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1.2 一定是直角三角形吗
课标要点
1.掌握勾股定理的逆定理的内容，明确该定理是由边长关系判定三角形形状的核心依据，
与勾股定理（直角三角形推边长关系）互为逆定理。
2.理解勾股数的定义并熟记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质，熟练记忆基础常用勾股
数，可快速用于解题判断。
3.会用判定定理解决基础几何问题与实际应用问题，能结合图形、实际场景（距离、垂直
判定、图形形状判定），运用逆定理解决简单证明、计算、实际应用题。
4.区分勾股定理与勾股定理逆定理的因果关系，清晰辨析两个定理的使用场景。
学习重难点
重点：
1.熟练掌握勾股定理的逆定理内容，能规范运用定理判定一个三角形是否为直角三角形。
2.牢记常见基础勾股数，掌握勾股数的倍数规律，能快速判断一组正整数是否为勾股数。
3.掌握判定直角三角形的标准解题步骤，会通过计算三边平方关系完成三角形形状判定。
难点：
1.准确找准斜边（最长边），区分勾股定理与逆定理，避免逻辑混淆。
2.根据题干条件，精准选择对应定理：已知直角用勾股定理，证直角用逆定理。
3.在含小数、分数边长，或边长含参数、几何图形拼接、实际生活场景的复杂题目中，灵
活运用逆定理判定直角三角形，结合线段计算、垂直证明、图形面积求解等综合解题。
勾股数的精准辨析
4.理解勾股数的核心前提：必须是正整数，小数、分数即使满足平方关系，也不属于勾股
数，这是选择、填空题高频易错难点。
第一章
勾股定理
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知识点
勾股定理的逆定理
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概念：如果一个三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足等式a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角
形，边长c所对的角为直角.
随学随练
1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．4，6，10
C．6，8，15
D．5，12，14
2．下列各组边长组成的三角形，不是
．．直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．6，8，10
C．5，12，13
D．2，3，4
3．木工用三根木条围框架，长度分别为√2、√2、2，这个框架是_____三角形．
4．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= √5，𝐵𝐶= 2，𝐴𝐶= 1，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为______．
知识点
勾股数（重点）
勾股数的概念：能够满足等式a2 + b2 = c2的三个正整数，叫做一组勾股数。
随学随练
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
特别提醒
1）此定理是直角三角形的判定方法，用来证直角；勾股定理是性质，已知直角求边长，二者互为逆定理.
2）必须先确定最长边，短边平方和只能与最长边平方对比.
易错提醒
1.不区分边长长短，随意拿任意两边平方和与第三边比较，导致判断出错。
2.因果倒置：已知三边证直角却套用勾股定理，逻辑书写错误。
教材延伸
拓展判定：①𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2⇒锐角三角形；②𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2⇒钝角三角形，可直接判断三角形类型。
特别提醒
三个数必须同时是正整数，小数、分数、根式组合不叫勾股数；基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17。
易错提醒
1.误将 6，8，10 这类倍数数组当成基础勾股数；或把 0.3，0.4，0.5 算作勾股数；只验证等式成立，忽略
“正整数” 这一必备条件。
教材延伸
勾股数性质：一组勾股数同时乘同一个正整数k，得到的新数组仍然是勾股数。例：3,4,5 同乘 2 得 6,8,10。
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A．12，13，14
B．24，25，26
C．9，30，31
D．9，40，41
2．若3、4、a 为勾股数，则a 的相反数的值为（ ）
A．−5
B．5
C．−5或−√7
D．5 或√7
3．若6，𝑎，10是勾股数，则𝑎的值是________．
4．杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；
④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______．
知识点
网格中利用逆定理判定直角三角形
定义：方格网格中，横向格数m、纵向格数n的线段，线段长度平方为m2 + n2；求出三角形三边平方，用逆
定理判断是否为直角三角形．
随学随练
1．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点𝐴，𝐵，𝐶构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，𝐴，𝐵，𝐶三点均在格点上，则∠𝐵𝐴𝐶的大小
是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形
是（ ）
特别提醒
网格解题优先计算三边平方，不用开方求边长，简化计算步骤.
