）
(1)求实验初始状态下𝐴𝐵的长；
(2)如图2，若物体C 上升7dm到达𝐶1的高度时，滑块B 水平向左滑动到𝐵1，求𝐵𝐵1的长．
【答案】(1)10dm
(2)9dm
【分析】（1）设𝐴𝐵= 𝑥dm，则𝐴𝐶= (18 −𝑥)dm，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理建立方程，求解即可；
（2）由已知得𝐶𝐶1 = 7dm，由（1）知𝐴𝐶= 8dm，即可求出𝐴𝐶1，再根据𝐴𝐵1 = 18 −𝐴𝐶1求出𝐴𝐵1的长，
在Rt △𝐴𝐵1𝐶中，利用勾股定理求出𝐵1𝐶，再根据𝐵𝐵1 = 𝐵1𝐶−𝐵𝐶即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：𝐵𝐶= 6dm，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 18dm，
设𝐴𝐵= 𝑥dm，则𝐴𝐶= (18 −𝑥)dm，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2，
即62 + (18 −𝑥)2 = 𝑥2，
解得：𝑥= 10，
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答：𝐴𝐵的长为10dm；
（2）解：∵物体𝐶上升7dm到达𝐶1的高度，
∴𝐶𝐶1 = 7dm，
∵由（1）知𝐴𝐶= 18 −10 = 8dm，
∴𝐴𝐶1 = 𝐴𝐶−𝐶𝐶1 = 1dm，
∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 18dm，
∴𝐴𝐵1 + 𝐴𝐶1 = 18dm，
∴𝐴𝐵1 = 18 −𝐴𝐶1 = 17dm；
在Rt △𝐴𝐵1𝐶中，𝐴𝐵1 = 17dm，𝐴𝐶= 8dm，
∴𝐵1𝐶= √𝐴𝐵1
2 −𝐴𝐶2 = √172 −82 = 15(dm)，
∵𝐵𝐶= 6dm，
∴𝐵𝐵1 = 𝐵1𝐶−𝐵𝐶= 9(dm)，
即滑块𝐵水平向左滑动到𝐵1的距离为9dm．
5．如图，有一架秋千，当它静止在𝐴𝐷的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千𝐴𝐷往前推送3m
（即𝐶𝐵= 3m），如图1 到达𝐴𝐵的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度𝐵𝐹为1.8m，秋千的绳索始终保持拉
直的状态．
(1)求秋千𝐴𝐷的长度；
(2)当秋千静止后，如果将秋千𝐴𝐷往前推送4m（即𝐶𝑀= 4m），如图2 求此时踏板离地的垂直高度𝑀𝑁为多
少？
【答案】(1)5m
(2)2.8m
【分析】（1）设秋千的长度为𝑥m，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理建立方程进行求解即可；
（2）在Rt △𝐴𝐶𝑀中，由勾股定理得到𝐴𝐶的长，进而求出𝐶𝐸的长，即可.
【详解】（1）解：由题意知𝐵𝐹= 1.8m，𝐵𝐶= 3m，𝐷𝐸= 0.8m，
∵𝐵𝐹⊥𝐸𝐹，𝐴𝐸⊥𝐸𝐹，𝐵𝐶⊥𝐴𝐸，
∴ 𝐵𝐹∥𝐴𝐸, 𝐵𝐶∥𝐸𝐹，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹= 1.8m，
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∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸−𝐷𝐸= 1.8 −0.8 = 1(m)，
∵𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
设秋千的长度为𝑥m，则𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝑥m，𝐴𝐶= 𝐴𝐷−𝐶𝐷= (𝑥−1)m，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
即(𝑥−1)2 + 32 = 𝑥2，解得𝑥= 5，
即秋千𝐴𝐷的长度是5m；
（2）解：在Rt △𝐴𝐶𝑀中，𝐶𝑀= 4m，𝐴𝑀= 5m，
∴由勾股定理得𝐴𝐶= √𝐴𝑀2 −𝐶𝑀2 = 3(m)，
∵𝐴𝐷= 5m，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷−𝐴𝐶= 5 −3 = 2(m)，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐸= 2 + 0.8 = 2.8(m)，
∴𝑀𝑁= 𝐶𝐸= 2.8m，
即此时踏板离地的垂直高度为2.8m．
6．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．
在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理；
图2 为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边
为c）和直角边为c 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．
(1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理𝑎2 +
𝑏2 = 𝑐2．
(2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定
在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路𝐶𝐻，现测得𝐶𝐴= 1千米，𝐴𝐵= 2.1
千米，𝐵𝐶= 1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路𝐶𝐻的长．
【答案】(1)见解析
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(2)D
(3)新修路𝐶𝐻的长为0.8 千米
【分析】（1）在图1 中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式
子后化简即可证明；在图2 中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．
（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；
（3）当𝐶𝐻⊥𝐴𝐵时，𝐶𝐻最小，能最大限度节省铺路的费用．设𝐴𝐻= 𝑥千米，则𝐵𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐻= 2.1 −𝑥
（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明：
∵𝑆大正方形= 4𝑆三角形+ 𝑆小正方形，
∴𝑐2 = 4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑏−𝑎)2，
∴𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2；
根据“总统证法”进行证明：
∵𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆Rt△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆Rt△𝐶𝐷𝐸+ 𝑆Rt△𝐵𝐶𝐸，
∴
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2 +
1
2 𝑎𝑏，
∴𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
（2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．
故选：D；
（3）解：当𝐶𝐻⊥𝐴𝐵时，𝐶𝐻最小，能最大限度节省铺路的费用．
设𝐴𝐻= 𝑥千米，则𝐵𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐻= 2.1 −𝑥（千米）
∵𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，
∴在Rt △𝐴𝐶𝐻中，𝐶𝐻2 = 𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2 = 12 −𝑥2，
在Rt △𝐵𝐶𝐻中，𝐶𝐻2 = 𝐵𝐶2 −𝐵𝐻2 = 1.72 −(2.1 −𝑥)2，
∴12 −𝑥2 = 1.72 −(2.1 −𝑥)2，
解得𝑥= 0.6，
∴𝐴𝐻= 0.6千米，
∴𝐶𝐻= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2 = √12 −0.62 = 0.8（千米）．
答：新修路𝐶𝐻的长为0.8 千米．
题型
勾股定理在网格问题中的应用
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▌例1 如图，网格中的△𝐴𝐵𝐶的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则△𝐴𝐵𝐶的形状为（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出𝐵𝐶2,𝐴𝐶2,𝐴𝐵2，再由勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：∵小方格边长均为1，
∴𝐵𝐶2 = 62 + 42 = 52，
𝐴𝐶2 = 32 + 22 = 13，
𝐴𝐵2 = 12 + 82 = 65，
在△𝐴𝐵𝐶中，
∵𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 52 + 13 = 65，𝐴𝐵2 = 65，
∴𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
▌对点练1-1．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点均在格点上．
(1)求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积；
(2)探究四边形对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷的位置关系．
【答案】(1)15；
(2)𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
【分析】本题考查了根据网格求面积，勾股定理逆定理．
解题贴士
利用网格横、竖线互相垂直的特点构造直角三角形，数方格得到两条直角边长a、b；运用勾股定理c =
√a2 + b2计算网格内斜线段长度；若需要判断三角形形状，则结合勾股定理逆定理验证，注意找准线段
对应的直角三角形，不要随意选取方格边长.
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（1）根据割补法求面积即可；
（2）连接𝐴𝐶，𝐵𝐷，作𝐷𝐸∥𝐴𝐶交格点于E，连接𝐵𝐸，根据勾股定理逆定理证明𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，即可得到𝐴𝐶⊥
𝐵𝐷．
【详解】（1）解：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积= 6 × 4 −
1
2 × 2 × 3 −
1
2 × 1 × 4 −
1
2 × 2 × 4
= 24 −3 −2 −4
= 15；
（2）解：如图，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷，作𝐷𝐸∥𝐴𝐶交格点于E，连接𝐵𝐸，
∵𝐵𝐸2 = 52 + 52 = 50，𝐷𝐸2 = 12 + 22 = 5，𝐵𝐷2 = 62 + 32 = 45，
∴𝐵𝐸2 = 𝐷𝐸2 + 𝐵𝐷2，
∴∠𝐵𝐷𝐸= 90°，
即𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
▌对点练1-2．如图是由16 个边长为1 的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三
个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度．
(1)使三边的长度都是有理数的直角三角形．
(2)使三边的长度都是无理数的直角三角形．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，
对于（1），以3,4,5 为边作出直角三角形即可；
对于（2），以√5,√5,√10为边长画出直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图所示，𝐴𝐶= 3, 𝐵𝐶= 4, 𝐴𝐵= √32 + 42 = 5，则△𝐴𝐵𝐶即为所求作；
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（2）解：如图所示，𝐷𝐸2 = 22 + 12 = 5, 𝐷𝐸= √5，𝐸𝐹2 = 22 + 12 = 5, 𝐸𝐹= √5，𝐷𝐹2 = 32 + 12 =
10,𝐷𝐹= √10，可知𝐷𝐸2 + 𝐸𝐹2 = 𝐷𝐹2，
所以△𝐷𝐸𝐹是直角三角形．
题型
折叠问题
▌例1 如图．在直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 15cm，𝐴𝐶= 9cm，现将直角边𝐴𝐶沿过点𝐴的
直线折叠，使它落在𝐴𝐵边上、若折痕交𝐵𝐶于点𝐷，点𝐶落在点𝐸处，你能求出𝐶𝐷的长吗？请写出求解过
程．
【答案】𝐶𝐷=
9
2 cm
【详解】解：∵在直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 15cm，𝐴𝐶= 9cm，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √152 −92 = 12(cm)，
由折叠的性质可得𝐶𝐷= 𝐸𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶= 9cm，∠𝐷𝐸𝐴= ∠𝐶= 90°，
解题贴士
依据折叠性质，折叠前后对应边相等、对应角相等；设未知边长为x，利用等量关系用含x的代数式表示
直角三角形各边长；在直角三角形中列出方程a2 + b2 = c2求解；找准折叠后形成直角三角形的位置，不
要找错等量线段.
