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1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 1.2 定义与命题+1.3 证明 课标要点 1. 理解定义、命题、真命题、假命题的含义，能准确区分基本数学概念。 2. 掌握命题结构，能正确找出命题的题设与结论，并规范改写命题形式。 3. 了解公理、定理与证明的概念，知晓几何推理证明的基本依据。 4. 学会判断命题真假，能够通过举反例的方法证明假命题不成立。 5. 初步掌握几何证明的规范步骤，培养严谨的逻辑推理数学思维。 学习重难点 重点： 1. 掌握命题的组成，区分题设与结论。 2. 能够准确判断命题的真假性。 3. 了解几何证明的基本规范步骤。 难点： 1. 准确改写命题的标准句式。 2. 灵活举反例否定假命题。 3. 建立严谨几何逻辑推理思维。 第一章 认识三角形 2 / 65 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 3 / 65 学科网（北京）股份有限公司 即学即练 ．．．． 1．（25-26 八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（ ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B 选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 2．（25-26 八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果1 2 90 += ，那么1 2 ”，下面能说明它是假命 题的反例是（ ） A． 1 50 = ， 2 40 = B． 1 50 = ， 2 50 = C．1 2 45 = = ° D．1 40 = ， 2 40 = 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即 可． 【详解】解：∵原命题的条件是1 2 90 += ，结论是1 2 ∴反例要满足1 2 90 += 且 1 2 = 对于选项C，1 2 45 = = °， 1 2 45 45 90 += + = ，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A 满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D 不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 知识点二 证明 特别提醒 区分定义与命题：定义是对名称含义的规范描述，一定是真命题。命题含题设和结论，可改写成 “如 果… 那么…”，分真假。判断假命题只需举出一个反例，真命题需推理证明。注意语句不含判断的不是 命题，疑问句、作图指令均不属于命题。做题先拆分条件结论，避免混淆概念，分清公理、定理与普通 命题。 4 / 65 学科网（北京）股份有限公司 证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得 结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中 写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画 成虚线。 即学即练 ．．．． 3．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段检测）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形 的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于180．请阅读小颖的操作和说理过程，并 完成相应任务： 如图1，ABC 中的三个内角分别为1 2 3 ， ， ．将 2 撕下，按图2 的方式拼摆，使 2 与1 的顶点重合， 2 的一边与AB 重合． 理由：由操作可知 2 B =， 所以AD ________ （依据：________）． 所以， DAC +________ 180 = （依据：________）． 即1 +________+ ________ 180 = ． 所以，三角形的内角和等于180 【答案】BC ；内错角相等，两直线平行； 3 ；两直线平行，同旁内角互补； 2 ； 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行 得到AD BC ，再由两直线平行，同旁内角互补得到 3 180 DAC += ，据此可证明1 2 3 180 ++= ． 特别提醒 几何证明先拆分命题的条件与结论，明确已知和待证内容。每一步推理必须写明依据，如定义、公理、 已有定理。留意图形隐含等量关系，包含对顶角、公共线段、等角的补余角等。分清真假命题，假命题 可举反例推翻，真命题需完整推导。书写条理清晰，不省略关键推理，遇到动点、分类题型检验取值范 围，培养规范严谨的逻辑思维。 5 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【详解】证明；由操作可知 2 B =， 所以AD BC （依据：内错角相等，两直线平行）． 所以， 3 180 DAC += （依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即1 2 3 180 ++= ． 4．（24-25 八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上， , BE CD 相交于点O． (1)若 50 70 25 A BOD C = = = , , ，求 B 的度数； (2)试猜想 BOC 与 A B C + + 之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)35 (2) 解：猜想 BOC A B C = ++ ，理由如下： BDO A C = + ， BOC BDO B = +， BOC A B C = ++ ． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出 BDO ，根据三角形内角和定理求出 B 的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和是解题的关键． 【详解】（1）解： 50 A = ， 25 C = ， 75 BDO A C = + = ， 180 180 75 70 35 B BDO BOD = − − = − − = ； （2）略 6 / 65 学科网（北京）股份有限公司 题型01 判断是否是命题 典｜例｜精｜析 1．下列说法错误的是（ ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定 理一定是命题，故A 选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B 选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C 选项说法 错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D 选项说法正确． 变｜式｜巩｜固 2．下列是命题的是（ ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a 的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A 选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B 选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C 选项正确； D．“若a2＝4，求a 的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D 选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组 解题贴士 判断命题先看语句是否作出明确判断，陈述句才可能是命题。疑问句、感叹句、作图、祈使句都不是命 题。不含判定语意、仅描述名称的定义类语句属于命题，可拆分为条件与结论，无法判断对错的语句也 不属于命题。 7 / 65 学科网（北京）股份有限公司 成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题 的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．判断下列句子是否是命题： （1）0 是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命 题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0 是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 4．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙 宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特 征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：①6666 是“回文 数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意六位数的“回文数” 是11的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟 练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：①根据定义6666 正读倒读都一样，故6666 是“回文数”；①是真命题； ②两位数的“回文数”为：11，22，33，44，55，66 ，77 ，88，99，合计9个；②是真命题； ③三位数的“回文数”中，百位和个位是1的为：101，111，121，131，141，151，161，171，181， 191，合计10个，同理百位和个位是2 的有10个，依次类推，则三位数的“回文数”合计10 9 90 = 个；③是 真命题； ④设任意六位数m 的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为a ，b ，c ，d ， 8 / 65 学科网（北京）股份有限公司 e ，f ，则 100000 10000 1000 100 10 p a b c d e f = + + + + + ， 根据定义，a f = ，b e = ，c d = ， ∴ ( ) 100001 10010 110 11 9091 11 910 11 10 11 9091 910 10 p a b c a b c a b c = + + = + + = + + ， ∴p 是11的倍数；④是真命题； 故答案为：①②③④． 题型02 写出命题的题设与结论 典｜例｜精｜析 5．命题“如果 2 0 x ，那么 0 x ”的条件是（ ） A． 2 0 x B． 0 x C． 2 0 x D． 0 x 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P 是条件，Q 是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果 2 0 x ，那么 0 x ”， ∴ 条件部分是 2 0 x ， 故选A． 变｜式｜巩｜固 6．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改 写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 7．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 解题贴士 拆分命题先把句子改成 “如果… 那么…”，如果后为题设，那么后为结论。简化语句时不丢失关键条 件，分清对象与限定要求。部分命题语序颠倒，需重新整理句式，不可随意删减条件，保证逻辑完整， 准确区分已知条件和要推出的结果。 9 / 65 学科网（北京）股份有限公司 8．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于180，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5 的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果a b = ，b c = ,那么a c = ． 【答案】(1)条件：两个角的和等于180；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：a b = 且b c = ；结论：a c = ． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结 论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于180；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：a b = 且b c = ；结论：a c = ． 