易错提醒
1.数格子时横、竖格数数错，导致线段平方计算偏差。
2.分不清斜边，把较短线段平方当作c2代入公式。
教材延伸
网格中证明两线段垂直：两条线段作为三角形两边，结合第三条线段构成三角形，满足逆定理即可证垂直。
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A．①
B．②
C．③
D．④
知识点
利用逆定理证明线段互相垂直
概念：在几何图形中，通过计算三角形三边长度，验证𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，证明三角形存在直角，进而推出两
条线段垂直。
随学随练
1．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 17，𝐵𝐶= 8，𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 9，∠𝐷= 90°．则∠𝐴𝐶𝐵（ ）
A．是锐角
B．是直角
C．是钝角
D．不确定大小
2．已知∠𝐵𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 13，𝐶𝐷= 12，连接𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐶的度数为______°．
特别提醒
证明题书写格式完整，必须写出三边平方的计算过程，再下直角结论，不可跳步。
易错提醒
直接写边长相等就判定垂直，缺少平方计算的关键步骤，答题扣分。
教材延伸
常用于四边形、折叠图形、多边形内部垂直证明，是几何综合题基础工具。
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3．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 4，𝐶𝐷= 4，𝐴𝐷= 6，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶．求证：𝐴𝐶⊥𝐶𝐷．
知识点
勾股逆定理实际生活应用
内容：生活中通过测量三段长度，利用逆定理检测墙角、门框、地基是否构成标准直角。
随学随练
1．如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知
快、慢两船每小时分别航行12 海里和5 海里，2 小时后两船分别位于点A，B 处，且相距26 海里，如果
知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿什么方向航行？
2．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷空地改造成校园劳动实践
特别提醒
实际应用题必须先构建几何模型，把文字条件转化为三角形三边长度再计算。
易错提醒
读题遗漏长度单位、看错线段对应三角形边长。
教材延伸
工程测量、行程问题（两人分岔行走）均会用到，是解答大题常考类型。
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基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，𝐴𝐷= 6米，𝐴𝐵= 8米，𝐵𝐶= 24米，
𝐶𝐷= 26米，∠𝐴= 90°．
(1)为方便分区管理，学校计划在𝐵、𝐷两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．
(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．
3．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄𝑀，从村庄𝑀到公路原有两个出口𝐴，𝐵，其中𝐴𝐵= 𝑀𝐴，
𝑀𝐵= 1.5km．由于暴雨导致𝑀到𝐴的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一
条小路𝑀𝐶（𝐴，𝐶，𝐵在同一条直线上），测得𝑀𝐶= 1.2km，𝐵𝐶= 0.9km．
(1)从村庄𝑀到公路，请通过计算说明𝑀𝐶是否为距离最近的路；
(2)求新修的路𝑀𝐶比原来的路𝑀𝐴短多少．
拓展
几何直观素养内涵
借助数形结合思想，将几何图形问题转化为代数运算，通过边长的数量关系判断三角形形状，建立 “以
数判形” 的数学思维。打破仅依靠角度判断直角的局限，构建代数量化几何图形的思维模式，是初中数
形结合思想的重要基础，为后续几何综合题学习铺垫核心能力。
1．依据三角形三边平方关系，直接判定三角形类型（设 𝐜 为最长边）
{
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ⇒直角三角形
𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2 ⇒锐角三角形
𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2 ⇒钝角三角形
2．网格图形运算
网格中横向格数为 m，纵向格数为 n，线段平方公式：l2 = m2 + n2，通过求出格点三角形三边的平方，即
可判定是否为直角三角形，无需开方运算。
3.能将工程测量、行程问题、检测垂直等生活实际场景，抽象为三角形几何模型，利用公式解决实际问
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题。
活学活用
1．如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，取边𝐵𝐶的中点𝐸，连接𝐷𝐸并延长交𝐴𝐵的延长线于点𝐹．