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∴𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 6cm，∠𝐵𝐸𝐷= 180° −∠𝐷𝐸𝐴= 90°，
设𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 𝑥cm，则𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= (12 −𝑥)cm，
在Rt △𝐵𝐷𝐸中，由勾股定理得𝐵𝐷2 = 𝐷𝐸2 + 𝐵𝐸2，
∴(12 −𝑥)2 = 𝑥2 + 62，
解得𝑥=
9
2，∴𝐶𝐷=
9
2 cm．
▌对点练1-1 如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在边𝐴𝐵上，将△𝐴𝐷𝐸沿直线𝐷𝐸翻折，点A 恰好落在边𝐵𝐶上的
点F 处，𝐴𝐸= 13，𝐵𝐹= 12．
(1)求𝐴𝐵的长；
(2)求△𝐶𝐷𝐹的面积．
【答案】(1)18
(2)
135
2
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）由折叠的性质可知，𝐸𝐹= 𝐴𝐸= 13，然后再直角△𝐵𝐸𝐹中利用勾股定理求出𝐵𝐸的长即可得到答案；
（2）设𝐶𝐹= 𝑥，则𝐷𝐹= 𝐷𝐴= 𝐷𝐶= 𝑥+ 12，根据勾股定理得出𝑥2 + 182 = (𝑥+ 12)2，求出𝑥=
15
2 ，即可
得到答案．
【详解】（1）解：由折叠可知：𝐸𝐹= 𝐴𝐸= 13，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，
在Rt △𝐵𝐸𝐹中，由勾股定理得：
𝐵𝐸= √𝐸𝐹2 −𝐵𝐹2 = √132 −122 = 5，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 13 + 5 = 18；
（2）解：由折叠可知：𝐷𝐴= 𝐷𝐹，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，𝐷𝐴= 𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 18，
设𝐶𝐹= 𝑥，则𝐷𝐹= 𝐷𝐴= 𝐵𝐶= 𝑥+ 12，
在Rt △𝐷𝐶𝐹中，由勾股定理得：𝐶𝐹2 + 𝐶𝐷2 = 𝐷𝐹2
∴𝑥2 + 182 = (𝑥+ 12)2，
解之得：𝑥=
15
2 ，
∴𝐶𝐹=
15
2 ，
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∴𝑆△𝐶𝐷𝐹=
1
2 𝐶𝐹⋅𝐶𝐷=
1
2 ×
15
2 × 18 =
135
2 ．
▌对点练1-2 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 10，𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 8．
(1)𝑃为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝑃沿直线𝐴𝑃翻折至△𝐴𝐸𝑃的位置（点𝐵落在点𝐸处），当点𝐸落在𝐶𝐷边上时，利
用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑）．并直接写出
此时𝑃𝐵=_______；
(2)点𝑄为射线𝐷𝐶上的一个动点，将△𝐴𝐷𝑄沿𝐴𝑄翻折，点𝐷恰好落在直线𝐵𝑄上的点𝐷′处，求𝐷𝑄的长．
【答案】(1)图形见解析，𝑃𝐵= 5
(2)𝐷𝑄= 4或16
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）以点𝐴为圆心，以𝐴𝐵的长为半径作圆，交𝐶𝐷于点𝐸，连接𝐴𝐸，作∠𝐵𝐴𝐸的角平分线，交𝐵𝐶于一点，
该点即为𝑃，连接𝐴𝑃，𝐸𝑃，△𝐴𝐸𝑃即为所求；设𝑃𝐵= 𝑥，则𝑃𝐶= 8 −𝑥，根据图形折叠的性质可知𝐴𝐵=
𝐴𝐸= 10，𝐵𝑃= 𝐸𝑃= 𝑥，根据勾股定理即可求得答案；
（2）分两种情况计算：当点𝑄在线段𝐷𝐶上时；当点𝑄在线段𝐷𝐶的延长线上时．
【详解】（1）如图所示，以点𝐴为圆心，以𝐴𝐵的长为半径作圆，交𝐶𝐷于点𝐸，连接𝐴𝐸，作∠𝐵𝐴𝐸的角平分
线，交𝐵𝐶于一点，该点即为𝑃，连接𝐴𝑃，𝐸𝑃，△𝐴𝐸𝑃即为所求．
设𝑃𝐵= 𝑥，则𝑃𝐶= 8 −𝑥．
根据图形折叠的性质可知
𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 10，𝐵𝑃= 𝐸𝑃= 𝑥．
在Rt △𝐴𝐷𝐸中
𝐷𝐸= √𝐴𝐸2 −𝐴𝐷2 = √102 −82 = 6．
则𝐸𝐶= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 10 −6 = 4．
在Rt △𝑃𝐸𝐶中
𝐸𝑃2 = 𝐸𝐶2 + 𝑃𝐶2，即
𝑥2 = 16 + (8 −𝑥)2．
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解得
𝑥= 5．
即𝑃𝐵= 5．
（2）①如图所示，当点𝑄在线段𝐷𝐶上时．
设𝐷𝑄= 𝑥，则𝑄𝐶= 10 −𝑥．
根据图形折叠的性质可知
𝑄𝐷′ = 𝐷𝑄′ = 𝑥，𝐴𝐷′ = 𝐴𝐷= 8，∠𝐴𝐷′𝐵= 90°．
在Rt △𝐴𝐵𝐷中
𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √102 −82 = 6．
则𝐵𝑄= 𝐵𝐷+ 𝑄𝐷= 6 + 𝑥．
在Rt △𝐵𝑄𝐶中
𝐵𝑄2 = 𝑄𝐶2 + 𝐵𝐶2，即
(6 + 𝑥)2 = (10 −𝑥)2 + 82
解得𝑥= 4．
即𝐷𝑄= 4．
②如图所示，当点𝑄在线段𝐷𝐶的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知∠𝐷𝑄𝐴= ∠𝐷′𝑄𝐴．
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝑄𝐴= ∠𝑄𝐴𝐵．
∴∠𝐷′𝑄𝐴= ∠𝑄𝐴𝐵．
∴𝐴𝐵= 𝐵𝑄= 10．
在Rt △𝐵𝐶𝑄中
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𝐶𝑄= √𝐵𝑄2 −𝐵𝐶2 = √102 −82 = 6．
∴𝐷𝑄= 𝐶𝐷+ 𝐶𝑄= 16．
综上所述，𝐷𝑄= 4或16．
题型
解决梯子下滑问题
▌例1 如图，长2.5m的梯子𝐴𝐵靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离𝐵𝐶= 1.5m．
(1)求梯子顶端距地面的高度𝐴𝐶；
(2)若梯子顶端𝐴沿墙面向下滑动0.5m，则梯子底端𝐵向右滑动______m．
【答案】(1)梯子顶端距地面的高度𝐴𝐶为2m；
(2)0.5
【分析】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键．
（1）根据题意直接利用勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理求出𝐵1𝐶的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2.5m, 𝐵𝐶= 1.5m，
则𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √2. 52 −1. 52 = 2(m)，
答：梯子顶端距地面的高度𝐴𝐶为2m；
（2）解：如图，梯子顶端A 沿墙面向下滑动0.5m，即𝐴𝐴1 = 0.5m，
∴𝐴1𝐶= 2 −0.5 = 1.5(m)，
解题贴士
墙面与地面垂直，梯子长度为斜边c且长度恒定不变；初始状态由a2 + b2 = c2求出初始直角边；梯子滑
动后，再次利用c2 −a1
2 = b1
2求出滑动后的直角边长；前后边长作差，得到梯子下滑距离或底部外移距
离，禁止直接对边长进行加减运算.
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∴𝐵1𝐶= √𝐴1𝐵1
2 −𝐴1𝐶2 = 2(m)，
∴𝐵𝐵1 = 𝐵1𝐶−𝐵𝐶= 0.5(m)，
则梯子底端𝐵向右滑动0.5m．
故答案为：0.5．
▌对点练1-1 如图，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点𝐴处，底
端位于地面的点𝐶处，点𝐶到墙面的距离𝐶𝐵为0.7米，如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底端在水平
方向滑动了几米？
【答案】0.8米
【分析】在Rt △𝐴𝐵𝐶中根据勾股定理求出𝐴𝐵的长度，从而得出𝐴′𝐵的长度，然后根据𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶和勾股定
理求出𝐵𝐶′的长度，从而得出答案．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐶= 2.5米，𝐵𝐶= 0.7米，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √2.52 −0.72 = 2.4（米），
∵𝐴𝐴′ = 0.4米，
∴𝐴′𝐵= 𝐴𝐵−𝐴𝐴′ = 2米，
∵𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶= 2.5米，
∴𝐵𝐶′ = √𝐴′𝐶′2 −𝐴′𝐵2 = √2.52 −22 = 1.5（米），
∴𝐶𝐶′ = 𝐵𝐶′ −𝐵𝐶= 1.5 −0.7 = 0.8（米）．
故梯子的底端在水平方向滑动了0.8 米．
▌对点练1-2 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬22m长的云梯到24m高的宿舍楼顶营救“被困”
学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A 离地面4m、与宿舍外墙𝑂𝑀的距离是8m．云梯够长吗？请
说明理由．
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【答案】云梯够长
解：云梯够长．理由如下：
如图，连接𝐴𝑀．
∵𝑂𝐶= 4m，𝑂𝑀= 24m，
∴𝐶𝑀= 𝑂𝑀−𝑂𝐶= 24 −4 = 20m，
在Rt △𝐴𝐶𝑀中利用勾股定理，得𝐴𝑀= √𝐴𝐶2 + 𝐶𝑀2 = √82 + 202 = 4√29m，
∵22 > 4√29，
∴云梯够长．
题型
解决水杯中深度、高度问题
▌例1 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出
水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺
的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端
恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？
【答案】这根芦苇的长度为13尺，水深为12尺．
解题贴士
将水杯竖直高度、底面半径作为两条直角边，杯内倾斜木棒为斜边，构建直角三角形；设水杯深度、木
棒外露长度等未知量，结合a2 + b2 = c2列方程求解；分清水平底面半径、竖直高度、倾斜线段三者的对
应关系，避免混淆直角边与斜边.