题型03 判断真假命题 典｜例｜精｜析 9．已知命题“如果 2 9 a = ，那么 3 a = ”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】是求出满足 2 9 a = 的所有a 的值，判断结论是否一定成立，即可判断命题的真假． 【详解】解：根据平方根的定义，若 2 9 a = ，则 3 a = 或 3 a = −． 因此当条件 2 9 a = 成立时，结论 3 a = 不一定成立， 所以该命题是假命题． 变｜式｜巩｜固 10．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 10 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 假 【分析】根据平行公理，同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题未对该点的 位置进行限制，据此判断命题真假即可． 【详解】解：平行公理为，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 若原命题中的点在已知直线上，则不存在过该点且与已知直线平行的直线，因此原命题不成立，是假命 题． 11．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)两个角的和等于90时，这两个角互为余角； (2)如果x y ，那么 2 2 x y ． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，举反例见解析 【分析】（1）根据互余的定义判断即可； （2）举反例 0, 1 x y = = −，即可说理． 【详解】（1）解：两个角的和等于90时，这两个角互为余角，是真命题； （2）解：如果x y ，那么 2 2 x y ，是假命题， 反例：若 0, 1 x y = = −，满足x y ， 但 ( ) 2 2 2 0, 1 1 x y = = − = ，此时 2 2 x y ，不满足 2 2 x y ． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4 的倍数． (2)末位数字是5 的整数能被5 整除． (3)两负数之积为正数． 【答案】(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4 的倍数．条件是一个数是偶数，结论是这个数是4 的倍 数．是假命题． (2)如果一个整数的末位数字是5，那么这个数能被5整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论是这个数 能被5 整除，结论是这个数能被5 整除．是真命题． (3)如果两个数是负数，那么它们的积是正数．条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【分析】（1）（2）（3）分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面，然 后判断真假即可． 【详解】（1）解：如果一个数是偶数，那么这个数是4 的倍数． 条件是一个数是偶数，结论是这个数是4 的倍数．是假命题． （2）解：如果一个整数的末位数字是5，那么这个数能被5整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论 是这个数能被5整除． 11 / 65 学科网（北京）股份有限公司 条件是一个数是末位数字为5的整数，结论是这个数能被5整除．是真命题． （3）解：如果两个数是负数，那么它们的积是正数． 条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，真命题与假命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知 事项，结论是由已知事项推出的事项，一命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是 题设，“那么”后面解的部分是结论． 题型04 举反例 典｜例｜精｜析 13．对于命题“如果1 2 180 += ，那么1 2 ”，能说明它是假命题的反例是（ ） A．1 100 = ， 2 80 = B．1 2 90 = = C．1 100 = ， 2 100 = D．1 80 = ， 2 80 = 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件1 2 180 += ，但不满足原命题的结论 1 2 ，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵1 100 = ， 2 80 = ， ∴1 2 180 += ，且1 2 ，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵1 2 90 = = ， ∴1 2 180 += ，且 1 2 = ，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵1 100 = ， 2 100 = ， ∴1 2 200 += ，不满足1 2 180 += ，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵1 80 = ， 2 80 = ∴1 2 160 += ，不满足1 2 180 += ，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 变｜式｜巩｜固 14．判断命题“如果 1 n ，那么 2 3 0 n − ”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ） A．2 B．0 C．1 − D．3 − 【答案】D 解题贴士 举反例只需找到一个符合题设、却不满足结论的实例。例子数据简单直观，贴合命题范围，不额外添加 限制条件。反例要清晰说明为何推翻命题，表述简洁准确，不能违背已知定义，避免复杂数值，保证能 直接否定原命题的正确性。 12 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【分析】举反例判断假命题，反例需满足命题的条件 1 n ，且不满足命题的结论 2 3 0 n − ，据此逐一判断 选项即可； 【详解】解：反例需满足命题条件，不满足命题结论， 选项A 中 2 n = ，不满足条件 1 n ，不符合要求； 选项B 中 0 n = ，满足 1 n ，且 2 2 3 0 3 3 0 n − = − = − ，满足结论，不符合要求； 选项C 中 1 n = −，满足 1 n ，且 ( ) 2 2 3 1 3 2 0 n − = − − = − ，满足结论，不符合要求； 选项D 中 3 n = −，满足 3 1 n = −，且 ( ) 2 2 3 3 3 6 0 n − = − − = ，不满足结论 2 3 0 n − ，符合反例要求， ∴反例中的n 可以为3 −． 15．能说明命题“若 2 2 4 a b ，则 2 a b ”是假命题的一组实数a ，b 的值为 3 a = −，b = ________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】判断一个命题为假命题可通过举反例求解，已知 3 a = −，只需找到满足 2 2 4 a b 且不满足 2 a b 的 b 即可． 【详解】解：当 3 a = −， 1 b = 时， 2 2 ( 3) 9 a = − = ， 2 2 4 4 1 4 b = = ，满足 2 2 4 a b ， 又 3 a = −，2 2 b = ，可得3 2 −，不满足 2 a b ， 3 a = −， 1 b = 可说明原命题是假命题． 16．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果 0 x ，那么 2x x ． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【答案】(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： 0.5 x = (4)真命题 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0 的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为 A B =），则它们的补角分别为180 A −和180 B −，显然相等． （3）当0 1 x 时， 2x x （4）奇数可表示为2 1 k + （k 为整数），两个奇数相加为(2 1) (2 1) 2( 1) k m k m + + + = + + ，是2 的倍数，故为 偶数． 【详解】（1）解：假命题 反例：0 的绝对值等于它本身，但0 不是正数． 13 / 65 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取 0.5 x = ，则 2 0.25 0.5 x x = = ． （4）解：真命题． 题型05 定理与证明 典｜例｜精｜析 17．下列所学过的真命题中，是公理的是（ ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理， 核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知 识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证 明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 18．下列语句中，属于定理的是（ ） A．在直线AB 上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线AB D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线AB 上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； 14 / 65 学科网（北京）股份有限公司 B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线AB ，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 19．下列说法错误的是（ ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据， 那么这样得到的真命题就是定理 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与定理的定义与意义，属于基础性知识，比较 简单． 根据命题与定理的定义与意义分别判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，但定理一定是命题，选项说法正确，不符合题意； B、定理不可能是假命题，选项说法正确，不符合题意； C、真命题不一定是定理，故原命题错误，符合题意； D、从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实得到的真命题就是定理，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 20．下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为 正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题 意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判 断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题 15 / 65 学科网（北京）股份有限公司 意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型06 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典｜例｜精｜析 21．如图，① 1 2 = ，② C D = ，③ A F =，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结 论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知 1 2 = ， C D = ，求证： A F =． 证明：∵ 1 2, 2 AGC = = ， ∴1 AGC = ， ∴DB EC ， ∴ C ABD = ， ∵ D C = ， ∴ D ABD = ， ∴DF AC ∥ ， 16 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴ A F =； 已知 1 2 = ， A F =，求证： C D = ． 证明：∵ 1 2, 2 AGC = = ， ∴1 AGC = ， ∴DB EC ， ∴ C ABD = ， ∵ A F =， ∴DF AC ∥ ， ∴ D ABD = ， ∴ D C = ； 已知 C D = ， A F =，求证： 1 2 = ． 