(1)求证：△𝐶𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹；
(2)如图2，连接𝐴𝐸，当𝐴𝐸= 3，𝐷𝐸= 4，𝐴𝐷= 5时，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
2．（1）仅用无刻度的直尺在图1 中Rt △𝐴𝐵𝐶斜边𝐴𝐶上找一点𝑃，使得𝑃到𝐴𝐵，𝐵𝐶的距离相等．
（2）仅用无刻度的直尺在图2 中作Rt △𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐷
拓展
逻辑推理素养内涵
依据数学定义、定理进行严谨的演绎推理，明确因果关系、规范解题步骤、分类讨论全面，做到每一步推
导有理有据。重点培养学生严谨的推理逻辑与规范书写能力，是中考几何证明、解答题重点考查的核心素
养。
1.区分勾股定理与逆定理的互逆逻辑：
勾股定理（由形推数，已知直角求边长）：Rt△⇒𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；勾股定理逆定理（由数推形，已知边
长证直角）：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ⇒Rt△
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2.固定严谨推理流程：先将三边从小到大排序 𝑎< 𝑏< 𝑐，再计算、对比 𝑎2 + 𝑏2 与 𝑐2 的大小关系，
最后得出结论，杜绝逻辑倒置。
3.含参数题型分类推理（以三边 3、4、𝑥 为例）：若𝑥为最长边：32 + 42 = 𝑥2；若4为最长边：32 +
𝑥2 = 42
通过分类讨论，保证推理严谨、答案不重不漏。
活学活用
1．已知𝑎、𝑏、𝑐为直角三角形三边，且𝑐为斜边，ℎ为斜边上的高．
(1)下列说法正确的是_________．
A．𝑎2、𝑏2、𝑐2能组成三角形；B．√𝑎、√𝑏、√𝑐能组成直角三角形三边；
C．𝑎+ 𝑏、𝑐+ ℎ、ℎ能组成直角三角形三边；D．
1
𝑎2、
1
𝑏2、
1
𝑐2能组成直角三角形三边．
(2)请选择一个正确选项进行证明．
2．下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图
．．．．．．．，并将证明
过程补充完整．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏，𝐴𝐵= 𝑐，且𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
求证：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
证明：作∠𝑀𝐶′𝑁= 90°，在𝐶′𝑀上截取𝐶′𝐵′ = 𝑎，𝐶′𝑁上截取𝐶′𝐴′ = 𝑏，连接𝐴′𝐵′．
∴𝐴′𝐵′2 = 𝐵′𝐶′2 + 𝐴′𝐶′2（________）（填推理的依据），
即𝐴′𝐵′2 = 𝑎2 + 𝑏2．
∵________（已知），
∴𝐴′𝐵′ = 𝑐．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′中，
∵𝐵𝐶= 𝑎= 𝐵′𝐶′，𝐴𝐶= 𝑏= 𝐴′𝐶′，________，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′（________）（填推理的依据）．
∴∠𝐶= ∠𝐶′ = 90°，即△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
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题型
判断能否构成直角三角形
▌例1 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4
B．√3，2，√5
C．4，5，√41
D．12，13，14
▌对点练1-1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13
B．7，24，25
C．6，8，10
D．10，15，20
▌对点练1-2．由线段a、b、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．𝑎= 9 𝑏= 40 𝑐= 41
B．𝑎= 5 𝑏= 12 𝑐= 13
C．𝑎= 8 𝑏= 15 𝑐=17
D．𝑎= 9 𝑏= 17 𝑐= 19
题型
勾股数问题
▌例1 勾股数是能构成直角三角形三边长的一组正整数．据此判断，下列是勾股数的是（ ）
A．1，2，3
B．√5，2，4
C．3，3，6
D．5，12，13
▌对点练1-1 手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组
纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（ ）
A．72，242，252 B．7，24，26
C．0.7，2.4，2.5
D．14，48，50
▌对点练1-2 定义：如果一个正整数m 能表示成两个不同的正整数a 和b 的平方和，即𝑚= 𝑎2 + 𝑏2，那么
称m 为广义勾股数．给出下面四个结论：①13不是广义勾股数；②178是广义勾股数；③广义勾股数的
2 倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解题贴士
先将三角形三边长度从小到大排序确定最长边，分别计算两条较短边长的平方之和与最长边的平方，依
据公式a2 + b2 = c2是否成立判定直角三角形，若a2 + b2 > c2为锐角三角形，a2 + b2 < c2则为钝角三角
形，全程仅对比平方数值，不随意组合边长运算.