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【分析】设水深为𝑥尺，则芦苇的长度为(𝑥+ 1)尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为𝑥尺，则芦苇的长度为(𝑥+ 1)尺，
∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池正中央，
∴𝐵𝐶= 5尺，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2,
∴𝑥2 + 52 = (𝑥+ 1)2，
解得：𝑥= 12，
∴𝑥+ 1 = 13（尺）．
答：这根芦苇的长度为13尺，水深为12尺．
▌对点练1-1 如图，已知钓鱼竿𝐴𝐶的长为10m，露在水面上的鱼线𝐵𝐶长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的
情况，把鱼竿𝐴𝐶转动到𝐴𝐶′的位置，此时露在水面上的鱼线𝐵′𝐶′长为8m，求𝐵𝐵′的长．
【答案】2(m)
【分析】该题考查了勾股定理的应用，在Rt △𝐴𝐵𝐶中和Rt △𝐴𝐵′𝐶′中根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，因为𝐴𝐶= 10m, 𝐵𝐶= 6m，
所以𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √102 −62 = 8(m)．
在Rt △𝐴𝐵′𝐶′中，
因为𝐴𝐶′ = 10m, 𝐵′𝐶′ = 8m，
所以𝐴𝐵′ = √𝐴𝐶′2 −𝐵′𝐶′2 = √102 −82 = 6(m)，
所以𝐵𝐵′ = 𝐴𝐵−𝐴𝐵′ = 8 −6 = 2(m)．
▌对点练1-2《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水
深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长𝐴𝐵为1 丈（1 丈= 10尺）的正方形．在水
池正中央O 处有一根芦苇𝑂𝐶，它高出水面的部分𝐶𝐷为1 尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶
端恰好到达岸边的水面，即𝑂𝐶= 𝑂𝐸．
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(1)求水池的深度𝑂𝐷．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池
底面边长𝐴𝐵记作2a，O 为𝐴𝐵的中点，水的深度𝑂𝐷记作b，芦苇高出水面的部分𝐶𝐷记作𝑛(𝑛< 𝑎)，则水池
的深度b 可通过计算
𝑎2−𝑛2
2𝑛得到．请说明此解法的正确性．
【答案】(1)12 尺
(2)𝑏=
𝑎2−𝑛2
2𝑛
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x 尺，则得芦苇高度为(𝑥+ 1)尺，在Rt △𝐸𝐴𝑂中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度𝑂𝐷= 𝑏，则得芦苇高度为𝑂𝐶= 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷= 𝑏+ 𝑛，由题意有：𝑂𝐸= 𝑂𝐶−𝑏+ 𝑏；由勾
股定理即可得证．
【详解】（1）设𝑂𝐷为x 尺，
则𝑂𝐶= 𝑂𝐸= （𝑥+ 1）尺，𝐷𝐸= 5尺．
在Rt △𝑂𝐷𝐸中，∠𝑂𝐷𝐸= 90°，
由勾股定理，得
𝐷𝐸2 + 𝑂𝐷2 = 𝑂𝐸2．
∴52 + 𝑥2 = (𝑥+ 1)2．
解得 𝑥= 12．
答：水池的深度𝑂𝐷为12 尺．
（2）图中𝑂𝐷= 𝑏，𝐶𝐷= 𝑛，𝐴𝐵= 2𝑎，
则𝑂𝐶= 𝑂𝐸= 𝑏+ 𝑛，𝐷𝐸= 𝑎，
在Rt △𝑂𝐷𝐸中，∠𝑂𝐷𝐸= 90°，
由勾股定理，得𝐷𝐸2 + 𝑂𝐷2 = 𝑂𝐸2．
∴𝑎2 + 𝑏2 = (𝑏+ 𝑛)2．
解得𝑏=
𝑎2−𝑛2
2𝑛．
题型
航海问题
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▌例1 如图所示，一艘轮船以18km/h的速度离开港口O 点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以24 km/h
的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？
【答案】它们航行两小时后，相距60km．
【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）．
根据题意可得∠𝐴𝑂𝐵= 90°，𝑂𝐴，𝑂𝐵，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
∠𝐴𝑂𝐵= 90° ×
1
2 + 90° ×
1
2 = 90°，
𝑂𝐴= 18 × 2 = 36(km)，
𝑂𝐵= 24 × 2 = 48(km)，
∴𝐴𝐵= √362 + 482 = 60(km)，
∴它们航行两小时后，相距60km．
▌对点练1-1 如图，在离水面高度为5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子𝐵𝐶的长为13 米，此人
以0.5米/秒的速度收绳，6 秒后船移动到点𝐷的位置．
(1)求𝐶𝐷的长：
(2)求船向岸边移动了多少米？
【答案】(1)10 米
(2)船向岸边移动了(12 −5√3)米
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键．
（1）用绳子𝐵𝐶的长减去收起的绳长即可求解；
（2）先根据勾股定理求出𝐴𝐵, 𝐴𝐷，再根据𝐵𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐷求解即可．
解题贴士
按照“上北下南，左西右东”画出方位示意图，南北方向与东西方向互相垂直，形成直角三角形；提取
两段航行路程作为直角边a、b，利用c = √a2 + b2求出两点直线距离；区分行进路程与直线距离，准确
解读北偏东、北偏西等方位描述.
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【详解】（1）解：∵此人以0.5米/秒的速度收绳，6 秒后船移动到点𝐷的位置，
∴𝐶𝐷= 13 −0.5 × 6 = 10（米），
（2）解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90°，𝐵𝐶= 13米，𝐴𝐶= 5米，由勾股定理得，
∴𝐴𝐵= √132 −52 = 12（米），
∴在Rt △𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶= 5米，𝐶𝐷= 10米，由勾股定理得，
𝐴𝐷= √𝐶𝐷2 −𝐴𝐶2 = √102 −52 = 5√3（米），
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐷= (12 −5√3)米.
答：船向岸边移动了(12 −5√3)米．
▌对点练1-2 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合
军演，如图，我军巡逻舰队在点𝐴处巡逻，突然发现在南偏东50°方向距离15 海里的点𝐵处有可疑目标正在
以16 海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小
时后在点𝐶处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？
【答案】34 海里/小时
【分析】先根据平行线的性质求得∠𝐴𝐵𝐺= 50°，并推得∠𝐴𝐵𝐶= 90°，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，根据题意，得∠𝐷𝐴𝐵= 50°，∠𝐸𝐵𝐶= 40°，𝐴𝐵= 15，
因为𝐷𝐹∥𝐸𝐺，
所以∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐷𝐴𝐵= 50°，
所以∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴𝐵𝐺−∠𝐸𝐵𝐶= 90°，
因为𝐵𝐶=
1
2 × 16 = 8，
故𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 17，
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故我军巡逻舰队的航行速度为
𝐴𝐶
1
2
= 2 × 17 = 34（海里/小时）；
题型
台阶地毯长度问题
▌例1 如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5 米，𝐴𝐶= 5米，𝐴𝐵= 13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所
需防滑材料的面积至少为（ ）
A．65m2
B．85m2
C．90m2
D．150m2
【答案】B
【分析】勾股定理求出𝐵𝐶，平移的性质推出防滑毯的长为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解： 由图可知：∠𝐶= 90°，
∵𝐴𝐶= 5米，𝐴𝐵= 13米，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 12米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度= 𝐵𝐶= 12（米），铅直的防滑毯的长度= 𝐴𝐶= 5（米），
∴至少需防滑毯的长为：𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 17（米），
∵防滑毯宽为5 米
∴至少需防滑毯的面积为：17 × 5 = 85（平方米）．
故选：B．
▌对点练1-1 如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形𝐴𝐵𝐶．已知直角边𝐵𝐶长5m，斜边𝐴𝐵的
长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150 元，楼梯宽为2m．那么购买这种地毯至少
需要多少元？
【答案】5100 元
解题贴士
运用平移思想，地毯总长度=台阶所有竖直高度之和+台阶所有水平宽度之和；若给出台阶斜边长，可借
助勾股定理a2 + b2 = c2求出总高度、总水平长度，再相加得到地毯总长，无需分段计算每一级台阶.
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【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得
𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 12m，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为2m，以及每平方米的
地毯售价是150 元，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐶= 5m，𝐴𝐵= 13m
由勾股定理得，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12(m)，
在楼梯上铺地毯需要的长度为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 12 + 5 = 17(m)，
∵楼梯宽为2m，
∴需要铺地毯的面积为17 × 2 = 34(m2)，
∵每平方米的地毯售价是150 元，
∴购买这种地毯至少需要的费用为34 × 150 = 5100（元）．
▌对点练1-2 某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30
元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【答案】1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即𝐴𝐵与𝐵𝐶的和，在直角△𝐴𝐵𝐶中，根据勾股定理
即可求得𝐴𝐵的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12(m)，
则地毯总长为12 + 5 = 17(m)，
则地毯的总面积为17 × 2 = 34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34 × 30 = 1020（元）．
故答案为：1020．
题型7 判断是否超速问题
▌例1 交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在一条城市街路上
解题贴士
根据道路垂直关系构造直角三角形，用c = √a2 + b2求出车辆实际直线行驶距离；结合已知行驶时间，
利用公式v =
s
t计算行驶速度，将计算速度与道路限速对比，判断车辆是否超速.
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直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距
离为50m，这辆小汽车超速了吗？
【答案】超速了，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得𝐵𝐶=
√𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 40m，再求出小汽车的速度为𝑣= 40 ÷ 2 = 20m/s，然后由20m/s > 19m/s，即可得出结
论．
【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下：
如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 30𝑚，𝐴𝐵= 50𝑚，
根据勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √502 −302 = 40m，
∴小汽车的速度为𝑣= 40 ÷ 2 = 20m/s，
∵20m/s > 19m/s，
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
▌对点练1-1 如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心𝐴到公路的垂直距离为1200
米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公
路𝐵处，距𝐴处2000 米；44 秒后，车辆行驶到公路上的𝐷处，距𝐴处1300 米．
(1)求外来车辆的平均速度；
(2)监控中心𝐴到景观公路只有一条长为1500 米的小路𝐴𝐶．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，
当外来车辆到达𝐷处时，安保人员同时开车从𝐴出发，沿小路𝐴𝐶进行拦截，若安保人员车速为30m/s，能
否成功在𝐶处拦截外来车辆？请通过计算进行说明．
【答案】(1)外来车辆的平均速度为25 m/s
(2)能成功在𝐶处拦截外来车辆，理由如下：
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由题意得𝐴𝐶= 1500 m，
在Rt △𝐴𝐶𝐸中，由勾股定理，得𝐶𝐸= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐸2 = √15002 −12002 = 900(m)，
由（1）可知𝐷𝐸= 500 m，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸+ 𝐶𝐸= 500 + 900 = 1400(m)，
∴外来车辆到达𝐶处所需的时间为1400 ÷ 25 = 56(s)．
∵安保人员的速度为30m/s，
∴安保人员达𝐶处所需的时间为1500 ÷ 30 = 50(s)，
∵50 < 56
∴能成功在𝐶处拦截外来车辆．
【分析】（1）过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，由题意得𝐴𝐸= 1200 m，𝐴𝐵= 2000m，𝐴𝐷= 1300 m，利用勾股
定理在Rt △𝐴𝐵𝐸中，可得𝐵𝐸，在Rt △𝐴𝐷𝐸中，可得𝐷𝐸，从而求得𝐵𝐷，即可得出外来车辆的平均速度；
（2）先利用勾股定理在Rt △𝐴𝐶𝐸中，可得𝐶𝐸，结合（1）可得𝐶𝐷，从而可以算出外来车辆及安保人员达𝐶
处所需的时间，通过比较即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，则∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，𝐴𝐸= 1200 m，
由题意得𝐴𝐵= 2000m，𝐴𝐷= 1300 m，
在Rt △𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理，得𝐵𝐸= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐸2 = √20002 −12002 = 1600(m)，
在Rt △𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理，得𝐷𝐸= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐸2 = √13002 −12002 = 500(m)，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐸−𝐷𝐸= 1600 −500 = 1100(m)，
∴速度为1100 ÷ 44 = 25(m/s)，
答：外来车辆的平均速度为25 m/s；
（2）略．
▌对点练如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直
线𝑙上的点𝐶处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪𝐶处正前方50 m的𝐵处，经过4 s
后，大巴车到达𝐴处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离𝐴𝐶为130 m．
(1)求𝐴𝐵的距离；
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(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1 m/s = 3.6km/h）
【答案】(1)120米
(2)大巴车超速了
【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键．
（1）由勾股定理求出线段𝐴𝐵长度即可得到答案；
（2）先计算出大巴车的速度，将速度化为 km/h，与高速公路限速100km/h比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐵𝐶= 50m，𝐴𝐶= 130m，则由勾股定理可得
𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √1302 −502 = 120 (m)，
∴𝐴𝐵的距离为120 米；
（2）解：大巴车的速度为120 ÷ 4 = 30m/s，
则30m/s = 30 × 3.6km/h = 108km/h，
∵108 km/h > 100 km/h，
∴大巴车超速了．
题型8 选址问题
▌例1 如图，在笔直的铁路上A、B 两点相距25km，C、D 为两村庄，𝐷𝐴= 10km，𝐶𝐵= 15km，𝐷𝐴⊥
𝐴𝐵于A，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，现要在𝐴𝐵上建一个中转站E，使得C、D 两村到E 站的距离相等，求E 应建在距
A 多远处？
【答案】E 应建在距A15km处
【分析】设𝐴𝐸= 𝑥km，则𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= (25 −𝑥)km，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设𝐴𝐸= 𝑥km，则𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= (25 −𝑥)km，
∵𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于A，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，
∴𝐷𝐸2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐸2 = 102 + 𝑥2，𝐶𝐸2 = 𝐵𝐶2 + 𝐵𝐸2 = 152 + (25 −𝑥)2，
∵C、D 两村到E 站的距离相等，即𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
解题贴士
根据题目“两处距离相等”的条件设定未知数x，在线段上确定选址位置；在图中找出两个直角三角形，
分别用含x的代数式表示边长；依据距离相等列出勾股方程 a2 + x2 = b2 + (d −x)2，解方程求出选址位
置.