证明：∵ A F =， ∴DF AC ∥ ， ∴ D ABD = ， ∵ D C = ， ∴ C ABD = ， ∴DB EC ， ∴1 AGC = ， ∵ 2 AGC = ， ∴ 1 2 = ．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从① 1 2 = ，② C D = ，③ A F =请从三个条件中任选两个作为条件，另一个 作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3 个； （2）略 变｜式｜巩｜固 22．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平 行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 17 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)已知：如图，EF 分别交直线AB CD ， 于G H GI ，， 平分 AGH ，HJ 平分 DHE ，___________．求 证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1) IG JH ∥ ，AB CD (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，EF 分别交AB ，CD于G ，H ，GI 平分 AGH ，JH 平分 DHE ， IG JH ∥ ．求证：AB CD ． （2）证明： GI 平分 AGH 2 AGH IGH = HJ 平分 DHE ， 2 DHE JHG = IG JH ∥ ∵ ， IGH JHG = ， AGH DHE = AB CD ∥ ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 23．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2) 已知：如图，a b c ，，是同一平面内的三条直线，且a c b c ⊥ ⊥ ， ． 求证：a b ． 18 / 65 学科网（北京）股份有限公司 证明： a c b c ⊥ ⊥ ， ． 1 90 2 90 = = ， 1 2 =． 又 1 和 2 是同位角， ∴a b ∥． 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那 么这两条直线互相平行． （2）略 24．命题：直角三角形的两锐角互余． (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明 过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2) 解：该命题是真命题 已知：如图，在ABC 中， 90 B = 求证： 90 A C + = 证明： 180 A B C ++ = 180 A C B + = − 90 B = 180 90 90 A C + = − = ． 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： 19 / 65 学科网（北京）股份有限公司 （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）略 题型07 已知证明过程填写理论依据 典｜例｜精｜析 25．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图， b a ⊥ ， 1 90 = ． c a ⊥ ， 2 90 = ， 1 2 =， . b c ∥ 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ） A．在同一平面内，若b a ⊥ ，且c a ⊥，则b c ∥ B．在同一平面内，若b c ∥，且b a ⊥ ，则c a ⊥ C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是b a ⊥ ，且c a ⊥，则b c ∥， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 变｜式｜巩｜固 26．如图，E 是AB ，CD 外一点， D B E =+．求证：AB CD ∥ ． 证明： D B E =+ _________ 20 / 65 学科网（北京）股份有限公司 BFD B E =+_________， D BFD = （等量代换）． AB CD ∥ _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平 行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理 是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】 D B E =+ （已知）， BFD B E =+（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， D BFD = （等量代换）， ∴AB CD ∥ （内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 27．填写证明依据：如图，已知 1 2 = ， C D = ．求证： A F =． 证明：∵ 1 2 = （已知），1 3 = （__________）， ∴ 2 3 = （__________）． ∴BD CE ∥ （__________）． ∴ 4 D = （两直线平行，同位角相等）． ∵ C D = （已知）， ∴ 4 C = （等式的基本事实）． ∴DF AC ∥ （__________）． ∴ A F =（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平 21 / 65 学科网（北京）股份有限公司 行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵ 1 2 = （已知），1 3 = （对顶角相等）， ∴ 2 3 = （等式的基本事实）， ∴BD CE ∥ （同位角相等，两直线平行）， ∴ 4 D = （两直线平行，同位角相等）， ∵ C D = （已知）， ∴ 4 C = （等式的基本事实）． ∴DF AC ∥ （内错角相等，两直线平行）． ∴ A F =（两直线平行，内错角相等）． 28．补全下列推理过程： 如图，已知AB CE ∥ ， A E =，试说明： CGD FHB = ， 解：∵AB CE ∥ （已知） A ADC = （______） A E = （已知） E ADC = （______） AD EF ∥ （______） CGD GHE = （______） FHB GHE = （______） CGD FHB = 【答案】 22 / 65 学科网（北京）股份有限公司 两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】略 题型08 根据给出的论断组命题并证明 典｜例｜精｜析 29．如图，点D，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，连接CD，F 为CD上一点． (1)从①1 B =，②DE BC ∥ ，③AB EF ∥ 这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结 论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若DE 平分 ADC ， 2 ACB B = ， 108 DFE = °，求 DEC 的度数． 【答案】(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2)108 【分析】（1）根据平行线的判定与性质（内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等或同位角相 等），利用等量代换即可求出． （2）根据角平分线的定义推出 ADE EDF = ，在①②的条件下推出1 ADE B = = 和 EDF DCB = ，通过等量代换求出1 ADE B EDF DCB = = = = ，结合已知条件 2 ACB B = 以及 等量代换求出 1 ECD B = = ，最后根据外角的定理和角度计算以及 DFE 度数即可求出 DEC 度数； 在①③的条件下推出1 ADE B = = 和 EDF DCB = ，通过等量代换求出 1 ADE B EDF DCB = = = = ，结合已知条件 2 ACB B = 以及等量代换求出 1 ECD B = = ，最 后根据外角的定理和角度计算以及 DFE 度数即可求出 DEC 度数；在②③的条件下推出 1 ADE B = = 和 EDF DCB = ，通过等量代换求出1 ADE B EDF DCB = = = = ，结合已知条 件 2 ACB B = 以及等量代换求出 1 ECD B = = ，最后根据外角的定理和角度计算以及 DFE 度数即 可求出 DEC 度数． 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： DE BC ∥ ， B ADE = ， 23 / 65 学科网（北京）股份有限公司 1 B =， 1 ADE = ， AB EF ∥ ． 条件①③结论②时，理由如下： AB EF ∥ ， 1 ADE = ， 1 B =， B ADE = ， DE BC ∥ ． 条件②③结论①时，理由如下： DE BC ∥ ， B ADE = ， AB EF ∥ ， 1 ADE = ， 1 B = ∴ ． （2）解：情况1：在①②的条件下， DE BC ∥ ， B ADE = ， 1 B =， 1 ADE B = =． DE 平分 ADC ， ADE EDF = 1 ADE B EDF = == ， DE BC ∥ ， EDF DCB = ， 1 ADE B EDF DCB = = = = ． 2 ACB B = ， ACB DCB ECD = + ， 1 B DCB = = 1 ECD B = = ． DFE ECD FEC = + ， 1 DEC FEC = + ， 1 ECD = 108 DEC DFE = = ． 情况2：在①③的条件下， AB EF ∥ ， 1 ADE = ， 24 / 65 学科网（北京）股份有限公司 1 B =， 1 B ADE = =， DE BC ∥ ， EDF DCB = ， DE 平分 ADC ， ADE EDF = ， 1 ADE B EDF = == ， EDF DCB = ， 1 ADE B EDF DCB = = = = ， 2 ACB B = ， ACB DCB ECD = + ， 1 B DCB = = 1 ECD B = = ． DFE ECD FEC = + ， 1 DEC FEC = + ， 1 ECD = 108 DEC DFE = = ． 情况3：在②③条件下， DE BC ∥ ， B ADE = ， EDF DCB = ， AB EF ∥ ， 1 ADE = ， 1 B ADE == ． DE 平分 ADC ， ADE EDF = ， 1 ADE B EDF = == ， EDF DCB = ， 1 ADE B EDF DCB = = = = ， 2 ACB B = ， ACB DCB ECD = + ， 1 B DCB = = 1 ECD B = = ． DFE ECD FEC = + ， 1 DEC FEC = + ， 1 ECD = 108 DEC DFE = = ． 变｜式｜巩｜固 30．填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB CD ， BAC 的平分线与 ACD 的平分线交于点E ． 求证：AE CE ⊥ ． 25 / 65 学科网（北京）股份有限公司 证明：∵AB CD ， ∴ BAC + 180 = （ ）， ∵AE 平分 BAC ，CE 平分 ACD ， ∴ 1 1 2 BAC = ， 1 2 2 ACD = ． ∴1 2 += ． ∵ 1 2 180 E ++= （ ）， ∴ 180 1 2 90 ∠= −−= E ． ∴AE CE ⊥ ． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 【答案】 ACD ；两直线平行，同旁内角互补；90；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所 截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【分析】由平行线的性质推出 180 BAC ACD + = ，由角平分线定义得到1 2 90 += ，由三角形内角 和定理求出 90 E = ，即可证明AE CE ⊥ ，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵AB CD ， ∴ 180 BAC ACD + = （两直线平行，同旁内角互补）， ∵AE 平分 BAC ，CE 平分 ACD ， ∴ 1 1 2 BAC = ， 1 2 2 ACD = ． ∴1 2 90 += ， ∵ 1 2 180 E ++= （三角形内角和定理）， ∴ 180 1 2 90 ∠= −−= E ． ∴AE CE ⊥ ． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 31．