解题贴士
严格遵循勾股数必须是正整数、满足a2 + b2 = c2两大条件快速筛选，直接排除小数、分数、无理数形式
的数组，利用 3、4、5；5、12、13 等基础勾股数的整数倍数仍为勾股数的规律快速解题.
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题型
网格中直角三角形问题
▌例1 如图，在5 × 5的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格点上，从中任意找出3 点组成三角形，下列
选项中，是直角三角形的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶
B．△𝐵𝐶𝐷
C．△𝐴𝐷𝐶
D．△𝐴𝐵𝐷
▌对点练1-1 如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角
形中，不是直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-2 如图，在6×4 的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E 均在格点
上．则∠ABC﹣∠DCE＝（ ）
A．30°
B．42°
C．45°
D．50°
题型
利用勾股定理的逆定理求线段长
解题贴士
借助网格线段平方公式l2 = m2 + n2（m、n分别为横向、纵向格数）计算三角形三边平方值，全程不开
根号简化计算，选取平方数值最大的边作为假想斜边，验证两较小平方之和是否等于最大平方，以此确
定是否为直角三角形.
解题贴士
先根据已知边长判定三角形为直角三角形，确定直角对应的斜边，再套用勾股公式a2 + b2 = c2变形a =
√c2 −b2计算未知线段长度，题目未指明斜边时分情况讨论最长边，舍去边长负数结果.
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▌例1 一个三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则这个三角形最长边上的高是（ ）cm
A．4cm
B．3cm
C．5cm
D．4.8cm
▌对点练1-1 如图，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐶= 5，P 是线段𝐴𝐶上一点，连接𝑃𝐵，则𝑃𝐵的长不可能
．．．是（ ）
A．3.5
B．2.5
C．2
D．3
▌对点练1-2 一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足|𝑎−6| + √𝑏−8 + (𝑐−10)2 = 0，则这个三角
形最短边上的高为______ ．
▌对点练1-3 如图，点𝐶为直线𝑙上的一个动点，𝐴𝐷⊥𝑙于𝐷点，𝐵𝐸⊥𝑙于𝐸点，𝐴𝐷= 𝐷𝐸= 8，𝐵𝐸= 2，当
𝐶𝐷长为______ 时，△𝐴𝐵𝐶 为直角三角形．
题型
与勾股定理的逆定理有关的角度问题
▌例1 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 17，𝐵𝐶= 8，𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 9，∠𝐷= 90°．则∠𝐴𝐶𝐵=（ ）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
解题贴士
通过边长平方关系证明三角形存在直角，直接锁定 90° 特殊角，结合三角形内角和、互余角度关系，
推导其余所求角的度数，把边长的数量关系转化为角度几何关系.
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▌对点练1-1 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 2，𝐵𝐶= 1，𝐶𝐷= 3，则∠𝐵的度数为
（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．145°
▌对点练1-2 如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB 的度数是
（ ）．
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
▌对点练1-338．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 2，𝐵𝐷= 1，𝐶𝐷= √3，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为
____________．
题型
利用勾股定理的逆定理求面积
▌例1 如图，公园里有一块草坪，已知𝐴𝐵= 3米，𝐵𝐶= 4米，𝐶𝐷= 12米，𝐷𝐴= 13米，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，这块
解题贴士
先用逆定理确定直角三角形的两条互相垂直直角边，以两条直角边作为底和高，套用面积公式S =
1
2 ab
直接计算面积，不规则图形可拆分为多个三角形，分别判定直角后分段算面积再求和.