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∴𝐷𝐸2 = 𝐶𝐸2，
∴102 + 𝑥2 = 152 + (25 −𝑥)2，
解得𝑥= 15，
∴E 应建在距A15km处．
▌对点练1-1 如图，在一条东西走向的街道l 上有两个快递投放点B，C．快递投放点C 的正北方向3km处
有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为5km．
(1)求快递投放点B，C 之间的距离；
(2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l 上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D 到
小区A 与快递投放点B 的距离相等，求自提柜D 与快递投放点B 之间的距离．
【答案】(1)4km
(2)
25
8 km
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 3km，𝐴𝐵= 5km，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √52 −32 = 4km，
∴快递投放点B，C 之间的距离为4km；
（2）解：设𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝑥km，
∴𝐶𝐷= (4 −𝑥)km，
在Rt △𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2，
∴32 + (4 −𝑥)2 = 𝑥2，
则有9 + 16 −8𝑥+ 𝑥2 = 𝑥2，解得𝑥=
25
8 ，
∴自提柜D 与快递投放点B 之间的距离为
25
8 km．
▌对点练1-2【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为𝑎，较小的直角边长都为𝑏，斜边长
都为𝑐，大正方形的面积可以表示为𝑐2，也可以表示为4 ×
1
2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2，由此推导出重要的勾股定理：
如果直角三角形两条直角边长为𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.
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【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，Rt △𝐴𝐷𝐸与Rt △𝐸𝐵𝐶按如图所示位置放置，连接CD，
其中∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶= 90°，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄𝐶，河边原有两个取水点𝐴，𝐵，其中𝐴𝐵= 𝐴𝐶，由于某种原
因，由𝐶到𝐴的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点𝐻（𝐴、𝐻、𝐵在同一条直
线上），并新修一条路CH，且𝐶𝐻⊥𝐴𝐵.测得𝐶𝐻= 2.4千米，𝐻𝐵= 1.8千米，求新路CH 比原路CA 少多少
千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若𝐴𝐵≠𝐴𝐶时，𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐵= 7，设𝐴𝐻= 𝑥，求𝑥的值.
【答案】
探索求证：证明：𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2，
𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐵𝐸
=
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，
∴
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2 =
1
2 𝑎2 + 𝑎𝑏+
1
2 𝑏2，
即𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
问题解决：0.1千米；
延伸扩展：𝑥=
19
7
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用：
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等
列出关系式，化简即可得证；
（2）设𝐶𝐴= 𝑥千米，则𝐴𝐻= (𝑥−0.9)千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt △𝐴𝐶𝐻和Rt △𝐵𝐶𝐻中，由勾股定理得求出𝐶𝐻2 = 𝐶𝐴2 −𝐴𝐻2 = 𝐶𝐵2 −𝐵𝐻2，列出方程求解即可
得到结果．
【详解】解：（1）略
（2）设𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 𝑥千米，则𝐴𝐻= (𝑥−1.8)千米，
在Rt △𝐴𝐶𝐻中，由勾股定理得𝐶𝐴2 = 𝐶𝐻2 + 𝐴𝐻2，
∴𝑥2 = 2.42 + (𝑥−1.8)2，
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解得𝑥= 2.5，
即𝐶𝐴= 2.5千米，
∴𝐶𝐴−𝐶𝐻= 2.5 −2.4 = 0.1（千米），
∴新路𝐶𝐻比原路𝐶𝐴少0.1千米；
（3）设𝐴𝐻= 𝑥，则𝐵𝐻= 7 −𝑥，
在Rt △𝐴𝐶𝐻中，由勾股定理得𝐶𝐻2 = 𝐶𝐴2 −𝐴𝐻2，
在Rt △𝐵𝐶𝐻中，由勾股定理得𝐶𝐻2 = 𝐶𝐵2 −𝐵𝐻2，
∴𝐶𝐴2 −𝐴𝐻2 = 𝐶𝐵2 −𝐵𝐻2，
即52 −𝑥2 = 62 −(7 −𝑥)2，
解得：𝑥=
19
7 ．
题型9 河宽问题
▌例1 为了求出湖两岸𝐴，𝐵两点之间的距离，观测者小林在点𝐶设桩，使△𝐴𝐵𝐶恰好为直角三角形
(∠𝐵= 90°)，如图所示，通过测量得𝐴𝐶长为10m，𝐵𝐶长为8m，求出图中𝐴、𝐵两点之间的距离．
【答案】A、B 两点之间的距离是6m．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（∠𝐵= 90°），从而
确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算．
题目中△𝐴𝐵𝐶是直角三角形且∠𝐵= 90°，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平
方，即𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2．要求𝐴、𝐵两点间的距离即求𝐴𝐵的长度，已知𝐴𝐶= 10m，𝐵𝐶= 8m，需将已知
数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出𝐴𝐵的长度．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形且∠𝐵= 90°，
∴𝐴𝐵和𝐵𝐶为直角边，𝐴𝐶为斜边．
根据勾股定理可得：𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2．
∵𝐴𝐶= 10m，𝐵𝐶= 8m，将其代入上述公式，可得：
𝐴𝐵2 + 82 = 102，
解题贴士
河岸垂线为直角边（河宽，设为a），沿岸水平距离为另一条直角边b，两点斜线距离为斜边c；选用变形
公式 a = √c2 −b2 直接计算河宽；作图明确垂直关系，河宽一定是垂线段长度，不可当成斜边.
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𝐴𝐵2 = 102 −82 = 100 −64 = 36，
由于线段长度为正数，得：
𝐴𝐵= √36 = 6m．
故A、B 两点之间的距离是6m．
▌对点练1-1 如图，某渡船从点B 处沿着与河岸垂直的路线𝐴𝐵横渡，由于受水流的影响，实际沿着𝐵𝐶航
行，上岸地点C 与欲到达地点A 相距70 米，结果发现𝐵𝐶比河宽𝐴𝐵多10 米．
(1)求该河的宽度𝐴𝐵；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5 米，从C 回到A 时，速度为每秒4 米，求航行总时间．
【答案】(1)𝐴𝐵= 240米
(2)航行总时间为67.5 秒
【分析】（1）根据题意可知△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边𝐴𝐵的距离．
（2）根据时间=路程÷速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设𝐴𝐵= 𝑥米，则𝐵𝐶= (𝑥+ 10)米，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，根据勾股定理得：
𝑥2 + 702 = (𝑥+ 10)2，
解得：𝑥= 240，
答：河宽240 米．
（2）解：(240 + 10) ÷ 5 = 50（秒），
70 ÷ 4 = 17.5（秒），
50 + 17.5 = 67.5（秒），
答：航行总时间为67.5 秒．
▌对点练1-2 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利
用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告．
活动课
题
测量某水潭的宽度𝐴𝐵
测量工
具
测角仪、测距仪等
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测量过
程及示
意图
如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B 周围均被围栏所围，因此A、B 处均
无法到达，测量小组在与𝐴𝐵垂直的直线l 上取点C（𝐴𝐶⊥𝐴𝐵于点A），用测
距仪测得𝐴𝐶、𝐵𝐶的长
测量数
据
𝐴𝐶= 8米，𝐵𝐶= 17米
……
……
请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度𝐴𝐵．
【答案】水潭的宽度𝐴𝐵为15米．
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∵𝐴𝐶= 8米，𝐵𝐶= 17米，
∴𝐴𝐵= √𝐵𝐶2 −𝐴𝐶2 = 15米，
∴水潭的宽度𝐴𝐵为15米．
题型10 最短路径问题
▌例1 如图，圆柱的底面周长为6，𝐴𝐶是底面圆的直径，点P 是𝐵𝐶上一点，且𝑃𝐶= 4，一只蚂蚁从A 点出
发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短路程是多少？（请画出示意图）
解题贴士
立体图形表面最短路径遵循“两点之间线段最短”，将立体侧面展开为平面图形；构造直角三角形，两条
直角边对应立体图形的高与底面展开长度，使用c = √a2 + b2计算斜边；长方体存在多种展开方式，需
要算出多个结果后选取最小值.