已知：如图，在ABC 中，D，E 是边BC 上的两点，G 是边AB 上的一点，连接EG 并延长，交CA 的 延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：① AD平分 BAC ；②EF AD ∥ ；③ AGF F = ． 26 / 65 学科网（北京）股份有限公司 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及 三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①AD平分 BAC ，②EF AD ∥ ；结论是③ AGF F = 时： 证明： AD 平分 BAC ， DAB DAC = ． EF AD ， AGF BAD = ， F DAC = ． AGF F = ； 当条件是①③，结论是②时： 证明： AD 平分 BAC ， 1 2 DAB DAC BAC = = ． ∵ AGF F = ， ∴ 2 BAC AGF F F = + = ， ∴ CAD F = ， ∴EF AD ∥ ； 当条件是②③，结论是①时： EF AD ， AGF BAD = ， F DAC = ． AGF F = ， DAB DAC = ， ∴AD平分 BAC ． 32．如图，有下列三个条件：①DE//BC；② 1 2 = ；③ B C = ． 27 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都 写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的 假命题举出一个反例（温馨提示： 180 B C BAC ++ = ） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC， 1 2 = ，那么 B C = ； ②如果DE//BC， B C = ，那么 1 2 = ； ③如果 1 2 = ， B C = ，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC， 1 2 = ，那么 B C = ， 理由如下：∵DE//BC， ∴1 B =， 2 C = ∵ 1 2 = ， ∴ B C = ． 如果DE//BC， B C = ，那么 1 2 = ； 理由如下：∵DE//BC， ∴1 B =， 2 C = ， ∵ B C = ， ∴ 1 2 = ； 如果 1 2 = ， B C = ，那么DE//BC ； 理由如下：∵ 180 B C BAC ++ = ， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， 28 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵ 1 2 = ， B C = ， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关 键． 题型09 三角形内角和定理的证明 典｜例｜精｜析 33．学习完七年级下册第86 页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在ABC 的 顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 180 A B C ++ = (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在ABC 中，过点A作直线MN BC ∥ ， 根据_____________________________ 得到 B = _________， C = _________， 根据平角定义，_________ BAC + +_________ = _________， 因此， 180 B BAC C + + = ，即 180 A B C ++ = ． 【答案】(1)如图所示，直线MN 即为所求 (2)如图，在ABC 中，过点A作直线MN BC ∥ ， 解题贴士 证明时借助平行线转移内角，严格标注平行线判定与性质依据。辅助线作法规范书写，不凭空添加线段。 三个内角拼接成平角，紧扣平角定义推导。推理步步有据，逻辑连贯，不跳步骤，画图清晰区分内错角， 准确转化角度完成证明。 29 / 65 学科网（北京）股份有限公司 根据两直线平行，内错角相等， 得到 B MAB = ， C NAC = ， 根据平角定义， 180 MAB BAC NAC + + = ． 因此， 180 B BAC C + + = ，即 180 A B C ++ = 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 34．问题解决 问 题 三角形内角和为什么等于180 问 题 提 出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实 验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和 等于180呢？ 思 路 启 迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角 呢？ 尝 试 思 考 请过三角形的顶点A 添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和 等于180．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3 添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添 加辅助线的操作进行描述． 30 / 65 学科网（北京）股份有限公司 逻 辑 说 理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180的理由． 触 类 旁 通 小华同学通过思考，发现在ABC 边AB 上任意取一点P （不与点A、B 重合）．如 图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长BA至点D ，过点A作___________、利用平行线的性质得到 B DAE C EAC = = 、 即可求解． 方法二：如图3，过点A作DE BC ∥ ，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________． (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4 画出图形，写出证明过程） 【答案】(1) AE BC ∥ ． 1 3 B C = = 、 ，ABC 内角和为180． 31 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (2)选择图2，证明过程如下： ∵AE BC ∥ ， ∴ B DAE = ， C EAC = ， 又∵ 180 BAC DAE EAC + + = ， ∴ 180 BAC B C ++ = ， 即ABC 内角和为180； 选择图3，证明过程如下： ∵DE BC ∥ ， ∴ 1 B = ， 3 = C ， 又∵1 2 3 180 ++= ， ∴ 180 B BAC C + + = ， 即ABC 内角和为180； (3)证明：过点P 作PD BC ∥ 交AC 于点D ，过点P 作PE AC ∥ 交BC 于点E ， ∵PE AC ∥ ， ∴ 1 A =， 3 C = ， ∵PD BC ∥ ， ∴ 2 B =， 3 4 = ， ∴ 4 C = ∵1 2 4 180 ++= ， ∴ 180 A B C ++ = 即ABC 内角和为180． 【分析】（1）方法一：过点A 作AE BC ∥ ，利用平行线的性质得到 B DAE = ， C EAC = 即可求解． 方法二：过点A 作DE BC ∥ ，利用平行线的性质得到 B BAD = ， C CAE = ，再利用平角定义和等量 代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点P 作PD BC ∥ 交AC 于点D ，过点P 作PE AC ∥ 交BC 于点E ，由两直线平行，同位角相等，内 错角相等易证 180 A B C ++ = ． 【详解】（1）略 32 / 65 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 （3）略 35．课堂上，为了证明“三角形的内角和是180”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C 作 EF AB ∥ ②延长AC 到点 F，过点C 作 CE AB ∥ ③过AB 上一点D 作DE BC ∥ ， DF AC ∥ ④过点C 作 CD AB ⊥ 于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可 得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是180”的方法是①②③； （2）解：①∵EF AB ∥ ， ∴ ECA A = ， FCB B = ， ∵ 180 ECA ACB FCB + + = ， ∴ 180 A B ACB ++ = ， 故①能证明“三角形内角和是180”； ②∵CE AB ∥ ， ∴ FCE A = ， ECB B = ， ∵ 180 FCE ECB ACB + + = ， ∴ 180 A B ACB ++ = ， 故②能证明“三角形内角和是180”； ③∵DE BC ∥ ，DF AC ∥ ， ∴ ADE B = ， BDF A = ， C AED = ， AED EDF = ， ∴ C EDF = ， ∵ 180 ADE EDF BDF + + = ， 33 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 180 A B C ++ = ， 故③能证明“三角形内角和是180”； ④∵CD AB ⊥ ， ∴ 90 CDB CDA = = ， 故④不能证明“三角形内角和是180”． 36．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是180”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为180． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为180，理由如下： ∵DE BC ∥ ，DF AC ∥ ， ∴ A FDB = ， B ADE = ， 180 C CED + = ， 180 CED EDF + = ， ∴ C EDF = ， 由平角的性质可得， 180 ADE EDF BDF + + = ， ∴ 180 A B C ++ = ，即三角形的内角和为180． 选用④证明三角形的内角和为180，理由如下： 如图所示，延长BC ，在延长线上取一点N ， ∵CD AB ， ∴ B DCN = ， A ACD = ． 又 180 ACB ACD DCN + + = ， ∴ 180 ACB A B ++= ， 即三角形的内角和为180． 34 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）证明“三角形的内角和是180”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为180，根据平行线的性质得到 A FDB = ， B ADE = ， 180 C CED + = ， 180 CED EDF + = ，得到 C EDF = ，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为180，延长BC ，在延长线上取一点N ，根据平行线的性质可求得 B DCN = ， A ACD = ，结合 180 ACB ACD DCN + + = ，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是180”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了 转化思想，A 选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是 解题的关键． 题型10 证明综合大题 典｜例｜精｜析 37．已知：直线1 2 l l ∥，A 为直线1l 上的一个定点，过点A 的直线交2l 于点B，点C 在线段BA的延长线 上．D，E 为直线2l 上的两个动点，点D 在点E 的左侧，连接AD，AE ，满足 AED DAE = ．点M 在2l 上，且在点B 的左侧． (1)如图1，若 24 BAD = ， 50 AED = ，直接写出 ABM 的度数 ； (2)射线AF 为 CAD 的角平分线． ①如图2，当点D 在点B 右侧时，用等式表示 EAF 与 ABD 之间的数量关系，并证明； ②当点D 与点B 不重合，且 156 ABM EAF + = 时，直接写出 EAF 的度数． 【答案】(1)124 (2)① 2 ABD EAF = ，理由： ∵1 2 l l ∥， ∴ CAN ABD = ， NAE AED = ， 又∵AF 平分 CAD ， ∴ 1 2 DAF CAF CAD = = ， 35 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∵ DAE AED NAE = = ∠ ∠ ∠ ， ∴ ( ) 1 1 2 2 DAE NAE DAE NAE DAN = = + = ， ∴ 1 1 1 1 2 2 2 2 EAF DAF DAE CAD DAN CAN ABD = − = − = = ． 