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草坪的面积是（ ）
A．24平方米
B．36平方米
C．48平方米
D．72平方米
▌对点练1-1 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 9 ，𝐵𝐶= 12 ，𝐶𝐷= 8，𝐴𝐷= 17，则四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为（ ）
A．108
B．114
C．122
D．158
▌对点练1-2 如图，在△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐷= 15，𝐴𝐶= 12，𝐷𝐶= 9，B 是𝐶𝐷延长线上的一点，连接𝐴𝐵．若
𝐴𝐵= 20，则△𝐴𝐵𝐷的面积为____________．
▌对点练1-3 如图△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵= 13，𝐴𝐶= 5，𝐴𝐷= 6，则△𝐴𝐵𝐶的面积是______．
题型7 与勾股定理的逆定理拓展的相关问题
解题贴士
综合折叠、动点、多图形组合等条件，先依托折叠对应边相等、动点距离表达式等条件表示三角形三边，
再使用逆定理建立方程求解参数、证明垂直关系，灵活结合前一问结论当作已知条件逐层推导综合问题
答案.
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▌例1 已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-1 已知：𝑎= 𝑛2 + 1，𝑏= 2𝑛，𝑐= 𝑛2 −1．
(1)当𝑛= 299时，𝑎+ 𝑏的值等于______．（结果用科学记数法表示）
(2)当𝑛= 4时，以a，b，c 的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案）
(3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n 取大于1 的
整数时，a，b，c 为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．
▌对点练1-2 阅读下列内容：设𝑎，𝑏，𝑐是一个三角形的三条边的长，且𝑎最大，我们可以利用𝑎，𝑏，𝑐之
间的关系来判断这个三角形的形状：①若𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2，则该三角形是直角三角形；②若𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐2，
则该三角形是钝角三角形；③若𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长
分别是4，5，6，则最长边是6，62 = 36 < 42 + 52，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，𝑥，且这个三角形是直角三角形，则𝑥的值为__________；
（3）带一个三角形的三边长𝑎= √𝑥2 + 3𝑧2，𝑏= √𝑥−𝑦2，𝑐= √2𝑦−
9
2，其中𝑎是最长边长，则该三角形
是__________三角形．
▌对点练1-3 若正整数a，b，c 满足方程𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，则称这一组正整数(𝑎, 𝑏, 𝑐)为“商高数”．下面列举5
组“商高数”：(3,4,5)，(5,12,13)，(6,8,10)，(7,24,25)，(12,16,20)，注意这5 组“商高数”的结构有如下规
律：
{
4 = 2 × 2 × 1,
3 = 22 −12,
5 = 22 + 12;
{
12 = 2 × 3 × 2,
5 = 32 −22,
13 = 32 + 22;
{
6 = 2 × 3 × 1,
8 = 32 −12,
10 = 32 + 12;
{
24 = 2 × 4 × 3,
7 = 42 −32,
25 = 42 + 32;
{
16 = 2 × 4 × 2,
12 = 42 −22,
20 = 42 + 22．
根据以上规律，回答以下问题：
(1)写出各数都大于30 的两组“商高数”；
(2)用两个正整数𝑚, 𝑛(𝑚> 𝑛)表示一组“商高数”，并证明你的结论．
基础通关
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1．下列四组数据中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13
B．0.3，0.4，0.5
C．5，6，7
D．1，√2，√3
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5
B．1，2，√6
C．6，7，8
D．7，12，13
3．在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 −𝐴𝐶2 = 0，则下列结论正确的是（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵= 90°
C．∠𝐶= 90°
D．∠𝐴= 60°
4．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022 倍，得到的新三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．形状不能确定
5．已知△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 = 𝑏2 −𝑐2，则△𝐴𝐵𝐶的形状为________．
6．勾股定理𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2本身就是一个关于𝑎，𝑏，𝑐的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正
整数解(𝑎, 𝑏, 𝑐)通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学
习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
𝑎
6
8
10
12
14
…
𝑏
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
则当𝑎= 18时，𝑏𝑐的值为_____．