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【答案】5
【分析】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，可得𝐴𝐶= 3，
𝑃𝐶= 4，在Rt △𝐴𝐶𝑃中，根据勾股定理求出𝐴𝑃的长即可．
【详解】解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6，
∴𝐴𝐶= 3，
∵𝑃𝐶= 4，
∴在Rt △𝐴𝐶𝑃中，𝐴𝑃= √32 + 42 = 5．
故一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短路程是5．
▌例2 如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，𝐴，𝐷为长方体的两个顶点．
(1)求点𝐴到点𝐷之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点𝐴爬到点𝐷，求爬行的最短路程．
【答案】(1)√29
(2)√41
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）如图1，标记顶点𝐵，𝐶，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷，根据勾股定理先算出𝐴𝐶的长，再利用勾股定理计算出𝐴𝐷的
长即可．
（2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面
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与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出𝐴𝐷的长进行比较即可．
【详解】（1）解：如图1，标记顶点𝐵，𝐶，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷．
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √22 + 42 = √20 = 2√5．
在Rt △𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐷=90°，
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = √(2√5)
2 + 32 = √29．
即点𝐴到点𝐷的距离为√29．
（2）将长方体中含有𝐴，𝐷两点的平面展开成平面图．
如图2 所示，𝐴𝐷= √𝐴𝑀2 + 𝑀𝐷2 = √22 + (3 + 4)2 = √53，
如图3 所示，𝐴𝐷= √𝐴𝑁2 + 𝑁𝐷2 = √(2 + 4)2 + 32 = √45，
如图4 所示，𝐴𝐷= √𝐴𝑃2 + 𝑃𝐷2 = √42 + (3 + 2)2 = √41，
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因为√41 < √45 < √53，
所以一只蚂蚁从长方体表面的点𝐴爬到点𝐷，爬行的最短路程为√41．
▌对点练1-1 你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高0.9m、宽
1.2m的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？
【答案】1.5m
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：𝐴𝐶= 0.9m, 𝐵𝐶= 1.2m,∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √0.92 + 1.22 = 1.5m，
即这根木条的长至少1.5m．
▌对点练1-2 如图所示，壁虎在一座油罐的下底边𝐴处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的𝐵处有一只
害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋
路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？(𝜋取3.14，
底面周长取整数）
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【答案】壁虎沿着螺旋线至少要爬行13 米才能捕到害虫
【分析】本题主要考查了几何体的展开图，用到的知识点是圆柱的侧面展开图、两点之间线段最短的运
用，在解答时将实际问题转化为数学问题是解答的关键．右边的图是圆柱侧面展开图，𝐴𝐶是底面周长，
𝐵𝐶是圆柱的高，根据两点之间线段最短，𝐴𝐵是壁虎至少要爬行的米数，根据勾股定理即可求出𝐴𝐵的长
度．
【详解】解：3.14 × 3.83 ≈12（米），
∵𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 122 + 52 = 169
∴𝐴𝐵= 13米．
答：壁虎沿着螺旋线至少要爬行13 米才能捕到害虫．
▌对点练1-3 如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18 分米、4 分米．
(1)如果给台阶表面8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432 平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2 分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为30 分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为x 分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x 分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
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答：每一级台阶的高为2 分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18 分米，宽为（2＋4）×4＝24 分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A 爬行到C 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝√182 + 242 = 30（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为30 分米．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长
和宽即可解答．
▌对点练1-4 综合与实践，如图1，点𝐴代表某工厂大门，水平直线𝑙代表一条笔直的道路，工厂计划在道路
𝑙上建一个储物点𝐵．
(1)如图，若车间在道路的另一侧点𝐶处．
①工作人员每天进入工厂后，先到储物点𝐵处取物品，然后到车间𝐶，请画图说明，储物点𝐵设在道路𝑙的
何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据．
②如图3，在道路𝑙上增加一个储物点𝐷，要求储物点𝐷在储物点𝐵的右侧，两个储物点的间距固定，工作
人员每天进入工厂后，先到储物点𝐵处取物品，然后沿着道路走到储物点𝐷取物品，最后到车间𝐶，请画图
说明，储物点𝐷设在道路𝑙的何处，工作人员所走的路程最短．
(2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点𝐴、点𝐶到水平直线𝑙的距离分别为500 米、300 米，点𝐴、点
𝐶之间的水平距离为700 米，𝐵𝐷的长度为100 米，工作人员所走的最短路程是多少？
【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析
(2)1100 米
【分析】（1）①根据两点之间线段最短，直接连接𝐴𝐶，𝐴𝐶与直线𝑙的交点即为储物点𝐵的位置；
②将点𝐴向右平移𝐵𝐷的长度至点𝐴1，连接𝐴1𝐶，𝐴1𝐶与直线𝑙的交点即为储物点𝐷的位置；
（2）将点𝐴向右平移𝐵𝐷的长度至点𝐴1，作点𝐶关于直线𝑙的对称点𝐶1，连接𝐴1𝐶1，作𝐴1𝐸⊥𝐶𝐶1，得到
𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐴1𝐷+ 𝐴𝐴1 + 𝐶1𝐷≥𝐴𝐴1 + 𝐴1𝐶1，进而得到当𝐴1, 𝐷, 𝐶1三点共线时，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷=
𝐴𝐴1 + 𝐴1𝐶1，即工作人员所走的路程最短，进行求解即可.
【详解】（1）解：①如图，点𝐵1即为所求，理论依据为：两点之间线段最短；
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②如图，点𝐷1即为所求；
（2）解：将点𝐴向右平移𝐵𝐷的长度至点𝐴1，作点𝐶关于直线𝑙的对称点𝐶1，连接𝐴1𝐶1，作𝐴1𝐸⊥𝐶𝐶1，如
图，
则：𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐴1𝐷+ 𝐴𝐴1 + 𝐶1𝐷≥𝐴𝐴1 + 𝐴1𝐶1，
∴当𝐴1,𝐷, 𝐶1三点共线时，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐴1 + 𝐴1𝐶1，即工作人员所走的路程最短，
由题意，𝐴𝐴1 = 𝐵𝐷= 100, 𝐴1𝐸= 700 −100 = 600, 𝐸𝐶1 = 500 + 300 = 800，
∴𝐴1𝐶1 = √𝐴1𝐸2 + 𝐶1𝐸2 = 1000，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷的最小值为100 + 1000 = 1100；
答：工作人员所走的最短路程是1100 米.
▌对点练1-5【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过
上底面的点𝐴和下底面上与点𝐴相对的点𝐶嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点𝐵在点𝐴的正下方．
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿𝐴𝐵剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母）
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A．
B．
C．
D．
(2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为5dm，4dm，3dm（即𝐴𝐵= 5dm，𝐵𝐶= 4dm，
𝐴𝐸= 3dm）的无盖长方体木箱，𝐴𝐵𝐶𝐷为底面．现在箱外的点𝐴处有一只蚂蚁，箱内的点𝐶处有一滴蜂
蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长
度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可）
【答案】(1)A
(2)示意图见解析，3√13dm
【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体
表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题．
（1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点𝐴和下底面上与点𝐴相对的点𝐶嵌有一圈长度
最短的金属丝，即可得出结论；
（2）先将长方体的侧面𝐴𝐵𝐸𝐹和侧面𝐵𝐶𝐺𝐹展开，再作点𝐶关于𝐸𝐺的对称点𝑁，连接𝐴𝑁交𝐸𝐺于点𝑀，则
𝑀𝐶= 𝑀𝑁，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：由题知，过上底面的点𝐴和下底面上与点𝐴相对的点𝐶嵌有一圈长度最短的金属丝，
根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿𝐴𝐵剪开，所得的圆柱侧面展开图是A，
故选：A；
（2）如图，先将长方体的侧面𝐴𝐵𝐸𝐹和侧面𝐵𝐶𝐺𝐹展开，再作点𝐶关于𝐸𝐺的对称点𝑁，连接𝐴𝑁交𝐸𝐺于点
𝑀，则𝑀𝐶= 𝑀𝑁，
所以𝐴𝑀+ 𝑀𝐶= 𝐴𝑀+ 𝑀𝑁，
根据两点之间线段最短可知，当𝐴，𝑀，𝑁三点共线时，𝐴𝑀+ 𝑀𝑁的值最小，即𝐴𝑀+ 𝑀𝐶的值最小，
此时𝐴−𝑀−𝐶就是蚂蚁爬行的路线，线段𝐴𝑁的长即为最短路程，
在Rt △𝐴𝐶𝑁中，∠𝐴𝐶𝑁= 90∘，根据勾股定理，得𝐴𝑁= √𝐴𝐶2 + 𝐶𝑁2 = √(5 + 4)2 + (3 + 3)2 =
3√13(dm)，
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所以最短路程为3√13dm．
题型11 勾股定理的逆定理的实际应用
▌例1 为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形𝐴𝐵𝐶𝐷空地上补种草皮．如图，经测
量∠𝐵= 90°,𝐴𝐵= 6m, 𝐵𝐶= 8m,𝐶𝐷= 24m, 𝐴𝐷= 26m，若补种草皮的单价是20 元/m2，求完成补种共需
要多少钱．
【答案】2880 元
【详解】解：如图，连接𝐴𝐶，
∵ ∠𝐵= 90°, 𝐴𝐵= 6m,𝐵𝐶= 8m，
∴ 𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 = 10(m)，𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=
1
2 × 6 × 8 = 24(m2)，
∵ 𝐶𝐷= 24m，𝐴𝐷= 26m，242 + 102 = 262，
∴ 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2，
∴ △𝐴𝐶𝐷是直角三角形，
∴ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=
1
2 × 10 × 24 = 120(m2)，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 24 + 120 = 144(m2)，
144 × 20 = 2880（元），
解题贴士
设三角形三边为a、b、c，先确定最长边c；分别计算a2 + b2与c2，若a2 + b2 = c2，则该三角形为直角三
角形，对应场景两条线段互相垂直；若不相等，则不存在直角，多用于检测墙角、道路、支架是否垂直.