即 2 ABD EAF = ； ② 24 EAF = 或 112 EAF = 【分析】（1）由平行线的性质可得到： DEA EAN = ∠ ∠ ， MBA BAN = ∠ ∠ ，再利用角的等量代换换算即 可； （2）①根据平行线的性质得出 CAN ABD = ， NAE AED = ，根据角平分线定义得出 1 2 DAF CAF CAD = = ，求出 ( ) 1 1 2 2 DAE NAE DAE NAE DAN = = + = ，最后根据角度间数量关 系，得出答案即可； ②分三种情况讨论：当点D 在点B 右侧时，当点D 在点B 左侧，点E 在点B 右侧时，当D、E 均在B 点 左侧时，运用角的等量代换推导即可． 【详解】（1）解：∵1 2 l l ∥， ∴ ABM BAN = ， 50 NAE AED = = ， ∵ 24 BAD = ， 50 DAE AED = = ， ∴ 24 50 50 124 ABM BAN BAD DAE NAE = = + + = + + = ． （2）①略 ②当点D 在点B 右侧时，如图3 1 ﹣所示， 36 / 65 学科网（北京）股份有限公司 此时有 1 2 EAF ABD = ， ∵ 156 ABM EAF + = ， ∴ 1 156 2 ABM ABD + = ， 又∵ 180 ABM ABD + = ， ∴1 180 156 24 2 ABD = − = ， ∴ 24 EAF = ； 当点D 在点B 左侧，点E 在点B 右侧时，如图3 2 ﹣所示： ∵AF 平分 CAD ， ∴ 1 2 DAF CAD = ∠ ∠ ， ∵1 2 l l ∥， ∴ AED NAE = ∠ ∠ ， CAN ABE = ∠ ∠ ， ∵ DAE AED NAE = = ∠ ∠ ∠ ， ∴ ( ) 1 1 2 2 DAE DAE NAE DAN = + = ， ∴ EAF DAF DAE = + ( ) 1 2 CAD DAN = + ( ) 1 360 2 CAN = − 37 / 65 学科网（北京）股份有限公司 1 180 2 CAN = − 1 180 2 ABE = −∠ ， ∵ 180 ABE ABM + = ∠ ∠ ， ∴ ( ) 1 1 180 180 90 2 2 EAF ABM ABM = − − = + ， 又∵ 156 EAF ABM + = ， ∴ ( ) 1 1 90 156 168 2 2 EAF EAF EAF = + − = − ， ∴ 112 EAF = ； 当D、E 均在B 点左侧时，如图3 3 −所示： 此时 1 2 DAE DAN = ∠ ∠ ， 1 2 DAF CAD = ∠ ∠ ， EAF DAE DAF = + 1 1 2 2 DAN CAD = + ( ) 1 2 DAN CAD = + ( ) 1 360 2 CAN = − 1 180 2 CAN = − ( ) 1 180 180 2 BAN = − − ( ) 1 180 180 2 ABM = − − 1 90 2 ABM = + ， 又∵ 156 EAF ABM + = ， ∴ ( ) 1 1 90 156 168 2 2 EAF EAF EAF = + − = − ， 38 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 112 EAF = ． 综上所述： 24 EAF = 或 112 EAF = ． 变｜式｜巩｜固 38．已知直线AB CD ，直线EF 分别与AB ，CD相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，PE，PF 分别平分 BEF 和 EFD ，则PE和PF 的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G 在射线EA上，点H 在射线FD上，GP ，FP分别平分 BGH 和 EFH ，若 54 P = ， 70 GQF = ，求 EGH 和 EFH 的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G 在线段EF 上，点H 是直线CD上的动点(不与F 重合)，FP、HP分别平分 EFH 和 GHD ，设 EGH m = ，请直接用含m 的代数式表示FPH 的度数． 【答案】(1) PE PF ⊥ ，理由如下： PE 、PF 分别平分 BEF 和 EFD ， 可设 BEP FEP x = = ， EFP PFD y = = （角平分线的定义）， AB CD ∥ ， 2 2 180 x y + = （两直线平行，同旁内角互补）， 90 x y + = ． 又 180 x y EPF + + = ， 90 180 EPF + = ， 90 EPF = ． 即PE PF ⊥ ； (2) 32 EGH = ， 76 EFH = (3) 1 180 2 FPH m = − 或 1 90 2 FPH m = − 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得 16 PGQ ? ° ，由角平分线的定义得 2 PGQ BGH = Ð ，再由平行线的性质得 32 GH F B QH = ? ? ，由外角的性质得 70 38 QFH QHF ? ? ? ? ，最后由角平分线的定义得 2 76 Q EFH FH Ð ? = ? ； （3）分两种情况讨论：当点H 在点F 的右边时；当点H 在点F 的左边时，画出图形分别求解即可． 39 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）解：∵ 70 GQF P PGQ Ð ° =? ? ， 54 P = ， ∴ 70 16 PGQ P ? ? ? ? ， ∵GP 平分 BGH ， ∴ 2 32 P EGH GQ ? = ? ， ∵AB CD ∥ ， ∴ 32 GH F B QH = ? ? ， ∵ 70 GQF QFH QHF Ð ° =? ? ， ∴ 70 38 QFH QHF ? ? ? ? ， ∵FP平分 EFH ， ∴ 2 76 Q EFH FH Ð ? = ? ； （3）解：分以下两种情况： 当点H 在点F 的右边时，如图3 所示： ∵FP、HP分别平分 EFH 和 GHD ， ∴可设 EFP PFH x = = ， GHP PHD y = = ， ∵ 180 180 2 GHF GHD y = − = − ， ∴ 2 180 2 EGH GFH GHF x y m = + = + − = ， ∴ ( ) 1 1 180 90 2 2 y x m m − = − = − ， ∵ PHD P PFH =+ ， ∴ 1 90 2 P PHD PFH y x m = − = − = − ； 当点H 在点F 的左边时，如图所示： 40 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∵FP、HP分别平分 EFH 和 GHD ， ∴可设 EFP PFH a = = ， GHP PHF b = = ， ∴ 2 GFH a = ， 2 GHF b = ， ∴ 2 2 EGH GFH GHF a b m = + = + = ， ∴ 1 2 a b m + = ， ∵ 180 P PHF PFH + + = ， ∴ ( ) ( ) 1 180 180 180 2 P PHF PFH a b m = − + = − + = − ； 综上所述：FPH 的度数为 1 90 2 m − 或 1 180 2 m − ． 39．【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2 倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数 学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是90，45，45和 90，60， 30． 【简单应用】 (1)如图2， 90 A = ， 2 ABC C = ，BD是 ABC 的角平分线，试说明ABD 是“二阶三角形”； 【问题探究】 (2)在ABC 中， 2 80 A ABC = = ． ①如图3，过点C 的直线交 ABC 的平分线和 ABC 的外角平分线于点N，M，若BMN 是“二阶三角 形”，求 BCM 的度数； (3)②如图4， ABC 的平分线和 ACB 的外角平分线交于点D，点F 是线段BD上的一动点（F 不与B、 O、D 三点重合）， BCF n ACF = ，若CDF 是“二阶三角形”，直接写出n 的值． 【答案】(1)解：∵ 90 A = ， ∴ 180 90 90 ABC C + = − = ， ∵ 2 ABC C = ， ∴2 90 C C + = ，解得 30 C = ， ∴ 2 30 60 ABC = = ， 41 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∵BD是 ABC 的角平分线， ∴ 1 1 60 30 2 2 ABD CBD ABC = = = = ， 在ABD 中， 180 90 30 60 ADB = − − = ， 可得 2 ADB ABD = ， ∴ABD 是“二阶三角形”； (2)①50或65或80；②2 或4 5 【分析】（1）先根据三角形内角和为180以及 2 ABC C = ，求解出相应角的度数，再根据角平分线的定 义得到 1 2 ABD CBD ABC = = ，再由角度的关系得到 2 ADB ABD = ，由此可说明； （2）①先根据 2 80 A ABC = = ，以及角平分线的定义求解 NBC 和 MBC 的度数，再根据BMN 是 “二阶三角形”分情况得到 M 的度数，由此求解即可； ②先根据 2 80 A ABC = = ，求解 ACB 的度数，再由角平分线的定义求解 DBC 和 ACD 的度数，设 ACF = ，根据题意可得 BCF n = ，再由 BCF ACF ACB + = ，可得与n 之间的关系，再由 CDF 是“二阶三角形”，分情况表示2 倍的关系，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵ 2 80 A ABC = = ， ∴ 40 ABC = ， 180 40 140 EBC = − = ， ∵BN 为 ABC 的角平分线， ∴ 1 1 40 20 2 2 NBC ABC = = = ， ∵BM 为 ABC 的外角平分线， ∴ 1 1 140 70 2 2 MBC EBC = = = ， ∴ 20 70 90 MBN = + = ， ∵BMN 是“二阶三角形”， 当 2 N M = 时，则 2 90 N M + = ， 可得 30 M = ， 在MBC 中， 180 70 30 80 BCM = − − = ； 当 2 M N = 时，则 2 90 N M + = ， 可得 30 N = ，则 60 M = ， 在MBC 中， 180 70 60 50 BCM = − − = ； 当 2 MBN N = 时，则 45 N M = = ， 在MBC 中， 180 70 45 65 BCM = − − = ； 42 / 65 学科网（北京）股份有限公司 综上， BCM 的度数为50或65或80； ②∵ 2 80 A ABC = = ， ∴ 40 ABC = ， 在ABC 中， 180 40 80 60 ACB = − − = ， ∴ 180 60 120 ACE = − = ， ∵BD为 ABC 的角平分线， ∴ 1 1 40 20 2 2 DBC ABD ABC = = = = ， ∵CD为 ACB 的外角平分线， ∴ 1 1 120 60 2 2 ACD ACE = = = ， 在ABO 中， 180 20 80 80 AOB = − − = ， ∴ 80 COD AOB = = ， 在COD 中， 180 60 80 40 D = − − = ， 点F 是线段BD上的一动点（F 不与B、O、D 三点重合），如图， ∵ BCF n ACF = ， 设 ACF = ，则 BCF n = ， ∵ BCF ACF ACB + = ， ∴ 60 n + = ，则 60 1 n = + ， ∴ ( ) 60 1 60 60 60 120 60 1 1 1 n n DCF n n n + + + = + = = + + + ， 在BCF 中， 60 80 20 20 1 1 n n DFC DBC BCF n n + = + = + = + + ， ∵CDF 是“二阶三角形”， 且在CDF 中， 40 D = ， 60 120 1 n DCF n + = + ， 80 20 1 n DFC n + = + ， 当 2 D DCF = 时，则有 60 120 40 2 1 n n + = + ， 即 ( ) 40 1 120 240 n n + = + ，解得 5 2 n = − ，不满足题意，舍； 43 / 65 学科网（北京）股份有限公司 当 2 D DFC = 时，则有 80 20 40 2 1 n n + = + ， 即 ( ) 40 1 160 40 n n + = + ，解得 0 n = ，不满足题意，舍； 当 2 DCF D = 时，则有60 120 2 40 1 n n + = + ， 即 ( ) 60 120 80 1 n n + = + ，解得 2 n = ； 当 2 DCF DFC = 时，则有60 120 80 20 2 1 1 n n n n + + = + + ， 即 ( ) 60 120 2 80 20 n n + = + ，解得 4 5 n = ； 当 2 DFC D = 时，则有80 20 2 40 1 n n + = + ， 即 ( ) 80 20 80 1 n n + = + ，等式无解； 当 2 DFC DCF = 时，则有80 20 60 120 2 1 1 n n n n + + = + + ， 即 ( ) 80 20 2 60 120 n n + = + ，解得 11 2 n = − ，不满足题意，舍； 综上，n 的值为2 或4 5 ． 