7．若7，24，x 是一组勾股数，则x 的值为________．
8．如图，点E 在边长为13 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内，𝐴𝐸= 5，𝐵𝐸= 12，求出图中阴影部分的面积是______．
9．如图，在3 × 3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1 + ∠2 =_____．
10．如图，按如下步骤画图：
第一次操作：以面积为1 的正方形的一条边为斜边画一个直角三角形，再分别以这个直角三角形的两条直
角边为边长画两个正方形；
第二次操作：分别以这两个正方形的一条边为斜边画直角三角形，再分别以所画直角三角形的两条直角边
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为边长画四个正方形；
…
重复以上操作，则完成第10 次操作后图中所有
．．正方形的面积和是__________．
11．如图，在三角形支架中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐴𝐵= 2m, 𝐴𝐶= 1.5m,𝐷𝐶= 0.9m
(1)求𝐵𝐷的长；
(2)判断支架外框△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
12．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4√2，𝐶𝐷= 2√17，𝐷𝐴= 2．
(1)求𝐴𝐶长度
(2)求∠𝐷𝐴𝐵的度数；
13．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝐴= 90°，𝐴𝐶= 24，𝐴𝐵= 26，点𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐷𝐶，𝐷𝐵，
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且𝐶𝐷= 8，𝐵𝐷= 6．
(1)求𝐵𝐶的长；
(2)求四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积．
14．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边𝑎，𝑏，𝑐分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若
是，请指出哪一个角是直角，并说明理由．
(1)𝑎= 9，𝑏= 41，𝑐= 40．
(2)𝑎= 8𝑘，𝑏= 15𝑘，𝑐= 17𝑘(𝑘> 0)．
15．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n 表示大于1 的整
数，则2𝑛，𝑛2 −1，𝑛2 + 1为勾股数．例如：当𝑛= 2时，2𝑛= 4，𝑛2 −1 = 3，𝑛2 + 1 = 5．
∵32 + 42 = 52，
∴数据3，4，5 是勾股数．
对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：
∵𝑛> 1，
∴𝑛2 + 1 −2𝑛= (𝑛−1)2 > 0，
∴𝑛2 + 1① 2𝑛．（填“>”或“<”）
∵𝑛2 + 1 −(𝑛2 −1) = 2 > 0，
∴𝑛2 + 1 > 𝑛2 −1．
∵(𝑛2 −1)2 + (2𝑛)2 =② =③ ，(𝑛2 + 1)2 =④ ，
∴(𝑛2 −1)2 + (2𝑛)2 = (𝑛2 + 1)2，
∴2𝑛, 𝑛2 −1, 𝑛2 + 1为勾股数．
(1)请补全横线上所缺的内容．
(2)若数据8，a，b 为勾股数，且𝑎< 𝑏，求a，b 的值．
素养提升
1．如图，某海警舰艇A 在海岛O 的北偏西40°，6nmile处，遇险渔船B 与海警舰艇A 相距10nmile，渔船
B 与海岛O 相距8nmile，则渔船B 在海岛O 的（ ）
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A．北偏东40°
B．北偏东50°
C．东偏北60°
D．东偏北70°
2．下列命题：①若a、b、c 为一组勾股数，则4a，4b，4c 仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3
和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个
等腰直角三角形的三边是a、b、c（𝑎> 𝑏= 𝑐），那么𝑎：𝑏：𝑐= √2：1：1．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
3．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25 的小木棒摆成两个直角三角形，
下列摆法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与
繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1 个图形是正方形，第2 个图形是以正方形的一边为斜
边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方
形，重复上述步骤得到第3 个图形，……，则第2026 个图形中正方形的个数为（ ）
A．2027
B．22025 + 1
C．22026 −1
D．22026 + 1
5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐶边上，𝐵𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝑀．若点𝑀是𝐴𝐵边的中点，𝐴𝐶= 16，
𝐵𝐶= 12，𝐴𝐵= 20，则四边形𝐵𝐶𝐷𝐸的面积等于________．
6．如图，三角形纸片𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 4√5cm，𝐴𝐶= 4cm，𝐵𝐶= 8cm，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点B 与点A 重合，
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折痕为𝐷𝐸．则𝐶𝐷的长为____．
7．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵，𝐶𝐷向外作Rt △𝐴𝐵𝐸，Rt △𝐶𝐷𝐹，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐶𝐹= 90°，以𝐴𝐸，𝐸𝐵，