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答：完成补种共需要2880元．
▌例2 图1 是某品牌手推车，图2 为其简化结构示意图．现测得𝐴𝐵= 8dm，𝐵𝐶= 9dm，𝐶𝐷= 12dm，
𝐴𝐷= 17dm，其中𝐴𝐵与𝐵𝐷之间由一个固定为90°的零件连接（即∠𝐴𝐵𝐷= 90°）
(1)求线段𝐵𝐷的长度；
(2)安全标准规定：需满足𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由．
【答案】(1)线段𝐵𝐷的长度为15dm
(2)解：该车符合安全标准，
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐵𝐷= 90°，𝐴𝐵= 8dm，𝐴𝐷= 17dm，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐵2 = 15(dm)．
（2）解：该车符合安全标准，
理由：∵𝐵𝐶= 9dm，𝐵𝐷= 15dm，𝐶𝐷= 12dm，
∴𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 92 + 122 = 225，
∵𝐵𝐷2 = 152 = 225 = 𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2，
∴𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，
即该车符合安全标准．
▌对点练1-1 如图，东湖景区内有一块四边形空地𝐴𝐵𝐶𝐷，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需
要测量其面积，经测量∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 20m，𝐵𝐶= 15m，𝐶𝐷= 7m，𝐴𝐷= 24m．
(1)请你计算出这块空地的面积；
(2)观赏草坪每平方米的价格是30 元，请你计算购买草坪需要花多少元．
【答案】(1)234 平方米
(2)7020 元
【分析】（1）连接𝐴𝐶，首先利用勾股定理求出𝐴𝐶，然后利用勾股定理的逆定理得到∠𝐴𝐷𝐶= 90°，然后利
用𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶求解；
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（2）用（1）中求出的面积乘以单价即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接𝐴𝐶，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √202 + 152 = 25（米）．
在△𝐴𝐷𝐶中，∵𝐴𝐷2 + 𝐷𝐶2 = 242 + 72 = 625 = 𝐴𝐶2，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°．
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 20 × 15 +
1
2 × 24 × 7 = 234（平方米）．
（2）解：购买草坪需要的总价为234 × 30 = 7020（元）
答：购买草坪需要花7020 元．
▌对点练1-2 如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄𝑀，从村庄𝑀到公路原有两个出口𝐴、𝐵，其中𝐴𝐵=
1.4km，𝑀𝐵= 1.3km，由于暴雨导致𝑀到𝐴的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁
边新修一条小路𝑀𝐶（𝐴，𝐶，𝐵在同一条直线上），测得𝑀𝐶= 1.2km，𝐵𝐶= 0.5km．
(1)从村庄𝑀到公路，请通过计算说明𝑀𝐶是否为距离最近的路；
(2)求新修的路𝑀𝐶比原来的路𝑀𝐴短多少？
【答案】(1)解：∵𝑀𝐵= 1.3km，𝑀𝐶= 1.2km，𝐵𝐶= 0.5km，
∴𝑀𝐵2 = 1.69，𝑀𝐶2 = 1.44，𝐵𝐶2 = 0.25
∵0.25 + 1.44 = 1.69
∴𝐵𝐶2 + 𝑀𝐶2 = 𝑀𝐵2
∴△𝑀𝐵𝐶是直角三角形，
∴𝑀𝐶⊥𝐴𝐵
∴从村庄𝑀到公路，𝑀𝐶是距离最近的路；
(2)0.3km
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出△𝑀𝐵𝐶是直角三角形，得到𝑀𝐶⊥𝐴𝐵，即可说明；
（2）利用勾股定理运算出𝑀𝐴的长，再作比较即可．
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【详解】（1）略
（2）∵𝐴𝐵= 1.4km，𝐵𝐶= 0.5km，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵−𝐵𝐶= 1.4 −0.5 = 0.9(km)，
∵𝑀𝐶⊥𝐴𝐵，
∴△𝐴𝑀𝐶是直角三角形，
∴在Rt △𝐴𝑀𝐶中，𝑀𝐴= √𝑀𝐶2 + 𝐴𝐶2 = √1.22 + 0.92 = 1.5(km)，
∴𝑀𝐴−𝑀𝐶= 1.5 −1.2 = 0.3(km)．
▌对点练1-3 项目化学习：以下是某同学利用数学定理检验他的自行车是否合格的方案：
课题
检验自行车架是否合格
检验方式
说明书，数学定理
测量示意
图
说明：上管𝐴𝐵= 64cm，下管𝐴𝐷=
80cm，∠𝐵𝐷𝐶= 90°，后下叉𝐶𝐷=
55cm，后上叉𝐶𝐵= 73cm．
设计要求：保证𝐴𝐵∥𝐶𝐷．
检验过程
检验步骤
数值
1．计算𝐵𝐷的长度
……
2．确定∠𝐴𝐵𝐷的角度
……
结论
……
请你帮他判断该车架是否符合设计要求，并写出检验过程．
【答案】该车架符合设计要求，检验过程见解析
【分析】利用勾股定理求出𝐵𝐷2 = 2304，再证明𝐴𝐵2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷2，得到∠𝐴𝐵𝐷= 90°，则可得到
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶，进而可得𝐴𝐵∥𝐶𝐷，故该车架符合设计要求．
【详解】解：该车架符合设计要求，检验过程如下：
∵∠𝐵𝐷𝐶= 90°，𝐶𝐷= 55cm，𝐶𝐵= 73cm，
∴𝐵𝐷2 = 𝐵𝐶2 −𝐶𝐷2 = 732 −552 = 2304，
∵𝐴𝐵= 64cm，𝐴𝐷= 80cm，
∵𝐴𝐵2 + 𝐵𝐷2 = 642 + 2304 = 6400，𝐴𝐷2 = 802 = 6400，
∴𝐴𝐵2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷2．
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∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形，且∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴该车架符合设计要求．
基础通关
1．一块三角形沙地三边长分别为6m, 8m, 10m，则这块沙地的面积为（ ）
A．24m2
B．48m2
C．60m2
D．80m2
【答案】A
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可.
【详解】解：∵62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102，
∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为6m和8m，
∴这块沙地的面积为𝑆=
1
2 × 6 × 8 = 24m2.
2．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田
的长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田的宽为𝑥步，则可列方程为（ ）
A．30 + 𝑥= 50 −𝑥
B．302 + (50 −𝑥)2 = 𝑥2
C．302 + 𝑥2 = (50 −𝑥)2
D．𝑥2 + (50 −𝑥)2 = 302
【答案】C
【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股
定理列出方程即可．
【详解】解：设长方形田的宽为𝑥步，宽与对角线的和为50步，
则对角线长为(50 −𝑥)步，
∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为30步，
∴根据勾股定理可得 302 + 𝑥2 = (50 −𝑥)2，C 选项符合题意．
3．如图所示，有一个棱长为2 米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短
路径为（ ）
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A．6 米
B．2√5米
C．2√3米
D．4 米
【答案】B
【分析】先把正方体展开，连接𝐴𝐵，再根据勾股定理求出𝐴𝐵的值即可．
【详解】解：将正方体展开，如图所示：
在直角△𝐴𝐵𝐶中，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 2 + 2 = 4，𝐵𝐶= 2，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 2√5，
∴这只蚂蚁爬行的最短路径为2√5米．
4．如图，有一块直角三角形纸片，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，将斜边𝐴𝐵翻折，使点A 落在直角边
𝐵𝐶延长线上的点D 处，折痕为𝐵𝐸，则𝐶𝐷的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出𝐴𝐵的长，折叠得到𝐵𝐷= 𝐴𝐵，利用𝐶𝐷= 𝐵𝐷−𝐵𝐶
即可得解．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 10，
由翻折的性质得𝐵𝐷= 𝐴𝐵= 10，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐵𝐶= 2．
故选：B．
5．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投
壶，内部底面直径是10cm，内壁高24cm，若箭长36cm，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ）
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A．8cm
B．8.5cm
C．9cm
D．11cm
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾
股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键．
【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为36 −24 = 12cm，
最小长度为36 −√102 + 242 = 36 −26 = 10cm，
故箭在投壶外面部分的长度可能是11cm，
故选：D．
6．如图，超市在医院的南偏东30°的方向，且到医院的距离为600m，公园到医院的距离为800m．若公园
到超市的距离为1000m，则公园在医院的北偏东_________的方向．
【答案】60°/60 度
【分析】由题意得，∠1 = 30°, 𝐵𝐶= 600,𝐴𝐶= 800,𝐴𝐵= 1000，根据勾股定理逆定理得到∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
即可求解∠2的度数．
【详解】解：如图，由题意得，∠1 = 30°,𝐵𝐶= 600, 𝐴𝐶= 800, 𝐴𝐵= 1000，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 1000000,𝐴𝐵2 = 1000000
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∴∠2 = 180° −∠1 −90° = 60°，
故公园在医院的北偏东60°的方向．
7．一个圆柱形饮料罐底面周长为3 cm，高为2 cm．一只蚂蚁从底面圆周上的点𝐴处出发，沿圆柱侧面爬行
一周到点𝐵处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm．
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【答案】√13
【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度．
【详解】解：∵该圆柱形饮料罐底面周长为3 cm，高为2 cm，
∴如下图，其侧面展开图长为AC=3 cm，宽为AB=DC=2 cm，
∴由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为𝐴𝐷= √32 + 22 = √13cm，
∴蚂蚁爬行的最短路径长度为√13 cm．
8．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 3，
𝐵𝐶= 13，𝐶𝐷= 12，且∠𝐵𝐴𝐷= 90°．若连接𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐶的度数为______．
【答案】90°/90 度
【分析】首先根据勾股定理得出𝐵𝐷的长，再利用勾股定理的逆定理得出△𝐵𝐷𝐶是直角三角形即可．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐷= 90°, 𝐴𝐵= 4, 𝐴𝐷= 3,
∴𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 = 5，
∵𝐵𝐶= 13,𝐶𝐷= 12,
∴𝐶𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 122 + 52 = 169 = 132 = 𝐵𝐶2，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形， 且∠𝐵𝐷𝐶= 90°．
9．如图，在长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4．点E 在边𝐶𝐷上，将这张纸片沿𝐴𝐸翻折，使点D 落在
长方形内的点F 处．若直线𝐸𝐹恰好经过点B，则𝐷𝐸的长为_________．
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【答案】2
【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．
通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，且𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 5，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 4，∠𝐷= ∠𝐶= 90°，
设𝐷𝐸= 𝑎，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 5 −𝑎，
由折叠性质得：𝐸𝐹= 𝐷𝐸= 𝑎，𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 4，∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐷= 90°，
∵直线𝐸𝐹恰好经过点B，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 180° −∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐹和△𝐵𝐶𝐸都是直角三角形，
在Rt △𝐴𝐵𝐹中，由勾股定理得：𝐵𝐹= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐹2 = √52 −42 = 3，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐹+ 𝐵𝐹= 𝑎+ 3，
在Rt △𝐵𝐶𝐸中，由勾股定理得：𝐵𝐸2 = 𝐶𝐸2 + 𝐵𝐶2，