40．【模型探究】如图①，已知点D、E 分别在 ABC 的边AB BC 、 上，点F 在 ABC 的内部，连接 FD FE 、 ，在 ABC 的内部形成凸四边形DBEF ．求证： B F ADF CEF + = + ． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形DBEF 中， ∴（① ） ∵ 180 ADF BDF + = ， 180 FEC BEF + = ， ∴ 360 ADF BDF FEC BEF + + + = ． ∴ B F ADF CEF + = + ． 乙同学证明：如图②，连接BF ． ∵ ADF 是BDF 的外角， 44 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ADF ABF DFB = + ． ∵ FEC 是BEF 的外角， ∴（② ）． ∴ ADF CEF ABF DFB CBF BFE + = + + + ∴ ADF CEF ABC DFE + = + ． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E 分别在ABC 的边AB AC 、 上，连接DE ，将ABC 沿直线DE 翻折， 使点A 落在ABC 内部A位置． (2)若 , , BDA CEA = = 则 A 的度数为；（用含 、 的式子表示） (3)若 45 , 60 B C = = ，求 BDA CEA + 的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E 分别在ABC 的边AB AC 、 上，连接DE ，将ABC 沿直线DE 翻折，点A 落在A位置，连 接A B A C 、 ．当 1 1 , 2 2 A BC ABC A CB ACB = = 时，直接写出 BA C BDA 、 和 CEA 的数量关 系． 【答案】(1)① 360 B D E F + + + = ；② CEF CBF EFB = + (2) ( ) 1 2 A = + (3)150 (4) 4 360 BDA CE A A B C − + = 【分析】（1）根据四边形的内角和为360 度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到 A A = ，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出 A 的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出 BA C 与 A 的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴ A A = ， 45 / 65 学科网（北京）股份有限公司 由（1）可知： BDA CEA A A + + = ， ∴2 A = + ， ∴ ( ) 1 2 A = + ； （3）解：∵ 45 , 60 B C = = ， ∴ 180 75 A B C = − − = ， ∴ 2 2 75 150 BDA CEA A + = = = ； （4）解：∵ 1 1 , 2 2 A BC ABC A CB ACB = = ， ∴ 1 1 2 2 A BC A CB ABC ACB + = + ( ) 1 180 2 A = − 1 90 2 A = − ， ∴ 1 1 180 90 90 2 2 BA C A A = − − = + ， ∴ 2 180 A BA C = − ， 又∵ 2 BDA CEA A + = ， ∴ 4 360 BDA CE A A B C − + = . 基础通关 1．（2026·浙江温州·二模）对于命题“若 2 a a ，则 1 a ”，能说明它是假命题的反例是（ ） A． 3 a = B． 2 a = C． 0 a = D． 1 a = − 【答案】D 【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检验选 46 / 65 学科网（北京）股份有限公司 项即可． 【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件 2 a a ，且不满足结论 1 a ，即 1 a ， 对选项A： 3 a = ， 2 9 3 a = ，满足条件，且 3 1 a = ，满足结论，不符合要求； 对选项B： 2 a = ， 2 4 2 a = ，满足条件，且 2 1 a = ，满足结论，不符合要求； 对选项C： 0 a = ， 2 0 a = ，不满足 2 a a ，不符合条件，不符合要求； 对选项D： 1 a = −， ( ) 2 2 1 1 a = − = ，1 1 −，满足 2 a a ，但 1 1 a = −，不满足 1 a ，符合反例要求． 2．（25-26 七年级下·上海虹口·期中）对于命题“如果1 2 180 += ，那么 1 2 = ”，能说明它是假命题的 反例是（ ） A．1 2 90 = = B． 1 50 = ， 2 130 = C． 1 50 = ， 2 50 = D．1 2 90 += 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、1 2 90 = = ，则1 2 180 += ，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A 不符合题 意； B、1 50 = ， 2 130 = ，则1 2 180 += ，满足条件，但1 2 ，不满足结论，可以作为反例，故B 符合题意； C、1 50 = ， 2 50 = ，1 2 100 180 += ，不满足条件，不能作为反例，故C 不符合题意； D、1 2 90 180 += ，不满足条件，不能作为反例，故D 不符合题意． 3．（25-26 七年级下·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．两直线平行，内错角互补 C．不相等的角不是内错角 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】根据真假命题的定义，结合平行线的性质与判定定理，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵只有两直线平行时，同位角才相等，∴选项A 是假命题． ∵两直线平行，内错角相等，不是互补，∴选项B 是假命题． ∵两直线不平行时，内错角不相等，因此存在不相等的内错角，∴选项C 是假命题． ∵“同旁内角互补，两直线平行”是正确的平行线判定定理，∴选项D 是真命题． 4．（2026·浙江舟山·二模）如图，一个含30角的直角三角板ABC （即 30 B = ， 90 C = ）被两条平行 直线MN 和PQ 所截，若 58 NDE = ，则 CFP =（ ） 47 / 65 学科网（北京）股份有限公司 A．30 B．28 C．25 D．23 【答案】B 【分析】由MN PQ ，则 58 PED NDE = = ，然后通过三角形的外角性质和对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵MN PQ ， ∴ 58 PED NDE = = ， ∵ PED B EFB =+ ， 30 B = ， ∴ 28 EFB = ， ∴ 28 CFP EFB = = ． 5．（25-26 七年级下·浙江台州·开学考试）下列命题：①相等的角都是对顶角；②不小于直角的角是锐 角；③若 0 ab = ，则 0 a = 或 0 b = ；④若a b = ，则a b = ．其中属于真命题的是______． 【答案】③④ 【详解】解：①相等的角都是对顶角，错误，是假命题； ②不小于直角的角是锐角，错误，是假命题； ③若 0 ab = ，则 0 a = 或 0 b = ，正确，是真命题； ④若a b = ，则a b = 正确，是真命题． 6．（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）请举反例说明命题“若 2 4 a ，则 2 a ”是假命题，你举的反例a 的值 为________．（写出一个a 的值即可） 【答案】 3 −（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足命题条件 2 4 a ，不满足命题结论 2 a 的a 的值即可． 【详解】解： 2 4 a ， 则 2 a 或 2 a −， 要使“若 2 4 a ，则 2 a ”是假命题，则取 2 a −的值即可，可取 3 a = −． 7．（25-26 八年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中 的度数为_________． 48 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】75 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和． 根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由三角板可得1 30 = ， 2 45 = ， 由三角形的外角的性质可得 1 2 30 45 75 = += + = ， 故答案为：75． 8．（25-26 八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小 振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名 的是______． 【答案】小振 【分析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进 行合理的逻辑推理即可． 【详解】解：小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛，小东既不是第一也不是最后一名，小新是 第二名， 则小东是第三名， 因为小振的成绩在前三名，小启也不是第一名， 则小振是第一名，小启是最后一名， 故答案为：小振． 9．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①AD CB ∥ ；② B DCF = ；③ BAD BCD = ．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 【答案】(1)见解析； 49 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (2)见解析． 【分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解 题的关键． （1）根据命题的概念按要求解答； （2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论． 【详解】（1）解：第一种：如果AD CB ∥ ， B DCF = ，那么 BAD BCD = ； 第二种：如果 , AD CB BAD BCD = ∥ ，那么 B DCF = ； 第三种：如果 , B DCF BAD BCD = = ，那么AD CB ∥ ． （2）解：证明第一种：∵AD CB ∥ ， 180 BAD B += ， ∵ 180 DCF BCD + = ， B DCF = ， ∴ 180 B BCD + = ， ∴ BAD BCD = ； 证明第二种： AD CB ∥ ， 180 BAD B += ， BAD BCD = ， 180 BCD B += ， AB CD ∥ ， B DCF = ； 证明第三种：∵ 180 DCF BCD + = ， B DCF = ， ∴ 180 B BCD + = ， ∵ BAD BCD = ， ∴ 180 B BAD + = °， ∴AD CB ∥ ． 10．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，AB CD ， BMN 与 DNM 的平分线相交于点G， (1)完成下面的证明： 50 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∵MG 平分 BMN （ ）， ∴ GMN BMN = （ ）， 同理 GNM DNG = ． ∵AB CD （ ）， ∴ BMN DNM + =________（ ）． ∴ GMN GNM + =________． ∵ GMN GNM G + + =________（ ）， ∴ G =________． ∴MG 与NG 的位置关系是________． (2)把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题： ___________________． 【答案】(1)证明见详解 (2)两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直 【分析】（1）利用角平分线的定义将 GMN 和 GNM 分别表示为 BMN 和 DNM 的一半；再利用平行 线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出 BMN DNM + 的度数，进而求出 GMN GNM + 的度数； 最后利用三角形内角和定理求出 G 的度数，从而判断MG 和NG 的位置关系； （2）需将几何证明中的题设（平行线、角平分线）和结论（垂直）用文字语言准确表述即可． 