𝐶𝐹，𝐷𝐹为边向外作正方形，面积分别为6，2，𝑆，11，则𝑆的值为_______．
8．图1是远光超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架𝐴𝐶= 8 dm，𝐴𝐵= 6 dm，两轮中心的距
离𝐵𝐶= 10 dm．
(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘𝐷与点𝐴的距离𝐴𝐷= 13 dm，𝐴𝐸= 5 dm，且𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴𝐸和𝐵𝐶都与地面平
行，求购物车上篮子的左边缘𝐷到𝐵𝐶的距离．
9．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了
演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础．
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(1)【初步感知】勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大
正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为𝑎, 𝑏(𝑎< 𝑏)，斜边长为
c．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
(2)【问题解决】如图2，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐵= 13，𝐵𝐶= 12，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 3，求阴影部分的面积；
(3)【拓展延伸】如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便
村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路𝐶𝐻，使𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，
现测得𝐶𝐴= 1.3千米，𝐴𝐵= 1.4千米，𝐵𝐶= 1.5千米，求新修路𝐶𝐻的长为________千米．（只填空）
迁移创新
1．如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，分别以线段𝐴𝐵，𝐵𝐷，𝐶𝐷，𝐴𝐶边向外作正方形，正
方形的面积分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，连接𝐴𝐶，利用勾股定理可以得到：𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3 + 𝑆4．根据材料提示
完成下列问题：
(1)如图2，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高，分别以线段𝐴𝐵，𝐵𝐷，𝐶𝐷，𝐴𝐶为边向外作正方形，正方形的面积
分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，请写出𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4的等量关系___________；
(2)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐴𝐶= 2√3，点𝐷是𝐵𝐶上一点，且𝐵𝐶= 4𝐵𝐷，若𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，求证：△
𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
(3)如图4，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以线段𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶为边向外作正方形，正方形的面积分别17，24，49，试
求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
2．定义：若a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，且𝑎2 + 𝑏2 = 2𝑐2，则称△𝐴𝐵𝐶为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
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C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 120°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，P 为𝐴𝐶边上一点，将△𝐴𝐵𝑃沿直线𝐵𝑃进行折叠，点A
落在点D 处，连接𝐶𝐷，𝐴𝐷．若△𝐴𝐵𝐷为“方倍三角形”，且𝐴𝑃= √2，求△𝑃𝐷𝐶的面积．
3．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值．
分析：√𝑥2 + 32和√(12 −𝑥)2 + 22是勾股定理的形式，√𝑥2 + 32是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜
边，√(12 −𝑥)2 + 22是直角边分别是12 −𝑥和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△𝐴𝐵𝐶和
△𝐷𝐸𝐹，并使直角边𝐵𝐶和𝐸𝐹在同一直线上（图1），向右平移直角△𝐴𝐵𝐶使点B 和E 重合（图2），这时
𝐶𝐹= 𝑥+ 12 −𝑥= 12，𝐴𝐶= 3，𝐷𝐹= 2，问题就变成“点B 在线段𝐶𝐹的何处时，𝐴𝐵+ 𝐷𝐵最短？”根据两
点间线段最短，得到线段𝐴𝐷就是它们的最小值．
【模型应用】
(1)代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式√𝑥2 + 16 + √(8 −𝑥)2 + 4(0 < 𝑥< 8) 的最小值；
【模型拓展】
(3)根据以上学习，解决问题：已知正数x 满足√52 −𝑥2 + √122 −𝑥2 = 13 ，求x 的值．
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