∴(𝑎+ 3)2 = (5 −𝑎)2 + 42，
解得：𝑎= 2，
∴𝐷𝐸= 𝑎= 2．
故答案为：2．
10．一艘轮船以5 千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12 千米/时的速度
向正东方向航行，它们离开港口一个小时后相距多少千米？
【答案】
它们离开港口一个小时后相距13 千米
【分析】本题考查勾股定理，根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．
【详解】解：如图，
由已知得，𝑂𝐵= 12 × 1 = 12（千米），𝑂𝐴= 5 × 1 = 5（千米），
在△𝑂𝐴𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵= 90°，
则𝐴𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 13（千米），
答：它们离开港口一个小时后相距13 千米．
11．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架𝐴𝐶= 80cm，𝐵𝐶= 60cm，两轮中心的距离𝐴𝐵=
100cm．
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(1)判断支架𝐴𝐶，𝐵𝐶是否垂直；
(2)求点C 到𝐴𝐵的距离
【答案】(1)
解：𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，
理由：∵𝐴𝐶= 80cm，𝐶𝐵= 60cm，𝐴𝐵= 100cm，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 802 + 602 = 10000，𝐴𝐵2 = 10000，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐶．
(2)48cm
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可；
（2）过C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，利用等面积法进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐶𝐷，
∴80 × 60 = 100 × 𝐶𝐷，解得𝐶𝐷= 48cm，
即点C 到𝐴𝐵的距离为48cm．
12．某小区临街的拐角处有一块四边形空地𝐴𝐵𝐶𝐷（如图），物业准备进行绿化．经测量，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
𝐴𝐵= 7m, 𝐵𝐶= 24m, 𝐶𝐷= 20m,𝐴𝐷= 15m，若绿化的费用为120 元/m2，则绿化这片区域需要多少钱？
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【答案】28080 元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
由勾股定理得𝐴𝐶= 25m，再由勾股定理的逆定理得△𝐴𝐶𝐷是直角三角形．且∠𝐷= 90°，然后由三角形面
积公式即可得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°,𝐴𝐵= 7m, 𝐵𝐶= 24m，
∴𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 72 + 242 = 625．
∵𝐶𝐷= 20m,𝐴𝐷= 15m，
∴𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 152 + 202 = 625 = 𝐴𝐶2．
∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，且∠𝐷= 90°．
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐷+
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=
1
2 × 20 × 15 +
1
2 × 7 × 24 = 234(m2)，
∴234 × 120 = 28080（元）．
答：绿化这片区域需要28080 元．
13．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到
25 m（即𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 25 m），消防车高4 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m（即𝐵𝐸= 19 m）高的
𝐵处救人后，还要从28 m（即𝐷𝐸= 28 m）高的𝐷处救人，这时消防车从𝐴处向着火的楼房靠近的距离𝐴𝐶为
多少米？（延长𝐴𝐶交𝐷𝐸于点𝑂，𝐴𝑂⊥𝐷𝐸，点𝐵在𝐷𝐸上，𝑂𝐸的长即为消防车的高4 m）
【答案】消防车从𝐴处向着火的楼房靠近的距离𝐴𝐶为13 米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
在Rt △𝐴𝐵𝑂中，根据勾股定理得到𝐴𝑂和𝑂𝐶，于是得到结论．
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【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝑂中， ∵ ∠𝐴𝑂𝐵= 90°，𝐴𝐵= 25m，𝑂𝐵= 19 −4 = 15(m)，
∴ 𝐴𝑂= √𝐴𝐵2 −𝑂𝐵2 = √252 −152 = 20(m)，
在Rt △𝐴𝐵𝑂中，∵ ∠𝐶𝑂𝐷= 90°，𝐶𝐷= 25m，𝑂𝐷= 28 −4 = 24(m)，
∴ 𝑂𝐶= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐷2 = √252 −242 = 7(m)，
∴ 𝐴𝐶= 𝑂𝐴−𝑂𝐶= 20 −7 = 13(m)．
答：消防车从𝐴处向着火的楼房靠近的距离𝐴𝐶为13 米．
素养提升
1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直
吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12 ≤𝑎≤13
B．12 ≤𝑎≤15
C．5 ≤𝑎≤12
D．5 ≤𝑎≤13
【答案】A
【分析】吸管垂直放置时长度最短，斜放至底面边缘时长度最长，利用勾股定理求解．
【详解】解：当吸管垂直于底面时，在罐内部分长度最短，此时 𝑎= 12．
当吸管底端接触底面边缘时，在罐内部分长度最长，此时吸管、圆柱高、底面半径构成直角三角形．
由勾股定理得 𝑎= √52 + 122 = 13．
则 𝑎 的取值范围是 12 ≤𝑎≤13．
2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1 个单位长度，A，B，C，D 都在格点上，以点A 为圆心，𝐴𝐵
的长为半径画弧，交𝐶𝐷于点E，则𝐶𝐸的长为（ ）
A．5 −√7
B．4 −√7
C．10 −2√7
D．2√7 −5
【答案】B
【分析】利用网格构建直角三角形，通过勾股定理求出线段的长度．
【详解】解：根据题意可知，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 4，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 3，连接𝐴𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 4，
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∴在RtΔ𝐴𝐷𝐸中，根据勾股定理，𝐴𝐷2 + 𝐷𝐸2 = 𝐴𝐸2，代入数值得
𝐷𝐸= √𝐴𝐸2 −𝐴𝐷2 = √42 −32 = √7，
∵点𝐸在线段𝐶𝐷上，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 4 −√7．
3．如图，在4 × 4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点𝐴，𝐵，𝐶都在格点上，若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶
的边𝐵𝐶上的高，则𝐴𝐷的长为（ ）
A．√35
5
B．
7√5
10
C．7√5
D．
7√5
5
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算𝐵𝐶的长，利用割补法可得三角形𝐴𝐵𝐶的面积，由三角形的面积公式即可得到结
论．
【详解】解：由勾股定理得：𝐵𝐶= √42 + 22 = √20 = 2√5，
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4 × 4 −
1
2 × 3 × 2 −
1
2 × 1 × 4 −
1
2 × 4 × 2 = 16 −3 −2 −4 = 7，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶· 𝐴𝐷=
1
2 × 2√5 ⋅𝐴𝐷= 7，
∴𝐴𝐷=
7√5
5 ．
4．某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道𝐶𝐷长100 米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一
条步行观光路线(折线𝐴𝑃−𝑃𝑄−𝑄𝐵 )，𝐴为起点，𝐵为终点．已知𝐴、𝐵到观景栈道𝐶𝐷的距离𝐴𝐷= 60米、
𝐵𝐶= 20米，要使池边观景路线𝑃𝑄为40 米，则步行观光路线的最短长度为（ ）．
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A．100 米
B．120 米
C．140 米
D．160 米
【答案】C
【分析】将定长线段𝑃𝑄平移，把折线𝐴𝑃+ 𝑃𝑄+ 𝑄𝐵 的最短问题，转化为两点之间线段最短求解．先平移
线段，再作对称点，利用勾股定理计算最短距离．
【详解】解：∵𝑃𝑄= 40 米（定长），
∴要使折线𝐴𝑃−𝑃𝑄−𝑄𝐵 最短，只需使𝐴𝑃+ 𝑄𝐵 最短，
过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 ，交𝐶𝐵的延长线于点𝐸，在𝐴𝐸上取𝐴𝐴′ = 𝑃𝑄= 40，
又𝐶𝐷⊥𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐴𝐷
∴𝐴𝐸∥𝐶𝐷, 𝐴𝐴′ ∥𝑃𝑄, ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝑃= 90°，
∴四边形𝐴𝐴′𝑄𝑃为平行四边形，四边形𝐴𝐸𝐶𝐷为矩形，
则𝐴′𝑄= 𝐴𝑃, 𝐴𝐸= 𝐶𝐷, 𝐶𝐸= 𝐴𝐷，即𝐴𝑃+ 𝑄𝐵= 𝐴′𝑄+ 𝑄𝐵，
作点𝐵关于直线𝐶𝐷的对称点𝐵′，连接𝐴′𝐵′，交𝐶𝐷于点𝑄，
此时𝐴′𝑄+ 𝑄𝐵= 𝐴′𝑄+ 𝑄𝐵′ = 𝐴′𝐵′最短，
有∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵′𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷= 90°，即∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵′𝐶𝐷= 180°，∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐵′𝐶𝐷= 180°，则𝐵′, 𝐶, 𝐵, 𝐸四点
共线，
根据𝐴𝐷= 60米，𝐵𝐶= 20米，𝐶𝐷= 100米，𝑃𝑄= 40米，
∴𝐴′𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐴′ = 𝐶𝐷−𝑃𝑄= 100 −40 = 60米，
𝐵′𝐸= 𝐶𝐸+ 𝐵′𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐶= 60 + 20 = 80米，
根据勾股定理，𝐴′𝐵′ = √602 + 802 = 100米，
所以步行观光路线最短长度= 𝐴′𝐵′ + 𝑃𝑄= 100 + 40 = 140米．
5．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，点A
上有一只蚂蚁，想到点B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的最短路程长为________cm．
【答案】13
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【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解
决本题的关键．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5cm，长为(3 + 1) × 3 = 12cm，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B 最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，𝐴𝐵= √52 + 122 = 13cm，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的最短路程是13cm；
故答案为：13
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点E、F 在边𝐴𝐵上，将边𝐴𝐶沿𝐶𝐸翻折，使点A 落在𝐴𝐵上的点D
处，再将边𝐵𝐶沿𝐶𝐹翻折，使点B 落在𝐶𝐷的延长线上的点𝐵′处．若𝐶𝐸= 8，𝐵′𝐹= 2，则线段𝐵𝐶的长为
______，△𝐴𝐵𝐶的面积为______．
【答案】 2√41
328
5
【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键．
由折叠可得，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐵′𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐵′，再根据∠𝐴𝐶𝐵= 90°，得出∠𝐸𝐶𝐹=
45°，在Rt △𝐵𝐶𝐸中，根据勾股定理可得𝐵𝐶= √𝐵𝐸2 + 𝐶𝐸2 = √41；设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐴𝐵= 𝑥+ 10，根据勾股
定理可得𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2，即𝑥2 + 82 = (𝑥+ 10)2 −164，求得𝑥=
32
5 ，即可得出𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵× 𝐶𝐸=
1
2 ×
82
5 × 8 =
328
5 ．
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【详解】解：由折叠可得，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐵′𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐵′，
又∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐵′ = 90°，
∴∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐹𝐶𝐷=
1
2 × 90° = 45°，
∴∠𝐸𝐶𝐹= 45°，
由折叠可得，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶=
180°
2
= 90°，𝐵𝐹= 𝐵′𝐹= 2，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹= 45°，
∴𝐶𝐸= 𝐸𝐹= 8，
∴𝐵𝐸= 8 + 2 = 10，
∴在Rt △𝐵𝐶𝐸中，𝐵𝐶= √𝐵𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 2√41；
设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐴𝐵= 𝑥+ 10，