【详解】（1）证明：∵MG 平分 BMN （已知）， ∴ GMN BMN = （角平分线的定义）， 同理 GNM DNG = ． ∵AB CD （已知）， ∴ 180 BMN DNM + = （两直线平行，同旁内角互补）． ∴ 90 GMN GNM + = ． ∵ 180 GMN GNM G + + = （三角形内角和定理）， ∴ 90 G = ． ∴MG 与NG 的位置关系是MG NG ⊥ ． （2）解：根据上述证明过程，题设为“两平行直线被第三条直线所截”，条件涉及“同旁内角的角平分线”， 结论为“互相垂直”， ∴概括为：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 素养提升 11．（25-26 八年级上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（ ） A．平方根等于本身的数是0 和1 B．若 2 a a = ，则 0 a C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 51 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定 义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断 C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1 的平方根是1 ，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若 2 a a = ，则 0 a ，并非 0 a ，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 12．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果 2 x ，那么 2 4 0 x − ”是假命题，只需举出一个反 例，反例中的x 可以为( ) A．1 B．0 C．1 − D．2 − 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，关一键是通过计算得到与命题的结论相反的例 子． 由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可． 【详解】解：A、1 2 ， 21 4 0 − ，故A 不符合题意； B、 2 0 2 0 4 0 − ， ，故B不符合题意； C 、 2 1 2 ( 1) 4 0 − − − ， ，故C 不符合题意； D 、 2 2 2 ( 2) 4 0 − − − = ， ，故D 符合题意． 故选：D． 13．（25-26 九年级上·浙江温州·开学考试）如图，ABC 的外角平分线AD交射线BC 于点 , D E 在BA延长 线上，若 35 B = ， 60 DAE = ，则 ACD 的度数为（ ） A．85 B．95 C．100 D．105 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得 CAE 的度数，利用邻补角的定义求得 BAC 的度数，再利用三角形的 外角性质求解即可． 52 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵AD平分 CAE ， 60 DAE = ， ∴ 2 120 CAE DAE = = ， ∴ 18 6 0 0 BAC CAE = − = ， ∴ 35 60 95 ACD B BAC = + = + = ． 14．（25-26 七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知MN PQ ∥ ，点B 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，点A 在直线MN 上方，点E 在DB的延长线上．若 : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = ， A = ，则 E = （ ） A． B． 1 36 5 + C．90 − D． 4 144 5 − 【答案】B 【分析】延长DE 交PQ 于点F ，AC 交MN 于点G ，根据 : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = 可设设 4 ABD x = ， DBN x = ， 4 ACE y = ， ECP y = ，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出 180 5 x y + + = ，再由MN PQ ∥ 即可得出结论． 【详解】解：如图，延长DE 交PQ 于点F ，AC 交MN 于点G ， : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = ， 设 4 ABD x = ， DBN x = ， 4 ACE y = ， ECP y = ， 5 ABN ABD DBN x = + = ， 5 ACP ACE ECP y = + = ， ABN 是ABG 的一个外角， 5 AGB ABN A x = −= − ， MN PQ ∥ ， 5 ACQ AGB x = = − ， 180 ACP ACQ = − ， ( ) 5 180 5 y x = − − ， 53 / 65 学科网（北京）股份有限公司 即 180 5 x y + + = ， MN PQ ∥ ， EFC DBN x = = ， 180 1 36 5 5 BEC EFC ECP x y + = + = + = = + ， 即 1 36 5 E = + ． 15．（25-26 七年级下·山东烟台·期中）如图，BE，CE ，CD分别平分 ABC ， ACB ， ACF ， AB DC ．下列结论：① CAB CBA = ；② 90 BEC ABD = + ；③ BDC BAC = ；④ 2 180 BEC BAC − = ．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】先利用角平分线的定义可得 ACD DCF = ，再利用平行线的性质可得 CAB ACD = ， ABC DCF = ，从而利用等量代换可得 CAB CBA = ，即可判断①；利用角平分线的定义可得 1 2 ABE EBC ABC = = ， 1 2 ACE BCE ACB = = ，然后利用三角形内角和定理以及等量代换可得 1 90 2 BEC BAC = + ，从而可得2 180 BEC BAC = + ，进而可得2 180 BEC BAC − = ，即可判断 ④；再利用等量代换可得 1 2 ABD BAC = ，从而可得 90 BEC ABD = + ，即可判断②；再利用平行线 的性质可得 ABD BDC = ，从而可得 1 2 BDC BAC = ，即可判断③，即可解答． 【详解】解： CD 平分 ACF ， ACD DCF = ， AB DC ∥ ， CAB ACD = ， ABC DCF = ， CAB CBA = ， 故①正确； BE ，CE 分别平分 ABC ， ACB ， 54 / 65 学科网（北京）股份有限公司 1 2 = = ABE EBC ABC ， 1 2 ACE BCE ACB = = ， ( ) 180 BEC EBC ECB = − + 1 1 180 2 2 ABC ACB = − + ( ) 1 180 2 ABC ACB = − + ( ) 1 180 180 2 BAC = − − 1 180 90 2 BAC = − + 1 90 2 BAC = + ， 2 180 BEC BAC = + ， 2 180 BEC BAC − = ， 故④正确； BAC ABC = ， 1 2 ABD BAC = ， 90 BEC ABD = + ， 故②正确； AB DC ∥ ， ABD BDC = ， 1 2 BDC BAC = ， 故③不正确； 综上所述，正确结论的序号是①②④，共3 个． 16．（25-26 七年级下·吉林四平·期末）给出下列5 个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所 截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线 互相垂直．其中是真命题的是______．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段 最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 【详解】①是公理,正确； ②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误； ③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误； 55 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的； ⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误； 所以真命题是①． 故答案为：①． 17．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一 点有且只有一条直线与已知直线平行；③若 1 40 , 2 = 的两边与1 的两边分别平行，则 2 40 = 或 140；④若 , b c a c ⊥ ⊥ ，则b a ∥．其中假命题的是_________（填写序号）． 【答案】①② 【分析】逐个判断各个命题的真假即可． 【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意； ③若 1 40 , 2 = 的两边与1 的两边分别平行，如图：则 2 40 = 或140；故③为真命题，不符合题 意； ④若 , b c a c ⊥ ⊥ ，则b a ∥，故④为真命题，不符合题意； 综上：假命题有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 18．（25-26 七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，AE 与BD的交点为C ， 50 CAB = ， 60 CBA = ， 40 E = ．为了舒适，需调整 CDF 大小，使 140 EFD = ，且 CAB 、 CBA 、 E 保持 不变，则图中 CDF 应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长EF 交BD于G ．根据三角形内角和公式求出 70 ACB = ，可得 70 DCE = ，根据三角形外 角的性质得 EFD CDF E DCE = ++ ，然后代入数据求解即可． 56 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：延长EF 交BD于G ． 50 CAB = ， 60 CBA = ， 180 70 ACB CAB CBA = − − = ， 70 DCE ACB = = ． EFD CDF DGF = + ， DGF E DCE = + ， EFD CDF E DCE = ++ ． 140 70 40 30 CDF = − − = ． 19．（25-26 九年级上·湖南·阶段检测）小明和小李研究某一年阳历6 月份的日历，并且分别发表了自己的 研究结论： 小明：这个月有5 个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6 月___________号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6 月有30 天，再由小明条件可知，若有5 个星期二，则第一个星期二必须在1 日或2 日；分别计算 两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2 日，进而 找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6 月有30 天，若有5 个星期二，则第一个星期二可能为1 日或2 日， 若1 日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为1 8 15 22 29 75 + + + + = ，与小李条件矛盾； 若2 日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为2 9 16 23 30 80 75 + + + + = ，符合小李条件． ∴第一个星期二为2 日，第三个星期二为16 日． 故答案为：16． 20．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，AD平分 BAC ，AE BC ⊥ ， 30 B = ， 70 C = ． 57 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)求 DAE 的度数； (2)如图2，若把“ AE BC ⊥ ”变成“点F 在DA的延长线上，FE BC ⊥ ”， B = ， C = （ ），请用 、的代数式表示 DFE ． 