∵在Rt △𝐴𝐶𝐸中，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2，
∴𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2，
即𝑥2 + 82 = (𝑥+ 10)2 −164，
解得𝑥=
32
5
∴𝐴𝐵= 𝑥+ 10 =
32
5 + 10 =
82
5
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵× 𝐶𝐸=
1
2 ×
82
5 × 8 =
328
5 ．
故答案为：2√41，
328
5 ．
7．【问题情境】如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的高．
(1)【数学知识】若𝐴𝐷= 1，𝐵𝐷= 2，𝐶𝐷= 4，求证：𝐴𝐵⊥𝐵𝐶；
(2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁𝐵𝐷⊥
𝐴𝐶，斜梁𝐴𝐶= 2.1 m，𝐵𝐷= 1.2 m，横梁𝐵𝐶= 2 m．若横梁𝐵𝐶与竖梁𝐴𝐵不垂直则为不安全房梁，请判
断小华设计的房梁是否安全？并说明理由．
【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的高，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 12 + 22 = 5，𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 22 + 42 = 20，
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∵𝐴𝐷= 1，𝐶𝐷= 4，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 5，则𝐴𝐶2 = 25，
∴𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶．
(2)小华设计的房梁不安全，理由如下：
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴𝐶𝐷= √𝐵𝐶2 −𝐵𝐷2 = √22 −1.22 = 1.6m，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶−𝐶𝐷= 2.1 −1.6 = 0.5m，
∴𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 0.52 + 1.22 = 1.69，
∴𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 1.69 + 22 = 5.69，
∵𝐴𝐶2 = 2.12 = 4.41 ≠5.69，即𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 ≠𝐴𝐶2，
∴𝐵𝐶与𝐴𝐵不垂直，
∴小华设计的房梁不安全．
【分析】（1）先利用勾股定理求得𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 5，𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 20，然后求得𝐴𝐶= 5，则
𝐴𝐶2 = 25；最后根据勾股定理逆定理可得△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，从而证明结论；
（2）由勾股定理可得𝐶𝐷= 1.6m，进而得到𝐴𝐷= 0.5m，再利用勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】（1）略
（2）略
8．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归
一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知𝐵𝐴=
𝐵𝐶，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D 三点在同一直线上），并修建一条观光小
路𝐴𝐷，测得𝐴𝐶= 1.5 km，𝐷𝐶= 0.9 km，𝐴𝐷= 1.2 km．
(1)判断△𝐴𝐶𝐷的形状，并说明理由；
(2)求原路线𝐴𝐵的长．
【答案】(1)解：△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，理由如下：
∵𝐴𝐶= 1.5，𝐷𝐶= 0.9，𝐴𝐷= 1.2，
∴𝐴𝐷2 + 𝐷𝐶2 = 1.22 + 0.92 = 2.25，𝐴𝐶2 = 1.52 = 2.25，
∴𝐴𝐷2 + 𝐷𝐶2 = 𝐴𝐶2，
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∴△𝐴𝐶𝐷为直角三角形．
(2)原路线𝐴𝐵的长为1.25 km
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）设𝐵𝐷= 𝑥 km，则𝐵𝐴= 𝐵𝐶= (𝑥+ 0．9) km，再利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：设𝐵𝐷= 𝑥 km，则𝐵𝐴= 𝐵𝐶= (𝑥+ 0．9) km，
由（1）知△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐷为直角三角形，
∴𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2，
即1.22 + 𝑥2 = (𝑥+ 0.9)2，
解得𝑥= 0.35，
∴𝐴𝐵= 0.35 + 0.9 = 1.25(km)，
∴原路线𝐴𝐵的长为1.25 km．
9．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”
后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作：
①测得水平距离𝐵𝐷的长为5米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐵𝐶的长为13米；
③牵线放风筝的学生手离地面的距离为1.7米．
(1)根据以上操作，求风筝的垂直高度𝐶𝐸；
(2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿𝐶𝐷方向下降7米到点𝑀，那么他应该往回收线多少米？（结果保
留根号）
【答案】(1)13.7米
(2)(13 −5√2)米
【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可．
（1）由题意可得，𝐵𝐷= 5，𝐵𝐶= 13，根据勾股定理求出𝐶𝐷，即可；
（2）由题意可得，𝐶𝑀= 7，求出𝐷𝑀，根据勾股定理求出𝐵𝑀，即可得到他应该往回收线的距离．
【详解】（1）解：在Rt△𝐶𝐷𝐵中，
由勾股定理得，𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶2 −𝐵𝐷2 = 132 −52 = 144，
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∴𝐶𝐷= 12（负值已舍去），
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐸= 12 + 1.7 = 13.7（米），
答：风筝的垂直高度𝐶𝐸为13.7米．
（2）解：由题意得，𝐶𝑀= 7米，
∴𝐷𝑀= 𝐶𝐷−𝐶𝑀= 12 −7 = 5（米），
在Rt △𝑀𝐷𝐵中，
由勾股定理得，𝐵𝑀= √𝐷𝑀2 + 𝐵𝐷2 = √52 + 52 = 5√2（米），
∴𝐵𝐶−𝐵𝑀= 13 −5√2（米），
答：他应该往回收线(13 −5√2)米．
迁移创新
1．综合与实践
【项目主题】
几何模型在最短路径问题中的应用
【项目准备】
求代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值，√𝑥2 + 32可看作直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜
边，√(12 −𝑥)2 + 22是直角边分别是12 −𝑥和2 的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它
们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1 所示），这时𝐵𝐶= 𝑥+ 12 −𝑥= 12，𝐴𝐵= 3，
𝐶𝐷= 2．原问题就变成“点E 在线段𝐵𝐶的何处时，𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的值最小？”
解决方法：如图2，连接𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸′，此时当点E 与点𝐸′重合时，𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的值最小，依据为
_____①_____，将𝐴𝐵延长至点F，使得𝐵𝐹=_____②_____（填线段），连接𝐷𝐹，则𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐹= 3 +
2 = 5，𝐵𝐶= 𝐷𝐹= 12，易求得𝐴𝐷=_____③_____，即𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的最小值为𝐴𝐷的长．
(1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①__________；②__________；③__________．
【项目应用】
(2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A 村庄到河岸的垂直距离为2km，B 村庄到河岸的垂直距离为
3km，且A，B 之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥𝑃𝑄，使得从A 到B 的路程最
短，求出这个最短路程的长．
【答案】(1)①两点之间，线段最短；②𝐶𝐷；③13
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(2)18km
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键．
（1）根据题意填空即可；
（2）连接𝐵𝑄，将𝐵𝑄沿𝑄𝑃的方向平移，使点Q 平移至点P 的位置，点B 的对应点为𝐵′，当点A，P，𝐵′共
线时，𝐴𝑃+ 𝐵′𝑃= 𝐴𝑃+ 𝐵𝑄有最小值，最小值为𝐴𝐵′，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图2，连接𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸′，此时当点E 与点𝐸′重合时，𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的值最小，依据为①
两点之间，线段最短，将𝐴𝐵延长至点F，使得𝐵𝐹=②𝐶𝐷，连接𝐷𝐹，则𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐹= 3 + 2 = 5，
𝐵𝐶= 𝐷𝐹= 12，易求得𝐴𝐷=③√𝐴𝐹2 + 𝐷𝐹2 = 13，即𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的最小值为𝐴𝐷的长．
（2）解：如图，连接𝐵𝑄，将𝐵𝑄沿𝑄𝑃的方向平移，使点Q 平移至点P 的位置，点B 的对应点为𝐵′，连接
𝐵𝐵′，则𝐵𝐵′ = 𝑃𝑄= 5km，𝐵′𝑃= 𝐵𝑄，
当点A，P，𝐵′共线时，𝐴𝑃+ 𝐵′𝑃= 𝐴𝑃+ 𝐵𝑄有最小值，最小值为𝐴𝐵′，
过点A 作𝐴𝐸⊥𝐵𝐵′交其延长线于点E，
∵𝐴到𝐶𝑃的垂直距离为2km，𝐵𝐷= 3km，𝐴𝐸= 12km，
∴𝐵′𝐸= 𝐵𝐸−𝐵𝐵′ = 3 + 5 + 2 −5 = 5(km)，
∴𝐴𝐵′ = √𝐴𝐸2 + 𝐵′𝐸2 = √122 + 52 = 13(km)，
∴从A 到B 的最短路程是𝐴𝐵′ + 𝑃𝑄= 18(km)．
2．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活．
主题 探究最短路径问题与用数学知识设计车位
活动一：如图1，点A、B 是直线l 上方两点，点A 到直线l 的距离为1m，点B 到直线l 的距离为3m，在
直线l 上找一点P，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵最短．
(1)如图2，作点𝐴′与点A 关于直线l 对称，连接𝐴𝐴′交直线l 于点O，连接𝐴′𝐵交直线l 于点P，连接𝐴𝑃，则
点P 即为所求，则𝑂𝐴′ =______m，𝑃𝐴 _____ 𝑃𝐴′（选填> 、<或=）；
(2)如图3，过𝐴′作𝐴′𝐶∥𝑙，过B 作𝐵𝐶⊥𝐴′𝐶于C，若𝐴′𝐶= 3m，则𝐵𝐶=____m，𝑃𝐴+ 𝑃𝐵=_____；
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活动二：某小区有一个矩形𝐴𝐵𝐶𝐷停车场，长𝐴𝐷= 34m，宽𝐴𝐵= 30m，大门𝐸𝐹设在𝐶𝐷处，如图4，小区
内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长
为2m的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车
场的边界及充电桩之间的距离都不小于1m，𝑂1、𝑂2是两个充电桩的中心，𝑂1𝑂2叫做充电桩的中心距．
(3)如图5，若沿𝐴𝐷方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距
为_______m；
(4)调研发现，在停车场四个角落修4 个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为1m，需
在𝐴𝐷边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到𝑂1、𝑂2的距离的和最短，则这个最短距离为
__________m．
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【答案】(1)1，= (2)4，5 (3)11，3 (4)30√2
【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可；
（3）根据题意得：沿𝐴𝐷方向修建一排充电桩，两边需要留1m，充电桩的中心距最小为1 + 1 + 1 = 3m，
再由
34−1−1
3
= 10 ⋯⋯2，即可求解；
（4）作点𝑂2关于𝐴𝐷的对称点G，连接𝑂2𝐻，𝑂2𝐺交𝐴𝐷于点L，连接𝑂1𝐺交𝐴𝐷于点H，过点𝑂1作𝑂1𝐾⊥
𝐺𝑂2，交𝐺𝑂2于点K，则点H 即为总电箱所在的位置，则𝐻𝑂2 = 𝐺𝐻，可得该电箱到𝑂1、𝑂2的距离的和最短
为𝑂1𝐺的长，即可求解．
【详解】（1）解：由作法得：𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴= 1m，𝑃𝐴= 𝑃𝐴′；
（2）解：根据题意得：𝐵𝐶= 3 + 1 = 4m，
在Rt △𝐴′𝐵𝐶中，𝐴′𝐶= 3m，∠𝐶= 90°，
𝐴′𝐵= √𝐵𝐶2 + 𝐴′𝐶2 = √42 + 32 = 5m，
∴𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝑃𝐴′ + 𝑃𝐵= 𝐴′𝐵= 5m；
（3）解：根据题意得：沿𝐴𝐷方向修建一排充电桩，两边需要留1m，
充电桩的中心距最小为1 + 1 + 1 = 3m，
因为
34−1−1
3
= 10 ⋯⋯2，
所以最多可以修建11 个充电桩，
此时此时相邻两个充电桩的中心距为3m；
（4）解：如图，作点𝑂2关于𝐴𝐷的对称点G，连接𝑂2𝐻，𝑂2𝐺交𝐴𝐷于点L，连接𝑂1𝐺交𝐴𝐷于点H，过点𝑂1
作𝑂1𝐾⊥𝐺𝑂2，交𝐺𝑂2于点K，则点H 即为总电箱所在的位置，则𝐻𝑂2 = 𝐺𝐻，
∴𝑂1𝐻+ 𝑂2𝐻= 𝑂1𝐻+ 𝐺𝐻= 𝑂1𝐺，即该电箱到𝑂1、𝑂2的距离的和最短为𝑂1𝐺的长，
根据题意得：𝑂2𝐿= 2m, 𝑂1𝐾= 34 −2 −2 = 30m, 𝐾𝐿= 30 −2 = 28m，
∴𝐾𝐺= 30m，
∴𝑂1𝐺= √𝑂1𝐾2 + 𝐾𝐺2 = 30√2m，
∴该电箱到𝑂1、𝑂2的距离的和最短为30√2m．