【答案】(1)20 (2) ( ) 1 2 − 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角 和定理是解题的关键： （1）三角形的内角和定理求出 , BAC CAE 的度数，角平分线求出 CAD 的度数，再利用角的和差关系 进行求解即可； （2）三角形的内角和定理结合角平分线求出 , BAD CAD 的度数，三角形的外角求出 ADC 的度数，再 利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解： 30 B = ， 70 C = ， 180 180 30 70 80 BAC B C = −− = − − = ， AD 平分 BAC ， 1 1 80 40 2 2 BAD CAD BAC = = = = ， AE BC ⊥ ， 90 AEB = ， ∴ 90 20 CAE C = − = ， ∴ 20 DAE CAD CAE = − = ； （2）解： B = ， C = ， 180 BAC = − − ， AD 平分 BAC ， ( ) 1 90 2 BAD CAD = = − + ADE 是ABD 的外角， 58 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 1 1 90 90 2 2 2 ADE B BAD = + = + − + = − + FE BC ⊥ ， 90 FED = ， 180 DFE ADE FED + + = ， ( ) 1 180 2 DFE ADE FED = − − = − ． 迁移创新 21．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC 中， 70 C = ，F 在AB 延长线上， CAB 的角平分 线与 CBF 的角平分线交于点E ，则 E 的度数为（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得 70 CBF CAB + = ， FBE E EAB = + ，利用角平分线的定义求得 1 35 2 A BE C B F = + ， 1 2 EAB CAB = ，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵ 70 C = ， ∴ 70 CBF C CAB CAB = + = + ， FBE E EAB = + ， ∵ CAB 的角平分线与 CBF 的角平分线交于点E ， ∴ 1 35 2 1 2 C B FBE BF CA = + = ， 1 2 EAB CAB = ． ∴ 1 2 1 35 2 CAB CAB E + + = ． ∴ 35 E = ． 故选：B． 22．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）如图AB CD ， 80 MPN = 度， AMP 的平分线和 CNP 的平分线 交于点E，求 MEN 的度数是________． 小学 初中 59 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】40/40 度 【分析】设直线CD与ME 相交于点F，直线CD与MP 相交于点T，先证明1 1 2 2 AMP E CNP = + ，再 求出 AMP MTN CNP MPN = = + ，得到1 1 1 2 2 2 CNP MPN E CNP + = + ，则1 2 MPN E = ， 即可求出答案． 【详解】解：如图，设直线CD与ME 相交于点F，直线CD与MP 相交于点T， ∵AB CD ， ∴ MFN AME = ， ∵ AMP 的平分线和 CNP 的平分线交于点E， ∴ 1 2 AME AMP = ， 1 2 ENF CNP = ， ∴ 1 2 MFN AMP = ， ∵ MFN E ENF = + ， ∴1 1 2 2 AMP E CNP = + ， ∵AB CD ， ∴ AMP MTN CNP MPN = = + ， ∴( ) 1 1 2 2 CNP MPN E CNP + = + ， ∴1 1 1 2 2 2 CNP MPN E CNP + = + ∴1 2 MPN E = ， ∵ 80 MPN = 度， 60 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 40 2 E MPN = = 23．（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿EF 折叠，设 AED x = 度． 图1 图2 （1）若 110 x = ，则 EFB =______度． （2）将图1 纸带继续沿BF 折叠成图2，则 EFC =______度．（用含x 的代数式表示） 【答案】 35 3 90 2 x − 【分析】（1）由平行线的性质得 DEF EFB = ， 180 AEH EHB + = ，折叠和三角形的外角得 D ' EF EFB = ， EFB = 1 2 EHB ，最后计算出 90 EFB = −1 2 x； （2）由折叠和平角的定义求出 EFC 90 = + 1 2 x，再次折叠经计算求出 EFC = 3 2 90 x− ． 【详解】解：（1）如图1 所示， AD BC ∥ ， DEF EFB = ， 180 AEH EHB + = ， 又 DEF D = ' EF ， D ' EF EFB = ， 又 EHB D = ' EF EFB + ， EFB = 1 2 EHB ， 又 AED x = ， 180 EHB x = −， EFB = 1 2 ( ) 180 2 90 − = −1 2 x 110 x = 61 / 65 学科网（北京）股份有限公司 EFB = 35 故答案为：35； （2）如图2 所示， 180 EFB EFC + = ， 180 EFC EFC = = (90 − −1 2 ) 90 x= + 1 2 x， 又 2 EFC EFB EFC = + ， 2 EFC EFC EFB = − = 90+ 1 2 2(90 x− −1 2 ) x ( = 3 2 90) x − ， 故答案为：3 90 2 x − ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义 以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前 后大小等量关系． 24．（25-26 八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，AB CD ∥ ，点P 在AB ，CD之间，连接AP ，CP ．易证： APC BAP PCD = + ．下面是两位同学添加辅助线的方法： 62 / 65 学科网（北京）股份有限公司 小刚：如图2，过 点P 作PQ AB ∥ ． 小红：如图3，延 长AP 交CD于点 M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F 分别是射线AB ，CD上一点，点G 是线段CF 上一点，连接AG 并延 长，交直线EF 于点P，连接AC 、EG ，若 PAC PEG AGE + = ，求证：AC EF ∥ ； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB CD ∥ ，AH 平分 PAC ，FH 平分 PFC ，AH 与FH 交 于点H，若 25 CAH = ， AHF AEG = ， 2 3 PGE CAH PEG = + ，求 PFC 的度数． 【答案】(1)解：小刚的证明如下：如图2，过点P 作PQ AB ∥ ， ∵AB CD ∥ ， ∴AB PQ CD ∥ ∥ ， ∴ APQ BAP CPQ PCD = = ， ∴ APQ CPQ BAP PCD + = + 即 APC BAP PCD = + ； (2)证明：∵ 180 180 PGE APE PEG AGE PGE + + = + = ， ∴ AGE APE PEG = + 又∵ AGE PAC PEG = + ∴ APE PAC = ∴AC EF ∥ ； (3)90 【分析】（1）小刚的证明：过点P 作PQ AB ∥ ，可得AB PQ CD ∥ ∥ ，再根据平行线的性质证明即可求 证；小红的证明：延长AP 交CD于点M，可得 BAP PMC = ，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明 APE PAC = 即可求证； （3）由角平分线的定义得 2 50 PAC CAH = = ，设 PEG = ，则 2 3 50 3 PGE CAH PEG = + = + ，得 180 130 3 AGE PGE = − = − ，再根据（2）的条件得 50 130 3 + = − ，解得 20 PEG = ，设 = PFH ，同理可得 2 90 PFC = = ，即可求解； 【详解】（1）小红的证明如下： 如图3，延长AP 交CD于点M， 63 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∵AB CD ， BAP PMC \ ? ? ， 180 180 PCD CPM PMC CPM APC + + = + = ， ， ∴ APC PMC PCD = + ， APC BAP PCD = + ； （2）略； （3）解：∵AH 平分 PAC ， 25 CAH = ， 2 50 PAC CAH = = ， 设 PEG = ，则 2 3 50 3 PGE CAH PEG = + = + ， 180 130 3 AGE PGE = − = − ， PAC PEG AGE + = ， ∴50 130 3 + = − ， 解得 20 = ， 20 PEG = ； 设 = PFH ， ∵FH 平分 PFC ， 2 2 PFC PFH = = ， ∵AB CD ， 2 AEF PFC = = ， 2 20 AEG AEF PEG = − = − ， 2 20 AHF AEG = = − ， ∵在(2)的条件下 AC EF ， ， 同理可得， AHF CAH PFH = + ，即2 20 25 − = + ， 解得 45 = ， ∴ 2 90 PFC = = ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外交的性质，角平分线的性质， 熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 25．（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线EF 与直线AB CD 、 分别交于点G、H，HK 平分 EHD 交直线AB 于点K， GHK GKH = ． 64 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：AB CD ； (2)如图2，点P 在线段AG 上，点N 在线段HK 上，PB平分 EPN ，若 30 GHK = ，求 E PNH + 的 度数； (3)如图3，点M 在线段HG 上，点Q 为射线KA上一动点且不与点G 重合，连接MQ ，作 MQK 的角平分 线与HK 相交于点R，直接写出 QMH 与 QRH 的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 90 E PNH + = (3) 360 2 QMH QRH = − 或 2 QMH QRH = 【分析】（1）由角平分线的定义得 GHK KHD = ，结合 GHK GKH = 可得 GKH KHD = ，即可证 明AB CD ； （2）由三角形外角的性质得 30 PNH KPN = + ， 60 PGH GHK GKH = + = ，进而得 60 E EPK + = ， 30 KPN PNH = − ，根据PB平分 EPN ，得 EPK KPN = ，等量代换得 60 30 E PNH −= − ，可得 90 E PNH + = ； （3）分“点Q 在GK 上，点Q 在KG延长线上”两种情况，利用三角形外角的性质、平行线的性质分别求 解． 【详解】（1）证明：∵HK 平分 EHD ， ∴ GHK KHD = ． ∵ GHK GKH = ， ∴ GKH KHD = ， ∴AB CD ； （2）解：∵ 30 GHK = ， 65 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 30 GKH ， ∴ 30 PNH KPN = + ， 60 PGH GHK GKH = + = ， ∴ 60 E EPK PGH + = = ， 30 KPN PNH = − ， 即 60 EPK E = − ． ∵PB平分 EPN ， ∴ EPK KPN = ， ∴60 30 E PNH −= − ，即 90 E PNH + = ； （3）解：∵HK 平分 EHD ，QR 平分 MQK ， ∴令 MQR KQR = = ， GHK KHD = = ． ∵AB CD ， ∴ GKH KHD = = ． 当点Q 在GK 上时，如图所示， ∵AB CD ， ∴ 180 MGQ GHD + = ， ∴ 180 2 MGQ = − ． ∵ 180 2 GQM = − ， ∴ ( ) 360 2 QMH MGQ GQM = + = − + ． 又∵ QRH RQK QKR = + = + ， ∴ 360 2 QMH QRH = − ； 当点Q 在KG延长线上时，如图所示， 同理可得， QRH = + ， 2 2 QMH = + ， ∴ 2 QMH QRH = ， 综上所述， 360 2 QMH QRH = − 或 2 QMH QRH = ．
